Бифуркационные механизмы синхронизации хаоса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение.

1. Глава 1. Бифуркационные механизмы синхронизации и десинхронизации хаотических колебаний.

1.1. Потеря синхронизации хаоса в связанных системах Ресслера.

1.2. Потеря синхронизации с запаздыванием в связанных хаотических системах.

1.3. Бифуркационный сценарий синхронизации хаоса через подавление собственной динамики.

1/1. Гомоклиничеекий механизм хаотической синхронизации.

1.5. Выводы по Главе 1.

2. Глава 2. Фазовая мультистабильность в связанных осцилляторах со сложным поведением.

2.1. Связь между мультисгабильностыо и синхронизацией в двух взаимодействующих системах Ресслера.

2.2. Дискретная модель для описания фазовой муль-тистабилыюсти.

2.3. Фазовая мультистабильность в системах с квазипериодическим воздействием.

2.1. Выводы по Главе 2.,

3. Глава 3. Особенности синхронизации нестационарных колебаний.

3.1 Синхронизация кардиоритма слабым звуковым и световым воздействием.

3.2 Синхронизация автоколебаний с медленно меняющейся частотой.

3.3 Синхронизация в системах с несколькими характерным временными масштабами разных типов.

3.4 Выводы по Главе 3.

Ярким проявлением самоорганизации в природе является синхронизация автоколебаний. Данное явление наблюдается в связанных или неавтономных автоколебательных системах и для периодических колебаний проявляется в характерной подстройке частот колебаний взаимодействующих систем (или частоты автоколебаний к частоте внешнего воздействия). В результате этой подстройки частоты колебаний становятся соизмеримыми (рационально связанными). Изучение особенностей этого явления представляется одной из актуальных задач современной нелинейной динамики, имеющей большое прикладное значение в науке и технике [1]-[10].

С развитием теории динамического хаоса и с принятием динамического хаоса в качестве парадигмы для изучения нерегулярного поведения целого ряда реальных систем [9, 10, 11, 12, 13], исследования, связанные с различными аспектами синхронизации хаоса, стали одними из наиболее приоритетных. Об этом свидетельствуют научные публикации по данной тематике, число которых увеличивается с каждым годом.

Впервые задача об исследовании взаимодействия хаотических осцилляторов была поставлена в работах [14, 15, 16, 17, 18], где изучалось изменение характера колебаний в связанных осцилляторах при изменении параметра связи.

Однако для хаоса проявление синхронизации уже не столь однозначно как в случае регулярных колебаний. Прежде всего это связано с непрерывностью спектра хаотических осцилляций. Действительно, в хаосе уже нельзя выделить период, как в случае периодических колебаний, или несколько характерных периодов, как в случае квазипериодических колебаний. Но, несмотря на это, синхронизация может проявляться, например, в сближении характера колебаний в парциальных ячейках [19, 20, 21, 137], в изменении размерности аттрактора в системе взаимодействующих генераторов [22, 23, 138, 139], в появлении функциональных связей между колебаниями в подсистемах (обобщенная синхронизация) [24, 25, 26] и т.д.

Наиболее сильное проявление синхронности наблюдается в системах связанных идентичных генераторов, для которых в фазовом пространстве характерно существование инвариантного многообразия, задаваемого условием xi=x2, где х^г - фазовые координаты первой и второй подсистем соответственно. Для таких систем было установлено, что с увеличением параметра связи, начиная с некоторого его значения, колебания в парциальных ячейках становятся полностью идентичными. Такой вид синхронизации стали называть полной синхронизацией хаоса.

Было обнаружено, что переход к синхронному поведению в системах с симметричным инвариантным многообразием происходит довольно сложным образом и сопровождается такими эффектами как "пузыре-ние" аттрактора (bubbling) [27], "изрешечивание" бассейнов притяжения (riddled basins) [28] и др. [29], [30], [140]. "Пузырящееся" поведение представляет собой вид перемежающейся синхронизации, которая индуцируется слабыми флуктуациями или незначительной расстройкой подсистем, и обусловлено переходом к негрубому режиму синхронизации. Негрубость в данном случае ассоциируется с тем, что режим синхронизации, который в отсутствие расстройки и флуктуаций может наблюдаться бесконечно долгое время, с малейшим возмущением системы мгновенно меняется на топологически иной режим, когда. участки синхронизации чередуются с быстрыми выбросами фазовой траектории в направлении, трансверсальном инвариантному многообразию. "Изрешечивание" бассейна притяжения состоит в том, что в малой окрестности симметричного хаотического аттрактора появляется множество начальных условий, стартуя с которых можно попасть на другие притягивающие множества.

Данные эффекты непосредственно связаны с бифуркациями седло-вых циклов, встроенных в синхронный хаотический аттрактор, что было продемонстрировано на примерах разных динамических систем [29, 31, 32, 33, 141].

Как правило, в большинстве работ, посвященных исследованию полной синхронизации, поведение осцилляторов рассматривалось лишь в небольшом диапазоне параметров, поскольку переход к такому типу синхронизации имеет место при достаточно большом значении параметра связи. Кроме того, наиболее детально исследовались маломерные дискретные модели. В связи с этим возникает целый ряд вопросов, касающихся общности сценария развития такого типа синхронизации. Например, неясна полная последовательность бифуркаций, сопровождающая переход от режима, когда колебания в подсистемах полностью совпадают, к независимым колебаниям при нулевой связи. Происходит ли такой переход сразу или постепенно - в несколько характерных стадий? Какие предельные множества участвуют в этих бифуркациях, как они формируются? Какова особенность потери синхронизации в многомерных потоковых системах с пространством параметров высокой размерности? Все эти вопросы требовали дополнительных исследований, часть которых описана в настоящей диссертационной работе.

В связанных хаотических системах с небольшой расстройкой при достаточно сильной связи может наблюдаться так называемая синхронизация с запаздыванием (lag synchronization) [34, 35, 36, 37, 142]. В этом случае осцилляторы демонстрируют практически полностью совпадающие реализации, сдвинутые по времени друг относительно друга: xi (t + т) = Х2 (t). Другими словами, реализация одной из систем как бы запаздывает относительно реализации другой системы на некоторое время т. Впервые это явление было описано в [34], где, кроме того, было показано, что с увеличением связи время запаздывания уменьшается, и системы стремятся к полной синхронизации. При этом с увеличением расстройки данный вид синхронизации разрушается, уступая место качественному иному режиму. Как показали последующие исследования, такой тип синхронизации является достаточно общим для различных систем [35, 36], в том числе и распределенных [37]. Однако остался открытым вопрос о механизмах реализации и потери такого типа синхронизации при изменении управляющих параметров.

Наиболее близко к классическому случаю периодических колебаний синхронизация хаоса проявляется в явлении захвата и подавления базовых частот для систем, хаотические колебания в которых возникли в результате каскада бифуркаций удвоения периода исходного цикла [38]. Спектр колебаний таких систем, как правило, содержит ярко выраженный пик на частоте, соответствующей периоду исходного предельного цикла. Эта частота и была названа "базовой". Было показано, что для разной степени связи в таких системах могут демонстрироваться оба классических механизма синхронизации.

Описание явления хаотической синхронизации возможно и на языке фаз. Впервые это было сделано в [39], где авторами был предложен метод корректного введения мгновенных фаз и амплитуд для хаотических колебаний, основанный на концепции аналитического сигнала [40, 41]. Было продемонстрировано, что даже в случае слабой связи, когда мгновенные амплитуды колебаний в подсистемах практически не коррелировали друг с другом, в определенном диапазоне расстроек для мгновенных фаз колебаний Ф^ было справедливо соотношение

ДФ| = \пФг - тФ2 -С\<е, (1) где С =< пФ\ — тФ2 >= const, а е « 2тг. Т.е. разность фаз слегка осциллировала около некоторого среднего уровня С с амплитудой, значительно меньшей, чем 27г. Авторы назвали такой тип синхронизации "фазовой синхронизацией хаоса". Общие проблемы различного введения фаз для сложных колебаний обсуждались в [42, 43]. Бифуркационный механизм фазовой синхронизации для случая слабой связи хаотических систем был детально исследован в работах [44, 45]. Было обнаружено, что захват фаз исчезает при столкновении сосуществующих хаотических устойчивого и неустойчивого множеств. Данный результат фактически прочерчивает аналогию между классическим механизмом захвата фаз в случае периодических колебаний и данным типом синхронизации хаоса. В [46] синхронизация через захват фаз исследовалась путем анализа встроенных седловых орбит. Аналогично случаю полной синхронизации, оказалось, что потеря фазовой синхронизации может полностью определяться бифуркациями седловых орбит, встроенных в аттрактор. Как выяснилось, граница области захвата фаз формируется накоплением линий седло-узловых бифуркаций для периодических орбит, формирующих "скелет" аттрактора. Можно видеть, что снова прорисовывается глубокая аналогия между классическим случаем и хаосом. И в том и другом случае переход от синхронного поведения к несинхронному сопровождается одним и тем же типом бифуркаций.

Таким образом, из-за особенных свойств хаотических колебаний, можно выделить целый ряд различных видов хаотической синхронизации и ее проявлений. Практически во всех случаях для систем с хаосом, родившимся в результате бифуркаций удвоения периода, синхронизация во многом определяется устойчивостью седловых орбит, встроенных в синхронный аттрактор. Однако, в общем случае остается неясным вопрос о взаимосвязи этих видов синхронизации, бифуркационной последовательности и механизмах их возникновения. Несмотря на аналогию между захватом фаз хаотических и периодических колебаний, в целом вопрос о применимости классических представлений о синхронизации к случаю хаотических колебаний остается открытым, поскольку до сих пор неясен механизм реализации синхронизации через подавление, а также не выяснена структура области синхронизации и ее границ. Этим проблемам посвящена первая глава данной работы.

Наряду с синхронизацией, мультистабильность, т.е. сосуществование множества аттракторов в фазовом пространстве, представляется типичным явлением для нелинейных систем. Как было показано в ряде работ (см., например, [47, 48, 49]), одним из условий появления мульти-стабильности является слабое взаимодействие связанных систем. При этом, даже если в отдельных системах мультистабильности не наблю-алось, то введение связи между ними приводило к возникновению того явления. В [47, 48] установлено что, если изменять управляю-ще параметры системы двух связанных осцилляторов так, чтобы для олебаний в парциальных подсистемах имел место каскад бифуркаций 'двоения, то при фиксированной связи система в целом демонстрирует елую иерархию бифуркаций, в результате которых возникают различные семейства аттракторов, в том числе и хаотических. В [49, 143], в частности, было показано, что этот вид мультистабильности структурно устойчив относительно расстройки основных частот. Было обнаружено, что мультистабильность начинает наблюдаться уже при взаимодействии осцилляторов, демонстрирующих двухтактные периодические автоколебания. В этом случае в фазовом пространстве имеют место два сосуществующих предельных цикла. Бифуркации этих режимов приводят в свою очередь к увеличению числа сосуществующих решений, а также к появлению и развитию хаотических режимов. Понятно, что данный вид мультистабильности напрямую связан с явлением синхронизации, поскольку, в сущности, сопряжен с появлением и сосуществованием синхронных режимов. Действительно, если в результате взаимодействия подсистем с периодической динамикой система в целом снова демонстрирует периодические колебания, то имеет место явление синхронизации. При этом сосуществующие режимы будут характеризоваться одним и тем же отношением п : т и разным фазовым сдвигом, т.е. константой С в (1). Более того, потеря полной хаотической синхронизации также связана с возникновением мультистабильности (см. Глава I).

Таким образом, очевидно, что изучение особенностей синхронизации слабого (многоленточного) хаоса напрямую связано с исследованием свойств сосуществующих аттракторов. Здесь возникает широкий круг задач, касающихся исследования устойчивости различных состояний и областей их существования, выявления внутренней структуры области синхронизации в целом и ее границ. Данным проблемам посвящена вторая глава диссертационной работы.

В [50] явление синхронизации впервые наблюдалось и в связанных стохастических бистабильных системах, что выражалось в увеличении когерентности стохастических колебаний в парциальных подсистемах. В [51] было обнаружено, что с помощью внешнего гармонического сигнала возможна синхронизация средней частоты выхода броуновской частицы из потенциальной ямы. При этом эффект наблюдался в коночном диапазоне частот внешнего воздействия. В [52, 53] эффект синхронизации переключений ассоциировался с эффективной фазовой синхронизацией, т.е. с возникновением длительных участков захвата фаз. Поскольку круг данных явлений касался согласования именно стохастических колебаний, он получил название стохастической синхронизации.

Обобщая вышесказанное, можно сделать вывод, что в целом синхронизация определяется как сближение некоторых временных масштабов, характеризующих колебания взаимодействующих систем или системы и воздействия. Этими масштабами могут быть как характерные времена, которым в спектре колебаний соответствует выраженный пик, например частота или базовая частота колебаний (назовем такие масштабы "динамическими"), так и определенные статистические характеристики, такие как время Крамерса ("статистические" временные масштабы). Наличие многих временных масштабов может привести к тому, что при конечном времени наблюдения в системе будут регистрироваться нестационарные колебания. Рассмотрим простой пример. Пусть исследуемая модельная динамическая система имеет несколько сосуществующих аттракторов, каждому из которых соответствует аттрактор в фазовом пространстве, имеющий определенный бассейн притяжения. Введение флуктуаций в такую систему может привести к возникновению статистических временных масштабов, например связанных со средним временем выхода из бассейна притяжения аттрактора. Колебательный режим в такой системе может носить нестационарный характер. Данному примеру соответствует большое число различных реальных систем, например нейронные цепи, оптические системы и т.д [54, 55, 56].

В настоящее время интенсивно развиваются направления исследований, связанных с изучением биологических сигналов (см., например [57]-[64],[144, 145]) и управлением внутренними процессами биологических систем [65, 66, 146, 147]. Среди них все больший интерес исследователей привлекают проблемы, касающиеся особенностей синхронизации процессов в биологических объектах. Результаты этих исследований могут быть использованы как для понимания различных физиологических явлений (см., например, [67]), так и для реализации управления различными характеристиками процессов, протекающих в живых системах [68, 69]. Сейчас можно сделать вывод, что синхронизация играет существенную роль в кардиоваскулярной системе (КВС) организма, в активности нервной и эндокринной систем и т.д. В частности, взаимосвязь между сердечным ритмом и дыханием исследовалась в [67, 70]. В [71] было установлено, что время от времени имеет место фазовая синхронизация между дыханием и сигналом электрокардиограммы, снимаемым с человека. В [72] демонстрировалось, что энцефалограммы, измеренные с различных участков мозга зачастую синхронны. Все эти примеры касаются взаимной синхронизации различных колебательных процессов в живых организмах. Другим направлением перспективных исследований стало изучение вынужденной синхронизации в биологических объектах. Например, в [68] исследовалась синхронизация сердечных сокращений посредством электрической стимуляции вагуса анестезированных собак. Нейман и др. [73] установили, что слабое внешнее шумовое воздействие может синхронизовать ансамбль нервных электрочувствительных клеток рыбы-весла. В [69] продемонстрировано, что периодическое изменение концентрации глюкозы в крови человека посредством инъекций приводит к синхронному изменению концентрации инсулина.

Измеряемые в ходе экспериментов сигналы биологической природы, фактически, представляют собой отражение сложных внутренних процессов, протекающих в живых системах. Зачастую такие процессы носят колебательный характер, при этом в общем случае имеют место нестационарные колебания.

В этой связи все более актуальной становится задача об особенностях синхронизации колебаний систем с многими характерными временными масштабами разного типа, как динамическими, так и статистическими. Эта проблема связана, например, с исследованием синхронности различных процессов в биологических системах. Очень часто биологические процессы имеют несколько характерных временных масштабов или, как иногда говорят, ритмов, причем их характерные времена (периоды) могут существенно (иногда на несколько порядков) различаться. Например, в электрокардиограмме человека наряду с основным ритмом (средний период порядка 1 сек) выделяют, кроме всего прочего, дневные, месячные и даже годичные ритмы [64]. Понятно, что при конечном времени наблюдения исследователь будем иметь дело с нестационарным сигналом. Таким образом, задача о синхронизации биологических процессов напрямую коррелирует с проблемой синхронизации нестационарных колебаний.

Вопросам, касающимся возможности синхронизации нестационарных колебаний, условиям возникновения и особенностям проявления данного явления посвящена третья глава настоящей диссертационной работы.

Сформулированные выше вопросы и задачи определили цель диссертационной работы, которая заключается

1. в выявлении бифуркационных механизмов различных типов синхронизации хаоса;

2. в исследовании особенностей синхронизации систем, демонстрирующих нестационарные колебания.

Для достижения указанной цели было необходимо решить следующие основные задачи:

1. Провести бифуркационный анализ потери полной синхронизации и синхронизации с задержкой. Исследовать их механизмы как в терминах периодических орбит, вложенных в аттракторы, так и на языке мгновенных фаз.

2. Исследовать особенности реализации хаотической синхронизации через подавление собственной динамики. На базе простой модели провести детальный анализ области перехода от несинхронного хаотического поведения к синхронному.

3. Выявить роль нелокальных бифуркаций при синхронизации хаоса в системах с аттракторами вблизи многообразий седловых множеств. Определить бифуркационную структуру областей синхронизации для таких систем.

4. Изучить особенности синхронизации во взаимодействующих системах, демонстрирующих многотактные периодические или многоленточные хаотические колебания. Исследовать бифуркационный сценарий возникновения фазовой мультистабильности в таких системах. Изучить области существования различных синхронных режимов.

5. Исследовать возможность синхронизации нестационарных колебаний слабым внешним воздействием в натурном эксперименте.

6. Исследовать синхронизацию взаимодействующих систем, динамика которых характеризуется несколькими временными масштабами.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. В первой главе исследуются механизмы различных типов хаотической синхронизации: полной, с задержкой и фазовой. Детально исследуется синхронизация хаотических колебаний через подавление собственной динамики. Описывается новый механизм фазовой синхронизации хаоса, реализация которого связана с гомокли-нической бифуркацией. Проведена аналогия между фазовой синхронизацией хаоса и классическим случаем синхронизации периодических колебаний. Вторая глава посвящена проблемам взаимной синхронизации систем, демонстрирующих многотактные периодические и многоленточные хаотические аттракторы. Приводится бифуркационный сценарий возникновения фазовой мультистабильности в таких системах, исследуются области существования различных синхронных режимов в плоскости управляющих параметров. В третьей главе изучается особенности синхронизации нестационарных колебаний. Изучается синхронизация автоколебаний системы, нестационарность которых связана с изменением во времени характерного временного масштаба. Экспериментально исследуется возможность синхронизации сердечного ритма человека последовательностью звуковых и световых импульсов. Описывается модельная динамическая система, способная демонстрировать сложное нестационарное поведение, которое может характеризоваться несколькими динамическими и статистическими вре

Основные результаты и выводы работы состоят в следующем:

1. При фазовой синхронизации хаоса реализуются те же механизмы, что и в классическом случае периодических колебаний, а именно: захват частот (фаз) и подавление собственной динамики. При этом с учетом реализации данных механизмов границы области синхронизации имеет качественно похожую, по сравнением с классическим случаем, структуру.

2. При синхронизации через подавление собственной динамики в случае хаотических колебаний область перехода образована накоплением линий бифуркаций рождения тора из седловых периодических орбит, встроенных в синхронный аттрактор.

3. Существует класс систем, для которых гомоклинический механизм является типичным механизмом синхронизации. Для случая хаотических колебаний данный механизм реализуется при столкновении несинхронного хаотического множества с седловой орбитой.

4. Слабое взаимодействие систем, динамике которых соответствуют многотактные циклы и многоленточные хаотические аттракторы, сопровождается возникновением мультистабильности. Каждый из сосуществующих состояний представляет собой синхронный в фазовом смысле режим, характеризующийся различными константами разности фаз. Области существования каждого из режимов образуют вложенную структуру, которая и определяет область синхронизации взаимодействующих систем.

- 158

5. Установлено, что при воздействии на человека последовательностью звуковых и световых импульсов слабой (не вызывающей резких физиологических изменений) интенсивности, возможна синхронизация сердечного ритма на временах превышающих 100 характерных сокращений. При этом воздействие может иметь как периодический, так и апериодический характер.

6. В ряде систем нестационарность реализаций отражается наличием нескольких различных временных масштабов, характеризующих как динамические, так и статистические свойства колебаний. При взаимодействии таких систем, с увеличением параметра связи происходит попарное сближение временных масштабов разных типов.

4 Заключение.

В диссертации исследовались возможные бифуркационные механизмы различных типов синхронизации хаоса, в системах с различными видами хаотических аттракторов. Изучались особенности синхронизации нестационарных колебаний на примерах систем, чья динамика определяется несколькими характерными временами, отражающими статистические и динамические свойства сигнала. Экспериментально исследовалась возможность синхронизации сердечного ритма слабым с физиологической точки зрения внешним воздействием.

1. Гюйгенс X . Три мемуара по механике.//(Под ред. К.К.Баумгарта) М.: Изд-во АН СССР, 1951.

2. Гапонов В.И. Два связанных генератора с мягким возбуждением.//ЖТФ. 1936. Т. 6, вып. 5. 801.

3. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степенейсвободы.// М.:Наука, 1980.

4. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем.// М: Наука,1971.

5. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике.// М: Наука,1981.

6. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний иволн.// М.: Наука, 1984.

7. Y. Kuramoto, Chemical Oscillations, Waves and Turbulence.//Springer, Berlin, 1984.

8. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. / /Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Горький, ИПФ РАН, 1989.

9. Е. Mosekilde, Topics on Nonlinear Dynamics.// World Scientific, Singapore, 1996.

10. Л. Гласе, M . Мэки. От часов к хаосу: Ритмы жизни.// М.: Мир,1991, 248 с.

11. Gleick J. CHAOS: Making a New Science.//1987, Viking, New York,N.Y.

12. Rapp P.E. Chaos in the neurosciences: Cautionary tales from frontier.// Biologist, 1993, V.40(2), P. 89-94. - 160

13. А. Goryachev and R. Kapral, Spiral waves in chaotic systems.// Phys.Rev. Lett., 1996, V . 76, P.1619.

14. Fujisaka H., Yamada T. Stability theory of synchronized motion incoupled-oscillator systems.// 1983, Prog. Theor. Phys., v. 69, p. 32.

15. Пиковский A . е . , 0 взаимодействии странных аттракторов.// 1983Препринт N 79, ИПФ АН СССР, Горький.

16. Pikovsky A.S. On the interaction of strange attractors.// Z. Phys.,1984 V. 55 B, P. 149 - 154.

17. Кузнецов СП., О критическом поведении одномерных цепочек.//Письма в ЖТФ, 1983, Т.9, N 2, 94-98.

18. Кузнецов СП. Универсальность и подобие в поведении связанныхсистем Фейгенбаума.// Изв. вузов - Радиофизика, 1985, Т.28, N 8, 991.

19. Веричев Н.Н. Взаимная синхронизация стохастических автоколебаний систем Лоренца.// Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Межвузовский сборник. Горький, 1986, 4757.

20. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическаясинхронизация колебаний в диссипативных системах.// Изв. вузов. Радиофизика. 1989. Т. 29, N 9, с. 1050-1060.

21. Прохоров М.Д. Виды колебаний диссипативно связанных систем судвоением периода при сильной связи.// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т.4. N4-5. С99-107.

22. Landa P.S., Rosenblum M.G. Synchronization and chaotization of oscillations in coupled self - oscillating systems.// Appl. Mech. Rev., 1993, V.46, P414 - 426.

23. I.I.Blekhman, P.S.Landa, M.G.Rosenblum Synchronization and chaotization in interacting dynamical systems.// Appl.Mech.Rev., 1995, V.48(ll), P 733-752. -161

24. Rulkov N.F., Sushchik M.M. , Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic sys tems.// Physical Review E, 1995, V.51, P. 980-995.

25. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M. . Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach.// Physical Review E, 1996, V.53, P.4528-4535.

26. Nijmeijer H., Blekhman Fradkov A.L. , Pogromsky A .Y . . Selfsynchronization and controlled synchronization.// In: Proceedings of the 1st International Conference on Control of Oscillations and Chaos, August 27-29, 1997, V. 1, P. 36-41.

27. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. Bubbling of attractors and synchronization of chaotic oscillators.// Phys. Lett., 1994, V.A193, P.126-139.

28. Alexander J.C., Kan I., Yorke J.A., You Z. Riddled basins.// Int. J.Bifurc. Chaos, 1992, V.2, P795-813.

29. Pikovsky A.S., Grassberger P. Symmetry breaking bifurcations forcoupled chaotic attractors.// J. Phys. A: Math. Gen., 1991, V.24, P4587-4597.

30. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. From attractor to chaotic saddle: atale of transverse instabihty.// Nonlinearity, 1996, V.9, P.703.

31. Kapitaniak T., Maistrenko Yu., Stefanski A., and Brindley J., Bifurcations from locally to globally riddled basins.// Phys. Rev. E, 1998, V. 57, P 6253.

32. Rulkov N.F. Images of synchronized chaos: Experiments with circuits.// Chaos, 1996, V.6, N 3, , P. 262 - 279.

33. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak T., Anishchenko V. Loss ofChaos Synchronization through the Sequence of bifurcations of Saddle Periodic Orbits.// Phys. Rev. Let., 1997, V.79(6), P1014-1017. - 162

34. М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, and J. Kurths. From phase to lagsynchronization in coupled chaotic oscillators.// Phys. Rev. Lett., 1997 V. 78, 4193-4195.

35. D.Y.Tang, R.Dykstra, M.W. Hamilton, and Heckenberg. Stages ofchaotic synchronization.// CHAOS, 1998, V.8(3), P. 697-701.

36. S. Taherion and Y.-Ch. Lai. Observability of lag synchronization ofcoupled chaotic oscillators.// Phys. Rev. Б., 1999, V.59. P. R6247R6250.

37. S. Boccaletti, J. Bragard, F. T. Arecchi, and H. Mancini. Synchronization in Nonidentical Extended Systems.// Phys. Rev. Lett, 1999, V. 83(3), P 536-539.

38. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, D.E. Postnov, and M.A. Safonova,Synchronization of Chaos.// Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng., 1992, V.2, P. 633.

39. M.G. Rosenblum, A.S. Pikovsky and J. Kurths. Phase synchronizationof chaotic oscillators.// Phys. Rev. Lett. 1996, v. 76, P.1804-1807.

40. Gabor, D. Theory of Communication,// Journal of Institute of Electrical Engineering (London), 1946, V. 93 P.429-457.

41. Вайнштейн Л.A., Вакман Д.Е., Разделение частот в теории колебаний и волн.// 1983, М., Наука, 287 с.

42. A.S. Pikovsky, M.G. Rosenblum, G.V. Osipov, and J. Kurths, PhaseSynchronization of Chaotic Oscillators by External Driving.// Physica D, 1997, V.104 (3-4), P 219-238.

43. Janson N.B., Pavlov A.N. , Neiman A.B. , Anishchenko V.S. Reconstruction of dynamical and geometrical properties of chaotic attractors from threshold-crossing interspike intervals.// Phys. Rev. E, 1998, V.58, P R4-R7. - 163

44. А. Pikovsky, G. Osipov, M . Rosenblum, M . Zaks, and J. Kurths,Attractor-Repeller Colhsion and Eyelet Intermittency at the Transition to Phase Synchronization.// Phys. Rev. Lett., 1997, V.79, 47.

45. E. Rosa, E. Ott, and M.H. Hess, Transition to phase synchronizationof chaos.// Phys. Rev. Lett, 1998, V.80, P. 1642-1645.

46. A.S. Pikovsky, M.A. Zaks, M.G. Rosenblum, G.V. Osipov and J.Kurths, Phase Synchronization of Chaotic Oscillations in Terms of Periodic Orbits.// CHAOS, 1997, V . 7(4), P. 680-687.

47. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н., Селезнев Б.П. Видыколебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах.// ЖТФ, 1990, т.60, N 10, с. 19-26.

48. J. Rasmussen, Е. Mosekilde, and Reick, Bifurcations in Two Coupled Rossler System.// Math. Сотр. Sim., 1996, V.40, P. 247.

49. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Astakhov V.V. , SosnovtsevaO.V., Wu C.W., Chua L.O. Dynamics of two coupled Chua's circuits.// Int. Journ. of Bifurcation and Chaos, 1995, V.5(6), P.16771699.

50. Neiman A.B. Synchronizationhke phenomena in coupled stochasticbistable systems.// Phys. Rev. E, 1994. V.49, P3484.

51. Shulgin B.V., Neiman A.В., Anishchenko V.S. Mean Switching Frequency Locking in Stochastic Bistable Systems Driven by Periodic Force.// Phys. Rev. Lett., 1995, V. 75, P. 4157-4160.

52. Silchenko, A., Kapitaniak, T. & Anischchenko, V.S. Noise-enhancedphase locking in stochastic bistable system driven by a chaotic signal.// Phys. Rev. E, 1999, V. 59, P. 1593-1599.

53. Neiman, A., Silchenko, A., Anishchenko, V.S. & Schimansky-Geier, L.Stochastic resonance: Noise-Enhanced phase Coherence.// Phys. Rev. E, 1998, V.58, P 7118-7125. - 164

54. J. Hertz, A. Krogh, R.G. Palmer. Introduction to the theory of neuralcomputation.// Addison-Wesley, New York, 1991.

55. J.A.S. Kelso. Dynamic Patterns: the self-organization of brain andbehavior.// The MIT Press, Cambridge, 1995, p. 198.

56. Brambilla, M. , Lugiato, L.A. and Penna, V. Variational principle forpattern selection, spatial multistability, and laser hydrodynamics.// Phys. Rev. A, 19991, V.43, P.5114-5120.

57. J. Qian, J.S. Barlow, and M.P. Beddoes. A Simplified Arithmetic Detector for EEC Sharp Transients-Preliminary Results.// IEEE Trans, on Biomed. Eng. 1988, V.35 (1), P l l -18 .

58. N.H. Holstein-Rathlou. Oscillations and Chaos in Renal Blood FlowControl.// J. Am. Soc. Nephrol, 1993, V.4, P.1275-1287.

59. B.R. Rosen, R.L. Buckner, and A . M . Dale. Event-related functionalMRI: Past, present, and future.// Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1998, V.95, P 773-780.

60. T. Schreiber and D. T. Kaplan Nonlinear noise reduction for electrocardiograms.// CHAOS 1996, V.6, P.87-92.

61. T. Schreiber Interdisciplinary application of nonlinear time seriesmethods.// Phys. Rep., 1999, V.2, P.308; chao-dyn/9807001

62. H.R. Moser, B. Weber, H.G. Wieser, P.P. Meier. Electroencephalograms in epilepsy:analysis and seizure prediction within the framework of Lyapunov theory.//Physica D , 1999, V. 130, P. 291-305.

63. Janson N.B., Pavlov A.N. , Anishchenko V.S. Thee method for restoring inhomogeneous attractors.// Int. Journal of Bifurcation and Chaos, 1998, V. 8, P. 825-833.

64. Баевский P.M. , Кириллов О.И., Клецкин З. Математическийанализ изменении сердечного ритма при стрессе.// Москва, Наука, 1984, 211 с. - 165

65. Garfinkel A., Spano M. , Ditto W., Weiss J. Controlling cardiacchaos.// Science, 1992, V.257, P.1230.

66. Schiff S.J., Jerger K. , Duong D.H., Chang Т., Spano M.L., Ditto W.L.Cozitrolhng chaos in the brain.// Nature, 1994, V.370, P.615-620.

67. Кузьменко В.A., Гуменюк В.A., Раевская О.С, Сыркина И.М. Соотношение между ритмом сердцебиения и дыханием в зависимости от состояния геомагнитного поля.// Физиология человека, 1982, Т.8, N.2, с. 199-202.

68. Yang, Т., Jacobstein, M.D., Levy, M.N. Synchronization of automaticcells in S-A node during vagal simulation in dogs. Am. J. Physiol., 1984, V.246, P. H585-H591.

69. J. Sturis, C. Knudsen, N .M. O'Meara, J.S. Thomsen, Б. Mosekilde,E.Van Cauter and K.S. Polonsky, Phase-locking regions in a forced model of slow insulin and glucose oscillations.// 1995, CHAOS, V . 5, P. 193 - 199.

70. Кузьменко В.A., Баданова A .M . , Сыркина И.М., Синхронизируюшее влияние сокрашения сердца на начало вдоха и выдоха при различных позах и режимах дыхания.// Физиология человека, 1980, Т. 6(5), с. 936-939.

71. Schäfer, С , Rosenblum, M.G., Kurths, J. &;Abel, Н.-Н. Heartbeatsynchronized with ventilation.// Nature, 1998, V. 392(6673) 239-240.

72. Tass, P., Rosenblum, M . C , Weule, J., Kurths, J., Pikovsky, A., Volkmami, J., Schnitzler, A., & Freund, H.-J. "Detection of n:m Phase 1.cking from Noisy Data: Application to Magnetoencephalography.// Phys. Rev. Lett., 1998, V. 81, P. 3291-3294.

73. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложение.//Т. 1, 2. М.: Мир. 1972.

74. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пудовочкин О.В., Селезнев Е.П. Фазовая мультистабильность и установление колебаний в нелинейных системах с удвоением периода.// Радиотехника и электроника, Т.38, N 2, 1993, 291 - 295.

75. Кузнецов Ю.А, Ланда П.С, Ольховой А.Ф., Перминов С М . Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах / / ДАН СССР. 1985. Т. 281, вып. 2. С 1164-1169.

76. Dykman С , Landa Р., Neimark Y . Synchronizing of chaotic oscillations by external force / / Chaos, Solitons and Fractals. 1992. V. 1, No 4. P. 339-353.

77. Van der Pol B. Theory of the amplitude of free and forced triodevibration.// Radio Rev. 1920. V. 1. P 701 - 710.

78. Андронов A.A. , Витт A.A. К теории захватывания Ван дер Поля.//Собрание тр. А.А.Андронова. М.: Изд-во АН СССР, 1956.

79. V.S. Anishchenko, Dynamical Chaos - Models and Experiment: Appearance Routes and Structure of Chaos in Simple Dynamical Systems/ / World Scientific, Singapore, 1995.

80. Franceschini V. Bifurcations of Tori and Phase Locking in a Dissipative- System of Differencial Equations.// Physica D., 1983, V. 6D (3), pp. 285 - 304. - 167

81. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V.,Wu C.W., Chua L.O. Dinamics of the non-autonomous Chua's circuit.// Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. V. 5(6). P. 1525 -1540.

82. M.A. Zaks, E.-H. Park, M.G. Rosenblum, and J. Kurths. Alternatinglocking ratios in imperfect phase synchronization.// Phys. Rev. Let., 1999, V.82, P4228-4231.

83. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах.// М.:Мир, 1968.

84. J. Guckenheimer and P.Holmes. Nonlinear Oscillations, DynamicalSystems, and Bifurcations of Vector Fields.// Springer-Verlag, New York, 1986, p. 459.

85. I.G. Kevrekidis, R. Aris and L.D. Schmidt. Forcing an entire bifurcation diagram: case studies and chemical oscillators.// Physica D, 1986, V. 23, P.391.

86. C. Knudsen, J. Sturis, and J. S. Thomsen, Generic Bifurcation Structures of Arnold's Tongues in Forced Oscillators.// Phys. Rev A , 1991, V. 44, P 3503 - 3510.

87. G. Baier, J.S. Thomsen and E. Mosekilde, Chaotic Hierarchy in aModel of Competing Populations.// J. Theor. Bio l , 1993, V . 163, P. 593 - 607.

88. Арнольд В.И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонансов.// Нелинейные волны/ Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. М.: Наука 1979. - 168

89. K.Kaneko, Collapse of Tori and Genesis of Chaos in Dissipative Systems.// World Scientific, Singapore, 1986.

90. T. Yalcinkaya, Y . C . Lai, Phase Characterization of Chaos.// Phys.Rev. Lett., 1997, V. 79, P. 3885-3888.

91. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.// М.: Наука, 1978.

92. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теориюнелинейных колебаний.// М.: Наука. 1987.

93. Мун Ф. Хаотические автоколебания.// М.: Мир, 1990. - 312 с.

94. J. Р. Crutchfield, J. D. Farmer, and В. A. Huberman, Fluctuationsand Simple Chaotic Dynamics.// Phys. Reps., 1982, V.92, P.45-82.

95. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем.// Письма в ЖТФ, 1989, т. 15, вьш.З, с.60-65.

96. Pécora L .M. , Carroll T.L. Synchronization in chaotic systems.//Phys. Rev. Lett., 1990, V. 64, P. 821 - 824.

97. C. Grebogi, E. Ott, S. Pelikan, J.A. Yorke. Strange attractors thatare not chaotic.// Physica D, 1984, V . 13, P. 261.

98. J.F. Heagy, S.M. Hammel. The birth of strange nonchaotic attractors./ /Physica D, 1994, V. 70, P. 140-153.

99. Feudel U, Pikovsky A.S. and J. Kurtlis. Strange nonchaotic attractorsin a quasiperiodically forced circle map.// Physica D, 1995, V. 88, P. 176-186.

100. Pikovsky A.S., Feudel U. Characterizing strange nonchaotic attractors.// CHAOS, 1995, V. 5, P 253-260.

101. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V. Mechanismsof ergodic torus destruction and appearance of strange nonchaotic attractors.// Phys. Rev. E, 1996, V. 53(5), P 4451 - 4457. - 169

102. Ramaswamy R. Synchronization of strange nonchaotic attractors.//Pliys. Rev. E, 1997, V. 56, R 7294 - 7296.

103. Hasler M. , Maistrenko Y . An introduction to the synchronization ofchaotic systems: coupled skew tent maps.// IEEE Transactions on Circuits and Systems, Fundamental Theory and Applications, 1997, V. 44, R 856.

104. E. Ott and J. C. Sommerer. Blowout bifurcations: The occurrenceof riddled basins and on-off intermittency.// Phys, Lett. A, 1994, V . 188, P. 39.

106. Стратонович P.Л. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехнике.// М.: Сов. радио, 1961. ИЗ. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах.// М.: Наука, 1968.

107. G. Leng, Pulsatility in Neuroendocrine systems// CRS Press, BocaRaton, FL, 1988.

108. W.F. Crowley and J.G. Hofler. The episodic of hormones// Wiley,New York, 1987.

109. Blamire, A .M. , Ogawa,S., Ugurbil, K. , Rothman, D., McCarthy, G.,Ellerman, J.M., Hyder, F., Rattner, Z.& Shulman, R.G. 1992, Proc. Natl. Acad. Sci. USA V.89, P. 11069-11073.

110. Kitney, R.I. 1975], Entratainment of the human RR interval by thermal stimuH, J. Physiol. (Lond), 1975, V. 252(2), P. 37P-38P

111. Takens, F. Detecting strange attractors in turbulence", in Dynamical Systems and Turbulence.// Warwick, 1980), eds. D.A. Rang and

112. S. Young, Lecture Notes in Mathematics Vol. 898 Springer-Verlag,Berlin, 1981, P. 366-381.

113. Ноздрачев A.Д. и др. Общий курс физиологоии человека и животных, т. 1. Физиология нервной, мускульной и сенсорной систем.// Под ред. А.Д. Ноздрачева. - М.: Выспгая школа. 1991.

114. А. Stefanovska and P. Króselj. Correlation Integral and FrequencyAnalysis of cardiovascular Functions.// Open Sys. к Informaion Dyn. 1997, V.4, P.457-478.

115. A. Stefanovska, M. Bracic. Reconstructing cardiovascular dynamics.// Control Engineering Practice, 1999, V.7, P. 161 - 172.

116. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы с инерционной нелинейностью.// ЖТФ. 1946, Т. 16, вып. 7. 845-854.

117. Капцов Л.П., Сенаторов К.Я. О работе RC-генератора пилообразных колебаний с инерционным активным двухполюсником.// Радиотехника и электроника, 1964, Т.9, в. 10, с. 1757.

118. Капцов Л.Н. Возникновение пичкового режима в неавтономномгенераторе с инерционной нелинейностью.// Радиотехника и электроника, 1975, Т.20, в. 12, C.2496.

119. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства хаоса в радиофизических системах.// М.: Наука, 1990. - 171

120. Шахгильдян В.В., Ляховский А.А. Системы фазовой автоподстрокичастоты.// М., Связь, 1972.

121. Фазовая синхронизация.// Под ред. В.В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной. М., Связь, 1975.

122. Пономаренко В.П., Заулин И.А. Роль инерционности и начального рассогласования в развитии колебательных режимов в бистабильной системе с фазовым управлением.// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3. N. 5. 26 - 34.

123. Постнов Д. Э., Никитин А. П., Анищенко В. Управление потоком вероятности в системе фазовой автоподстройки частоты.// 1996. Письма в ЖТФ. Т. 22. Вып. 9. 24 - 29.

124. Bartussek R., Hanggi P. and Kissner J. G. Periodically Rocked Thermal Ratchets.// Europhys.Lett. 1994, vol.28, pp.459-463.

125. Волковский A.P. , Рульков Н.Ф. Экспериментальное исследование бифуркаций на пороге стохастической синхронизации.// 1989, Письма в ЖТФ. Т. 15. Вып. 7. 5-10.

126. Clma L., М. Itoh., L. Kocarev and К. Eckert. Chaos synchronizationin Chua's circuit. Chua's Circuits: A Paradigmafor Chaos.// Ed. R.N. Madan. Singapore: World Scientific, 1993. PP. 309-324.

127. Г.Д.И. Абарбанель, М.И. Рабинович, A. Селверстон, М.В. Баженов, Р.Хуэрта, М.М. Сущик, Л.Л. Рубчинский. Синхронизация в нейронных ансамблях.// Успехи физических наук. 1996, Т. 166, N 4 , 365-390.

128. Анищенко B.C., Постнов Д. Э. Эффект захвата базовой частотыхаотических автоколебаний. Синхронизация странных аттракторов./ / Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14, вып. 6, с. 569. Публикации по теме диссертации. - 172

129. А.Г. Баланов. Количественный анализ хаотической синхронизации. / / Материалы XXXIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", раздел "Физика", 1995 с. 46.

130. А.Г. Баланов. Развитие гиперхаоса в модельных отображенияхмассива осцилляторов с глобальной связью.// Тезисы докладов Региональной научной конференции "Молодежь и наука на пороге XXI века", 4-5 апреля, 1998, с. 17-18.

131. Д.Э. Постнов, А.Г. Баланов. "Хаотическая иерархия" в простоймодели с дискретным временем.// Изв. вузов ,«ПНД», 1999, Т. 7, N 6, с. 26-34.

132. Т.Е. Vadivasova, O.V. Sosnovtseva, А.С. Balanov, V . V Astakhov.Desynclironization in coupled systems with quasiperiodic driving.// Phys. Rev. E., 2000, V.61(4), R 4618-4621.

133. B.B. Астахов, A.Г. Баланов, О.В. Сосновцева, Т.Е. Вадивасова.Потеря синхронизации хаоса в связанных системах Ресслера.// Изв. вузов ,«ПНД», 1999, Т. 7, N 5, стр. 26-32.

134. O.V. Sosnovtseva, A.G. Balanov, Т.Е. Vadivasova, V .V . Astakhovand E. Mosekilde. Loss of lag synchronization in coupled chaotic systems.// Phys. Rev. E, 1999, V. 60(6), P. 6560-6565.

135. Т.Е.Vadivasova, O.V.Sosnovtseva, A .G. Balanov V . V . Astakhov,Phase multistabihty of synchronous chaotic oscillations.// Discrete Dynamics in Nature and Society (принято к публикации).

136. Н.Б. Янсон, А.Н. Павлов, А.Г. Баланов, B.C. Анищенко. Задачареконструкции математической модели применительно к электрокардиограмме.// Письма в ЖТФ, 1996, Т. 22, вып. 16. с. 57-62.

137. D.E. Postnov, Т.Е. Vadivasova, O.V. Sosnovtseva, A . G . Balanov,V.S. Anishchenko, E. Mosekilde. Role of multistabihty in the transition to chaotic phase synchronization.// CHAOS, 1999, V. 9(1), P. 227-232.

138. Т.Е. Вадивасова, O.H. Сосновцева, A.Г. Баланов. Фазовая мультистабильность в системах с квазипериодическим воздействием.// Письма в ЖТФ, 1999, Т. 25, вып. 22, стр. 49-55.

139. Д.Э. Постнов, А.Г. Баланов, В.И. Черняков. Синхронизация ихаос в моделях динамики популяций.// Изв. вузов ,«ПНД», 1997, Т. 5, N 1, стр. 54-68. - 174

140. D.E. Postnov, A .G . Balanov and E. Mosekilde. Synchronization phenomena in an array of population dynamic systems.// Adv. Complex Systems, 1998, V. 1, P. 181-202.

141. Postnov D.E., Balanov A.G. , Janson N.B. and Mosekilde E., Homoclinic bifurcation as a mechanism of chaotic phase synchronization.// Phys. Rev. Lett., 1999, V.83, P. 1942-1945.

142. Anishchenko V.S., Balanov A.G. , Janson N.B., Igosheva N.B., Bordyugov G.V. Entrainment between heart rate and weak noninvasive forcing.//,(принято к публикации в Int. Jour. Bif. к Chaos).

143. V.S. Anishchenko, A .G. Balanov, N.B. Janson, N.B. Igosheva, G.V.Bordyugov. Synchronization of cardiorhythm by weak external forcing./ / Discrete Dynamics in Nature and Society (принято к публикации) .

144. Д.Э. Постнов, А.Г. Баланов. Синхронизация в хаотических системах со счетным числом состояний равновесия.// Изв. вузов ,«ПНД»,1997, Т. 5, N 1, с. 69-80.

145. Т.Е. Vadivasova, A .G. Balanov, O.V. Sosnovtseva, D.E. Postnov, E.Mosekilde. Synchronization in driven chaotic systems: diagnostics and bifurcations.// Phys. Lett. A, ,1999, V. 253, P. 66-74.

146. А.Г. Баланов, Т.Е. Вадивасова, Д.Э. Постнов, О.В. Сосновцева.Бифуркация синхронизации хаоса в осцилляторе Ресслера с гармоническим воздействием.// Изв. вузов ,«ПНД», 1997, Т. 5, N 5, с. 31-43.