Синхронизация и формирование структур во взаимодействующих системах с локальными связями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ШАБУНИН Алексей Владимирович

СИНХРОНИЗАЦИЯ И ФОРМИРОВАНИЕ СТРУКТУР ВО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СИСТЕМАХ С ЛОКАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

□ОЗОб1422

Саратов - 2007

Работа выполнена на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научный консультант: Доктор физико-математических наук,

профессор Астахов Владимир Владимирович

Официальные _

оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор Осипов Григорий Владимирович

Доктор физико-математических наук, профессор Байбурин Вил Бариевич

Доктор физико-математических наук, профессор Храмов Александр Евгеньевич

Ведущая организация: Институт радиотехники и электроники РАН,

г. Москва

Защита состоится 4 октября 2007 года в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г.Саратов, ул Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан 15 августа 2007 г. Ученый секретарь

Диссертационного совета хДг**^ Аникин В.М.

ОВЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Синхронизация колебаний взаимодействующих систем - одно из фундаментальных свойств природы, имеющее широкое применение в различных областях науки и техники В радиофизике работы по синхронизации начинаются в первой половине 20 века, когда было обнаружено явление захвата частоты колебаний триодного генератора периодическим сигнал лом В дальнейшем синхронизация в ансамблях радиофизических генераторов стала одной из ключевых проблем современной радиофизики. Дополнительный толчок к исследованиям этого явления дало открытие динамического хаоса, которое привело к созданию нового научного направления - синхронизация хаоса В настоящее время существуют две базовые концепции хаотической синхронизации обобщенная (В С Афраймович, П С. Ланда, Н Ф Рульков и др ) и частотно-фазовая (А С Пиковский, В С Анищенко, М.Г. Розенблюм и др.). В первом случае синхронными полагаются хаотические колебания, между временными pear лизациями которых существует некоторая детерминированная взаимосвязь xi(t) = G(x2(t)). Вторая концепция является обобщением синхронизации периодических генераторов, как явления захвата собственных частот и мгновенных фаз колебаний, на хаотические системы. Она, как правило, рассматривает синхронизацию в системах с непрерывным временем, в спектрах которых содержатся узкие пики на частотах, кратных базовой частоте (когерентный хаос).

Особый интерес в радиофизике представляют такие виды обобщенной синхронизации, как полная (G(x) = х) и противофазная (G(x) = —х) Они связаны с определенными свойствами симметрии динамических систем, следствием которых является существование в фазовом пространстве взаимодействующих осцилляторов инвариантных симметричных подпространств- I, х\ = для полной синхронизации и 1а х\ — —Х2 для противофазной синхронизации, в которых располагаются аттракторы, соответствующие синхронным колебаниям Явление полной синхронизации широко исследовалось учеными, начиная с 1983 года (X. Ямада и Т. Фуджисака, A.C. Пиковский, С.П. Кузнецов, B.C. Афраймович, Л Кэролл и Т Пекора и др). Было обнаружено, что оно наблюдается в широком классе систем при достаточно сильной связи. Для анаг лиза устойчивости синхронных режимов используются трансверсальные показатели Ляпунова, определяющие устойчивость синхронных колеба-

ний к возмущениям, трансверсальным к /». Позднее было показано (A.C. Пиковский, П Ашвин, Ю JI Майстренко), что трансверсальной устойчивости синхронного аттрактора может быть недостаточно для существования грубых режимов синхронизации хаоса, наличие в аттракторе трансверсально неустойчивых предельных множеств разрушает режим синхронизации через такие явления, как "пузырение аттрактора" и "изрешечивание его бассейна притяжения" При изучении явления полной синхронизации хаоса возникает ряд фундаментальных вопросов, касающихся, прежде всего, механизмов формирования и разрушения синхронных хаотических режимов Каким образом происходит переход от режима полной синхронизации хаоса к режиму несинхронных колебаний для такого широкого класса систем, как системы с удвоениями периода7 Существуют ли для подобных систем общие закономерности хаотической синхронизации, определяемые общим сценарием формирования хаотического аттрактора и типом связи, или же в каждой из них рассинхронизация происходит по-своему? Каков бифуркационный механизм разрушения синхронного хаоса? Как на этот механизм и наблюдаг емые явления влияют особенности поведения рассматриваемых систем (обратимость/необратимость, бистабильность/моностабильность)? Влияет ли на них неидентичность подсистем, которая нарушает симметрию и тем самым разрушает инвариантное подпространство'' Все эти вопросы представляются важными для понимания тех процессов, которые наг блюдаются в реальных системах самой разной природы, находящихся в режиме полной синхронизации хаоса Они также полностью актуальны и для другого вида обобщенной синхронизации - противофазной синхронизации хаоса

В ансамблях из нескольких элементов, наряду с полной может наблюдаться кластерная синхронизация В этом случае существуют наборы осцилляторов (кластеры), работающие в режиме полной синхронизации, но между самими кластерами данный вид синхронизации отсутствует Если число осцилляторов в ансамбле невелико, то вместо термина "кластерная синхронизация" принято использовать термин "частичная синхронизация" Частичная синхронизация рассматривалась в работах М Хаслера, Ю JI Майстренко, С Янчука, В Н. Белыха, А Погромского, А В. Таборова и др Однако, детальный бифуркационный анализ процессов формирования и разрушения полной и частичной синхронизации хаоса в системах с бифуркациями удвоения периода, связанных посредством взаимной диффузионной связи, не был сделан Каким образом

формируются режимы кластерной синхронизации, какие бифуркации принимают в этом участие? Как соотносятся на плоскости параметров режимы полной и частичной синхронизации7 Приводит ли увеличение длины цепочки осцилляторов к смене бифуркационного механизма рас-синхронизации? Решение данных вопросов представляются логическим продолжением анализа механизмов хаотической синхронизации в двух осцилляторах.

Кластерная синхронизация - один из случаев организации пространственно - упорядоченных структур в ансамблях из локально связанных осцилляторов. Пространственные структуры в системах с удвоениями периода являются естественным следствием процесса формирования в них фазовой мультистабильности, классическим примером которого является последовательное увеличение числа сосуществующих устойчивых периодических режимов в ходе каскада субгармонических бифуркаций в двух связанных осцилляторах (В В. Астахов, Б П Безручко, Е.П Селезнев и др ). В ансамблях из нескольких осцилляторов фазовая мульти-стабильность проявляется уже на этапе гармонических колебаний в виде режимов бегущих волн, при которых колебания в соседних элементах ансамбля имеют одинаковую форму, но отличаются на постоянный фазовый сдвиг Подобные режимы интенсивно исследовались в радиофизике, начиная с 70-х годов 20 века (А А. Мальцев, Ю М Романовский, П С. Ланда, А А Дворников, Г Б Эрментроут, В И Некоркин), как правило, на примере квазигармонических осцилляторов. Возможность появления новых эффектов при усложнении формы колебаний исследовалась в работе X Даидо [X Даидо, 1997], где им было обнаружено, что учет второй гармоники в уравнениях для фазовых осцилляторов, замкнутых в кольцо, приводит к появлению пространственно - разупорядоченных режимов, названных автором "странными волнами" Однако, система Даидо носит слишком искусственный характер используемая модель ангармоничности нетипична для реальных автогенераторов, у которых переход к релаксационным колебаниям сопровождается не столько ростом второй гармоники в спектре, сколько появлением все большего числа высших гармоник. Как влияет усложнение временной динамики в реальных осцилляторах на пространственную упорядоченность7 Как будет развиваться фазовая мультистабильность при постепенном усложнении формы колебаний от гармонических колебаний к релаксационным, либо от периодических к хаотическим7 Как меняется при этом структура пространства параметров7 Каков сценарий перехода от пространственно -

периодических режимов к пространственно нерегулярным? Все эти вопросы несомненно важны как с фундаментальной точки зрения, так и для различных приложений в радиофизике.

Исследование синхронизации и ее влияния на пространственную организацию взаимодействующих систем интересно не только с фундаментальной точки зрения, но и имеет существенное значение для многочисленных приложений Традиционно, радиофизические методы анализа сложных сигналов используются в химии, где ход химических реакций зачастую представляет собой сложный колебательный процесс, а распределение реагирующих веществ в пространстве реакций - пространственно - упорядоченные структуры Если реакции сопровождаются сильным перемешиванием или диффузией, то для их анализа обычно используется метод среднего поля, дающий модель в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Однако, для такого важного класса реакций, как автокаталитические реакции, протекающие на поверхности твердого катализатора, метод среднего поля дает слишком грубое описание. Здесь более адекватными являются подходы, учитывающие локальность реакций и неоднородность их компонентов в пространстве, например, методы вероятностного клеточного автомата (методы Монте-Карло) [Г Николис, А. Провата, Г Эртл, В. Жданов и др ] Динамика ансамблей клеточных автоматов включает в себя образование пространственно - упорядоченных структур (гомогенных кластеров) и их взаимодействие, результатом которого являются глобальные колебания средних концентраций участвующих в их образовании веществ Анализ таких моделей, включая их статистическое описание, дает возможность предсказать поведение хода реакций при изменении управляющих параметров и начальных концентраций, оценить влияние неоднородности распределения компонентов в пространстве реакций, а также, позволяет разрабатывать методы управление ходом реакций

Как уже было сказано выше до настоящего времени не выработано единого взгляда на процессы хаотической синхронизации. Разные подходы к ее определению, а также постепенный характер перехода от синхронных колебаний к несинхронным, делает особенно актуальным задачу количественного анализа синхронизации. Построение количественной меры хаотической синхронизации остается нетривиальной проблемой, несмотря на продолжающиеся с начала 90-х годов попытки разработать такую характеристику. Первыми работами в этом направлении можно,

-7-

1

по-видимому, считать работы П С Ланда [Ланда, 1992, Ланда, 1993], в которых для этой цели предлагалось использовать размерность аттрактора по отношению к его размерности в фазовом пространстве парциальной системы В дальнейшем появились и другие подходы к измерению хаотической синхронизации, которые базировались на определении взаимной информации между подсистемами [Р Квирога, П Грассбергер, 2002], измерении "близости" фазовых точек в синхронизируемой подсистеме, отвечающих соседним точкам в синхронизирующем осцилляторе (так называемый метод "нелинейных взаимозависимостей") [С Шифф, 1996, Ж Арнольд, 1999] Указанные методы основывались на непосредственном анализе временных реализаций сигналов, генерируемых взаимодействующими подсистемами С другой стороны, в радиофизике часто используется спектральный анализ сигналов, то есть переход от временного представления к частотным Соответственно, появились алгоритмы построения количественной меры синхронизации, основанные на анализе спектров сигналов, например, использующие анализ распределения разностей Фурье-фаз [А.Е Храмов, А А Короновский, 2005]

Представляется, что количественная характеристика синхронизации хаоса должна удовлетворять следующим требованиям- (а) универсальность, то есть применимость к разным видам синхронного поведения, (б) ясный физический смысл, позволяющий легко интерпретировать получаемые результаты; (в) инвариантность к виду конкретных уравнений, описывающих колебательную систему, (г) устойчивость по отношению к действию малых возмущающих факторов, таких как внешний шум или малые искажения генерируемых сигналов, неизбежно присутствующих в процессе измерения Она должна представлять собой вещественное число, принимающее значение в заданном интервале, едином для всех рассматриваемых динамических систем и видов синхронного поведения и, кроме того, желательно, чтобы ее расчет базировался на простых и устойчивых алгоритмах, позволяющих перевести задачу определения степени синхронизации хаоса из разряда научных проблем в разряд технических процедур На момент начала работы над диссертацией ни один из предлагаемых подходов не мог удовлетворить перечисленным выше требованиям, поэтому, проблема измерения степени хаотической синхронизации представляла несомненный интерес Решение этой задачи было бы существенным шагом на пути объединения разных подходов к явлению хаотической синхронизации в единую теорию синхронизации хаоса

Сформулированные выше вопросы и проблемы определили цель диссертационной работы, которая заключается в выявлении типичных закономерностей и бифуркационных механизмов синхронизации и формирования фазовой мультистабильпости в ансамблях осцилляторов с локальными связями, а также в разработке универсальных критериев для диагностики и количественного анализа хаотической синхронизации, позволяющих с единых позиций рассматривать разные проявления согласования хаотической динамики взаимодействующих автоколебательных систем

Научная новизна результатов

В диссертации впервые

• показано, что различные системы с дискретным временем, объединенные общим сценарием формирования хаоса через каскад бифуркаций удвоения периода и общим типом диффузионной связи, обладают также общим сценарием формирования и разрушения режима полной синхронизации хаоса, который практически не зависит от индивидуальных особенностей подсистем,

• проведен детальный бифуркационный анализ процесса разрушения синхронизации и формирования мультистабильности в связанных системах с дискретным временем, переход к хаосу в которых происходит через последовательность бифуркаций удвоения периода;

• выявлено влияние слабой неидентичности подсистем на бифуркации, ведущие к разрушению полной синхронизации,

• показано, что в диффузионно связанных отображениях с бифуркациями удвоения периода наблюдаются только регулярные противофазные колебания с любым периодом, поскольку противофазные хаотические колебания оказываются трансверсально неустойчивыми,

• исследован механизм формирования фазовой мультистабильности па базе противофазных колебаний,

• продемонстрирована возможность управляемой противофазной синхронизации хаоса в двух диффузионно связанных отображениях, исследован бифуркационный механизм управляемой противофазной синхронизации,

• проведен детальный бифуркационный анализ формирования и разрушения режимов полной и частичной синхронизации в кольце из дискретных отображений с симметричной диффузионной связью,

• построена структура областей существования пространственно - периодических режимов с разными длинами волн на плоскости параметров "связь - возбуждение" для ангармонических осцилляторов и выявлено качественное различие в устройстве пространства параметров для гармонических и негармонических автоколебаний;

• обнаружены и описано новое явление в ансамблях ангармонических осцилляторов, заключающееся в появлении на фоне волнового режима движущихся локальных сбоев фазы,

• проведен анализ закономерностей перехода к пространственному беспорядку от пространственной периодичности при усложнении формы колебаний в ходе каскада бифуркаций удвоения периода в кольце осцилляторов, показано, что разрушение пространственной упорядоченности связано с разрушением фазовой синхронизации хаоса между соседними осцилляторами;

• показана возможность принудительной синхронизации в цепочках конечной длины посредством высокочастотной модуляции параметра связи,

• предложен метод диагностики и количественного анализа хаотической синхронизации, основанный на усредненной по диапазону частот функции когерентности; показана его применимость для разных видов синхронного поведения и слабая чувствительность к искажениям экспериментальных данных,

• показана принципиальная разница в установлении режима хаотической синхронизации для систем с непрерывным и дискретным временем- в последнем случае в режиме когерентного хаоса отсутствует порог синхронизации по параметру связи;

• показана возможность диагностирования фазовой синхронизации посредством функции когерентности,

• предложен метод расчета степени синхронизации хаотических колебаний, основанный на нормированной функции взаимной информации. Показано, что этот метод дает возможность анализировать

разные виды синхронного поведения полную и фазовую синхронизацию хаоса, включая синхронизацию на гармониках

Научно-практическая значимость результатов

Проведенные исследования относятся, в основном, к фундаментальным проблемам радиофизики и нелинейной динамики Исследования, посвященные анализу образования структур в системах автокаталитических реакций, имеют, кроме того, и прикладное значение Научно-практическая значимость результатов заключается в том, что

• проведен детальный бифуркационный анализ и построены карты динамических режимов для ряда колебательных систем, представляющие интерес в радиофизике,

• предложен метод принудительной синхронизации противофазных хаотических колебаний и определены области значений параметров, где эта синхронизация реализуется,

• предложен и апробирован метод принудительной синхронизации хаотических колебаний в ансамбле осцилляторов посредством параметрического воздействия,

• разработан простой метод диагностирования и количественного анализа синхронизации хаоса, применимый для разных типов синхронизации,

• проведено сопоставление методов среднего поля и Монте-Карло для исследования динамики химических реакций на поверхности катаг литической решетки, показаны границы применимости метода среднего поля.

Результаты работы используются в учебном процессе в Саратовском государственном университете при чтении общих курсов ("Теория колебаний"), а также спецкурсов по специальности "радиофизика и электроника"

Достоверность научных выводов работы основывается на соответствии результатов теоретических исследований и численных экспериментов, на их воспроизводимости, на устойчивости применяемых методов к малым изменениям численной схемы, а также на их согласованности с имеющимися теоретическими представлениями

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Диффузионно связанные системы с удвоениями периода обладают общим сценарием разрушения полной синхронизации хаоса, который практически не зависит от особенностей индивидуальной динамики осцилляторов Разрушение полной синхронизации происходит через два промежуточных этапа "пузырящееся поведение" и "изрешечивание бассейна притяжения синхронного аттрактора". Бифуркационный сценарий этих явлений совпадает с механизмом формирования в данных системах фазовой мультистабильности.

2 В диффузионно связанных отображениях режим противофазной синхронизации наблюдается лишь для регулярных колебаний На плоскости параметров "связь - возбуждение" области устойчивости периодических противофазных колебаний сужаются по мере увеличения периода колебаний, и на пороге перехода к хаосу их ширина становится равной нулю

3 Для полной и противофазной синхронизации слабая неидентичность подсистем, а также малая асимметрия связи не меняет сценарий разрушения синхронизации и структуру фазового пространства в окрестности синхронного аттрактора, но меняет его бифуркационный механизм в части бифуркаций, обусловленных симметрией системы.

4 Индекс синхронизации, построенный на основе усредненной взвешенной функции когерентности может служить универсальной характеристикой для измерения разных типов синхронного поведения' полной, обобщенной или фазовой синхронизации. Данная характеристика нечувствительна к малым шумам и искажениям сигналов, имеющим место в процессе измерения.

5. Функция когерентности может служить средством диагностики фазовой синхронизации хаоса как для идентичных автоколебательных систем, так и систем с расстройкой по параметрам Данный метод позволяет уйти от использования расчета мгновенных фаз хаотических колебаний, которые нельзя корректно определить в случае развитого хаоса

Апробаиия работы и публикации

Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях 5-th international school on chaotic oscillations and pattern formation CHAOS-98, Saratov, Russia, October 6-10, 1998, 2-nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos", July 5-7, St Petersburg, Russia, 2000, международная межвузовская конференция "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ", Саратов, Российская Федерация, 20-24 марта 2001 г, 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation "CHAOS'Ol", Saratov, Russia, October 2-7, 2001, international conference "Synchronization of chaotic and stochastic oscillations", Saratov, Russia, September 22-28,2002, international conference "Physics and Control", S. Petersburg, Russia, Aug 20-22,2003, international conference "Physics and Control (PhysCon2005)", S Petersburg, Russia, Aug 20-22,2005, CECAM Woikshop on Dynamics at the Mesoscale Theory, Modelling and Experiments September 8-11, Lyon, France, 2004, VII международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур", 1-6 октября 2004 г. Саратов, научная школа-конференция "Нелинейные дни в Саратове для молодых", 2005, международная конференция молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов 2006" Москва

Результаты работы неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ, научно - образовательного центра нелинейной динамики и биофизики при СГУ, института физической химии национального научного центра республики Греция "Demokritos" (Греция, Афины), лаборатории нелинейной динамики Потсдамского университета (Германия), кафедры нелинейной динамики технического университета г Лодзь (Польша), кафедры нелинейных систем университета г Лозанны (Швейцария)

По материалам работы опубликовано 46 работ: 33 статьи в реферируемых научных журналах (из них 27 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских диссертаций), 4 статьи в сборниках международных научных конференций и 9 тезисов докладов Результаты работы использованы при выполнении госбюджетных тем "Радиофизика", "Радиофизика-2", "Радиофизика-3", при выполнении грантов РФФИ, совместного гранта министерства Образования и науки РФ и американского фонда развития гражданских исследований (CRDF)

Личный вклад автора

В большинстве публикаций, написанных в соавторстве [5, 7, 9-12, 14-

23, 25-28, 30-34, 36-42, 45], соискателю принадлежит постановка задачи, проведение теоретического и численного анализа. Во всех работах автор принимал активное участие в постановке задачи, в проведении исследований, в обсуждении и интерпретации результатов

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литераг туры. Она содержит 416 страниц, включая 155 рисунков Библиография содержит 216 ссылок на литературные источники.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется ее основная цель, приводятся положения, выносимые на защиту.

В первой главе исследуются закономерности полной синхронизации хаоса в системах связанных отображений с дискретным временем, переход к хаосу в которых происходит через каскад бифуркаций удвоения периода Рассматриваются разные динамические системы, со своими особенностями поведения, объединяемые общим сценарием формирования хаотического аттрактора и общим типом диффузионной связи между подсистемами

х(п-Ы) = /(*(«)) +7-/И»»))], t/(n + l) = /(»(n)) + 7[/(®(n))-/(y(n))]

где функция /(х) задает уравнения одиночной системы, в качестве которых рассматриваются

• f(x) = А — х1 (логистическое отображение),

• /(х) = (а — 1)х — ах3 (кубические отображения),

• 'м - ( it;?) )-{x'i+") <—■Эга)

Проведенные исследования показывают, что системы с удвоениями периода обладают общим сценарием процесса разрушения полной синхронизации хаоса В зависимости от параметра связи в системе наблюдав ются (а) режим сильной синхронизации, при котором синхронизация не чувствительна к действию малого шума, (б) режим слабой синхронизации, при котором синхронизация сохраняется только в идеальной системе при отсутствии шума, а добавление слабого шума приводит к так

называемому "пузырящемуся поведению" (длительные интервалы почти синхронных колебаний прерываются короткими интервалами рассинхро-низации), (в) режим изрешечивания бассейна притяжения синхронного аттрактора, (г) переход к несинхронному поведению через бифуркаг цию прорыва. Сопоставление расположения областей данных режимов на плоскости параметров "связь - возбуждение" с линиями бифуркаций основных периодических орбит позволили выявить бифуркационный механизм данного поведения Отмеченные явления являются следствием бифуркаций как периодических орбит, встроенных в хаотический аттрактор, так и орбит, находящихся на удалении от него. В частности, было обнаружено, что при уменьшении связи явление пузырения вызывается каскадом трансверсальных бифуркаций удвоения периода сед-ловых орбит основного семейства 2мС0 -» 2М+1С2Ы, N = 0,1,2,3, . , в результате которого орбиты становятся репеллерами, а в окрестности симметричного подпространства появляются седловые орбиты удвоенного периода для которых характерно отставание колебаний в одной из подсистем от колебаний во второй на пол-периода исходного цикла 2м. При дальнейшем уменьшении связи появившиеся несинхронные орбиты становятся устойчивыми через субкритическую бифуркацию вил, что приводит к явлению изрешечивания бассейна притяжения синхронного аттрактора В сторону увеличения связи разрушение синхронизации происходит через те же этапы, но их бифуркационный механизм меняется В частности, пузырящееся поведение начинается не с бифуркации удвоения периода, а с бифуркации вил орбиты периода один 1С0 —> 1 С\ + Шг, после которой она становится репеллером, а вне симметричного подпространства рождается две симметричные друг другу орбиты \С\ и 1Сг- Затем данные орбиты становятся устойчивыми через субкритическую бифуркацию удвоения периода Общие закономерности бифуркационного механизма приведены в таблице 1. Необходимо отметить, что указанный бифуркационный механизм полностью совпадает с механизмом образования фазовой мультистабильности в подобных системах.

В неидентичных отображениях разрушение синхронизации проходит через те же этапы, но их бифуркационный механизм меняется в части бифуркаций, обусловленных симметрией системы. Так, при увеличении связи, явление пузырения индуцируется теперь не бифуркацией вил орбиты 1С0, а седло-репеллерной бифуркацией. Механизм изрешечивания

| При уменьшении связи При увеличении связи

Начало "пузырения" 1С0 -> 2 С1 (удвоение периода основной орбиты) 1С0 1С! + 1 с2 (бифуркация вил основной орбиты)

Усиление "пузырения" 2пС° 2П+1С2" (удвоение периода остальных орбит) 2П(7° -> 2П+1С2" (удвоение периода остальных орбит)

Начало "изрешечивания" 2С1 2С} + 2С\ (бифуркация вил орбиты периода два [субкритическая]) 1^1,2 2(71,2 (удвоение периода несимметричных орбит [субкритическая])

Усиление "изрешечивания" 2 "+1С" -> 2"+1С" + 2"+1С£ (бифуркации вил орбит старших периодов [субкритические]) 2П+1С" -» 2"+1С" + 2 "+1С£ (бифуркации вил орбит старших периодов [субкритические])

Ткблица I- Таблица бифуркаций, ответственных за разрушение полной синхронизации в идентичных отображениях

бассейна аттрактора также определяется седло-узловыми бифуркациями, заменяющими для неидентичных подсистем бифуркации вил

В завершающей части главы рассматриваются закономерности полной синхронизации в системе логистических отображений с однонаправленной связью. Здесь разрушение синхронизации происходит только через этап пузырящегося поведения, за которым следует бифуркация прорыва, минуя стадию изрешечивания бассейна притяжения Бифуркационный пузырения совпадает с соответствующем механизмом для симметричной связи.

Таким образом, основные результаты данной главы могут быть сформулированы следующим образом.

1 Диффузионно связанные отображения с удвоениями периода обла-

дают общим сценарием разрушения полной синхронизации хаоса Особенности индивидуальной динамики осцилляторов (бистабиль-

ность, обратимость) практически не меняют ни сценарий, ни бифуркационный механизм рассинхронизации

2. Разрушение полной синхронизации происходит через два промежуточных этапа "пузырящееся поведение" и "изрешечивание бассейна притяжения синхронного аттрактора"

3 Бифуркационный сценарий этих явлений тот же, что и сценарий формирования фазовой мультистабильности

4 Малая неидентичность подсистем не влияет на сценарий рассинхронизации, но частично меняет бифуркационный механизм бифуркации вил меняются на седло-репеллерные и седло-узловые бифуркации

Вторая глава посвящена закономерностям формирования и разрушения режимов противофазной синхронизации хаоса Здесь рассматривал ютея как системы с дискретным временем, так и осцилляторы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями В первом случае исследования проводятся на примере кубических отображений, рассмотренных в предыдущей главе Проведенный анализ устойчивости позволяет записать выражение, связывающее трансверсальный (Л^) и тангенциальный (Лт) показатели Ляпунова для отображений с диффузионной связью Л_|_ = Лг—1п |1 — 27|, из которого следует, что при небольших положительных значениях связи трансверсальный показатель опережает тангенциальный, а следовательно: (а) каждая локальная бифуркация, сопровождающаяся сменой знака показателя Ляпунова, происходит дважды, вначале в нормальном к симметричному инвариантному подпространству направлении, а затем в тангенциальном; (б) любые синхронные хаотические предельные множества трансверсально неустойчивы. Двупараметрический бифуркационный анализ противофазных периодических орбит показал, что

• каждая из орбит рождается как седловая (трансверсально неустойчивая),

• орбита становится устойчивой через бифуркацию пил и теряет устойчивость через трансверсальную бифуркацию удвоения периода,

• в результате, после каждой из таких бифуркаций, рождается новая несинхронная орбита, на базе которой возникает свое семейство

регулярных и хаотических орбит (то есть происходит развитие фаг зовой мультистабильности),

• при увеличении периода область устойчивости сужается и на пороге перехода к хаосу "ширина" зоны устойчивости становится равной нулю,

• внутри хаотического множества все орбиты трансверсально неустойчивые.

Таким образом, в диффузионно связанных системах существуют противофазные регулярные колебания с любым периодом, однако, хаотические колебания оказываются трансверсально неустойчивыми Для того, чтобы обеспечить режим хаотической синхронизации используется метод управления хаосом, основанный на введении в систему дополнительной управляющей обратной связи:

*»+1 = /Ю+т(/(з/п)-/Ы) + г(/(хп) + /Ы), Уп+1 = /(»»)+7(/(®п)-/Ы)+М/(«п)+/Ы)

здесь г - коэффициент управляющей связи, 6 - параметр асимметрии связи Для системы с управлением связь между тангенциальным и транс-версальным показателями Ляпунова преобразуется к выражению- Л_]_ =

Лт + 1п

1+(1+Д)г

, а значит, всегда можно выбрать г, чтобы обеспечить

1-27

трансверсальную устойчивость синхронных движений. Проведенные эксперименты показывают, что выбирая соответствующее значение г, можно обеспечить переход от несинхронных хаотических колебаний к синхронным При изменении г наблюдается постепенное разрушение противофазной синхронизации, основные этапы которого и их бифуркационный механизм зависят от степени асимметрии связи 6 При симметричной связи (<5 = 1) процесс раСсинхронизации начинается с пузырящегося поведения, бифуркационный механизм которого совпадает с соответствующим механизмом для полной синхронизации Затем следует бифуркация прорыва Малая асимметрия (<5 ~ 1) не ведет к изменениям в наблюдаемых явлениях, но меняет бифуркационный механизм в части бифуркаций, обусловленных симметрией бифуркация вил заменяется на последовательность седло-репеллерной и транскритической бифуркаций. При сильной асимметрии (6 —> 0) та же последовательность бифуркаций приводит уже к явлению изрешечивания бассейна притяжения синхронного аттрактора

При исследовании противофазной синхронизации в осцилляторах с непрерывным временем рассматривается система связанных через емкость генераторов с отрицательным сопротивлением (цепь Чуа):

¿1,2 = «(2/и ~ <Р(.Х1,2))

У1.2 = х1,2 - Уг.2 + ^1,2 + 7((Я2,1 - 2:1,2) - (У2,1 - 1/1,2) + (22,1 ~ г1>2))

¿1,2 = ~РУ1,2

где <р(х) = 0 0625х3—0.166667х функция, определяемая вольт-амперной характеристикой отрицательного сопротивления. Исследования показывают, что противофазные колебания с наименьшим периодом существуют в широкой области значений связи. Усложнение формы колебаний в ходе каскада бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу влекут за собой существенное сужение зоны противофазной синхронизации: она наблюдается только при достаточно сильной связи. Выход за область трансверсальной устойчивости приводит к разрушению режима проти-вофазой синхронизации: для регулярных колебаний через бифуркацию потери симметрии, а для хаотических - через этап пузырящегося поведения, за которым следует бифуркация прорыва.

В третьей главе рассматриваются механизмы формирования и разрушения режимов полной и кластерной синхронизации в ансамбле отображений с диффузионной связью, а также - закономерности формирования фазовой мультистабильности в ансамблях осцилляторов с непрерывным временем. Механизмы полной синхронизации исследуются на примере замкнутых в кольцо логистических отображений:

а,(п +1) = /Ып)) + 0.5 7(/(*и-1(п)) + /(«м(п)) - 2/(х,(п))) г = 1,2,3

Обнаружено, что формирование режимов частичной синхронизации (когда синхронны два осциллятора из трех) происходит по бифуркационному сценарию, не связанному с разрушением полной синхронизации: они появляются в результате седло-узловых бифуркаций регулярных орбит, на базе которых через каскад бифуркаций удвоения периода формируются хаотические аттракторы, соответствующие условиям частичной синхронизации (Х|_1 = а:хф х,+1). Разрушение режимов частичной синхронизации хаоса при уменьшении связи происходит по тому же сценарию, что и рассмотренное ранее разрушение полной синхронизации в двух отображениях, то есть через последовательность пузырящегося поведения и изрешечивания бассейна притяжения, в соответствии с тем же бифуркационным сценарием

В ансамблях осцилляторов с непрерывным временем синхронизация колебаний приводит к формированию пространственно - периодических структур, таких как режимы бегущих автоволн. В диссертации исследуется типичность данных режимов по отношению к случайному выбору начальных условий, закономерности расположения областей существования режимов с разным пространственным периодом в пространстве параметров "связь - возбуждение", их эволюция при усложнении формы колебаний, взаимосвязь между временной динамикой и пространственной упорядоченностью. Рассматриваются следующие динамические системы (а) диффузионно связанные осцилляторы Ван-дер-Поля

¡с, - (е - + я, - у(х,+1 - 2х< -1- х,_1)

и (б) диффузионно связанные осцилляторы Чуа

х, = а(уг - (р(х,)), = + 7(у,-1 + У,-и -2у,), г, = -0у%

На примере первой системы исследуется эволюция режимов бегущих волн при переходе от гармонических колебаний к релаксационным, на примере второй - при переходе от гармонических колебаний к хаотическим через каскад бифуркаций удвоения периода. Основные результаты данного исследования могут быть сформулированы следующим образом:

1. В кольце связанных автогенераторов сосуществуют режимы бегущих вдоль кольца волн, пространственный период которых целое число раз укладывается вдоль цепочки. Данные режимы являются типичными для рассматриваемой системы, то есть они с большой вероятностью реализуются при случайном задании начальных условий.

2. Увеличение связи сужает бассейны притяжения более коротковолновых режимов за счет увеличения бассейнов более длинноволновых.

3 Усложнение формы колебаний периодических осцилляторов, как в ходе перехода от гармонических колебаний к релаксационным, так и в ходе каскада бифуркаций удвоения периода, не приводит к возникновению пространственного беспорядка.

4. Если колебания негармонические, то области существования пространственно - периодических режимов являются ограниченными в пространстве параметров, как по связи, так и по параметру возбуждения.

5 Переход к релаксационным колебаниям может приводить к новым эффектам, таких как сбои фазы колебаний осциллятора, движущиеся вдоль кольца с постоянной скоростью. При этом, колебания в ансамбле становятся квазипериодическими.

6. После перехода к хаосу строгая пространственная периодичность ■ колебаний заменяется "периодичностью в среднем", которая постепенно разрушается при разрушении фазовой синхронизации хаотических колебаний.

В четвертой главе рассматривается эффект полной синхронизации хат оса под действием периодического высокочастотного воздействия на элемент связи Как известно [П JI. Капица, 1951], высокочастотное воздействие на точку подвеса механического маятника может привести к устойчивости его верхнего состояния равновесия, то есть способно стабилизировать ранее неустойчивое состояние системы Проведенный в данной главе анализ показал, что аналогичного эффекта, а именно, стабилизации трансверсально неустойчивых синхронных колебаний, можно достичь, периодически меняя параметр связи, если частота модуляции будет достаточно велика. В качестве модели рассматривается два связанных осциллятора Дуффинга, находящихся под действием внешней вынуждающей силы и дополнительного источника шума.

Я1.2 = 2/1,2

у\,1 = -¿2/1,2 + осх 12 - /Зх312 + 7(i)(x2,i - Xli2) + Acos(uit) + V2D4l,2(t)

где параметр связи у меняется относительно среднего значения 70 по закону 7 = 7о + езгп(Ш), £1,2 - некоррелированные источники нормального шума. Параметры системы выбраны таким образом, чтобы при отсутствии параметрического воздействия (е = 0) обеспечить режим несинхронного хаоса. Исследования показали, что эффект синхронизации имеет нерезонансный характер Диапазон значений частоты воздействия, соответствующий режиму синхронизации, ограничен снизу минимальной частотой, которая должна быть в несколько раз выше характерной частоты хаотических колебаний. Соответствующий некоторой фиксированной частоте воздействия П диапазон значений амплитуды воздействия является ограниченным как сверху, так и снизу eml„ < е < етах Добавление внешнего шума в систему сужает область синхронизации чем больше интенсивность шума D, тем уже становится диапазон значений

амплитуды параметрического воздействия, необходимого для синхронизации Эффект синхронизации посредством модуляции параметра связи может быть применен и для ансамблей осцилляторов. Для анализа явления синхронизации в ансамблях рассматривалась цепочка из осцилляторов Дуффинга с периодическими граничными условиями. Установлено, что при определенных значениях амплитуды и частоты параметрическое воздействие может стабилизировать пространственно - однородные хаотические колебания, но только в цепочках конечной длины Максимальное число элементов цепочки, в которой возможна синхронизация, зависит от частоты параметрического воздействия При фиксированной частоте воздействия, с увеличением длины цепочки, верхняя и нижняя границы амплитуды воздействия етт и етах сближаются друг с другом, и начиная с некоторой максимальной длины, не существует значений амплитуды параметрического воздействия, при которой наблюдается синхронизация колебаний в ансамбле Указанные результаты получены методом теоретического анализа устойчивости синхронных колебаний в линейном приближении и подтверждены в ходе численных экспериментов Пятая глава носит прикладной характер. В ней методами нелинейной динамики исследуются системы химических реакций на двумерной каталитической решетке, проводится анализ формирующихся на решетке пространственных структур Моделирование реакций производится методом Монте-Карло, который является разновидностью вероятностного клеточного автомата. Рассматриваются бимолекулярные циклические реакции вида:

Х + У У + г ^ 2г, г + и Ь 2и, и + 25, Х + БЬ2Х, (1)

где X, У, Z, I/ - молекулы веществ, принимающих участие в реакциях, 5 - вакантное место на решетке ("дырка"), к, - кинетические константы, задающие относительные скорости реакций, а также четырех-молекулярные реакции.

2Х + 2У -Н ЗУ + 5, X + 5 ^ 2Х, У + 5 25 (2)

При моделировании реакций решетка сначала равномерно заполняется частицами, в соответствии с выбранными начальными концентрациями. Затем, на каждом микрошаге алгоритма случайным образом выбирается ячейка решётки и её ближайшие соседи В зависимости от того, какие частицы находятся в выбранных ячейках, может осуществиться одна из

указанных реакций, с вероятностью, пропорциональной соответствующей кинетической константе р, = к,/тах {кг км}. Данный алгоритм позволяет моделировать пространственно - временную динамику решетки, на основе которой посредством усреднения по пространству реакций можно получить временную зависимость для средних концентраций веществ на решетке- х(п) = (52^\Х%(п))/М (п - дискретное время, Хг -частица в клетке с номером г, М - размер решетки). Результаты моделирования методом Монте-Карло сопоставлялись с результатами метода среднего поля, который для систем без диффузии дает лишь очень грубое описание процессов на решетке Кроме того, для системы (1) исследовалось воздействие на поведение реакций слабого перемешивания компонентов Основные результаты пятой главы являются следующими:

1. При исследовании разных схем автокаталитических реакций одноимённые частицы образуют на поверхности двумерной решётки катализатора фрактальные структуры - кластеры Наблюдаемые в системе колебания концентраций реагентов являются результатом граничного взаимодействия этих кластеров Характеристики колебаний определяются формой, структурой взаимодействующих кластеров и их количеством.

2. Законы распределения кластеров по размерам различны для решеток малого и большого размера. Для решёток малого размера характерно распределение по степенному закону, в то время как в больших решетках к степенному закону распределения кластеров по размерам добавляется экспоненциально спадающая зависимость Такой вид распределения в больших решётках свидетельствует об одновременном протекании двух процессов на поверхности решетки формирование и взаимодействие кластеров в малом пространственном масштабе и перемешивание и суперпозиция несинхронных колебаний различных частей решётки в больших масштабах.

3. Добавление внешнего перемешивания в систему (1) приводит к синхронизации колебаний различных областей решётки, что в свою очередь ведёт к росту амплитуды и регулярности глобальных колебаний в системе. В зависимости от степени перемешивания можно наблюдать аналог бифуркации Андронова-Хопфа, реализующейся в динамических системах, в результате которой рождается зашумлён-ный устойчивый "предельный цикл". Амплитуда "предельного цикла" растёт с увеличением параметра перемешивания, пока значения

средних концентраций не выходят за рамки пороговых значений, соответствующих в модели среднего поля инвариантным многообразиям, образующим в фазовом пространстве замкнутый контур. После этого колебания в системе прекращаются, а поверхность решетки оказывается "отравленной" одним или двумя компонентами реакций

Шестая глава рассматривает проблему количественного анализа хаотической синхронизации. В ней предлагается два подхода к построению индекса синхронизации (а) основанный на функции когерентности и (б) использующий функцию взаимной информации В рамках первого подхода индекс синхронизации 5 определяется как отношение мощности когерентной части сигналов взаимодействующих подсистем к полной мощности сигналов

где Рх<у{ш) - спектры мощности, построенные по сигналам и у{£), аху (и>) - функция когерентности Из определения величины Б видно, что она принимает значения от нуля до единицы, причем 5 = 0 если когерентность между сигналами полностью отсутствует и 5 = 1 при полной когерентности на всех частотах. Формула (3) используется для количественного анализа процесса разрушения полной синхронизации хаоса в системе связанных логистических отображений

где /(я) = ах(1 — х), а также для анализа полной и фазовой синхронизации в связанных хаотических автоколебательных системах с непрерывным временем (осцилляторы Ресслера)

XI = -и>1У1-г1, у1=и>1Х1+ау1, ¿1 = Ь + г1(х1-с),

х2 = -Ш2У2 -г2 + у(х1 - х2), У2 = и2х2 + ауг» Ъ = Ъ + г2{х2 - с)

Проведенные исследования показывают, что зависимость индекса синхронизации от связи уверенно отслеживает разные стадии процесса разрушения хаотической синхронизации- от полной синхронизации до полностью несинхронного поведения Эта характеристика в точности равна

/о°° СР*М + ру(ш)) о-хуН<Ь

(3)

х(п + 1) = Дх(п)), у(п +1) = /(у(п) + 7(я(п) - у(п)))

единице на стадии полной синхронизации и стремится к нулю при переходе к несвязанным осцилляторам

В ходе количественного анализа синхронизации в режиме многоленточного хаоса было показано, что в системах с дискретным временем отсутствует порог хаотической синхронизации по связи Уровень синхронизации остается конечным и достаточно высоким при стремлении параметра связи к нули, более того, он сохраняется на этом уровне в вырожденном случае полностью несвязанных отображений Данная особенность поведения связана с дискретным характером времени, вследствие чего спектр мощности хаотических колебаний содержит "дельта-пики" на субгармониках, а следовательно во временных реализациях присутствует периодическая компонента [А С. Пиковский, 86]

Для определения чувствительности методики расчета индекса синхронизации к факторам, искажающим измеряемые сигналы, рассматривалось влияние на его значение (а) внешнего аддитивного шума, (б) задержки сигналов в каналах связи на постоянные временные интервалы = х(Ь — г)), (в) нелинейных искажений формы сигналов (и(<) = 0(х(Ь)) [в последнем случае, вместо полной синхронизации будет наблюдаться обобщенная синхронизация]. Исследования показали крайне слабую чувствительность к действию малого шума и небольших искажений сигналов и инвариантность по отношению к их временной задержке. Что же касается сильных искажений (функция б? перестает быть взаимно однозначной), то различие в индексе синхронизации для исходной и модифицированной систем велико, однако, граничные значения (5 = 0 и Й — 1) сохраняются. Отмеченные свойства дают возможность использовать индекс синхронизации 5 для анализа обобщенной синхронизации хаоса и синхронизации с задержкой.

Разрушение полной синхронизации в осцилляторах Ресслера приводит систему к режиму фазовой синхронизации хаоса. Как показали исследования, этот режим может быть легко диагностирован при помощи функции когерентности, а также функции £>(7), без расчета мгновенных фаз сигналов для когерентного хаоса в режиме фазовой синхронизации функция когерентности сохраняет свое максимальное значение на базовых частотах спектра, при этом индекс Я сохраняет близкое к единице значение и крайне слабо зависит от связи

Второй подход к построению количественного индекса синхронизации основан на функции взаимной информации I = Ну — Ну\х(Ну - энтропия Шеннона осциллятора у, Ну\х- условная энтропия). Он прямо следует из

определения обобщенной синхронизации хаоса, для которой, условная энтропия равна нулю, а следовательно, взаимная информация принимает свое максимальное значение, равное энтропии подсистемы. Нормируя взаимную информацию на это значение, получаем индекс синхронизации

М = 4- (4)

Ну

принимающий значение в интервале [0,1], причем нулевое значение свидетельствует о независимости состояний подсистем, а единичное - о режиме обобщенной синхронизации между ними

Посредством индекса синхронизации ц проводился количественный анализ разрушения полной синхронизации хаоса в уже рассмотренной выше системе однонаправленно связанных логистических отображений, который показал работоспособность формулы (4) Кроме того, рассматривалась возможность использования данного подхода для анализа фаг зовой синхронизации в осцилляторе Ресслера под внешним периодическим воздействием

х = — у — z + A cos Ш, у — х + ау, z — b + z(x — с)

Результаты исследований показали, что зависимость индекса синхронизации ц от частоты воздействия О носит резонансный характер, его значения резко возрастают на тех частотах, где наблюдается фазовая синхронизация, как на основной частоте, так и при рациональном соотношении частот т • п

В заключении приводятся основные выводы по диссертационной работе

Основные результаты и выводы

1. Разрушение полной синхронизации хаоса при изменении параметра связи во взаимодействующих системах с бифуркациями удвоения периода происходит через этапы негрубой синхронизации и изрешечивания бассейна притяжения синхронного аттрактора В основе этих явлений лежит тот же бифуркационный механизм, который ведет к образованию фазовой мультистабильности. Локальное изрешечивание хаотического аттрактора происходит в результате каскада трансверсальных бифуркаций удвоения периода, ведущих к образованию новых несинхронных седловых орбит, а изрешечивание

бассейна притяжения синхронного аттрактора - в результате бифуркаций вил этих седловых орбит, после которых они превращаются в аттракторы

2 Малая неидентичность связанных осцилляторов не изменяет качественно сценарий выхода из режима полной синхронизации, однако меняет бифуркационный механизм в той части, в которой в нем участвуют бифуркации, обусловленные симметрией системы (бифуркации вил) В несимметричном случае вместо бифуркации вил наблюдаются седло-репеллерная или седло-узловые бифуркации Замена бифуркационного механизма не сказывается на изменении структуры фазового пространства после бифуркаций

3. Противофазная синхронизация в диффузионно связанных системах с бифуркациями удвоения периода наблюдается только для периодических колебаний, причем области трансверсальной устойчивости уменьшаются с ростом периода орбиты, вырождаясь в линию для хаотических колебаний

4 Усложнение формы колебаний в ходе каскада бифуркаций удвоения периода противофазных орбит приводит к развитию фазовой мультистабильности, закономерности которой схожи с закономерностями развития фазовой мультистабильности на базе синфазных колебаний В этом случае также происходит последовательное увеличение в два раза числа сосуществующих периодических решений после каждого удвоения периода

5 Режим хаотической противофазной синхронизации можно обеспечить при помощи методов управления хаосом, основанных на введении дополнительной стабилизирующей связи между подсистемами Процесс выхода из режима синхронизации происходит по сценарию, который зависит от степени асимметрии управляющей связи. При симметричной и слабо несимметричной связи, разрушение противофазной синхронизации происходит через этап негрубой синхронизации, за которым следует бифуркация прорыва. При сильной асимметрии связи, включая однонаправленную связь, разрушение синхронизации осуществляется через этапы негрубой синхронизации и изрешечивания бассейна притяжения хаотического аттрактора

6 В кольце из трех отображений с симметричной диффузионной связью кроме полной синхронизации наблюдаются режимы частичной

синхронизации хаоса. Регулярные и хаотические режимы частичной синхронизации появляются на базе орбиты периода два через каскад тангенциальных бифуркаций удвоения периода. Каждый из таких режимов ограничен по параметру связи линией седло-узловой (для регулярных режимов) или седло-седловой бифуркации (для хаотических режимов) Каждая из орбит, участвующих в каскаде тангенциальных бифуркаций удвоения периода претерпевает бифуркацию удвоения периода еще и в трансверсальном направлении, что приводит как к локальной изрешеченности синхронного хаотического аттрактора, так и к появлению новых седловых режимов вне подпространства частичной симметрии Вновь появившиеся в результате трансверсальных бифуркаций удвоения периода несинхронные периодические орбиты впоследствии становятся устойчивыми, что приводит к развитию мультистабильности

7. В кольце связанных автогенераторов сосуществуют режимы бегущих вдоль кольца волн, пространственный период которых целое число раз укладывается вдоль цепочки. В квазигармоническом приближении области устойчивости бегущих волн неограничены, они наблюдаются при любых положительных значениях параметра возбуждения В цепочке ангармонических осцилляторов области существования пространственно - неоднородных режимов являются ограниченными как по параметру связи, так и по параметру возбуждения. Выход за границу области существования, если он происходит при больших значениях нелинейности и слабой связи, ведет к появлению в бегущей волне одного или нескольких фазовых сбоев, движущихся вдоль кольца каждый со своей скоростью

8. Режимы бегущих волн наблюдаются в ансамбле осцилляторов с бифуркациями удвоения периода на всем протяжении перехода к хаосу Зоны устойчивости этих режимов на плоскости параметров "связь - параметр возбуждения" представляют собой ограниченные области, расположенные таким образом, что области для более коротковолновых режимов оказываются включенными в области более длинноволновых. После перехода к хаосу строгая пространственная периодичность сменяется периодичностью "в среднем", которая постепенно разрушается при развитии временного хаоса или при уменьшении связи Разрушение пространственной периодичности колебаний связано с разрушением фазовой синхронизации хао-

тических колебаний.

9 Возможна принудительная синхронизация хаотических колебаний посредством высокочастотной модуляции коэффициента связи. Данный эффект наблюдается в ограниченной области управляющих параметров на плоскости частота модуляции - амплитуда модуляции Внутри это области бистабильная система демонстрирует высоко когерентный процесс переключений между состояниями системы. Найденный эффект не зависит от природы колебаний осциллятора. Он наблюдается и при динамической и при шумовой природе переключений Параметрическое воздействие позволяет также осуществлять синхронизацию хаоса в цепочках осцилляторов, но только при конечной длине цепочки

10 Функция когерентности является мощным средством для анализа явления хаотической синхронизации Индекс синхронизации, построенный на ее основе может применяться для измерения и диагностики различных типов синхронного поведения полной, обобщенной или фазовой синхронизации. В последнем случае функция когерентности дает возможность диагностировать синхронизацию и при отсутствии расстройки между осцилляторами Проведенный анализ показал принципиальное отличие синхронизации в системах с непрерывным и дискретным временем Если в первом случае индекс синхронизации всегда равен нулю при нулевой связи, то в случае дискретных отображений он может оставаться на некотором положительном уровне даже при полном отсутствии связи.

Публикации по теме диссертации

1. Astakhov V., Shabumn A., Kapitamak T., Amshchenko V Loss of chaos synchronization through the sequence of bifurcations of saddle periodic orbits // Phys Rev. Lett, 1997, v 79, N 6, pp. 1014-1017

2 Астахов В В., Шабунин А В Синхронизация хаотических осцилляторов посредством периодической модуляции коэффициента связи // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 1997, т 5, стр. 15-29

3. Astakhov V.V, Shabumn A.V. Mechanism of chaos synchronization loss in coupled systems. // Proceedings of 5-th international school on

chaotic oscillations and pattern formation CHAOS-98, Saratov, Russia, October 6-10, 1998, pp 17-18.

4 Astakhov V., Hasler M , Kapitaniak T , Shabunin A , Anishchenko V. Effect of parameter mismatch on the mechanism of chaos synchronization loss in coupled systems. // Phys. Rev. E, 1998, v. 58, N5, pp 5620-5628.

5 Astakhov V., Shabunin A., Anishchenko V. Synchronization of self-oscillations by parametric excitation // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1998, v 8, N 7, pp 1605-1612

0 Astakhov V, Kapitaniak T , Shabunin A., Anishchenko V Non - bi-furcational mechanism of loss of chaos synchronization m coupled non-identical systems // Phys. Lett A, 1999, v 258, pp 99-102.

7 Астахов B.B., Шабунин A.B., Анищенко B.C. Механизмы разрушения хаотической синхронизации в системе связанных кубических отображений // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динаг мика, 1999, т. 7, N 2,3, стр 3-11.

8 Astakhov V., Shabunin A., Anishchenko V. Chaos synchronization destruction in symmetrically coupled chaotic oscillators with period - doublings // Proceedings of 2nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos", v 3, St. Petersburg, Russia, July 5-7, 2000, pp. 484-485

9 Анищенко В С , Астахов В В , Николаев В В , Шабунин А.В Исследование хаотической синхронизации в системе симметрично связанных генераторов // Радиотехника и электроника, 2000, т 45, N 2, стр. 196-203

10. Astakhov V., Shabunin A., Anishchenko V Antiphase synchronization in symmetrically coupled self-oscillators. // Int J. of Bifurcation and Chaos, 2000, v. 10, N 4, pp 849-857

11. Астахов B.B., Шабунин A.B., Стальмахов П А., Климшин А.В. Управляемая противофазная синхронизация хаоса в связанных кубических отображениях // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 2000, т 8, No 4, стр. 91-102.

12 Шабунин А.В , Демидов В.В., Астахов В.В , Анищенко В С. Количество информации как мера синхронизации хаоса // Письма в ЖТФ, 2001, т 27, N И, стр. 78-85.

13 Astakhov V., Shabumn A , Uhm W , Kim S., Multistability formation and synchronization loss in coupled Hennon maps- Two sides of the single bifurcations! mechanism. // Phys Rev. E, 2001, v. 63, p 056212

14. Shabumn A.V., Astakhov V V , Anishchenko V.S Regular and chaostic traveling waves m a ring of Chua's self-oscillators // Материалы международной межвузовской конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ", Саратов, Российская Федерация, 20-24 марта, 2001 г, стр 176-178

15 Астахов В В., Шабунин А В , Акопов А А , Анищенко В С Исследование пространственно - периодических режимов в кольце регулярных и хаотических осцилляторовю // Proceedings of 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation "CHAOS'Ol", Saratov, Russia, October 2-7, 2001, pp 49-50.

16. Астахов В В , Шабунин А В , Стальмахов П.А. Бифуркационные механизмы потери противофазной синхронизации хаоса в связанных кубических отображениях // Proceedings of 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation "CHAOS'Ol", Saratov, Russia, October 2-7, 2001, p 50

17. Шабунин A.B., Демидов В В , Астахов В В., Анищенко В.С Применение методов символической динамики к исследованию количественной меры синхронизации хаоса // Proceedings of 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation "CHAOS'Ol", Saratov, Russia, October 2-7, 2001, pp 112-113

18 Shabumn A , Efimov A , Provata A. Chaotic dynamics of chemical reactions in low dimensional substrate Mean-Field and Monte-Carlo approaches // Abstracts of International conference "Synchronization of chaotic and stochastic oscillations", Saratov, Russia, September 2228, 2002, p. 53

19 Shabumn A, Demidov V., Astakhov V., Anishchenko V. Information theoretic approach to quantify complete and phase synchronization of chaos // Phys. Rev E, 2002, v 65, p. 056215

20 Shabumn A , Astakhov V., Anishchenko V Developing Chaos on Base of Traveling Waves m a Chain of Coupled Oscillators with Period-Doubling Synchronization and Hierarchy of Multistability Formation // Intel J of Bifurcation and Chaos, 2002, v. 12, N 8, pp 1895-1908

21. Astakhov V , Shabunm A., Stalmakhov P. Multistability, in-phase and anti-phase chaos synchronization m period-doubling systems // Известия ВУЗов Прикладная Нелинейная динамика, 2002, т. 10, N 3, стр. 63-79

22. Shabunm A., Baras F , Provata A. Oscillatory reactive dynamics in surfaces A lattice limit cycle model. // Phys Rev E, 2002, v. 66, p 036212

23. Astakhov V., Shabunm A., Klimshm A, Amshchenko V In-phase and antiphase complete chaotic synchronization in symmetrically coupled discrete maps. // Discrete Dynamics in Nature and Society, 2002, v 7, pp. 215-229

24 Sosnovtseva О V , Astakhov V V , Shabunm A V. , Stalmakhov P.A. Parametrically induced stochastic synchronization. // Proceedings of International conference "Physics and Control", S Petersburg, Russia, Aug 20-22, 2003, pp 577-581

25. Shabunm A , Astakhov V , Demidov V , Provata A , Baras F., Nicohs G., Amshchenko V. Modeling chemical reactions by forced limit-cycle oscillator synchronization phenomena and transition to chaos // Chaos, solitons and fractals, 2003, v 15, pp 395-405.

26. Provata A., "Ifcekouras G A , Diakonos F., Frantzeskakis D, Baras F, Shabunin A V , Astakhov V.V. Fluctuation-Induced Local Oscillations and Fractal Patterns in the Lattice Limit Cycle Model. // Fluctuation and Noise Letters, 2003, v. 3, N 2, pp L241-L250

27. Tsekouras G.A , Provata A., Baras F., Shabunin A , Astakhov V., An-lshchenko V., Frantzeskakis D., Diakonos F Waves and their interactions in the lattice Lotka-Volterra model // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 2003, т 11, N 2, стр. 63-71

28. Efimov A., Shabunin А , Astakhov V , Provata A. Chaotic dynamics of chemical reactions m low-dimensional substrates- Mean-Field and Monte-Carlo approaches. // Известия ВУЗов- Прикладная нелинейная динамика, 2003, т 11, N 2, стр. 72-80.

29. Акопов А А , Астахов В.В , Шабунин А.В. Динамика модели взаимодействующих нейронов в виде связанных дискретных отображе-

ний // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 2003, т 11, N 1, стр 19-35

30. Shabunin А , Astakhov V , Akopov A. Evolution of running waves to spatio-temporal chaos- Interaction of temporal and spatial dynamics in a ring of period-doubling self-oscillators. // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 2003, v 11, N 3, pp. 31-37.

31 Ефимов А.В , Шабунин А В. Процессы кластерообразования в химически активных средах. // Материалы VII международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур", 1-6 октября 2004 г. Саратов, изд. ГосУНКЦ "Колледж", стр. 133-134

32 NikolaevS.M , Shabunm А V, Astakhov VV Multistabihty of partially synchronous regimes in a system of three coupled logistic maps // Proceedings of International conference "Physics and Control (PhysCon 2005)", St. Petersburg, Russia, Aug 20-22, 2005, pp 169-173

33. Shabunin A , Astakhov V., Akopov A , Vadivasova T Running waves in a ring of Van-der-Pol oscillators role of anharmomsity. // Proceedings of International conference "Physics and Control (PhysCon2005)" , St. Petersburg, Russia, Aug. 20-22, 2005, pp. 389-392

34 Shabunin A V., Efimov A , Tsekouras G.A., Provata A Scaling, cluster dynamics and complex oscillations in a multispecies Lattice Lotka -Volterra Model. // Physica A, 2005, v 347, pp. 117-136

35 Akopov A , Astakhov V., Vadivasova Т., Shabunin A , Kapitamak T. Frequency synchronization of clusters m coupled extended systems // Physics Letters A, 2005, v. 334, pp. 169-172.

36 Shabunin A., Astakhov V , Kurths J. Quantitative analysis of chaotic synchronization by means of coherence // Phys. Rev. E, 2005, v. 72, p 016218

37. Шабунин A.B., Акопов А А., Астахов В В., Вадивасова Т.Е. Бегущие волны в дискретной ангармонической автоколебательной среде // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 2005, т 13, N 4, стр 37-54

38. Шабунин А.В., Николаев С.М., Астахов В.В. Двухпараметрический бифуркационный анализ режимов полной синхронизации хаоса в

ансамбле из трех, осцилляторов с дискретным временем // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 2005, т 13, N 5-6, стр 24-39.

39 Шабунин А В , Николаев С М , Астахов В.В Двухпараметрический бифуркационный анализ формирования и разрушения режимов частичной синхронизации хаоса в ансамбле из трех осцилляторов с дискретным временем // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 2005, т 13, N 5-6, стр 40-55

40 Ефимов А В , Шабунин А В Синхронизирующее влияние внешнего перемешивания на динамику ансамбля стохастических осцилляторов в системе (4+1) Lattice Lotka^Volterra // Материалы научной школы-конференции Нелинейные дни в Саратове для молодых,

2005, изд ГосУНКЦ "Колледж", стр. 96-99.

41. Ефимов A.B., Шабунин A.B. Формирование и развитие пространственных структур в системе химических реакций на каталитической решетке- моделирование методом Монте-Карло // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 2006, т 14 , N 2, стр 47-63.

42. Ефимов А В , Шабунин А В. Влияние внешнего перемешивания на динамику ансамбля осцилляторов в системе Lotka-Volterra // Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов 2006",

2006, т 2, стр 90-91

43 Астахов В В , Стальмахов П А , Шабунин А В Противофазная синхронизация и формирование мультистабильности в симметрично связанных бистабильных системах // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 2006, т. 14, N 6, стр 112-126

44. Астахов В В , Стальмахов П А , Шабунин А В Бифуркационные механизмы разрушения противофазной синхронизации хаоса в связанных системах с дискретным временем // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 2006, т 14, N 6, стр 100-111.

45. Шабунин А.В , Николаев С М , Астахов В В., Стальмахов П А. Полная и обобщенная синхронизация хаоса в системе трех взаимодействующих отображений. // Радиотехника и электроника, 2007, т 52, N1, стр 77-84.

-3446 Астахов В В , Шабунин А В., Стальмахов П А Влияние асимметрии связи на бифуркационные механизмы разрушения противофазной синхронизации хаоса // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 2007, т. 15, N 2, стр 40-54

ШАБУНИН Алексей Владимирович СИНХРОНИЗАЦИЯ И ФОРМИРОВАНИЕ СТРУКТУР ВО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СИСТЕМАХ С ЛОКАЛЬНЫМИ

СВЯЗЯМИ Автореферат

Ответственный за выпуск профессор, д.ф -м н. Вадивасова Т Е

Подписано в печать 5 июня 2007 г

Тираж 150 акз Объем 2 печ.листа

Введение

1 Механизмы формирования и разрушения режимов полной синхронизации хаоса

1.1 Введение

1.2 Исследование синхронизации в диффузионно связанных логистических отображениях

1.2.1 Исследуемая система, свойства симметрии и анализ устойчивости синхронных колебаний.

1.2.2 Этапы разрушения синхронизации хаоса.

1.2.2.1 Разрушение хаотической синхронизации при уменьшении коэффициента связи.

1.2.2.2 Разрушение хаотической синхронизации при увеличении коэффициента связи.

1.3 Влияние неидентичности подсистем на разрушение хаотической синхронизации

1.3.1 Исследуемая система, предельные множества и аттракторы синхронных колебаний.

1.3.2 Динамика в окрестности полосы синхронизации.

1.3.3 Бифуркации периодических орбит, ответственные за десинхрониза-цию колебаний.

1.4 Двупараметрический анализ формирования и разрушения синхронизации хаоса в связанных бистабильных системах.

1.4.1 Исследуемая система и ее свойства.

1.4.2 Анализ синхронных колебательных режимов.

1.4.3 Бифуркационные механизмы разрушения полной синфазной синхронизации хаоса

1.4.4 Бифуркационные механизмы формирования мультистабильности в окрестности синфазного подпространства.

1.5 Закономерности формирования мультистабильности и разрушения синхронизации в связанных обратимых отображениях.

1.5.1 Динамика связанных отображений Эно.

1.5.2 Бифуркационный анализ разрушения хаотической синхронизации и формирования мультистабильности.

1.6 Мультистабильность и синхронизация хаоса в отображениях с однонаправленной "внутренней" связью.

1.6.1 Исследуемая система, синхронные колебания и их устойчивость

1.6.2 Двупараметрический бифуркационный анализ основного семейства периодических орбит.

1.6.3 Механизм формирования мультистабильности.

1.6.4 Последовательность разрушения синхронизации хаоса.

1.7 Выводы по главе.

Механизмы формирования и разрушения противофазной синхронизации

2.1 Введение

2.2 Противофазная синхронизация и фазовая мультистабильность в бистабиль-ных осцилляторах с диффузионной связью

2.2.1 Исследуемая система, свойства симметрии и устойчивость противофазных решений.

2.2.2 Бифуркации синхронных колебаний

2.2.3 Формирование мультистабильности в окрестности инвариантного подпространства

2.3 Управляемая противофазная синхронизация хаоса.

2.3.1 Исследуемая система и устойчивость противофазных колебаний

2.3.2 Синхронизация развитого хаоса.

2.3.3 Бифуркационный механизм потери управляемой противофазной синхронизации

2.4 Влияние асимметрии связи на бифуркационные механизмы разрушения противофазной синхронизации хаоса.

2.4.1 Исследуемая система и устойчивость синхронных колебаний.

2.4.2 Бифуркационный сценарий разрушения синхронизации при малой асимметрии связи.

2.4.3 Изменения в механизме разрушения синхронизации с ростом асимметрии

2.4.4 Эволюция структуры бассейна притяжения хаотического аттрактора с увеличением асимметрии управляющей связи.

2.5 Противофазная синхронизация хаоса в симметрично связанных автогенераторах

2.5.1 Исследуемая система.

2.5.2 Эволюция синхронных колебаний и их устойчивость.

2.5.3 Разрушение синхронных режимов.

2.6 Выводы по главе.

Синхронизация и формирование пространственных структур в ансамблях локально связанных осцилляторов

3.1 Введение

3.2 Полная и частичная синхронизация в кольце из трех осцилляторов с дискретным временем.'.

3.2.1 Исследуемая система, свойства симметрии, классификация симметричных решений.

3.2.2 Режимы полной синхронизации.

3.2.2.1 Трансверсальная устойчивость режимов полной синхронизации

3.2.2.2 Бифуркации режимов полной синхронизации.

3.2.2.3 Явления, сопровождающие разрушение полной синхронизации хаоса.

3.2.3 Режимы частичной синхронизации.

3.2.3.1 Трансверсальная устойчивость режимов частичной синхронизации

3.2.3.2 Бифуркационный анализ режимов частичной синхронизации

3.2.3.3 Колебательные процессы, наблюдаемые при формировании и разрушении режимов частичной синхронизации.

3.2.4 Выводы.

3.3 Пространственно-периодические структуры в кольце ангармонических осцилляторов

3.3.1 Исследуемая система и возможные пространственно - периодические режимы.

3.3.2 Исследование бегущих волн в квазигармоническом приближении

3.3.3 Влияние ангармоничности на режимы бегущих волн.

3.3.4 Исследование областей притяжения бегущих волн.

3.3.5 Волны с движущимися фазовыми дефектами.

3.3.6 Переключения между волновыми режимами под действием внешнего шума

3.3.7 Выводы.

3.4 Эволюция пространственно периодических режимов в цепочке генераторов с бифуркациями удвоения периода.

3.4.1 Исследуемая система.

3.4.2 Эволюция пространственно-временных режимов с изменением параметров

3.4.3 Области устойчивости пространственно - периодических режимов

3.4.4 Типичные бифуркационные переходы и структура пространства параметров для семейства пространственно - периодических режимов с к = 2.

3.4.5 Хаотическая синхронизация в ансамбле осцилляторов.

3.4.6 Выводы.

3.5 Выводы по главе.

4 Синхронизация колебаний под действием высокочастотной модуляции параметра связи

4.1 Введение

4.2 Параметрически индуцированная стохастическая и хаотическая синхронизация в двух бистабильных осцилляторах.

4.2.1 Исследуемая система.

4.2.2 Стабилизация синхронных движений при периодической модуляции связи

4.2.3 Индуцированная параметрическим воздействием стохастическая синхронизация

4.3 Параметрическая синхронизация в цепочке осцилляторов.

4.4 Выводы по главе.

5 Формирование и развитие пространственных структур в моделях химических реакций на двумерной каталитической решетке

5.1 Введение

5.2 Исследование формирования пространственных структур и глобальной синхронизации в системе ЬЬУ.

5.2.1 Уравнения реакций.

5.2.2 Описание методом среднего поля.

5.2.2.1 Уравнение системы и свойства фазового пространства

5.2.2.2 Поведение в зависимости от параметров и начальных условий

5.2.3 Моделирование поведения системы при помощи метода KMC.

5.2.3.1 Описание используемого алгоритма KMC.

5.2.3.2 Общие свойства динамики системы.

5.2.3.3 Пространственно-временная динамика модели KMC.

5.2.3.4 Модель LLV с внешним перемешиванием

5.3 Динамика и образование кластеров в модели LLC

5.3.1 Исследуемая система реакций и ее динамическое описание

5.3.2 Моделирование процессов на решетке методом Монте-Карло.

5.4 Выводы по главе.

6 Измерение и диагностика хаотической синхронизации

6.1 Введение

6.2 Количественный анализ хаотической синхронизации при помощи функции когерентности

6.2.1 Индекс хаотической синхронизации основанный на когерентности колебаний

6.2.2 Количественный анализ разрушения полной синхронизации хаоса в связанных осцилляторах с дискретным временем.

6.2.3 Количественный анализ разрушения полной синхронизации в связанных осцилляторах с непрерывным временем.

6.2.3.1 Связанные осцилляторы Ресслера.

6.2.3.2 Процесс разрушения хаотической синхронизации в симметрично связанных осцилляторах Чуа

6.3 Диагностика и количественный анализ синхронизации хаоса на основе функции количества информации.

6.3.1 Количественный анализ хаотической синхронизации в связанных отображениях

6.3.2 Количественный анализ фазовой синхронизации хаоса.

6.4 Выводы по главе.

Синхронизация колебаний взаимодействующих систем - одно из фундаментальных свойств природы, имеющее широкое применение в различных областях науки и техники. Впервые научное описание этого явления было сделано в 17 веке X. Гюйгенсом [1], который исследовал взаимную подстройку хода двух маятниковых часов, висящих на общей балке. В радиофизике работы по синхронизации начинаются в первой половине 20 века, когда было обнаружено свойство захвата частоты колебаний триодного генератора периодическим сигналом [2,3]. Подробный теоретический анализ данного явления был сделан в работах A.A. Андронова [4,5]. Существенную роль в исследовании задач синхронизации взаимодействующих периодических осцилляторов при наличии исчезающе малых связей сыграли фундаментальные работы А. Пуанкаре [6] и A.M. Ляпунова [7], развитие которых приведено в монографии И.Г. Малкина [8]. Фундаментальные результаты по синхронизации периодических колебаний с точки зрения качественной теории дифференциальных уравнений и теории бифуркаций были сделаны В.И. Арнольдом [9]. В дальнейшем, синхронизация периодических автоколебаний была описана во множестве научных работ, включая ряд монографий [10-12]. Обзор основных результатов, а также библиографию по этому вопросу можно найти в [13-15].

Явление синхронизации имеет множество разнообразных проявлений в природе, технике, экономике и обществе, поэтому ему трудно дать достаточно строгое и полное определение. Наиболее удачным представляется определение, данное в монографии И.И. Блех-мана [10]: "синхронизацию можно определить как свойство материальных объектов самой различной природы вырабатывать единый ритм совместного существования, несмотря на различие индивидуальных ритмов и на подчас крайне слабые взаимные связи". Выработка единого ритма заключается в том, что, при синхронизации:

1) происходит "захват собственных частот" автоколебаний, когда система N осцилляторов, каждый из которых имеет свою индивидуальную частоту tUi (г = 1,2 при наложении связей начинает колебаться с некоторой единой для всех частотой и, Inf {wi,tü2, Wjv} < LO < Sup{üJl,LÜ2, .,UJNy,

2) устанавливаются определенные стационарные значения разностей текущих фаз между колебаниями осцилляторов: ipi(t) — <Pj{t) = Д^ = const, не зависящие в определенных пределах от начальных условий ("захват мгновенных фаз").

Ясно, что пункты (1) и (2) не являются независимыми, поскольку из захвата фаз автоматически следует захват частот (это свойство лежит в основе работы систем фазовой автоподстройки частоты [16]); обратное в общем случае не верно. Поэтому, ключевым пунктом при определении синхронизации является захват фаз колебаний. Однако, поскольку фазу труднее измерить, а также, поскольку в случае колебаний, далеких от гармонических, ее достаточно непросто корректно определить - для диагностирования синхронизации обычно используют именно подстройку собственных частот осцилляторов.

При синхронизации периодических осцилляторов может существовать несколько значений стационарных разностей фаз, соответствующих разным устойчивым синхронным состояниям (в этом случае и устанавливаемые общие частоты и> будут, как правило, также разными). Выбор между сосуществующими синхронными состояниями определяется начальными условиями. Данное явление получило название "фазовой мультистабиль-ности" [17]. Если взаимодействует два осциллятора, то при форме колебаний близкой к гармонической, обычно наблюдается одно синхронное состояние - синфазное или противофазное (хотя и здесь возможны исключения, см, например, [18]). Однако, если форма колебаний начинает усложняться, то число сосуществующих режимов увеличивается. Классическим примером этого является развитие фазовой мультистабильности в системе двух взаимодействующих осцилляторов при субгармоническом каскаде [17,19-26]. Так, при исследовании динамики двух идентичных систем с симметричной связью, каждая из которых демонстрирует переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, было обнаружено, что в ходе каскада бифуркаций происходит последовательное увеличение числа предельных циклов в два раза: в фазовом пространстве существует один устойчивый однооборотный предельный цикл (1С0) с некоторым исходным периодом Т (одна периодическая орбита периода один в случае дискретных отображений); два устойчивых двухоборотных предельных цикла (2С0 и 2С1) с периодом 2Т (две периодические орбиты периода два в случае дискретных отображений), четыре цикла (4С°, 4С1, 4С2 и 4С3) с периодом 4Т и т.д. На границе перехода к хаосу число сосуществующих синхронных режимов стремится к бесконечности. Для любого из указанных режимов 2NCM (N = 0,1,2,., М = 0,1,., 2N — 1) форма колебаний в каждом из осцилляторов

1 Здесь и далее будет использована система обозначений мультистабильных состояний, впервые примененная в работе [20] и затем ставшая традиционной при описании фазовой мультистабильности: nRl первый числовой индекс п означает "тактность" режима, то есть число петель аттрактора, или число связных областей в сечении Пуанкаре; R- тип колебаний (С - цикл, Т - тор, А- хаотический аттрактор); верхний числовой индекс г - задержку колебаний одного осциллятора относительно колебаний второго в периодах однооборотного цикла. идентична колебаниям одиночной системы, а их временные реализации отличаются на некоторый временной интервал т: хг(£) = Хх(£ — т). Причем, как показали исследования, величина временного сдвига между колебаниями подсистем равна целому числу периодов исходного однооборотного цикла: т = МТ. Подробный анализ этого свойства фазовой мультистабильности и его объяснение с точки зрения захвата Фурье-фаз в спектрах колебаний осцилляторов приведен в работе [25]. Закономерности формирования фазовой мультистабильности, бифуркационный сценарий этого явления, как будет показано далее, имеют непосредственную связь с механизмами формирования и разрушения синхронизации сложных непериодических колебаний в системах с удвоениями периода. Выявлению этой взаимосвязи посвящена первая и, частично, - вторая глава диссертационной работы.

В ансамблях из большего чем два числа осцилляторов сосуществование множества синхронных режимов с разными фазовыми сдвигами наблюдается уже для гармонических колебаний. Одними из характерных режимов, которые могут возникать в цепочках локально связанных осцилляторов с периодическими граничными условиями, являются автоволны, бегущие вдоль ансамбля с постоянной фазовой скоростью [27-30]. При этом, колебания в соседних осцилляторах имеют равную амплитуду и отличающуюся на постоянное значение фазу колебаний. В цепочках конечной длины число возможных режимов бегущих волн конечно. Аттракторы, соответствующие режимам с разной длиной волны, могут сосуществовать в фазовом пространстве при одних и тех же значениях параметров, демонстрируя тем самым явление мультистабильности.

Синхронизация колебаний в ансамблях осцилляторов с регулярным поведением - одна из традиционных областей исследований для радиофизики. Первые работы в этом направлении известны с середины прошлого века [31] и рассматривали, как правило, задачу частотной синхронизации в цепочке осцилляторов с гармоническим поведением [32-35]. В работе [34] было обращено внимание, что в подобных системах возможны режимы с разными фазовыми сдвигами между осцилляторами - то есть сосуществуют разные пространственные моды. Исследование мультистабильных состояний в ансамбле идентичных замкнутых в кольцо осцилляторов подробно описано в монографии П.С. Ланда [36]. Условия существования и устойчивости разных пространственных мод в ансамблях осцилляторов, колебания в которых возникают через бифуркацию Андронова-Хопфа, были получены для разных типов связей в цикле работ Эрментроута [37-39]. Детальное описание динамики пространственно-однородных и неоднородных волн, возникновение пространственно - разупорядоченных колебательных режимов и особенности переходов между режимами с разными длинами волн для ансамбля автогенераторов с жестким возбуждением можно найти в работе [40]. Рассмотрение процессов образования частотных кластеров при различных видах расстройки собственных параметров гармонических осцилляторов было проведено в работах [41-43]. В работах [44-46] было обнаружено явление подавления автоколебаний, когда в цепочке осцилляторов появляются области с пренебрежимо малой амплитудой колебаний. Это явление получило название "вымирание автоколебаний" или "амплитудная смерть".

Большинство указанных работ используют в качестве модели либо фазовые уравнения, либо укороченные уравнения для амплитуд и фаз, решениями которых являются гармонические колебания. В то же время, представляется интересным вопрос, как ведут себя ансамбли "реальных" регулярных осцилляторов, в которых присутствуют такие явления, как ангармоничность и неизохронность. Одной из попыток ответить на данный вопрос можно считать работу Даидо [47], в которой он моделирует ангармоничность введением дополнительного слагаемого в уравнение для фазового осциллятора. При этом, при большой ангармоничности в кольце осцилляторов наблюдается появление пространственной разупорядоченности (т.н. "странные волны"). Моделирование ангармоничности в работе Даидо носит достаточно искусственный характер. Кроме того, обнаруженные эффекты наблюдаются в его модели при очень больших значениях ангармоничности, не наблюдаемых в более реалистичных моделях. Будут ли подобные режимы возникать в реальных ангармонических осцилляторах? Какие еще особенности поведения там возможны? Как постепенный переход от гармонических колебаний к релаксационным влияет на формирование мультистабильности в цепочках осцилляторов? Пространственно - периодические режимы не исчерпывают всего разнообразия структур, которые могут возникать даже в небольших цепочках. Возникает вопрос - насколько типичными являются эти режимы. Будут ли они возникать при случайных начальных условиях из некоторой окрестности однородного состояния? Какова структура их бассейнов притяжения? Все эти вопросы оставались открытыми на момент начала работы над данной диссертацией. Их рассмотрение проводится в третьей главе диссертации.

Усложнение формы колебаний в ансамбле осцилляторов может быть связано не только с переходом от гармонических колебаний к релаксационным, но и с уже отмеченным ранее каскадом бифуркаций удвоения периода в каждой из подсистем, который ведет к появлению хаотических колебаний в каждом из осцилляторов, то есть к хаотическим бегущим волнам в ансамбле. Возможность существования подобных колебательных режимов рассматривалась в ряде работ [48-51] (в работах [48, 50] они были названы как "rotating waves" - "вращающиеся волны"). Тем не менее, детальный анализ эволюции таких режимов с изменением параметров системы не был сделан. Представляется интересным, каким образом усложнение временной динамики влияет на пространственную упорядоченность колебаний в ансамбле. Сохраняется ли пространственная периодичность вдоль всего каскада субгармонических бифуркаций? На каком этапе при переходе к временному хаосу и как именно происходит разрушение пространственной периодичности и переход к пространственному хаосу? Решение этих вопросов также рассматривается в третьей главе диссертационной работы.

После открытия динамического хаоса, когда было обнаружено, что детерминированные динамические системы могут демонстрировать сложное непредсказуемое поведение, внимание исследователей было обращено на возможность синхронизации взаимодействующих хаотических осцилляторов. Такую синхронизацию стали называть "синхронизацией хаоса" или "хаотической синхронизацией". На сегодняшний день нет единого подхода к определению хаотической синхронизации. Этот термин объединяет несколько разных способов взаимной подстройки колебаний хаотических осцилляторов: полная синхронизация хаоса (ПС) [52-55], частотная синхронизация хаоса (ЧС) [56-58], фазовая синхронизация (ФС) [59,60], обобщенная синхронизация (ОС) [61-63], синхронизация с задержкой по времени (lag-synchronization в англоязычной литературе) [64]. В последнее время появилась попытка рассмотреть разные виды синхронизации с единых позиций, как постепенный взаимозахват фаз вейвлет-образов в разных частотных диапазонах [65-67]. Данный метод анализа получил название "синхронизация временных масштабов".

Одним из видов хаотической синхронизации является "полная синхронизация хаоса" [52-55], при которой в ансамбле идентичных осцилляторов в результате действия связей колебания всех подсистем становятся одинаковыми: Xi(i) = X2(i). = Этот вид синхронизации подразумевает наличие в фазовом пространстве системы инвариантного симметричного подпространства U : Xi = Х2 = . = хдг, что, в свою очередь, является следствием инвариантности системы уравнений, описывающей ансамбль, к взаимным перестановкам динамических переменных Xj Xj, i,j = 1,2,.,N. Прилагательное "полная" отражает тот факт, что при данном виде синхронизации происходит максимально возможное согласование поведения всех осцилляторов ансамбля. Несмотря на достаточно жесткое условие, полная синхронизация - типичное явление, наблюдаемое не только в специально созданных математических моделях, но и в реальных природных, технических и социальных системах [68-75].

Первыми работами по исследованию режимов полной синхронизации хаоса были статьи Ямады и Фуджисаки [52], А.С. Пиковского [53], С.П. Кузнецова [76]. Было установлено, что полная хаотическая синхронизация наблюдается в системе двух идентичных осцилляторов при диффузионной связи. Был определен критерий устойчивости синхронных колебаний по отношению к возмущениям, трансверсальным к симметричному подпространству ij через трансверсальный показатель Ляпунова Aj. Как оказалось, полная синхронизация хаоса реализуется при достаточно сильной связи (коэффициент диффузионной связи 7 должен быть больше некоторого критического значения 7с), где транс-версальный показатель Ляпунова отрицателен. При переходе через критическое значение связи 7с трансверсальный показатель Ляпунова становится положительным, при этом синхронные колебания теряют трансверсальную устойчивость и перестают наблюдаться в эксперименте (данный переход называется бифуркацией прорыва [77]). Граница области синхронизации на плоскости управляющих параметров имеет достаточно сложный характер. В ее окрестности наблюдается перемежаемость Ямада-Фуджисака [78,79] (также называемая "переключающейся синхронизацией" или "оп-о:И ^егтИ^епсу" в англоязычной литературе): интервалы почти синхронного поведения чередуются с короткими "всплесками" несинхронных колебаний.

При более детальном исследовании разрушения полной синхронизации хаоса было установлено [77,80-91], что рассинхронизация колебаний возможна и при отрицательном значении трансверсального показателя Ляпунова. Это связано с наличием в хаотическом аттракторе трансверсально неустойчивых траекторий, с положительными трансверсаль-ными показателями Ляпунова (данное свойство получило название "локальная изрешечен-ность хаотического аттрактора" ), из окрестности которых фазовая точка, при наличии сколь угодно малых несимметричных возмущений, выбрасывается в сторону от симметричного подпространства. При наличии локальной изрешеченности хаотический аттрактор перестает быть аттрактором в традиционном понимании и становится т.н. аттрактором Милнора [92,93]2 Локальная изрешеченность ведет к двум возможным последствиям в наблюдаемой динамике системы:

• если, области трансверсальной неустойчивости аттрактора направлены в сторону седловых предельных траекторий, то фазовая точка, уйдя от симметричного подпространства вдоль этих областей, через некоторое время вследствие глобального притяжения к аттрактору вернется в его окрестность. Поскольку хаотический аттрактор в среднем остается трансверсально притягивающим, то после каждого ухода она будет все ближе и ближе подходить к подпространству /¿, при этом следующие "выбросы" будут происходить все реже и реже. В итоге, режим хаотической синхронизации оказывается асимптотически орбитально устойчивым. Однако, добавление в систему малейшего шума или малейшая неидентичность взаимодействующих осцилляторов делают режим перемежаемости перманентным. Таким образом, полная синхронизация продолжает существовать, но перестает быть грубой. Такой характер синхронизации получил название "слабой синхронизации", а поведение системы

2Аттрактор в смысле Милнора - это наименьшее замкнутое множество, имеющее область притяжения ненулевой меры. В отличие от классического определения, здесь не требуется, чтобы любая точка прикосновения аттрактора входила в его область притяжения. в этом режиме - "пузырящимся поведением" (перекрестная проекция фазового аттрактора как бы "вскипает" под действием малого шума).

• Если области трансверсальной неустойчивости направлены в сторону других аттракторов, то фазовая точка, уйдя по ним от симметричного подпространства, притягивается к другому аттрактору. При этом, режим хаотической синхронизации заменяется другим колебательным режимом. Поскольку области неустойчивости исходят из самого аттрактора, в его непосредственной окрестности оказываются области из бассейнов других аттракторов. Данное явление называется "изрешеченностью бассейна притяжения хаотического аттрактора".

Как было показано в ряде работ [86,94], потеря синхронизации непосредственно связана с бифуркациями седловых циклов, встроенных в хаотический аттрактор. Как известно, в хаотический аттрактор может быть встроено бесконечное число седловых циклов. В связи с этим, представляется интересным вопрос: какие именно циклы являются определяющими при потере хаотической синхронизации. Этот вопрос рассматривался в работе [95], где авторы обнаружили, что потеря трансверсальной устойчивости начинается, как правило, с бифуркаций седловых циклов малого периода. Однако, детального исследования бифуркационного сценария процессов разрушения полной синхронизации сделано не было. Каковы типичные бифуркационные переходы, ведущие к постепенной потере хаотической синхронизации? Как они связаны с бифуркациями, ответственными за формирование синхронного хаоса и с бифуркациями, ответственными за формирование фазовой муль-тистабильности? Как меняется бифуркационный сценарий и наблюдаемые явления (если меняются) при переходе к неидентичным системам? Существуют ли различия в полной синхронизации для обратимых и необратимых систем? Эти вопросы рассматриваются в первой главе диссертационной работы на примере связанных осцилляторов, переход к хаосу в которых происходит через каскад бифуркаций удвоения периода.

Естественным обобщением понятия полной синхронизации стала "обобщенная синхронизация" ("generalized synchronization"), при которой между сигналами, генерируемыми подсистемами, существует некоторая детерминированная взаимосвязь: x2(i) = F(Xl(i))

Первое определение обобщенной синхронизации было дано в работе Афраймовича [54]. Открытая в середине 90-х годов в работах Рулькова и Кокарева [61-63, 96], она затем была обнаружена во множестве различных динамических систем [97-103], включая синхронизацию распределенных сред [67,104] и систем с задержкой по времени [106]. Детерминированная функция ^Р(ж), связывающая состояния подсистем, может иметь достаточно сложный характер и даже быть недифференцируемой [107], что подразумевает нетривиальные методы диагностирования данного вида синхронизации. Обобщенная синхронизация наблюдается, как правило, в связанных неидентичных осцилляторах. Однако, как будет показано в третьей главе, режимы обобщенной синхронизации могут существовать и в ансамблях идентичных осцилляторов с симметричной диффузионной связью.

Полная синхронизация, как это видно из ее определения, является частным случаем обобщенной синхронизации, если в качестве детерминированной функции взять тривиальную зависимость: Г(х) = х. Другим частным случаем обобщенной синхронизации, получившим, однако, свое собственное название, является "противофазная синхронизация хаоса" [108-112], при которой временные реализации, генерируемые подсистемами, удовлетворяют соотношению XI (¿) = —х2(£). Соответственно, синхронные траектории лежат в симметричном инвариантном подпространстве 1а : = — х23

Противофазная синхронизация - типичное явление для регулярных осцилляторов. Достаточно вспомнить, что именно это явление было впервые описано X. Гюйгенсом, как пример синхронизации. Однако, для хаотических осцилляторов противофазная синхронизация гораздо более редкое явление, механизмы которого оставались не изученными на момент создания данной работы. Как происходит формирование хаотического предельного множества, соответствующего режиму противофазной синхронизации? Каков сценарий и бифуркационный механизм потери синхронизации? Сходен ли он с соответствующим сценарием для полной синхронизации хаоса или имеет свои особенности?

Как показывают исследования, противофазная синхронизация хаоса не реализуется в системах с диффузионным типом связи, поскольку соответствующие предельные множества трансверсально неустойчивы. Однако, для реализации таких режимов можно использовать методы принудительной синхронизации (или методы синхронизации посредством управления). Задача принудительной синхронизации колебаний - есть задача стабилизации траекторий в симметричном подпространстве по отношению к трансверсальным к этому подпространству возмущениям. Метод решения этой задачи - добавление в систему цепи дополнительной обратной связи, либо внешнего, явным образом зависящего от времени воздействия, которые меняют характер устойчивости синхронных колебаний. При этом управляющее воздействие не должно оказывать влияния на динамику системы внутри симметричного подпространства, то есть не должно менять форму синхронных

3Существует и другое определение для противофазной хаотической синхронизации (см., например, [113]), которое ближе к понятию фазовой синхронизации: противофазной синхронизацией считается такой хаотический режим, при котором текущие фазы оказываются захвачены около значения Д<р = ж, или, что тоже самое, колебания в одном из осцилляторов отстают от колебаний во втором на половину среднего периода. В настоящей работе указанный вид синхронизации рассматриваться не будет. колебаний. В противном случае мы имеем дело не с синхронизацией (в том смысле, в котором она определяется в работе), а с индуцированными в системе новыми колебательными режимами при воздействии на нее. Известно, что устойчивые и грубые режимы полной синхронизации хаоса во взаимодействующих системах могут быть реализованы только при определенных типах связи выше некоторого порогового значения. Часто независимо от величины коэффициента связи в системе существуют синхронные хаотические движения, которые являются неустойчивыми к несимметричным возмущениям. В этих случаях в системе можно осуществить переход из режима несинхронных хаотических колебаний к режиму синхронизации, используя методы управления хаосом [114-124]. Под управлением хаосом обычно понимают целенаправленное воздействие на систему, с помощью которого различные непритягивающие предельные множества можно превратить в устойчивые по определенным собственным направлениям. В большинстве работ, посвященных синхронизации посредством управления хаосом, рассматривается простейший случай синхронизации - синфазная синхронизация [125-135]. Возможно также распространить методы принудительной синхронизации хаоса для случая противофазной синхронизации. Синхронизация и принудительная синхронизация противофазных колебаний рассматривается во второй главе диссертационной работы.

В качестве метода управления хаосом можно рассматривать предложенный в ряде работ [136-139] подход, предусматривающий периодическую модуляцию одного из параметров системы. Аналитически и методами численного и физического экспериментов в этих работах было показано, что периодическая модуляция параметра может привести к подавлению хаоса и к переходу на периодический режим, на базе которого возник исходный хаотический аттрактор. Указанный эффект оказывается возможен, если частота модуляции кратна частоте предельного цикла, то есть данное явление носит резонансный характер. В другой работе для подавления хаоса и перехода на регулярный режим использовалась высокочастотная модуляция параметра системы, когда частота модуляции много больше собственной частоты осциллятора [140]. Было показано, что движение системы с высокочастотным воздействием может быть представлено как сумма "медленного" движения с характерной частотой системы без модуляции и "быстрого" движения с характерной частотой параметрического воздействия. Уравнение для полной системы разделяется на уравнение для "быстрых" и для "медленных" переменных, причем параметры уравнения для "быстрых" переменных оказываются зависящими от амплитуды и частоты высокочастотного воздействия. Таким образом, можно говорить о том, что высокочастотная модуляция параметра может менять средние значения параметров системы и таким образом индуцировать переход к другим колебательным режимам. Можно ли этот способ управления использовать для принудительной синхронизации хаотических колебаний? Идея использования параметрического воздействия для синхронизации хаотических систем связана с хорошо известной классической задачей о маятнике с вибрирующей точкой подвеса [141,142]. В ней было показано, что высокочастотная модуляция параметра может изменить устойчивость состояния равновесия. Следуя этой идее в работах [143,144] было показано, что периодическая модуляция параметра связи приводит к синхронизации двух диффузионно связанных осцилляторов Дуффинга в хаотическом режиме. Возможно ли этот метод использовать для синхронизации в больших ансамблях осцилляторов? Есть ли ограничения на число взаимодействующих осцилляторов в ансамбле? Данные вопросы рассматриваются в четвертой главе диссертации.

Как известно, в ансамблях из большего чем два числа элементов, наряду с полной синхронизацией может наблюдаться кластерная синхронизация, при которой существуют наборы осцилляторов (кластеры), работающие в режиме полной синхронизации, между которыми полная синхронизация отсутствует. Если число осцилляторов в ансамбле невелико, то вместо термина "кластерная синхронизация" принято использовать термин "частичная синхронизация" [145] (термин "частичная синхронизация" представляется не совсем удачным, поскольку, между "несинхронными" осцилляторами может существовать другой тип синхронизации). Теоретические исследования режимов кластерной синфазной и кластерной противофазной синхронизации колебаний были проведены в работе [109], где были установлены конфигурации инвариантных множеств, соответствующих разным случаям частичной синхронизации при разном числе осцилляторов в системе. В работе [146] методом Ляпунова были найдены условия асимптотической устойчивости для частично синхронных режимов. Простейшая модель для систем, в которых возможно наблюдать явление частичной синхронизации - кольцо из трех осцилляторов. На ее примере проще всего рассмотреть сосуществование режимов полной и частичной синхронизации, закономерности их появления и разрушения и соответствующие бифуркационные механизмы. "Сильная" и "слабая" (то есть грубая и негрубая) частичная синхронизация хаоса в системах с различными топологиями рассматривалась в работе [147]. В работе [148] исследовался режим частичной синхронизации в системе из трех и четырех связанных осцилляторов Рёсслера. Тот же подход был применен к системе из большего числа осцилляторов, в результате была выяснена зависимость числа элементов системы, совершающих синхронные колебания, от величины связи между элементами.

Явление частичной синхронизации в системе, состоящей из трех связанных логистических отображений с несимметричной связью, исследовалась в работе [149], в которой был проведен детальный бифуркационный анализ механизмов разрушения полной и формирования частичной хаотической синхронизации. Однако для систем с симметричной диффузионной связью такая задача решена не была. Возникновения и исчезновение режимов частичной синхронизации регулярных и хаотических колебаний в кольце из трех отображений с симметричной диффузионной связью рассматривалось в работе [150]. В ней в качестве основного метода анализа использовался расчет трансверсальных показателей Ляпунова. Подобный подход дает возможность оценить область устойчивости для некоторых синхронных режимов на плоскости управляющих параметров, но не позволяет выявить бифуркационные механизмы их формирования, а также не может дать достаточно полной картины устройства пространства параметров при исследовании систем с развитой мультистабильностью. Чтобы ответить на эти вопросы необходимо проведение детального бифуркационного анализа седловых периодических орбит, формирующих скелет синхронного хаотического аттрактора. Проведение такого анализа, включая сопоставление механизмов формирования и разрушения режимов частичной и полной синхронизации, представляется интересной задачей, важной для понимания процессов синхронизации хаоса в больших ансамблях локально связанных элементов.

Наличие разных видов синхронного поведения хаотических осцилляторов, а также тот факт, что выход из режима синхронизации хаоса происходит постепенно, через частично синхронное состояние к полностью несинхронному, делает актуальным задачу диагностики и количественного анализа хаотической синхронизации. Для каждого из видов синхронизации вводились свои количественные меры. Легче всего ввести меру полной синхронизации или синхронизации с задержкой, как степень "схожести" временных реализаций взаимодействующих осцилляторов. В работе [64] для этих целей предлагалось использовать минимальное значение функции подобия S(r)

В случае полной синхронизации минимум функции 5(т) достигается при г = 0, при синхронизации с задержкой - при некотором положительном т. В обоих случаях свидетельством полностью синхронного поведения является равенство нулю индекса синхронизации Постепенное разрушение синхронизации, например, через процесс перемежающейся синхронизации, будет выражаться в монотонном росте ¡1. Функция подобия естественным образом может быть использована и для количественного анализа обобщенной синхронизации. Однако, в этом случае необходимо знать в явном виде функцию детерминированный связи между колебаниями подсистем.

В случае фазовой синхронизации, когда "амплитуды" колебаний оказываются некорц = min(5(r)) где a;2(i + r)-a;i(i))2) релированными, а "фазы" - захвачены, можно ввести формальное определение в виде неравенства:

Ит М) ~ Mt)\ < М (1) t—»00 где мгновенные фазы первого и второго осцилляторов, а М некоторая положительная константа. Формула (1) означает, что разность фаз двух осцилляторов остается ограниченной во времени, то есть, что средние "периоды" колебаний одинаковы. Слабым местом указанного определения является само понятие мгновенной фазы ip(t) в применении к хаотическим колебаниям. Если в случае периодических колебаний, когда аттрактор одномерен, фаза однозначно характеризует установившееся состояние системы (что собственно и является основанием для использования термина "фаза" как синонима термина "состояние"), то уже при квазипериодических колебаниях можно говорить о нескольких независимых фазах (например, фаза несущей и фаза огибающей). Что касается хаотических колебаний, то хотя формальное введение мгновенной фазы тем или иным способом возможно, ее физическая интерпретация остается неясной. Поэтому, на сегодняшний день концепция мгновенной фазы хорошо работает лишь для "слабого" то есть когерентного хаоса, который близок к периодическим колебаниям и не работает для развитого хаоса, при котором спектр не содержит выраженных пиков.

Естественной количественной мерой для фазовой синхронизации может служить коэффициент эффективной диффузии разности мгновенных фаз [151]:

Deff = ~ [<М*) - Мф - - Vi(*))>2]

Эта величина показывает насколько быстро происходит диффузия разности фаз взаимодействующих осцилляторов и связана, таким образом, со средним временем, в течение которого имеет место захват фаз. Для полной фазовой синхронизации Д.// = 0. При разрушении фазовой синхронизации, когда длительные интервалы синхронного поведения прерываются внезапными "проскальзываниями" фаз, Deff начинает монотонно расти по мере ухода от режима синхронизации. В работе [152] было предложено использовать для анализа фазовой синхронизации "параметр порядка" Я, введенный Курамото [153] для определения степени упорядоченности ансамбля фазовых осцилляторов, связанных через среднее поле:

TV—1 ехрО'Д^(Ш)) i=о где Aip(iAt) представляет собой разность текущих фаз колебаний подсистем в момент времени iAt.

Указанные количественные характеристики хаотической синхронизации являются част

R = N ными, поскольку применимы лишь для определенного вида синхронизации. Кроме того, получаемые из них величины имеют относительный характер: их конкретные значения ничего не скажут исследователю, насколько сильной или слабой является синхронизация в каждом рассматриваемом случае. Имеет смысл лишь сопоставление значений одной и той же величины на разных этапах перехода от синхронного состояния к несинхронному. Хотелось бы иметь универсальную количественную меру синхронизации, позволяющую сравнивать степень согласованности движений для разных проявлений взаимоподстройки осцилляторов. Разумно потребовать, чтобы эта количественная характеристика удовлетворяла следующим критериям:

1) Универсальность, то есть применимость к разным видам синхронного поведения.

2) Ясный физический смысл, позволяющий легко интерпретировать получаемые результаты.

3) Инвариантность к виду конкретных уравнений, описывающих колебательную систему. Это означает, что количественная мера должна рассчитываться только на основе сигналов, генерируемых осцилляторами, без привлечения какой-либо информации о структуре ее уравнений.

4) Устойчивость по отношению к действию малых возмущающих факторов, таких как внешний шум или малые искажения генерируемых сигналов.

5) Кроме того, количественная характеристика должна представлять собой вещественное число, принимающее значение в заданном интервале, например, от нуля до единицы. Причем выбранный интервал определения должен быть единым для всех рассматриваемых динамических систем и видов синхронного поведения.

Первыми работами, рассматривающими задачу количественной меры хаотической синхронизации, можно, по-видимому, считать работы П.С. Ланды и М. Розенблюма [154,155], в которых для этой цели предлагалось использовать размерность аттрактора (речь шла о корреляционной размерности, однако, предполагалось, что можно применять и другие определения размерности хаотического аттрактора). В частности, полностью синхронными полагались такие колебания, для которых размерность аттрактора в полном фазовом пространстве системы совпадала с "частичной размерностью", то есть с размерностью, подсчитанной в проекции фазового подпространства на один осциллятор. В дальнейшем появились и другие подходы к построению количественной характеристики хаотической синхронизации, которые базировались на измерении взаимной информации между подсистемами [156], измерении "близости" фазовых точек в синхронизируемой подсистеме, отвечающих соседним фазовым точкам в синхронизирующем осцилляторе (так называемый метод "нелинейных взаимозависимостей") [156-160], а также на анализе отображений возврата ( "recurrent plots approach") [161]. Все указанные методы основывались на непосредственном анализе временных реализаций сигналов, генерируемых взаимодействующими подсистемами. С другой стороны, в радиофизике часто используется спектральный анализ сигналов, то есть переход от временного представления сигналов к частотным. Соответственно, появились алгоритмы построения количественной меры синхронизации, основанные на анализе спектров сигналов. Так в работе [162] для количественного измерения степени синхронности колебаний применялось построение распределений разностей Фурье-фаз.

Наличие большого числа разнообразных алгоритмов, дающих подчас противоречивые результаты свидетельствует о том, что задача нахождения "хорошей" универсальной количественной меры хаотической синхронизации пока не решена. В диссертационной работе проводятся количественные исследования полной и фазовой хаотической синхронизации, при использовании нормированной функции взаимной информации. Кроме того, в работе предлагается собственный метод подсчета степени согласования колебаний в подсистемах, использующий усредненную взвешенную функцию когерентности.

Методы нелинейной динамики носят универсальный характер и применяются для исследования колебательных и волновых процессов в системах самой различной природы. Традиционной областью применений для нелинейной динамики является химия [153,163, 164]. Химические процессы могут демонстрировать колебательный характер, когда концентрации веществ, участвующих в реакциях, регулярно или хаотически меняются во времени. Колебательный характер многих химических реакций неоднократно наблюдался в экспериментах, начиная со знаменитой реакции Белоусова-Жаботинского [165,166]. Кроме того, при определенных условиях, возможно построение динамических моделей таких реакций, которые позволяют выявлять их закономерности аналитически или методами численного эксперимента. Один из подходов к моделированию реакций - метод среднего поля, при котором вероятность реакции в каждой точке пространства одинакова и зависит от средних концентраций реагирующих веществ. Использование данного метода оправдано, если благодаря тем или иным процессам (например, сильная диффузия, конвекция или перемешивание) в пространстве реакций поддерживается все время однородная концентрация всех компонентов. Использование метода среднего поля позволяет построить модель реакций в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, переменными которых являются концентрации химических реагентов. Если в ходе реакций существенными является диффузия веществ, то учет процессов диффузии приводит к моделям в виде системы уравнений в частных производных (уравнение "реакция - диффузия"). Существует, однако, класс реакций, в которых перемешивания компонент не происходит. При этом в пространстве реакций формируется сильно неоднородная среда из компонентов реакций. В этом случае методы среднего поля перестают адекватно описывать процессы превращений, поскольку теперь необходимо учитывать их локальный характер. Возможным подходам для построения модели становится использование различных клеточных автоматов [167-169], одним из которых является метод Монте-Карло (МК) [170,171]. В МК пространство реакций моделируется дискретной решеткой определенных размеров и размерностей. Если реакции идут на плоской поверхности, то размерность решетки выбирается равной двум, если в пространстве - то трем. Существуют модели с одномерными решетками [172,173], а также с фрактальными решетками, обладающими нецелыми размерностями [174]. Каждая "клетка" решетки заполняется той или иной "частицей" или же остается "вакантной". В ходе реакций на случайно выбранных клетках происходят взаимопревращения частиц, их "рождения" или "уничтожение", в соответствии с схемой реакций, при этом учитывается состояние соседних клеток. Сами превращения носят случайный характер, то есть они либо происходят, либо не происходят в соответствии с выбранными вероятностями. Модели МК достаточно полно учитывают случайный и локальный характер химических превращений и дают более реалистическую картину происходящих процессов. Кроме того, они позволяют получить не только значения средних концентраций, но их локальное распределение по всему пространству реакций. Детальный анализ образования пространственно-временных структур в таких моделях, изучение процессов синхронизации в них, а также исследование возможности сопоставления результатов МК моделирования с результатами более простых моделей среднего поля, - все это является актуальной и интересной задачей для нелинейной динамики.

Изложенные выше вопросы и проблемы определили цель диссертационной работы, которая заключается в выявлении типичных закономерностей и бифуркационных механизмов синхронизации и формирования фазовой мультистабильности в ансамблях осцилляторов с локальными связями, а также в разработке универсальных критериев для диагностики и количественного анализа хаотической синхронизации, позволяющих с единых позиций рассматривать разные проявления согласования хаотической динамики взаимодействующих автоколебательных систем.

В ходе проведения исследований, изложенных в диссертации, решались следующие научные задачи:

1) Выявление типичных бифуркационных механизмов формирования и разрушения режимов полной и противофазной синхронизации хаоса в двух связанных осцилляторах, переход к хаосу в которых осуществляется через каскад бифуркаций удвоения периода. Определение взаимосвязи между этими механизмами и наблюдаемыми явлениями. Определение влияния неидентичности взаимодействующих систем на указанные бифуркационные механизмы.

2) Определение бифуркационных механизмов формирования и разрушения полной и частичной синхронизации хаоса в малых ансамблях дискретных отображений с симметричной диффузионной связью.

3) Исследование закономерностей формирования фазовой мультистабильности в ансамблях негармонических осцилляторов. Определение влияния усложнения временной динамики колебаний осцилляторов в ходе перехода от гармонических колебаний к релаксационным, а также в ходе каскада бифуркаций удвоения периода, на пространственную упорядоченность в ансамбле.

4) Исследование возможности принудительной синхронизации хаотических колебаний, а также процессов переключений в бистабильных осцилляторах посредством нерезонансного параметрического воздействия. Выявление ограничений на число осцилляторов в ансамбле для данного метода управления хаосом.

5) Разработка универсальных методов диагностирования и количественного анализа хаотической синхронизации на основе использования функции взаимной информации и функции когерентности. Тестирование этих методов на примерах взаимодействующих осцилляторов с разными типами синхронного поведения.

6) Исследование процессов синхронизации и образования пространственных структур в системах химических превращений, моделируемых с помощью метода Монте-Карло. Сопоставление результатов, полученных этим методом с результатами использования метода среднего поля.

Научная новизна

В диссертационной работе впервые

• показано, что различные системы с дискретным временем, объединенные общим сценарием формирования хаоса через каскад бифуркаций удвоения периода и общим типом диффузионной связи, обладают также общим сценарием формирования и разрушения режима полной синхронизации хаоса, который практически не зависит от индивидуальных особенностей подсистем, таких, как, например мультистабиль-ность/ моностабильность и обратимость/ необратимость; проведен детальный бифуркационный анализ процесса разрушения синхронизации и формирования мультистабильности в связанных системах с дискретным временем, переход к хаосу в которых происходит через последовательность бифуркаций удвоения периода; выявлено влияние слабой неидентичности подсистем на бифуркации, ведущие к разрушению полной синхронизации; показано, что в диффузионно связанных отображениях с бифуркациями удвоения периода наблюдаются только регулярные противофазные колебания с любым периодом, поскольку противофазные хаотические колебания оказываются трансверсально неустойчивыми; исследован механизм формирования фазовой мультистабильности на базе противофазных колебаний; продемонстрирована возможность управляемой противофазной синхронизации хаоса в двух диффузионно связанных отображениях, исследован бифуркационный механизм управляемой противофазной синхронизации; проведен детальный бифуркационный анализ формирования и разрушения режимов полной и частичной синхронизации в кольце из трех дискретных отображений с симметричной диффузионной связью; построена структура областей существования пространственно - периодических режимов с разными длинами волн на плоскости параметров "связь - возбуждение" для ангармонических осцилляторов и выявлено качественное различие в устройстве пространства параметров для гармонических и негармонических автоколебаний; обнаружены и описано новое явление в ансамблях ангармонических осцилляторов, заключающееся в появлении на фоне волнового режима движущихся локальных сбоев фазы; проведен анализ закономерностей перехода к пространственному беспорядку от пространственной периодичности при усложнении формы колебаний в ходе каскада бифуркаций удвоения периода в кольце осцилляторов, показано, что разрушение пространственной упорядоченности связано с разрушением фазовой синхронизации хаоса между соседними осцилляторами; показана возможность принудительной синхронизации в цепочках конечной длины посредством высокочастотной модуляции параметра связи;

• предложен метод диагностики и количественного анализа хаотической синхронизации, основанный на усредненной по диапазону частот функции когерентности, показана его применимость для разных видов синхронного поведения и слабая чувствительность к искажениям экспериментальных данных;

• показана принципиальная разница в хаотической синхронизации систем с непрерывным и дискретным временем: в последнем случае в режиме когерентного хаоса отсутствует порог синхронизации по параметру связи;

• показана возможность диагностирования фазовой синхронизации посредством функции когерентности;

• предложен метод расчета степени синхронизации хаотических колебаний, основанный на нормированной функции взаимной информации. Показано, что этот метод дает возможность анализировать разные виды синхронного поведения: полную и фазовую синхронизацию хаоса, включая синхронизацию на гармониках.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

1) Диффузионно связанные системы с удвоениями периода обладают общим сценарием разрушения полной синхронизации хаоса, который практически не зависит от особенностей индивидуальной динамики осцилляторов. Разрушение полной синхронизации происходит через два промежуточных этапа: "пузырящееся поведение" и "изрешечивание бассейна притяжения синхронного аттрактора". Бифуркационный сценарий этих явлений совпадает с механизмом формирования в данных системах фазовой мультистабильности.

2) В диффузионно связанных отображениях режим противофазной синхронизации наблюдается лишь для регулярных колебаний. На плоскости параметров "связь - возбуждение" области устойчивости периодических противофазных колебаний сужаются по мере увеличения периода колебаний, и на пороге перехода к хаосу их ширина становится равной нулю.

3) Для полной и противофазной синхронизации слабая неидентичность подсистем, а также малая асимметрия связи не меняет сценарий разрушения синхронизации и структуру фазового пространства в окрестности синхронного аттрактора, но меняет его бифуркационный механизм в части бифуркаций, обусловленных симметрией системы.

4) Индекс синхронизации, построенный на основе усредненной взвешенной функции когерентности может служить универсальной характеристикой для измерения разных типов синхронного поведения: полной, обобщенной или фазовой синхронизации. Данная характеристика нечувствительна к малым шумам и искажениям сигналов, имеющим место в процессе измерения.

5) Функция когерентности может служить средством диагностики фазовой синхронизации хаоса как для идентичных автоколебательных систем, так и систем с расстройкой по параметрам. Данный метод позволяет уйти от использования расчета мгновенных фаз хаотических колебаний, которые нельзя корректно определить в случае развитого хаоса.

Научно-практическая значимость результатов

Проведенные исследования относятся к фундаментальным проблемам радиофизики и нелинейной динамики. Научно-практическая значимость результатов заключается в том, что

• проведен детальный бифуркационный анализ и построены карты динамических режимов для ряда колебательных систем, представляющие интерес в радиофизике;

• предложен метод принудительной синхронизации противофазных хаотических колебаний и определены области значений параметров, где эта синхронизация реализуется;

• предложен и апробирован метод принудительной синхронизации хаотических колебаний в ансамбле осцилляторов посредством параметрического воздействия;

• разработан простой метод диагностирования и количественного анализа синхронизации хаоса, применимый для разных типов синхронизации;

• проведено сопоставление методов среднего поля и Монте-Карло для исследования динамики химических реакций на поверхности каталитической решетки, показаны границы применимости метода среднего поля.

Результаты работы используются в учебном процессе в Саратовском государственном университете при чтении общих курсов ("Теория колебаний"), а также спецкурсов по специальности "радиофизика".

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Она содержит 416 страниц, включая 155 рисунков. Библиография содержит 216 ссылок на литературные источники.

Апробация работы и публикации

Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

1) 5-th international school on chaotic oscillations and pattern formation CHAOS-98, Saratov, Russia, October 6-10, 1998.

2) 2nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos", vol. 3, July 5-7, St. Petersburg, Russia, 2000.

3) Международная межвузовская конференция "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ", Саратов, Российская Федерация, 20-24 марта 2001 г.

4) 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation "CHAOS'Ol", Saratov, Russia, October 2-7, 2001.

5) International conference "Synchronization of chaotic and stochastic oscillations", Saratov, Russia, September 22-28, 2002.

6) International conference "Physics and Control" , S. Petersburg, Russia, Aug. 20-22, 2003.

7) International conference "Physics and Control (PhysCon2005)", S. Petersburg, Russia, Aug. 20-22, 2005.

8) CEC AM Workshop on Dynamics at the Mesoscale: Theory, Modelling and Experiments September 8-11, Lyon, France, 2004.

9) VII международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур", 1-6 октября 2004 г. Саратов

10) Научная школа-конференция "Нелинейные дни в Саратове для молодых", 2005.

11) Международная конференция молодых учёных по фундаментальным наукам "Ломоносов 2006". Москва.

Результаты работы неоднократно обсуждались на научных семинарах:

• кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ;

• центра нелинейной динамики и биофизики при СГУ;

• института физической химии национального научного центра республики Греция "Demokritos" (Греция, Афины);

• лаборатории нелинейной динамики Потсдамского университета (Германия, Потсдам);

• кафедры нелинейной динамики технического университета г. Лодзь (Польша);

• кафедры нелинейных систем университета г. Лозанны (Швейцария).

По материалам работы опубликовано 46 работ: 33 статьи в реферируемых научных журналах (из них 27 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских диссертаций), 4 статьи в сборниках международных научных конференций и 9 тезисов докладов. Результаты работы использованы при выполнении госбюджетных тем "Радиофизика", "Радиофизика-2", "Радиофизика-3", при выполнении грантов РФФИ, совместного гранта министерства Образования и науки РФ и американского фонда развития гражданских исследований (СШЭР).

Работа выполнена в докторантуре на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета (научный консультант - доктор физ.-мат. наук профессор Астахов В.В.).

Краткое содержание работы

В первой главе исследуются бифуркации, ведущие к разрушению полной синхронизации хаоса в двух связанных системах с удвоениями периода. В качестве моделей используются дискретные отображения, демонстрирующие при изменении управляющего параметра переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода: логистические отображения, кубические отображения, отображения Эно. Проводится двухпараметриче-ский бифуркационный анализ на плоскости параметров "коэффициент связи - параметр возбуждения". Результаты анализа сопоставляются с наблюдаемыми явлениями, которые сопровождают разрушение синхронного состояния: пузырение хаотического аттрактора и его изрешеченность бассейна притяжения. Исследуется влияние неидентичности на бифуркационный сценарий и наблюдаемые явления. Сопоставляется процесс разрушения синхронизации в обратимых и необратимых системах.

Вторая глава посвящена исследованию противофазной синхронизации в отображениях с дискретным временем и потоковых системах. Проводится бифуркационный анализ формирования противофазных синхронных режимов и формирования фазовой мульти-стабильности в окрестности инвариантного симметричного подпространства, содержащего аттракторы противофазных колебаний. Проводится анализ устойчивости противофазных режимов для диффузионно связанных отображений. Строятся области существования для устойчивых периодических орбит раличных периодов и исследуются бифуркации, в результате которых, они теряют трансверсальную устойчивость. Предлагается алгоритм управления, стабилизирующий трансверсально неустойчивые хаотические предельные множества и тем самым обеспечивающий принудительную синхронизацию противофазных хаотических колебаний. Исследуется бифуркационный механизм разрушения управляемой противофазной синхронизации. На примере связанных осцилляторов Чуа с симметричной емкостной связью исследуются процессы противофазной синхронизации регулярных и хаотических колебаний в осцилляторах с непрерывным временем. Исследуется сценарий выхода из режима хаотической синхронизации.

Третья глава посвящена вопросам синхронизации в небольших ансамблях отображений с дискретным временем и осцилляторов. На примере трех логистических отображений исследуются механизмы формирования и разрушения режимов полной и частичной синхронизации хаоса. Строятся двупараметрические бифуркационные диаграммы для семейств режимов, удовлетвояряющих условиям полной или частичной синхронизации. Исследуются режимы бегущих волн в ансамбле связанных периодических осцилляторов при переходе от гармонических к релаксационным колебаниям. Строятся области устойчивости для мультистабильных состояний с разными пространственными периодами. Рассматриваются новые колебательные режимы - волны с движущимися фазовыми дефектами. Определяются области притяжения для волн с разными пространственными периодами. Исследуется переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в цепочках генераторов Чуа.

В четвертой главе изучается возможность полной синхронизации хаоса в ансамблях осцилляторов при периодическом изменениии коэффициента связи. Аналитически решается задача постоения области устойчивости синфазных колебаний в зависимости от амплитуды и частоты параметрической модуляции. Исследуется синхронизация переключений в связанных осцилляторах Дуффинга при параметрическом воздействиии. Определяется максимальная длина цепочки осцилляторов, при которой возможна принудительная синхронизация при заданной амплитуде воздействия.

Пятая глава посвящена задаче количественного анализа хаотической синхронизации. Предлагается использовать для этой цели усредненную функцию когерентности, а также, нормированную функцию взаимной информации. Проводится тестирование предлагаемых алгоритмов на связанных осцилляторах с дискретным и непрерывным временем. Рассматриваются явления полной и фазовой синхронизации. Исследуется влияние внешнего шума, а также искажений обрабатываемых данных в канале связи. Предлагается новый метод диагностирования фазовой синхронизации, основанный на использовании функции когерентности.

В шестой главе проводится моделирование сложной пространственно - временной динамики химических реакций на поверхности катализатора при помощи метода Монте

- 30

Карло. Исследуется процесс образования гомогенных кластеров и определяется связь этого процесса с колебаниями средних концентраций реагирующих веществ. Проводится статистический анализ пространственного распределения веществ на решетке. Исследуется влияние малого перемешивания на динамику системы. Проводится сопоставление полученных результатов с результатами моделирования методом среднего поля.

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1) Разрушение полной синхронизации хаоса при изменении параметра связи во взаимодействующих системах с бифуркациями удвоения периода происходит через этапы негрубой синхронизации и изрешечивания бассейна притяжения синхронного аттрактора. В основе этих явлений лежит тот же бифуркационный механизм, что, при меньшей связи, ведет к образованию фазовой мультистабильности. Локальное изрешечивание хаотического аттрактора происходит в результате каскада трансверсаль-ных бифуркаций удвоения периода, ведущих к образованию новых несинхронных седловых орбит, а изрешечивание бассейна притяжения синхронного аттрактора - в результате бифуркаций вил этих седловых орбит, после которых они превращаются в атттракторы.

2) Малая неидентичность связанных осцилляторов не изменяет качественно сценарий выхода из режима полной синхронизации, однако меняет бифуркационный механизм в той части, в которой в нем участвуют бифуркации, обусловленные симметрией системы (бифуркации вил). В несимметричном случае вместо бифуркации вил наблюдаются седло-репелерная или седло-узловые бифуркации. Замена бифуркационного механизма не сказывается на изменении структуры фазового пространства после бифуркаций.

3) Противофазная синхронизация в дифузионно связанных системах с бифуркациями удвоения периода наблюдается только для периодических колебаний, причем области трансверсальной устойчивости уменьшаются с ростом периода орбиты, вырождаясь в линию для хаотических колебаний.

4) Усложнение формы колебаний в ходе каскада бифуркаций удвоения периода противофазных орбит приводит к развитию фазовой мультистабильности, закономерности которой схожи с закономерностями развития фазовой мультистабильности на базе синфазных колебаний. В этом случае также происходит последовательное увеличение в два раза числа сосуществующих периодических решений после каждого удвоения периода. Для сосуществующих орбит, колебания в одном из осцилляторов отличаются от колебаний во втором на целое число периодов исходного цикла с точностью до множителя —1.

5) Режим хаотической противофазной синхронизации можно обеспечить с помощью добавления дополнительной управляющей связи. Выход за область значений управляющего параметра, соответствующих трансверсально устойчивому противофазному хаосу, приводит к разрушению синхронизации, сценарий которой зависит от степени асимметрии управляющей связи. При симметричной и слабо несимметричной связи, разрушение противофазной синхронизации происходит через этап негрубой синхронизации. за которым следует бифуркация прорыва. При сильной асимметрии связи, включая однонаправленную связь, разрушение синхронизации осуществляется через этапы негрубой синхронизации и изрешечивания бассейна притяжения хаотического аттрактора.

6) В кольце из трех отображений с симметричной диффузионной связью кроме полной синхронизации наблюдаются режимы частичной синхронизации. Регулярные и хаотические режимы частичной синхронизации появляются на базе орбиты периода два через каскад тангенциальных бифуркаций удвоения периода. Каждый из таких режимов ограничен по параметру связи линией седло-узловой (для регулярных режимов) или седло-седловой бифуркации (для хаотических режимов). Каждая из орбит, участвующих в каскаде тангенциальных бифуркаций удвоения периода бифуцирует еще и в трансверсальном направлении, что приводит как к локальной изрешеченно-сти хаотического аттрактора, соответствующего режиму частичной синхронизации хаоса, так и к появлению новых седловых режимов вне подпространства частичной симметрии. Вновь появившиеся в результате трансверсальных бифуркаций удвоения периода несинхронные периодические орбиты впоследствии становятся устойчивыми, что приводит к развитию мультистабильности.

7) В кольце связанных автогенераторов сосуществуют режимы бегущих вдоль кольца волн, пространственный период которых целое число раз укладывается вдоль цепочки. В квазигармоническом приближении области устойчивости бегущих волн неограничены, они наблюдаются при любых положительных значениях параметра возбуждения. В цепочке ангармонических осцилляторов области существования пространственно - неоднородных режимов являются ограниченными как по параметру связи, так и по параметру возбуждения. Выход за границу области существования, если он происходит при больших значениях нелинейности и слабой связи, ведет к появлению в бегущей волне одного или нескольких фазовых сбоев, движущихся вдоль кольца каждый со своей скоростью.

8) Режимы бегущих волн наблюдаются в ансамбле осцилляторов с бифуркациями удвоения периода на всем протяжении перехода к хаосу. Зоны устойчивости этих режимов на плоскости параметров "связь - параметр возбуждения" представляют собой ограниченные области, расположенные таким образом, что области для более коротковолновых режимов оказываются включенными в области более длинноволновых. После перехода к хаосу строгая пространственная периодичность сменяется периодичностью "в среднем", которая постепенно разрушается при развитии временного хаоса или при уменьшении связи. Разрушение пространственной периодичности колебаний связано с разрушением фазовой синхронизации хаотических колебаний.

9) Возможна принудительная синхронизация хаотических колебаний посредством высокочастотной модуляции коэффициента связи. Данный эффект наблюдается в ограниченной области управляющих параметров на плоскости частота модуляции - амплитуда модуляции. Применение данного метода к бистабильным системам позволяет осуществлять синхронизацию процессов переключений между состояниями. Внутри это области бистабильная система демонстрирует высоко когерентный процесс переключений между состояниями системы. Найденный эффект не зависит от природы колебаний осциллятора. Он наблюдается и при динамической и при шумовой природе переключений. Параметрическое воздействие позволяет также осуществлять синхронизацию хаоса в цепочках осцилляторов, но только при конечной длине цепочки.

10) Функция когерентности является мощным средством для анализа явления хаотической синхронизации. Индекс синхронизации, построенный на ее основе может применяться для измерения и диагностики различных типов синхронного поведения: полной, обобщенной или фазовой синхронизации. В последнем случае функция когерентности дает возможность диагностировать синхронизацию и при отсутствии расстройки между осцилляторами. Проведенный анализ показал принципиальное отличие синхронизации в системах с непрерывным и дискретным временем. Если в первом случае индекс синхронизации всегда равен нулю при нулевой связи, то в случае дискретных отображений он может оставаться на на некотором положительном уровне даже при полном отсутствии связи.

Заключение

1. Гюйгенс X. Три мемуара по механике. Изд. АН СССР, 1951.

2. Appleton E.V. The automatic synchronization of triode oscillator. // Proc. Cambridge Phil. Soc., 1922, v. 21, pp. 231-248.

3. Van-der-Pol B. Forced oscillations in a circuit with non-linear resistance. // Phil. Mag., 1927, v. 3, pp. 64-80.

4. Андронов А.А., Витт А.А. К математической теории захватывания. // Журнал прикладной физики, 1930, т. 7, стр. 3.

5. Андронов А.А., Витт А.А. Собрание трудов. Москва. Изд. АН СССР, 1930, стр. 7084.

6. Poincare Н. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste. Paris, 1892.

7. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Москва. Гостехиздат, 1950.

8. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. Москва. Гостехидат, 1956.

9. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Моска. Наука, 1978.

10. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. Москва. Наука. 1971.

11. Демьянченко А.Г. Синхронизация генераторов гармонических колебаний. Москва. Энергия. 1976.

12. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. Москва. Наука. 1981.

13. Blekhman I.I., Landa P.S., Rosenblum M.G. Synchronization and chaotization in interacting dynamical systems. // Appl. Mech. Rev., 1995, v. 11, part 1, pp. 733-752.

14. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е. Синхронизация автоколебаний и колебаний, индуцированных шумом. // Радиотехника и электроника, 2002, т. 47, стр. 133-165.

15. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. Москва. Техносфера. 2003.

16. Шахгильдян В.В., Ляховкин A.A. Фазовая автоподстройка частоты. Москва. Связь, 1966.

17. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пудовочкин О.Б., Селезнев Е.П. Фазовая мультиста-бильность и установление колебаний в нелинейных системах с удвоением периода. // Радиотехника и электроника, 1993, т. 38, N 2, стр. 291-295.

18. Balanov A.G., Janson N.B., Astakhov V.V., McClintock P.V.E. Role of saddle tori in the mutual synchronization of periodic oscillations. // Phys. Rev. E, 2005, v. 72, p. 026214.

19. Астахов B.B., Безручко Б.П., Ерастова E.H., Селезнев Е.П. Формы колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах. // Журнал Технической Физики, 1990, т. 60, N 10, стр. 19-26.

20. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.П., Селезнев Е.П. Мультистабильные состояния в диссипативно связанных Фейгенбаумовских системах. // Письма в ЖТФ, 1989, т. 15, N 3, стр. 60-65.

21. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Мультистабильность в системе радиотехнических генераторов с емкостной связью. // Радиотехника и Электроника, 1991, т. 36, N 11, стр. 2167-2172.

22. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Формирование мультисиабильно-сти, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах. // Известия ВУЗов: Радиофизика, 1991, т. 34, N 1, стр. 35-38.

23. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Wu C.W., Chua L. Dynamics of two coupled Chua's curcuits. // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1995, v. 5, N 6, pp. 1677-1699.

24. Астахов B.B., Шабунин A.B., Сильченко А.H., Стрелкова Г.И., Анищенко B.C. Нелинейная динамика двух связанных через емкость генераторов Чуа. // Радиотехника и Электроника, 1997, т.42, N 3, стр.320-327.

25. Астахов В.В., Шабунин A.B., Анищенко B.C. Спектральные закономерности при формировании мультистабильности в связанных генераторах с удвоением периода. // Радиотехника и Электроника, 1997, т. 42, N 8, стр. 974-981.

26. Bezruchko В.P., Prokhorov M.D., Seleznev Е.Р. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symetrically coupled period-doubling systems. // Chaos, Solitons anf Fractals, 2003, v. 15, pp. 695-711.

27. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. Москва. Мир, 1983.

28. Васильев В.А., Романовский Ю.М. Автоволновые процессы. Москва. Наука, 1987.

29. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику (от маятника до турбулентности и хаоса) Москва. Гл. ред. ФМЛ.,1988.

30. Cross M.G., Hohenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys., 1993, v.65. N 3. pp.851-1112.

31. Парыгин В.H. Взаимная синхронизация трех связанных автоколебательных генераторов в случае слабой связи // Радиотехника и электроника, 1956, N 2, стр. 197 -204.

32. Малафеев В.М., Полякова М.С., Романовский Ю.М. О процессе синхронизации автогенераторов, связанных через проводимость // Известия ВУЗов: Радиофизика, 1970, т. 13, N 6, стр. 936 940.

33. Мынбаев Д.К., Шиленков М.И. Взаимная фазовая синхронизация генераторов, соединенных по кольцевой схеме // Радиотехника и электроника, 1981, N 2, стр. 361 -370.

34. Мальцев A.A., Силаев A.M. Режимы работы цепочки автогенераторов с "жесткими" предельными циклами, связанных с помощью реактивных элементов // Известия ВУЗов: Радиофизика, 1979, т. 22, N 7, стр. 826 833.

35. Дворников A.A., Уткин P.M., Чуков A.M. О взаимной синхронизации цепочки рези-стивно связанных автогенераторов // Известия ВУЗов: Радиофизика, 1984, т. 27, N 11, стр. 1388 1393.

36. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. Москва. Наука, 1980.

37. Ermentrout G.B. The behaviour of rings of coupled oscillators // J. of Math. Biol., 1985, v. 23, N 1, pp. 55-74.

38. Ermentrout G.B. Stable periodic solutions to discrete and continuum arrays of weakly coupled nonlinear oscillators // SIAM J. of Appl. Math. 1992. v. 52, N 6, pp. 1664 1687.

39. Ren L., Ermentrout G.B. Phase locking in chains of multiple-coupled oscillators // Physica D, 2000, v. 143, pp. 56 73.

40. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Velarde M.G. Spatial disorder and waves in a ring chain of bistable oscillators // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1996, v. 6. p. 1845.

41. Ermentrout G.B., Kopell N., Frequency plateus in a chain of weakly coupled oscillators // SIAM J. Math. Anal., 1984, v. 15, pp. 215-237.

42. Yamaguchi Y., Shimizu H. Theory of self-synchronization in the presence of native frequency distribution and external noise. // Physica D, 1984, v. 11, pp. 212-226.

43. Осипов В.Г., Сущик М.М. Синхронизация и управление в цепочках связанных автогенераторов. // Вестник ННГУ: Нелинейная динамика синхронизация и хаос II, стр. 5-23, 1997.

44. Bar-Eli К. On the stability of coupled chemical oscillators // Physica D, 1985, v. 14, pp. 242-255.

45. Ermentrout G.B., Troy W.C. Phase locking in a reaction-diffusion system with a linear frequency gradient. // SIAM J. Appl. Math., 1986, v. 39, pp. 623-660.

46. Aronson D.G., Ermentrout G.B., Kopell N. Amplitude responce of coupled oscillators // Physica D, 1990, v. 41, pp. 403-449.

47. Daido H. Strange waves in coupled-oscillator arrays: mapping approach // Phys. Rev. Lett., 1997, v. 78, N 9, pp. 1683 1686.

48. Matias M.A., Guemez J., Perez-Munuzuri V., Marino I.P., Lorenzo M.N., Perez-Villar V. Observation of a fast rotating wave in rings of coupled chaotic oscillators. // Phys. Rev. Lett., 1997, v. 78, N 2, pp. 219-222.

49. Matias M.A., Perez-Munuzuri V., Marino I.P., Lorenzo M.N., Perez-Villar V. Size instabilities in ring of chaotic synchronized systems. // Europhys. Lett., 1997, v. 37, N 6, pp. 379-384.

50. Marino I.P., Perez-Munuzuri V., Perez-Villar V., Sanchez E., Matias M.A. Interaction of chaotic rotating waves in coupled rings of chaotic cells. // Physica D , 2000, v. 128, 224-235.

51. Hu G., Zhang Y., Cerdeira H.A., Chen S. From low-dimensional synchronous chaos to high-dimensional desynchronous spatiotemporal chaos in coupled systems. // Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, N 16, pp. 3377-3380.

52. Fujisaka H., Yamada T. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems. // Prog. Theor. Phys., 1983, v.69, p.32.

53. Пиковский А.С. О взаимодействии странных аттракторов. ИПФ АН СССР, N 79, Горький, 1983.

54. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний диссипативных систем. // Известия ВУЗов: Радиофизика, 1986, т. 29, стр. 1050-1060.

55. Pecora L.M., Caroll T.L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett., 1990, v. 64, pp. 821-824.

56. Анищенко B.C., Постнов Д.Э. Эффект захвата базовой частоты хаотических автоколебаний. Синхронизация странных аттракторов. // Письма в ЖТФ, 1988, т. 14, вып. 6, с. 569-573.

57. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова М.А. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса. // Радиотехника и электроника, 1991, т. 36, N 2, стр. 338-351.

58. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova М.А. Synchronization of chaos // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1992, v. 2, N 3, p. 633.

59. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators. // Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, p. 1804.

60. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Phase synchronization in regular and chaotic systems. // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2000, v. 10, pp. 2291-2304.

61. Rulkov N.F., Suschik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems. // Phys. Rev. E, 1995, v. 51, pp. 980994.

62. Kocarev L., Parlitz U. Generalized synchronization, predictability, and equivalence of unidirectionally coupled dynamical systems. // Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, N 11, pp. 1816-1819.

63. Abarbanel H.D.I. , Rulkov N.F., Sushchik M.M. Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach. // Phys. Rev. E, 1996, v. 53, p. 4528.

64. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators. // Phys. Rev.Lett., 1997, v.78, p. 4193.

65. Hramov A.E., Koronovskiy A.A. An approach to chaotic synchronization. // Chaos, 2004, v. 14, N 3, pp. 603-610.

66. Короновский А.А., Храмов A.E. Анализ фазовой синхронизации с помощью непрерывного вейвлетного преобразования // Письма в ЖТФ, 2004, т. 30, вып. 14, стр. 29-36.

67. Короновский А.А., Куровская М.К., Храмов А.Е. О соотношении фазовой синхронизации хаотических осцилляторов и синхронизации временных масштабов. // Письма в ЖТФ, 2005, т. 31, вып. 19, стр. 76-83.

68. Schuster H.G., Martin S., Martienssen W. A new method for determining the largest Lyapunov exponents in simple nonlinear systems. // Phys. Rev. A, 1986, v. 33 p. 3547.

69. Roy R., Thornburg K.S. Experimental synchronization of chaotic lasers. // Phys. Rev. Lett., 1994, v. 72, pp. 2009-2012.

70. Heagy J.F., Carroll T.L., Pecora L.M. Synchronous chaos in coupled oscillator systems. // Phys. Rev. E, 1994, v. 50, pp. 1874-1884.

71. Yu Y.H., Kwak K., Lim Т.К. On-off intermittency in an experimental synchronization process. // Phys. Lett. A, 1995, v. 198, pp. 34-38.

72. Cenys A., Namajunas A., Tamasevicius A., Schneider T. On-off intermittency in chaotic synchronization experiment. // Phys. Lett. A, 1996, v. 213, pp. 259-264.

73. Thornburg K.S., Moller M., Roy R., Carr T.W. Li R.D., Erneux T. Chaos and coherence in coupled lasers. // Phys. Rev. E, 1997, v. 55, pp. 3865-3869.

74. Terry J.R., Thornburg K.S., DeShazer D.J., VanWiggern G.D., Zhu S.Q., P. Ashvin, Roy R. Synchronization of chaos in an aray of three lasers. // Phys. Rev. E, 1999, v. 59, pp. 4036-4043.

75. Wang W., Kiss I.Z., Hudson J.L. Experiments on arrays of globally coupled chaotic electrochemical oscillators: Synchronization and clustering. // Chaos, 2000, v. 10, pp. 248-256.

76. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейген-баума. // Известия ВУЗов: Радиофизика, 1985, т.28, N 8, с.991.

77. Ott Е., Sommerer J.С. Bowout bifurcations: The occurence of riddled basins and on-off intermittency. // Phys. Lett. A, 1994, v. 188, pp. 39-47.

78. Fujisaka H., Yamada T. A new intermittency in coupled dynamical systems. // Progr. Theor. Phys., 1985, v. 74, pp. 918-921.

79. Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Бифуркация потери симметрии в системе дисси-пативно связанных отображений последования. // Известия ВУЗов: Радиофизика, 1989, т. 32, стр. 49-54.

80. Alexander J., James С., Yorke A., Zhiping You, Kan I. Riddling Basins // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1992, v. 2, N 4, pp. 795-813.

81. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. Bubbling of attractors and synchronisation of chaotic oscillators. // Phys. Lett. A. 1994, v. 193, pp. 126-139.

82. Brown R., Rulkov N.F., Tufillaro N.B. Synchronization of chaotic systems: The effects of additive noise and drift in the dynamics of the driving. // Phys. Rev. E, 1994, v. 50, pp. 4488-4508.

83. Heagy J, Carroll T.L., Pecora L.M. Desynchronization by periodics orbits. // Phys. Rev. E, 1995, v. 52, pp. R1253-R1256.

84. Ashwin P., Buescu J., Stewart I., From attractors to chaotic saddle: a tale of transverse instability. // Nonlinearity, 1996, v. 9, pp. 703- 737.

85. Gauthier D., Bienfang J. Intermittent loss of synchronization in coupled chaotic oscillators: Towards a new critérium for high-quality synchronization. // Phys. Rev. Lett., 1996, v. 77, pp. 1751-1754.

86. Lai Y.-C., Grebogi C., Yorke J.F., Verkataramani S.C. Riddling bifurcation in chaotic dynamical system. // Phys. Rev. Lett., 1996, v. 77, N 1, p. 55.

87. Venkataramani S.C., Hunt B.R., and Ott E. Bubbling transition. // Phys. Rev. E, 1996, v. 54, p. 1346.

88. Brown R., Rulkov N. F. Synchronization of chaotic systems: transverse stability of trajectories in invariant manifolds // Chaos, 1997, v. 3. p. 395.

89. Hasler M., Maistrenko Y. An introduction to the synchronization of chaotic systems: coupled skew tent maps. // IEEE Transactions on Circuits and systems I: Fundamental Theory and Applications, 1997, v. 44, pp. 856-866.

90. Maistrenko Y.L., Maistrenko V.L., Popovich A., Transverse instability and riddled basins in a system of two coupled logistic maps. // Phys. Rev. E, 1998, v. 57, p. 2713.

91. Maistrenko Y., Maistrenko V., Popovich O., Mosekilde E. Desynchronization of chaos in coupled logistic maps. // Phys. Rev. E., 1999, v. 60, p. 2817.

92. Milnor J. On the concept of attractor. // Commun. Math. Phys., 1985, v. 99, pp. 177-195.

93. Ashwin P. Minimal attractors and bifurcations of random dynamical systems. // Proc. Royal Soc. A, 1999, v. 455, pp. 2615-2634.

94. Pikovsky A.S., Grassberger P., Symmetry breaking bifurcation for coupled chaostic attractors // J. Phys. A: Math., 1991, v.24, pp.4587-4597.

95. Hunt B., Ott E. Optimal periodic orbits of chaotic systems. // Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, pp. 2254-2257.

96. Kocarev L.M., Parlitz U. Generalized synchronization in chaotic systems. // SPIE, 1995, v. 2612, pp. 57-61.

97. Tang D.Y., Dykstra R., Hamilton M.W., Heckenberg N.R. Observation of generalized synchronization of chaos in a driven chaotic system. // Physical Review E, 1998, v. 57, pp. 5247 5251.

98. Pecora L.M., Carroll T.L. Detecting chaotic drive response geometry in generalized synchronization. // Int. J. Bifurcation and Chaos, 2000, v. 10, N 4, pp. 875 889.

99. Afraimovich V., Cordonet A., Rulkov N.F. Generalized synchronization of chaos in noninvertible maps. // Phys. Rev. E, 2002, v. 66, p. 016208.

100. Gonzalez-Miranda J.M. Generalized synchronization in directionally coupled systems with identical individual dynamics. // Phys. Rev. E, 2002, v. 65, p. 047202.

101. He D., Stone L., Zheng Z. Analysis of generalized synchronization in directionally coupled chaotic phase-coherent oscillators by local minimal fluctuations. // Phys. Rev. E, 2002, v. 66, p. 036208.

102. Shuguang Guan, C.-H. Lai, and G. W. Wei. Bistable chaos without symmetry in generalized synchronization. // Phys. Rev. E, 2005, v. 71, p. 036209.

103. Hramov A.E., Koronovskiy A.A. Generalized synchronization: A modified system approach. // Phys. Rev. E, 2005, v. 71, p. 067201.

104. Parmananda P. Generalized synchronization of spatiotemporal chemical chaos. // Phys. Rev. E, 1997, v. 56, pp. 1595-1598.

105. Короновский А.А., Попов П.В., Храмов А.Е. Обобщенная синхронизация и механизм ее возникновения в связанных автоколебательных средах. // Письма в ЖТФ, 2005, т. 31, вып. 22, стр. 9-16.

106. Shahverdiev Е.М., Shore К.A. Generalized synchronization in time-delayed systems. // Phys. Rev. E, 2005, v. 71, p. 016201.

107. Rulkov N.F., Afraimovich V.S. Detectability of nondifferentiable generalized synchrony. // Phys. Rev. E, 2003, v. 67, p. 066218.

108. Cao L.G., Lai Y.C. Antiphase synchronism in chaotic systems. // Phys. Rev. E, 1998, v. 58, pp. 382-386.

109. Belykh V.N., Belykh V.I., Hasler M. Hierarchy and stability of partially synchronous oscillations of diffusively coupled dynamical systems. // Phys. Rev. E, 2000, v. 62, pp. 6332 6345.

110. Blazejczyk-Okolewska В., Brindley J., Czolczynski K., Kapitaniak T. Antiphase synchronization of chaos by noncontinuous coupling: Two impacting oscillators. // Chaos, Solitons and Fractals, 2001, v. 12, N 10, pp. 1823-1826.

111. Kim C., Rim S., Kye W., Ryu J., Park Y. Anti-synchronization of chaotic oscillators. // Phys. Lett. A, 2003, v. 320, p. 39.

112. Liu W., Qian X., Yang J., Xiao J. Antisynchronization in coupled chaotic oscillators. // Phys. Lett. A, 2006, v. 354, pp. 119-125.

113. Henderson D.H., Oppo G.H. Antiphase chaos and intensity dependent dissipations. // Phys. Rev. E, 1999, v. 59, pp. 1683-1693.

114. Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. Controlling Chaos. // Phys. Rev. Lett., 1990, v.64, pp.1196-1199.

115. Shinbrot Т., Grebogi С., Ott E., Yorke A. Using small perturbations to control chaos. // Nature, 1993, v.363, pp. 411-417.

116. Shinbrot Т., Ott E., Grebogi C, Yorke J.A. Using chaos to directs trajectories to targets. // Phys. Rev. Lett., 1990, v.65, pp.3215-3218.

117. Singer J., Wang Y., Bau H. Controlling chaotic systems. // Phys. Rev. Lett., 1991, v.66, p.1123.

118. Romeiras F. J., Grebogi C, Ott E., Dayawasn W.P. Controlling chaotic dynamical systems. // Physica D, 1992, v. 58, pp.165-192.

119. Shinbrot Т., Ditto W., Grebogi C, Ott E., Spano M., Yorke J.A. Using the sensitive dependence of chaos (the 'butterfly effect") to direct trajectories in experimental chaotic system. // Phys. Rev. Lett., 1992, v.68, pp.2863-2866.

120. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback. // Phys. Lett. A, 1992, v. 170, pp. 421-428.

121. Старобинец И.М., Угриновский В.А. Динамический метод оптимизации управления хаосом. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 1995, т. 3, N 3, стр. 44-55.

122. Pyragas К., Tamasevisevicius A. Experimental control of chaos by delayed self-controlling feedback. // Phys. Lett. A, 1993, v. 180, pp. 99-102.

123. Козлов А.К., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Импульсное подавление хаотических колебаний. // Вестник Нижегородского университета. Нелинейная динамика синхронизация и хаос. Нижний Новгород: ННГУ, стр. 113-120, 1996.

124. Osipov G.V., Kozlov А.К., Shalfeev V.D. Controlling chaotic oscillators by impulse feedback. // In: Proceedings of 5th International Specialist Workshop "Nonlineat Dynamics of Electronic Systems", June 26-27, Moscow, Russia, pp. 115-120, 1997.

125. Lai Y., Grebogi C. Synchronization of chaotic trajectories using control. // Phys. Rev. E, 1993, v. 47, N 4, pp.2357-2360.

126. Lai Y., Grebogi C. Synchronization of spatio temp oral chaotic systems by feedback control. // Phys. Rev. E, 1994, v. 50, N 3, pp. 1894-1899.

127. Newell T.C., Alsing P.M., Gavrielides A., Kovanis V. Synchronization of chaos using proportional feedback. // Physical Review E, v. 49, N 1, pp. 313-319, 1994.

128. Bernardo M. An adaptive approach to the control and synchronization of continuous-time chaotic systems. // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1995, v. 6, N 3, pp. 557-568.

129. Астахов В.В., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В. Стабилизация симметричных седло-вых циклов в связанных системах с хаотической динамикой. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 1995, т. 3, N 4, стр. 73-80.

130. Suykens J.А.К., Curran P.F., Chua L.O. Master-slave synchronization using dynamic output feedback. // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1996, v. 7, N 3, pp. 671-679.

131. Peng J.H., Ding E.J., Ding M., Yang W. Synchronization hyperchaos with a scalar transmitted signal. // Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, N 6, pp. 904-907.

132. Malescio G. Synchronization of chaotic systems by continuous control. // Phys. Rev. E, 1996, v. 53, N 3, pp. 2949-2952.

133. Астахов В.В., Сильченко А.Н., Стрелкова Г.И., Шабунин А.В., Анищенко B.C. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов. // Радиотехника и Электроника, 1996, т. 41, N 11, стр. 1323-1331.

134. Duan С.К., Yang S.S. Synchronization hyperchaos with a scalar signal by parameter controling. // Phys. Lett. A, 1997, v. 229, pp. 151-155.

135. Chacon R. Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations. // Phys. Rev. E, 1989, v. 51, N 1, pp. 761-764.

136. Cicogna G., Fronzoni L. Effects of parametric perturbations on the onset of chaos in the Josefson-junction model: Theory and analog experiments. // Phys. Rev. A, 1990, v. 42, N 4, pp. 1901-1906.

137. Lima R., Pettini M. Suppression of chaos by resonant parametric peturbations. // Phys. Rev. A, 1990, v. 41, N 2, pp. 726-733.

138. Fronzoni L., Giocondo M., Pettini M. Experimental evidence of suppression of chaos by resonant parametric peturbations. // Phys. Rev. A, 1991, v. 43, N 12, pp. 6483-6487.

139. Kivshar Y.S., Rodelsperger F., Benner H. Suppression of chaos by nonresonant parametric perturbations. // Phys. Rev. E, 1994, v. 49, N 1, pp. 319-324.

140. Капица П.JI. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. // ЖЭТФ, 1951, т. 21, с. 588.

141. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом. // УФН, 1951, т. 44, с. 7.

142. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Kapitaniak Т., Shabunin A.V. Synchronization of chaotic oscillators by periodic parametric perturbations. // Physica D, 1997, v. 109, N 1-2, pp. 11-16.

143. M. Hasler, Yu. Maistrenko and O. Popovych. Simple example of partial synchronization of chaotic systems. // Phys. Rev. E, 1998, v. 58, pp.6843-6846.

144. Pogromsky A., Santoboni G., Nijmeijer H. Partial synchronization: from symmetry towards stability. // Physica D, 2002, v. 172, p. 65.

145. Maistrenko Y., Popovich O., Hasler M. On strong and weak chaotic partial synchronization // Int. J. Bifurcation and Chaos, 2000, v. 10, p. 179.

146. Yanchuk S., Maistrenko Y., Mosekilde E. Partial synchronization and clustering in a system of diffusively coupled chaotic oscillators. // Mathematics and Computers in Simulation, 2001, v. 54, p. 491.

147. Taborov A.V., MaistrenkoY.L., Mosekilde E. Partial synchronization in a system of coupled logistic maps. // Int. J. Bifurcation and Chaos, 2000, v. 10, p. 1051.

148. Tsukamoto N., Miyazaki S., Fujisaka H. Synchronization and intermittency in three-coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. E, 2003, v. 67, p. 016212.

149. Стратонович P.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. Москва. Советское радио. 1961.

150. Mormann F., Lehnertz К., David P., Elger C.E. Mean phase coherence as a measure for phase synchronization and its application to the EEG of epilepsy patients. // Physica D, 2000, v. 144, pp. 358-369.

151. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves and turbulence. Berlin. Springer. 1984.

152. Ланда П.С., Розенблюм М.Г. О синхронизации хаотических автоколебательных систем. // Доклады Академии наук РФ, 1992, т. 324, N 1, стр.65-68.

153. Landa P.S., Rosenblum М. Synchronization and chaotization of oscillations in coupled self-oscillating systems. // Appl. Mech. Reviews, 1993, v. 46, N 7, pp. 414-426.

154. Quian Quiroga R., Kraskov A., Kreuz Т., Grassberger P. Performance of different synchronization measures in real data: A case study on electroencephalographic signals. // Phys. Rev. E, 2002, v. 65, 041903.

155. Schiff S.J., So P., Chang T. Detecting dynamical interdependence and generalized synchrony through mutual prediction in a neural ensemble. // Phys. Rev. E, 1996, v. 54, p. 6708.

156. Arnhold J., Grassberger P., Lehnertz K., Elger C.E. A robust method for detecting interdependencies: application to intracranially recorded EEG. // Physica D, 1999, v. 134, p. 419.

157. Schmitz A. Measuring statistical dependence and coupling of subsystems. // Phys. Rev. E, 2000, v. 62, p. 7508.

158. Kramer M.A., Edwards E., Soltani M., Berger M., Knight R., Szeri A.J. Synchronization measures of bursting data: Application to the electrocorticogram of an auditory event-related experiment. // Phys. Rev. E, 2004, v. 70, p. 011914.

159. Romano M.C., Thiel M., Kurths J., von Bloh W. Multivariate recurrence plots. // Phys. Lett. A, 2004, v. 330, p. 214.

160. Hramov A.E., Koronovskiy A.A., Kurovskaya M.K., Moskalenko O.I. Synchronization of spectral components and its regularities in chaotic dynamical systems. // Phys. Rev. E, 2005, v. 71, p. 056204.

161. Nicolis G., Prigigine I. Self-Organization in Nonequilibrium systems: Prom Dissipative structures to order through fluctuations. New York. 1977.

162. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. Москва. Наука, 1990.

163. Belousov В.P. A periodic reaction and its mechanism. // Oscillations and traveling waves in chemical systems. New York. Wiley, 1985, pp. 605-613.

164. Жаботинский A.M. Периодические окислительные реакции в жидкой фазе. // ДАН СССР, 1964, т. 157, стр. 392-395.

165. Цетлин M.JI. Исследования по теории автоматов и моделированию биологических систем. Москва. Наука, 1969.

166. Кобринский Н.Е., Трахтенберг Б.А. Введение в теорию конечных автоматов. Москва. Физматгиз, 1962.

167. Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов. Москва. Мир. 1991.

168. Ванаг В.К. Исследование пространственно распределенных динамических систем методами вероятностного клеточного автомата. // УФН, 1999, т. 169, N 5, стр. 481505.

169. Albano E.V. Monte Carlo simulations of surface chemical reactions: Irreversible phase transitions and oscillatory behaviour // Computer Physics Communications, 1999, v. 121-122, p. 388.

170. Frachebourg L., Krapivsky P.L., Ben-Naim E. Spatial organization in cyclic Lotka-Volterra systems. // Phys. Rev. E, 1996, v. 54, pp. 6186-6200.

171. Provata A., Nicolis G., Baras F. Oscillatory dynamics in low-dimensional supports: A lattice Lotka-Volterra model. // J of Chem. Phys., 1999, v 110, pp. 8361-8368.

172. Tretyakov A., Provata A., Nicolis G. Nonlinear chemical dynamics in low-dimensionals lattices and fractal sets. // J. of Phys. Chem., 1995, v. 99, pp.2770-2776.

173. Kocarev L., Halle K.S., Eckert K., Chua L., Parlitz U. Experimental demonstration of secure communication via chaotic synchronization. // Int. J. Bifurcation and chaos, 1992, v. 2, pp. 709-713.

174. Вельский Ю.Л., Дмитриев А.С. Передача информации с использованием детерминированного хаоса. // Радиотехника и электроника, 1993, т. 38, стр. 1310-1515.

175. Волковский А.Р., Рульков Н.Ф. Синхронный хаотический отклик нелинейной колебательной системы как принцип детектирования информационной компоненты хаоса. // Письма в ЖТФ, 1993, т. 19, вып. 3, стр. 72-77.

176. Popovych О., Maistrenko Y., Mosekilde Е., Pikovsky A., Kurths J. Transcritical loss of synchronization in coupled chaotic systems. // Phys. Lett. A, 2000, v. 275 pp. 401-406.

177. Khibnik A.I., Roose D.,Chua L. // Chua's Circuit: A Paradigm for Chaos. Singapour: World Scientific, 1993, p. 145.

178. Komuro M., Tokunaga R., Matsumoto Т., Chua L.O., Hotta A. Global bifurcation analysis of the double-scroll circuit. // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1991, v. 1, N 1, pp. 139-182.

179. Matsumoto Т., Chua L.O., Komuro M. The double scroll. // IEEE Trans, on circuits and systems, 1995, v. CAS-32, N 8, pp. 797-818.

180. Гуртовник А.С., Неймарк Ю.И. Синхронизмы в системе циклически слабосвязанных осцилляторов // Динамические системы: Межвузовский сборник научных трудов. Изд. Нижегородского университета, 1991, стр. 84 97.

181. Nekorkin V.I., Makarov V.A. Spatial chaos in a chain of coupled bistable oscillators // Phys. Rev. Lett., 1995, v. 74, p. 4819.

182. Perez-Munuzuri A., Perez-Munuzuri V., Perez::Villa;r V., Chua L.O. Spiral Waves on 2-D array of nonlinear circuits. // IEEE Transcations on circuits and systems I: Fundamental Theory and Applications, 1993, v. 40, N11, pp.872-877 \

183. Alexeyev A.A., Osipov G.V., Shalfeev V.D. Effects of square \ wave modulation on CNN patterns.// IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 1995, v.42, N 10, pp. 700 -704.

184. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. Москва. Наука, 1979.

185. Ertl G. Oscillatory kinetics and spatiotemporal selforganization in reactions at solid surfaces. // Science, 1991, v. 254, p. 1750.

186. Wintterlin J. Scanning tunneling microscopy studies of catalytic reactions // Adv. Catal., 2000, v. 45, p. 131.

187. Ertl G., Norton P. R., Rustig J. Kinetic oscillations in the platinum-catalyzed oxidation of CO. // Phys. Rev. Lett., 1982, v. 49, p. 177.

188. Imbihl R., Ertl G. Oscillatory kinetics in heterogeneous catalysis // Chem. Rev., 1995, v. 95, p. 697.

189. Shvartsman S. Y., Schutz E., Imbihl R., Kevrekidis I. G. Dynamics on microcomposite catalytic surfaces: The effect of active boundaries // Phys. Rev. Lett., 1999, v. 83, p. 2857.

190. Voss С., Kruse N. Chemical wave propogation and rate oscillations during the NО2 /Н2 reaction over Pt // Ultramicroscopy, 1998, v. 73. p. 211.

191. Slinko M., Fink Т., Loher Т., Madden H.H., Lombardo S.J., Imbihl R. Ertl G. The NO + reaction on Pi(100) steady-state and oscillatory kinetics. // Surface Science, 1992, v. 264, p. 157.

192. Hartmann N., Madix R. J. Dynamical rearrangements of the (2 x 1 )0 adlayer during CO oxidation on Си(110). // Surface Science, 2002, v. 516, p. 230.

193. Brosilow B. J., Gulari E., Ziff R. M. Boundary effects in a surface reaction model for CO oxidation. // J. Chem. Phys., 1993, v. 98, p. 674.

194. Zhdanov V. P. Surface restructuring and kinetic oscillations in heterogeneous catalytic reactions. // Phys. Rev. E, 1999, v. 60, p. 7554.

195. Zhdanov V. P. Surface restructuring, kinetic oscillations, and chaos in heterogeneous catalytic reactions. // Phys. Rev. E, 1999, v. 59. p. 6292.

196. Voss C., Kruse N. Field ion microscopy during an ongoing surface reaction: NO/H2 on Pt. // Applied Surface Science, 1994, v. 87,88, p. 127.

197. Nicolis G., Prigogine I. Self-organization in Nonequilibrium Systems. New York. Wiley, 1977.

198. Albano E. V., Marro J. Monte Carlo study of the СО-poisoning dynamics in a model for the catalytic oxidation of CO. // J. Chem. Phys, 2000, v. 113, p. 10279.

199. Tammaro M., Evans J. W. Chemical diffusivity and wave propagation in surface reactions: lattice-gas model mimicking СО-oxidation with high СО-mobility. //J. Chem. Phys., 1998, v. 108, p. 762.

200. Liu D. J., Evans J. W. Symmetry-breaking and percolation transitions in a surface reaction model with superlattice ordering. // Phys. Rev. Lett., 2000, v. 84, p. 955.

201. De Decker Y., Baras F., Kruse N., Nicolis G. Modeling the NO + H2 reaction on a Pt field emitter tip: Mean-field analysis and Monte-Carlo simulations //J. Chem. Phys., 2002, v. 117, p. 10244.

202. Баланов А.Г. Количественный анализ хаотической синхронизации. // Материалы международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", 1995, стр. 46.

203. Марпл С.Jl. Цифровой спектральный анализ. Москва. Мир. 1990.

204. Masoller С., Zanette D.H. Anticipated synchronization in coupled chaotic maps with delays. Physica A, 2001, v. 300, p. 359.

205. Пиковский A.C. Эволюция спектра мощности при переходе к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. // Известия ВУЗов: Радиофизика, 1986, т. 29, стр. 1076-1083.

206. Zaks М.А., Park E.H., Rosenblum M.G., Kurths J. Alternating Locking Ratios in Imperfect Phase Synchronization. // Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 4228.

207. Park E.H., Zaks M.A., Kurths J. Phase synchronization in the forced Lorenz system. // Phys. Rev. E, 1999, v. 60, p. 6627.

208. Chen J.Y., Wong K.W., Shuai J.W. Properties of phase locking with weak phase-coherent attractors. // Phys. Lett. A, 2001, v. 285, p. 312.

209. Osipov G.V., Hu B.H., Zhou C., Ivanchenko M.V., Kurths J. Three types of transitions to phase synchronization in coupled chaotic oscillators. // Phys. Rev. Lett., 2003, v. 91, p. 024101.

210. Tang X.Z., Tracy E.R., Boozer A.D., deBrauw A., Brown R. Symbol sequence statistics in noisy chaotic sygnal reconstruction. // Phys. Rev. E, 1995, v. 51, N 5, pp. 3871-3889.

211. Lehrman M., Rechester A.B., "Symbolic analysis of chaotic sygnals and turbulent fluctuations", Phys. Rev. Lett., v. 78, N 1 , pp. 54-57, 1997.

212. Palus M., Komarek V., Hrncir Z., Sterbova K. Synchronization as adjustment of information rates: detection from bivariate time series. // Phys. Rev. E., 2001, v. 63, p. 046211.

213. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Osipov G.V., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving. // Physica D, 1997, v. 104, N 3-4, pp.219-238.

214. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase synchronization in driven and coupled chaotic oscillators. // IEEE Trans, on Circuits and Systems I, 1997, v. 44, N 10, pp. 874-881.

215. Публикации по теме диссертации

216. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak Т., Anishchenko V. Loss of chaos synchronization through the sequence of bifurcations of saddle periodic orbits. // Phys. Rev. Lett., 1997, v. 79, N 6, pp. 1014-1017.

217. Астахов В.В., Шабунин А.В. Синхронизация хаотических осцилляторов посредством периодической модуляции коэффициента связи. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 1997, т. 5, стр. 15-29.

218. Astakhov V.V., Shabunin A.V. Mechanism of chaos synchronization loss in coupled systems. // Proceedings of 5-th international school on chaotic oscillations and pattern formation CHAOS-98, Saratov, Russia, October 6-10, 1998, pp. 17-18.

219. Astakhov V., Hasler M., Kapitaniak Т., Shabunin A., Anishchenko V. Effect of parameter mismatch on the mechanism of chaos synchronization loss in coupled systems. // Phys. Rev. E, 1998, v. 58, N5, pp. 5620-5628.

220. Astakhov V., Shabunin A., Anishchenko V. Synchronization of self-oscillations by parametric excitation. // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1998, v. 8, N 7, pp. 1605-1612.

221. Astakhov V., Kapitaniak Т., Shabunin A., Anishchenko V. Non-bifurcational mechanism of loss of chaos synchronization in coupled non-identical systems. // Phys. Lett. A, 1999, v. 258, pp. 99-102.

222. Астахов В.В., Шабунин А.В., Анигценко B.C. Механизмы разрушения хаотической синхронизации в системе связанных кубических отображений. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 1999, т. 7, N 2,3, стр. 3-11.

223. Анищенко B.C., Астахов В.В., Николаев В.В., Шабунин А.В. Исследование хаотической синхронизации в системе симметрично связанных генераторов // Радиотехника и электроника, 2000, т. 45, N 2, стр. 196-203.

224. Astakhov V., Shabunin A., Anishchenko V Antiphase synchronization in symmetrically coupled self-oscillators. // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2000, v. 10, N 4, pp. 849-857.

225. Астахов В.В., Шабунин А.В., Стальмахов П.А., Климшин А.В. Управляемая противофазная синхронизация хаоса в связанных кубических отображениях. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2000, т. 8, N 4, стр. 91-102.

226. Шабунин А.В., Демидов В.В., Астахов В.В., Анищенко B.C. Количество информации как мера синхронизации хаоса. // Письма в ЖТФ, 2001, т. 27, N 11, стр. 78-85.

227. Astakhov V., Shabunin A., Uhm W., Kim S., Multistability formation and synchronization loss in coupled Hennon maps: Two sides of the single bifurcational mechanism. // Phys. Rev. E, 2001, v. 63, p. 056212.

228. Shabunin A., Demidov V., Astakhov V., Anishchenko V. Information theoretic approach to quantify complete and phase synchronization of chaos. // Phys. Rev. E, 2002, v. 65, p. 056215.

229. Astakhov V., Shabunin A., Stalmakhov P. Multistability, in-phase and anti-phase chaos synchronization in period-doubling systems. // Известия ВУЗов: Прикладная Нелинейная динамика, 2002, т. 10, N 3, стр. 63-79.

230. Shabunin A., Baras F., Provata A. Oscillatory reactive dynamics in surfaces: A lattice limit cycle model. // Phys. Rev. E, 2002, v. 66, p. 036212.

231. Astakhov V., Shabunin A., Klimshin A, Anishchenko V. In-phase and antiphase complete chaoticsynchronization in symmetrically coupled discrete maps. // Discrete Dynamics in Nature and Society, 2002, v. 7, pp. 215-229.

232. Sosnovtseva O.V., Astakhov V.V., Shabunin A.V. , Stalmakhov P.A. Parametrically induced stochastic synchronization. // Proceedings of International conference "Physics and Control", S. Petersburg, Russia, Aug. 20-22, 2003, pp. 577-581.

233. Efimov A., Shabunin A., Astakhov V., Provata A. Chaotic dynamics of chemical reactions in low-dimensional substrates: Mean-Field and Monte-Carlo approaches. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2003, т. 11, N 2, стр. 72-80.

234. Акопов А.А., Астахов В.В., Шабунин А.В. Динамика модели взаимодействующих нейронов в виде связанных дискретных отображений. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2003, т. 11, N 1, стр. 19-35.

235. Ефимов А.В., Шабунин А.В. Процессы кластерообразования в химически активных средах. // Материалы VII международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур", 1-6 октября 2004 г. Саратов, изд. ГосУНКЦ "Колледж", стр. 133-134.

236. Shabunin A.V., Efimov A., Tsekouras G.A., Provata A. Scaling, cluster dynamics and complex oscillations in a multispecies Lattice Lotka-Volterra Model. // Physica A, 2005, v. 347, pp. 117-136.

237. Akopov A., Astakhov V., Vadivasova Т., Shabunin A., Kapitaniak T. Frequency synchronization of clusters in coupled extended systems. // Physics Letters A, 2005, v. 334, pp. 169-172.

238. Shabunin A., Astakhov V., Kurths J. Quantitative analysis of chaotic synchronization by means of coherence. // Phys. Rev. E, 2005, v. 72, p. 016218.

239. Шабунин А.В., Акопов А.А., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Бегущие волны в дискретной ангармонической автоколебательной среде. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2005, т. 13, N 4, стр. 37-54.

240. Ефимов A.B., Шабунин A.B. Формирование и развитие пространственных структур в системе химических реакций на каталитической решётке: моделирование методом Монте-Карло. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2006, т. 14 , N 2, стр. 47-63.

241. Астахов В.В., Стальмахов П.А., Шабунин A.B. Противофазная синхронизация и формирование мультистабильности в симметрично связанных бистабильных системах. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2006, т. 14, N 6, стр. 112-126.

242. Астахов В.В., Стальмахов П.А., Шабунин A.B. Бифуркационные механизмы разрушения противофазной синхронизации хаоса в связанных системах с дискретным временем // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2006, т. 14, N 6, стр. 100-111.

243. Шабунин A.B., Николаев С.М., Астахов В.В., Стальмахов П.А. Полная и обобщенная синхронизация хаоса в системе трех взаимодействующих отображений. // Радиотехника и электроника, 2007, т.52, N 1, стр. 77-84.

244. Астахов В.В., Шабунин A.B., Стальмахов П.А. Влияние асимметрии связи на бифуркационные механизмы разрушения противофазной синхронизации хаоса. // Известия ВУЗов: Прикладная нелинейная динамика, 2007, т. 15, N 2, стр. 40-54.