Синхронизация в неоднородных ансамблях локально диффузионно связанных регулярных и хаотических осцилляторов

Осипов, Григорий Владимирович

Синхронизация в неоднородных ансамблях локально диффузионно связанных регулярных и хаотических осцилляторов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Осипов, Григорий Владимирович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Синхронизация в неоднородных ансамблях локально диффузионно связанных регулярных и хаотических осцилляторов»

Автореферат диссертации на тему "Синхронизация в неоднородных ансамблях локально диффузионно связанных регулярных и хаотических осцилляторов"

На правах рукописи

Осипов Григорий Владимирович

, СИНХРОНИЗАЦИЯ В НЕОДНОРОДНЫХ АНСАМБЛЯХ

ЛОКАЛЬНО ДИФФУЗИОННО СВЯЗАННЫХ РЕГУЛЯРНЫХ и ХАОТИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 2004

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете ям. Н.И. Лобачевского

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор В.Д.Ш&лфеев

доктор физико-математических наук, профессор П.С.Ланда, доктор физико-математических наук, профессор А.С.Дмитриев, доктор физико-математических наук, профессор А.И.Саичев.

Ведущая организация - Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Защита состоится 2004 г. в час. на заседании дис-

сертационного совета Д 212.166.07 при Нижегородском государственном университете и м. НИ .Лобачевского по адресу: 603950, Н.Новгород, ГСП-20, проспект Гагарина,23,корп.4, радиофизический факультет, ауд. .

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им.Н.И. Лобачевского

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь

Официальные оппоненты:

диссертационного совета

WHS

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Одна из главных тенденции в мире - тенденция к достижению общих ритмов взаимного поведения или, другими словами, тенденция к синхронизации. Под синхронизацией обычно понимается процесс достижения связанными объектами различной природы общего ритма функционирования.

С проявлением синхронизации можно встретиться в физике, биологии, химии, технике, экономике, науках о жизни, медицине и т.д. Возможна синхронизация как двух элементов так и в ансамблях, состоящих ич сотен и тысяч элементов. В радиофизике интенсивно исследуется коллективное поведение лазеров, генераторов мощности, сверхпроводящих джозефсоновских контактов. В радиотехнике, радиоизмерениях и радиосвязи синхронизация используется для синтеза и стабилизации частоты генераторов, для демодуляции сигналов в доплеровских системах, в системах точного времени и т.д. В механике эффект синхронизации нашел широкое применение при конструировании различных вибро-технических устройств. В качестве примеров биологических ансамблей, в которых наблюдается синхронизация приведем: колонии одновременно вспыхивающих светлячков; клетки, формирующие сердечный ритм: вырабатывающие инсулин клетки в поджелудочной железе; группы сверчков, щебечущих в унисон: ячейки в тонкой кишке млекопитающих; нейронные ансамбли, обеспечивающие ритмичную деятельность в мозгу и т.д. Проблемы синхронизации также очень важны при проектировании компьютеров с параллельной архитектурой. Синхронизации имеет место в химических колебаниях и волнах в реакции Белоусова-Жаботинского.

B.И. Некоркина, A.C. Пиковского, Д.Э. Постнова. М.И. Рабиновича. М.Г. Розенблюма, Ю.М Романовского, Н.Ф. Рулькова, Р.Л. Стратоновича. Р.В. Хохлова. В.Д. Шалфеева, В В. Шахгильдяна, Л.П. Шильникова. Б Эр-ментроута, Н. Копелл, Л. Пекоры. К. Канеко. Ю. Курамото. Ю. Куртса.

C. Строгатца, В. Линдсея. Э. Мозекильда и до тадрня пшгропнапциц ста-

ГОС НАЦИОНАЛЬНАЯ

, 1 мммтш

С! о»

ла мощным научным направлением в современной нелинейной динамике.

К настоящему времени в теории синхронизации можно выделить две основные части: классическую теорию синхронизации, которая изучает явления в связанных периодических автоколебательных системах, и теорию хаотической синхронизации, которая изучает кооперативное поведение хаотических систем. В контексте синхронизованного хаоса недавно были изучены три главных типа хаотической синхронизации, а именно: а) полная (или идентичная) синхронизация, б) обобщенная синхронизация и в) фазовая синхронизация. Полная синхронизация идентичных систем происходит, когда состояния связанных систем полностью совпадают. Обобщенная синхронизация подразумевает, что выход с одной системы связан с выходом другой системы через некоторую функцию. При хаотической фазовой синхронизации имеет место установление некоторых соотношений между фазами взаимодействующих систем и как результат совпадение их характерных частот или характерных временных масштабов. При этом амплитуды колебаний часто остаются хаотическими и практически некоррелироваными. В этом контексте хаотическая фазовая синхронизация близка к синхронизации периодических колебаний в присутствии слабого шума. Таким образом, существование характерных временных масштабов (ритмов) в хаотических системах позволяет наблюдать и исследовать синхронизацию и ее характеристики для связанных периодических и хаотических систем с единой точки зрения. И именно что делается в диссертации. Для динамических систем, которые рассматриваются в работе, проблемы синхронизации сформулированы в терминах совпадения их характерных частот (характерных временных масштабов). которые для периодических систем просто частоты (периоды) колебаний. а для хаотических систем это усредненные частоты (усредненные временные интервалы) появления некоторых повторяющихся событий. То есть как один из критериев синхронизованного поведения рассматриваг ется выполнение условий частотного захвата (подстройки). Кроме характерной частоты ритмичность колебаний дает возможность ввести фалу колебаний - другую очень важную характеристику как регулярного, так и хаотического движения. Тогда фазовый захват (подстройку) можно считать еще одним (более сильным по отношению к частотному захвату) критерием синхронизации. Положив в основу исследования синхронных режимов выполнение условий частотного и фазового захватов, естественно считать, что процессы синхронизации в системах различной природы будут иметь много общего и могут быть изучены с использованием общих математических и вычислительных инструментов.

Все упомянутые в начале примеры - это примеры больших ансамблей -ггте%й связанных-элементов как с регулярной, так и с хаотической динами-

е) характеристик несинхронных режимов;

ж) возможностей синтеза оптимальных с точки зрения достижения синхронизации схем межэлементной связи.

Научная новизна работы определяется полученными оригинальными результатами и заключается в следующем:

Впервые поставлена задача исследования общих закономерностей частотной и фазовой подстройки в ансамблях локально диффузионно связанных регулярных и хаотических неидентичных осцилляторов. В качестве парциальных элементов рассматривались базовые модели нелинейной динамики как с непрерывным, так и с дискретным временем: фазовые системы первого и второго порядков: осциллятор Ван дер Поля: осциллятор Ресслера и система Лоренца; отображение окружности: отображение, моделирующее хаотические колебания с перемежаемостью: отображение, моделирующее спайковую и береговую активность нейроно-подобных элементов. Для ряда указанных моделей впервые предложены способы введения фазовых и частотных характеристик колебаний. Наличие таких характеристик для всех рассмотренных в работе систем позволило наблюдать и исследовать синхронизацию и ее характеристики для связанных как регулярных, так и хаотических осцилляторов, с единой точки зрения, а именно, с точки зрения установления определенных фазовых соотношений и совпадения характерных частот колебаний. Для этого получались и исследовались соответствующие фазовые уравнения и (или) численно рассчитывались фазы и частоты колебаний и далее тестировалось выполнение критериев синхронизации.

Изучение коллективной динамики ансамблей осцилляторов основано на предложенном подходе, при котором сначала исследуется вынужденная синхронизация и взаимная синхронизации двух связанных элементов, а затем с использованием полученных результатов изучаются сети связанных периодических и хаотических осцилляторов.

Было проведено исследование эффекта вынужденной синхронизации хаотических осцилляторов с помощью внешнего периодического воздействия. В результате этого исследования показана возможность управления спектром хаотических колебаний.

Для пары связанных хаотических систем (осцилляторов Ресслера. отображений окружности, отображений с хаотической перемежаемостью) изучены условия возникновения фазовой синхронизации в зависимости от топологии хаотических аттракторов.

В рамках предложенного подхода, предполагающего тестирование выполнения критериев частотной и фазовой подстройки, проведено систематическое исследование коллективного поведения цепочечных н ^'щеточных моделей сетей связанных осцилляторов. Выявлены общие чакопо-

кой. До настоящего времени нет общей теории динамического поведения сетей осцилляторов. Даже возможность существования режима глобальной синхронизации все еще неясна. Структурная сложность, разнообразие связей, динамическая сложность и т.д. делают изучение больших ансамблей даже с использованием современных компьютеров весьма сложным Поэтому одним из возможных подходов является исследование сетей с какой-либо фиксированной, геометрически правильной конфигурацией и в предположении стационарности существующих процессов в индивидуальных элементах и неизменности межэлементных связей. В этой связи цепочечная модель выбрана как основная для сетей, которые рассматриваются в диссертации. При этом основная схема связи между элементами - это связь с ближайшими соседями, т.е. локальная связь. Связь аналогичная диффузионной для непрерывных по пространству систем рассматривается в работе для дискретных ансамблей. Предполагается также, что все элементы отличаются лишь вариацией параметров, т.е. рассматриваются неоднородные ансамбли, элементы которых осциллируют с различными характерными частотами. В литературе в такой постановке рассматривались лишь некоторые аспекты задачи синхронизации периодических осцилляторов и ротаторов. Хаотическая фазовая синхронизация исследовалась. как правило, лишь для систем из двух связанных, сравнительно простых по топологии осцилляторов. Поэтому изучение общих закономерностей коллективной динамики и, в особенности, синхронизации в больших ансамблях локально диффузионно связанных неидентичных регулярных и хаотических осцилляторов является безусловно актуальным.

Цель работы - создание основ теории фазовой синхронизации неоднородных осцилляторных сетей. Развиваемое научное направление связано с выработкой единых теоретических и вычислительных инструментов для исследования процессов частотной и фазовой подстройки колебаний в больших ансамблях как регулярных, так и хаотических систем, интересных с точки зрения приложений в радиофизике, электронике и биологии.

Основные вопросы, на которые должна ответить создаваемая теория синхронизации, в первую очередь, касаются:

а) существования глобальной синхронизации;

б) характеристик синхронных режимов: распределения по сети стационарных значений фазовых рассогласований, а также частот синхронизации:

в) условий и механизмов возникновения синхронных режимов и путей их нарушения (во времени и в пространстве);

г) влияния индивидуальной динамики элементов на процессы синхронизации:

д) возможностей управления синхронными режимами;

мерности переходов к синхронным режимам в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов. При этом особое внимание было уделено роли неустойчивых предельных циклов.

Исследованы режимы глобальной и кластерной синхронизации и механизмы их установления и разрушения.

Получены фазовые и частотные характеристики синхронных режимов.

Проанализировано влияние индивидуальной динамики, в частности, топологии аттракторов, на процессы синхронизации.

Предложен метод автоматической фазовой синхронизации в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов.

Научная и практическая значимость результатов работы

В научном плане выполненные исследования дают основу для более глубокого понимания таких важных и интенсивно изучаемых в современной радиофизике явлений как самоорганизация и турбулентность. В связи с тем, что в проведенных исследованиях в качестве парциальных элементов были использованы базовые модели теории нелинейных колебаний, создаваемая теория синхронизации сетей нелинейных осцилляторов найдет применение не только при исследовании конкретных осцилляторных ансамблей, но и для других моделей дискретных и непрерывных сред в физике и биологии.

Выполненные исследования могут оказаться полезными при решении вопросов, связанных с разработкой и применением различных устройств для радиоизмерений, радиосвязи, радиолокации и др. В частности, при создании синхронных сетей передачи данных, активных фазированных антенных решеток, систем синхронной обработки данных в современных компьютерах и т.д.

Полученные в диссертации результаты внедрены в учебный процесс на радиофизическом факультете Нижегородского университета и могут представлять интерес для следующих научно-исследовательских учреждений: ИПФ РАН, ИРЭ РАН, МГУ.

Апробация результатов работы

Настоящая диссертация выполнена в Нижегородском государственном университете им.Н.И.Лобачевского. Ее результаты опубликованы в работах (1-62], в том числе в одной монографии и двух обзорах и докладывались на III,V,VIIl,IX,X,XI,XII международных конференциях по нелинейной динамике электронных систем (NDES) (Дублин, 1995: Москва, 1997: Катанья, 2000 ; Делфт, 2001 ; Измир,2002; Скуол, 2003; Эвора, 2004). на конференциях по нелинейной динамике и ее приложениях (NOLTA) (Лас Вегас,1995, Кране-Монтана, 1998, Дрезден,2000), на 1,11,III международных конференциях "Control of oscillations and chaos" (Санкт-Петербург, 1997,2000, 2003), на международной конференции, посвященной 100-летию

со дня рождения А А.Андронова (Нижний Новгород, 2001), Всесоюзных конференциях по нелинейным колебаниям механических систем (Нижний Новгород. 1990, 1992.1994), международной школе по хаосу и структурам (Саратов, 1998). международной конференции по синхронизации (Саратов, 2000), международной школе по синхронизации и ее приложениям (Крым, 2002); международной школе-конференции по синхронизации и управлению (Дрезден. 2001), школах по нелинейным волнам (Нижний Новгород. 1991: 2004) гордоновской конференции (Нью Гемпшир, 1998); научных конференциях по радиофизике (Нижний Новгород, 1997. 2000, 2001. 2002): а также на семинарах ИПФ РАН. физического факультета Потсдамского университета, факультета биомедицинской инженерии Бостонского университета, физического факультета Гонкогского баптистского университета, факультета механики Венского технического университета. физического факультета Ланкастерского университета, кафедры теории колебаний и автоматического регулирования радиофизического факультета ННГУ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, десяти глав, заключения, списка литературы и изложена на 323 страницах, включает 120 рисунков. Список литературы содержит 269 наименований и занимает 25 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении сделан краткий обзор работ по теории синхронизации, обоснована актуальность тематики проводимых исследований и их практическая значимость, сформулирована цель исследования и основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание работы.

В первой главе приводится базовая конфигурация рассматриваемых сетей (раздел 1.1), даются модели точечных осцилляторов и описываются их основные свойства, приводятся определения их фаз и частот (раздел 1.2) и формулируются критерии синхронизации (раздел 1.3).

Общая цепочечная математическая модель может быть записана

а) для систем с непрерывным временем в виде:

X, =

¿1Я(Х,+1-Л,)+ (1)

¿-1.....Н,

б) для систем с дискретным временем в виде:

X, = F(Xj)+

dlH(X]+1-XJ) + d2H{XJ.1-XJ), (2)

J-l.....лг,

где Xj - n-мерный вектор переменных j-того элемента. F(X)) : R" —> FC - векторная функция, задающая поведение индивидуального осциллятора, d\ и «¿2 - коэффициенты связи каждого элемента с соседями, и Я - п х n-мерная матрица определяющая функцию связи и переменные, по которым связь имеет место, N - длина рассматриваемых в работе цепочек. В диссертации в-основном рассматриваются отражающие граничные условия.

Системы уравнений (1) и (2) аналогичны часто используемым дискретным моделям непрерывных сред и решеточным моделям, используемым в настоящее время при исследовании проблем турбулентности. В этом контексте модели (1) и (2) являются весьма общими и могут, вообще говоря, рассматриваться как дискретные модели произвольных неравновесных сред. С этой точки зрения их исследование представляет также интерес для понимания таких сложных явлений в неравновесных средах, как образование пространственных структур и возникновение турбулентности.

В качестве точечных осцилляторов рассматриваются: фазовые системы первого (ротатор) и второго (маятник) порядков: осциллятор Ван дер Поля; осциллятор Ресслера; система Лоренца: отображение окружности: отображение, моделирующее хаотические колебания с перемежаемостью: отображение, моделирующее спайковую и берстовую активность нейроно-подобных элементов. Для всех указанных моделей приведены их основные динамические свойства и даны определения фаз и частот колебаний.

Далее определяются условия, выполнение которых будет свидетельствовать о существования синхронных режимов. Поскольку рассматривается сеть, в которой каждый г-тый элемент имеет собственный характерный временной масштаб Т, или собственную характерную частоту (П, = 2ж/Тг), и каким-либо способом для него определена фаза колебаний ip„ то используются критерии частотного и фазового захвата (подстройки).

Считается, что два произвольных (не обязательно соседних) связанных элемента г и j т : п синхронизованы, если

mfi, = Tlilj, (3)

где тип- целые числа.

Помимо этого критерия захвата частот, другой критерий m • п синхронизации между элементами inj - это захват фаз:

(i) точный (строгий) захват фаз (разность фаз постоянна)

| пир, — тр}\ = Сопз4.

(4)

и (п) неточный (нестрогий) захват фаз (разность фаз не постоянна, но ограничена)

Если эти условия выполнены для всех элементов сети, то мы будем говорить о глобальной синхронизации. Если они выполнены только для некоторых групп элементов, то имеет место кластерная синхронизация.

Во второй главе описываются явления синхронизации периодических и хаотических систем, находящихся под воздействием внешней периодической силы. т.е. явление вынужденной синхронизации. В классической теории синхронизации осциллятор, находящийся под воздействием периодического сигнала, - главная и исторически первая изученная модель. Поэтому в этой главе приводится только краткое описание классического случая периодически возмущенного регулярного осциллятора (раздел 2.1). Основное внимание уделяется изучению вынужденной синхронизации в хаотических системах. Проведенные исследования показали, что системы с хаотическими аттракторами при определенных условиях могут быть синхронизованы по частоте и фазе. Это продемонстрировано для хаотических аттракторов, которые рождаются через удвоения периодов периодических движений (осциллятор Ресслера) (раздел 2.2) и через перемежаемость 1-го типа (система Лоренца и соответствующее модельное отображение) (раздел 2.4). Детальное рассмотрение механизма фазовой синхронизации представлено в разделе 2.3. На основе анализа иллюстративной дискретной модели делается вывод о том, что область вынужденной фазовой синхронизации хаотического осциллятора есть область в пространстве параметров, где имеет место пересечение языков Арнольда, т.е. областей синхронизации, для всех неустойчивых периодических орбит, образующих "скелет"хаотического аттрактора. В разделе 2.5 формулируются основные выводы.

В третьей главе рассматривается явление синхронизации в системах двух связанных элементов. Сначала (раздел 3.1) изучается синхронизация и классическом случае, то есть для связанных периодических осциллято-рон. В параграфе 3.1.1 приводятся результаты анализа динамики двух произвольных слабо связанных осцилляторов. Векторно (консервативно и диссипативно) связанные осцилляторы Ван дер Поля рассматриваются в параграфе 3.1.2. Исследования показали, что имеют место два качественно различных типа перехода к синхронному режиму: мягкий и жесткий, при которых при увеличении частотной расстройки, частота би-

\rnip, — П1р} | < СопвЬ.

ений меняется плавно или скачком, соответственно. Область синхронизации монотонно увеличивается с ростом величины консервативной связи. Основной результат параграфа 3.1.2, где синхронизация показывается для двух связанных активных ротаторов, состоит в том. что неравномерность вращений, т.е. мгновенные частоты разные, приводит к возникновению п : т синхронизации, в то время как для равномерных вращений, т.е. мгновенные частоты постоянны, возможна только 1 : 1 синхронизация. Далее (раздел 3.2) рассматривается синхронизация двух хаотических систем Связанные осцилляторы Ресслера и связанные системы Лоренца исследованы в разделах 3.2.1 и 3.2.2 соответственно. Оказалось, что фазовая динамика связанных хаотических осцилляторов Ресслера во многом аналогична динамике связанных периодических систем Однако существуют и различия Так показано, что существуют три типа перехода к хаотической фазовой синхронизации в зависимости от свойств когерентности движения, количественно определяемых через диффузию фазы. При малой диффузии фазы возникновение хаотической фазовой синхронизации сопровождается переходом одного из нулевых показателей Ляпунова в отрицательную область. Если диффузия фазы довольно велика, то подстройка фаз происходит только после возникновения обобщенной синхронизации (один положительный показатель Ляпунова становится отрицательным). Для промежуточной диффузии хаотическая фазовая синхронизация возникает путем внутреннего кризиса гиперхаотического аттрактора В заключении (раздел 3.3) рассматривается система двух связанных отображений окружности. Такая система демонстрируют богатую динамику, которая имеет очень много общего с динамикой связанных системам с непрерывным временем. В частности, увеличение связи обычно ведет к синхронизации; частотная расстройка и свойства когерентности движений играют важную роль в синхронизации; в хаотическом режиме перо-ход к синхронизованному поведению может произойти через бифуркации или внутренние кризисы хаотических аттракторов. Однако есть несколько эффектов, которые не наблюдаются для осцилляторов с непрерывным временем- из-за дискретности неидентичные изолированные системы могут иметь равные характерные частоты; увеличение связи ведет к разрушению синхронизации; сильная некогерентность движений может быть причиной непредсказуемых синхронизационных переходов

В первой части четвертой главы рассматривается коллективная динамика в ансамблях фазовых осцилляторов первого порядка. В начале (раздел 4 1) приводится основная модель фазовой системы в довольно общей форме Цепочка «.окольно слабо связанных осцилляторов описыбается следующей системой фазовых уравнений.

ф3 + азш^ =и>]+ - 1р}) + ¿2/1(^+1 _ (с)

где u)j - собственные частоты, а - параметр неравномерности вращений, параметры rfi.2 характеризует связи "вниз по цепочке"и "вверх по цепочке", соответственно, и функция h - 2ж - периодическая по обеим фазам функция связи.

Коллективные явления в цепочке однонаправленно связанных систем рассмотрены в разделе 4.2. Раздел 4 3 посвящен синхронным режимам в цепочках с линейно и случайно распределенными индивидуальными частотами вращения ротаторов. Влияние неоднородности вращений рассматривается в разделе 4.4.

Основные эффекты - следующие: а) В цепочках однонаправленно и взаимно связанных фазовых осцилляторов с линейным распределением индивидуальных частот существует критическое значение силы связи, для которой в цепочках произвольной длины наступает режим глобальной синхронизации: б) В цепочке с однонаправленно связанными элементами "вниз по потоку"(с ростом номера элемента) возможны переходы "синхронизация - десинхронизация"и "десинхронизация - синхронизация "и наблюдалось развитие турбулентного движения по сценарию Ландау-Хопфа; в) Типичны мягкий и жесткий переходы к глобальной синхронизации. Первый имеет место при взаимодействии осцилляторов с относительно близкими частотами Второй реализуется в системах с существенно разными частотами и может сопровождаться наличием мультистабильности При мягком переходе имеет место постепенная подстройка усредненных наблюдаемых частот вращений элементов цепочки, в то время как при жестком режиме переход от структуры из N\ синхронизованных кластеров к структуре из N2 кластеров происходит скачком; г) Соседние элементы могут образовывать кластеры взаимно синхронизованных элементов: д) Для случайного распределения индивидуальных частот может наблюдаться эффект нелокальной синхронизации; е) Возможна мультиста-бильность различных синхронных режимов; ж) Для неравномерно вращающихся ротаторов переход к глобальной синхронизации как правило мягкий: з) Для равномерно вращающихся ротаторов частота глобальной синхронизации равна средней индивидуальной частоте в ансамбле; и) Для сильно неравномерно вращающихся систем доминируют элементы с более высокой частотой: к) При мягком переходе перестройка структур синхронизации сопровождается хаотизацией вращений.

Вторая часть этой главы (раздел 4.5) посвящена изучению явления синхронизации в ансамблях фазовых осцилляторов второго порядка - систем маятникового типа:

ф3 + \ф} + sin (fij = LJj+dsin(t/5J+i - Ifj) + dsin(<Pj_i - <Pj); (7)

где A - коэффициент трения, ш}- внешнее постоянное воздействие и d -

коэффициент связи. Показано существование двух типов синхронных режимов: низко - и высокочастотного. Первый связан с наличием при определенных условиях солитонных движений.

Результаты, представленные в этой главе, имеют особое значение для понимания и описания процессов синхронизации во всех системах, рассматривающихся в следующих главах. Изложенный в этой главе подход, базирующийся на вычислении условий частотного и фазового захватов, позволяет исследовать синхронные режимы в непрерывных и дискретных во времени системах с разнообразным регулярным и хаотическим поведением Важно подчеркнуть, что дальнейшее изучение эффектов синхронизации проводится для ансамблей связанных регулярных или хаотических * динамических систем, которые имеют собственные характерные времен-

ные масштабы (в самом простом случае для периодических осцилляторов или ротаторов это периоды движений) и поэтому позволяют вводить фа> зу и частоту колебаний. Именно это дает возможность сформулировать задачу синхронизации как задачу достижения определенных частотных и (или) фазовых соотношений. Поэтому описанные в этой главе эффекты являются типичными для ансамблей, изучаемых в следующих главах.

Пятая глава начинается с короткого введения в изучаемую проблему синхронизации в ансамблях регулярных осцилляторов (раздел 5.1) связанных локально диффузионно. Цепочки осцилляторов с однородной частотной расстройкой подробно исследованы для дискретного аналога уравнения Гинзбурга-Ландау в разделе 5.2. В параграфе 5.2.1 приводится модель цепочки связанных осцилляторов Ван дер Поля:

х3 -I- х} - 2ер(1 - х2})х1 = -2еА]х] + 2ей{х]-1 - 2х3 + х]+1). (8)

где Д; - частотная расстройка относительно индивидуальной частоты первого осциллятора и\ = 1, <1 - коэффициент связи между осцилляторами. £ - малый параметр. Граничные условия - свободные концы. | Глобальная синхронизация рассматривается в параграфе 5.2.2. кла-

стерная синхронизация - в параграфе 5.2.3. Мультистабильные режимы обсуждаются в параграфе 5.2.4. В параграфе 5.2.5 формирование синхронных кластеров, разделенных областью невозбужденных осцилляторов, интерпретируется в терминах эффекта вымирания колебаний. Динамика цепочки при нелинейном распределении индивидуальных частот представлена в разделе 5.3. Формирование кластеров синхронизации с помощью периодического по пространству возмущения индивидуальных частот изучено в параграфе 5.3.1. В параграфе 5.3.2 показано влияние мелкомасштабных, случайных по пространству возмущений индивидуальных частот на синхронизацию в цепочке. Нелинейные эффекты, которые не описываются уравнением Гинзбурга-Ландау, рассматриваются в р.иде-

ле 5.4 на примере ансамбля связанных осцилляторов Ван дер Поля В разделе 5.5 приведены основные полученные результаты- а) Обнаружены и исследованы типичные особенности возникновения и существования режимов глобальной и кластерной синхронизации; б) Показано существование двух сценариев - мягкого и жесткого - переходов между структурами, состоящими из различного числа кластеров синхронизации. Эти два сценария непосредственно следуют из свойств синхронизации двух систем; в) Исследовано влияние различных типов распределений индивидуальных частот на синхронизацию. Показано, что при случайном распределении частот в некотором интервале синхронизация наступает при более слабой связи, чем при линейном распределении частот внутри того же интервала: г) Обнаружен эффект вымирания колебаний. Вымирание может иметь место как для части элементов в цепочке, так и для всей цепочки вцелом; д) Предложены механизмы управления структурами синхронизации с помощью применения пространственно неоднородного воздействия; е) Обнаружено различие в переходах к глобальной синхронизации для слабой (квазигармонические колебания) и сильной (релаксационные колебания) нелинейности. Показано, что в цепочке с фиксированным распределением индивидуальных частот глобальная синхронизация наступает при меньшей связи при сильной нелинейности, чем при слабой.

Дискретный аналог уравнения Гинзбурга-Ландау является моделью произвольной неравновесной среды вблизи критической точки возбуждения автоколебаний. Следовательно, представленные результаты могут быть распространены на широкий класс дискретных сред. Исследование коллективной динамики ансамбля осцилляторов Ван дер Поля важно при моделировании процессов в сердечной мышце и нейронных волокнах.

В шестой главе рассматриваются коллективные эффекты в цепочке непрерывных во времени хаотических осцилляторов. Раздел 6.1 посвящен описанию изучаемой модели - цепочки локально диффузионно связанных неидентичных осцилляторов Ресслера:

Xj = -uJjPj - Zj,

= UjXj + ay3 + d(yJ+\ - 2y} + (9)

ij — b + (х} - c)z}.

Здесь a.b. с - параметры индивидуального осциллятора и d- коэффициент связи. Параметр соответствует индивидуальной частоте j-того осциллятора.

В разделе 6.2 кратко обсуждаются определения фазы и частоты хаотических колебаний, а также критерии синхронизации. В разделах 6.3 и 6.4 представлена хаотическая фазовая синхронизация в цепочках связанных осцилляторов Ресслера с линейным и случайным распределением

индивидуальных частот, соответственно. Установлено, что : а) Если индивидуальный аттрактор является фазо-когерентным, то коллективная динамика цепочки хаотических осцилляторов подобна динамике цепочки периодических осцилляторов; б) Режим глобальной синхронизации в цепочке появляется при превышении коэффициентом связи некоторого критического значения; в) Имеют место два сценария синхронизационных переходов: мягкий и жесткий; г) При мягком переходе к режиму глобальной синхронизации степень хаотичности синхронизованных колебаний очень велика: число положительных показателей Ляпунова равно числу элементов в ансамбле, в то время как при жестком переходе степень хаотичности существенно ниже: только несколько показателей Ляпунова остаются положительными; д) Имеет место явление вымирания хаотических колебаний. Раздел 6.5 посвящен обсуждению коллективного поведения в ансамбле осциляторов Ресслера с фазо-некогерентными аттракторами - аттракторами-воронками. Показано, что в этом случае из-за сложности динамики индивидуальных систем достижение фазовой синхронизации довольно трудно или даже невозможно. Вместе с тем тенденция к более упорядоченному поведению с ростом связи является четко выраженной. В разделе 6.6 суммируются результаты главы.

В седьмой главе изучаются условия возникновения периодической и хаотической фазовой синхронизации в цепочке связанных неидентичных отображений окружности. В разделе 7.1 приведена изучаемая модель, записанная в виде системы разностных уравнений:

Ъ = Щ+<Р]~ Р{ч>]) + фга(^+1 - <Р]) + - (р})). (10)

где (1 - коэффициент связи. Функция - кусочно-линейная 27г-перио-дическая функция вида:

= (И)

1Г

определенная в интервале [—я-, тг] и с - управляющий параметр.

Разделы 7.2 и 7.3 посвящены синхронизации регулярных и хаотических отображений окружности, соответственно. Результаты суммируются в разделе 7.4. Они следующие: а) Для цепочки связанных отображений окружности обнаружено существование режимов глобальной и кластерной синхронизации. Эти режимы наблюдались и для периодических и для хаотических отображений; б) Для отображений с равномерным ростом фазы (с = 0) при любом распределении индивидуальных частот частота глобальной синхронизации равна средней частоте элементов ансамбля; в) В отличие от непрерывных во времени фазовых осцилляторов увеличение связи ведет к десчнхронизации, то есть режимы глобальной или кластерной синхронизации сменяются режимом несинхронного поведения: г) Как

и для цепочек непрерывных во времени периодических и хаотических осцилляторов для связанных отображений окружности обнаружены мягкий и жесткий сценарии переходов между кластерными структурами синхронизации: д) Жесткий переход между кластерными структурами синхронизации типичен для существенно равномерных вращений, в то время как мягкий переход наиболее часто наблюдается для неравномерных вращений.

Все представленные свойства, особенно тот результат, что режим синхронизации может быть нарушен при увеличении связи, могут иметь важное значение при проектировании систем цифровой фазовой автоподстройки частоты.

В восьмой главе представлены эффекты фазовой синхронизации в цепочке точечных отображений, демонстрирующих хаотические колебания с перемежаемостью 1-го типа (раздел 8.1):

Ъ = Мх,) + (1(х,-1 - 2х, + Х]+{), (12)

где й - коэффициент связи, функция ]3{х) состоит из стандартной квадратичной части, отвечающей за относительно длительную ламинарную стадию колебаний и некоторой возвращающей части, которая обеспечивает скачки переменной х:

е} + х + х2, если х < 0.2,

(13)

д(х - 0.2) -г,- 0.24, если х > 0.2,

Ш =

где е] -управляющий параметр. Для этой цепочки показано существование режимов глобальной и кластерной (для случайного распределения управляющего параметра) синхронизации. Обнаружено, что с ростом связи режим глобальной или кластерной синхронизации может сначала сменяться режимом, при котором синхронизация чередуется во времени с несинхронными колебаниями, а затем возникает режим полностью несинхронных колебаний, представляющий собой пространственно-временную перемежаемость.

В разделе 8.2 переход "синхронизация - десинхронизация"с ростом связи продемонстрирован для цепочки точечных отображений, генерирующих спайковую активность, характерную для нейронов:

х*+1 = /(**, X*"1, ф + <*(х*+1 - 2х* + х*_,),

(14)

У^1 = 2/? - И(х) + 1) + /иг, + ^(4+х ~ 2хз +

где х} и у, - быстрая и медленная переменные, /1 и а - параметры индивидуального отображения, Л - коэффициент связи. Функция /(•, •, -) имеет

вид:

а/( 1 — хк) + ук, если хк < 0.

а -I- ук, если 0 < хк < а + у* /(*к,хк-1,ук) = ' и хк~1 < 0,

—1, если хк > а + ук или г''-1 > О

В девятой главе исследуется коллективное поведение в системе двух связанных цепочек идентичных периодических осцилляторов. Глава начинается с короткого введения в проблему и представления изучаемой модели. Это два связанных дискретных уравнения Гинзбурга-Ландау: Цепочка А:

а} = (р + iA)aJ - (1 + юс)\а}\2а,+

(<¿1 + ¿¿2X^+1 - 2а} + а3-х) -I- с{Ь3 - а3).

Цепочка В:

Здесь Д и а описывают линейную и нелинейную частотную расстройки между осцилляторами из разных цепочек, р - амплитуда колебаний. <1\ и ¿2 коэффициенты активной (диссипативной) и реактивной (консервативной) связи между элементами в каждой цепочке и с - коэффициент связи между цепочками.

В разделе 9.2 описываются механизмы образования структур синхронизации. Коллективные эффекты в цепочках осцилляторов, связанных только диесипативно, обсуждаются в разделе 9.3. Показано, что : а) Две связанные цепочки осцилляторов с различными коллективными частотами каждая демонстрируют существование синхронных колебаний и вымирание колебаний, а также существование фронтов переключения между этими состояниями; б) Неоднородные состояния, сформированные фронтами переключения, могут сохраняться при слабой связи между осциллятора-йи 'в каждой цепочке благодаря дискретности модели Это обеспечивает условия существования локализованных структур (кластеров) синхронизации; в) При более сильной связи начинают распространяться фронты переключения из синхронного состояния в состояние колебательной смерти; г) Переходы от распространения к нераспространению фронтов между синхронизованными и невозбужденными осцилляторами происходят через перемежаемость Распространение фронтов синхронизации и влияние шума в цепочках ди'ссипа+ивно и консервативно связанных осцилляторов

Ь, = рЬ3 -

+¿1(^+1 - 2Ь} + Ъ^х) + с(а} - Ь})

(17)

рассматриваются в разделе 9.4. В разделе 9 5 приведены основные результаты главы.

Основываясь на полученных результатах можно подчеркнуть следующее: Механизмы формирования локализованных структур позволяют лучше разобраться в происхождении маломерного хаоса в многомерных распределенных системах. В частности, слабо связанные кластеры из т < .V элементов часто образуются в больших ансамблях из N идентичных или неидентичных осцилляторов Как следует из представленного выше анализа только кластеры из взаимно синхронизованных элементов могут выживать в определенных областях параметров. В результате эффективное число степеней свободы, достаточных для описания динамики системы существенно уменьшается. Наш анализ подтверждает, что при некоторых условиях этот механизм также эффективен при хаотической синхронизации и именно он приводит к формированию локализованных структур с маломерной хаотической динамикой. С другой стороны, формирование различных сложных структур, наблюдаемых при задании относительно простых, но неоднородных начальных условий, указывает на то, что изученное явление может также быть ответственно за формирование пространственного беспорядка при распространении фронтов переключения в ансамблях осцилляторов.

В десятой главе описывается метод автоматической синхронизации в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов, связанных при помощи контуров обратной связи. Он основан на широко известных принципах автоподстройки, используемых в теории систем фазовой синхронизации. Предлагаемый метод требует наличия специальных управляющих элементов - контроллеров, которые позволяют менять параметры в управляемых системах Сначала (раздел 10 1) представляются общие принципы автоматической фазовой синхронизации для осцилляторов общего вида, связанных через контроллеры.

Система дифференциальных уравнений, описывающая процесс автоматической синхронизации N осцилляторов, может быть записана в виде:

где X] и Р] - я-мерные векторы переменных ]-тото элемента, - параметры. определяющие характерные временные масштабы (в некоторых случаях, частоты) колебаний Ь - линейный оператор (т.е., Ь =

ад.^+ад-1 д^-К-.+си^+ао), действующий как низкочастотный фильтр; функция С2](х1..... Хх) имеет в общем случае вид

х} = Р}(хуш] + а3и}), Ьи3 = (}3{х1, ...,хц),

(18)

ЛГ

где €¿1 - квадратичная форма координат парциальных систем: = х^Нхк характеризующая связь между и к-м осцилляторами. Т - оператор транспонирования. Функцию (¿к можно рассматривать как выход некоторого коррелятора, и поэтому, как правило, она составлена из соответствующих перекрестных членов. Матрица Я имеет размеры п х гг а} -параметр ¿-го контроллера; иД£) - управляющий сигнал, вырабатываемый ^-м контроллером и подаваемый в ^'-й элемент ансамбля таким образом. чтобы его характерный временной масштаб подстраивался под характерные временные масштабы других элементов. Спектр колебаний сигнала (¿^¿.х/,.) состоит из низкочастотной составляющей, определяемой разностью наблюдаемых частот П*. — Г2,. и высокочастотной составляющей, определяемой суммой наблюдаемых частот + Низкочастотный фильтр выбирается так, чтобы высокочастотная составляющая не попадала в полосу его пропускания. Таким образом, управляющий сигнал и;(<) является медленно меняющимся во времени колебанием, спектр которого расположен в полосе ([0.— П>|]).

Эффективность предложенного метода управляемой фазовой синхронизации демонстрируется на нескольких примерах: двух связанных периодических осцилляторов (раздел 10.2), связанных периодического и хаотического осцилляторов (раздел 10.3), двух связанных хаотических осцилляторов Ресслера (раздел 10.4). связанных систем Ресслера и Лоренца (раздел 10.5). ансамблей локально связанных периодических осцилляторов (раздел 10.7). ансамблей локально и глобально связанных хаотических осцилляторов Ресслера (раздел 10.8).

Главные преимущества этого метода, приведенные в разделе 10.9. следующие: а) Влияние амплитуд взаимодействующих систем на разность их фаз обеспечивает высокую эффективность представленного подхода-б) Метод может быть использован для достижения режима синхронизации осцилляторов различной природы (как регулярных, так и хаотических), различной топологии (например, осцилляторов Ресслера и осцилляторов Лоренца) и различной сложности регулярных и хаотических колебаний (например, хаотических и гипер-хаотических осцилляторов Ресслера); в) Фазовая синхронизация устанавливается при очень малых значениях управляющего параметра в петле обратной связи между подстраиваемыми элементами; г) Метод может использоваться для синхронизации элементов в малых (две единицы) и больших (цепочки и решетки) ансамблях.

В Заключении приведены основные результаты диссертации

Основные результаты и выводы

1. Разработаны основы теории фазовой синхронизации в неоднородных ансамблях локально диффузионно связанных регулярных и хаотических осцилляторов с непрерывным и дискретным временем. Ключевым моментом при постановке и решении задачи фазовой синхронизации является возможность аналитического или численного определения характерных частот и фаз колебаний. Сведение рассматриваемых моделей к уравнениям для фаз и(или) численное определение фаз и характерных частот колебаний позволяет исследовать процессы синхронизации в ансамблях хаотических и периодических осцилляторов с единых позиций, а именно, с позиций достижения фазовой и частотной подстройки.

2. Установлено существование хаотической фазовой синхронизации в ансамблях связанных осцилляторов и в ансамблях связанных ротаторов. При этом показано, что хаотическая фазовая синхронизация во многом аналогична синхронизации в ансамблях периодических осцилляторов.

3. Показано, что переход к синхронизованному фазовому поведению хаотических осцилляторов и ротаторов может происходить через бифуркации или внутренние кризисы хаотических аттракторов.

4. С использованием развитого в работе подхода, основного на анализе выполнения условий частотной и фазовой подстройки, установлена общность процессов периодической и фазовой хаотической синхронизации для широкого класса ансамблей, состоящих из базовых нелинейных элементов: фазовых систем первого (ротатор) и второго (маятник) порядков; осцилляторов Ван дер Поля; осцилляторов Ресслера; отображений окружности' отображений, моделирующих хаотические колебания с перемежаемостью: отображений, моделирующих спайковую и береговую активность нейроно-подобных элементов. Для всех рассмотренных моделей

• Установлено существование режимов глобальной и кластерной синхронизации.

• Обнаружено существование двух сценариев - мягкого и жесткого - переходов между структурами, состоящими из различного числа кластеров синхронизации. В первом случае имеет место плавная подстройка усредненных частот колебаний элементов цепочки. Во втором с лучае переход от структуры из синхронизованных кластеров к структуре из N2 кластеров происходит скачком. Мягкий переход имеет место при взаимодействии осцилляторов с относительно близкими характерными частотами или осцилляторов с существенно различными мгновенными частотами колебаний; относительно слабой спя ¡и. Жспкий переход реализуется при взаимодействии осциллято-

ров с существенно разными частотами- относительно сильной связи и сопровождается, как правило наличием мультистабильности.

• Показано, что топология колебаний существенно влияет на механизмы установления и характеристики синхронных режимов. При сложной динамике индивидуальных систем достичь фазовой синхронизации довольно трудно или даже невозможно.

• Обнаружено, что для ансамблей систем с дискретным временем типичным является переход от синхронного поведения к несинхронному при увеличении межэлементной связи.

• Показано существование эффекта нелокальной синхронизации ири случайном распределении индивидуальных частот.

5. Проведенное систематическое исследование коллективной динамики кроме указанных общих для всех рассматриваемых ансамблей эффектов позволило получить следующие результаты:

• Для систем, хаотические аттракторы которых рождаются через удвоения периодов периодических движений и через перемежаемость, показано что при определенных условиях они могут быть синхронизированы по частоте и фазе внешним периодическим воздействием.

• Для системы двух связанных осцилляторов Ресслера обнаружено, что существуют три типа перехода к хаотической фазовой синхронизации в зависимости от свойств когерентности движения, количественно определяемых через диффузию фазы.

• В цепочках однонаправленно и взаимно связанных фазовых осцилляторов с линейным распределением индивидуальных частот существует критическое значение силы связи, для которого в цепочках произвольной длины наступает режим глобальной синхронизации.

• В цепочке однонаправленно связанных фазовых осцилляторов "вши по потоку"возможны переходы "синхронизация - десинхронизация"н "десинхронизация - синхронизация", и наблюдается развитие турбулентного поведения по сценарию Ландау-Хопфа.

• Для цепочки связанных элементов маятникового типа показано существование двух типов синхронных режимов: низко - и высокочастотного, первый из которых связан с наличием при определенных условиях солитонных движений.

• Для цепочек осцилляторов Ван дер Поля и осцилляторов Ресслера обнаружен эффект вымирания колебаний, который может иметь место как для части элементов в цепочке, так и для всей цепочки в-целом.

• Для цепочки связанных отображений, генерирующих хаотические колебаний с перемежаемостью 1-го типа, обнаружено, что с ростом связи режим глобальной или кластерной синхронизации может сначала сменяться режимом, при котором синхронные колебания чередуются во времени с несинхронными колебаниями, а затем возникает режим полностью несинхронных колебаний, представляющий собой пространственно-временную перемежаемость.

• Для двух связанных цепочек осцилляторов с различными коллективными частотами продемонстрировано существование синхронных колебаний и вымирания колебаний, а также существование фронтов переключения между этими состояниями.

6. Предложен метод автоматической фазовой синхронизации в больших ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов, связанных при помощи контуров обратной связи. Метод может быть использован для достижения режима синхронизации осцилляторов различной природы (как регулярных, так и хаотических) и различной сложности колебаний (например, хаотических и гиперхаотических осцилляторов Ресслера, системы Лоренца).

Список работ по теме диссертации

1. Афраймович B.C. Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость. структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации.// Под ред. Гапонова-Грехова А.В. и М.И.Рабиновича М.И., Горький: Изд-во ИПФ РАН. 1989. 254 с. Английский перевод: Afraimovich V.S., Nekorkin V.I., Osipov G.V . Shalfeev V.D. Stability, structures and chaos in nonlinear synchronization networks. Singapore: World Scientific, 1994. 246 p.

2. Осипов Г.В. О развитии турбулентности по Ландау в дискретной модели потоковых систем // Изв вузов.-Радиофизика. 1988. Т.31, №5.С.624-627.

3. Осипов Г.В.. Шалфеев В Д. Стационарные режимы в цепочке одно-нанравленно связанных систем фазовой синхронизации // Радиотехника. 1988. №З.С 27-31.

4 Оси пои Г В.. Шалфеев В Д Переходные процессы в цепочке одно-lutiipaiiJK'iiiio связанных систем фазовой синхронизации // Радиотехника 1088. КЮ С 19-23.

5. Осипов Г.В., Шалфеев В.Д Автоматизация вычисления полосы захвата нелинейных систем фазовой синхронизации '' Радиотехника. 1988 №9 С.88-90.

6 Осипов Г.В . Шалфеев В Д Динамика цепочки взаимосвязанных систем фазовой синхронизации '/ Радиотехника 1989 №8.С 21-23

7 Гапонов-Грехов А В . Ломов А С., Осипов Г В . Рабинович М И Рождение и динамика двумерных структур в неравновесных диссипативных средах ! / Труды VIII школы "Нелинейные Волны Динамика и эволюция". 1991. Нижний Новгород. Россия. С 61-83.

8 Осипов Г.В.. Рульков НФ. Славинский М.М Шалфеев ВД Динамика системы управления цепочкой взаимодействующих монополей Препринт ИПФ АН СССР. N252. 1990. с.27.

9 Осипов Г.В.. Сущик М.М. Механизм образования локализованных структур в связанных цепочках автогенераторов '' Изв вузов - Прикладная нелинейная динамика 1994 Т 2.N1 С 24-29

10. Alexeev A. A. Osipov G V.. Shalfeev V.D Effects of square-wave modulation on CNN patterns '' IEEE Tr. Circuit and Systems-I: Fundamental theory and applications. 1995. V 42,N10 P.700-705.

11. Osipov G.V.. Shalfeev V.D. The evolution of spatio-temporal disorder in a chain of unidirectionally coupled Chua's circuit ' IEEE Tr Circuit and Systems-I: Fundamental theory and applications. 1995 V.42.N10. P.687-692

12. Osipov G.V. , Sushchik M.M Synchronized patterns in two-layer arrays of oscillators // Proc.of Int.Symp. NOLTA, Las Vegas, USA, 1995 P 323-328.

13. Осипов Г.В., Сущик М.М. Автоструктуры и ритмы в связанных решетках автогенераторов /1 Труды Межд. школы "Нелинейные волны Синхронизация и структуры" Нижний Новгород. Россия 1995 С 121-126

14 Osipov G.V. . Shalfeev V.D. Chaos and structures in a chain of mutually coupled Chua's circuits //' IEEE Tr Circuit and Systems-I- Fundamental theory and applications. 1995. V 42.N10 P.693-699.

15. Osipov G.V.. Sushchik M.M. Coherent structures in coupled chain of self-excited oscillators // Physics Letters A. 1995. V.201. P.205-212.

16. Shalfeev V.D., Osipov G.V., Kuznetsov A.S. Spatio-temporal dynamics in Chua's circuits network // Proc. of 3rd Int. Spec. Workshop NDES. Dublin. Ireland, 1995. P.299-302.

17. Осипов Г.В., Сущик M.M.. Когерентные структуры в связанных цепочках автогенераторов //' Журнал технической физики 1996 Т.66. N3. С.1-11.

18. Козлов А.К., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Импульсное подавление хаотических колебаний // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика- синхронизация и хаос. 1996. С.113-121.

19. Kozlov А.К , Osipov G V.. Shalfeev V.D. Suppressing chaos in continuous

systems by impulse control // Proc.of Int.Conf. "Control of oscillations and chaos". St.-Petersburg. Russia, 1997. P.578-581.

20. Осипов Г.В.. Сущик M M. Синхронизация и управление в цепочках связанных автогенераторов / / Вестник ННГУ. Нелинейная динамика-синхронизация и хаос. 1997. С.5-25.

21. Pikovsky A.S . Rosenblum M.G., Osipov G.V., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving // Physica D. 1997. V.104. P.219-238.

22. Осипов Г.В., Козлов А.К., Шалфеев В.Д. Импульсное управление хаотическими колебаниями // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика- синхронизация и хаос. 1997. С.65-77.

23. Osipov G V., Shalfeev V.D., Kurths J. Assymetry of coupling in a chain ' of discrete phase-locked loops as a reason of chaos suppression // Proc.of Int.Conf "Control of oscillations and chaos". St.-Petersburg, Russia, 1997. P.150-151. ]

24 Osipov G V.. Sushchik M M The effect of natural frequency distribution on synchronization in oscillator arrays // Proc.of Int. Conf. "Control of oscillations and chaos", St. -Petersburg, Russia. 1997. P.379-380.

25 Pikovsky A S., Zaks M., Rosenblum M.G., Osipov G.V., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators in terms of periodic orbits // Chaos. 1997.V.7.P.680-687.

26. Osipov G.V., Kozlov A K.. Shalfeev V.D. Controlling chaotic oscillations by impulse feedback // Proc. of 5th Int. Spec. Workshop NDES. Moscow, Russia. 1997. P. 115-120.

27 Shalfeev V D.. Osipov G.V. Chaotic phase synchronization of coupled PLLs // Proc. of 5th Int. Spec. Workshop NDES. Moscow, Russia, 1997. P. 139144.

28. Osipov G V.. Sushchik M.M. The effect of natural frequency distribution

on cluster synchronization in oscillator arrays // IEEE TV. circuits and Systems- *

I: Fundamental theory and applications. 1997. V.44,N10.P.1006-1010.

29. Осипов Г.В.. Шалфеев В.Д. Фазовая синхронизация хаотически модулированных сигналов // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика- синхро- , низация и хаос. 1997. С. 77-85.

30 Osipov G.V.. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization effect in a lattice of nonidentical Rossler oscillators // Physical Review E. 1997. V.55. P.2253-2261.

31. Pikovsky A.S., Osipov GV.. Rosenblum M.G., Zaks M., Kurths J. Attraetor-repell« collision and eyelet intermittency at" the transition to phase synchronization // Physical Review Letters. 1997.V.79.P.47-50.

32 Osipov G V . Sushchik M.M. Self-structures and rhythms in coupled arrays of oscillators // Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Physics/

Supplement Physics of Vibrations.l997.V.61,N7.P 41-45

33. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В.. Козлов А.К., Волковский АР. Хаотические колебания - генерация, синхронизация, управление Успехи современной радиоэлектроники. 1997. Т.10. С.27-50.

34. Osipov G.V., Sushchik M M. Synchronized clusters and multistability in arrays of oscillators with different natural frequencies // Physical Review E. 1998. V.58.P.7198-7207.

35. Osipov G.V., Shulgin B.V., Collins J.J. Controlled movement and suppression of spiral waves in excitable media // Physical Review E. 1998. V.58. P.6955-6958.

36. Rubchinsky L.L.. Sushchik M.M.. Osipov G.V. Controlled formation of synchronized clusters in arrays of diffusively coupled Van der Pol oscillators /'/' Proc.of Int.Symp. NOLTA. Crans-Montana. Switzerland. 1998. P.531-534.

37 Osipov G.V.. Glatz L.. Troger H. Suppressing chaos in Duffing oscillator by impulsive action / ' Chaos, solitons and fractals. 1998 V.9.N1 2.P.307-321.

38. Osipov G.V., Kozlov A.K.. Shalfeev V.D. Impulse control of chaos in continuous systems , 1 Physics Letters A. V.247.P.119-128.

39 Osipov G.V., Collins J.J. Using weak impulses to suppress travelling waves in excitable media /1 Physical Review E. 1999. V.60. P.54-57.

40. Pradines J., Osipov G.V., Collins J.J. Coherence resonance in excitable and oscillatory systems: The essential role of slow and fast dynamics Physical Review E. 1999.V.60.P.6407-6410.

41. Osipov G.V., Stamp A., Collins J.J. Suppressing arrhythmias in cardiac models with overdrive pacing // Proc of Int.Conf. "Control of oscillations and chaos". St-Petersburg, Russia, 2000.P.453-456.

42. Rubchinsky L.L., Sushchik M.M., Osipov G.V. Intermittent front propagation in arrays of bistable oscillators '/ Proc. of Int.Symp. NOLTA. Dresden. Germany, 2000. P.273-276.

43. Osipov G.V., Kurths J. Synchronization of coupled circle maps Proc of 9th Int. Spec. Workshop NDES. Delft.The Netherlands, 2001. P 93-9G.

44. Иванченко M.В., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Взаимная синхронизация в системе двух связанных генераторов Ван-дер-Поля Труды (пятой) научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летшо со дня рождения А.А.Андронова. / Ред. А.В.Якимов. Н.Новгород. 2001 С. 131-132.

45. Ivanchenko M.V., Osipov G.V., Shalfeev V.D. Self-synchronization of nonscalar-coupled limit-cycle oscillators // Proc. of Int. Conf. "Progress in Nonlinear Science", v.III "Nonlinear oscillations, Control and Information". Nizhny Novgorod, Russia, 2002. P.170-175.

46. Osipov G.V., Ivanchenko M.V., Zhou Ch., Kurths J. Routes to phase1 synchronization in coupled chaotic oscillators // Proc. of 11th Int. Spec. Work-

shop NDES Scuol. Switzerland, 2003. P.189-192.

47. Иванченко MB . Осипов Г В., Шалфеев В Д. Иерархии регулярной и хаотической синхронизации в системе связанных осцилляторов Рес-слера Труды (шестой) научной конференции по радиофизике / Ред. А В Якимов. Н.Новгород, 2002. С.114-115.

48 Belykh V.N.. Osipov G.V., Kurths J. Controlled phase synchronization in oscillatory networks // Proc. of PhysCon. St.-Petersburg, Russia, 2003. P.261-266.

49. Ivanchenko M.V., Osipov G V., Shalfeev V.D. Synchronization of Chaotic Oscillators with Type-I Intermittency // Proc. of PhysCon. St.-Petersburg, Russia. 2003. P.563-568.

50 Osipov G V.. Belykh V.N. Synchronization in ensembles of feedback coupled oscillators /1 Proc of Uth Int. Spec. Workshop NDES. Scuol, Switzerland. 2003 P. 185-188.

51 Boccaletti S., Kurths J.. Osipov G V., Valladares D.L., Zhou Ch. The synchronization of chaotic systems // Physics Reports. 2002. V.366. P.l-101.

52 Osipov G.V . Pikovsky A S., Kurths J. Phase synchronization of chaotic rotators / Physical Review Letters. 2002.V.88.P. 0541021-0541024.

53. Osipov G.V , Kurths J. Regular and chaotic phase synchronization of coupled circle maps // Physical Review E. 2002. V.65. P.0162161-01621613.

54 Rubchinsky L.L., Sushchik M.M., Osipov G V. Patterns in networks of oscillators formed via synchronization and oscillator death // Mathematics and Computers in Simulation. 2002. V.58. P.443-467.

55 Stamp А.Т., Osipov G.V., Collins J.J. Suppressing arrhythmias in cardiac models using overdrive pacing and calcium channel blockers // Chaos.

2002 V 12 P.931-939.

5G Rosenblurn M G , Pikovsky AS., Kurths J., Osipov G.V., Kiss I.Z., Hudson J L Locking-based frequency measurement and synchronization of chaotic oscillators with complex dynamics // Physical Review Letters. 2002.

V 89. P 2641021-2641024.

57 Osipov G V , Ни В , Zhou Ch., Ivanchenko M.V., Kurths J. Three types of transitions to phase synchronization in coupled chaotic oscillators // Physical Review Letters 2003. V.91. P.0241041-0240144.

58 Ни В . Osipov G V , Yang H -L , Kurths J. Oscillatory and rotatory synchronization of chaotic autonomous phase systems // Physical Review E.

2003 V 67 P 0662161-0662169

59 Ivanchenko M V Osipov G V , Shalfeev V D , Kurths J Phase synchronization in ensemble of bursting oscillators // Physical Review Letters. 2004

V 93 P134101-134104

CO Ivanehenko M V., Osipov G V Shalfeev V.D , Kuiths J. Synchronization of (wo non-scalar-coupled lirnit-cyde oscillators // Physica D. 2004. V 189.

Р.8-30.

61. Ivanchenko M.V., Osipov G.V.. Shalfeev V D.. Kurths J. Phase synchronization of chaotic intermittent oscillations // Physical Review Letters 2004 V.92. P.134101-134104.

62. Белых B.H., Осипов Г.В. Автоматическая синхронизация колебаний в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов /1 Радиотехника и

электроника. 2004. Т.49,№8 С.951-954.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Оглавление 2

Введение 7

1 Модели. Фаза и частота колебаний. Критерии синхронизации 27

1.1 Базовая конфигурация ансамбля осцилляторов..........27

1.2 Основные модели......................................28

1.2.1 Осциллятор Ван дер Поля........................29

1.2.2 Осциллятор Ресслера..............30

1.2.3 Система Лоренца..................34

1.2.4 Фазовые осцилляторы................36

1.2.5 Отображения для описания колебаний в нейроно-подобиых моделях........................................49

1.3 Критерии синхронизации..................51

2 Синхронизация внешним периодическим воздействием 52

2.1 Синхронизация регулярной автоколебательной системы внешней периодической силой..................................53

2.1.1 Слабое воздействие. Фазовое описание 53 2.1 2 Синхронизация осциллятора Ван дер Поля внешней

силой..................................................55

2.2 Фазовая синхронизация хаотического осциллятора Ресслера внешним периодическим воздействием об

2.3 Переход к хаотической фазовой синхронизации Роль неустойчивых периодических орбит......................................61

2.4 Вынужденная фазовая синхронизация хаотических колебаний с перемежаемостью..........................................64

2.4.1 Вынужденная синхронизация системы Лоренца. ... 65

2.4.2 Вынужденная синхронизация модельного квадратичного отображения..........................................66

2.5 Выводы..........................................................71

3. Синхронизация двух связанных систем 74

3.1 Синхронизация периодических Осцилляторов..................74

3.1.1 Слабая связь. Фазовое приближение....................75

3 1.2 Синхронизация связанных осцилляторов Ван дер Поля 78

3.1.3 Синхронизация связанных активных ротаторов ... 89 3 2 Синхронизация хаотических осцилляторов....................91

3.2.1 Фазовая синхронизация осцилляторов Ресслера ... 92

3.2.2 Синхронизация связанных осцилляторов с хаотической перемежаемостью..................105

3 3 Синхронизация связанных отображений окружности .... 109

3.3.1 Периодическая синхронизация.............110

3.3.2 Хаотическая синхронизация...............ИЗ

3.3.3 Выводы..........................121

4 Синхронизация в сетях фазовых осцилляторов 123

4 1 Модели ............................124

4.2 Однонаправленная связь ....................126

4 3 Синхронизация в цепочке взаимосвязанных фазовых осцилляторов ..............................135

4.3.1 Синхронизация, кластеризация и мультистабильность в цепочке с линейно распределенными индивидуальными частотами ...................139

4.3.2 Синхронизационные переходы в сетях со случайно распределенными индивидуальными частотами 144

4 4 Влияние неравномерности »ращений на синхронизацию . 147

4.5 Синхронизация в цепочке систем маятникового типа 151

4.6 Выводы..............................154

5. Синхронизация в ансамблях периодических осцилляторов 157

5.1 Предмет исследования......................158

5.2 Кластеры синхронизации и мультистабильность при линейном изменении собственных частот вдоль цепочки.....159

5.2.1 Модель ..........................161

5.2.2 Глобальная синхронизация в ансамбле. Стационарные распеделения амплитуд и фаз. Полоса синхронизации ..........................164

5.2.3 Режимы кластерной синхронизации.........165

5.2.4 Мультистабильность...................174

5.2.5 Осцилляторная смерть..................176

5.3 Влияние неоднородности градиента частотных расстроек на

формирование синхронизованных кластеров .....177

5.31 Управление структурами с помощью регулярных неод-

нородностей........................177

5.3.2 Влияние случайного разброса собственных частот на

кластерную синхронизацию...............179

5.4 Синхронизация в цепочке осцилляторов Ван дер Поля . . . 185

5.5 Выводы..............................186

6. Фазовая синхронизация в ансамбле хаотических осцилляторов Ресслера 189

6.1 Основная модель неоднородной цепочки............190

6.2 Определение фазы и частоты. Критерии фазовой хаотической синхронизация ....................... 191

6.3 Фазовая синхронизация в цепочке с линейным распределением индивидуальных частот. Фазо - когерентный аттрактор Ресслера...........................193

6.3.1 Теоретический анализ..................193

6.3.2 Численные результаты..................194

6.4 Синхронизация в цепочке со случайным распределением индивидуальных частот ......................202

6.5 Фазовая синхронизация осцилляторов Ресслера с аттракторами-воронками .............................205

6.6 Выводы..............................210

7. Регулярная и хаотическая фазовая синхронизация связанных отображений окружности 212

7.1 Ансамбли связанных отображений окружности и критерии синхронизация .......................... 213

7.1.1 Тип связи.........................214

7.1.2 Критерии фазовой синхронизации...........216

7.2 Кластерная синхронизация в цепочке периодических отображений окружности.......................217

7.2.1 Линейное распределение индивидуальных частот . . . 217

7.2.2 Случайное распределение индивидуальных частот . . 225

7.3 Хаотическая фазовая синхронизация .............227

7.4 Выводы..............................231

8. Фазовая синхронизация хаотических колебаний с перемежаемостью в цепочках связанных отображений 232

8 1 Цепочка отображений с хаотической перемежаемостью . . 233

8.2 Линейное распределение управляющего параметра......234

8.3 Случайное распределение управляющего параметра. Переход к пространственно-временной перемежаемости......236

8 4 Цепочка отображений, демонстрирующих спайковую активность ................................239

8.5 Выводы..............................241

9. Структуры синхронизации в связанных цепочках периодических осцилляторов 246

9.1 Введение и модель ......... . 246

9.2 Механизм формирования локализованных структур.....248

9.3 Диссипативная связь (нулевая "дисперсия") .........249

9.3.1 Распространение фронта десинхронизации......249

9.3.2 Локализованные структуры синхронизации......251

9.3.3 Нелокальная синхронизация ..............252

9.3.4 Полностью некогерентные (турбулентные) колебания 254

9.4 Нескалярная (диссипативная и консервативная) связь .... 255

9.4.1 Спайковые структуры..................256

9.4.2 Переход от нераспространения к распространению возмущений через перемежаемость ............259

9.4.3 Влияние шума.....................261

9.5 Выводы..............................264

Ю.Управляемая фазовая синхронизация в сетях связанных осцилляторов 268

10.1 Общие принципы автоматической синхронизации.....269

10.2 Две связанные системы Пуанкаре ...............272

10.3 Связанные системы Ван дер Поля и Ресслера.........274

10.4 Два связанных осциллятора Ресслера.............278

10.5 Связанные системы Ресслера и Лоренца............281

10.6 Принципы автоматической синхронизации в сетях связанных осцилляторов ........................ 282

10.7 Синхронизация в ансамбле локально связанных периодических осцилляторов ........................ 285

10.8 Синхронизация хаотических осцилляторов..........288

10.9 Выводы..............................292

Заключение 295

Литература 299

Подписано в печать 29.10.04 Формат 60x84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная.

_Усл. п. л. 2. Заказ № 1384. Тираж 100 экз._

Типография Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. Лиц. ПД № 18-0099 от 4.05.01. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

í 1

i >

Î t

\ í

»26702

РНБ Русский фонд

2006-4 462

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Осипов, Григорий Владимирович

Введение

1 Модели. Фаза и частота колебаний. Критерии синхронизации

1.1 Базовая конфигурация ансамбля осцилляторов.

1.2 Основные модели.

1.2.1 Осциллятор Ван дер Поля.

1.2.2 Осциллятор Ресслера

1.2.3 Система Лоренца.

1.2.4 Фазовые осцилляторы.

1.2.5 Отображения для описания колебаний в нейроно-подобных моделях.

1.3 Критерии синхронизации

2 Синхронизация внешним периодическим воздействием

2.1 Синхронизация регулярной автоколебательной системы внешней периодической силой

2.1.1 Слабое воздействие. Фазовое описание.

2.1.2 Синхронизация осциллятора Ван дер Поля внешней силой . . .'.

2.2 Фазовая синхронизация хаотического осциллятора Ресслера внешним периодическим воздействием.

2.3 Переход к хаотической фазовой синхронизации. Роль неустойчивых периодических орбит.

2.4 Вынужденная фазовая синхронизация хаотических колебаний с перемежаемостью.

2.4.1 Вынужденная синхронизация системы Лоренца.

2.4.2 Вынужденная синхронизация модельного квадратичного отображения.

2.5 Выводы.

3 Синхронизация двух связанных систем

3.1 Синхронизация периодических осцилляторов.

3.1.1 Слабая связь. Фазовое приближение.

3.1.2 Синхронизация связанных осцилляторов Ван дер Поля

3.1.3 Синхронизация связанных активных ротаторов

3.2 Синхронизация хаотических осцилляторов.

3.2.1 Фазовая синхронизация осцилляторов Ресслера

3.2.2 Синхронизация связанных осцилляторов с хаотической перемежаемостью.

3.3 Синхронизация связанных отображений окружности

3.3.1 Периодическая синхронизация.

3.3.2 Хаотическая синхронизация.

3.3.3 Выводы.

4 Синхронизация в сетях фазовых осцилляторов

4.1 Модели

4.2 Однонаправленная связь

4.3 Синхронизация в цепочке взаимосвязанных фазовых осцилляторов

4.3.1 Синхронизация, кластеризация и мультистабильность в цепочке с линейно распределенными индивидуальными частотами

4.3.2 Синхронизационные переходы в сетях со случайно распределенными индивидуальными частотами

4.4 Влияние неравномерности вращений на синхронизацию

4.5 Синхронизация в цепочке систем маятникового типа

4.6 Выводы.

5 Синхронизация в ансамблях периодических осцилляторов

5.1 Предмет исследования.•.

5.2 Кластеры синхронизации и мультистабильность при линейном изменении собственных частот вдоль цепочки.

5.2.1 Модель

5.2.2 Глобальная синхронизация в ансамбле. Стационарные распеделения амплитуд и фаз. Полоса синхронизации

5.2.3 Режимы кластерной синхронизации.

5.2.4 Мультистабильность.

5.2.5 Осцилляторная смерть.

5.3 Влияние неоднородности градиента частотных расстроек на формирование синхронизованных кластеров.

5.3.1 Управление структурами с помощью регулярных неод-нородностей.

5.3.2 Влияние случайного разброса собственных частот на кластерную синхронизацию.

5.4 Синхронизация в цепочке осцилляторов Ван дер Поля

5.5 Выводы.

6 Фазовая синхронизация в ансамбле хаотических осцилляторов Ресслера

6.1 Основная модель цепочки.

6.2 Определение фазы и частоты. Критерии фазовой хаотической синхронизация.

6.3 Фазовая синхронизация в цепочке с линейным распределением индивидуальных частот. Фазо - когерентный аттрактор Ресслера.

6.3.1 Теоретический анализ.

6.3.2 Численные результаты.

6.4 Синхронизация в цепочке со случайным распределением индивидуальных частот

6.5 Фазовая синхронизация осцилляторов Ресслера с аттракторами-воронками

6.6 Выводы.

7 Регулярная и хаотическая фазовая синхронизация связанных отображений окружности

7.1 Ансамбли связанных отображений окружности и критерии синхронизация.

7.1.1 Тип связи.

7.1.2 Критерии фазовой синхронизации.

7.2 Кластерная синхронизация в цепочке периодических отображений окружности.

7.2.1 Линейное распределение индивидуальных частот

7.2.2 Случайное распределение индивидуальных частот

7.3 Хаотическая фазовая синхронизация

7.4 Выводы.

8 Фазовая синхронизация хаотических колебаний с перемежаемостью в цепочках связанных отображений

8.1 Цепочка отображений с хаотической перемежаемостью

8.2 Линейное распределение управляющего параметра.

8.3 Случайное распределение управляющего параметра. Переход к пространственно-временной перемежаемости.

8.4 Цепочка отображений, демонстрирующих спайковую активность

8.5 Выводы.

9 Структуры синхронизации в связанных цепочках периодических осцилляторов

9.1 Введение и модель.

9.2 Механизм формирования локализованных структур.

9.3 Диссипативная связь (нулевая "дисперсия")

9.3.1 Распространение фронта десинхронизации.

9.3.2 Локализованные структуры синхронизации.

9.3.3 Нелокальная синхронизация

9.3.4 Полностью некогерентные (турбулентные) колебания

9.4 Нескалярная (диссипативная и консервативная) связь

9.4.1 Спайковые структуры.

9.4.2 Переход от нераспространения к распространению возмущений через перемежаемость

9.4.3 Влияние шума.

9.5 Выводы.

10 Управляемая фазовая синхронизация в сетях связанных осцилляторов

10.1 Общие принципы автоматической синхронизации.

10.2 Две связанные системы Пуанкаре.

10.3 Связанные системы Ван дер Поля и Ресслера.

10.4 Два связанных осциллятора Ресслера.

10.5 Связанные системы Ресслера и Лоренца.

10.6 Принципы автоматической синхронизации в сетях связанных осцилляторов.

10.7 Синхронизация в ансамбле локально связанных периодических осцилляторов.

10.8 Синхронизация хаотических осцилляторов.

10.9 Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Синхронизация в неоднородных ансамблях локально диффузионно связанных регулярных и хаотических осцилляторов"

Актуальность темы исследования

С проявлением синхронизации можно встретиться в физике, биологии, химии, технике, экономике, науках о жизни, медицине и т.д. Возможна синхронизация как двух элементов так и в ансамблях, состоящих из сотен и тысяч элементов. В радиофизике интенсивно исследуется коллективное поведение лазеров [26], микроволновых генераторов [23], сверхпроводящих джозефсоновских контактов [24,25]. В радиотехнике, радиоизмерениях и радиосвязи синхронизация используется для синтеза и стабилизации частоты генераторов, для демодуляции сигналов в доплеровских системах, в системах точного времени и т.д. [263]. В механике эффект синхронизации нашел широкое применение при конструировании различных вибро-технических устройств [3]. В качестве примеров биологических ансамблей, в которых наблюдается синхронизация приведем: колонии одновременно вспыхивающих светлячков [13]; клетки, формирующие сердечный ритм [14,15]; вырабатывающие инсулин клетки в поджелудочной железе [16]; группы сверчков, щебечущих в унисон [17]; ячейки в тонкой кишке млекопитающих [18]; нейронные ансамбли, обеспечивающие ритмичную деятельность в мозгу [19-22] и т.д. Проблемы синхронизации также очень важны при проектировании компьютеров с параллельной архитектурой [33]. Синхронизации имеет место в химических колебаниях и волнах в реакции Белоусова-Жаботинского [34].

В связи с чрезвычайно широким распространением синхронизации в природе, науке и технике потребность изучения этого явления и его применений обусловила появление специального раздела в теории нелинейных колебаний и волн - теории синхронизации. Существенный вклад в ее развитие на ранних этапах внесли Б. Ван дер Поль (van der Pol), JI.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, А.А. Андронов, А.А. Витт, Н.Н. Боголюбов. В дальнейшем благодаря работам B.C. Афраймовича, B.C. Анищен-ко, В.Н. Белых, И.И. Блехмана, А.В. Гапонова-Грехова, А.С. Дмитриева, М.А.Закса, П.С. Ланды, Ю.Л. Майстренко, А.Н. Малахова, Ю.И. Неймар-ка, В.И. Некоркина, А.С. Пиковского, Д.Э. Постнова, М.И. Рабиновича, М.Г. Розенблюма, Ю.М. Романовского, Н.Ф. Рулькова, Р.Л. Стратонови-ча, Р.В. Хохлова, В.Д. Шалфеева, В.В. Шахгильдяна, Л.П. Шильникова, Б. Эрментроута (Ermentrout), Н. Копелл (Kopell), Л. Пекоры (Ресога), Т. Керролла (Carroll), К. Канеко (Kaneko), Ю. Курамото (Kuramoto), Ю. Куртса (Kurths), С. Строгатца (Strogatz), В. Линдсея (Lindsey), А. Уинфри (Winfree), С. Боккалетти (Boccaletti), Е.Отта (Ott), Л. Гласса (Glass) , Э. Мозекильда (Mosekilde) и др. теория синхронизации стала мощным научным направлением в современной нелинейной динамике.

Исторически систематический анализ явлений синхронизации был начат со следующей проблемы. Пусть осциллятор - периодическая автоколебательная система - находится под воздействием внешней периодической силы. В результате такого воздействия можно наблюдать очень интересное явление: в подверженной воздействию системе при относительно малой амплитуде внешнего сигнала частота (период) колебаний становится равным частоте (периоду) внешнего сигнала. Это явление называют вынужденной синхронизацией. Инженеры Эпплтон (Appleton) [59] и Ван дер Поль (Van der Pol) [28] были первые, кто показал возможность синхронизации электрического генератора слабым внешним периодическим сигналом. В последующем вынужденная синхронизация автоколебательных систем (далее осцилляторов) была изучена физиками Андроновым и Виттом [60,61], Мандельштамом и Папалекси [62], Холмсом (Holmes) и Рэндом (Rand) [65]. Для релаксационных осцилляторов вынужденная синхронизация была исследована Картрайтом (Cartwright) и Литлвудом (Littlewood) [63,64].

При соединении двух или многих периодических автоколебательных систем с близкими по величине параметрами в них могут наступить колебания на одной и той же частоте. Это явление - взаимная синхронизация, впервые наблюдалось в 17-ом столетии Гюйгенсом (Huygens) на примере двух маятниковых часов, висящих на общей балке. Взаимная синхронизация двух квазигармонических автогенераторов была впервые изучена Майером [97] и Гапоновым [168]. Для релаксационных автогенераторов взаимная синхронизация была исследована Бремзеном и Файнбергом [99] и Теодорчиком [100], Миролло (Mirollo) и Строгатцем (Strogatz) [101]. Среди недавних результатов можно выделить: случаи сильной и слабой (по сравнению с демпфированием в изолированном осцилляторе) связи [102,103], эффект вымирания (гашения) автоколебаний в ансамблях глобально связанных осцилляторов со случайно распределенными частотами [104] и синхронизацию (изохронный и неизохронный случаи) осцилляторов для некоторых специальных типов связей [105,106]. Другие аспекты взаимной синхронизации и эффекта противоположного синхронизации -хаотизации колебаний осцилляторов рассмотрены Блехманом, Ландой и Розенблюмом [107]

После открытия динамического хаоса поиск явлений аналогичных синхронизации распространился и на хаотические системы. В 1980-2004 годах имел место существенный рост числа публикаций по синхронизации. Это объясняется развитием теории хаотической синхронизации и ее приложений. В контексте синхронизованного хаоса недавно были изучены три главных типа хаотической синхронизации, а именно: а) полная (или идентичная) синхронизация, б) обобщенная синхронизация и в) фазовая синхронизация. Полная синхронизация идентичных систем происходит, когда состояния связанных систем полностью совпадают. Обобщенная синхронизация подразумевает, что выход с одной системы связан с выходом другой системы через некоторую функцию. При хаотической фазовой синхронизации имеет место установление некоторых соотношений между фазами взаимодействующих систем и как результат совпадение их характерных частот или характерных временных масштабов. При этом амплитуды колебаний часто остаются хаотическими и практически некоррелироваными. В этом контексте хаотическая фазовая синхронизация близка к синхронизации периодических колебаний в присутствии слабого шума. Эти три типа синхронного поведения (хотя, строго говоря, "синхронным"можно назвать лишь последний тип поведения - хаотическую фазовую синхронизацию) весьма подробно исследованы и описаны в литературе. В частности, имеется несколько специальных выпусков журналов [68,69] и обзоров [67,107-110], посвященных этой тематике.

Существование характерных временных масштабов (ритмов) в хаотических системах позволяет наблюдать и исследовать синхронизацию и ее характеристики для связанных периодических и хаотических систем с единой точки зрения. И именно это делается в диссертации. Для динамических систем, которые рассматриваются в работе, проблемы синхронизации сформулированы в терминах совпадения их характерных частот (характерных временных масштабов), которые для периодических систем просто частоты (периоды) колебаний, а для хаотических систем это усредненные частоты (усредненные временные интервалы) появления некоторых повторяющихся событий. То есть как один из критериев синхронизованного поведения рассматривается выполнение условий частотного захвата (подстройки). Кроме характерной частоты ритмичность колебаний дает возможность ввести фазу колебаний - другую очень важную характеристику как регулярного, так и хаотического движения. Тогда фазовый захват (подстройку) можно считать еще одним (более сильным по отношению к частотному захвату) критерием синхронизации. Положив в основу исследования синхронных режимов выполнение условий частотного и фазового захватов, естественно считать, что процессы синхронизации в системах различной природы будут иметь много общего и могут быть изучены с использованием общих математических и вычислительных инструментов.

Все упомянутые в начале введения примеры - это примеры больших ансамблей - сетей связанных элементов как с регулярной, так и с хаотической динамикой. До настоящего времени нет общей теории динамического поведения сетей осцилляторов. Даже возможность существования режима глобальной синхронизации все еще неясна. Структурная сложность, разнообразие связей, динамическая сложность и т.д. делают изучение больших ансамблей даже с использованием современных компьютеров весьма сложным. Поэтому одним из возможных подходов является исследование сетей с какой-либо фиксированной, геометрически правильной конфигурацией и в предположении стационарности существующих процессов в индивидуальных элементах и неизменности межэлементных связей. В этой связи цепочечная модель выбрана как основная для сетей, которые рассматриваются в диссертации. При этом основная схема связи между элементами - это связь с ближайшими соседями, т.е. локальная связь. Связь аналогичная диффузионной для непрерывных по пространству систем рассматривается в работе для дискретных ансамблей. Предполагается также, что все элементы отличаются лишь вариацией параметров, т.е. рассматриваются неоднородные ансамбли, элементы которых осциллируют с различными характерными частотами. В литературе в такой постановке рассматривались лишь некоторые аспекты задачи синхронизации периодических осцилляторов и ротаторов. Цепочки фазовых осцилляторов исследовались Эрементроутом (Ermentrout) и Копелл (Kopell) [137-139], Сакагучи (Sakaguchi) и Курамото (Kuramoto) [140], Роджерсом (Rogers) и Вилли (Wille) [141], Женгом (Zheng) и Ху (Ни) [248] и др.; слабо нелинейные осцилляторы - Эрментроутом [104] и Романовским [202] и др.; системы фазовой автоподстройки частоты - Афраймовичем, Некоркиным и Шалфеевым [4] и др.; связанные джозефсоновские контакты - Брайма-ном (Braiman), Дитто (Ditto), Визенфельдом (Wiesenfeld), Спано (Spano) [211]и др.; ансамбли релаксационных осцилляторов - Романовским [202], Герцем (Herz) и Хопфилдом (Hopfield) [146,147], Дросселем (Drossel) [148], и др.; цепочки хаотических идентичных осцилляторов - Белых В., Белых И., Хаслером (Hasler), Мозекилдом (Mosekilde) [205,207,208].

Хаотическая фазовая синхронизация исследовалась как правило лишь для систем из двух связанных, сравнительно простых по топологии осцилляторов. Поэтому изучение общих закономерностей коллективной динамики и в особенности синхронизации в больших ансамблях локально диффузионно связанных регулярных и хаотических осцилляторов является безусловно актуальным.

Цель работы - создание основ теории фазовой синхронизации неоднородных сетей нелинейных осцилляторов. Развиваемое научное направление связано с выработкой единых теоретических и вычислительных инструментов для исследования процессов частотно-фазовой подстройки колебаний в больших ансамблях как регулярных так и хаотических систем.

Основные вопросы, на которые должна ответить создаваемая теория синхронизации, в первую очередь, касаются: а) существования глобальной синхронизации; б) характеристик синхронных режимов: распределения по сети стационарных значений фазовых рассогласований, а также частот синхронизации; в) условий и механизмов возникновения синхронных режимов и путей их нарушения (во времени и в пространстве); г) влияния индивидуальной динамики элементов на процессы синхронизации; д) возможностей управления синхронными режимами; е) характеристик несинхронных режимов; ж) возможностей синтеза оптимальных с точки зрения достижения синхронизации схем междуэлементной связи.

Научная новизна работы определяется полученными оригинальными результатами и заключается в следующем:

Впервые поставлена задача исследования общих закономерностей частотно-фазовой подстройки в ансамблях локально диффузионно связанных регулярных и хаотических неидентичных осцилляторов. В качестве парциальных элементов рассматривались базовые модели нелинейной динамики как с непрерывным так и с дискретным временем: фазовые системы первого и второго порядков; осциллятор Ван дер Поля; осциллятор Ресслера и система Лоренца; отображение окружности; отображение, моделирующее хаотические колебания с перемежаемостью; отображение, моделирующее спайковую и берстовую активность нейроно-подобных элементов. Для ряда указанных моделей впервые предложены способы введения фазовых и частотных характеристик колебаний. Наличие таких характеристик для всех рассмотренных в работе систем позволило наблюдать и исследовать синхронизацию и ее характеристики для связанных регулярных и хаотических осцилляторов с единой точки зрения, а именно, с точки зрения совпадения характерных временных масштабов колебаний и установления определенных фазовых соотношений. Для этого получались и исследовались соответствующие фазовые уравнения или численно рассчитывались фазы и частоты колебаний и далее тестировалось выполнение критериев синхронизации.

Изучение коллективной динамики ансамблей осцилляторов основано на предложенном подходе, при котором сначала исследуется вынужденная синхронизация и взаимная синхронизации двух связанных элементов, а затем изучаются сети связанных периодических и хаотических осцилляторов.

Для пары связанных хаотических систем (осцилляторов Ресслера, отображений окружности, отображений с хаотической перемежаемостью) изучены условия возникновения фазовой синхронизации в зависимости от топологии хаотических аттракторов.

В рамках предложенного подхода проведено систематическое исследование коллективного поведения цепочечных и решеточных моделей сетей связанных осцилляторов. Выявлены общие закономерности переходов к синхронным режимам в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов, при этом особое внимание было уделено роли неустойчивых предельных циклов.

Исследованы режимы глобальной и кластерной синхронизации и механизмы их установления и разрушения. Получены фазовые и частотные характеристики синхронных режимов. Проанализировано влияние индивидуальной динамики, в частности топологии аттракторов, на синхронизационные процессы.

Предложен метод автоматической фазовой синхронизации в осцилля-торных ансамблях.

Научная и практическая значимость результатов работы

Апробация результатов работы

Настоящая диссертация выполнена в Нижегородском государственном университете им.Н.И.Лобачевского. Ее результаты опубликованы в 88 работах, в том числе в одной монографии, в двух обзорах, в 60 статьях в ведущих отечественных и зарубежных журналах и материалах конференций. Основные результаты докладывались на III,V,VIII,IX,X,XI,XII международных конференциях по нелинейной динамике электронных систем (NDES) (Дублин, 1995; Москва, 1997; Катанья, 2000 ; Делфт, 2001 ; Измир,2002; Скуол, 2003; Эвора, 2004), на конференциях по нелинейной динамике и ее приложениях (NOLTA) (Лас Вегас,1995; Кранс-Монтана,1998; Дрезден,2000), на 1,11,III международных конференциях "Control of oscillations and chaos "(Санкт-Петербург, 1997, 2000, 2003), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.А.Андронова (Нижний Новгород, 2001), Всесоюзных конференциях по нелинейным колебаниям механических систем (Нижний Новгород, 1990,1992,1994), международной школе по хаосу и структурам (Саратов, 1998), международной конференции по синхронизации (Саратов, 2000), международной школе по синхронизации и ее приложениям (Крым, 2002); международной школе-конференции по синхронизации и управлению (Дрезден, 2001), школах по нелинейным волнам (Нижний Новгород, 1991; 2004) гордоновской конференции (Нью Гемпшир, 1998); научных конференциях по радиофизике (Нижний Новгород, 1997, 2000, 2001, 2003); а также на семинарах ИПФ РАН, физического факультета Потсдамского университета, факультета биомедицинской инженерии Бостонского университета, физического факультета Гонкогского баптистского университета, факультета механики Венского технического университета, физического факультета Ланкастерского университета, кафедры теории колебаний и автоматического регулирования радиофизического факультета ННГУ.

Структура и объем диссертации

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Основные результаты, полученные в диссертации следующие:

1. Разработаны основы теории'фазовой синхронизации в неоднородных ансамблях локально диффузионно связанных регулярных и хаотических осцилляторов с непрерывным и дискретным временем. Ключевым моментом при постановке и решении задачи фазовой синхронизации является возможность аналитического или численного определения характерных частот и фаз колебаний. Сведение рассматриваемых моделей к уравнениям для фаз и(или) численное определение фаз и характерных частот колебаний позволяет исследовать процессы синхронизации в ансамблях хаотических и периодических осцилляторов с единых позиций, а именно, с позиций достижения фазовой ц частотной подстройки.

4. С использованием развитого в работе подхода, основного на анализе выполнения условий частотной и фазовой подстройки, установлена общность процессов периодической и фазовой хаотической синхронизации для широкого класса ансамблей, состоящих из базовых нелинейных элементов: фазовых систем первого (ротатор) и второго (маятник) порядков; осцилляторов Ван дер Поля; осцилляторов Ресслера; отображений окружности; отображений, моделирующих хаотические колебания с перемежаемостью; отображений, моделирующих спайковую и берстовую активность нейроно-подобных элементов. Для всех рассмотренных моделей

• Установлено существование режимов глобальной и кластерной синхронизации.

• Обнаружено существование двух сценариев - мягкого и жесткого - переходов между структурами, состоящими из различного числа кластеров синхронизации. В первом случае имеет место плавная подстройка усредненных частот колебаний элементов цепочки. Во втором случае переход от структуры из Ni синхронизованных кластеров к структуре из N2 кластеров происходит скачком. Мягкий переход имеет место при взаимодействии осцилляторов с относительно близкими характерными частотами или осцилляторов с существенно различными мгновенными частотами колебаний; относительно слабой связи. Жесткий переход реализуется при взаимодействии осцилляторов с существенно разными частотами; относительно сильной связи и сопровождается, как правило, наличием мультистабильности.

• Показано существование эффекта нелокальной синхронизации при случайном распределении индивидуальных частот.

Для систем, хаотические аттракторы которых рождаются через удвоения периодов периодических движений и через перемежаемость, показано что при определенных условиях они могут быть синхронизированы по частоте и фазе внешним периодическим воздействием.

Для системы двух связанных осцилляторов Ресслера обнаружено, что существуют три типа перехода к хаотической фазовой синхронизации в зависимости от свойств когерентности движения, количественно определяемых через диффузию фазы.

В цепочках однонаправленно и взаимно связанных фазовых осцилляторов с линейным распределением индивидуальных частот существует критическое значение силы связи, для которого в цепочках произвольной длины наступает режим глобальной синхронизации.

В цепочке однонаправленно связанных фазовых осцилляторов "вниз по потоку"возможны переходы "синхронизация - десинхронизация"и "десинхронизация - синхронизация", и наблюдается развитие турбулентного поведения по сценарию Ландау-Хопфа.

Для цепочки связанных элементов цаятникового типа показано существование двух типов синхронных режимов: низко - и высокочастотного, первый из которых связан с наличием при определенных условиях солитонных движений.

Для цепочек осцилляторов Ван дер Поля и осцилляторов Ресслера обнаружен эффект вымирания колебаний, который может иметь место как для части элементов в цепочке, так и для всей цепочки в-целом.

Для цепочки связанных отображений, генерирующих хаотические колебаний с перемежаемостью 1-го типа, обнаружено, что с ростом связи режим глобальной или кластерной синхронизации может сначала сменяться режимом, при котором синхронные колебания чередуются во времени с несинхронными колебаниями, а затем возникает режим полностью несинхронных колебаний, представляющий собой пространственно-временную перемежаемость.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Осипов, Григорий Владимирович, Нижний Новгород

1. Пиковский А.С., Розенблюм М.Г., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.:Техносфера, 2003.

2. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.

3. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.:Наука, 1981.

4. Афраймович В.С, Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации./ Под ред. Гапонова-Грехова А.В. и М.И.Рабиновича М.И., Горький: ИПФ РАН, 1989.

5. Mosekilde Е., Maistrenko Yu., Postnov D. Chaotic Synchronization. Applications to Living Systems. Singapore: World Scientific, 2002.

6. Winfree A.T. The Geometry of Biological Time. New York: Springer-Verlag, 1980.

7. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Berlin/Diisseldorf: Springer Verlag, 1984.

8. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.:Наука, 1980.

9. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука,1997.

10. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

11. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990.

12. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Из-во Саратовского университета, 1999.

13. Buck J., Buck Е. Mechanism of rhytmhic synchronous flashing of fireflies // Science. 1968. V.159. P.1319-1327.

14. Peskin C.S. Mathematical Aspects of Heart Physiology. New York: Courant Institute of Mathematical Science Publication, 1975. P.268-278.

15. Michaels D.C., Matyas E.P., Jalife J., Mechanisms of sinoatrial pacemaker synchronization: a new hypothesis // Circulation Research. 1987. V.61. P.704-714.

16. Sherman A., Rinzel J., Keizer J. Emergenceof organized bursting in clusters of pancreatic beta-cells by channel sharing // Biophys. J. 1988. V.54. P.411-419.

17. Walker T.J. Acoustic synchrony: Two mechanisms in the snowy tree cricket // Science. 1969. V.166. P. 891-894. •

18. Diamant N.E., Bortoff A. Nature of the intensial slow-wave frequency / Am. J. Physiol. 1969. V.216. P. 301-312.

19. Gray C.M. Synchronous oscillations in neuronal systems: Mechanics and functions // J.Computat.Neuroscience. 1995. V.l. P.ll-17.

20. Singer W., Gray C.M. Visual feature integration through fast threshold modulation // Ann. Rev. Neorosci. 1995. V.18.P.555-586.

21. DeLuca C.J., Roy A.M., Erim Z. Synchronization of motor-unit firings in several human muscles // J. Neurophysiol. 1993. V.70. P.2010-2022.

22. Singer W. Synchronization of cortical activity and its putative role in information processing and learning // Ann. Rev. Physiol. 1993. V.55. P.349-356.

23. York R.A. ,Compton R.C. Quasi-optical power-combining using mutually synchronized oscillator arrays // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1991. V.39. P.1000-1009.

24. Wiesenfeldt K., Colet P., Strogatz S.H. Synchronization transition in a disodered Josephson series array // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.404-407.

25. Wiesenfeldt K. Noise, coherence, and reversibility in Josephson arrays // Phys. Rev. B. 1992. V.45. P.431-435.

26. Глова А.Ф., Курчатов С.Ю., Лиханский В.В., Лысиков А.Ю., На-партович А.П. О когерентной генерации линейного набора волновод-ных С02- лазеров с пространственным фильтром // Квант, электрон. 1996. V.23,N6. Р.515-517.

27. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин Ю.Э. Теория колебаний. М. :Гостехиздат, 1937.28. van der Pol В. Forced oscillators in a circuit with nonlinear resistance. (Reception with reactive triode) // Phil. Mag. 1927. V.3 P.64-80.

28. Minorsky N. Nonlinear Oscillations. Princeton,NJ: Van Nostrand, 1962.

29. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. Ижевск : Per. Хаот. Дин., 2000.

30. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.:Изд-во физ.-мат.лит. 2002.

31. Hadley P., Beasley M.R. Dynamical.states and stability of linear arrays of Josephson junctions // Appl. Phys. Lett. 1987. V.50. P.621-623.

32. Kung S.Y. VSLI array processors. Prentice-Hall: New Jersey, 1988.

33. Linkens D.A., ed. Biological systems, modelling and control, Chap. 6 IEEE Control Engineering Series 11 (Peter Peregrinus, Stevenage, UK, 1979), 202.

34. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Phys.Lett.A. 1976. V.57. P.397-398.

35. Osipov G.V., Ни В., Zhou Ch., Ivanchenko M.V., Kurths J. Three types of transitions to phase synchronization in coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 2003.V.91 P. 2410411-2410414.

36. Fisher G. Plane algebraic curves. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2001.

37. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Berlin: Springer-Verlag, 1982.

38. Madan R.N. Chua circuit: A paradigm for chaos. Singapore: World Scientific, 1993.

39. Lauterborn W., Kurz Т., Wiesenfeldt M. Coherent Optics. Fundamentals and Applications. Berlin, Heidelberg, New York: Springer- Verlag, 1993.

40. Manneville P., Pomeau Y. Intermittency and Lorenz model // Phys. Lett. A. 1979. V.75. P.l-2.

41. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transitions to turbulence in dissipative dynamical systems // Commun.Math.Phys. 1980. V.74. P.189-201.

42. Hirsch J.E., Huberman B.A., Scalapino D.J. Theory of intermittency // Phys.Rev. A. 1982. V.25. P.519-532.

43. Keener I.P. Chaotic behavior in piece wise continuous difference equations // Trans.AMS. 1980. V.26,N2. P.589-604. .

44. Klages R., Dorfman J.R. Simple maps with fractal diffusion coefficient // Phys.Rev.Lett. 1995. V.74. P.387-390.

45. Малкин М.И., Интервалы вращения и динамика отображений ло-ренцевского типа // Методы теории дифференциальных уравнений. Горьковский государственный университет. 1986. С.122-134.

46. Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал,1999.

47. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир,1988.

48. Alligood К.Т., Sauer T.D., Yorke J.A. Chaos: An introduction to dynamical systems. New York: Springer-Verlag, 1997.

49. Ott E. Chaos in dynamical systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.51. de Sousa Vieira M., Lichtenberg A.J., Liberman M.A. Synchronization of regular and chaotic systems // Phys.Rev.A. 1992. V.46. P.R7359-R7362.

50. Lindsey W.C. Synchronization systems in communication and control. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1972.

51. Rulkov N.F. Regularization of synchronized chaotic bursts // Phys. Rev. Lett. 2001. V.86. P. 183-186.

52. Арансон И.С., Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И., Рогальский А.В., Сагдеев Р.З. Решеточная модель динамики неравновесных сред // Препринт Института прикладной физики АН СССР, Горький. 1987.

53. Strogatz S.H. Sync. The emerging science of spontaneous order. New York: Hyperion, 2003.

54. Гласс JI., Мэки M. От часов к хаосу: Ритмы жизни. М.: Мир, 1991.

55. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. Радио, 1961.

56. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука,1968.

57. Appleton Е. V. The automatic synchronization of triode oscillator // Proc. Cambridge Phil. Soc. (Math and Phys. Sci.) 1922. V.21. P.231-248.

58. Андронов А.А., Витт А.А. К математической теории захватывания // Журнал прикладной физики. 1930. Т.7. С. 3-11.

59. Andronov A.A., Vitt A.A. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol // Archiv f iir Elektrotechnik.' 1930. V.24. P. 99:110.

60. Мандельштам JI.И., Н.Д.Папалекси Н.Д. //в Собрании сочинений Л.И.Мандельштама, Т.2. М.гИздание Академии наук, 1947. С. 13-20.

61. Cartwright M.L., Littlewood J.E. On nonlinear differntial equations of the second order // J. London Math. Soc. 1945. V.20. P.180-189.

62. Cartwright M.L. Forced oscillations in nearly sinusoidal systems // J. Inst. Elec. Eng. 1948. V.95. P.88-94.

63. Holmes P., Rand D.R. Bifurcations of the forced van der Pol oscillator // Quart. Appl. Math. 1978. V.35. P.495-509.

64. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1958.

65. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J., Phase synchronization in regular and chaotic systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2000. V.10. P. 2291-2306.

66. Special focus issue on phase synchronization: Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. Editor. J.Kurths, 2000. V.10. P. 2289-2667.

67. Special focus issue on chaotic synchronization: Chaos. Editor. L.Pecora. 1997. V.7. P. 509-687.

68. Stone E.F. Frequency entrainment of a phase coherent attractor // Phys. Lett. A. 1992. V.163. P. 367-374.

69. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Osipov G.V., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving // Physica D. 1997. V.104. P. 219-238.

70. Sparrow С. The Lorenz Equations, Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. New York: Springer-Verlag, 1982.

71. Manneville P., Pomeau Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems // Physica D. 1980. V.l. P. 219-232.

72. Pikovsky A.S., Osipov G.V., Rosenblum M.G., Zaks M.A., Kurths J. Attractor-repeller collision and eyelet intermittency at the transition to phase synchronization // Phys. Rev. Lett. 1997. V.79. P.47-50.

73. Rosa E.R., Ott E., Hess M.M. Transition to phase synchronization of chaos // Phys. Rev. Lett. 1998. V.80. P.1642-1645.

74. Pikovsky A.S., Zaks M.A., Rosenblum M.G., Osipov G.V., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators in terms of periodic orbits // Chaos. 1997. V.7. P.680-687,1997.

75. Pikovsky A.S., Grassberger P. Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic oscillators // J. Phys. A: Math. Gen. 1991. V.24,N19. P.4587-4597.

76. Bhattacharjee J.K., Banerjee K. Intermittency in the presence of control parameter modulation // Phys. Rev. A. 1984. V.29. P.2301-2302.

77. Reibold E., Just W., Becker J., Benner H. Stochastic resonance in chaotic spine-wave dynamics // Phys.Rev.Lett. 1997. V.78. P.3101-3104.

78. Kuznetsov S.P. Torus fractalization and intermittency // Phys. Rev. E. 2002. V.65. P. 0662091-0662913.

79. Kim S.Y. Intermittency in coupled maps // Phys. Rev. E. 1999. V.59. P.2887-2901.

80. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Механика. M.: Наука, 1976.

81. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений, Горький. 1983. С. 3-28.

82. Dykman G.I, Landa P.S., Neimark Yu.I. Synchronization the chaotic oscillations by external force // Chaos, Solitons and Fractals. 1991. V.1,N4. P.339-353.

83. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической системе электронный пучок обратная электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ. 1979. T.29,N3. С.180-184.

84. Козлов А.К., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Импульсное подавление хаотических колебаний // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика- синхронизация и хаос. 1996. С.113-121.

85. Kozlov А.К., Osipov G.V., Shglfeev V.D. Suppressing chaos in continuous systems by impulse control // Proc.of Int.Conf. "Control of oscillations and chaos", St.-Petersburg, 1997. P.578-581.

86. Осипов Г.В., Козлов А.К., Шалфеев В.Д. Импульсное управление хаотическими колебаниями // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика-синхронизация и хаос. 1997. С.65-77.

87. Osipov G.V., Glatz L., Troger H. Suppressing chaos in Duffing oscillator by impulsive action // Chaos, solitons and fractals/ 1998.V.9,N1/2.P.307-321.

88. Osipov G.V., Kozlov A.K., Shalfeev V.D. Impulse control of chaos in continuous systems // Physics Letters A. V.247. P.119-128.

89. Osipov G.V., Collins J.J. Using weak impulses to suppress travelling waves in excitable media // Physical Review E. 1999. V.60. P.54-57.

90. Stamp A.T., Osipov G.V., Collins J.J. Suppressing arrhythmias in cardiac models using overdrive pacing and calcium channel blockers // Chaos. 2002. V.12. P.931-939.

91. C. Hugenii, Horoloquim Oscilatorium, Apud F.Muguet , Parisiis, France, 1673.

92. Alexeev A.A, Osipov G.V., Shalfeev V.D. Effects of square-wave modulation on CNN patterns // IEEE Tr. Circuit and Systems-I: Fundamental theory and applications. 1995. V.42,N10. P.700-705.

93. Osipov G.V., Shalfeev V.D. The evolution of spatio-temporal disorder in a chain of unidirectionally coupled Chua's circuit // IEEE Tr. Circuit and Systems-I: Fundamental theory and applications. 1995. V.42,N10. P.687-692.

94. Osipov G.V. , Shalfeev V.D. Chaos and structures in a chain of mutually coupled Chua's circuits // IEEE Tr. Circuit and Systems-I: Fundamental theory and applications. 1995. V.42,N10. P.693-699.

95. Майер А.Г. О теории связанных колебаний двух автоколебательных систем // Труды Горьковского государственного университета. 1935. Т.2. С.3-12.

96. Гапонов В.И. Два связанных генератора с мягким режимом возбуждения // Журнал технической физики. 1936. Т.6. С.5-12.

97. Бремзен А.С., Файнберг И.С. Анализ функционирования двух связанных релаксационных генераторов // Журнал технической физики. 1941. Т.П. С.959-967.

98. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. М.: Гостехиздат,1952.

99. Mirollo R., Strogatz S. Amplitude death in an array of limit-cycle oscillators // J. Stat. Phys. 1990. V.50. P.245-262.

100. Storti D.W., Rand R.H. Dynamics of two strongly coupled Van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mech. 1982. V.17. P.143-152.

101. Rand R.H., Holmes P.J. Bifurcation of periodic motions in two weakly coupled Van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mech. V.15. P.387-399.

102. Ermentrout G.B. Oscillation death in populations of "all to all"coupled nonlinear oscillators // Physica D. 1990. V.41. P.219-231.

103. Aronson D.G. , Ermentrout G.B., Kopell N. Amplitude response of coupled oscillators // Physica D. 1990. V.41. P.403-449.

104. Poliashenko M., McKay S.R., Smith C.W. Chaos and nonisochronism in weakly coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. A. 1991. V.44. P.3452-3455.

105. Blekhman 1.1., Landa P.S., Rosenblum M.G. Synchronization and chaotization in interacting dynamical systems // Appl. Mech. Rev. 1995. V.48,N11. P.733-752.

106. Boccaletti S., Kurths J., Osipov G.V., Valladares D.L., and Zhou Ch. The synchronization of chaotic systems // Physics Reports. 2002. V.366. P.l-101.

107. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление // Успехи современной радиоэлектроники. 1997. Т. 10. С.27-50.

108. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е. Синхронизация автоколебаний и колебаний, индуцированных шумом // Радиотехника и электроника. 2002. T.47,N.2. С.133-165.

109. Hoppensteadt F.C., Izhikevich Е.М. Weakly Connected Neural Networks. New York: Springer-Verlag, 1997.

110. Rand R.H., Cohen A.H., Holmes P.J. Systems of coupled oscillators as models of central pattern generators, in Neural Control and Rhythmic Movements in Vertebrates, A.H. Cohen, S. Grillner, and S. Rossignol, eds., MIT Press, Cambridge, MA, 1989.

111. Izhikevich E.M. Phase equations for relaxation oscillators // SIAM J.Appl.Math. 2000. V.60. P.1789-1804.

112. Ivanchenko M.V., Osipov G.V., Shalfeev V.D., Kurths J. Synchronization of two non-scalar-coupled limit-cycle oscillators // Physica D. 2003. V.189. P. 8-30.

113. Chacraborty Т., Rand R.H. The transition from phase locking to drift in a system of two weakly coupled Van der Pol oscillators // Int. J. NonLinear Mech. 1988. V.23. P.369-376.

114. Fujisaka H., Yamada T. Stability theory of synchronized motion in coupled oscillator systems // Prog. Theor. Phys. 1983. V.69. P.32- .

115. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. вузов-Радиофизика. 1986. T.29,N9. С.1050-1060.

116. Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. 1990. V.64. P. 821-824.

117. Пиковский A.C. Синхронизация фазы стохастических автоколебаний периодическим внешним сигналом // Радиотехника и электроника. 1984. T.30,N10. С. 1970-1974.

118. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. and Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.1804-1807.

119. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова M.A. Внешняя и взаимная синхронизация хаоса // Радиотехника и электроника. 1991. Т.36. С.338-350.

120. Parlitz U., Junge L., Lauterborn W., Kocarev L. Experimental observation of phase synchronization // Phys. Rev. E. 1996. V.54. P.2115-2118.

121. Osipov G.V., Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization effect in a lattice of nonidentical Rossler oscillators // Phys. Rev. E. 1997. V.55. P. 2353-2361.

122. Ни В., Osipov G.V., Yang H.-L., Kurths J. Oscillatory and rotatory synchronization of chaotic autonomous phase systems // Phys. Rev. E. 2003. V.67. P.0662161-0662169.

123. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Prom phase to lag synchronization // Phys. Rev. Lett. 1997. V.78. P. 4193-4196.

124. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems // Phys. Rev. E. 1995. V.51. P.980-994.

125. Kocarev L., Parlitz U. Generalized synchronization, predictability, and equivalence of uniderctionally coupled dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.1816-1819.

126. Chen J.Y., Wong K.W., Zheng H.Y. and Shuai J.W. Intermittent phase synchronization of coupled spatiotemporal chaotic systems // Phys.Rev.E. 2001. V.64. P.0162121-0162127.

127. Lee K.J., Kwak Y., Limm Т.К. Phase jumps near a phase synchronization transition in systems of two coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 1998. V.81. P.321-324.

128. Osipov G.V., Ни B. Synchronization of chaotic phase systems // Proc. of 10th Int. Spec. Workshop NDES, Izmir, Turkey, 2002.P.417-420.

129. Rulkov N.F., Sushchik M.M. Robustness of synchronized chaotic oscillations // Int. J. of Bif. and Chaos. 1997. V.3. P.625-637.

130. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. Bubbling of attractors and synchronization of chaotic oscillators // Phys. Lett. A. 1994. V.193. P.126-139.

131. Shalfeev V.D., Osipov G.V. Chaotic phase synchronization of coupled PLLs // Proc. of 5th Int. Spec. Workshop NDES, June 26-27, Moscow, Russia, 1997. P.139-144.

132. Osipov G.V., Kurths J. Regular and chaotic phase synchronization of coupled circle maps // Phys. Rev. E. 2002. V.65. P.016216-016225.

133. Osipov G.V., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase synchronization of chaotic rotators // Phys. Rev. Lett. 2002. V.88. P.054102-054105.

134. Zaks M.A., Park E.-H., Rosenblum M.G., Kurths J. Alternating locking ratios in imperfect phase synchronization // Phys. Rev. Lett. 1999. V.82. P.4228-4231.

135. Ermentrout G.B., Kopell N. Frequency platea.us in a chain of weakly coupled oscillators // SIAM J. Math. Anal. 1984. V.15,N2. P.215-237.

136. Kopell N., Ermentrout G.B. Symmetry and phase locking in chains of weakly coupled oscillators // Common Pure Appl. Math. 1986. V.39. P. 623-660.

137. Ermentrout G.B., Kopell N. Multiple pulse interactions and averaging in systems of coupled neural oscillators // J.Math.Biol. 1991. V.29. P.195-211.

138. Sakaguchi H., Shinomoto S., Kuramoto Y. Mutual entrainment in oscillator lattices with nonvariational type interaction // Prog. Theor. Phys. 1988. V.79,N5. P. 1069-1079.

139. Rogers J.L., Wille L.T. Phase transitions in nonlinear oscillator chains // Phys. Rev. E. 1996. V.54. P.R2193-R2196.

140. Kim S., Park S., Ryu C. Noise-enhanced multistability in coupled oscillator systems // Phys. Rev. Lett. 1997. V.78. P.1616-1619.

141. Takana H., Lichtenberg A., Oishi S. First order phase transition resulting from finite inertia in coupled oscillator systems // Phys. Rev. Lett. 1997. V.78. P.2104-2107.

142. Tsang K., Nagi K. Relaxation in interacting arrays of oscillators // Phys. Rev. E. 1996. V.54. P.R3067-R3070.

143. Strogatz S., Mirollo R., Matthews P. Coupled nonlinear oscillators below the synchronization threshold: Relaxation by generalized Landau damping // Phys. Rev. Lett. 1992. V.68. P.2730-2733.

144. Herz A.V., Hopfield J.J. Earthquake cycles and neural reverberations: Collective oscillations in systems with pulse-coupled threshold elements // Phys. Rev. Lett. 1995. V.75. P.1222-1225.

145. Hopfield J.J., Herz A.V. Rapid local synchronization of action potentials: Toward computation with coupled integrate-and-fire neurons // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1995. V.92. P.6655-6662.

146. Drossel B. Self-organized criticality and synchronization in a forest-fire-model // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.936-939.

147. Daido H. Onset of cooperative entrainment in limit-cycle oscillators with uniform all-to-all interactions: Bifurcation of the order function // Physica D. 1996. V.91. P.24-66.

148. Ustinov A.V., Cirillo M., Malomed B. Fluxon dynamics in one-dimensional Josephson-junction arrays // Phys. Rev. B. 1993. V.47. P. 8357-8360, (1993).

149. Ustinov A.V., Cirillo M., Larsen B.H., Oboznov V.A., Carelli P., Rotoli G. Experimental and numerical study of dynamic regimes in a discrete sine-Gordon lattice // Phys. Rev. B. 1995. V.51. P.3081-3091.

150. Zheng Zh., Ни В., Hu G. Spatiotemporal dynamics ofdiscrete sine-Gordon lattices with sinusoidal couplings // Phys. Rev. E. 1998. V.57. P. 1139-1145.

151. Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Стационарные режимы в цепочке одно-направленно связанных систем фазовой синхронизации // Радиотехника. 1988. №3.С.27-31.

152. Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Переходные процессы в цепочке однона-правленно связанных систем фазовой синхронизации // Радиотехника. 1988. №6.0.19-23.

153. Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Автоматизация вычисления полосы захвата нелинейных систем фазовой синхронизации // Радиотехника. 1988. №9.0.88-90.

154. Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Динамика цепочки взаимосвязанных систем фазовой синхронизации // Радиотехника. 1989. №8.0.21-23.

155. Гапонов-Грехов А.В., Ломов А.С., Осипов Г.В., Рабинович М.И. Рождение и динамика двумерных структур в неравновесных диссипатив-ных средах. Нелинейные Волны. Динамика и эволюция. 1991. Нижний Новгород. С.61-83.

156. Antoni М., Ruffo S. Clustering and relaxation in Hamiltonian long-range dynamics // Phys. Rev. E. 1995. V.52. P.2361-2374.

157. Fishman R., Stroud D. Role of long-range Coulomb interactions in granular superconductors // Phys. Rev. B. 1988. V.38. P.290-296.

158. Yokoi C.S.O, Thang L., Chou W. Ground state of the one-dimensional chiral XY model in a field // Phys. Rev. В. 1988. V.37. P.2173-2198.

159. Малкин И.Г. Методы Пуанкаре и Ляпунова в теории нелинейных колебаний. М.:Гостехиздат,1949.

160. Малкин И.Г. Некоторые проблемы теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат,1956.

161. Topaj D., Pikovsky A. Reversibility vs. synchronization in oscillator lattices // Physica D. 2002. V.170. P.118-130.

162. Zheng Zh., Ни В., Hu G. Collective phase slips and phase synchronizations in coupled oscillator systems // Phys. Rev. Let. 1998. V.81. P.5318-5321.

163. El-Nashar H.F., Zhang Y., Cerdeira H.A., Ibiyinka F. Synchronization in a chain of nearest neighbors coupled oscillators with fixed ends // Chaos. 2003. V.13. P. 1216- .

164. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И., Старобинец И.М. Динамическая модель пространственного развития турбулентности // Письма в ЖЭТФ. 1984. T.39,N 12. С.561-564.

165. Осипов Г.В. О развитии турбулентности по Ландау в дискретной модели потоковых систем //'Изв. вузов. Радиофизика. 1988. Т.31, N 5. С.624-627.

166. Арансон И.С., Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И., Старобинец И.М. Странные аттракторы и пространственное развитие турбулентности // ЖЭТФ. 1986. T.90,N5. С.1707-1718.

167. Анищенко B.C., Арансон И.С., Постнов Д.Э., Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркация развития хаоса в цепочке связанных генераторов // ДАН СССР. 1986. Т.286, N5. С.1120-1124.

168. Анищенко B.C., Постнов Д.Э., Сафонова М.А. Размерность и физические свойства хаотических аттракторов цепочки связанных генераторов // Письма в ЖТФ. 1985. T.11,N24. С.1505-1509.

169. Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Универсальность бифуркаций удвоения периода в одномернной диссипативной среде // Изв. вузов. -Радиофизика. 1985 T.28,N5. С.308-320.

170. Афраймович B.C., Рабинович М.И., Сбитнев В.И. О размерности аттракторов в цепочке связанных генераторов // Письма в ЖТФ. 1985. Т. 11,N6. С.338-342.

171. Aranson I.S., Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovich M.I. The onset and spatial development of turbulence in flow systems // Physica D. 1988. V.33.P.1-20.

172. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика / Пер. с англ. М.:Мир, 1984.

173. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attracors // Physica D. 1983. V.9. P. 189-208.

174. Солитоны в действии / Под ред. К.Лонгрена, А. Скотта; пер. с англ. М.: Мир, 1981.

175. Eilbeck J.S., Lomdahl P.S., Olsen О.Н., Samuelsen M.R. Comparison between one-dimensional and two-dimensional models of Josephson junctions of overlap type // J. of Applied Physics. 1985. V.57,N3. P.861-867.

176. Olsen O.H., Lomdahl P.S., Bishop A.R., Eilbeck J.S. Pattern selection and low-dimensional chaos in the driven damped two-dimensional Sine-Gordon equation // J.Phys.C.: Solid State Phys. 1985. V.18. P.511-517.

177. Bishop A.R., Forest M.G., McLaughlin D.W., Overmann E.A. A quasi-periodic route to chaos in a near-integrable PDE // Physica D. 1986. V.23. P.293-298.

178. Bishop A.R., Lomdahl P.S. Nonlinear dynamics in driven, damped Sine-Gordon systems // Physica D. 1986. V.54. P.54-56.

179. Marcus P.M., Imry Y. Steady oscillatory, states of a finite Josephson junctions // Solid State Comm. 1980. V.33. P.345-349.

180. Tsimring L.Sh. Nested strange attractors and universality of spatio-temporal chaos // Phys. Rev. E. 1993. V.48. P. 3421-3426.

181. Корзинов JI.H., Рабинович М.И. Диагностика пространственно-временного беспорядка // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т.2. С.59-70. .

182. Bazhenov М., Rabinovich М., Rubshinsky L. Time-periodic spatial chaos in the complex Ginzburg-Landau equation .// J.Stat. Phys. 1996. V.83. P.1165-1181.

183. Braiman Y., Lindner J.F., Ditto W.L. Taming spatiotemporal chaos with disorder // Nature. 1995. V.378. P.465-467.

184. Braiman Y., Ditto W.L., Wiesenfeld K., Spano M.L. Phys. Lett. A. 1995. V.206. P.54-60.

185. Diamant N.E., Rose P.K., Davidson E.J. Computer sstimulation of intestinal slowwave frequency gradient // Amer. J. Physiol. 1970. V.219. P.1684-1690.

186. Зобнин А.Б., Рабинович М.И., Сущик M.M. Реальные и идеальные сдвиговые течения. Дефекты дорожки Кармана. // Изв. АН СССР. Сер. физика атмосферы и океана. 1990. Т.26. С.1289-1306.

187. Sarna S.K., Daniel Е.Е., Kinoma Y.J. Simulatin of slow-wave electrical activity of small intestine // Amer. J. Phisiol. 1971. V.221. P. 166-175.

188. Robertson-Dunn D., Linkens D.A. A mathematical model of the slow-wave electrical activity of the human small intestine // Med. Biol. Engrg.1974. V.12. P.750-757.

189. Brown B.H., Duthie H.L., Horn A.R., Smallwood R.H. A linked oscillator model of electrical activity of human small intestine // Amer. J. Physiol.1975. V.229. P.384-388.

190. Patton R.J., Linkens D.A. Hodgkin-Huxley type electronic modelling of . gastrointestinal electrical activity // Med. Biol. Engrg. Computing. 1978.1. V.16. P. 195-202.

191. Дрендель С.Д., Хоре Н.П., Васильев В.А. Режим синхронизации клеток гладкомышеных тканей // Динамика клеточных популяций. Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1984. С.108-122.

192. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987.

193. Yamaguchi Y., Shimizu Н. Theory of self-synchronization in the presence of native frequency distribution and external noises // Physica D. 1984. V.ll. P.212-226.

194. Bar-Eli К. On the stability of coupled chemical oscillators // Physica D. 1985. V.14. P.242-255.

195. Ermentrout G.B. Losing amplitude and saving phase. In: Nonlinear oscillations in biology and chemistry. Lecture Notes in Biomathematics, ed. H.Othmer (Springer, Berlin, 1986).

196. Somers D., Kopell N. Waves and synchrony in networks of oscillators of relaxation and non-relaxation type // Physica D. 1995. V.89. P.169-183.

197. Izhikevich E.M. Phase equations for relaxation oscillators // SIAM J. Appl. Math. 2000. V.60. P.1789-1804.

198. Романовский Ю.М., Степанова H.B., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.:Наука, 1984.

199. Heagy J.F., Pecora L.M., Carroll Т. Short wavelength bifurcations and size instabilities in coupled oscillator systems // Phys. Rev. Lett. 1994. V.74. P.4185-4188.

200. Pecora L.M. Synchronization conditions and desynchronizing patterns in coupled limit-cycle and chaotic systems // Phys. Rev. E. 1998. V.58. P.347-360.

201. Belykh V.N., Mosekilde E. One-dimensional map. lattices: Synchronization, bifurcations, and chaotic structures // Phys. Rev. E. 1996. V.54. P.3196-3203.

202. Hasler M., Maistrenko Yu., Popovich O. Simple example of partial synchronization of chaotic systems // Phys. Rev. E. 1998. V.58. P.6843-6846.

203. Belykh V.N., Belykh I.V., Hasler M. Hierarchy and stability of partially synchronous oscillations of diffusively coupled dynamical systems // Phys. Rev. E. 2000. V.62. P.6332-6345.

204. Belykh V.N., Belykh I.V., Mosekilde E. Cluster synchronization modes in ensemble of coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. E. 2001. V.63. N.3.P.0362161-0362164.

205. Brunnet L., Chate E., Mannevile P. Long-range order with local chaos in lattices of diffusively coupled ODEs // Physica D. 1994. V.78. P. 141-154.

206. Goryachev A., Kapral R. Spiral waves in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.1619-1622.

207. Braiman Y., Lindner J.F., Ditto W.L. Taming spatiotemporal chaos with disorder // Nature. 1995. V.378. P.465-467.

208. R. Kapral, in Theory and Applications of Coupled Map Lattices, edited by K.Kaneko ,Chap.5,p.l35. Wiley, 1993.

209. Osipov G.V., Shulgin B.V., Collins J.J. Controlled movement and suppression of spiral waves in excitable media // Phys. Rev. E. 1998. V.58. P.6955-6958.

210. Bottin S., Daviaud F., Dauchot O., Manneville P. Discontinuous transition to spatiotemporal intermittency in plane Couetee flow // Europhys. Lett. 1998. V.43. P. 171-176.

211. Degen M.M., Mutabazi I., C.D. Andereck C.D. Transition to weak turbulence via spatiotemporal intermittency in the Taylor-Dean system // Phys. Rev. E. 1996. V.53. P.3495-3504.

212. Colovas G., Andereck C.D. Turbulent bursting and spatiotemporal intermittency in the counterrotating Taylor-Couette system // Phys. Rev. E. 1997. V.55. P. 2736-2741.

213. Theory and Applications of Coupled Map Lattices, edited by K. Kaneko. Wiley, 1993.

214. Chate H. Spatiotemporal intermittency regimes of the one-dimensional complex Ginzburg-Landau equation // Nonlinearity. 1994. V.7. P.185-204.

215. Rulkov N.F. Modeling of spiking-bursting neural behavior using two-dimensional map // Phys. Rev. E. 2002. V.65. P. 0419221-049230.

216. Rulkov N.F., Timofeev I., Bazhenov M. Oscillations in large-scale cortical networks: map-based model // Journal of Computational Neuroscience. 2004. V.17. P.203-223.

217. Costantino R.F., Cushing J.M., Dennis В., Desharnais R.A. Experimentally induced transitions in the dynamical behavior of insect populations // Nature. 1995. V.375. P.227-231.

218. Wisdom J. The origin of the Kirkwood gaps: A mapping for asteroidal motion near the 3/1 commensurability // Astron. J. 1982. V.87. P. 87-99.

219. Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Commun. Math. Phys. 1976. V.50. P.69-88.

220. Heagy J.F. A physical interpretation of the Henon map // Physica D. 1992. V.57. P.436-452.

221. Ikeda K., Daido H., Akimoto O. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity // Phys. Rev. Lett. 1980. V.45. P.709-712.

222. Osipov G.V., Kurths J. Synchronization of coupled circle maps // Proc. of 9th Int. Spec. Workshop NDES. Delft,The Netherlands, 2001. P. 93-96.

223. Kaneko K. Globally coupled circle maps // Physica D. 1991. V.54. P.5-19.

224. Goldsztein G., Strogatz S.H. Stability of synchronization in networks of digital phase-locked loops // Int. J. of Bif. and Chaos. 1995. V.5. P.983-990.

225. Ivanchenko M.V., Osipov G.V., Shalfeev V.D., Kurths J. Phase synchronization in ensemble of bursting oscillators // Phys. Rev. Lett. 2004. V.93.P.134101-134104.

226. Ivanchenko M.V., Osipov G.V., Shalfeev V.D., Kurths J. Phase synchronization of chaotic intermittent oscillations // Phys. Rev. Lett. 2004. V.92. P.134101-134104.

227. Rulkov N.F., Volkovskii A.R. Threshold synchronization of chaotic relaxation oscillations // Phys. Lett. A. 1993. V.173. P.332-336.

228. Volkovskii A.R. Synchronization of chaotic systems using phase control '// IEEE Trans.Circuits Syst. I: Fundamental Theory and Applications. 1997. V.44. P. 913-917.

229. Dmitriev A.S., Shirokov M., Starkov S.O. Chaotic synchronization in ensembles of coupled maps // IEEE TYans. Circuits Syst. I: Fundamental Theory and Applications. 1997. V.44. P.913-926.

230. Carroll T.L. Synchronization and complex dynamics in pulse-coupled circuit models of neurons // Biol.Cybern. 1995. V.73. P.29-34.

231. Perez Vicente C.J., Arenas A., Bonilla L.L; On the short time dynamics of networks of Hebbian coupled oscillators // J.Phys.A. 1996. V.29. P. L9-L18.

232. Diaz-Guilera A., Perez C.J., Arenas A. Mechanisms of synchronization and pattern formation in a lattice of pulse-coupled oscillators // Phys. Rev. E. 1998. V.57. P.3820-3828.

233. Torre V. A theory of synchronization of two heart pacemaker cells // J.Theor.Biol. 1976. V.61. P. 55-64.

234. Jalife J. Mutual entrainment and electrical coupling as mechanisms for synchronous firing of rabbit sinoatrial pacemaker cells // J.Physiol. 1984. V.356. P. 221-228.

235. Michaels D.C., Matyas E.P., Jalife J. Mechanisms of sinoatrial pacemaker synchronization: a new hypothesis // Circulation Res. 1987. V.61. P. 704715.

236. Osipov G.V., Sushchik M.M. Synchronized clusters and multistability in arrays of oscillators with different natural frequencies // Phys. Rev. E. 1998. V.58. P.7198-7207.

237. Osipov G.V., Sushchik M.M. Coherent structures in coupled chain of self-excited oscillators // Phys. Lett. A. 1995. V.201. P.205-212.

238. Осипов Г.В., Сущик M.M., Когерентные структуры в связанных цепочках автогенераторов // Журнал технической физики. 1996. Т.66, N3. С.1-11.

239. Osipov G.V., Sushchik M.M. The effect of natural frequency distribution on cluster synchronization in oscillator arrays // IEEE Tr. circuits and systems-I: Fundamental theory and applications. 1997. V.44,N10.P.1'006-1010.

240. Осипов Г.В., Сущик M.M. Синхронизация и управление в цепочках связанных автогенераторов // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика-синхронизация и хаос. 1997. С.5-25.

241. Zhan М., Zheng Z.G., Ни G., Peng Х.Н. Nonlocal chaotic phase synchronization // Phys. Rev. E. 2000. V.62. P.3552-3557.

242. Осипов Г.В., Сущик M.M. Механизм образования локализованных структур в связанных цепочках осцилляторов // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т.2. С.24-30.

243. Osipov G.V., Sushchik M.M. Self-structures and rhythms in coupled arrays of oscillators // Bulletin of the Russian Academy of Science. Physics. Supplement, Physics of Vibrations. 1997. V.61. P.41-47.

244. Rubchinsky L.L., Sushchik M.M., Osipov G.V. Patterns in networks of oscillators formed via synchronization and oscillator death // Mathematics and Computers and Simulation. 2002. V.58. P.443-467.

245. Okuda K. Variety and geherality of clustering in globally coupled oscillators // Physica D. 1993. V.63. P.424-436.

246. Hoist Т., Hansen J.B., Groonbech-Jensen N., Blackburn J.A. Phase locking between Josephson soliton oscillators // Phys. Rev. B. 1990. V.42. P.127-131.

247. Continnho S., Pitanga P., Lederer P. Commensurate-incommensurate transitions in coupled chain systems at 0 К // Phys. Rev. B. 1981. V.23. P.4567-4576.

248. Maugin G.A., Miled A. Solitary waves in elastic ferromagnets // Phys. Rev. B. 1986. V.33. P.4830-4842.

249. Junge L., Parlitz U. Phase synchronization of coupled Ginzburg-Landau equations // Phys. Rev. E. 2000. V.62. P.438-441.

250. Bragard J., Boccaletti S. Integral behavior for localized synchronization in nonidentical extended systems // Phys. Rev. E. 2000. V.62. P. 63466351.

251. Chate H., Pikovsky A., Rudzick O. Forcing oscillatory media: Phase kinks vs. synchronization // Physica D. 1999. V.131. P.17-30.

252. Gray C.H., Konig P., Engel A.K., Singer W. Oscillatory responses in cat visual cortex exhibit inter-columnar synchronization which reflects global stimulus properties // Nature. 1989. V.338. P.334-337.

253. Shraiman В.I., Pumir A., van Saarloos W., Hohenberg P.C., С1^ё H., Holen M. Spatio-temporal chaos in the one-dimensional Ginzburg-Landau equation // Physica D. 1992. V.57. P.241-248.

254. Белых B.H., Осипов Г.В. Автоматическая синхронизация колебаний в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов // Радиотехника и электроника. 2004. Т.49,№8.0.951-954.

255. Osipov G.V., Belykh V.N. Synchronization in ensembles of feedback coupled oscillators // Proc. of 10th Int. Spec. Workshop NDES. Scuol,Switzerland. 2003. P. 185-188.

256. В. Линдсей Системы синхронизации в связи и управлении. М.:Сов. радио, 1978.

257. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972.

258. Леонов Г.А., Селеджи С.М. Системы фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике. СПб.:Невский Диалект, 2002.

259. Fabiny L., Colet P., Roy R., Lenstra D. Coherence and phase dynamics of spatially coupled solid-state lasers // Phys. Rev. A. 1993. V.47. P.4287-4296.

260. Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Фазовая синхронизация хаотически модулированных сигналов // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика-синхронизация и хаос. 1997. С. 77-85.

261. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Berlin, Hёidelberg: Springer, 1990.

262. Tass P., Haken H. Synchronization in networks of limit cycle oscillators // Z. Phys. B. 1996. V.100. P.303-320.