Пространственные структуры и синхронные кластеры в многомерных решетках связанных регулярных и хаотических осцилляторов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

НЕВИДИН Константин Вадимович

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СТРУКТУРЫ И СИНХРОННЫЕ КЛАСТЕРЫ В МНОГОМЕРНЫХ РЕШЕТКАХ СВЯЗАННЫХ РЕГУЛЯРНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ.

I

1 01.04.03 — Радиофизика

I

I

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Н. Новгород, 2003 г.

Работа выполнена на кафедре математики Волжской государственной академии водного транспорта.

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Белых

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Пономаренко Валерий Павлович

доктор физико-математических наук, профессор Шалфеев Владимир Дмитриевич

Ведущая организация: ИПФ РАН

Защита состоится (ЖТЧР (ГрД- 2003 г. в 1 ^ , часов на заседании

диссертационного совета Д 063.77.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского (603600, Н.Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп. 4, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан 2003

г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.В. Черепенников

-А

* ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Структурообразование в нелинейных диссипативных средах является одной из фундаментальных проблем теории колебаний и нелинейной физики и играет определяющую роль в динамике взаимодействующих систем, состоящих из большого числа упорядоченных в пространстве связанных активных элементов с простой и сложной динамикой.

Такие системы в виде решеток осцилляторов с различными типами связи часто встречаются в различных задачах и приложениях в электронике, биологии, нейрофизике, экологии, экономике и т.д. Например, это связанные электронные элементы типа подсистем с джозефсоновскими контактами, ансамбли связанных нейронов в мозге, решетки связанных лазеров, сети синхронизованных генераторов, компьютерные сети, взаимодействующие популяции. Кроме того, такие дискретные пространственные системы часто используются для моделирования непрерывных неравновесных сред, в частности, распределенной турбулентной среды.

Определяющими режимами в пространственно-временной динамике ансамблей связанных систем с простым динамическим поведением (например, бистабильные подсистемы) являются пространственные диссипатив-ные структуры и автоволны. Пространственные структуры представляют собой всевозможные устойчивые комбинации состояний равновесий индивидуальных мультистабильных систем. Такие стационарные пространственные решения часто называют мозаичными пространственными распределениями, или просто мозаиками, которые могут быть как простыми (регулярными), так и неупорядоченными. В больших ансамблях взаимодействующих систем в последнем случае часто наблюдается пространственный беспорядок (в предельном случае, пространственный хаос), который может быть определен пространственной энтропией, мерой числа устойчивых мозаичных структур.

В случае, когда индивидуальные подсистемы являются нелинейными осцилляторами и обладают собственной хаотической динамикой, пространственно-временное поведение связанной системы становится существенно более сложным. Однако, в случае, когда индивидуальные взаимодействующие осцилляторы, составляющие ансамбль, являются идентичными или почти идентичными, общая связанная система обладает пространственными симметриями. При этом в системе наблюдаются пространственно-временные когерентные структуры, в частности, полная и кластерная син-

<-ОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА I С.Петербург

; оэ эоо_р лкг'^р ,

хронизация.

Характерная особенность динамического поведения связанных систем в этом случае состоит в том, что элементы синхронизованных структур (кластеров) имеют одну и ту же идентичную временную динамику, которая может быть как регулярной, так и хаотической. Например, в режиме полной хаотической синхронизации все осцилляторы связанной системы, которые могут иметь различные начальные условия, приобретают идентичное хаотическое поведение при достижении порогового значения коэффициента связи. Это важное свойство идентичных или почти идентичных хаотических систем приходить в состояние устойчивой синхронизации при сохранении индивидуального хаотического поведения было впервые обнаружено около двадцати лет назад и с тех пор стало основой отдельного научного направления. Действительно, пространственно-временная синхронизация хаотических систем наблюдается во многих связанных системах различной природы. Например, синхронизация хаотических осцилляторов имеет важное значение в биофизике, где часто встречаются системы связанных клеток (нейронов), демонстрирующие сложное нелинейное поведение так, что наличие или отсутствие синхронизации между клетками имеет принципиальное значение для функционирования всей биологической системы. Например, дисфункция центральной нервной системы человека, проявляющаяся в эпилепсии, связана с состоянием мозга, при котором синхронизуется слишком большое количество нейронов, таким образом, что мозг более не в состоянии функционировать корректно.

Помимо своего фундаментального значения в естественных науках, образование синхронизованных структур в связанных хаотических системах имеет также множество приложений в различных областях знаний. Например, в радиоэлектронике синхронизация хаотических сигналов используется как средство передачи конфиденциальной информации.

Таким образом, исследование динамического коллективного поведения решеток и ансамблей связанных систем с простой и сложной динамикой является междисциплинарным и имеет важное значение не только для нелинейной физики и радиофизики, но и для целого комплекса наук, поскольку оно помогает выявить основные законы и особенности структурообразова-ния и самоорганизации взаимодействующих систем.

Широкое исследование явлений синхронизации и образования структур в ансамблях связанных систем различной природы проводится как в России (Анищенко B.C., Афраймович B.C., Безручко Б.П., Белых В.Н., Блехман И.И., Веричев H.H., Гапонов-Грехов A.B., Дмитриев A.C., Капранов М.В.,

Кащенко С.А., Кузнецов С.П., Ланда П.С., Леонов Г.А., Неймарк Ю.И., Некоркин В.И., Пиковский A.C., Пономаренко В.П., Рабинович М.И., Тру-бецков Д.И., Фрадков А.Л., Шалфеев В.Д., Шахгильдян В.В., Шильников Л.П. и др.), так и за рубежом (Н. Abarbanel, P. Ashwin, L.A. Bunimovich, S. Chow, L.O. Chua, M. Ding, H. Fujisaka, V. Ebeling, B. Fiedler, G.B. Ermen-trout, L. Glass, M. Golubitsky, H. Haken, J.K. Hale, M. Hasler, К. Kaneko, N. Kopell, Y. Kuramoto, J. Kurths, J. Mallet-Paret, E. Mosekilde, H. Nijmeijer, U. Parlitz, L.M. Pécora, I. Prigogine, K. Schneider, Ya. Sinai, S.H. Strogatz, I. Stewart, E. Ott, M.J. Velarde, С. Wu и др). Стремительный рост числа публикаций в отечественной и зарубежной литературе также подтверждает важность и актуальность исследования образования пространственно-временных структур в нелинейных дискретных диссипативных средах.

Большой класс возможных нелинейных индивидуальных систем с простой и сложной динамикой, различные типы связи и потенциальные приложения привели к целому ряду постановок задач и к большому числу интересных теоретических и численных результатов исследования конкретных систем.

Важными проблемами в изучении пространственно-временной динамики связанных систем являются вопросы существования и устойчивости различных стационарных пространственных структур и кластеров синхронных колебаний. В частности, следующие вопросы представляют особый интерес. Как число и размер кластеров в многомерных решетках связанных хаотических систем зависят от размера решеток, типа связи и граничных условий? Как устойчивость синхронных структур зависит от силы связи между элементами и числа осцилляторов в решетке и как зависит пороговое значение связи, необходимое для образования синхронных кластеров, от динамических свойств индивидуальных осцилляторов? Сохраняются ли устойчивые структуры, обусловленные симметриями связанной системы с идентичными осцилляторами, при введении расстройки параметров между парциальными подсистемами? Подробному рассмотрению этих вопросов и посвящена данная диссертационная работа.

Целью диссертационной работы является изучение явлений образования пространственных стационарных структур и синхронных кластеров в многомерных решетках связанных осцилляторов общего вида с простой и сложной динамикой и решетках конкретных идентичных или почти идентичных динамических систем с локальной, расширенной локальной и нелокальной связью; изучение влияния расстройки параметров между ин-

дивидуальными осцилляторами решетки на существование и устойчивость синхронных режимов колебаний.

Теоретическая и практическая значимость результатов. В работе исследованы свойства структурообразования и устойчивости пространственно-временных когерентных структур в многомерных решетках осцилляторов общего вида, а также конкретных систем, обладающих различными типами хаотических аттракторов. В работе даны ответы на ряд общих вопросов теории хаотической синхронизации. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при исследовании конкретных связанных динамических систем.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Изучено образование мозаичных пространственных структур в решетках бистабильных осцилляторов. Дана оценка области параметров связанной системы, для точек которой реализуются всевозможные комбинации устойчивых состояний равновесия. Построена область параметров, при которых в решетке реализуются как пространственно-однородные, так и неоднородные распределения. Обнаружено, что при плавном увеличении связи между осцилляторами в решетке с расширенной локальной связью происходит образование профилей в виде мозаик, причем изменение профиля происходит скачкообразно. Дано объяснение образованию мозаичных структур. Выявлена закономерность образования профилей.

2. Изучено существование режимов кластерной синхронизации в двумерных и трехмерных решетках диффузионно связанных идентичных осцилляторов с регулярной и хаотической динамикой. Доказано, что в отличие от ансамблей осцилляторов с глобальной связью, в которых осцилляторы могут образовывать синхронные кластеры любого размера, число возможных кластеров в решетках локально связанных систем значительно меньше и существенно зависит от числа элементов решетки. Теоретически изучено множество всех возможных синхронных кластеров. Исследована устойчивость синхронных хаотических режимов в трехмерных решетках, получены достаточные условия глобальной синхронизации осцилляторов. Дана оценка области параметров, соответствующей полной синхронизации.

3. Исследованы существование и устойчивость синхронных кластеров в решетках осцилляторов с расширенной локальной связью. Получены

условия синхронизации осцилляторов в таких решетках.

4. Численными методами исследованы двумерные решетки систем Лурье и Ресслера, связанных как локальной, так и нелокальной связью. Исследована последовательность образования профилей в решетках Лурье и Ресслера. Показано, что такая последовательность существенным образом зависит от индивидуальной динамики осцилляторов, размеров

, решетки и граничных условий.

5. Доказано, что синхронные кластеры, существующие в решетках связанных идентичных осцилляторов, устойчивы по отношению к неболь» шой расстройке параметров между осцилляторами и внешнему шуму.

Аналитически оценена максимальная ошибка синхронизации, получена оценка порогового значения расстройки параметров, соответствующего потере устойчивости режима кластерной синхронизации.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: семинарах кафедры математики ВГАВТ; семинаре кафедры теории колебаний ННГУ; семинаре физического факультета Датского Технического Университета; итоговой научной конференции ННГУ (1997 г.); 3, 4 и 5 сессиях молодых ученых (Нижний Новгород, 1998 г., 1999 г.; Саров, 2000); всероссийской конференции "Нелинейные колебания механических систем "(Нижний Новгород, 1999); научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава ВГАВТ (Нижний Новгород, 1999); научно-практическом семинаре "Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах"(Нижний Новгород, 2001); международных конференциях: 5th Int. School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS!98) (Saratov, 1998); Int. Workshop "Dynamic Days"(Nizhny Novgorod, 1998); Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'2001), (Japan, 2001); Int. Conference "Progress in Nonlinear Science"dedicated to the 100th Anniversary of A.A. Andronov (Nizhny Novgorod, 2001); Int. Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (NDES-2001) (Delft, The Netherlands, 2001); Int. Workshop on Control, Communication, and Synchronization in Chaotic Dynamical Systems (Dresden, Germany, 2001); Int. Workshop on Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations. Applications in Physics, Biology and Medicine (SYNCHRO-2002) (Saratov, 2002).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[14].

Личный вклад автора. Результаты теоретического и численного исследования пространственных стационарных структур, существования и устойчивости синхронных режимов в решетках регулярных и хаотических осцилляторов с нелокальной и локальной расширенной связью получены автором самостоятельно (работы [1]-[8]). В работах, выполненных с соавторами, автору принадлежит, главным образом, выполнение численных экспериментов, участие в постановке задачи, обсуждении и интерпретации результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации со- '

ставляет 115 страниц, включая 43 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы, обсуждается актуальность темы диссертации, приводится краткий обзор литературы по данной тематике.

В первой главе рассматривается вопрос образования стационарных мозаичных пространственных распределений в решетках бистабильных двумерных осцилляторов, связанных нелокальной связью.

N\ х N2 двумерная решетка такого типа может описываться следующей динамической системой:

j+M к+м

Ai,k = {-P+iu)Aj,k+\Ajik\2Aj,k-\Ajj!\i+ £ £ dnim{An,m-Alk), (1)

n=j-M m—k-M

где j = 1, N1, к = 1, N2, Ajtk - комплексная амплитуда осциллятора с индексом (j, к),р- параметр нелинейности, tfn,m - параметры связи между элементами, а М - глубина нелокальной связи между элементами.

Записанная в полярных координатах Aj^ = г^е"*'*, где rhk ~ амплитуда и ipjjt - фаза колебаний (j, к)-го осциллятора решетки, система (1) имеет вид

{ Чк = f(4h) + T^Jj-M rfn,m(ru,m COs(<i>„,m) - Tjik)

\TSm,k = T?nJj-M ^тй-М dnim(rn,m Sm(<,Sn,m)),

где /(г) = —г5 + г3 — рг. При отсутствии связи между элементами решетки динамика индивидуального осциллятора описывается следующей системой:

г = /(г) гф = шт.

В этом случае индивидуальная система имеет три аттрактора: устойчивое нулевое состояние равновесия, устойчивый предельный цикл с амплитудой Г, = /1/2 4- л/1/4 - р и неустойчивый предельный цикл с амплитудой г„ =

— \/1/4 — у>, разделяющий два устойчивых аттрактора. Ранее было показано, что только синфазные движения в системе (2) будут устойчивы, поэтому система (2) рассматривается на многообразии » синфазных движений, так что динамика системы (2) определяется ампли-

тудными уравнениями:

|Г — + ^п,т(Тп,т ~ 1~з,к)- (4)

Показано, что система (4) является градиентной. Это означает, что в фазовом пространстве системы существуют лишь состояния равновесия. Характерно, что в трехмерном пространстве В) амплитуды колебаний осцилляторов в решетке задают пространственные стационарные структуры-мозаики. Простейшие состояния равновесия, соответствующие однородным статическим состояниям, очевидно, определяются нулями функции /(г):

0\ : г — 0; 02 : г = гг; Оз : г = г4,

где г = {г^к}, 3 = 17Ж1, к = ТЖ-

С помощью систем сравнения построены поглощающие области и показано, что в области параметров £)/«, выделяемой неравенством:

(5)

\ 4(Г4-ГО 4(7-4 + г3)| все 2Д'1Х^2 возможные состояния равновесия являются устойчивыми. Эти состояния равновесия определяют пространственные структуры в пространстве {Z2, Я} и могут быть формально описаны матрицей кодировки с произвольным набором символов (а, Ь). Таким образом, в случае, когда параметры системы (4) принадлежат области в зависимости от начальных условий в решетке могут реализовываться как простейшие однородные, так и сложные беспорядочные профили амплитуд осцилляторов.

В случае локальной связи между элементами решетки проведено исследование профилей решетки вне области Б/3. Обнаружено, что при плавном увеличении коэффициента связи между элементами изменение профиля происходит скачкообразно, также обнаружена закономерность образования профилей в решетке.

Исследована двумерная решетка бистабильных элементов с различным типом расширенной локальной связи. Обнаружено, что в случае, когда параметры решетки выходят из области в системе возникают профили

в виде мозаик, представляющие собой устойчивые пространственные распределения. Дано объяснение явлению образования мозаичных профилей в случае, когда расширенная локальная связь существенно больше, чем локальная. С помощью численных экспериментов обнаружено, что в зависимости от параметров решетки в системе в результате процесса установления появляются мозаики, которые не существовали в начальном распределении и которые эволюционируют либо к однородному распределению, либо к одной из мозаик.

Во второй главе исследуются явления образования пространственно-временных когерентных структур, кластеров, в двумерных решетках связанных регулярных и хаотических осцилляторов.

Простейшему пространственно-однородному когерентному режиму соответствует полная синхронизация всех осцилляторов решетки, которая состоит в том, что при достаточно большой связи все парциальные подсистемы приобретают идентичное динамическое поведение при любых различных начальных условиях.

Пространственно-неоднородному когерентному режиму соответствует кластерная синхронизация, при которой только элементы, принадлежащие одному и тому же кластеру, демонстрируют идентичное синхронное поведение.

Существование синхронных кластеров в решетке локально связанных осцилляторов напрямую связано с инвариантными многообразиями следующей динамической системы:

х^ = + - + х{-10) + - 2хц + х^-х)

Уи = Уи) _

(6)

с граничными условиями типа Неймана хг$ = х,д, хд^ = хи, х^м+г — х^, и Хл/ч-и = или периодическими граничными условиями. Здесь -скалярная переменная, у^ - векторная. у^) и д(х1^1у1^) - скалярные и векторные функции соответственно. £1 > 0 и е2 > 0 - параметры связи, определяющие связь между осцилляторами в двух направлениях решетки. N1 и N2 - размер решетки.

Режиму кластерной синхронизации соответствует линейное инвариантное многообразие М(с1) системы (6), где <1 - число синхронизованных кластеров.

В простейшем случае, когда й — 1, в системе (6) существует линейное ин-

ю

вариантное многообразие М{ 1), соответствующее синхронизации всех осцилляторов решетки.

Кластеры, возникающие в N1 х N2 двумерных решетках (6), представляют собой топологическое произведение кластерных режимов, существующих независимо в двух направлениях решетки (например, кластерная синхронизация осцилляторов в строках решетки и отсутствие синхронизации в столбцах элементов). Таким образом, множество симметрии локальной диффузионной связи определяет множество возможных кластерных режимов.

В случае N1 х N1 квадратных решеток с Е\ = е^ = е, в системе существуют дополнительные симметрии так, что.пространственно-временная динамика в этом случае может быть гораздо богаче.

В первой части главы исследованы все возможные симметрии связанной системы (6), описано множество всех возможных режимов пространственно-временной синхронизации в двумерных решетках локально связанных хаотических осцилляторов, изучены вложения линейных инвариантных многообразий. Такие вложения определяют порядок возникновения устойчивых кластеров и возможные сценарии перехода от полностью рассинхро-низованного профиля амплитуд системы к единственному пространственно однородному кластеру, определяющему режим полной синхронизации, при увеличении связи между осцилляторами решетки.

Во второй части главы с помощью метода функций Ляпунова получены условия глобальной устойчивости линейных инвариантных многообразий, соответствующих различным кластерным режимам в двумерных решетках локально связанных идентичных хаотических осцилляторов. Получены аналитические оценки на пороговое значение силы связи, гарантирующей режим устойчивой синхронизации как в решетке связанных систем общего вида, так и связанных конкретных систем (связанные системы Лурье). Следует подчеркнуть, что в отличие от случая простейшей одномерной решетки доказательство устойчивости синхронных режимов в двумерных решетках существенно сложнее и не является прямым обобщением результатов по устойчивости синхронизации в цепочках связанных хаотических элементов.

Теоретические результаты о существовании и устойчивости синхронных кластеров подтверждены численным исследованием различных решеток диффузионно связанных конкретных динамических систем (решетки связанных систем Лурье и связанных систем Ресслера).

В заключительной части главы рассмотрена двумерная решетка осцил-

ляторов, связанных расширенной локальной связью

= f(xi,j>УiJ)~Ь^

£1(^1+1,> - + + - + ^-1)+

4 а - + Ц-2¿) + 4 (х,-¿+2 - + (7)

= У и) _

с граничными условиями типа Неймана или периодическими граничными условиями. В заданной системе, параметры е\ и отвечают за локальную связь между элементами, а параметры е[ и е'2 - за связь с элементами, отстоящими на один элемент от данного. Остальные обозначения аналогичны обозначениям системы (6).

Аналогично исследованию синхронных кластеров в решетках с локальной связью, изучено множество возможных режимов кластерной синхронизации в решетках с нелокальной связью (7). Показано, что множество соответствующих линейных многообразий существенно шире, чем в случае просто локальной связи между элементами решетки. Так что в решетках с расширенной локальной связью пространственно-временная динамика системы может быть гораздо богаче, особенно в случае периодических граничных условий. Достаточные условия синхронизации в двумерной решетке с локальной связью обобщены на случай расширенной локальной связи. Численно исследован вопрос о порядке стабилизации многообразий кластерной синхронизации в решетках систем Лурье и Ресслера с такой расширенной локальной связью.

В третьей главе исследуются существование и устойчивость кластеров хаотических колебаний в трехмерных решетках локально связанных осцилляторов.

Для трехмерной решетки, аналогично двумерному случаю, изучено существование многообразий кластерной синхронизации, определяющих все возможные режимы синхронизации в трехмерной решетке. Рассмотрен вопрос об устойчивости таких многообразий. В частности, получены достаточные условия устойчивости синхронизации осцилляторов в трех направлениях трехмерной решетки. Из этих достаточных условий устойчивости следует, что величины пороговых значений силы связи, достаточной для установления синхронизации в трех направлениях решетки, квадратично растут с увеличением числа осцилляторов в каждом направлении решетки. В связи с этим, высказана гипотеза о том, что зависимость пороговых значений связи, необходимой для устойчивой синхронизации, от числа ос-

цилляторов также является квадратичной. Эта гипотеза может быть сформулирована следующим рбразом.

Если в Ыг х N2 х Лг3 решетке связанных осцилляторов (параметры локальной связи - £х, £2 и £3) наступает глобально устойчивая синхронизация при увеличении параметров связи, то зависимость реальных пороговых значений от числа осцилляторов в трех направлениях решетки имеет вид

4 = сЛ£, ш= 1,2,3, (8)

где константа с может рассматриваться, с определенной точностью, как инвариант связанной системы. Сказанное означает, что, зная лишь один порог синхронизации в любом направлении решетки заданного размера, можно предсказать с высокой точностью все пороговые значения связи £*„, необходимой для хаотической синхронизации, в решетке произвольного размера.

Результаты численного моделирования решеток конкретных систем подтверждают справедливость высказанной гипотезы.

В четвертой главе исследуется вопрос о сохранении устойчивых кластерных структур, наблюдающихся в решетках связанных идентичных осцилляторов при введении расстройки параметров между осцилляторами.

Действительно, анализ структур и кластеров, проведенный в предыдущих главах, был ограничен случаем решеток идентичных осцилляторов. Такая идеализация удобна с математической точки зрения, однако такой подход не учитывает небольшие отличия параметров, которые всегда существуют в реальных системах. Возникает естественный вопрос: устойчивы ли режимы кластерной синхронизации при небольшом рассогласовании параметров индивидуальных систем или эти режимы являются лишь результатом математической идеализации?

В первой части четвертой главы доказано, что устойчивые синхронные кластеры, существующие в невозмущенной системе (решетке связанных идентичных осцилляторов), действительно сохраняются при введении небольшой расстройки параметров между парциальными элементами. В этом случае такие когерентные режимы являются кластерами 6-синхронизованных осцилляторов (ошибка синхронизации 6 мала).

Для решеток связанных систем общего вида получены условия устойчивости кластеров ¿-синхронизации и оценена ошибка синхронизации. В частности, рассмотрена двумерная решетка (6) х-связанных неидентичных

1

17 }

33

Рис. 1: Мгновенный снимок наблюдаемых устойчивых симметричных кластеров ¿-синхронизации в решетке неидентичных осцилляторов Ресслера (параметр связи = £г = 0.57, разброс параметров А = 10%). Различные оттенки серого цвета пропорциональны амплитудам осцилляторов Хаотические осцилляторы, обозначенные идентичным оттенком, принадлежат одному ¿-синхронизованному кластеру

систем Лоренца:

¿У = {? + - хю)

У>,з — (т + Ти)^' — Уг,з ~ (9)

Кэ = -(*> + Кз)^,} +

в которых разброс параметров равномерно ограничен |<Тг^| < /х, |7М| < /х и 16^1 < /х.

Для такой связанной системы ошибка синхронизации оценивается следующим образом:

6 = 4 [(Ь + ух) (а + 2ц)/у/Ь + /х - 1] /х, а = 7 + <т.

В второй части четвертой главы общие теоретические результаты подтверждены результатами компьютерного моделирования решеток связанных хаотических систем Лоренца с постоянным разбросом параметров индивидуальных осцилляторов и решеток связанных хаотических систем Ресслера, в которых расстройка параметров производится с помощью небольшого шума.

В качестве примера, на рис. 1, представлен устойчивый симметричный кластерный режим ¿-синхронизации в двумерной 33x33 решетке ^-связанных

неидентичных хаотических систем Ресслера (параметр связи ^ = е2 и разброс параметров Д = 10%). Хаотические осцилляторы решетки синхронизованы одновременно относительно двух диагоналей решетки и относительно строки и столбца с индексом 17. Центральный элемент с индексом (17,17) остается несинхронизованным и определяет отдельный кластер. Всего число кластеров - й = 153.

Для решеток других связанных неидентичных элементов также показано, что соответствующие кластерные режимы ¿-синхронизации реализуются в решетках неидентичных систем и сохраняются вплоть до разброса параметров, равного 15%. Более того, в случае большого разброса параметров (до 100%), когда режимы кластерной ¿-синхронизации уже не сохраняются и амплитуды колебаний осцилляторов отличаются значительно, "фазы"осцилляторов (в случае хаотических осцилляторов определение фазы не так тривиально, как в классическом случае) часто остаются синхронизованными. В этом случае в решетке может наблюдаться кластерная фазовая синхронизация. Однако в данной диссертации этот эффект не был подробно рассмотрен и является отдельной интересной задачей, требующей пристального изучения.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В настоящей диссертационной работе проведено исследование явлений образования пространственно-временных структур в двух- и трехмерных решетках регулярных и хаотических осцилляторов с локальной и нелокальной связью. К наиболее важным и интересным можно отнести следующие результаты.

1. Для решетки нелокально связанных динамических систем получены условия, выделяющие в пространстве параметров целую область, в которой в решетке реализуется большое число пространственных структур, включая как простейшие однородные, так и сложные неоднородные. Обнаружено, что при достаточно больших значениях коэффициентов связи между элементами в решетке возникают мозаичные структуры, представляющие собой устойчивые пространственные распределения. С помощью численных экспериментов удалось обнаружить, что в зависимости от параметров в системе в результате процесса установления появляются мозаики, не существовавшие в начальном распреде-

лении и переходящие либо в однородное распределение, либо в одну из мозаик.

2. С помощью аналитических методов исследованы существование и устойчивость пространственно-неоднородных синхронизованных структур, кластеров, в многомерных решетках связанных регулярных и хаотических систем общего вида. Исследованы пространственные симметрии, определяющие существование различных кластеров синфазных и противофазных колебаний и изучена зависимость динамических свойств от числа элементов решетки; в частности, установлено, что существование, устойчивость и порядок стабилизации режимов существенно зависит от размера решетки, граничных условий и динамики парциальных элементов. Получены условия устойчивости режима хаотической синхронизации в решетках осцилляторов, связанных как локальной, так и расширенной локальной связью. Результаты аналитического исследования дополнены компьютерным экспериментом.

3. С помощью качественно-численного исследования изучены особенности образования когерентных структур в решетках связанных конкретных систем с различными типами хаотической динамики.

4. С помощью аналитических и численных методов доказано, что при введении небольшой (до 15%) расстройки параметров между осцилляторами решетки или внешнего шума синхронные кластеры остаются устойчивыми и определяют режим кластерной синхронизации достаточно высокой степени точности (ошибка синхронизации мала) в решетках неидентичных хаотических осцилляторов.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Список литературы

[1] Невидин К.В. Динамика пространственных структур в решетках би-стабильных систем // Межвузовский сборник научных трудов "Моделирование и оптимизация сложных систем". H Новгород: ВГАВТ, 1998. Вып. 275, Ч. 11. С. 24-36.

[2] Невидин К.В. Динамика пространственных структур в решетках нелокально связанных бистабильных элементов // Изв. вузов. Радиофизика, Т.41 N. 12, 1998, С. 1581-1585.

[3] V.N. Belykh and K.V. Nevidin, Dynamics of spatial patterns of the lattice of nonlocally coupled multistable elements // Abstracts of the 5th Int. School on Chaotic Oscillators and Pattern Formation (CHAOS-98), Saratov, 1998, p. 21.

[4| Невидин К.В, Динамика решетки связанных управляемых осцилляторов// Тез. докл.: V Международная конференция "Нелинейные колебания механических систем". H Новгород, 1999. С. 161

[5] Невидин К.В. Динамика пространственных структур в системах с нелокальной связью // Материалы научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава. H Новгород: ВГАВТ 1999. Вып. 283. С. 68-72.

[6] Невидин К.В. Динамика пространственных структур в решетке связанных систем с одной нелинейностью // Материалы Научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава. H Новгород: ВГАВТ 2000. Вып. 292. С. 131-137.

[7] Невидин К.В. Параллельные вычисления в многослойных динамических системах // Научно-практический семинар "Высокопроизводительные Параллельные Вычисления на Кластерных Системах". H Новгород: ННГУ, 2001. С. 129-135.

[8] Невидин К.В. Динамика пространственных структур в решетке динамических систем с расширенной локальной связью между элементами // Материалы научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава. H Новгород: ВГАВТ 2003. Вып. 293.

[9] I.V. Belykh, V.N. Belykh, K.V. Nevidin, and M. Hasler, Spatiotemporal synchronization in three-dimensional lattices of coupled chaotic systems // Proceedings of the 2001 Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA-2001), Japan, 2001, p. 87-90.

[10] I.V. Belykh, V.N. Belykh, K.V. Nevidin, and M. Hasler, Partial synchronization in two dimensional lattices of coupled nonlinear systems // Proceedings of the IEEE Conference on Nonlinear Dynamics of Electronic Sys- • terns (NDES-2001), Delft, 2001, p. 197-200 (Delft University Press).

[11] Belykh, V. Belykh, K. Nevidin, and M. Hasler, Cluster synchronization

in lattices of diffusively coupled dynamical systems // Proceedings of the *

Int. Conference "Progress in Nonlinear Science"dedicated to the 100-th Anniversary of A.A. Andronov. N. Novgorod, Russia, 2001. V. 3, p. 139— 143.

[12] V.N. Belykh, I.V. Belykh, and K.V. Nevidin, Spatiotemporal synchronization in lattices of locally coupled chaotic oscillators // Int. J. Mathematics and Computers in Simulation, Vol. 58,2002, p. 477-492 (NH Elsevier Publishing).

[13] V.N. Belykh, I.V. Belykh, M. Hasler, and K.V. Nevidin, Cluster synchronization in three-dimensional lattices of diffusively coupled oscillators // Int. J. Bifurcation and Chaos, Vol. 13, N. 4, 2003, p. 755-779 (World Scientific Publishing).

[14] I.V. Belykh, V.N. Belykh, K.V. Nevidin, and M. Hasler, Persistent clusters in lattices of coupled nonidentical chaotic systems// CHAOS, Vol. 13, N. 1, 2003, pp. 165-178 (American Institute of Physics Publishing).

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

Глава 1. Пространственно - временные структуры в решетках простейших бистабильных динамических систем, связанных локальной и нелокальной связью

1.1. Решетка динамических систем с локальной и расширенной локальной связью 1.2. Пространственные структуры 1.3. Заключения и выводы главы

Глава 2. Пространственно-временные структуры в двумерных решетках идентичных динамических систем со сложным поведением, связанных локальной и расширенной локальной связью 2.1. Существование синхронных кластеров в ансамблях с локальной диффузионный связью 2.2. Устойчивость кластерных многообразий 2.3. Структуры в двумерных решетках локально связанных динамических систем 2.4. Пространственно-временные структуры в решетках идентичных динамических систем связанных расширенной локальной связью 2.5. Выводы второй главы

Глава 3. Пространственно-временные структуры в трехмерных решетках локально связанных идентичных динамических систем 3.1. Существование и устойчивость синхронных кластеров в трехмерной решетке 3.2. Структуры в трехмерных решетках локально связанных конкретных динамических систем 3.3. Выводы третьей главы

Глава 4. Пространственно-временные структуры в двух и трехмерных решетках локально связанных неидентичных динамических систем

4.1. Синхронные кластеры в случае произвольных неидентичных динамических систем 4.2. Структуры в решетках локально связанных неидентичных конкретных динамических систем 4.3. Выводы четвертой главы

Заключение Библиография

О^оз-А №13394

I

(

Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Зак. 485 Тираж 100 экз.

Издательско-полиграфический комплекс ГОУ ВПО ВГАВТ 603600, Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5

1 Пространственно-временные структуры в решетках простейших бистабильных динамических систем, связанных локальной и нелокальной связью

1.1 Решетка простейших бистабильных динамических систем, связанных локальной и расширенно локальной связью.

1.1.1 Решеточная динамическая система. 1.1.2 Свойство градиентности решеточно динамической си, стемы.

1.1.3 Оценка расположения состояний равновесия с помощью поглощающих областей.

1.1.4 Устойчивость состояний равновесия.

1.2 Пространственные структуры.

1.2.1 Моделирование связей между элементами.

1.2.2 Слабая связь между элементами.

1.2.3 Динамика пространственных структур

1.2.4 Мозаичные структуры.

1.2.5 Конкуренция мозаик.

1.3 Выводы первой главы

2 Пространственно-временные структуры в двумерных решет-f ^ ках идентичных динамических систем со сложным поведением, связанных локальной и расширенно локальной связью

2.1 Существование синхронных кластеров в ансамблях с локальной диффузионный связью.

2.1.1 Вложение линейных инвариантных многообразий

2.1.2 Устойчивость кластерных многообразий.

2.2 Структуры в двумерных решетках локально связанных динамических систем.

2.2.1 Динамика структур в решетках локально связанных систем Лурье.

3 Пространственно-временные структуры в трехмерных решетках локально и нелокально связанных идентичных динамических систем

3.1 Существование и устойчивость синхронных кластеров в трехмерной решетке

3.1.1 Достаточные условия глобальной синхронизации в трехмерной решетке.

3.1.2 Оценка необходимых условий полной синхронизации

3.2 Структуры в трехмерных решетках локально связанных конкретных динамических систем.

3.2.1 Динамика пространственно-временных структур в трехмерной решетке связанных систем Лурье.

3.2.2 Динамика пространственно-временных структур в трехмерной решетке связанных систем Ресслера

3.3 Выводы третьей главы.

4 Пространственно-временные структуры в двух и трехмерных решетках локально связанных неидентичных динамических систем

4.1 Синхронные кластеры в случае произвольных неидентичных динамических систем

4.1.1 Общие результаты.

4.1.2 Пример: двумерная решетка систем Лоренца.

4.2 Структуры в решетках локально связанных неидентичных конкретных динамических систем.

4.2.1 Двумерная решетка неидентичных систем Лоренца.

2.2.2 Образование структур в решетках локально связанных систем Ресслера

Пространственно - временные структуры в решетках идентичных динамических систем связанных расширенной локальной связью.

2.3.1 Достаточные условия глобальной устойчивости полной синхронизации в двумерной решетке осцилляторов, связанных расширенной локальной связью.

2.3.2 Кластерные многообразия в решетках идентичных осцилляторов, связанных расширенной локальной связью

2.3.3 Образование кластеров в решетках идентичных систем Лурье, связанных расширенной локальной связью.

Выводы второй главы

4.2.2 Двумерная решетка неидентичных осцилляторов Рессле

Выводы четвертой главы.

Структурообразование в нелинейных диссипативных средах является одной из фундаментальных проблем теории колебаний и нелинейной физики и играет определяющую роль в динамике взаимодействующих систем, состоящих из большого числа упорядоченных в пространстве связанных активных элементов с простой и сложной динамикой.

Такие системы в виде решеток осцилляторов с различными типами связи часто встречаются в различных задачах и приложениях в электронике, биологии, нейрофизике, экологии, экономике и т.д. Например, это связанные электронные элементы типа подсистем с джозефсоновскими контактами, ансамбли связанных нейронов в мозге, решетки связанных лазеров, сети синхронизованных генераторов, компьютерные сети, взаимодействующие популяции. Кроме того, такие дискретные пространственные системы часто используются для моделирования непрерывных неравновесных сред, в частности распределенной турбулентной среды.

Определяющими режимами в пространственно-временной динамике ансамблей связанных систем с простым динамическим поведением (например, бистабильные подсистемы) являются пространственные диссипативные структуры и автоволны. Пространственные структуры представляют собой всевозможные устойчивые комбинации состояний равновесий индивидуальных мультистабильных систем. Такие стационарные пространственные решения часто называют мозаичными пространственными распределениями, или просто, мозаиками, которые могут быть как простыми (регулярными), так и неупорядоченными. В больших ансамблях взаимодействующих систем в последнем случае часто наблюдается пространственный беспорядок (в предельном случае, пространственный хаос), который может быть определен пространственной энтропией, мерой числа устойчивых мозаичных структур.

В случае, когда индивидуальные подсистемы являются нелинейными осцилляторами и обладают собственной хаотической динамикой, пространственно - временное поведение связанной системы становится существенно более сложным. Однако, в случае, когда индивидуальные взаимодействующие осцилляторы, составляющие ансамбль, являются идентичными или почти идентичными, общая связанная система обладает пространственными симметриями. При этом в системе наблюдаются пространственно - временные когерентные структуры, в частности, полная и кластерная синхронизация.

Характерная особенность динамического поведения связанных систем в этом случае состоит в том, что элементы синхронизованных структур (кластеров) имеют одну и ту же идентичную временную динамику, которая может быть как регулярной, так и хаотической. Например, в режиме полной хаотической синхронизации, все осцилляторы связанной системы, которые 1 могут иметь различные начальные условия, приобретают идентичное хаотическое поведение при достижении порогового значения коэффициента связи. Это важное свойство идентичных или почти идентичных хаотических систем приходить в состояние устойчивой синхронизации при сохранении индивидуального хаотического поведение было впервые обнаружено около двадцати лет назад и с тех пор стало основой отдельного научного направления. Действительно, пространственно-временная синхронизация хаотических систем наблюдается во многих связанных системах различной природы. Например, синхронизация хаотических осцилляторов имеет важное значение в биофизике, где часто встречаются системы связанных клеток (нейронов), демонстрирующие сложное нелинейное поведение так, что наличие или отсутствие синхронизации между клетками играет принципиальное значение для функционирования всей биологической системы. Например, дисфункция центральной нервной системы человека, проявляющаяся в эпилепсии, связана с состоянием мозга, при котором синхронизуется слишком большое количество нейронов, таким образом, что мозг более не в состоянии функционировать корректно.

Помимо своего фундаментального значения в естественных науках, образование синхронизованных структур в связанных хаотических системах имеет также множество приложений в различных областях знаний. Например, в радиоэлектронике синхронизация хаотических сигналов используется как средство передачи конфиденциальной информации.

Таким образом, исследование динамического коллективного поведения решеток и ансамблей связанных систем с простой и сложной динамикой является междисциплинарным и имеет важное значение не только для нелинейной физики и радиофизики, но и для целого комплекса наук, поскольку оно помогает выявить основные законы и особенности структурообразования и самоорганизации взаимодействующих систем.

Широкое исследование явлений синхронизации и образования структур в ансамблях связанных систем различной природы проводится как в России (Анищенко B.C., Афраймович B.C., Безручко Б.П., Белых В.Н., Блехман И.И., Веричев Н.Н., Гапонов-Грехов А.В., Дмитриев А.С., Капранов М.В.,

Кащенко С.А., Кузнецов С.П., Ланда П.С., Леонов Г.А., Неймарк Ю.И., Некоркин В.И., Пиковский А.С., Пономаренко В.П., Рабинович М.И., Тру-бецков Д.И., Фрадков А.Л., Шалфеев В.Д., Шахгильдян В.В., Шильников Л.П. и др.), так и за рубежом (Н. Abarbanel, P. Ashwin, L.A. Bunimovich, S. Chow, L.O. Chua, M. Ding, H. Fujisaka, V. Ebeling, B. Fiedler, G.B. Ermentrout, L. Glass, M. Golubitsky, H. Haken, J.K. Hale, M. Hasler, K. Kaneko, N. Kopell, Y. Kuramoto, J. Kurths, J. Mallet-Paret, E. Mosekilde, H. Nijmeijer, U. Par' litz, L.M. Pecora, I. Prigogine, K. Schneider, Ya. Sinai, S.H. Strogatz, I. Stewart, E. Ott, M.J. Velarde, C. Wu и др). Стремительный рост числа публикаций в отечественной и зарубежной литературе также подтверждает важность и актуальность исследования образования пространственно-временных структур в нелинейных дискретных диссипативных средах.

Большой класс возможных нелинейных индивидуальных систем с простой и сложной динамикой, различные типы связи и потенциальные приложения привели к целому ряду постановок задач и к большому числу интересных теоретических и численных результатов исследования конкретных систем.

Важными проблемами в изучении пространственно-временной динамики связанных систем являются вопросы существования и устойчивости различных стационарных пространственных структур и кластеров синхронных колебаний. В частности, следующие вопросы представляют особый интерес. Как число и размер кластеров в многомерных решетках связанных хаотических систем зависят от размера решеток, типа связи и граничных условий? Как устойчивость синхронных структур зависит от силы связи между элементами и числа осцилляторов в решетке и как зависит пороговое значения связи, необходимое для образования синхронных кластеров, от динамических свойств индивидуальных осцилляторов? Сохраняются ли устойчивые структуры, обусловленные симметриями связанной системы с идентичными осцилляторами, при введении расстройки параметров между парциальными подсистемами? Подробному рассмотрению этих вопросов и посвящена данная диссертационная работа.

Работа организована следующим образом.

В первой главе приводятся результаты исследования пространственных структур в решетках осцилляторов связанных как локальной так и расширенной локальной связью (когда элемент связан со своим соседним и следующим за ним элементом). В первой части главы приводятся результаты исследования решетки простейших бистабильных систем. Показано, что такая система является градиентной, приведены условия при которых в решетке существуют все возможные состояния равновесия. Приводятся результаты численного исследования системы за границами этой области.

Вторая глава посвящена исследованию явления кластерной синхронизации в двумерных решетках произвольных динамических систем. В первой части главы рассматривается вопрос о существовании кластерных многообразий синхронизации и приводятся примеры многообразий. Рассматривается вопрос об условиях устойчивости кластерных многообразий. Во второй части главы приводятся результаты исследования явлений кластерной синхронизации в двумерных решетках произвольных динамических систем, связанных расширенной локальной связью. Так же приводятся примеры кластерных многообразий в цепочке и решетке произвольных динамических систем связанных расширенной локальной связью.

Третья глава посвящена исследованию явления кластерной синхронизации в трехмерных решетках произвольных динамических систем. В первой части главы рассматривается вопрос о существовании кластерных многообразий синхронизации в трехмерных решетках и приводятся примеры многообразий. Далее приводятся примеры кластерных режимов синхронизации в трехмерных решетках состоящих из элементов со сложным хаотическим поведением.

В четвертой главе исследуется явление кластерной синхронизации в решетках локально связанных неидентичных систем. Первая часть главы посвящена вопросу существования кластерных многообразий синхронизации в случае неидентичности элементов решетки. Во второй части главы приводятся результаты численного исследования двух и трехмерных решеток локально связанных неидентичных систем.

Теоретическая и практическая значимость результатов. В работе исследованы свойства и устойчивость режимов полной и частичной (кластерной) синхронизации в решетке локально и почти локально диффузионно связанных динамических систем общего вида, а также конкретных систем, обладающих различными типами хаотических аттракторов. В работе также рассмотрен вопрос о сохранении режимов кластерной синхронизации при введении неидентичности в систему связанных осцилляторов. В работе даны ответы на ряд общих вопросов теории хаотической синхронизации. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при исследовании конкретных связанных динамических систем.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математики ВГАВТ, семинаре кафедры теории колебаний ННГУ; семинаре физического факультета Датского Технического Университета, итоговой научной конференции ННГУ (1997 г.); 3-ей, 4-ой и 5-ой сессиях молодых ученых (Нижний Новгород, 1998 г., 1999 г.;

Саров, 2000), "Нелинейные колебания механических систем "(Нижний Новгород, 1999); Научно-технической конференции профессорско - преподавательского состава ВГАВТ (Нижний Новгород, 1999); Научно-практическом семинаре "Высокопроизводительные Параллельные Вычисления на Кластерных Системах" (Нижний Новгород, 2001); международных конференциях: 5th Int. School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS'98) (Saratov, 1998); Int. Workshop "Dynamic Days"(Nizhny Novgorod, 1998); Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'2001), (Japan, 2001); Int. Conference "Progress in Nonlinear Science "dedicated to the 100th Anniversary of A.A. Andronov (Nizhny Novgorod, 2001); Int. Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems"(NDES-2001) (Delft, The Netherlands, 2001); Int. Workshop on Control, Communication, and Synchronization in Chaotic Dynamical Systems (Dresden, Germany, 2001); Int. Workshop on Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations. Applications in Physics, Biology and Medicine (SYNCHRO-2002) (Saratov, 2002).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах |31]-[44].

4.3 Выводы четвертой главы.

В главе был проведен систематический анализ устойчивости кластерных режимов синхронизации в решетке связанных неидентичных хаотических осцилляторов. Показана глобальная устойчивость кластерных режимов 5 - синхронизации и получена достаточно хорошая оценка ошибки синхронизации 5ге1. С помощью численных расчетов показано, что кластерные режимы синхронизации сохраняются вплоть до 10 — 15% рассинхронизации значений параметров решетки. Даже в случае большого рассогласования между параметрами решетки знание режимов кластерной синхронизации в случае идентичных параметров решетки может служить основой для изучения возможных режимов фазовой синхронизации и сдвиговой синхронизации в различных решетках диффузионно связанных систем.

Заключение

В диссертационной работе проведено исследование явлений полной, частичной и противофазной синхронизации в решетке диффузионно связанных систем общего вида и конкретных систем, имеющих различные бифуркационные механизмы перехода от регулярных колебаний к хаотическим (от простых предельных множеств к странным аттракторам). К наиболее важным и интересным можно отнести следующие результаты.

1. Для общего класса диффузионно связанных систем обнаружены вложенные инвариантные многообразия, определяющие иерархическую природу порядка частичной синфазной и противофазной синхронизации. Исследована их устойчивость и изучена зависимость динамических свойств от числа элементов цепочки. В частности установлено, что порядок частичной синхронизации существенно зависит от числа элементов цепочки.

2. Для общего случая диффузионно связанных динамических систем получены условия, при которых глобальная синхронизация элементов невозможна ни при какой сколь угодно большой связи. Это свойство обусловлено активностью среды, допускающей локальную синхронизацию, но препятствующей глобальной синхронизации.

3. С помощью качественно-численного исследования выявлены особенности динамики связанных конкретных систем с различными сценариями перехода к хаотическим колебаниям, существенно дополняющие полученные общие теоретические выводы. Это диффузионно связанные системы Ресслера и связанные системы лоренцевского типа.

4. Доказана устойчивость режима взаимной синхронизации для цепочки связанных неавтономных маятников и цепочки связанных систем типа ротатор-осциллятор. Обнаружены различные типы синхронизации, такие как хаотическая, квазипериодическая, периодическая. Результаты аналитического исследования для каждой из перечисленной систем дополнены компьютерным экспериментом.

1. S.Nichols and K.Wiesenfeld, Phys.Rev. E 50 205 (1994).

2. R.Li and T.Erneux, Phys.Rev. A 49, 1301 (1994).

3. W.Rappel, Phys.Rev. E 49 2750 (1994).

4. G.Dangelmayer and M.Kirby, Int.Series Numerical Math. 104, 85 (1992).

5. Herbert G. Winful and Lutfur Rahman, Phys.Rev. 65, 1575 (1990).

6. J.D.Murray, Mathematical Biology (Springer Verlag, New York, 1991).

7. P.Chacon, J.C.Nino, Physica D 81, 398 (1995).

8. M.C.Cross and P.C.Hohenberg, Rev. Mod. Phys. 65 (1993) 851.

9. P.Schuster and K.Sigmund, From Biological Macromolecules to protocells -The principal of early evolution, in: Biophysics, eds. W.Hoppe, W.Lohmann, H.Markl and h.Zeigler, (Springer, Berlin, 1982).

10. V.Hakim and W.-J.Rappel, Phys. Rev. A 46 R7347 (1992).

11. N.Nakagawa and Y.Kuramoto, Progr. in Theor. Physics 89, 313 (1993); Physica D 75 74 (1994).

12. Макаров B.A., Некоркин В.И., Пространственно временная динамика цепочки автоколебательных элементов, Изв. ВУЗов ПНД Т. 2, N. 2. 1994. С 3-9.

13. R.A.Horn and C.R.Johnson. Matrix Analysys. (Cambridge Univer-sity, Cambridge, 1986)

14. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Spatial disorder and patterns formation in lattices of coupled bistable elements, Physica D. 100 (1997) 330-342.

15. K. Kaneko, Clustering, coding, switching, hierarchial ordering and control in a network of chaotic elements // Physica D. 1990, Vol. 41. P. 137-172.

16. D.H. Zanette and A.S. Mikhailov, Phys. Rev. E 57, 276 (1998).

17. M.S. Vieira and A.J. Lichtenberg, Phys. Rev. E 56, 276 (1997).

18. V.S. Afraimovich, N.N. Verichev, and M.I. Rabinovich, Izv. Vuzov. Radiofiz. 29, 795 (1986).

19. M. Hasler and Yu.L. Maistrenko, IEEE Trans. Circuits Syst., I: Fundam. Theory Appl. 44, 856 (1997).

20. G.A. Johnson, D.J. Mar, T.L. Carroll, and L.M. Pecora, Phys. Rev. Lett. 80, 3956 (1998);

21. Z. Liu, S. Chen, and B. Hu, Phys. Rev. E 59, 2817 (1999).

22. S. Yanchuk, Yu. Maistrenko, B. Lading, and E. Mosekilde, Int. J. Bifurcation and Chaos Appl. Sci. Eng. 10 2629 (2000).

23. C.H. Chiu, W.W. Lin, and C.C. Peng, Int. J. Bifurcation and Chaos 10, 2717 (2000).

24. V.N. Belykh, I.V. Belykh, and M. Hasler, Phys. Rev. E 62, 6332 (2000).

25. N. Fenichel, Indiana Univ. Math. J. 21, 193 (1971).

26. L.P. Shilnikov, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev and L.O. Chua, Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. (Part I) (World Scientific Series on Nonlinear Science, Ser. A4, 1998).

27. G.V. Osipov, A. Pikovsky, M. Rosenblum, and J. Kurths, Phys. Rev. E 55, 2353 (1997); Z. Liu and B. Hu, Int. J. of Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. 11, 3137 (2001).

28. Расчёт электрических цепей и электромагнитных полей на ЭВМ. Под ред. Л.В.Данилова и Е.С.Филиппова. М.: Радио и связь, 1983.

29. Справочник по специальным функциям. Пер. с англ.: Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган М.: Наука 1979.

30. Невидин К.В. Динамика пространственных структур в решётках бистабильных систем// Межвузовский сборник научных трудов. "Моделирование и оптимизация сложных систем", Нижний Новгород, ВГАВТ 1998, Выпуск 275, часть 11, с. 24-36.

31. V.N. Belykh and K.V. Nevidin, Dynamics of spatial patterns of the lattice of nonlocally coupled multistable elements//Abstracts of the 5th Int. School on Chaotic Oscillators and Pattern Formation (CHAOS 98), Saratov, 1998, p. 21.

32. Невидин К.В, Динамика решетки связанных управляемых осцилляторов// Тез. докл.: V Международная конференция Нелинейные колебания механических систем, Нижний Новгород, 1999, С. 161

33. Невидин К.В. Динамика пространственных структур в системах с нелокальной связью// Материалы Научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, ВГАВТ 1999, Выпуск 283, С. 68-72.

34. Невидин К.В. Динамика пространственных структур в решетке связанных систем с одной нелинейностью// Материалы Научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, ВГАВТ 2000, Выпуск 292, С. 131-137.

35. Невидин К.В. Параллельные вычисления в многослойных динамических системах// Научно-практический семинар "Высокопроизводительные Параллельные Вычисления на Кластерных Системах", ННГУ, 2001, С. 129-135.

36. V.N. Belykh, I.V. Belykh, and K.V. Nevidin, Spatiotemporal synchronization in lattices of locally coupled chaotic oscillators// Int. J. Mathematics and Computers in Simulation, Vol. 58, 2002, pp. 477-492 (NH Elsevier Publishing).

37. V.N. Belykh, I.V. Belykh, M. Hasler, and K.V. Nevidin, Cluster synchronization in three-dimensional lattices of diffusively coupled oscillators//Int. J. Bifurcation and Chaos, Vol. 13, N. 4, 2003, pp 756-781 (World Scientific Publishing).

38. I.V. Belykh, V.N. Belykh, K.V. Nevidin, and M. Hasler, Persistent clusters in lattices of coupled nonidentical chaotic systems// CHAOS, Vol. 13, N. 1, 2003, pp. 165-178 (American Institute of Physics Publishing).

39. Невидин К.В. Динамика пространственных структур в решетках динамических систем с расширенной локальной связью между элементами.// Материалы Научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, ВГАВТ 2003, Выпуск 293

40. V.N. Belykh, I.V. Belykh, and M. Hasler, Phys. Rev. E 62, 6332 (2000).

41. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Spatial disorder and patterns formation in lattices of coupled bistable elements, Physica D. 100 (1997) 330-342.