Детерминированные и индуцированные шумом колебательные режимы в ансамблях осцилляторов со связью по цепи распределения энергии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ЩЕРБАКОВ Павел Александрович

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И ИНДУЦИРОВАННЫЕ ШУМОМ

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ В АНСАМБЛЯХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ СО СВЯЗЬЮ ПО ЦЕПИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ

01.04.03 - радиофизика

ио3487724

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2009

003487724

Работа выполнена на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Постнов Дмитрий Энгелевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Кузнецов Сергей Петрович;

кандидат физико-математических наук, профессор Розанов Александр Владимирович.

Ведущая организация: Саратовский Государственный

Технический Университет.

Защита состоится 24 декабря 2009 года в 17:30 на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 в Саратовском Государственном Университете (410026, г.Саратов, ул. Астраханская, 83). С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского госуниверситета.

Автореферат разослан "¿у ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета:

Аникин В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

Понятия автоколебаний и автоколебательной системы являются одними из важнейших фундаментальных понятий теории колебаний и нелинейной динамики. Как правило источник энергии, входящий в состав автоколебательной системы, предполагается а) постоянным и б) идеальным. При этом, в математической модели источник питания представлен постоянной величиной и его, как правило, просто "прячут" в параметры и нелинейности системы. Так, например, при выводе уравнений Ван-дер-Поля центр падающего участка вольт-амперной характеристики нелинейного элемента предполагают совпадающей с нулями напряжения и тока, что в реальном эксперименте достигается только при наличии источника мощности. Когда автоколебательных систем более чем одна, описанный выше подход приводит к совершенно определённой парадигме, когда в ансамбле взаимодействующих осцилляторов каждый из них имеет свой индивидуальный, скрытый в нём источник энергии. Очевидно, при удалении связи такая система распадается на набор индивидуальных автоколебательных систем.

Однако такой модельный подход не всегда адекватен реальности. В качестве примера можно привести ситуацию, когда несколько электронных устройств подключены к общему источнику питания. Очевидно, что если считать источник напряжения идеальным (нулевое внутреннее сопротивление, что эквивалентно бесконечной мощности), то ситуация отвечает классическому подходу: каждый осциллятор обладает как бы независимым источником энергии, никак не влияя на остальные и не воспринимая их наличие. В случае же конечного внутреннего сопротивления источника (и/или активных и реактивных сопротивлений в цепях питания) имеет смысл говорить о системе из источника энергии и ансамбля нелинейных преобразователей, использующих этот источник совместно для генерации автоколебаний. Таким образом, ансамбль представляется не набором индивидуальных автоколебательных систем, но системой осцилляторов, связанных посредством неидеального источника энергии.

Примеры таких систем далеко не ограничены радиофизикой. Подобного рода взаимосвязи могут быть обнаружены в экологии, в динамике популяций бактерий и вирусов в одной питательной среде и многих других ситуациях. Не во всех случаях энергия привносится в систему прямо в том виде, в котором она порождает колебания, как это имеет ме-

сто для электронного осциллятора. В экологических системах это может быть питательный ресурс, который преобразуется живыми организмами в необходимый им вид энергии. Например, для популяций бактерий и вирусов в общей питательной среде [Роэ1;поу 98, МовекШе 02] питательный субстрат не является энергией в прямом смысле этого слова, но используется конечными потребителями для её выработки. В области физиологии типичным представителем описанных систем является ансамбль нефро-нов (структурных элементов почки), расположенных на общем крове. носном сосуде: так называемое "нефронное дерево" [РобШоу 01]. Энергия для активности нефронов берётся не от потока крови непосредственно, а из иных источников. Однако для динамики нефронов давление крови функционально играет ту же роль, что и энергия в радиофизических осцилляторах и питательные вещества в популяции бактерий и вирусов , [ВаЛес! 96]: его наличие необходимо для возбуждения автоколебаний.

С самых общих позиций можно определить величину приносящую в систему энергию, как энергонесущий ресурс (ЭНР). Его определяющие признаки следующие:

а) его приток рождает колебания в системе;

б) этот ресурс расходуется (электрический ток рассеивается в тепло, органический ресурс преобразуется в энергию, необходимую для поддержания жизни экосистемы.)

Применительно к предложенному способу рассмотрения динамики ансамблей колебательных систем естественным образом возникает ряд вопросов по сопоставлению с классическим подходом.

Так, особые требования предъявляются к выбору модельных систем. В данной диссертационной работе исследование динамики ансамблей осцилляторов со связью посредством распределения ресурса основано на использовании математической модели ЕЬС-цепи с туннельным диодом. Преимущества такого выбора заключаются в простоте описания и наличии источника питания в явном виде. В то же время, математическая модель такой радиофизической системы в упрощенном и безразмерном 1 виде отвечает требованиям, предъявляемым к "базовым" моделям теории колебаний и нелинейной динамики. Кроме максимально упрощенной модели, легко реализуемой в радиофизическом эксперименте, была предложена модель двумодового осциллятора, как безразмерная имитационной ' модель нефрона.

Наряду со свойствами самих осцилляторов, способ их организации в ансамбль во многом определяет результирующую динамику. При этом,

можно выделить как сам тип взаимодействия осциллятора с остальными (в нашем случае он предопределен выбором модельной системы и происходит по цепи питания), так и структурную огранизацию ансамбля - "топологию связи". Хорошо изученные ее варианты включают, например, локальную связь [Afraimovich 94], когда осцилляторы в решетке (или иной структуре) взаимодействуют лишь с ближайшими соседями, а также глобальную связь [Kuramoto 84, Kaneko 91], когда каждый осциллятор ансамбля связан со всеми остальными его элементами. В последние годы популярным объектом исследования становятся т.н. "small-world networks" [Watts 99, Mathias 01], как системы, сочетающие в себе свойства локальных и дальних взаимодействий.

Для реальных систем с распределением ЭНР топология связи зачастую сложна. Однако можно выделить несколько предельных случаев, полезных для модельного описания. Аналогом глобально связанных осцилляторов может служить структура, где потребители подключены к неидеальному источнику энерго-несущего ресурса в одной точке. В радиофизическом эксперименте такая структура может быть представлена "пучком" осцилляторов, подключенных к источнику питания через разветвитель. Аналогом другой хорошо исследованной топологии связи в виде цепочек осцилляторов служит система потребителей, расположенных вдоль некоего общего канала распределения ЭНР, имеющего собственные характеристики диссипации и реактивности. Помимо упомянутых, для систем распределения ресурсов имеется специфический тип топологии, не характерный и потому практически не изученный применительно к ансамблям автономных автоколебательных систем. Речь идет о топологии связи типа "дерево", образе ветвящейся иерархической структуры, которую в природе можно наблюдать повсеместно: от путей доставки питательных веществ в кронах деревьев и кровоснабжения тканей живых организмов до созданных человеком сетей распределения электроэнергии, а также газо- и водоснабжения.

Несомненно, динамика ансамблей осцилляторов с взаимодействием по цепи распределения энергии должна рассматриваться в общем контексте представлений о синхронизации автоколебательных систем. Однако, как особенности топологии такой связи, так и специфика ее воздействия на отдельно взятый осциллятор порождают целый ряд интересных задач для исследования. Каковы будут типичные динамические режимы и их взаимопереходы для малых ансамблей (два или три элемента) осцилляторов, в чем будет заключатся отличие от хорошо исследованного

случая диффузионно связанных автоколебательных систем? Каковы будут особенности поведения цепочки осцилляторов, получающих энергию от единственного источника, внешнего по отношению ко всем элементам цепочки? В чем проявится иерархическая структура связи древовидной топологии с точки зрения распределения амплитуд и фаз колебаний осцилляторов ансамбля?

Сформулированные выше вопросы определили актуальность исследования и позволили сформулировать следующую цель диссертационной работы: Исследовать динамические и индуцированные шумом колебательные режимы и нелинейные эффекты, характерные для ансамблей осцилляторов с различной топологией ЭНР-связи.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Выбор адекватных модельных систем и исследование их динамики на плоскости управляющих параметров, отвечающих за приток и диссипацию энергии.

2. Исследование особенностей генерации и синхроизации колебаний в малых ансамблях из двух и трех осцилляторов, в том числе - при наличии более одного канала связи.

3. Изучение характеристики и механизмы трансформации амплитудно-неоднородных колебательных режимов (осцилля-торных кластеров) в ансамбле осцилляторов с топологией связи типа "цепь".

4. Выявлсешс и классификация множественных (одновременно устойчивых) режимов колебаний в ансамбле с топологией ЭНР-связи в виде двоичного дерева, анализ действия флуктуаций как со стороны источника питания, так и в индивидуальных осцилляторах.

Научная новизна результатов работы.

• Впервые реализован подход к систематическому изучению динамики связанных по цепи распределения энергии осцилляторов, в рамках которого цепь распределения энергии рассматривается как канал связи, управляющий амплитудными и частотными характеристиками колебательных мод.

• Впервые выявлены и исследованы сценарии эволюции осциллятор-ного кластера в ансамбле с топологией связи типа "цепь".

• Впервые установлено наличие многочастотных колебательных режимов в ансамблей осцилляторов с топологией связи типа "цепь".

• Впервые обнаружен и проанализирован нелинейный эффект роста осцилляторного кластера под воздействием некоррелированных источников шума в осцилляторах структуры типа "цепь".

• Впервые продемонстрировано, что наличие дополнительной связи приводит к возникновению кластера синхронизации внутри осцилляторного кластера.

• Впервые исследованы динамические и индуцированные режимы динамики ансамбля осцилляторов с древовидной топологией связи по цепи распределения энергии.

Достоверность научных выводов работы подтверждается соответствием аналитических исследований и численного моделирования, а также соответствием результатам натурного радиофизического эксперимента.

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Динамика ансамбля осцилляторов, объединенных по питанию в структуру типа "цепь", характеризуется наличием кластера осцилляторов, находящихся в режиме генерации. При вариации напряжения питания такой осциллягорный кластер сдвигается вдоль цепи, причем сценарии его перемещения определяются характеристиками энергопотребления индивидуальных осцилляторов.

2. Частотная структура осцилляторного кластера при увеличении потерь в цепи распределения энергии определяется балансом двух факторов, а именно: рост взаимовлияния осцилляторов усиливает тенденцию к синхронизации, тогда как сопутствующее увеличение расстройки по частотам препятствует синхронизации. Как результат, в условиях малых потерь в цепи распределения энергии типичным является многочастотный режим, на уровне точности вычислительного эксперимента соответствующий многомерному тору в фазовом пространстве математической модели.

3. Наличие некоррелированных флуктуаций в осцилляторах объединённых в структуру типа "цепь" приводит к увеличению размеров осцилляторного кластера. При этом, существует оптимальное значение интенсивности шума, при котором степень регулярности колебаний однородна в пределах кластера.

4. Динамика ансамбля идентичных осцилляторов объединённых по цепи питания в структуру типа "дерево" характеризуется наличием набора сосуществующих (одновременно устойчивых) периодических и квазипериодических автоколебательных режимов. Формирование квазипериодических режимов обусловлено характеристиками энергопотребления осцилляторной пары в составе структуры типа "дерево".

Научно-практическая значимость результатов. Общность выбранной модели равно как и широкое распространение как в технике, так и в природе связи посредством распределения энергии (в общем случае энерго-несущего ресурса) позволяет сделать предположение о том, что полученные результаты могут найти применение как для анализа систем с аналогичной природой взаимодействия, так и для оптимизации энергопотребления радиотехнических систем с общим источником энергии.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты работы докладывались на: Научная школа-конференция "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов 2003); Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск 2004); 7-ая Международная школа "Хаос 2004" (Саратов 2004); Научная школа-конференция "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов 2005); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2006" (Москва 2006); Научная школа-конференция "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов 2006); Международная школа-семинар "Статистическая физика и информационные технологии" (8ТАТШРО-2009) (Саратов 2009); Научная школа-конференция "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов 2009).

Результаты диссертационной работы были использованы при выполнении работ по грантам:

РФФИ 04-02-16769, Государственный контракт № 02.442.11.7244, Государственный контракт № 02.512.11.2111, РФФИ 09-02-01049-а.

Материалы диссертационной работы обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ. По теме диссертации в международной и российской печати опубликовано 10 работ (4 статьи и 6 тезисов докладов).

Личный вклад автора. В указанных работах автору принадлежит разработка алгоритмов, проведение численного моделирования и радиофизических экспериментов, анализ результатов, а также, частично, постановка задач и проведение теоретического анализа.

Содержание работы

Материалы диссертации изложены на 150 страницах, содержат рисунков и список цитированной литературы из 89 наименований. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка цитированной литературы.

Во введении сформулированы цель и основные задачи данной работы. На базе имеющейся на сегодняшний день литературы обосновывается актуальность исследований описанных в диссертации, а также достоверность, научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Приводятся положения выносимые на защиту.

В первой главе В первой главе предлагаются две модели осцилляторов с управлением по цепи питания, и исследуются режимы их динамики.

Предложена модель осциллятора, характерной особенностью которой является наличие параметра питания в явном виде. Предложенная модель легко реализуема в радиофизическом эксперименте в виде осциллятора на туннельном диоде. Математическая модель такого осциллятора представляет собой два дифференциальных уравнения первого порядка. Область автоколебательного режима ограничена сверху и снизу линиями бифуркации Андронова-Хопфа. В области автоколебательной динамики системы частота колебаний не постоянна и зависит от напряжения питания.

Другая модель, использованная в диссертации, представляет собой двумодовый осциллятор, имитирующий на функциональном уровне динамику структурной единицы почки — нефрона. К качестве медленной подсистемы данной модели использован описанный выше генератор на туннельном диоде записанный в другой форме, тогда как быстрая подсистема содержит нелинейности, характерные для количественных моделей нефронов.

Помимо самого факта наличия автоколебательной динамики, главное свойство модели - это наличие двух различных временных масштабов. Сложное взаимодействие двух подсистем порождает как регулярные режимы с различным соотношением частот быстрой и медленной мод, так и нерегулярные режимы. В частности, обнаружен и исследован переход между режимами хаотических колебаний с синхронизованными и рас-синхронизованными модами.

Описаны две математические модели, используемые в последующих главах диссертации как базовые при проведении вычислительных экспериментов. Проведен детальный анализ автономной динамики двумерной модели, определена область значений управляющих параметров, перспективная для решения задач диссертационного исследования. Проиллюстрированы характерные динамические режимы модели двумодово-го осциллятора. Детально исследованы характеристики перехода между хаотическими режимами с синхронизованными и рассинхронизованны-ми модами. Для удобства в тексте диссертации используются следующие термины: "одномодовый осциллятор" для модели осциллятора на туннельном диоде и "двумодовый осциллятор" для четырёхмерной имитационной модели нефрона.

Вторая глава диссертационной работы посвящена исследованию динамики ансамблей из двух и трёх осцилляторов связанных по цепи распределения энергии. Вводится определение связи посредством распределения ресурса, изучаются основные эффекты порождаемые данным типом связи. На примере ансамблей из двух и трёх связанных по цепи распределения энергии одномодовых осцилляторов устанавливаются общие закономерности действия такого типа связи на характер синхронизации. Изучается влияние связи по цепи распределения энергии на синхронизацию двух осцилляторов с расстройкой по частоте. Исследу-■ ется взаимодействие связи посредством распределения ресурса и связи через взаимную индукцию в ансамбле из двух одномодовых осцилляторов. Для ансамбля из двух двумодовых осцилляторов связанных по цепи питания исследуется влияние связи через быструю подсистему на характер синхронизации.

Связь' осцилляторов ансамбля была реализована посредством сопротивления Дс играющего роль внутреннего сопротивления источника питания. В уравнениях такая связь по цепи питания математически эквивалентна связи через среднее поле, но с отрицательным знаком. Данная система была реализована и в натурном радифизическом экспери-

менте. Построена карта режимов на плоскости параметров "напряжение питания - сопротивление источника". Выявлены области наличия автоколебаний и области мультистабильности. Показано, что характерным режимом является синхронизация осцилляторов в противофазе.

Средствами вычислительного и натурного эксперимента проведён анализ динамики двух связанных по цепи питания осцилляторов в условиях расстройки по частотам. Построена диаграмма режимов на плоскости параметров "расстройка - степень двязи". Обнаружено, что при малых значениях параметра связи область устойчивости синхронного режима имеет классическую треугольную форму, однако по мере усиления связи проявляется ряд особенностей. Так, на границе устойчивости несинхронного режима автоколебаний наблюдается область хаоса, что, как установлено, обусловлено активацией области канард-колебаний в окрестности бифуркации Андронова-Хопфа. Выявлен эффект "взаимопомощи" осцилляторов: при значении сопротивления Дс выше критического существует область в которой автоколебательный режим существует, однако если отключить один осциллятор, то оставшийся немедленно переходит в состояние устойчивого равновесия по причине недостатка энергии.

Исследовалась также ситуация, когда два осциллятора на туннельном диоде связанны между собой посредством индуктивной связи, а связь по цепи питания выступала в роли паразитной. Построена диаграмма режимов на плоскости параметров отвечающих за степень связи по обоим каналам. Выявлены и изучены различные сценарии переходов между режимами синхронизации в фазе и в противофазе, а также области хаотической динамики и гашения автоколебаний.

Изучены типичные режимы синхронизации для системы двух связанных идентичных двумодовых осцилляторов. Показано, что характерным режимом при связи только по цепи питания является синхронный режим со сдвигом фаз на половину периода по медленной моде колебаний. При наличии дополнительно слабой диффузионной связи быстрых подсистем установлено наличие эффекта фазовой мультистабильности с рядом особенностей, обусловленных специфическим видом временной реализации в данных системах.

В третьей главе исследуется динамика одномерного массива осцилляторов со связью по цепи распределения энергии. Изучается влияние как свойств ЭНР связи, так й индивидуальных свойств осцилляторов на ансамбль осцилляторов связанных в структуру типа "цепь". Изучается

процесс образования осцилляторного кластера и его перемещения при вариации параметров связи. Исследуются динамические режимы внутри осцилляторного кластера. Рассматривается вопрос о влиянии шума на свойства осцилляторного кластера. Изучается влияние параметров связи на синхронизацию осцилляторов в осцилляторном кластере. На примере двумодовых осцилляторов изучается влияние альтернативного канала связи па частотные свойства кластера.

Эффекты, рассматриваемые в данной главе, требуют введения дополнительного понятия: "осцилляторный кластер" - режим функционирования ансамбля осцилляторов, при котором в режиме генерации находится только часть осцилляторов ансамбля.

10 одномодовых осцилляторов были объединены в структуру типа "цепь". Обнаружено, что за счёт диссипативных свойств цепи распределения энергии типичным является состояние, при котором в режиме генерации находятся не все осцилляторы цепи, а только часть из них. Такая группа активных элементов ансамбля получили название "осцилляторный кластер". Как было показано, при вариации напряжения питания расположение кластера и его размеры меняются: он смещается к источнику энергии или от него.

В ходе исследования выявлены три сценария эволюции (сдвига и изменения размера) осцилляторного кластера. Установлено, что они управляются характеристиками энергопотребления отдельного осциллятора. А именно, немонотонный характер зависимости среднего за период потребляемого тока от напряжения питания лежит в основе механизма сдвига кластера, характерной особенностью которого является гистерезис. Имеет место специфическая положительная обратная связь, при которой выход из режима генерации осциллятора на одной границе кластера способствует её возникновению и вовлечению в кластер нового осциллятора на другой границе.

Обнаружено, что в случае малых потерь в цепи распределения может реализовываться режим многочастотных колебаний. Данный результат подтверждается наличием нескольких нулевых (в пределе точности вычислений) Ляпуновских экспонент, а так же значениями Ляпуновской размерности. Формирование такого режима обусловлено противоположно направленным действием двух факторов, а именно, при увеличении степени диссипации в цепи распределения энергии рост взаимовлияния осцилляторов усиливает тенденцию к синхронизации, в то время как увеличение степени вызванной тем же расстройки по частотам ей препят-

ствует. При вариации напряжения питания в середине области устойчивости осцилляторного кластера наблюдаются области частичной синхронизации. В том числе синхронизации несмежных осцилляторов с близкими частотами колебаний.

Показано, что наличие некореллированных источников шума в осцилляторах структуры типа "цепь" приводит к увеличению размеров осцилляторного кластера. При этом с увеличением уровня шума наблюдается уменьшение регулярности колебаний в осцилляторах, изначально находившихся в режиме генерации, в то время как в остальных осцилляторах регулярность колебаний растёт до достижения максимального значения при оптимальном уровне шума, после чего начинает уменьшаться..

На примере цепочки двумодовых осцилляторов показано, что наличие дополнительной связи приводит к более регулярной динамике ансамбля с возникновением внутри осцилляторного кластера области с синфазной синхронизацией колебаний. Возникновение такого режима приводит к большему потреблению питания системой и, как следствие, сдвигу кластера к началу цепочки (к точке приложения питания).

Четвёртая глава посвящена исследованию динамики ансамбля осцилляторов со связью посредством распределения ресурса при древовидной топологии связи. Исследуются ансамбли идентичных одномодовых осцилляторов с топологией связи типа двоичного дерева. Выявляются режимы функционирования ансамблей и закономерности формирования новых режимов при увеличении количества осцилляторов "дерева". Изучается устойчивость режимов к воздействию шума.

Особенности рассматриваемой топологии связи требуют использования специальных терминов. В тексте четвёртой, главы определены и используются следующие понятия: ярус дерева, смежные осцилляторы (узлы), осцилляторные пары, амплитудно-однородные и амплитудно-неоднородные режимы. Данные понятия являются интуитивно-понятными, однако в тексте диссертации они детально описаны. : ■

Для системы четырёх связанных идентичных одномодовых осцилляторов с топологией связи типа "фрактальное дерево" построена диаграмма режимов на плоскости "напряжение питания - коэффициент роста сопротивления". Выделены области устойчивости обнаруженных множественных сосуществующих синхронных режимов, различающиеся соотношением фаз и амплитуд колебаний. Свойства симметрии структуры позволяют объединить часть режимов в различные типы. Упомянутые

режимы характеризовались как последовательностью времён событий (достижением максимумов колебаний) каждого осциллятора, так и спектрами разности фаз. Предложена классификация режимов, согласно которой они подразделяются на амплитудно-однородные и амплитудно-неоднородные.

Для деревьев большей размерности обнаружены режимы квазипериодических колебаний. В частности для дерева из восьми осцилляторов количество независимых частот составляло две частоты, а для дерева из 16 осцилляторов - 3. Предложено объяснение данного эффекта основанное на том, что различные подансамбли дерева могут иметь различные режимы энергопотребления. При этом наблюдается колебания на различных частотах в различных частях дерева. Показано, что обнаруженные квазипериодическис режимы структурно-устойчивы в пределах точности вычислительного эксперимента.

Обнаружено, что наличие флуктуаций в источнике питания не нарушает режима синхронизации осцилляторов, тогда как наличие индивидуального источника шума в каждом осцилляторе вызывает переключения между режимами синхронизации. Была исследована статистика переключений между режимами двух типов в ансамбле из четырёх осцилляторов. Показано, что наряду с различным средним временем жизни каждого типа режима переключения между типами режимов гораздо более вероятны, чем между режимами одного типа. Учитывая тот факт, что переключение внутри типа сопровождается фазовым скачком между смежными осцилляторами, а переключение между типами - фазовым скачком на нижнем ярусе можно заключить, что переключения более вероятны на уровне нижних ярусов дерева, когда изменяются фазовые соотношения между под-ансамблями. Предположительно, это может быть связано с уменьшением эффективной степени связи по мере продвижения от осцилляторов в "кроне" дерева к его "корню".

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты и выводы.

1. Предложены и исследованы модели осцилляторов, отвечающие целям диссертационного исследования. Для модели двумодового осциллятора показано наличие режимов хаотической динамики с синхронизованными и рассинхронизованными модами.

2. Исследованы типичные динамические режимы и переходы между

пими для малых (два и три элемента) ансамблей осцилляторов, подключенных к одному источнику питания. Показано, что в случае изначально идентичных осцилляторов ансамбля типичным режимом являются колебаний с равномерным сдвигом фаз по ансамблю. Так, два осциллятора стремятся к сдвигу фаз на половину периода, а три осциллятора - на треть периода.

3. Выявлен эффект "взаимопомощи" осцилляторов, выраженный в том, что два связанных по цепи питания осциллятора могут находится в режиме генерации, в то время как отключение одного из них гасит колебания и в оставшемся. Механизм данного эффекта заключается в выравнивании динамики энергопотребления при увеличении числа осцилляторов.

4. Исследованы типичные динамические режимы и переходы между ними в условиях одновременного действия двух каналов связи в малых ансамблях осцилляторов, изучены реализующиеся при этом сценарии перехода между синхронизацией в фазе и противофазе. Показано, что одновременное действие связи по цепи питания и связи через взаимную индукцию приводит к появлению областей муль-тистабильности, а также к хаотизации колебаний. Для двумодовых осцилляторов совместное действие двух каналов связи приводит к возникновению режима фазовой мультистабильности.

5. Показано, что ансамбль осцилляторов, последовательно подсоединенных к общему источнику питания (структура типа "цепь"), функционирует в режиме осцилляторного кластера, когда лишь часть осцилляторов находится в режиме генерации. Исследованы сценарии перемещения кластера при вариации управляющих параметров. Установлено, что данные сценарии определяются особенностями графика усредненного потребления тока отдельным осциллятором.

6. Для режима осцилляторного кластера в условиях в условиях низких потерь в цепи распределения энергии установлено наличие многочастотных режимов, на уровне точности вычислительного эксперимента соответствующих многомерному тору в фазовом пространстве математической модели. Как удалось установить, формирование такого режима обусловлено определяется противоположно на-правенным действием двух факторов, а именно, рост взаимовлия-

ния осцилляторов усиливает тенденцию к синхронизации, в то время как увеличение степени индуцированной связью расстройки по частотам ей препятствует.

7. Показано, что наличие некореллированных источников шума в осцилляторах структуры типа "цепь" приводит к увеличению размеров осцилляторного кластера. При этом с увеличением уровня шума наблюдается уменьшение регулярности колебаний в осцилляторах, изначально находившихся в режиме генерации, в то время как в остальных осцилляторах регулярность колебаний растёт до достижения максимального значения при оптимальном уровне шума, после чего начинает уменьшаться.

8. На примере цепочки двумодовых осцилляторов показано, что наличие дополнительной связи приводит к более регулярной динамике ансамбля с возникновением внутри осцилляторного кластера области с синфазной синхронизацией колебаний. Возникновение такого режима приводит к большему потреблению питания системой и, как следствие, сдвигу кластера к началу цепочки (к точке приложения питания).

9. Установлено, что для ансамбля осцилляторов с топологией связи по цепи питания типа "дерево" характерно наличие множественных синхронных режимов, различающихся фазовыми соотношениями. С увеличением размера "дерева" количество режимов возрастает. Показано, что основная часть режимов "дерева" является комбинацией режимов "деревьев" меньшей размерности. Для "деревьев" из восьми и шестнадцать осцилляторов обнаружены квазипериодические режимы.

Список публикаций по теме диссертации

1. Щербаков П.А., Постнов Д.Э. "Радиофизическое моделирование систем с конкурентной связью". Труды научной студенческой конференции физического факультета СГУ, изд. Саратовского Университета, 2003, 58-60.

2. Щербаков П.А., Постнов Д.Э. "Радиофизическое моделирование систем с конкурентной связью". Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003", изд. ГосУНКЦ Колледж, 2003, 282-285.

3. Щербаков П.А., Постыов Д.Э. "Кооперативная динамика систем с конкурентной связью". Материалы XLII Международной Научной Студенческой Конференции "Студент и научно-технический прогресс": Физика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2004, 112.

4. Щербаков П.А. "Динамика систем связанных двумя каналами связи различного типа". Материалы VII международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур", 1-6 октября 2004 г. Саратов, изд. ГосУНКЦ Колледж, 2004, 134-135.

5. Щербаков П. А. "Кластерная осцилляция в одномерном массиве связанных по цепи питания осцилляторов". Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундамент наукам "Ломоносов-2006" секция физика том 2, 2006 г. МГУ Москва 27.

6. Д.Постнов, А.Шишкин, П.Щербаков "Нелинейные эффекты в ансамблях осцилляторов со связью через распределение ресурса. Часть I. Динамические режимы авторегуляции кровотока в васку-лярном дереве нефронов". Известия вузов, Прикладная нелинейная динамика 15,5,3-22 2007

7. Д.Постнов, А.Шишкин, П.Щербаков "Нелинейные эффекты в ансамблях осцилляторов со связью через распределение ресурса. Часть II. Колебательные режимы одномерного массива связанных через общий источник питания осцилляторов". Известия вузов, Прикладная нелинейная динамика 15,5,23-35 2007

8. D.E. Postnov, O.V. Sosnovtseva, P. Scherbakov, and E.Mosekilde "Multimode Dynamics of Resource Distribution Network" Chaos 18, 015114(9) (2008)

9. Щербаков П.А., Астахов О.В., Постнов.Д.Э. "Сложные колебания и синхронизация в функциональной модели васкулярного дерева нефронов" Изв. Сар. Университета. Серия Физика,, 1,9,38-53 2009

10. Астахов О,В., Щербаков П.А. "Индуцированные шумом переключения между режимами синхронизации в ансамблях осцилляторов с древовидной структурой связи" Сборник "Статистическая физика и информационные технологии": Материалы школы-семинара "StatInfo-2009" 121-124 (2009)

ЩЕРБАКОВ Павел Александрович

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И ИНДУЦИРОВАННЫЕ ШУМОМ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ В АНСАМБЛЯХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ СО СВЯЗЬЮ ПО ЦЕПИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Специальность 01.04.03 - радиофизика

Автореферат

Подписано в печать 18.11.09 Формат 60x84/16 Гарнитура Times New Roman Печ. Л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 218-Т

Отпечатано с готового оригинал-макета Типография Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского 410012 г. Саратов, ул. Большая Казачья, д. 112 а Тел.: (8452) 27-33-85

Глоссарий

Введение

1 Описание моделей

1.1 Радиофизическая модель осциллятора с управлением по цепи питания.

1.2 Автономная динамика модельной системы (1.3)-(1.4)

1.3 Математическая модель двумодового осциллятора с управлением по цепи питания.

1.4 Автономная динамика модельной системы (1.7)-(1.10)

1.5 Результаты.

2 Динамические режимы и синхронизация в системе из двух и трёх связанных осцилляторов со связью через распределение ресурса

2.1 Модели ансамблей из двух и трёх связанных одномодовых осцилляторов

2.2 Противофазная синхронизация в ансамбле из двух одномодовых осцилляторов

2.3 Динамические режимы в ансамбле трёх осцилляторов со связью по цепи питания.

2.4 Влияние связи через взаимную индукцию на динамику связанных по цепи питания одномодовых осцилляторов.

2.5 Модель ансамбля двух связанных по двум каналам связи дву-модовых осцилляторов.

2.6 Синхронизация двумодовых осцилляторов

2.7 Результаты.

3 Генерация и синхронизация колебаний в одномерном массиве осцилляторов со связью по цепи распределения энергии

3.1 Топология связи и модельные уравнения.

3.2 Осцилляторный кластер.

3.3 Частотная структура осцилляторного кластера.

3.4 Механизмы перемещения осцилляторного кластера.

3.5 Внутрикластерная синхронизация.

3.6 Внутрикластерная синхронизация в цепочке двумодовых осцилляторов

3.7 Влияние шума на характеристики осцилляторного кластера

3.8 Результаты по главе 3.

4 Динамические и индуцированные шумом режимы ансамбля осцилляторов с древовидной топологией связи

4.1 Топология связи.

4.2 Динамические режимы в системе из четырёх связанных осцилляторов

4.3 Образование несинхронных режимов.

4.4 Индуцированные шумом переключения.

4.5 Результаты.

Понятия автоколебаний и автоколебательной системы являются одними из важнейших фундаментальных понятий теории колебаний и нелинейной динамики. Впервые в русскоязычной литературе понятие автоколебаний ввёл в 1928 году А.А. Андронов [1-3] для самоподдерживающихся периодических колебаний. С течением времени исследования в области теории колебаний породили необходимость как уточнения определения понятия "автоколебания", так и расширения такого понятия, как "автоколебательная система". Если А.А. Андронов применял понятие "автоколебания" только к периодическим колебаниям, то в настоящее время этот термин применяется и к квазипериодическим, и к хаотическим колебаниям.

Без уточнения не осталось и определение автоколебательной системы. Неизменными остаются требования нелинейности системы, наличия диссипа-тивного элемента, а также требование к автономности системы, т.е. к независимости существования автоколебаний от внешнего источника энергии. Вкупе с наличием внутренней диссипации данное требование автоматически приводит к необходимости наличия внутреннего источника энергии, поддерживающего автоколебания. Однако требования к характеру внутреннего источника энергии были откорректированы. Если в классическом случае внутренний источник предполагался постоянным, то в работах П.С. Ланда [4,5] было предложено скорректировать определение автоколебательной системы таким образом, чтобы при наличии внутреннего непостоянного (например, пульсирующего) источника энергии можно было говорить о существовании автоколебаний.

Вопрос заключается в том, как при наличии приносимого извне (от источника энергии) ритма отличить автоколебания от вынужденных колебаний. Заметим, что вынужденные колебания имеют такие же (или кратные -гармоники) временные масштабы, что и вынуждающая сила. Спектр вынужденных колебаний содержит частоты их источника их гармоники и субгармоники, как результат действия нелинейного элемента. П.С. Ланда говорит о том, что при наличии собственной динамики системы в выходном спектре будут содержаться частоты, отличные как от собственных частот источника энергии, так и от гормоник и субгармоник возникающих за счёт нелинейного элемента системы. Таким образом, если в выходном спектре будут обнаружены частоты, которые не могут быть получены путём нелинейного преобразования частот колебаний источника энергии, то можно говорить о наличии автоколебаний в системе.

Заметим, что в приведенном выше примере источник энергии и нелинейный преобразователь хотя и принадлежат одной и той же автоколебательной системе, но рассматриваются как её отдельные взаимодействующие элементы. Подобный подход будет использован и в данной диссертационной работе.

Как правило источник энергии, входящий в состав автоколебательной системы, предполагается а) постоянным и б) идеальным. Примером такого источника в радиофизике может служить батарея, аппроксимируемая в математических моделях идеальным источником напряжения с нулевым внутренним сопротивлением. При этом в математической модели источник питания представлен постоянной величиной (напряжение батареи) и его, как правило, просто "прячут" в параметры и нелинейности системы (рисунок 1). В частности при выводе уравнений Ван-дер-Поля центр падающего участка вольт-амперной характеристики нелинейного элемента предполагают совпадающей с нулями переменных напряжения и тока, что в реальном эксперименте достигается только при наличии источника мощности. Тем самым в уравнениях Ван-дер-Поля источник энергии "спрятан" в выражении для нелинейного эле

F(U,I)

Рис. 1: Примеры вольтамперньгх характеристик абстрактного двухполюсника, (а) ВАХ пассивного нелинено элемента, в характеристиках вида (Ь) и (с) неявно заложено наличие источника энергии. мента [6,7].

Зачастую, в реальном эксперименте сталкиваются с неидеальными источниками энергии. При моделировании системы с питанием от такого источника его можно представить в качестве совокупности идеального источника энергии и некоей дополнительной цепи, представляющей конечные сопротивление, индуктивность, ёмкость и т.д. Полученную "неидеальность" обычно можно включить в состав нелинейности осциллятора, тем самым сведя задачу к ранее рассмотренному случаю идеального источника энергии.

Когда автоколебательных систем более чем одна, описанный выше подход приводит к совершенно определённой парадигме, когда в ансамбле взаимодействующих осцилляторов каждый из них имеет свой индивидуальный, скрытый в нём источник энергии. Очевидно при удалении связи система распадается на набор индивидуальных автоколебательных систем. Подобный, ставший классическим, подход весьма удобен, в частности, тем, что при слабой связи можно описывать динамику такой большой системы с точки зрения индивидуального поведения каждого осциллятора, используя понятия собственной частоты и амплитуды. Именно в рамках такого приближения и говорят, например, о захвате частот взаимодействующих автоколебательных систем.

Однако такой модельный подход не всегда адекватен реальности. В качестве примера можно привести ситуацию, когда несколько электронных устройств подключены к общему источнику питания. Очевидно, что если считать источник напряжения идеальным (нулевое внутреннее сопротивление, что эквивалентно бесконечной мощности), то ситуация отвечает классическому подходу: каждый осциллятор обладает как бы независимым источником энергии, никак не влияя на остальные и не воспринимая их наличие. Однако для радиотехнических схем типичным является наличие фильтрующего элемента в цепи питания. Это означает, что по крайней мере в определённом частотном диапазоне источник питания па практике не может считаться идеальным.

Учёт этих факторов позволяет предложить несколько иное, альтернативное модельное описание ансамбля автоколебательных систем. При неидеальном источнике энергии в общем случае имеет смысл говорить о системе из источника энергии и ансамбля нелинейных преобразователей, использующих этот источник совместно для генерации автоколебаний. Таким образом, ансамбль представляется не набором индивидуальных автоколебательных систем, но системой осцилляторов, св51занных посредством неидеального источника энергии.

Такое рассмотрение не отменяет и не заменяет классического подхода, но в ряде ситуаций оно может оказаться более удобным и физически прозрачным за счёт более адекватного выбора управляющих параметров и фазовых переменных модели. Таким образом мы получаем как бы другую "проекцию" исходной задачи.

Примеры таких систем далеко не ограничены радиотехникой. Подобного рода взаимосвязи могут быть обнаружены в экологии, в динамике иопуляций бактерий и вирусов в одной питательной среде и многих других ситуациях.

Заметим, что в общем случае у каждого нелинейного преобразователя может присутствовать как свой (локальный), так и внешний источник энергии. Например, в экосистему озёр питание поступает как локально (мошкара на поверхности озера), так и извне (ручьи и реки приносят питательные вещества). Радиотехнические генераторы, подключённые к источнику питания могут иметь дополнительные внутренние источники энергии (батареи). Таким образом, примеры с чисто внутренними (по отношению к нелинейным преобразователям-осцилляторам) или чисто внешними источниками энергии следует рассматривать как предельные случаи.

Стоит ещё раз отметить, что не во всех приведённых примерах энергия привносится в систему прямо в том виде, в котором она порождает колебания, как это имеет место для радиофизического осциллятора. В приведённом нами примере с экологией это может быть питательный ресурс, который преобразуется живыми организмами в необходимый им вид энергии. В частности, для популяций бактерий и вирусов в общей питательной среде [8,9], или для сети газопроводов распределяемое вещество не является энергией в прямом смысле этого слова, но используется конечными потребителями для её выработки. В области физиологии типичным представителем описанных систем является ансамбль нефронов (структурных элементов почки), расположенных на общем кровеносном сосуде: так называемое "нефронное дерево" [10]. Энергия для активности нефронов берётся не из крови непосредственно, а из иных источников. Однако в плане динамики нефронов давление крови функционально играет ту же роль, что и энергия в радиофизических осцилляторах и питательные вещества в популяции бактерий и вирусов [11,12]: его наличие необходимо для возбуждения автоколебаний.

С самых общих позиций можно определить величину, приносящую в систему энергию, как энергонесущий ресурс (ЭНР). Его определяющие признаки следующие: а) его приток рождает колебания в системе; б) этот ресурс расходуется (электрический ток рассеивается в тепло, органический ресурс преобразуется в энергию, необходимую для поддержания жизни экосистемы).

Само понятие "ресурс" означает "любые средства, позволяющие с помощью определённых преобразований получить желаемый результат" [13]. В контексте диссертационной работы под эиергонесущем ресурсом (ЭНР) подразумевается некая величина, входящая в уравнения модельного осциллятора в качестве параметра, задающего приток энергии, необходимой для существования автоколебаний (параметра питания).

Под понятием ЭНР-связь будем подразумевать взаимодействие осцилляторов, обусловленное наличием и системой распределения ЭНР. При этом ЭНР является с одной стороны - одним из управляющих параметров индивидуального осциллятора, а с другой стороны - его величина зависит от активности осциллятора (потребление ресурса, например, втекающий электрический ток) и, значит, сам по себе он является переменной модельной системы.

Для ансамблей радиотехнических осцилляторов естественным будет употребление термина "энергия" вместо ЭНР ввиду того, что электрическая энергия (электрический ток) распределяется по цепи непосредственно и её величина может быть посчитана как интеграл по времени от произведения тока на напряжение (мощность).

Применительно к предложенному способу рассмотрения динамики ансамбля автоколебательных систем естественным образом возникает ряд вопросов по сопоставлению с тем, что мы называем классическим подходом.

А. Выбор модельной системы

Как говорилось выше, для простоты исследований внутренний источник энергии, как правило, вводится в нелинейность и в уравнениях математической модели в явном виде не присутствует. Однако подход, при котором источник энергии является общим и неидеальным, требует описания цепи питания в явном виде. С этой точки зрения существующие модельные системы автоколебательных систем существенно различны. Если из уравнений, описывающих осциллятор Ван-дер-Поля [7,14], выделить параметр отвечающий за подкачку энергии оказывается проблематично, то использование модели типа FitzHugh-Nagumo [15,16] эту проблему снимает.

В данной диссертационной работе исследование динамики ансамблей осцилляторов со связью посредством распределения ресурса основано на использовании RLC-цепи с туннельным диодом в качестве модельной системы. Преимущества такого выбора заключаются в простоте описания и наличии источника питания в явном виде. В то же время, математическая модель такой радиофизической системы в упрощенном и безразмерном виде отвечает требованиям, предъявляемым к "базовым" моделям теории колебаний и нелинейной динамики. Кроме максимально упрощенной модели, легко реализуемой в радиофизическом эксперименте, была предложена модель двумодового осциллятора, основанная на безразмерной имитационной модели нефроиа.

Б. Модельное представление топологии связи.

Наряду со свойствами самих осцилляторов, способ их организации в ансамбль во многом определяет результирующую динамику. При этом, можно выделить как сам тип взаимодействия осциллятора с остальными (в нашем случае он предопределен выбором модельной системы и происходит по цепи питания), так и структурную огранизацию ансамбля - "топологию связи". Хорошо изученные ее варианты включают, например, локальную связь [17], когда осцилляторы в решетке (или иной структуре) взаимодействуют лишь с ближайшими соседями, а также глобальную связь [18,19], когда каждый осциллятор ансамбля связан со всеми остальными его элементами. Для живых систем примером первого типа связи может служить взаимодействие в кластере бета-клеток поджелудочной железы посредством т.н. щелевых контактов [20]. Примерами систем с глобальной связью могут служить системы электрохимических осцилляторов [21] или же колонии дрожжевых клеток [22]. В последние годы популярным объектом исследования становятся т.н. "small-world networks" [23,24], как системы, сочетающие в себе свойства локальных и дальних взаимодействий. В случае локально-связанных осцилляторов характерной топологией в одномерном варианте является топология типа "цепь", или "кольцо", если конечные элементы связаны между собой.

Для реальных систем с распределением ЭНР топология связи представляет собой, как правило, достаточно сложную структуру. Однако можно выделить несколько предельных случаев, полезных для модельного описания. Аналогом глобально связанных осцилляторов может служить структура, где потребители подключены к неидеальному источнику эперго-несущего ресурса в одной точке. В радиофизическом эксперименте такая структура может быть представлена "пучком" осцилляторов, подключенных к источнику питания через разветвитель. Аналогом другой хорошо исследованной топологии связи в виде цепочек осцилляторов служит система потребителей, расположенных вдоль некоего общего канала распределения ЭНР, имеющего собственные характеристики диссипации и реактивности. Помимо упомянутых, для систем распределения ресурсов имеется специфический тип топологии, не характерный и потому практически не изученный применительно к ансамблям автономных автоколебательных систем. Речь идет о топологии связи типа "дерево", образе ветвящейся иерархической структуры, которую в природе можно наблюдать повсеместно: от путей доставки питательных веществ в кронах деревьев и кровоснабжения тканей живых организмов до созданных человеком сетей распределения электроэнергии, а также газо- и водоснабжения.

Поскольку само понятие ЭНР-связи предполагает наличие нескольких осцилляторов, центральным вопросом в изучении таких систем является сопоставление их динамики с известными и изученными аспектами такого фундаментального нелинейного явления, как синхронизация. Данный эффект впервые был описан Гюйгенсом [25] еще в XVII веке и привлёк пристальное внимание ученых с первой половины XX века. Первый шаг в развитии теории синхронизации был сделан Э.Эпплтоном и Б. Ван-дер-Полем на примере синхронизации триодного генератора слабым внешним воздействием [6,7]. Позже теоретическое рассмотрение Эпплтона и Ван-дер-Поля было расширено и обосновано с точки зрения теории нелинейных колебаний А.А. Андроновым и А.А. Виттом [1,2]. За прошедшие десятилетия исследований в этой области интерес ученых к вопросу синхронизации год от года только возрастает. Причина такого интереса кроется как в широком распространении колебаний, как фундаментального явления природы, так и в многообразии способов взаимодействий колебательных структур. Явление синхронизации было хорошо освещено во множестве научных работ, ряде монографий [26-28], позднее -в [29-32].

Явление синхронизации имеет множество разнообразных проявлений в природе, технике, экономике и обществе, поэтому ему трудно дать максимально общее, но достаточно строгое и полное определение. Удачным представляется определение, данное в монографии И.И. Блехмана [26]: "синхронизацию можно определить как свойство материальных объектов самой различной природы вырабатывать единый ритм совместного существования, несмотря па различие индивидуальных ритмов и на подчас крайне слабые взаимные связи".

Природа взаимодействующих автоколебательных систем не является обуславливающим фактором ни наличия, ни отсутствия проявлений синхронизации. Так в радиотехнике это могут быть триодные генераторы, синхронизацию которых слабым внешним воздействием описывали в своих работах Э. Эпплтон и Б. Ван-дер-Поль [6,7]. В последнее время большой интерес привлекают сверхпроводящие электронные устройства - контакты Джозеф-сона. В [33] описывается синхронизация "вращения" в ансамбле контактов Джозефсона периодическим внешним током, либо посредством связи двух контактов. В 1994 году экспериментально и теоретически исследовались явления захвата частоты в рубиновом лазере на ядерном магнитном резонансе с задержанной обратной связью [34]. Благодаря высокой стабильности колебаний и большого отношения сигнал/шум наблюдались синхронные режимы высоких порядков.

В области биологии и медицины можно отметить работы по синхронизации сердечного ритма слабым внешним воздействием на примере работ [35-37] по периодической стимуляции спонтанно сокращающихся клеток, выделенных из предсердий куриного эмбриона. Было показано, что периодическое воздействие с различными частотами приводит к устойчивым режимам захвата фаз. Кроме того проводились эксперименты по захвату частоты спонтанного дыхания пациентов, находящихся под наркозом, установкой искусственного дыхания [38]. В работе отмечалось, что для эффективного проведения процедуры искусственной вентиляции легких пациент не должен "бороться" с машиной. Поэтому должно быть достигнуто определённое соотношение между фазами, так чтобы механическое расширение совпадало бы со вдохом.

В популяциях живых существ эффект сиихронизации можно проиллюстрировать наблюдениями голландского врача Э. Кэмпфера [39], который ещё в XVIII веке описывал синхронное поведение популяции светлячков. " Светлячки. время от времени прекращают своё свечение и моментом позже заставляют его проявляться с высочайшей регулярностью и точностью." Проводились также исследования по синхронизации внешним сигналом песни сверчков [40]. В своей работе Уолкер продемонстрировал синхронизацию пения сверчка записанным заранее стрёкотом. Модуляцией частоты и длительности отдельных записей была показана синхронизация порядка 1:1 и 1:2.

В работе [41] описывается синхронизация колебаний размера популяций бактерий и вирусов в общей питательной среде.

Сколь различными могут быть колебательные системы из различных областей естествознания, столь многообразными могут быть и механизмы их связи [42,43]. Так, в задачах взаимодействия химических осцилляторов связь осуществляется посредством диффузии химических веществ. Хорошим примером может служить реакция Белоусова-Жаботинского. В работе [44] с помощью переменного освещения осуществлялось периодическое воздействие на тонкую мембрану, что приводило к различным захваченным и асинхронным режимам. В работе [6] Е.В. Эпплтон систематически исследовал свойства синхронизации триодпых генераторов. В его работе связь между генераторами осуществлялась посредством взаимной индукции.

В других задачах можно встретить диссипативиую связь, или более сложные, опосредованные связи, как в случае синхронизации ритмов дыхания и ритмов движения конечностей. Например, в работе [45] рассматривалась взаимосвязь между сердечным ритмом, частотой дыхания и частотой взмахов крыльев свободно летящих уток. Эксперименты не обнаружили взаимосвязи между какой-либо из регистрируемых частот и скоростью полёта, а так же между сердцебиением и дыханием. В то же время, частота взмаха крыльев и частота сердцебиения находились в соотношении 3:1, что позволяет предположить наличие некоего канала связи между водителями ритма локомоции (движения конечности) и сердцебиения.

Существует ряд задач в которых эффект синхронизации выражен не только в подстройке ритмов колебаний (синхронизация через захват частот и фаз), но и существенном изменении их амплитуды (синхронизация через подавление колебаний). В частности синхронизация может приводить к полному гашению колебаний. В работах [46-48] было обнаружено явление гашения автоколебаний, когда в цепочке осцилляторов появляются области с пренебрежимо малой амплитудой колебаний. Это явление получило название "вымирание автоколебаний" или "амплитудная смерть". Ранее подобный эффект описывался в трудах лорда Рэлея [49] в акустической системе органных труб. Он описывает, что в случае близкого расположения труб с одинаковой частотой звука может наблюдаться эффект при котором трубы могут заставить друг друга почти замолчать.

Синхронизация колебаний в ансамблях осцилляторов с регулярным поведением - одна из традиционных областей исследований для радиофизики. Первые работы в этом направлении известны с середины прошлого века [50] и рассматривали, как правило, задачу частотной синхронизации в цепочке осцилляторов с гармоническим поведением [51-54]. В работе [52] было обращено внимание, что в подобных системах возможны режимы с разными фазовыми сдвигами между осцилляторами - то есть сосуществуют разные пространственные моды. Исследование мультистабильных состояний в ансамбле идентичных замкнутых в кольцо осцилляторов подробно описано в монографии П.С. Ланда [55]. Свойство нескольких синхронизованных осцилляторов демонстрировать состояния с различным сдвигом фаз позволило выдвинуть гипотезу, что этот эффект используется центральной нервной системой для реализации различных походок [56,57]. Согласно гипотезе, каждая нога контролируется своим центральным генератором ритма (ЦГР). В случае двуногой ходьбы синфазное и противофазное движение соответствует прыжкам и ходьбе, а в случае четвероногих животных различные аллюры будут соответствовать различным синхронным состояниям для системы четырёх осцилляторов.

В динамике больших популяций наблюдаются эффекты синхронизации подансамблей. Так в [58] показано, что самцы светлячков, испускающие свет вспышками для привлечения самок, могут синхронизовать свои ритмы с соседями. Для изучения этого эффекта в [59] исследовали, как изменяются вспышки одного светлячка Pteropsyx malaccae под действием периодической последовательности световых импульсов. При изменении периода воздействия наблюдались как синхронные, так и асинхронные режимы. В работе [60] показан эффект синхронизации в ансамблях связанных нейронов.

В экспериментах с цепочкой СОо-лазеров [61] так же были обнаружены эффекты синхронизации. В этих экспериментах связь между пятью лазерами осуществлялась путём расположения пространственного фильтра между цепочкой и внешним зеркалом. Результаты показали неоднородность распределения интенсивности излучения, в то время как в случае отсутствия синхронизации в дальних областях наблюдалась бы однородное распределение, как сумма некогерентных колебаний.

Эта же группа исследователей провела эксперимент с многопучковым СО2-лазером, состоящим из 61 стеклянной трубки. Трубки были расположены в виде сот [62]. Связь осуществлялась через внешнее зеркало. В этом случае индикатором синхронизации также служило неравномерное распределение излучения в дальней зоне.

Несомненно, при анализе динамики ансамблей осцилляторов с ЭНР-связью следует опираться на установленные ранее закономерности и типичные проявления синхронизации. В то же время, некоторые из традиционных подходов могут стать нефункциональными. Так, например, исследование режимов динамики ансамбля осцилляторов с ЭНР-связью на плоскости параметров "степень связи - расстройка по частотам" порождает ряд сложностей, так как для таких систем изменение силы связи неизбеждно сдвигает и режим (амплитуду и частоту) колебаний осциллятора. При слишком слабой, или слишком сильной связи колебания могут попросту отсутствовать, так как величина подкачки энергии в осцилляторы и распределение ЭНР между ними непосредственно зависит не только от свойств самих осцилляторов, но и от степени связи между ними. Кроме того, за счёт потребления ЭНР осцилляторами и наличием зависимости силы связи от величины ЭНР взаимодействие осцилляторов ансамбля оказывается модулировано во времени их собственной динамикой. Выше сказанное свидетельствует о важности адекватного выбора управляющих параметров, в плоскости которых исследование динамики было бы наиболее информативно.

С точки зрения топологии связи, представляется целесообразным выделить небольшое число вариантов, характеризующих полярные ситуации. Такими вариантами представляются:

1) Конфигурация ансамбля типа "цепь": осцилляторы расположены последовательно с удалением от источника ЭНР на общем канале распределения. Подобная аппроксимация применялась, например, для анализа динамики нефронов, расположеных последовательно на общем кровеносном сосуде [11,12]. В предварительных расчетах в работе [10] было показано, что связанные в цепочку осцилляторы с ЭНР-связью могут демонстрировать эффект, при котором в режиме генерации находится только часть осцилляторов ансамбля. Актуально детальное изучение природы этого эффекта, частотных и фазовых характеристик режимов генерирующих осцилляторов.

2) Конфигурация ансамбля типа "дерево": состоит из разветвляющихся элементов, все осцилляторы равноудалены от источника питания и расположены па оконечностях ветвей. На интуитивном уровне предполагается отсутствие различий в динамике отдельных осцилляторов при данной топологии связи ввиду равноудалёпности осцилляторов от источника ЭНР, а следовательно, равномерности распределения питания между осцилляторами. Однако, наличие влияния динамики отдельных осцилляторов на уровень ЭНР в цепи распределения, на практике приводит к множественным (мультиста-бильность) и сложно организованным (различные фазовые соотношения) режимам функционирования таких систем. Динамика ансамблей осцилляторов с топологией связи типа "дерево" вызывает особый интерес, так как данный вопрос практически не исследован с точки зрения проявлений синхронизации.

Все вышесказанное позволяет сформулировать следующую актуальную цель диссертационной работы:

Исследовать динамические и индуцированные шумом колебательные режимы и нелинейные эффекты, характерные для ансамблей осцилляторов с различной топологией ЭНР-связи.

Для достижения поставленной цели, в рамках диссертационного исследования, необходимо было решить следующие основные задачи:

1. Выбор адекватных модельных систем и исследование их динамики на плоскости управляющих параметров, отвечающих за приток и диссипацию энергии.

2. Исследование особенностей генерации и синхронзации колебаний в малых ансамблях из двух и трех осцилляторов, в том числе - при наличии более одного канала связи.

3. Изучение характеристик и механизмов трансформации амплитудно- неоднородных колебательных режимов (осцилляторных кластеров) в ансамбле осцилляторов с топологией связи типа "цепь".

4. Выявление и классификация множественных (одновременно устойчивых) режимов колебаний в ансамбле с топологией ЭНР-связи в виде двоичного дерева, анализ действия флуктуаций как со стороны источника питания, так и в индивидуальных осцилляторах.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Предложены и исследованы модели осцилляторов, отвечающие целям диссертационного исследования. Для модели двумодового осциллятора показано наличие режимов хаотической динамики с синхронизованными и рассинхронизованными модами.

2. Исследованы типичные динамические режимы и переходы между ними для малых (два и три элемента) ансамблей осцилляторов, подключенных к одному источнику питания. Показано, что в случае изначально идентичных осцилляторов ансамбля типичным режимом являются колебаний с равномерным сдвигом фаз по ансамблю. Так, два осциллятора стремятся к сдвигу фаз иа половину периода, а три осциллятора - на треть периода.

3. Выявлен эффект "взаимопомощи" осцилляторов, выраженный в том, что два связанных по цепи питания осциллятора могут находиться в режиме генерации, в то время как отключение одного из них гасит колебания и в оставшемся. Механизм данного эффекта заключается в выравнивании динамики энергопотребления при увеличении числа осцилляторов.

4. Исследованы типичные динамические режимы и переходы между ними в условиях одновременного действия двух каналов связи в малых ансамблях осцилляторов, изучены реализующиеся при этом сценарии перехода между синхронизацией в фазе и противофазе. Показано, что одновременное действие связи по цепи питания и связи через взаимную индукцию приводит к появлению областей мультистабильности, а также к хаотизации колебаний. Для двумодовых осцилляторов совместное действие двух каналов связи приводит к возникновению режима фазовой мультистабильности.

5. Показано, что ансамбль осцилляторов, последовательно подсоединенных к общему источнику питания (структура типа "цепь"), функционирует в режиме осцилляторного кластера, когда лишь часть осцилляторов находится в режиме генерации. Исследованы сценарии перемещения кластера при вариации управляющих параметров. Установлено, что данные сценарии определяются особенностями графика усредненного потребления тока отдельным осциллятором.

6. Для режима осцилляторного кластера в условиях низких потерь в цепи распределения энергии установлено наличие многочастотных режимов, на уровне точности вычислительного эксперимента соответствующих многомерному тору в фазовом пространстве математической модели. Как удалось установить, формирование такого режима определяется противоположно направленным действием двух факторов, а именно, рост взаимовлияния осцилляторов усиливает тенденцию к синхронизации, в то время как увеличение степени индуцированной связью расстройки по частотам ей препятствует.

7. Показано, что наличие некореллированных источников шума в осцилляторах структуры типа "цепь" приводит к увеличению размеров осцилляторного кластера. При этом с увеличением уровня шума наблюдается уменьшение регулярности колебаний в осцилляторах, изначально находившихся в режиме генерации, в то время как в остальных осцилляторах регулярность колебаний растёт до достижения максимального значения при оптимальном уровне шума, после чего начинает уменьшаться.

8. На примере цепочки двумодовых осцилляторов показано, что наличие дополнительной связи приводит к более регулярной динамике ансамбля с возникновением внутри осцилляторного кластера области с синфазной синхронизацией колебаний. Возникновение такого режима приводит к большему потреблению питания системой и, как следствие, сдвигу кластера к началу цепочки (к точке приложения питания).

9. Установлено, что для ансамбля осцилляторов с топологией связи по цепи питания типа "дерево" характерно наличие множественных синхронных режимов, различающихся фазовыми соотношениями. С увеличением размера "дерева" количество режимов возрастает. Показано, что основная часть режимов "дерева" является комбинацией режимов "деревьев" меньшей размерности. Для "деревьев" из восьми и шестнадцать осцилляторов обнаружены квазипериодические режимы.

В целом, запланированные задачи по диссертационной работе выполнены и основные вопросы изучены. Естественно, исследования, проведённые при выполнении данной диссертационной работы нельзя считать исчерпывающими. За рамками рассмотрения остались многие эффекты, связанные с релаксационными свойствами самих осцилляторов и реактивностью цепи связи. Кроме того, рассматриваемые топологии связи хоть и являются основными, однако далеко не исчерпывают встречающиеся случаи систем с распределением ЭНР.

С этой точки зрения, представленная диссертационная работа может служить основой для будущих исследований в области нелинейной динамики.

Заключение

Согласно поставленным во введении задачам, исследования в рамках диссертационной работы включали:

• Изучение собственной динамики выбранных моделей осцилляторов.

• Исследование динамики взаимодействующих по каналу распределения энергии ансамблей из двух и трёх осцилляторов.

• Исследование собственной и индуцированной шумом динамики одномерного массива осцилляторов? связанных по каналу распределения энергии.

• Изучение динамики ансамбля осцилляторов с древовидной топологией связи по цепи распределения энергии.

1. Андронов А.А., Витт А.А. К математической теории захватывания. // Журнал прикладной физики, 1930, т. 7, стр. 3.

2. Андронов А.А., Витт А.А. Собрание трудов. Москва. Изд. АН СССР, 1930, стр. 70-84.

3. Андронов А.А., С.Е. Хайкин. Теория колебаний. // Гостехиздат. Москва. 1937

4. P.S. Landa, Nonlinear Oscillations and Waves in Dynamical Systems (Kluwer Academic, Dordrecht, 1996)

5. П.С. «Панда, Я.Б. Дубошинский. Автоколебательные системы с высокочастотными источниками энергии (МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ), 1982

6. Appleton E.V., The automatic synchronization of triode oscillator, Proc. Cambridge Phil. Soc., Vol. 21, pp. 231-248, 1922

7. Van-der-Pol В., Forced oscillations in a circuit with non-linear resistance, Phil. Mag. Vol., 3, pp. 64-80, 1927

8. D.E. Postnov, A.G. Balanov, and E. Mosekilde, Synchronization Phenomena in an Array of Population Dynamics Systems Advances in Complex Systems, Vol. 1, pp. 181-202, 1998

9. Erik Mosekilde, Yuri Maistrenko and Dmitriy Postnov, Chaotic synchronization. Application to living systems, World Scientific, 2002

10. D. E. Postnov, О. V. Sosnovtscva, E. Mosekilde, and N.-H. Holstein-Rathlou. Cooperative phase dynamics in coupled nephrons, Int. J. Mod. Phys., В 15, 3079, 2001

11. M. Barfred, E. Mosekilde, and N.-H. Holstein-Rathlou, Bifurcation analysis of nephron pressure and flow regulation, Chaos 6, 280-287 (1996)

12. А. Шишкин. Сложные колебательные процессы в моделях авторегуляции почечного кровотока. Диссертационная работа. Саратов. 200613. http://ru.wikipedia.org/wiki/Pecypc

13. А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, Н.М. Рыскип, Нелинейные колебания, Москва, Изд. физ.-мат. литературы, 2002

14. FitzHugh R.A., Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane, Biophys. J.,1, 445-446, 1961

15. J. Keener, J. Sneyd, Mathematical Physiology, Springer-Verlag, New York, 1998

16. V. S. Afraimovich and V. I. Nekorkin, Chaos of traveling waves in a discrete chain of diffusively coupled maps, Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. Vol. 4, pp. 631-637, 1994

17. Y. Kuramoto, Chemical Oscillations, Waves and Turbulence Springer, Berlin, 1984

18. K. Kaneko, Globally coupled circle maps, Physica D Vol. 54, pp. 5, 1991

19. P. Meda, I. Atwater, A. Goncalves, A. Bangham, L. Orci, and E. Rojas, The topography of electrical synchrony among /З-cells in the mouse islet of Langerhans, Q. J. Exp. Psychol. Vol. 69, pp. 719-735, 1984

20. Z. Kiss, Y. Zhai, and J. L. Hudson, Emerging coherence in a population of chemical oscillators, Science Vol. 296, p. 1676, 2002

21. Dano, F. Hynne, S. De Monte, F. d'Ovidio, P. G. Sorensen, and H. Westerhoff, Synchronization of glycolytic oscillations in a yeast cell population, Faraday Discuss. Vol. 120, pp. 261-275, 200223 242526 2728 2930