Динамика ансамблей нелинейно связанных бистабильных элементов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ



НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

ДИНАМИКА АНСАМБЛЕЙ НЕЛИНЕЙНО

СВЯЗАННЫХ БИСТАБИЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (ПОДАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ, СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЕ, СИНХРОНИЗАЦИЯ)

01.04.03 — радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.Д. Шалфеев.

Н. Новгород, 1999 г.

Оглавление:

Введение 4

1 Базовые модели 15

1.1 Осциллятор Чуа..................................15

1.2 Автогенератор с частотным управлением (АЧУ) .... 18 1.2.1 Случаи меньшей размерности......................21

1.3 Преобразование моделей к общему виду ..................23

1.4 Динамика асимметричного осциллятора Чуа.............26

1.4.1 Симметричный случай ...... _______', ...........27

1.4.2 Асимметричный случай..............................31

1.5 Функции связей в исследуемых моделях.............37

1.6 Выводы........................................................41

2 Стационарные пространственные распределения в ансамблях связанных бистабильных элементов 43

2.1 Стационарные распределения в цепочке связанных АЧУ 43

2.1.1 Изолированный элемент ............................44

2.1.2 Цепочка элементов АЧУ с потоковыми связями . 44

2.1.3 Цепочка элементов АЧУ с взаимными связями . 57

2.2 Стационарные распределения в цепочке осцилляторов Чуа 59

2.2.1 Задание структур с помощью начальных условий 60

2.2.2 Задание структур с помощью параметра..........67

2.3 Структурообразование в двумерной решетке осцилляторов Чуа........................................................70

2.3.1 Математическая модель..............................71

2.3.2 Формирование структур ............................72

2.4 Выводы........................................................92

3 Анализ процессов подавления колебаний в ансамблях

связанных осцилляторов Чуа 96

3.1 Динамика пары связанных осцилляторов Чуа............96

3.1.1 Потоковое воздействие ..............................98

3.1.2 Взаимные связи......................................116

3.2 Динамика ансамбля глобально связанных осцилляторов 126

3.2.1 Асинхронный режим..................................127

3.2.2 Синхронные режимы.........................129

3.3 Анализ процессов регуляризации динамики в кольцевой цепочке бистабильных хаотических элементов с переменным числом связей............................................142

3.3.1 Однородные режимы ................................143

3.3.2 Пара кластеров........................................150

3.4 Выводы..................................................159

Заключение 162

Введение

Исследование коллективного поведения ансамблей, состоящих из большого числа взаимосвязанных активных элементов, является актуальной проблемой современной радиофизики. Среди факторов, определяющих динамику ансамбля можно выделить, например, тип и силу взаимодействия. Типы взаимодействия могут быть как достаточно простыми (линейные диффузионные), так и очень сложными (нелинейные каналы связи с запаздыванием). Другим фактором является топология связей. Взаимодействие элементов ансамбля может быть локальным (взаимодействие только с ближайшими соседями), нелокальным (наличие связи с элементами, лежащими на некотором удалении в пространстве) и глобальным (каждый элемент взаимодействует с каждым). Ансамбль может иметь различную пространственную структуру: от цепочки до многомерной решетки. Далее среди факторов, влияющих на динамику ансамбля, необходимо отметить свойства элементов, его составляющих. Динамика элементов в несвязанном состоянии может быть как простой, так и очень сложной, хаотической. Элементы ансамбля могут быть как одинаковыми, так и разными.

Одним из примеров подобной задачи в радиофизике является цепочка, образованная связанными джозефсоновскими контактами [1, 2]. Такие цепочки вызывают значительный интерес при создании автогенераторов, смесителей и параметрических усилителей в сантиметровом и миллиметровом диапазонах. Ансамбли таких контактов имеют значительные преимущества над уединенными контактами поскольку их

мощность и входной импеданс могут быть увеличены до практически полезного уровня.

Другой пример, который приводит к задаче о динамике ансамбля связанных автогенераторов - цепочки и решетки связанных полупроводниковых лазеров [3, 4]. Такие цепочки и решетки предлагаются в качестве источников пространственно - когерентных пучков, обладающих высокой мощностью. Здесь, как и в предыдущем примере, объединение лазеров в ансамбль позволяет достичь большей мощности пучка в режиме их когерентного излучения. Однако, практическое использование таких ансамблей затруднено тем, что при связывании этот режим может становиться неустойчивым в значительной области параметров системы.

В качестве еще одного примера можно упомянуть систему связанных релятивистских магнетронов [5]. В коллективной системе удается достичь существенно большей мощности поля.

К задаче исследования ансамблей активных элементов сводится также ряд гидродинамических задач исследования неравновесных сред в дискретном приближении [6]. Такие неравновесные дискретные среды характеризуются эффектами спонтанного возникновения структур, т.е. возможностью самоорганизации, или наоборот, возникновением пространственно - временного беспорядка (турбулентности). Так, дискретные модели применялись для описания квази - двумерной и одномерной турбулентности, вызванной параметрическим возбуждением [7, 8]. Здесь в физических и компьютерных экспериментах получен один из сценариев развития турбулентности через перемежаемость при разрушении квазипериодического пространственного распределения.

Остановимся еще на задаче синхронизации нескольких генераторов переменного тока, работающих на общую нагрузку, т.е. на задаче о синхронизации в энергосетях [9, 10]. Здесь взаимодействие электрогенераторов позволяет достичь необходимой стабильности частоты в

энергосети. Интересно отметить, что именно энергосети весьма эффективно продемонстрировали возможность существования в сетях, наряду с режимом синхронизации, еще и сложных хаотических режимов [11, 12].

В качестве примера можно привести также задачу об управлении элементами фазированных антенных решеток [11, 13, 14]. Здесь для ансамбля генераторов требуется обеспечить как синхронность работы, так и управление фазовыми сдвигами. Межэлементные связи могут формироваться как целенаправленно, например, с помощью сравнения фаз сигналов соседних элементов [15], так и осуществляться через общее поле излучения [16].

Задачи, связанные с исследованием коллективной динамики ансамблей активных элементов, возникают не только в физике, но характерны и для биологии, экономики и др. Уже на протяжении многих лет устойчивый интерес вызывают биологические задачи о динамике нейронных ансамблей, которые тоже принадлежат к задачам исследования ансамблей активных элементов [17]. Наиболее глобальный вопрос здесь это построение динамической теории нервных систем. Особенно успешно эта задача решается на уровне малых нервных систем - генераторов ритмической активности живых организмов [18]-[29]. Здесь для простейших животных известны ответы на все ключевые вопросы: какие модели нейронов следует использовать, каково должно быть их взаимодействие, как используется внешняя информация. Источником этих знаний послужило экспериментальное исследование малых нервных систем. К сожалению, экспериментальный подход невозможен при исследовании больших нервных систем (например, коры головного мозга). Основные знания здесь базируются на построении умозрительных моделей, которые позволяют проиллюстрировать принципиальную разрешимость той или иной проблемы, т.е. предложить вероятный путь ее решения в живом мозге.

Таким образом, очень разнообразные по своей физической природе системы могут быть представлены в виде ансамбля взаимодействующих активных элементов. Естественно, что при построении моделей таких ансамблей используется и большой набор типов элементов, составляющих ансамбль. Фактически любой выбор элемента от сложного, обладающего хаотической динамикой, до наиболее простого является оправданным.

При моделировании больших ансамблей нейронов часто используют совсем простые модели триггерного типа. Здесь неприменимость экспериментального подхода привела к развитию исследований клеточных нейронных сетей [30, 31]. Клеточные нейронные сети [32] представляют собой искуственную дискретную активную среду для моделирования различных нелинейных динамических эффектов, известных из многих дисциплин. В работах [33, 34] в качестве парциального элемента взят генератор Ван-Дер-Поля. Часть наблюдаемых в этой работе эффектов основана на совместном существовании устойчивых стационарного и колебательного режимов в некоторой области параметров парциального элемента.

Остановимся подробнее на возможных вариантах элементов, которые обладают хаотической динамикой [35]. Достаточно простыми примерами генераторов хаотических колебаний являются генераторы с туннельными диодами [36, 37, 38]. К схеме такого генератора можно подойти, например, изменив привычную схему генератора Ван-дер-Поля введением в нее туннельного диода [36, 37]. Хаос, получаемый в такого рода системах, обычно соответствует аттрактору спирального типа. Другими достаточно простыми вариантами хаотических генераторов являются кольцевой генератор [39] и генератор с инерционной нелинейностью [40]. Для радиотехнических приложений привлекательным является анализ широко известных систем частотной и фазовой автоподстройки (ЧАП и ФАП) в режиме хаотических колебаний [42]. Эти

системы могут обеспечивать генерацию хаотически модулированных колебаний со стабилизированной средней частотой [41].

Отметим, что инверсное включение частотного дискриминатора в системе ЧАП позволяет получить существенно более сложные хаотические колебания (аттрактор типа "двойной завиток" или "double scroll") [42]. По - видимому, впервые возможность возникновения сложных хаотических колебаний, соответствующих аттрактору "двойной завиток", была отмечена для генератора с туннельным диодом в работе [43]. Впоследствии изучению таких хаотических колебаний в схемах, известных под названием " осциллятор Чуа", была посвящена обширная литература [44, 45, 46]. При исследовании ансамблей, состоящих из таких осцилляторов в качестве элементов [47], обычно используется характерное для них свойство бистабильности.

Еще одним классом моделей, которые широко используются в качестве элементов ансамблей, являются математические модели нейронов [48, 49, 50, 51, 52]. В результате экспериментального изучения биологических систем оказалось [17], что нервную клетку можно рассматривать как сосредоточенную систему. Более того, нейрон можно представить как нелинейную электрическую цепь из RC -элементов. Эксперименты последних лет показывают, что нормальная активность одиночного нейрона представляет собой динамический хаос. В некоторых случаях реконструируемый по реализации странный аттрактор вкладывается в трехмерное пространство. Построенные для этих случаев трехмерные математические модели получили широкое распространение [48, 52], хотя известны и более сложные модели.

Таким образом, из приведенных примеров следует, что системы, используемые в качестве элементов ансамблей, обладают свойством мультистабильности или способностью качественно изменять свою динамику при изменении параметра, или и тем и другим сразу.

Другим определяющим фактором для систем связанных элементов

является выбор варианта связи между ними. До недавнего времени исследования ограничивались линейными связями между элементами [53, 54, 55, 56]. Особый интерес вызывали диффузионные (разностные) связи, при которых воздействие на элемент пропорционально разнице состояний этого элемента и воздействующего. Такой интерес был продиктован многообразием приложений, в которых возникал именно такой вид связей. Это прежде всего гидродинамические задачи и задачи о соединении различных электронных схем. Как показали недавние исследования [17], в биологических системах наряду с диффузионными (электрическими) существуют так называемые синаптические связи, которые носят химический характер.

Синаптическая связь [17, 32] характеризуется наличием порога, т.е. грубо может быть аппроксимирована ступенчатой функцией (функцией Хэвисайда). Обнаружено [17], что синаптическая связь регуляри-зует поведение индивидуально хаотических нейронов, тогда как электрическая может привести только к обратному эффекту. Важно, что синаптическая связь имеет принципиально нелинейный характер и не принадлежит к разностному типу. Нелинейные недиффузионные связи ранее использовались лишь в задачах о связанных системах частотного управления [59], но при этом обычно использовались простейшие одномерные парциальные элементы. Таким образом, в последнее время возрос интерес к исследованию нелинейных связей недиффузионного типа. Один из актуальных вопросов здесь — это вопрос регуляризации динамики ансамбля за счет введения межэлементных связей.

Важным является выбор топологии (геометрии) связи. До последнего времени наиболее хорошо были изучены системы с одномерной и двумерной геометрией и локальными связями (взаимодействие только с ближайшими соседями). Такой выбор обусловлен с одной стороны физикой рассматриваемых задач, а с другой - соображениями простоты. Например, в клеточных нейронных сетях принято выбирать именно

локальные связи с тем, чтобы уменьшить трудности их последующей схемной реализации [32]. Тем не менее, в последнее время появляются работы, которые посвящены изучению ансамблей с большим количеством связей, в том числе глобальными связями (каждый элемент взаимодействует с каждым) [60, 62]. Значимость таких систем обусловлена предположениями о связях между элементами коры головного мозга [17]. Сейчас исследования таких систем представлены очень фрагментарно. Таким образом, возникает, вопрос о влиянии числа связей на динамику системы.

Основное внимание исследователей уделялось явлениям формирования пространственных структур [62]-[65], возникновению пространственного хаоса [66]-[72], нелинейным волновым процессам [73]-[79], включающим фронты переключения в бистабильных системах, бегущие импульсы в возбудимых системах, спиральные и концентрические волны [80]. В решетках, элементы которых обладают колебательными свойствами исследовались явления глобальной пространственной синхронизации колебаний [81, 82, 83]. Цепочки и решетки, составленные из элементов со сложной собственной динамикой, были изучены сравнительно мало.

Целью диссертационной работы является исследование зависимости динамики ансамблей связанных бистабильных активных элементов от силы и числа связей для случая нелинейной связи недиффузионного типа. Исследования проводятся исходя из задач управления динамическими свойствами таких ансамблей - регуляризации хаотической динамики и структурообразования.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Обосновать выбор базовой математической модели бистабильного динамического элемента, обладающего достаточно богатым набором динамических режимов (от простых до хаотических) и допус-

кающего различные варианты объединения в ансамбль с помощью нелинейных недиффузионных связей

2. Провести исследование цепочки локально связанных одномерных бистабильных элементов и сформулировать закономерности явления структурообразования в данном простейшем случае. Провести численное исследование зависимости динамики решетки локально связанных бистабильных элементов с различной, в том числе и хаотической, динамикой от силы связи. Рассмотреть вопрос структурообразования в такой системе.

3. Провести исследование динамики простейшего ансамбля - пары связанных бистабильных активных элементов в зависимости от вида и силы связи между ними для выяснения роли нелинейности связи.

4. Исследовать динамику ансамбля глобально связанных хаотических элементов в зависимости от силы связи, как простейший случай системы с большим количеством связей. Рассмотреть изменения, вносимые в параметрический портрет системы при уменьшении числа связей в ней от глобальных к локальным.

Научная новизна результатов работы;

• Обнаружена аналогия математических моделей, описывающих радиоэлектронный осциллятор Чуа и автогенератор с частотным управлением. На основании этой аналогии дано обоснование выбора базовой модели бистабильного динамического элемента.

• Изучен вопрос структурообразования в цепочке одномерных бистабильных элементов для случая нелинейной недиффузионной связи и выделены два возможных в этой системе способа формирования стационарных структур, основанных на свойствах нелинейной динамики системы.

• Обнаружена возможность подавления колебаний в двумерной решетке нелинейно недиффузионно связанных активных бистабиль-ных элементов. Отмечена возможность формирования стационарных �