Структуры, волны и их взаимодействие в многослойных активных решетках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

/

^ ч/ НИЖБГОРО,

/ л

/ Г' ^ ч/ ^ ^

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи

КАЗАНЦЕВ Виктор Борисович

СТРУКТУРЫ, волны и их ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В МНОГОСЛОЙНЫХ АКТИВНЫХ РЕШЕТКАХ

01.04.03 — радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.И. Некоркин.

Н. Новгород, 1999 г.

Оглавление

1 Модели базовых элементов 13

2 Волновые движения в одномерной цепочке элементов Чуа 17

2.1 Модель........................................................18

2.2 Профили стационарных волн ..............................20

2.2.1 Система, описывающая профили бегущих волн . 21

2.2.2 Свойства системы для бегущих волн (2.4) .... 22

2.2.3 Гомоклинические траектории......................24

2.2.4 Гетероклинические траектории....................26

2.2.5 Бифуркационные кривые............................27

2.3 Траектории системы (2.4) - стационарные волны .... 30

2.4 Цепочка со взаимной связью [Бг = £>2 = -О)..............34

2.4.1 Распространение импульсов и волновых фронтов 34

2.4.2 Волновые составы....................................38

2.4.3 Устойчивые и неустойчивые импульсы............40

2.5 Импульсы в цепочке с направленной связью (Их > £>2) 41

2.6 Цепочка как дискретный аналог среды типа "реакция-диффузия". Свойства бегущих волн........................43

2.7 Неустойчивости бегущих импульсов........................46

2.8 Взаимодействие импульсов. Автоволны или волны-частицы? ..........................................................49

2.9 Выводы........................................................51

3 Структуры и спиральные волны в двумерной решетке элементов Чуа 54

3.1 Модель........................................................54

3.2 Образование пространственных структур. Регулярные и беспорядочные структуры..................................55

3.3 Спиральные волны ..........................................58

3.3.1 "Темные" и "светлые" спиральные волны возбудимого типа . . .....................................58

3.3.2 Спиральные волны осцилляторного типа..........62

3.3.3 Метастабильные осцилляции элемента решетки

как механизм образования спиральных волн . . 64

3.4 Выводы........................... . 67

4 Динамика двумерных многослойных решеток 69

4.1 Взаимная синхронизация пространственных

структур в двухслойной решетке бистабильных элементов 69

4.1.1 Структуры в одиночной решетке (слое) ..........71

4.1.2 Глобальная устойчивость многообразия синхронизации ........................ 72

4.1.3 Примеры синхронизации пространственных структур ........................... 75

4.2 Синхронизация и динамическое копирование в многослойной решетке бистабильных осцилляторов...... 82

4.2.1 Колебания в связанных решетках бистабильных осцилляторов..................... 82

4.2.2 Динамическое копирование ............ 87

4.2.3 Динамическое копирование в многослойной системе104

4.3 Структуры и спиральные волны в двухслойной решетке

элементов Чуа........................ 109

4.3.1 Взаимная синхронизация движений между слоями 110

4.3.2 Синхронизация пространственных структур и динамическое копирование.............. 114

4.3.3 Синхронизация спиральных волн. Переходы между волнами различных типов .......... 116

4.3.4 Взаимодействие спиральной волны и пространственной структуры. Преодоление провала распространения ....................... 121

4.4 Выводы............................ 124

Введение

Исследование коллективного поведения систем, состоящих из большого числа взаимосвязанных упорядоченных в пространстве активных элементов - активных решеток, является актуальной проблемой современной радиофизики. Такие решетки представляют собой системы, состоящие из большого числа взаимодействующих, упорядоченных в пространстве, нелинейных активных подсистем - элементов. Взаимодействие элементов в сети может быть как локальным (взаимодействие только с ближайшими соседями), нелокальным (наличие связи с элементами, лежащими на некотором удалении в пространстве), так и глобальным (каждый элемент взаимодействует с каждым). Типы взаимодействия также могут варьироваться от достаточно простых (линейных), до очень сложных нелинейных каналов связи. Наличие распределенных в пространстве нелинейных активных элементов и взаимодействия между ними позволяет трактовать активную решетку как некоторую дискретную нелинейную распределенную среду с подкачкой внешней энергии [1-14].

Системы в виде активных решеток возникают, с одной стороны, непосредственно при описании поведения объектов, имеющих ярко выра-

женную решеточную или сетевую структуру. Это, например, массивы джозефсоновских контактов и сети связанных лазеров [15-20], взаимодействующие химические реакторы, нейронные ансамбли [21-23], сети синхронизованных генераторов и систем автоматического управления [24-28] и т.д. С другой стороны, активные решетки можно рассматривать как дискретные модели непрерывных неравновесных сред, изучение явлений и процессов в которых является фундаментальной задачей радиофизики. Здесь можно упомянуть, например, оптические волокна [29-32], гидродинамические среды [33-36], неравновесные химические реакции [37-40], нервные волокна [41-43] и др.

Несмотря на большое число элементов, которые и по отдельности могут обладать сложной собственной динамикой, за счет введения межэлементных связей активные решетки, обладают удивительным свойством - способностью к самоорганизации. Другими словами, в процессе собственной эволюции они способны производить когерентные пространственно-временные динамические структуры без специфического воздействия извне. Например - взаимная синхронизации колебаний связанных осцилляторов, образование неоднородных стационарных пространственных структур, когерентные волновые процессы, включающие фронты переключения и бегущие импульсы, спиральные и концентрические волны и др [6, 44-48].

В связи с бурным развитием современных электронных технологий, допускающих создание компактных электронных схем из боль-

шого количества активных единиц, динамика активных решеток вызывает широкий интерес и с прикладной точки зрения. В последние несколько лет начаты интенсивные работы по построению так называемых CNN (Клеточных Нейронных Сетей). CNN представляют собой большие массивы активных, тождественных или почти тождественных электронных элементов ("клеток"), объединенных с помощью межэлементных связей в единую систему. На базе CNN, которые уже имеют реализацию в виде интегральных электронных схем, разрабатываются системы распознавания и восстановления образов, кодирования и сжатия информации, коррекции ошибок, пространственно-временной селекции и т.д. [49, 50].

Таким образом, исследование динамики объектов в виде активных решеточных систем является актуальной и важной задачей радиофизики и имеет как фундаментальный, так и прикладной интерес.

До последнего времени наиболее хорошо были изучены системы с одномерной и двумерной геометрией и локальным типом связи -цепочки и плоские решетки, элементы которых устроены достаточно просто [7-9, 51-56, 66, 67, 83]. Основное внимание исследователей уделялось явлениям формирования пространственных структур, нелинейным волновым процессам, включающим фронты переключения и провал распространения волн в бистабильных системах, бегущие импульсы в возбудимых системах, спиральные и концентрические волны. В решетках, элементы которых обладают колебательными свойства-

ми исследовались явления глобальной пространственной синхронизации колебаний, регулярных по пространству и хаотических во времени движений. Цепочки и решетки, составленные из элементов со сложной собственной динамикой были изучены сравнительно мало. Однако здесь, за счет существенного увеличения числа степеней свободы, можно ожидать появления новых, нетривиальных эффектов в коллективной динамике системы, образования динамических структур и волн с новыми свойствами. Активные решетки с более сложной архитектурой, имеющие трехмерную геометрию, начали интенсивно изучаться только в последнее время. Как и в случае усложнения локального элемента решетки, усложнение ее архитектуры может привести к появлению новых типов движений в системе. Одним из путей перехода от двумерной геометрии к трехмерной является изучение систем с ярко выраженной слоистой структурой, т.е. решеток, состоящих из нескольких взаимодействующих подсистем - слоев. Модели такого рода также используются в задачах информационной обработки пространственных образов, где строятся решетки состоящие из входного слоя, нескольких промежуточных, и выходного слоя, содержащего обработанный образ. В таких системах взаимодействие между слоями - чаще всего однонаправленное: вход —> вспомогательный слой —» выход, и обработка организуется за счет определенной логики построения межрешеточных связей, а не за счет коллективного поведения решетки как динамической системы [50, 57].

В настоящей работе рассматриваются активные решетки как с достаточно простой (цепочка, квадратная решетка) архитектурой, однако, состоящие из элементов, обладающих сложной собственной динамикой, так и решетки, имеющие многослойную (трехмерную) архитектуру. В качестве базовых элементов последней выступают бистабиль-ная ячейка (триггер), бистабильный осциллятор (генератор в жестком режиме возбуждения) и осциллятор Чуа - элемент, обладающий в зависимости от параметров разнообразным динамическим поведением - от простых бистабильных режимов и периодических колебаний до хаотических аттракторов. Использование в решетке того или иного базового элемента определяется спецификой исследуемого явления. Взаимодействие между элементами - локальное, диффузионного типа, что позволяет трактовать активную решетку как дискретный аналог неравновесной среды типа "реакция-диффузия".

Работа организована следующим образом.

В главе 1 представлен краткий обзор используемых базовых элементов.

Глава 2 посвящена динамике нелинейных волн в одномерной активной решетке - цепочке взаимодействующих элементов Чуа. Показано, что в такой системе существует большое разнообразие волновых движений, включая устойчивое распространение одно- и много-горбых импульсов, волновых фронтов, а также волновых составов, состоящих из произвольных (хаотических) импульсных последователь-

ностей. Профили этих волн определяются ограниченными траекториями вспомогательной системы обыкновенных дифферкнциальных уравнений четвертого порядка. Проводится исследование гомо- и гете-роклинических бифуркаций в этой системе. Изучаются эффекты взаимодействия импульсов при столкновении.

В главе 3 изучается динамика двумерной решетки элементов Чуа. Исследуется явление формирования стационарных пространственных структур. Опираясь на результаты, полученные в главе 2, изучаются волновые процессы в решетке. В частности, описывается новый механизм возникновения спиральных волн осцилляторного типа, обсуждается явление мультистабильности спиральных волн различных типов.

В главе 4 изучается динамика взаимодействующих квадратных решеток, состоящих из двух и более слоев. Получены условия полной взаимной синхронизации движений между слоями. Подробно изучаются эффекты межслойного взаимодействия стационарных пространственных структур и спиральных волн. Исследуется явление динамического копирования регулярных пространственных структур. Дается объяснение этого явления с точки зрения нелинейной динамики, приводятся его количественные характеристики. Обсуждается вопрос об использовании динамического копирования для эффективного кодирования информации.

Теоретическая и практическая значимость результатов

В работе исследованы процессы формирования пространственных

структур и различных типов нелинейных волн в активных решетках с многослойной архитекртурой, состоящих из элементов с бистабиль-ными, возбудимыми и колебательными свойствами.

Проведенные исследования позволяют дать практические рекомендации по выбору того или иного типа базового элемента и архитектуры решетки, а также значения параметров для реализации конкретного режима функционирования системы, организации той или иной пространственной структуры, возбуждения волны определенного типа, осуществления тех или иных функций по преобразованию, копированию и обработке данной структуры или волны в многослойной системе. Результаты диссертации могут быть полезными при изучении нелинейных явлений в решеточных системах с различной отраслевой принадлежностью, элементы которых обладают бистабильными, возбудимыми и колебательными свойствами. Обсуждается также вопрос по применению многослойных решеток, для различных функций обработки, кодирования и передачи информации. Полученные результаты использованы в учебном процессе на радиофизическом факультете ИНГУ.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, научных конференциях ННГУ (1996-1998 гг.), сессиях молодых ученых (Нижний Новгород 1996-1998 гг.), международных симпозиумах: Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA) (Las Vegas,

USA 1995; Grans-Montana, Switzerland 1998; Int. Specialist Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES) (Севилья, Испания 1996; Москва 1997); Conference on Control of Oscillations and Chaos (Санкт-Петербург, 1997); Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems (Нижний Новгород, 1996); Int. Workshop on transmission and signal processing in nonlinear electronics and optics (Ди-жон, Франция 1998); Международная Школа-Семинар "Дни Нелинейной Динамики в Нижнем Новгороде-98" (Нижний Новгород, 1998); International Workshop on Synchronization, Pattern Formation and SpatioTemporal Chaos in Coupled Chaotic Oscillators (Сантиаго де Компостел-ло, Испания 1998); 5th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS 98) (Саратов 1998).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [73]-[99].

Глава 1

Модели базовых элементов

В этой главе представлен краткий обзор базовых элементов, которые изучаются в работе.

(1) Первый элемент представляет собой бистабильную ячейку - триггер. Электрическая схема такого элемента представлена на Рис. 1.1.

с

-N1

V

Рисунок 1.1: Электрическая схема бистабильной ячейки - триггера. N1; нелинейный элемент с кубической функцией вольт-амперной характеристики.

Уравнение Кирхгофа можно записать в виде [58]:

= " ^ - (")

Правая часть (1.1) выражает вольт-амперную характеристику нелинейного диода (например диода Ганна). При переходе к безразмерным

переменным (1.1) можно переписать в виде йх

й-т

= /(®)> /(я) = ж(1- а),

(1.2)

где х — У/Уа, т = (ЬУа)/(ЩСУь), а = Уъ/Уа■ Уравнение (1.2) является уравнением на прямой с двумя устойчивыми, ж = 0иж = 1,и одним неустойчивым, х = а, состоянием равновесия. Его динамика достаточно проста. В зависимости от начальных условий система приходит в одно из этих двух устойчивых состояний.

(и) Второй базовый элемент представляет собой бистабильный осциллятор (генератор в жестком режиме возбуждения) (Рис. 1.2). Мо-

(а)

(6)

Рисунок 1.2: (а) Фазовая плоскость бистабильного осциллятора, (б) Ламповый генератор - как одна из схемных реализаций бистабильного осциллятора.

дельные уравнения для такого элемента имеют вид

л = -аг(\а\2), ^(|Л|2) = 2а|Л|4-а|Л|2 + 1, а > 8, (1.3)

где переменная а описывает комплексную амплитуду колебаний. На фазовой плоскости этой системы существует два аттрактора - устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл, разделенные неустойчивым предельным циклом (Рис. 1.2 (а)). В качестве

электрической схемы, реализующей такой элемент, может служить, например, ламповый генератор в жестком режиме возбуждения (Рис. 1.2 (б)).

(111) Электрическая схема (Рис. 1.3 (а)) третьего базового элемента, осциллятора Чуа, состоит из линейных емкостей Сг, линейных сопротивлений = 1/^, линейной индуктивности Ь и нелинейного элемента Уд (диода Чуа). Уравнения Кирхгофа для этой схемы имеют

Шг

О

СгГ! ей

И

V,

(а)

(б)

Рисунок 1.3: (а) Электрическая схема элемента Чуа. (б) Кусочно-линейная вольт-амперная характеристика диода Чуа.

ВИД

С= + (1.4)

= Ч,

где ~ падения напряжений на С\,С2 и ток через Ь соответ-

ственно. Функция д{у) описывает вольтамперную характеристику диода Чуа и является кусочно-линейной функцией 1Ч-образной формы (Рис. 1.3 (б)). Введем безразмерные переменные х,у, г и безразмерное

время г по формулам

_ _ Ч _ С

х — г> 1 у — ту 1 — и Г1 Т ~ Г

Пр £> р 02

Тогда система (1.4) перепишется в виде

| = а(у-ж-/(ж)),

х-у + г, (1.5)

¿т ~

¿к —

Ъ = -(Зу-

где а = (3 = 7 = - безразмерные положительные параметры, а функция /(ж) - кусочно-линейная функция вида

—&хж + а + &1 ж > 1

аж -1 < ж < 1 (1.6)

—&2Ж — а — 62 ж < — 1

В зависимости от параметров элемент Чуа обладает широким диапазоном различных динамических режимов. Схема может работать как просто бистабильная ячейка, автогенератор с заданными характеристиками (релаксационный, квазисинусоидальный и др.), а также и как хаотический генератор [59].

Глава 2

Волновые движения в одномерной цепочке элементов Чуа

В этой главе исследуется динамика волновых движений в одномерной активной решетке - цепочке, состоящей из диффузионно (резистивно) связанных элементов Чуа [89-91, 9.5, 97]. Исследования волн в цепочке в случае инерционной (индуктивной) связи между элементами проводились в работах [76, 78, 80]. Было показано, что существует большое колич