Режимы синхронизации в однородных и неоднородных распределенных автоколебательных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение

1 Динамика пространственно периодических режимов в цепочке осцилляторов с регулярным и хаотическим поведением

1.1 Условия существования и устойчивости пространственно периодических режимов в цепочке квазигармонических генераторов

1.2 Влияние ангармоничности на структуру разбиения пространства управляющих параметров цепочки генераторов Ван-дер-Поля

1.3 Мультистабильность пространственно периодических режимов Вероятность возбуждения различных пространственных мод в зависимости от случайных начальных распределений

1.4 Переходы к пространственно-временным режимам с фазовыми дефектами в цепочке генераторов Ван-дер-Поля

1.5 Эволюция пространственно периодических режимов в цепочке генераторов с бифуркациями удвоения периода

1.6 Выводы по главе

2 Режимы кластерной синхронизации в автоколебательной среде

2.1 Исследуемая модель среды

2.2 Режимы частотных кластеров

2.3 Эволюция кластерных структур при вариации параметров среды

2.4 Синхронизация частотных кластеров во взаимодействующих средах

2.5 Кластерная синхронизация и хаос в среде с линейной неоднородностью 80 2.5.1 Линейный анализ устойчивости колебаний в режимах идеальной и неидеальной кластерной синхронизации

2.5.2 Скорость перемешивания и коэффициент эффективной диффузии фазы хаотических колебаний в режиме неидеальных кластеров

2.5.3 Кластерная синхронизация в среде со случайной неоднородностью

2.5.4 Механизм перехода к хаосу при разрушении идеальных кластеров 98 2.6 Выводы по главе 2 106 3 Влияние флуктуаций на режимы бегущих волн

3.1 Индуцированные шумом переходы между мультистабильными состояниями в дискретной однородной автоколебательной среде

3.2 Влияние пространственно-временных флуктуаций на распространение импульсов в возбудимой среде

3.3 Индуцированный шумом хаос в неоднородной автоколебательной среде

3.4 Выводы по главе 3 130 Заключение 132 Литература 136 Благодарности

Актуальность работы. Регулярные, хаотические и стохастические процессы в активных средах в последние десятилетия являются предметом пристального внимания специалистов в различных областях математики, физики, химии, биологии и других наук [1-6]. При моделировании пространственно-временной динамики активных сред обычно используют либо модели, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных, либо ансамбли связанных осцилляторов, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. В последнем случае пространственные координаты являются дискретными, т.е. принимают счетное множество значений, соответствующих нумерации элементов ансамбля. Цепочки и решетки, составленные из большого числа нелинейных элементов с регулярным, хаотическим или стохастическим поведением нашли широкое применение при математическом моделировании физических, оптических и радиоэлектронных распределенных систем [8,12,25,26,86,87,102], а также химических и биологических процессов [1,5,12,27,28,141,146,152]. Нелинейные явления в моделях автоколебательных сред с непрерывными пространственными координатами также достаточно широко изучались. Особенно много работ посвящено таким базовым моделям, как уравнения Гинзбурга - Ландау [6,125,127], Курамото - Сивашинского [5,29,30] и др.

Эффекты полной и частичной синхронизации играют определяющую роль в динамике ансамблей регулярных и хаотических осцилляторов. При изучении пространственно - временного поведения таких систем рассматриваются различные модели : решетки из дискретных отображений, автогенераторов с предельным циклом или хаотическим аттрактором. К настоящему времени достаточно хорошо изучена динамика цепочек из осцилляторов с предельным циклом. Синхронизация колебаний в таких ансамблях осцилляторов -одна из традиционных областей исследований для современной радиофизики. Первые работы в этом направлении известны с середины прошлого века [31] и рассматривали, как правило, задачу частотной синхронизации в цепочке осцилляторов с гармоническим поведением [32]- [35]. В работе [34] было обращено внимание, что в подобных системах возможны режимы с разными фазовыми сдвигами между осцилляторами - то есть сосуществуют разные пространственные моды. Условия существования и устойчивости разных пространственных мод в ансамблях осцилляторов, колебания в которых возникают через бифуркацию Андронова-Хопфа, были получены в квазигармоническом приближении для разных типов связей в работах Эрментроута и Неймарка [36-38,41].

Детальное исследование динамики пространственно однородных и неоднородных волн в цепочке осцилляторов с жестким возбуждением было проведено в работе [39], где основные результаты также были получены в квазигармоническом приближении. Моделирование ангармоничности введением дополнительного слагаемого в уравнение для фазового осциллятора в работе [40] привела к интересному результату - при большой ангармоничности в кольце осцилляторов наблюдалось появление так называемых странных волн. В системе устанавливался режим, разупорядоченный в пространстве, но регулярный во времени. С другой стороны, введенние таким образом ангармоничности носит достаточно искуственный характер. Представляется интересным и важным исследование динамики ансамблей "реальных"регулярных осцилляторов; в которых изначально присутствуют такие явления, как ангармоничность и неизохронность. В рамках диисертационной работы исследуется влияние ангармоничности на режимы фазовых волн в цепочке генераторов Ван-дер-Поля, моделируемых не укороченными, а полными уравнениями.

Пространственно периодические режимы не исчерпывают всего разнообразия структур, которые могут возникать даже в небольших цепочках. Возникает вопрос - насколько типичными являются эти режимы? Будут ли они возникать при случайных начальных условиях из некоторой окрестности однородного состояния ? В рамках данной диссертационной работы выясняется насколько типичными являются пространственно периодические режимы в одной из базовых систем теории колебаний и волн - цепочке связанных генераторов Ван-дер-Поля.

Вопрос о том, какое состояние неравновесной среды реализуется при конечном превышении порога устойчивости равновесного состояния, интересен для различных областей физики. Сложные пространственно - временные режимы в распределенных системах как правило формируются в результате развития иерархии неустойчивостей при увеличении надкритичности. На начальном этапе их формирования иногда удается выделить два крайних случая, обычно реализующихся в разных системах [56]. В одном из них увеличение надкритичности приводит к усложнению пространственной структуры без существенного усложнения временной динамики. В частности, такой сценарий наблюдается в подогреваемом снизу слое жидкости при больших числах Прандтля. В другом случае сложное временное поведение, в том числе и хаотическое, может возникнуть практически без изменения упорядоченной пространственной структуры, как, например, в цилиндрическом течении Куэтта. При дальнейшем увеличении надкритичности изменения пространственной структуры и временного поведения становятся взаимосвязанными.

В данном контексте представляется важным и интересным рассмотреть, как усложнение временной динамики парциальной ячейки в виде перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода влияет на пространственную структуру фазовой волны распределенной системы, может ли индуцировать хаотическая временная динамика в таких системах пространственный хаос или пространственная периодичность исходных режимов сохраняется.

Эти вопросы анализируются в первой главе диссертации на примере цепочки связанных генераторов Чуа.

Исследование динамики нелинейных распределенных систем представляет собой одно из основных направлений развития теории колебаний и волн. Главным фактором в динамике распределенных автоколебательных систем, который приводит к упорядоченному пространственно - временному поведению, служит синхронизация элементов среды или ансамбля. Эффекты синхронизации в ансамблях автогенераторов и фазовых осцилляторов с локальной связью исследовались в [1,88,89,91,96,105] и многих других статьях и монографиях. Частичная частотно-фазовая синхронизация в цепочках и решетках квазигармонических автогенераторов и фазовых осцилляторов при наличии расстройки собственных частот проявляется в образовании фазовых и частотных кластеров [91,94,95,97,121]. Аналогичным образом частичная фазовая синхронизация приводит к образованию кластеров и в цепочке генераторов спирального хаоса [104]. Большое количество публикаций посвящено исследованию эффектов глобальной и частичной синхронизации, образованию кластеров синхронных состояний и упорядоченных пространственных структур в цепочках и решетках идентичных хаотических автогенераторов и модельных хаотических отображений [100,101,105].

Синхронизация в автоколебательных распределенных системах служит причиной ограничения роста размерности аттракторов [133,134]. С возможностью реализации синхронных режимов с различными фазовыми сдвигами тесно связано явление мультистабильности, т.е. сосуществования множества регулярных и хаотических аттракторов в фазовом пространстве [99]. Муль-тистабильность, в свою очередь, приводит к кризисам аттракторов, фракта-лизации бассейнов притяжения и другим нетривиальным эффектам.

Для распределенных автоколебательных систем также ставились задачи о взаимной и внешней синхронизации. Так, явление вынужденной синхронизации непрерывной автоколебательной среды исследовалось в работе [115].

Взаимная синхронизация во взаимодействующих распределенных системах рассматривалась в работах [114,116,117].

Во втором разделе диссертации рассматриваются особенности динамики режимов частотных кластеров в неоднородной распределенной системе. В качестве модели неоднородной автоколебательной среды используется уравнение Гинзбурга-Ландау. Исследуется взаимная синхронизация кластерных структур в двух взаимодействующих неоднородных средах. Несмотря на обилие литературы, данные задачи еще не ставились.

Исследование влияния флуктуаций на нелинейные диссипативные системы является важной и актуальной проблемой современной нелинейной динамики. Шум является принципиально неустранимым явлением в системах самой различной природы: от электронной схемы до живого организма или социальной структуры. Влияние шума на функционирование динамических систем долгое время ассоциировалось с деструктивным воздействием, внесением беспорядка в какой бы то ни было процесс. Во многих ситуациях такое представление о роли шума справедливо, и задача исследователя состоит в выявлении различных свойств зашумленных систем [14-16]. Проблема подавления шумов является актуальной во многих областях науки и техники. Однако исследования последних лет показали, что в нелинейных системах шум может играть и конструктивную роль: воздействие шума может индуцировать новые упорядоченные режимы, приводить к образованию более регулярных структур, вызывать увеличение отношения сигнал/шум и т.д. Другими словами, при определенных условиях, шум может вызывать рост степени порядка в нелинейной системе [158,160].

Примерами такого нетривиального поведения нелинейных систем под воздействием шума являются эффект стохастического резонанса (когда отклик нелинейной системы на слабый внешний периодический сигнал усиливается при увеличении интенсивности шума) и эффект когерентного резонанса (он наблюдается в отсутствие внешнего периодического сигнала и выражается в существовании некоторого оптимального значения интенсивности шума, при котором стохастические колебания в нелинейной системе становятся наиболее близкими к регулярным) [20-23,161]. Понимание особенностей динамики нелинейных систем, находящихся под воздействием флуктуаций различной природы, представляет собой актуальную задачу современных исследований и имеют большое фундаментальное и прикладное значение.

Поведение ансамблей нелинейных осцилляторов и нелинейных сред в присутствии флуктуаций, в частности, проявление эффекта синхронизации в таких системах, намного сложнее и разнообразнее, чем в конечномерных моделях. Исследования в этом направлении пока еще далеки от своего завершения. Изучение влияния шума на пространственно - распределенные системы ведется с конца семидисятых годов [169,170]. Флуктуации могут индуцировать образование пространственных паттернов, фронтов переключений, фазовые переходы первого и второго рода, неупорядоченные фазовые переходы, поддерживать возникновение и распространение структур (фронтов и импульсов) в возбудимых средах [185,186].

В рамках данной диссертационной работы рассматриваются следующие вопросы :

- исследуется возможность осуществления переходов под воздействием флуктуаций между мультистабильными состояниями в виде бегущих волн в цепочке связанных ангармонических осцилляторов,

- изучаются особенности влияния некоррелированных гауссовских флуктуаций на процесс распространения импульсов в субвозбудимой среде, моделируемой системой Фитцхью-Нагумо, находящейся под внешним точечным воздействием,

- проводится исследование индуцированной шумом хотической во времени динамики в неоднородной автоколебательной среде.

Целью работы является изучение режимов синхронизации в однородных и неоднородных распределенных автоколебательных системах в виде цепочек связанных генераторов, и непрерывных активных сред, исследование влияния временной динамики парциальной ячейки среды на явление муль-тистабильности и эволюцию пространственно - периодических режимов, анализ возможности переключений между мультистабильными состояниями при воздействии шума и индуцированного шумом хаоса в распределенных автоколебательных системах.

Научная новизна работы заключается в том, что впервые были получены следующие результаты:

- Показано, что для цепочки ангармонических осцилляторов характерно явление мультистабильности в виде сосуществующих режимов фазовых волн. Структура пространства параметров представляет собой набор вложенных друг в друга областей, ограниченных как по параметру связи, так и по параметру возбуждения. Выход за границу области существования, если он происходит при больших значениях нелинейности, может приводить к появлению качественно нового режима, при котором в бегущей волне формируется один или несколько фазовых сбоев, движущихся вдоль кольца каждый со своей скоростью.

- Показано, что фазовые волны являются типичными режимами для цепочки локально связанных генераторов Ван-дер-Поля. При задании случайных начальных распределений в окрестности пространственно однородного состояния как правило реализуется один из допустимых пространственно периодических режимов.

- Выяснено, что для цепочек хаотических осцилляторов, моделируемых уравнениями Чуа, строгая пространственная периодичность сохраняется несмотря на бифуркации удвоения периода и рождения тора вплоть до перехода к хаотической временной динамике, после чего пространственные режимы остаются периодическими только в среднем и существуют в широкой области значений управляющих параметров, разрушаясь с развитием временного хаоса.

- Обнаружен эффект синхронизации пространственных структур в виде частотных кластеров при взаимодействии распределенных неоднородных автоколебательных систем, описываемых уравнениями Гинзбурга-Ландау.

- Выявлен бифуркационный механизм перехода к хаосу, возникающий при разрушении идеальных частотных кластеров в детерминированной неоднородной автоколебательной среде.

- Установлено, что возникновение хаотической динамики, индуцированное шумом и связанное с разрушением идальных кластеров, обусловлено существованием непритягивающего хаотического множества в окрестности регулярного режима.

- Показано, что в однородной цепочке генераторов Ван-дер-Поля флуктут ации могут индуцировать переходы между сосуществующими структурами, которые имеют односторонний характер: от более коротковолновых режимов к более длинноволновым.

Достоверность полученных результатов подтверждается воспроизводимостью всех численных эксперементов, хорошим совпадением результатов, полученных независимыми численными методами, а также совпадением получаемых в предельных случаях результатов с известными из литературы.

Научно-практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты детального описания режимов и бифуркационных переходов в базовых однородных и неоднородных распределенных автоколебательных системах представляют интерес в радиофизике и электронике и могут найти применение при решении задач, связанных с анализом сложного пространственно - временного поведения прктически значимых распределенных систем и ансамблей. Описанный в работе эффект индуцированных шумом переключений между мультистабильными состояниями в виде фазовых волн может быть применен в решеточных системах для управления динамическими режимами с помощью шумового воздействия. Результаты, полученные для системы Фитцхыо-Нагумо показывают, что исследование химического состава клеток во многих случаях можно проводить в рамках базовой модели возбудимой среды без привлечения громоздких и детальных уравнений динамики клеток среды [189].

На защиту выносятся следующие основные положения

1. В однородной цепочке генераторов с предельными циклами ангармоничность автоколебаний парциальных ячеек ведет к ограничению областей мультистабильности пространственно периодических режимов в пространстве параметров и возникновению новых режимов в виде волн с фазовыми дефектами, каждый из которых движется со своей скоростью. В фазовом пространстве системы данным режимам соответствует многомерный тор, размерность которого определяется числом фазовых дефектов.

2. Взаимодействующие распределенные неоднородные автоколебательные системы могут демонстрировать эффект синхронизации частотных кластеров. Эффект синхронизации пространственных структур возникает в результате частотной синхронизации соответствующих точек взаимодействующих автоколебательных сред.

3. В неоднородной автоколебательной среде разрушение идеальных кластеров частотной синхронизации, вызванное как изменением управляющего параметра, так и воздействием шума, ведет к возникновению хаотического во времени поведения. Переход к хаосу в детерминированной системе при вариации параметров может происходить в результате жесткой бифуркации, подобной субкритической бифуркации удвоения периода, и сопровождаться перемежаемостью. Возникновение хаотической динамики при воздействии шума связано с существованием непритягивающих хаотических движений в окрестности регулярного режима.

Структура и объем работы. Работа содержит 157 страницу, из них 82 страницы основного текста, 54 страницы иллюстраций и список литературы из 204 наименований на 21 странице.

Краткое содержание работы

Основной текст диссертации состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе рассмотрена динамика пространственно периодических режимов в цепочках квазигармонических, ангармонических и хаотических осцилляторов. Приведен обзор ранее известных результатов, касающихся динамики таких режимов в похожих системах. Оригинальные результаты получены при изучении эволюции режимов фазовых волн в кольце связанных генераторов Ван-дер-Поля и Чуа. Для цепочки генераторов Ван-дер-Поля исследуется влияние ангармоничности на явление мультистабильности пространственно -периодических режимов, рассматривается типичность их появления и закономерности их исчезновения. Для цепочки генераторов Чуа выясняется, как усложнение временной динамики в виде бифуркаций удвоения периода влияет пространственную динамику системы [194,196,200,203]. Во второй главе исследуется формирование и эволюция кластеров частотной синхронизации в неоднородной автоколебательной системе, моделируемой уравнением Гинзбурга - Ландау. На плоскости управляющих параметров строятся области устойчивости режимов с разным числом кластеров. Устанавливается взаимосвязь между формированием режимов неидеальных кластерных структур и развитием временного хаоса. Выясняется механизм возникновения хаоса [192,193,197,199,201,202].

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. В кольце связанных автогенераторов системы (1.1) сосуществуют режимы бегущих вдоль кольца волн, пространственный период которых целое число раз укладывается вдоль цепочки. В цепочке ангармонических осцилляторов области существования пространственно периодических режимов являются ограниченными как по параметру связи, так и по параметру возбуждения. Выход за границу области существования, если он происходит при больших значениях нелинейности, может приводить к появлению в бегущей волне одного или нескольких фазовых сбоев, движущихся вдоль кольца каждый со своей скоростью.

2. Фазовые волны являются типичными режимами для системы (1.1). Для большинства из них вероятность возникновения со случайных начальных условий зависит от значений управляющих параметров. Это подтверждается качественной оценкой бассейнов притяжения режимов с различными модами. Увеличение связи сужает бассейны притяжения более коротковолновых режимов за счет увеличения бассейнов более длинноволновых.

3. Для цепочек хаотических осцилляторов, моделируемых уравнениями (1.16), строгая пространственная периодичность сохраняется несмотря на бифуркации удвоения периода и рождения тора вплоть до перехода к хаотической временной динамике. После этого пространственные режимы остаются периодическими только в среднем. Усредненные пространственно периодические структуры существуют в широкой области значений управляющих параметров и разрушаются с развитием временного хаоса.

4. В непрерывной неоднородной автоколебательной среде с расстройкой собственной частоты вдоль пространственной координаты наблюдается образование кластеров частотной синхронизации. Кластерные структуры в непрерывной среде во многом подобны тем, что образуются в дискретной модели среды. В численных экспериментах при фиксированных шагах дискретизации зависимость средней частоты колебаний от координаты в режиме идеальных кластеров может вести себя как разрывная функция. Она, как и в случае дискретной модели (цепочки автогенераторов), претерпевает скачки на границах кластеров. Наблюдается определенное отличие в поведении неоднородной непрерывной среды и ее дискретного аналога при вариации параметров отвечающих за диффузионное взаимодействие и частотную расстройку. В частности по разному определяется граница области глобальной синхронизации.

5. Синхронизация частотных кластеров во взаимодействующих средах является следствием захвата частот в каждой точке исследуемой системы.

6. Развитие хаоса в непрерывной автоколебательной среде может быть обусловлено неоднородностью среды, приводящей к расстройке частот автоколебаний в различных точках среды.

7. Хаотическая динамика наблюдается, если неоднородность задается линейной зависимостью параметра от пространственной координаты х.

Задание неоднородности случайным образом облегчает синхронизацию элементов среды и исключает возникновение хаотической динамики.

8. Хаотическая во времени динамика среды с линейной неоднородностью однозначно соотносится с существованием непрерывной монотонной зависимости средней частоты колебаний от пространственной координаты (т.е. с режимом неидеальных частотных кластеров).

9. Один из возможных механизмов возникновения хаоса в непрерывной неоднородной среде связан с разрушением идеальных кластеров и происходит через жесткую бифуркацию, которая подобна субкритической бифуркации удвоения периода в системах с конечной размерностью фазового пространства. Она сопровождается явлением перемежаемости третьего рода.

10. В системе (3.1) имеются метастабильные состояния, время жизни в которых существенно различно. Чем более длинноволновой является рассматриваемая структура, тем более она устойчива к воздействию шума. Флуктуации могут индуцировать переходы между сосуществующими структурами, которые имеют односторонний характер: от более коротковолновых режимов к более длинноволновым.

11. Результаты, полученные для системы (3.2) позволяют сформулировать стратегию подавления распространяющихся волн в возбудимой среде. Задача подавления волнового процесса актуальна для многих приложений [5, 6]. При малой возбудимости среды подавление заключается в формировании и действии специфического аддитивного внешнего воздействия. Форма и место приложение этого воздействия могут быть найдены с помощью анализа предыстории флуктуаций, разрушающих бегущую волну. В этом случае нахождение специфического управляющего воздействия базируется на методики определения контрольных сил на основе анализа динамики больших флуктуаций [?, 159]. При большой возбудимости среды подавление волны возможно за счет генерации ас-симетричной встречной волы, направленной только в сторону распространяющегося фронта. Возможность генерации подобных волн представляет направление дальнейших исследований.

12. Показано, что шум в неоднородной среде может играть существенную роль. Он приводит к разрушению идеальных кластерных структур, сопровождающемуся возникновением хаотической во времени динамики.

Заключение

В соответствии с поставленными задачами в диссертации исследованы явления, связанные с функционированием однородных и неоднородных распределенных автоколебательных систем в отсутствие и под воздействием шума. Исследования проводились методами численного моделирования.

1. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическаябиофизика. М.:Наука, 1984, гл.1

2. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987, гл.1,7

3. Г.Хакен. Синергетика. М.:Мир, 1980, гл. 1,9-13

4. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. - 432 с.

5. Kuramoto Y. Chemical Oscillations Waves and Turbulence. Berlin: Springer, 1984.

6. Cross M.G., Hohenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys., 1993, V.65, P.851-1112

7. Aronson I., Kramer L. The world of the complex Ginzburg - Landau equation // Rev. Mod. Phys., 2002, V.74, P.99-143.

8. Влехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981.

9. Влехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.

10. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Издательство Саратов-ского Университета, 1999.- 137-

11. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Ассимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974

12. Pikovsky А., Rosenblum М., and Kurths J. Synchronization — A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge University Press, 2001

13. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.

14. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуации в радиотех- нике. Сов. радио, 1961

15. Рытов СМ. Введение в статистическую радиофизику. Случайные про- цессы. М.: Наука, 1976

16. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968

17. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: На- ука, 1990

18. Капеко К., Simulating Physics with Coupled Map Lattices, In: Formation, dynamics and statistics of patterns, Singapore. World Scientific, 1989, v.l, P.1-54,

19. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988

20. Benzi R., Sutera А., Vulpiani А. The mechanism of stochastic resonance // 1981, J. Phys. A: Math. Gen., V.14, P.L453-L457

21. Benzi R., Parisi G., Sutera A., Vulpiani A. Stochastic resonance in climatic change // Tellus, 1982, V.34, P.1-9.

22. Nicolis C. Stochastic aspects of climatic transition - responce to a periodic forcing // Tellus, 1982, V.34, P.1-9.

23. Pikovsky A.S., Kurths J. Cohrence resonance in a noise-driven excitable system // Phys. Rev. Lett., 1997., V.78, P.775-778- 138-

24. Ustinov A.V., Cirillo M., Malomed B. Fluxon dynamics in one-dimensional Josephson-junction arrays// Phys. Rev. В., 1993, V.47, P.8357-8360.

25. Osipov G.V., Shalfeev V.D. IEEE Tr. Circuit and Systems-I: Fundamental theory and applications 1995, V.42(10), P.687-692.

26. Osipov G.V., Shalfeev V.D. Chaos and structures in a chain of mutually coupled Chua's circuits// IEEE Tr. Circuit and Systems-I: Fundamentaltheory and applications 1995, V.42(10), P.693-699.

27. Hopfield J.J., Herz A.V. Rapid local synchronization of action potentials: Towards computation with coupled integrate-and-fire neurons// Proc. Nat.Acad. Sci. USA 1995, V.92, P.6655-6662.

28. Г.Д.И. Абарбанель, М.И. Рабинович, A. Селверстон, М.В. Баженов, P. Хуэрта, М.М. Сущик, Л.Л. Рубчинский Синхронизация в нейронных ан-самблях // УФН, 1996, Т. 166 363

29. Kuramoto Y., Tsuzuki Т. Persistent propagation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium// Progr. Theor. Phys., 1976,V.55, P.356-412.

30. Sivashinsky G. Self-turbulence in the motion of a free particle// Found. Phys. 1978, V.8(9-10), P.735-744..

31. Парыгин B.H. Взаимная синхронизация трех связанных автоколебатель- ных генераторов в случае слабой связи // Радиотехника и электроника* 1956, N 2, 197 - 204.

32. Малафеев В.М., Полякова М.С, Романовский Ю.М. О процессе син- хронизации автогенераторов связанных через проводимость // ИзвестияВУЗов: Радиофизика, 1970, т. 13, N 6, с. 936 - 940.- 139-

33. Мынбаев Д.К., Шиленков М.И. Взаимная фазовая синхронизация гене- раторов, соединенных но кольцевой схеме // Радиотехника и электрони-ка 1981, N 2, 361 - 370.

34. Мальцев А.А., Силаев A.M. Режимы работы ценочки автогенераторов с "жесткими"нредельными циклами, связанных с номощью реактивныхэлементов // Известия ВУЗов: Радиофизика. 1979. т.22, N 7, с.82б - 833.

35. Дворников А.А., Уткин Г.М., Чуков A.M. О взаимной синхронизации ценочки резистивно связанных автогенераторов // Известия ВУЗов: Ра-диофизика 1984, Т.27, N 11, 1388 - 1393.

36. Ermentrout G.B. The behaviour of rings of coupled oscillators // J. of Math. Biol., 1985, V.23, N 1, P.55-74.

37. Ermentrout G.B. Stable periodic solutions to discrete and continuum arrays of weakly coupled nonlinear oscillators // SIAM J. of Appl. Math. 1992.,V.52, N 6, P.1664 - 1687.

38. Ren L., Ermentrout G.B. Phase locking in chains of multiple-coupled oscillators // Physica D. 2000, v.l43, P.56 - 73.

39. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Velarde M.G., Spatial disorder and waves in a ring chain of bistable oscillators // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1996, v.6,N 10, P.1845-1858.

40. Daido H. Strange waves in coupled-oscillator arrays: mapping approach // Phys. Rev. Lett., 1997, v.78, N 9, P.1683 - 1686.

41. Гуртовник A.C., Неймарк Ю.И. Синхронизмы в системе циклически слабосвязанных осцилляторов // Динамические системы: Межвузовскийсборник научных трудов. Изд. Нижегородского университета 1991, с.84 -97.- 140-

42. Kaneko К., Lyapunov Analysis and Information Flow in Coupled Map 1.attices // Physica D, 1986, v.23, P.436-447.

43. Kaneko K., Towards Thermodynamics of Spatiotemporal Chaos // Progr. of Theor. Physics, 1989, N 99, P.263-287.

44. Kuznetzov A.P., Kuznetzov S.P., Spatial structures in dissipative media near the chaos threshold // Radiophysics, 1990, v.34,N 2, P. 142-146.

45. Rosenblum M. G., Pikovsky A. S., Kurths J. Phase Synchronization of chaotic oscillations // Phys. Rev. Lett.,v.76, N 11, P.1804-1807.

46. Pujigaki H., Nishi M., Shimada Т., Synchronization of nonlinear systems with distinct parameters: Phase synchronization and metamorphosis // Phys. Rev.E, 1996, V.53, N 4, P.3192-3197.

47. Matthews P.C., Strogatz S.H., Phase diagram for the collective behavior of hmit-cycle oscillators // Phys. Rev.Lett., 1990, v.65, N 14, P.1701-1704.

48. Matthews P.C., Mirollo R.E., Strogatz S.H., Dynamics of a large system of coupled nonlinear oscillators // Physica D, 1990, v.52, P.293-331.

49. Tass P., Phase and frequency shifts in a population of phase oscillators // Phys. Rev. E, 1997, v.56, N 2, P.2043-2060.

50. Bonilla L.L., Vicente C.J. P., Spigler R., Time-periodic phases in populations of nonlinearly coupled oscillators with bimodal frequency distributions//Physica D, 1998, v. 113, pp. 79-97.

51. Yeung M.K. S., Strogatz S.H., Time delay model of coupled oscillators, Phys. Rev. Lett. // 1999, v.82,N 3, P.648-651.

52. Strogatz S.H., From Kuramoto to Crawford: exploring the onset of synchronization in population of coupled oscillators, Phisica D // 2000, v.143, P.1-20.- 141 -

53. Bressloff P.C, Coombes S., Souza В., Dynamics of a ring of pulse-coupled oscillators: group theoretical approach, Phys. Rev. Lett. // 1997 v.79, N 15,P.2791-2794.

54. Bressloff P.C., Coombes S., Traveling waves in a chain pulse-coupled oscillators // Phys. Rev. Lett., 1998, v.8O, N 21, P.4815-4818.

55. Pando C.L., Effects of a periodic perturbation on a discrete-time model of coupled oscillators // Phys. Lett. A, 2000, v.273, P.70-79.

56. Рабинович М.И., Сущик М.М. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости // УФН, 1990, т. 160, N 1. 1

57. Арансон И.С, Ганонов-Грехов А.В.,Рабинович М.И. Развитие хаоса в ансамблях динамических структур // ЖЭТФ, 1985, Т.89, 92

58. Matias М.А., Perez-Munuzuri V., Marino LP., Lorenzo M.N., Perez-Villar V., Size instabilities in ring of chaotic synchronized systems // Europhys.1.ett., 1997, V.37, N 6, P.379-384.

59. Matias M.A., Guemez J., Perez-Munuzuri V., Marino LP., Lorenzo M.N., Perez-Villar V., Observation of a fast rotating wave in rings of coupled chaoticoscillators // Phys. Rev. Lett.,1997, v. 78, N 2, P.219-222.

60. Marino LP., Perez-Munuzuri V., Perez-Villar V., Sanchez E., Mat M.A., Interaction of chaotic rotating waves in coupled rings of chaotic cells //Physica D, 2000, v.l28, P.224-235.

61. Hu G., Zhang Y., Cerdeira H.A., Chen S., From low-dimensional synchronous chaos to high-dimensional desynchronous spatiotemporal chaos in coupledsystems // Phys. Rev. Lett., 2000. v. 85, N 16, P. 3377-3380.

62. Astakhov V.V., Bezruchko B.P., Gulyaev Y.P., Seleznev E.P., Multistable states in dissipativelly coupled Feigenbaum systems // Journal of TechnicalPhysics Letters, 1989, v.l5, N 3, P.60-65.- 142-

63. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Vadivasova Т.Е., Sosnovtzeva O.V., Wu C.W., Chua L., Dynamics of two coupled Chua's circuits, Int. Journal ofBifurcation and Chaos // v.5, N 6, P.1677-1699.

64. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Spatial chaos in a chain of coupled bistable oscillators // Phys. Rev. Lett., 1995, V.74,N 24, P.4819-4822.

65. Fisher D.S., Sliding charge-density waves as a dynamic critical phenomenon // Phys. Rev. B, 1985, v. 31, P.1396-1427.

66. Perez-Munuzuri A., Perez-Munuzuri V., Perez-Villar V., Chua L.O., Spiral Waves on 2-D array of nonlinear circuits // IEEE Transcations on circuitsand systems - I: Fundamental Theory and Applications, 1993, V.40, N 11,R872-877

67. Alexeyev A.A., Osipov G.V., Shalfeev V.D., Effects of square - wave modulation on CNN patterns // IEEE Transactions on Circuits and Systems-1 : Fundamental Theory and Applications, 1995, V.42, N.IO, P.700 -704.

68. M. Komuro, L.O. Chua, and A. Hotta, Clobal bifurcation analysis in double scroll circuit // Int. J. Bifur. Chaos, 1991, N 1, 139-182

69. R. N. Madan, Chua's circuit : a paradigm for chaos. World Scientific, Singapore

70. Fujisaka H., Yamada Т., Stability theory of synchronized motion in coupled- oscillator systems // Progr. of Theor. Physics, 1983, v.69,P.32-47.

71. Inoue M., Kawazoe Т., Nishi Y., Nagadome M., Generalized synchronization and partial synchronization in coupled maps // Phys. Lett. A, 1998, v.249,P.69-74

72. Ashvin P., Buescu J., Stewart I., Bubbling of attractors and synchronization of chaotic oscillators // Phys. Lett. A, 1994, N 193, P.126-139.

73. Lai Y.-C, Grebogi C, Yorke J.A., Venkata'ramani S.C., Riddling bifurcation in chaotic dynamical systems // Phys. Rev. Lett, 1996, v. 77, N 1, pp. 55-58.

74. Astakhov V.V., Shabunin A.V., Anishchenko V.S., Mechanisms of chaotic synchronization destruction in coupled cubic maps system // AppliedNonlinear Dynamics, 1999, v.7, N 2, P.3-11.

75. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak Т., Anishchenko V., Loss of chaos synchronization through the sequence of bifurcations of saddle periodic orbits// Phys. Rev. Lett., 1997, V.79, P.1014-1017.

76. Astakhov V., Hasler M., Kapitaniak Т., Shabunin A., Anishchenko V., Effect of parameter mismatch on the mechanism of chaos synchronization loss incoupled systems // Phys. Rev. E, 1998, V.58, P.5620-5628.

77. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Nikolaev V.V., Shabunin A.V. Chaotic synchronization in a network of symmetrically coupled oscillators // Journalof Communications Technology and Electronics, 2000, v.45, N 2, P.179-185.

78. Komuro M., Tokunaga R., Matsumoto Т., Chua L.O., Hotta A., Global bifurcation analysis of the double scroll circuit // Int. J. of Bifurcation andChaos, 1991, v.l, N 1, P.139-182.

79. Astakhov V.V., Shabunin A.V., Silchenko A.N., Strelkova G.L, Anishchenko V.S., Nonlinear dynamics of two coupled via capacity Chua's circuits //Journal of Communications Technology and Electronics, 1997, v.42, N 3,P.320-327.- 144-

80. Heagy J.F., Carroll T.L., Pecora L.M., Synchronous chaos in coupled oscillator systems // Phys. Rev. E, 1994, v.5O, N 3, P. 1874-1884.

81. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J., From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett., 1997, v.78,P.4193-4196.

82. Rulkov N.F., Sushchik M., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I., Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems // Phys.Rev. E, 1995, v. 51, N 2, P. 980-994.

83. Kuramoto Y., Nishikava I., Statistical macrodynamics of large dynamical system. Case of plane transition in oscillator communities // J. Stat. Phys.,1987, V.49, P.569-605.

84. Mormann F., Lehertz K., David P., Elger C.E., Mean phase coherence as a measure for phase synchronization and its application to the EEG of epilepsypatients // Physica D, 2000, v.l44, P.358-369.

85. Gaponov -Grekhov A.V., Rabinovich M.I. Dynamic chaos in ensembles of structures and spatial development of turbulence in unbounded systems //ed. by W. Ebeling, N.Y.: Springer, 1986.

86. Afraimovich V.S., Nekorkin V.I., Osipov G.V., and Shalfeev V.D. Stability, Structure and Chaos in Nonlinear Synchronization Networks.-World Scientific, Singapore, 1994

87. Костин И.К., Романовский Ю.М. Флуктуации в системах многих связан- ных генераторов // Вестник МГУ, Сер. физ. и астр., 1972, Т.13, стр.698-705.

88. Aizawa У. Synergetic approach to the phenomena of mode-locking in nonlinear systems // Progr. Theor. Phys., 1976, V.56, N 3, P.703-716.- 1 4 5 -

89. Kuramoto Y. Cooperative Dynamics of Oscillator Community // Progr. Theor. Phys., 1984, Vol.79, P.212-240.

90. Ermentrout G.B., Kopell N. Frequency plateaus in a chain of weakly coupled oscillators // SIAM J. Math. Ann, 1984, V.15, P.215-237.

91. Yamaguchi Y., Shimizu H. Theory of self-synchronization in the presence of native frequency distribution and external noises // Physica D, 1984, V.ll,P.212-226.

92. Sakaguchi H., Shinomoto S., Kuramoto Y. Local and global self-entrainments in oscillator lattices // Progr. Theor. Phys., 1987, Vol.77, R1005-1010.

93. Strogatz S.H., Mirollo R.E. Phase-locking and critical phenomena in lattices of coupled nonlinear oscillators with random intrinsic frequencies // PhysicaD, 1988, V.31, P.143-168.

94. Strogatz S.H., Mirollo R.E. Collectiv synchronization in lattices of nonlinear oscillators with randomness // J. Phys. A, 1988, V.21, P.L699-L705.

95. Афраймович B.C., Некоркин В.И. Устойчивые состояния в цепочечных моделях неограниченных неравновесных сред // Матем. моделирование,1992, Т.4, N 1, 83-95.

96. Osipov G.V., Sushchik М.М. Synchronized clusters and multistability in arrays of oscillators with different natural frequencies // Phys. Rev. E, 1998,Vol.58, N6, P.7198-7207. .

97. Анищенко B.C., Арансон И.С, Постнов Д.Э., Рабинович М.И. Простран- ственная синхронизация и бифуркации развития хаоса в цепочке связан-ных генераторов // ДАН СССР, 1986, Т.286, N5. 1120-1124.

98. Астахов В.В., Везручко В.П., Пономаренко В.И. Формирование муль- тистабильности , классификация изомеров и их эволюция в связанных- 146-фейгенбаумовских системах // Изв. вузов. Радиофизика, 1991. Т.34, N1.С.35-39.

99. Кузнецов А.П., Кузнецов СП. Критическая динамика решеток связан- ных отображений у порога хаоса // Изв. вузов. Радиофизика, 1991, Т.34,N 10-12. 1079-1115.

100. Капеко К. Clustering, coding, switching, hierarchal ordering and control in a network of chaotic elements // Physica D, 1990, Vol.41, P.137-172.

101. Braiman Y., Ditto W.L.,Wiesenfeld K., Spano M.L. Disorder-enhanced synchronization // Phys. Lett A, 1995, V 206, P.54-60.

102. Kocarev L., Parlitz U. Synchronizing spatiotemporal chaos in coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. Lett., 1996, V.77, N 11, P.2206-2209.

103. Osipov G.V., Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical Rossler oscillators // Phys.Rev. E, 1997, V. 55, P.2353-2361.

104. Pecora L.M. Synchronization conditions and desynchronizing patterns in coupled limit-cycle and chaotic systems // Phys. Rev.E, 1998, V.58, N 1,P.347-360.

105. Фомин А.И., Вадивасова Т.Е., Сосновцева О.В., Анищенко B.C. Вы- нужденная фазовая синхронизация цепочки хаотических осцилляторов// Изв. вузов. ПНД., 2000, Т.8, N 4, 103-112.

106. Lindner J.F., Chandramouli S., Bulsara A.R., Locher M., Ditto W.L. Noise enhanced propagation // Phys. Rev. Lett., 1998, Vbl.81, N 23, P.5048-5051.

107. Neiman A., Schimansky-Geier L., Cornell-Bell A., Moss F. Noise-enhanced synchronization in excitable media // Phys. Rev. Lett., 1999, Vbl.83, N 23,P.4896-4899.- 147-

108. Locher М., Cigna D., Hunt E.R. Noise sustained propagation of a signal in coupled bistable electronic elements // Phys. Rev. Lett., 1998, Vbl.8O, N 23,P.5212-5215.

109. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. - М: Наука, 1990.

110. Elphick Ch., Hagberg А., Meron Е. Phase front instability in periodically forced oscillatory systems // Phys. Rev. Lett., 1998, V.80, N 22. P.5007-5010.

111. Boccaletti S., Bragard J., Arecchi F.T. Controlling and synchronizing space time chaos // Phys. Rev. E., 1999, V.59, N 6, P.6574-6578.

112. Chate H, Pikovsky A. and Rudzick O., Forcing oscillatory media: phase kinks vs. synchronization // Physica D, 1999, V.131, P.17-30.

113. Junge L., Parlitz U. Synchronization and control of coupled Ginzburg- 1.andau equations using local coupling // Phys. Rev. E, 2000, V.61, N 4,P.3736-3642.

114. Park H-K. Frequency locking in spatially extended systems // Phys. Rev. 1.ett., 2001, V.86, N 6, P.1130-1133.

115. Ermentrout C.B., Troy W.C. Phase locking in a reaction-diffusion system with a linear frequency gradient // SIAM J. Appl. Math., 1986, V.39, P.623-660.- 148-

116. Осипов Г.В., Сущик М.М. Синхронизация и управление в цепочках свя- занных автогенераторов // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика - син-хронизация и хаос - П. 1997. 5-23.

117. Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I., Anishchenko V.S. Phase - frequency synchronization in a chain of periodic oscillators in the presence of noiseand harmonic forcings // Phys. Rev. E, 2001, V.63, P.036225.

118. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Velarde M.G. Clustering in a chain of bistable nonisochronous oscillators // Phys. Rev. E, 1998, V.58, N 5, P.5742-5747.

119. Sosnovtseva O.V., Fomin A.A., Postnov D.E., Anishchenko V.S. Clustering of noise-induced oscillations // Phys. Rev. E, 2001, V.64, P.026204.

120. Coullet P.,Gil L. and Lega J. Defect-mediated turbulence // Phys.Rev.Lett., 1989, V.62, P.1619-1622.

121. Gil L. Space and time intermittency behaviour of a one-dimensional complex Ginzburg-Landau equation // Nonlinearity, 1991, N 4, P.1213-1222.

122. Shraiman B. I., Pumir A., Van Saarlos W., Hohenberg P. C, Chate H. and Holen M. Spatiotemporal chaos in the one-dimensional complex Ginzburg-1.andau equation // Physica D, 1992, V.57, P.241-248.

123. Bazhenov M.V., Rabinovich M.I., and Fabrikant. A.L. The amplitude - phase turbulence transition in a Ginzburg-Landau model as a criticalphenomenon // Phys.Lett.A., 1992, V.163, P.87-94.

124. Chate H. Spatiotemporal intermittency regimes of the one-dimensional complex Ginzburg-Landau equation // Nonlinearity, 1994, V.7, P. 185-204.

125. N.E. Diamant, P.K. Rose, and E.J. Davidson. Computer simulation of intestinal slow-wave frequency gradient. // Amer. J. Physiol., 1970, V.219,P.1684.- 149-

126. L, Junge and U. Parlitz. Phase synchronization of coupled Ginzburg-Landau equation // Phys. Rev. E, 2000, V.62, R438.

127. L. Kocarev, Z, Tasev, U. Parlitz. Synchronizing Spatiotemporal Chaos of Partial Differential Equations // Phys. Rev. Lett., 1997, V.79, P.51.

128. V.B. Kazantsev, V.I. Nekorkin, D.V. Artyuhin, and M.G. Velarde. Synchronization, re-entry, and failure of spiral waves in a two-layer discreteexcitable system // Phys. Rev. E, 2001, V.63, P.016212.

129. Afraimovich, V.S., Shilnikov, L.P. Strange attractors and quasiattractors, in Nonlinear Dynamics and Turbulence, 1983, (ed. by G.I.Barenblatt, G.Iooss,D.D.Joseph, Pitman, Boston, London, Melbourne), 1-34.

130. Anishchenko, V.S., Aranson, LS., Postnov, D.E., Rabinovich, M.L Spatial synchronization and chaos developement bifurcations in a chain of coupledself-sustained oscillators," Докл. Акад. Наук СССР, 1986, 286(5), 1120-1124.

131. Anishchenko, V.S. Dynamical chaos - models and experiments (World Scientific, 1995, Singapore).

132. Anishchenko, V.S., Vadivasova, Т.Е., Okrokvertskhov, G.A., Kurtz, J., Strelkova, G.L Correlation analysis of dynamical chaos // Physica A, 2003,V.325, P.199-212.

133. Anishchenko, V.S., Vadivasova,T.E.,Kurtz, J., Okrokvertskhov G.A., Strelkova, G.L Autocorrelation function and spectral linewidth of spiral chaosin a physical experiment // Phys. Rev. E, 2004, V.69, P.036215.

134. Anishchenko, V.S., Vadivasova, Т.Е., Strelkova, G.L Instantaneous phase method in stadying chaotic and stochastic oscillations and its limitations //Fluct. Noise Lett., 2004, V.4, P.219-229.

135. Brandstater, A., Swift, J., Swinny, H.L., Wolf A. Low-dimensional chaos in a hidrodinamic System, // Phys. Rev. Lett., 1983, V.5, N 16, P.1442-1445.- 150 -

136. Diamant, N.E., Rose, P.K., Davidson, E.J. Computer simulation of intestinal slow-wave frequency gradient // Am. J. PhysioL, 1970, V.219, P.1684-1690.

137. Gollub, J.P., Benson, S.V. Many routs to turbulent convection // J. Fluid Mech., 1980, V.IOO, N 3, P.449-470.

138. Linkens, D.A., Satardina, S. Frequency entraiment of coupled Hodgkin- Huxley - type oscillators for modeling gastro-intestinal electrical activity //IEEE Trans. Biomed. Engn., 1977, BME-24, P.362-365.

139. Malreison, В., Atten, P., Brege, P., Dubois, M. Dimension of strange attractors: an experimental determination for the chaos regime of twoconvective systems // J. Physique Letters, 1983, V.44, N 22, P.897-902.

140. Noak, B.R., Ohle, F., Eckelman, H. [1991] cell formation in vortex streets // J. Fluid Mech., 1991, V.227, P.293-308.

141. Ruelle, D., Takens F. the nature of turbulence // Commun. Math. Phys. 1971, V.20, P.167-192.

142. Sakaguchi, H., Shinomoto, S., Kuramoto, Y. Local and global self- entrainments in oscillator lattices // Progr. Theor. Phys., 1978, V.77, P.1005-1010.

143. Sarna, S.K., Daniel, E.E., Kingma, J.J. Simulation of the electric - control activity of the stomach by an array of relaxation oscillators // DigestiveDiseases, 1972, V.17, P.299-310.

144. Shilnikov, L.P. Mathematical problems of nonlinear dynamics: a tutorial // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1997, V7, N 9, P.1953-2001.

145. Shraiman B.I., Pumir A., Van Saarlos W., Hohenberg P.C., Chate, H., Holen, M. Spatiotemporal chaos in the one-dimensional complex Ginzburg-1.andau equation // Physica D, 1992, V.57, P.241-248.- 151-

146. Strogatz, S.H., Mirollo, R.E. Phase-locking and critical phenomena in lattices of coupled nonlinear oscillators with random intrinsic frequencies //Physica D, 1988, V.31, P.143-168.

147. Swinney, H.L., Fenstermocher, P.B., Gollub J.P. Transition to turbulence in a fluid flow. Sinergetics /Ed. Y. Haken (Springer, Berlin), 60-65.

148. Vadivasova, Т.Е., Strelkova, G.I., Anishchenko, V.S. Phase - frequency synchronization in a chain of periodic oscillators in the presence of noiseand harmonic forcings // Phys. Rev. E, 2001, V.63, P.036225.

149. Winfree, A.T. The geometry of biological time (Springer, New York).

150. Wolf, A., Swift, J.B., Swinney, H.L., Vastano, J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D, 1985, V.16, P.285-317.

151. Yamaguchi Y., Shimizu H. Theory of self-synchronization in the presence of native frequency distribution and external noises // Physica D, 1984, V.ll,P.212-226.

152. Fitzhugh R. Impulses and physiological states in models of nerve membrane // Biophys. J., 1961, V.I. N 5. P.445 - 466.

153. Marchant J., Callamaras N., Parker I. Initiation of IP3-mediated Ca2+ waves in Xenopus oocytes.// EMBO J., 1999, V.18. N 19. P.5285 - 5299

154. Llano I., Gonzalez J., Caputo G., Lai F.A., Blayney L.M., Tan Y.P., Marty A. Presynaptic calcium stores underlie large-amplitude miniature IPSGs andspontaneous calcium transients // Nat. Neurosci., 2000, V.3, N 12, P.1256-1265.i

155. Ланда Il.G., Заикин A.A. Шумоиндуцированные фазовые переходы в простых системах // ЖЭТФ. 1997. Т. 111. G.358-364

156. Smelyanskiy V.N., Dykman M.I.,Optimal control of large fluctuations // Phys. Rev. E, 1997, V.55. N.3. P.2516-2521.- 152-

157. Хорстемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. Мир, 1987.

158. Анищенко B.C., Нейман А.Б.,Мосс Ф., Шиманский-Гайер Л. Стохасти- ческий резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения стене-ни норядка // УФН, 1999, Т.169, N 1. 7-39

159. Jung Р., Mayer-Kress Noise Controlled Spiral Crowth in Excitable Media // Chaos, 1995, V.5, P.458.

160. Sendina-Nadal I., Minuzuri A., Vives D., Perez-Minuzuri V., Casademunt J, Ramirez-Piscina L., Sancho J.M., Sagues F. Wave Propagation in a Mediumwith Disordered Excitability // Phys. Rev. Lett. 1998, V.80, P.5437.

161. Kadar S.,Wang J., Showalter K. Noise Supported Traveling Waves in Subexcitable Media // Nature, 391, P.770-771.

162. Alonso S., Sendina-Nadal I., Perez-Minuzuri V., Sancho J.M., Sagues F. Regular Wave Propagation Out of Noise in Chemical Active Media // Phys.Rev. Lett., 2001, V.87, P.078302

163. Carcia-Ojalvo J., Lacasta A. M., Sagues F. and Sancho J. M. Noise-sustained signal propagation // Europhys. Lett., 2000, V.50, N 4, P.427-433

164. Canavier C.C., Baxter. D.A., Clark J. W-,. Byrne J. H. Control of multistability in ring circuits of oscillators // Biol. Cybern. 1999, V.80, P.87-102.

165. Sancho J.M., Garcia-Ojalvo J. Noise-induced order in extended sysytems: A tutorial Stochastic Processes in Physis, Chemistry, and Biology, Springer2000

166. Mikhailov A.S. Noise-induced phase transition in a biological system with diffusion // Phys. Lett. A, 1979, V.73, N 2, P. 143-144

167. Mikhailov A.S. Effects of diffusion in fluctuating media: A noise-induced phase transition// Z.Phys. B, 1981, V.41, P.277-282.- 153-

168. Garcia-Ojalvo J., Hernandez-Machado A., and Sancho J. M., Effects of External Noise on the Swift-Hohenberg Equation// Phys. Rev. Lett., 1993,V.71, P.1542.

169. Bekker A., Kramer L. Linear Stability Analysis for Bifurcations in Spatially Extended Systems with Fluctuating Control Parameter// Phys,Rev. Lett.,1994, V.73, P.955.

170. Parrondo J.M.R., Van den Broeck C , Buceta J., de la Rubia J., Noise- Induced Spatial Patterns / / Physica A, 1996, V.224, P. 153.

171. Zaikin A.A., Schimansky-Geier L. Spatial patterns induced by additive noise / / Phys. Rev. E, 1998, V.58, P.4355.

172. Van den Broeck C, Parrondo J.M.R. and Toral R. Noise-Induced Nonequilibrium Phase Transition / / Phys. Rev. Lett, 1994, V.73, P.3395.

173. Van den Broeck C, Parrondo J.M.R., Armero J. and Hernandez-Machado A. Mean field model for spatially extended systems in the, presence ofmultiplicative noise / / Phys. Rev. E, 1994, V.49, P.2639.

174. Genovese W., Munoz M.A. and Sancho J.M. Nonequilibrium transitions induced by multiplicative noise / / Phys. Rev. E, 1998, V.57, P.2495.

175. Muller R., Lippert K., Kuhnel A., Behn U. First-order nonequilibrium phase transition in a spatially extended system / / Phys. Rev. E, 1997, V.56, P.2658.

176. Zaikin A.A., Schimansky-Geier L., and Garcia-Ojalvo J. Nonequilibrium first-order phase transition induced by additive noise / / Phys. Rev. E, 1999,V.60, P.6275.

177. Santos M.A. and Sancho J.M. Noise-induced fronts / / Phys. Rev. E, 1999, V.59, P.98.

178. Jung P., Mayer-Kress G. Spatiotemporal stochastic resonance in excitable media / / Phys. Rev. Lett., 1995, V.74, P.2130-2133.- 154-

179. Kadar S., Wang J., Showalter K. Noise-supported traveling waves in sub- excitable media // Nature 1998, V.391, P.770-772.

180. Hempel H., Schimansky-Geier L. and Garcia-Ojalvo J. Noise-Sustained Pulsating Patterns and Global Oscillations in Subexcitable Media //Phys.Rev. Lett., 1999, V.82, P.3713.

181. Panja D. Effect of fluctuations on propagation fronts // Physics Reports, 2004, V.393, P.87-174:

182. Lindner В., Garcia-Ojalvo J., Neiman A., Schimansky-Geier L. Effect of noise in excitable system// Physics Reports, 2004, V.392, P.321-424.

183. Garcia-Ojalvo J.,Sancho J.M. Noise in Spatially Extended Systems, Springer 2000

184. Khovanov L A., Luchinsky D. G., Mannella R., McGlintock P. V. E., Fluctuations and the energy-optimal control of chaos, // Phys. Rev. Lett.,2000, V.85, P.2100-2103.

185. Luchinsky D.G., Beri S., Manella R., McGlintock P.V.E. , Khovanov LA. Optimal fluctuations and the controlof chaos, // International Journal ofBifurcation and Ghaos, 2002, V.12, N 3, P.583-604.

186. Falcke M.Buffers and Oscillations in Intracellular Ga2+ Dynamics // Biophys. J., 2003, V.84, N 1, P.42-56.

187. Horicava Y. Period-doubling bifurcations and chaos in the decremental propagation of a spike train in excitable media // Phys. Rev. E., 1994, V.50,N 2, P.1708-1710.

188. Anishchenko V.S., Herzel H. Noise induced chaos in a system with homoclinic points // ZAMM. V.68(7), P.317 (1988).- 155-ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

189. Акопов А.А., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В., Матюшкин Д.Д. Частич- ная синхронизация в неоднородной автоколебательной среде // Письмав ЖТФ, 2003, том 29, вып. 15.

190. Акопов А.А., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В., Матюшкин Д.Д. Кластер- ная синхронизация в неоднородной автоколебательной среде // Изв. ву-зов. Прикладная нелинейная динамика, 2003, т.11, N 4-5, с. 64-73

191. Shabunin А., Astakhov V., Akopov А. Evolution of running waves to spatio - temporal chaos : interaction of temporal and spatial dynamics in a ring ofperiod - doubling self-oscillators // Izv. VUZ AND, 2003, V.ll, N 3, P.31 -37

192. Хованов И.A., Акопов A.A. Влияние пространственно-временных флук- туации на распространение затухающих импульсов в возбудимой среде// Письма в ЖТФ, 2004, том 30, N П., 7-13

193. Шабунин А.В., Акопов А.А., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Вегущие волны в дискретной ангармонической автоколебательной среде // Изв.вузов Прикладная нелинейная динамика, 2005, т. 13, N 4, 37-55

194. Akopov А., Astakhov V., Vadivasova Т., Shabunin А., Kapitaniak Т. Frequency synchronization of clusters in coupled extended systems // Physics1.etters A, 2005, V.334, P.169-172

195. Anishcenko V.S., Vadivasova Т.Е., Okrokvertskhov G.A., Akopov A.A, Strelkova G.I, Chaotic dynamics of a spatio - inhomogeneous medium //Int. J. Bif. and Chaos, 2005, V.15, N 11, P.3661-3673

196. Anishchenko V.S., Akopov A.A., Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I. Mechanisms of chaos onset in ana inhomogeneous medium under cluster- 156-synchronization destruction // принято к публикации в New Journal ofPhysics, 2006

197. Акопов А. Кластерная синхронизация во взаимодействующих активных средах // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003. Материалынаучной школы - конференции. Саратов, изд-во ГосУНЦ "Колледж 2003,С.179-183.