Пространственный беспорядок и волны в сетях автоколебательных бистабильных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

М--

МАКАРОВ Валерий Анатольевич

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ БЕСПОРЯДОК И ВОЛНЫ В СЕТЯХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ БИСТАБИЛЬНЫХ СИСТЕМ

01.04.03 — Радиофизика

Автореферат

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород, 1997

ПБ ОА

Работа выполнена на радиофизическом факультете Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. И. Некоркин.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, с. н. с. В. П. Пономаренко, кандидат физико-математических наук М. М. Сущик. •

Ведущая организация: ИРЭ РАН (г. Москва).

Защита состоится « »__ 1997 г.

^ часов на заседании диссертационного совета Д 063.77.09 при Ниже-

городском государственном университете им. Н. И. Лобачевского (603600, Н. Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп. 4, а уд. Л^Л).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета. »

Автореферат разослан « » Ф° __ 1997 г.

в

Ученый секретарь диссертационного совета

В. В. Черепенников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На протяжении многих лет изучение коллективного поведения взаимосвязанных автоколебательных систем является актуальной задачей радиофизики. Устойчивый интерес к этой тематике объясняется широким распространением в природе и технике макросистем, которые можно представить в виде совокупности автоколебательных подсистем, объединенных с помощью различного рода связей. Системы, состоящие из сравнительно небольшого числа автоколебательных элементов, в настоящее время изучены достаточно хорошо. Последние годы характеризуются увеличивающимся интересом к исследованию коллективного поведения макросистем, состоящих из большого числа идентичных (или почти идентичных) активных элементов, находящихся в узлах пространственной сети, "ребра" которой соответствуют связям между элементами. С одной стороны, это объясняется тем, что благодаря бурному развитию современных технологий появилось множество объектов, обладающих ярко выраженной сетевой структурой. Например, это - массивы джозефсоновских контактов, решетки лазерных диодов, коллективные системы фазовой синхронизации, энергосети, фазированные антенные решетки и т.д. Кроме того, системы такого типа играют важную роль при моделировании динамики нейронных ансамблей, процессов движения животных и др. С другой стороны, сети активных элементов можно трактовать как пространственно распределенные системы с дискретными пространственными координатами. Следовательно, проблемы изучения коллективного поведения упорядоченных в пространстве ансамблей активных систем тесно переплетаются с проблемами теории нелинейных волн и структур, реализующихся в распределенных системах, которые являются фундаментальными моделями теории неравновесных сред.

До последнего времени, главным образом, изучались сети, состоящие из моностабильных элементов, т.е. подсистем, в фазовом пространстве которых существует единственный элемент притяжения (как правило предельный цикл). Пространственно-временное поведение сетей, состоящих из бистабильных элементов, в настоящее время исследовано сравнительно мало. Особенно это касается случая, когда отдельный элемент, кроме бистабильности, обладает другим важным свойством

- возможностью генерации колебаний. В тоже время, необходимость такого анализа настоятельно диктуется многими практическими задачами. Например, к сетям этого типа относятся некоторые виды оптических систем и полупроводниковых лазеров, электронных схем, биологических систем, описывающих процесс распространения возбуждения, в нервных волокнах и др. Можно ожидать, что свойство бистабильности индивидуальных элементов может существенно повлиять на поведение всей сети и привести к нетривиальным пространственно-временным эффектам, не наблюдаемым в сетях моностабильных систем.

В настоящей работе рассматриваются одномерные и двумерные сети. состоящие из элементов, в фазовом пространстве которых одновременно существуют устойчивый предельный цикл и состояние равновесия, т.е. из автоколебательных бистабильных подсистем, объединяемых с помощью связей диффузионного типа.

Целью диссертационной работы является исследование пространственно-временной динамики сетей, состоящих из взаимосвязанных автоколебательных элементов с жестким режимом возбуждения, анализ влияния бистабильности отдельного элемента на поведение всей макросистемы, изучение возможности распространения волн и реализации пространственного беспорядка, т.е. существования чрезвычайно большого числа устойчивых режимов, амплитуды колебаний которых "случайно" изменяются вдоль пространственных координат.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

В работе исследованы процессы формирования регулярных и беспорядочных пространственных структур в сетях автоколебательных бистабильных элементов, представляющих собой осциллирующие среды. Впервые для систем такого типа обнаружено и описано явление кластерообразования.

Проведенные исследования позволяют дать конкретные практические рекомендации по выбору параметров одномерных и двумерных сетей автогенераторов с жестким режимом возбуждения, обеспечивающих желаемые режимы работы, в частности синхронизацию сетей, существование разнообразных волн и т.д. Результаты диссертации могут быть полезными при формировании синхронных режимов в цепоч-

ках и решетках лазерных диодов, осцилляторных нейронных сетях и других сетях, состоящих из бистабильных автоколебательных элементов. Полученные результаты использованы в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Доказано существование устойчивых беспорядочных в пространстве синфазных колебаний в одномерной и двумерной сетях бистабильных автоколебательных элементов. Показано, что распределение амплитуд колебаний в пространстве находится во взаимно-однозначном соответствии, в случае одномерной сети, с траекториями нелинейного двумерного точечного отображения типа "подкова Смейла", а в случае двумерной сети, с матрицей, состоящей из произвольного набора двух символов.

2. Обнаружено, что процесс формирования синхронных колебаний сопровождается образованием фазовых кластеров (групп соседних элементов, имеющих одинаковые фазы колебаний) и является результатом их взаимодействия. Для одномерной сети, определены закономерности

возникновения фазовых кластеров.

3. В случае одномерной сети с кольцевой геометрией найдены устойчивые пространственно-однородные и пространственно-неоднородные фазовые волны. Установлено, что формирование волн сопровождается образованием локальных "дефектов" на их профиле, что обусловлено бистабильностью элементов сети. Изучено явление конкуренции волн. Для пространственно-однородных волн определена схема переходов между волнами с различными волновыми числами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: Всероссийской конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н.Новгород 1993г.); международной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" (Н.Новгород-Москва-Н.Новгород 1994г.); международных конференциях "Dynamics days" (Будапешт 1994г.), Workshop on "Discretely -Coupled Dynamical Systems" (Santiago de Compostela, Испания 1995г.), "4^ Int. Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (Seville, Испания 1996г.), "Contemporary problems in theory of dynamical systems

(Нижний Новгород 1996г.); 1 нижегородской сессии молодых ученых ("Лазурный", Нижегородская область 1996г.); семинарах кафедры теории колебаний ННГУ; научных конференциях ННГУ (1993г., 1994г., 1995г., 1996г.);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[15].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации составляет 121 страницу. Список литературы включает 121 наименование.

Во Введении дается общая характеристика работы, обсуждается актуальность темы диссертации, анализируется место поставленной задачи среди известных результатов, приводится краткий обзор литературы по данной тематике.

Первая глава посвящена изучению пространственно-временной динамики одномерной сети (цепочки) взаимосвязанных автоколебательных систем с жестким режимом возбуждения, описываемой системой дифференциальных уравнений

В (1) // — малый параметр, <1 - коэффициент, характеризующий связь между элементами цепи, /(х) = ах4-ах2 + 1 - функция, определяющая режим возбуждения отдельного элемента.

При <1 = 0, а > 8 система (1) представляет собой набор идентичных, невзаимодействующих между собой, активных элементов, каждый из которых имеет в фазовом пространстве два аттрактора - устойчивые

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

Хо = #1, Хх+1 = Хм ■

(2)

состояние равновесия и предельный цикл, т.е. систему (1) можно трактовать как одномерную активную дискретную среду "составленную" in автоколебательных элементов с жестким режимом возбуждения.

При d > Ос помощью метода усреднения исходная задача "сведена к изучению укороченных уравнений для амплитуд и фаз колебаний в цепочке

>'j = -F{rj) + Г/-> cos(p;- - 1) - 2rj + i-j+i cos(^+i -^j)),

f \ (3) rj<pj = sm(v?j+i - - ij-i - )J •

Установлено, что система (3) является градиентной, и в фазовом пространстве этой системы все траектории с течением времени стремятся к одному из устойчивых состояний равновесия. Показано, что устойчивые состояния равновесия системы (3) удовлетворяют условию — = const и определяют в одномерной сети (1) синфазные колебания следующего вида

ас,- = 2r*j cos(f + + О(ц). (4)

Установлено, что в цепочке (1) может существовать 2'v — 1 устойчивых режимов фазовой синхронизации вида (4). отличающихся распределением амплитуд колебаний. Распределение амплитуд rj каждого синфазного режима вдоль пространственной координаты j находится во взаимно-однозначном соответствии с траекториями двумерного точечного отображения типа "подкова Смейла". Выделена область параметров Д./, системы (1). для точек которой отображение демонстрирует хаотическое поведение и может быть описано с помощью символической динамики. Это означает, что стационарное распределение амплитуд колебаний г* может быть закодировано последовательностью из двух символов, например 0 п 1. длины Л". Каждой последовательности символов соответствует свое распределение амплитуд колебаний (О соответствует "малой" амплитуде колебаний в соответствующем элементе цепочки, а 1 - "большой"). Следовательно, для больших N распределение амплитуд колебаний вдоль цепочки может быть чрезвычайно разнообразным, как абсолютно регулярным (пространственно-однородным, периодическим и т.д.), так и беспорядочным.

Обнаружено, что процесс фазовой синхронизации сопровождается образованием фазовых кластеров. Установлено, что их количество и

местоположение в цепочке существенно зависят от начальных условий, задающих распределение амплитуд колебаний. Если начальные условия таковы, что в сети устанавливается однородное распределение амплитуд колебаний (соответствующее последовательности символов (1.1,----1)). то образуется один кластер, в который входят все

элементы цепочки. Такое поведение сходно с процессом синхронизации колебаний в одномерных сетях, состоящих из моностабильных элементов.

Образование более одного кластера возможно лишь при условии неоднородного распределения амплитуд колебаний, т.е. кластерообразо-вание вызвано бистабильностью элементов, входящих в сеть. Причем,

1,4 1,2 1.0 0,80.60,4 0,2-о.о

5 10 15 20 25 30

5 10 15 20 25 30

3 3

(а) (б)

Рис. 1: Формирование трех фазовых кластеров в одномерной сети из 30 элементов: (а) - установившееся распределение амплитуд колебаний, соответствующее образованию кластеров: (б) - распределение фаз колебаний.

"деление" цепочки на кластеры происходит в местах "провалов" амплитудного распределения, т.е. в областях, соответствующих наличию нулей в символической записи состояния сети, которые соответствуют существованию колебаний с малой амплитудой в данном месте сети. Кроме того, для "деления" необходимо, чтобы "провал" состоял более чем из одного элемента и не располагался на границе сети (см. рис. 1).

Во второй главе проведено исследование одномерной сети (1) с кольцевой геометрией. В этом случае, граничные условия имеют вид

= •'■7+Л'-

Установлено, что в системе (1) с граничными условиями (5) существуют все динамические режимы (пространственный хаос, кла-стерообразование), описанные в главе 1. Однако, кроме них, благодаря периодичности граничных условии, возможен другой тип синхронных движений - это так называемые фазовые волны. Фазовыми волнами принято называть движения вида (4), у которых величина ^ не является постоянной, а меняется на постоянную величину ~ д'", где т = 1,2,... .И — 1 при переходе от одного элемента сети к другому. Такие движения имеют форму бегущих волн и т можно трактовать как волновое число.

Установлено, что в одномерной дискретной среде, описываемой системой (1), (5), могут распространятся фазовые волны двух типов:

1. Пространственно-однородные фазовые волны

.Г;=2/зсон(Г+^;)+0(//). (С)

где

„ , 2жт

1 + , 1 - - 1 +2г/(1 - сое

а \ N

2. Пространственно-неоднородные (пространственно-модулированные) фазовые волны

2пт .. . Г р1, если = 2к +1

*,=2р,-со8(4+— гдед = | ^ ^^^^ (7)

Здесь , рг - константы, зависящие от параметров системы и волнового числа т. На рис. 2 приведена типичная пространственно-временная диаграмма, иллюстрирующая процесс распространения пространственно-неоднородной фазовой волны. Для обоих типов волн найдены

области существования и устойчивости. Установлено, что область существования устойчивых пространственно - однородных фазовых волн

монотонно уменьшается с Л- . А. <г» ростом волнового числа ш,

л г

Рис. 2: Распространение пространствен- устойчивости, а затем, при но-неоднородной фазовой волны с т = 3. некотором т*, эта область

чески до нуля.

Возможность одновременного существования в фазовом пространстве системы (1), (5) нескольких устойчивых решений, соответствующих волнам как одного и того же типа, так и разных типов (области устойчивости решений перекрываются), приводит к "конкуренции'1 между ними. Обнаружено, что при квазистатическом изменении параметра связи <].. после потерн устойчивости пространственно-однородной волны с волновым числом т, в кольце образуется "дефект", выражающийся в локальном нарушении симметрии пространственного распределения амплитуд н фаз колебаний. Динамика "дефекта" такова, что по истечении переходных процессов устанавливается пространственно-однородная волна с волновым числом (пг — 1). При дальнейшем изменении параметра связи (I этот процесс продолжается до тех пор пока в системе не установятся синхронные пространственно-однородные колебания ("волна" с волновым числом т = 0). Таким образом, этот процесс можно описать схемой гп/1Ш —> (т — ^ьт-1 Иными словами, при потере устойчивости пространственно-однородной волны, более "конкурентоспособной" оказывается волна с волновым числом на еди-

' Здесь т/пп (т,„) обозначают пространственно-однородную (пространственно-неоднородную) волну с волновым числом т.

и для т > фазовые волны первого типа становятся неустойчивыми во всей области параметров. Для пространственно - неоднородных фазовых волн при увеличении волнового числа т сначала наблюдается увеличение области

N

5 10 15 20 25 30 35 40

]

резко уменьшается практи-

ннцу меньшим. Если в качестве исходных выбрать пространственно-неоднородные фазовые волны, то картина переходов становится более сложной. В эксперименте обнаружены следующие переходы:—> О/,,,,,

3;» —> 1/,,». 2—> 0/„„. 1,„ —> 1/„„. 0,„ —» 0/„„.

В третьей главе приведены результаты исследования двумерной сети в виде квадратной решетки, состоящей из взаимосвязанных бнста-бнльных автоколебательных элементов, которая описывается системой уравнений следующего вида

i'-д + J-jî = - - </(!•>_u + ij+u-b

+ij-t_i + .i>+, -4jj/t)), (8)

с граничными условиями

¿Ofc — ¿lb ¿JV+lfc = -i'A'fc. -tjo = ¿jl< -i'jA'+l — Xjlf- (9)

Исследованы режимы фазовой синхронизации в системе (8). (9}. имеющие вид

xjk=2rjkcos(t+J) + 0(ft). (10)

где - произвольная константа, а /'д. удовлетворяют системе укороченных уравнений. Путем построения в фазовом пространстве Кл ~ усредненной системы инвариантных областей установлено, что для значений параметров из области Д./, система (8). (0) имеет 2Л~ — 1 устойчивых синхронных движений вида (10). Область Dci, имеет вид

DCh '■ v' < mill

''max) 4/'mm

где F(r) = 2я)"г> — ar3 + r,. a rm;n, rmax и гз - абсциссы минимума, максимума и наибольшего нуля функции F соответственно. Показано, что любой матрице (яд-) размером Л" х Л*, состоящей in произвольного набора двух символов (например 0 и 1). соответствует одно из устойчивых состояний равновесия усредненной системы, находящееся внутри пересечения инвариантных областей. Равенство нулю элемента матрицы ajk соответствует "малой" амплитуде колебаний

(В) (г)

Рис. 3: (а) - абсолютно регулярная периодическая структура, (б) - соответствующий ей пространственный спектр; (в) - беспорядочная структура, (г) - ее пространственный спектр.

элемента сети с индексом )к. единица соответствует "большой" амплитуде колебаний. Это означает, что любое пространственное распределение амплитуд устойчивых синфазных колебаний может быть закодировано с помощью N х Л" матрицы из нулей и единиц. Поэтому при больших N распределение амплитуд колебаний в сети может быть чрезвычайно разнообразным, от простейшего - абсолютно регулярного (пространственно-однородного, периодического и т.д.), до полностью беспорядочного (случайного). Два примера такой динамики приведены на рис. 3. где интенсивность закрашивания пропорциональна амплитуде колебаний в данном элементе решетки.

Обнаружено, что процесс установления синфазных движений сопровождается образованием фазовых кластеров. Поскольку рассматриваемая система является двумерной, процессы кластерообразования являются существенно более сложными, чем аналогичные, описанные в главе 1. В частности, в отличии от одномерной сети, в решетке могут реа-лизовываться стационарные кластерные структуры, имеющие весьма замысловатую форму. Причем, границы кластеров могут проходить через элементы сети, несоответствующие "провалам" в амплитудном распределении.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В настоящей диссертационной работе проведенно исследование пространственно-временной динамики одномерной и двумерной сетей взаимосвязанных автоколебательных элементов с жестким режимом возбуждения. Наиболее важными представляются следующие результаты:

1. Для одномерной сети найдена область параметров Д./,, для точек которой система демонстрирует высокую мультистабильность. Существует 2Л — 1 устойчивых синфазных движений, отличающихся распределением амплитуд колебаний вдоль пространственной координаты ]. Дано строгое математическое описание всех возможных вариантов распределения амплитуд колебаний в сети.

2. Установлена возможность реализации как упорядоченных, так и беспорядочных профилей распределения амплитуд колебаний. Обнаружена высокая чувствительность амплитудных распределений к выбору начальных условий.

3. Обнаружено, что процесс синхронизации сопровождается образованием фазовых кластеров. Установлено, что количество и местоположение фазовых кластеров существенно зависит от динамики амплитуд. Образование более одного кластера возможно лишь при условии неоднородного распределения амплитуд колебаний, т.е. кластерообразова-ние непосредственно связано с бистабильностью элементов, входящих в сеть. "Деление" одномерной сети на кластеры происходит в местах "провалов" амплитуды колебаний в случае, если "провал" состоит более чем из одного элемента и не располагается на границе сети.

4. Установлено, что в одномерной сети с кольцевой геометрией могут распространятся фазовые волны двух типов — пространственно-однородные (с постоянной амплитудой колебаний вдоль цепочки) и пространственно-неоднородные (амплитуда колебаний зависит от номера элемента). Для обоих типов волн найдены области существования и устойчивости. Построены графики зависимости критического коэффициента связи от волнового числа.

5. Обнаружены пространственно-неоднородные фазовые волны, которые не существуют в рамках соответствующей континуальной модели. Их наличие в кольце неразрывно связано с дискретностью пространственной координаты и бистабильностью элемента среды.

6. Исследовано явление конкуренции волн как внутри одного класса, так и между волнами различных типов. Определены направления возможных переходов между волнами. Для пространственно-однородных волн найдена схема, переходов от одной волны к другой. Установлено, что этот процесс может быть описан схемой ш/,т —> (тп — 1)/,т, т.е. при потере устойчивости одной волны рождается волна с волновым числом на единицу меньшим. Обнаружено, что процесс перехода связан с образованием локального дефекта пространственного распределения амплитуд и фаз колебаний.

7. Исследованы режимы фазовой синхронизации в двумерной сети бистабильных автоколебательных элементов. Определена область параметров, соответствующая одновременному существованию — 1

устойчивых режимов синхронизации. Показано, что распределение амплитуд колебаний в сети может быть закодировано наперед заданной матрицей размера N х N1 состоящей из произвольного набора двух символов. Обнаружено, что режимы фазовой синхронизации устана- -вливаются через образование фазовых кластеров, возникающих из-за бистабильности элементов сети.

8. Показана возможность реализации стационарных кластерных структур распределения фаз колебаний.

Установленные в работе закономерности динамики нелинейных сетей, состоящих из большого числа активных элементов, позволяют фактически формировать сети с заданными пространственно-временными свойствами. Это принципиально важно при построении сстей автогенераторов, работающих на общую нагрузку, сетей полупроводниковых лазеров с внешними резонаторами, систем распознавания образов и др. Обнаруженные в работе динамические свойства сетей представляются достаточно общими и, по-видимому, характерными для многих сетей взаимосвязанных бистабильных автоколебательных элементов.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Макаров В.А. Пространственно -временная динамика цепочки связанных генераторов // Тез. докл. Научной конф. по радиофизике, Н.Новгород. 1993. С. 78-79.

[2] Макаров В.А. Пространственно-временная динамика одномерной цепочки генераторов // Тез. докл. III конф. Нелинейные колебания

механических систем, Н.Новгород. 1993. С. 130.

[3] Макаров В.А. О пространственно-временных колебаниях в цепочке диффузионно связанных генераторов Ван-дер-Поля // Тез. докл. Научной конф. по радиофизике, Н.Новгород. 1994. С. 104.

[4] Макаров В.А. Некоркин В.И. Пространственно-временная динамика цепочки автоколебательных элементов // Изв. ВУЗов ПНД Т. 2, N. 2. 1994. С. 3-9.

[5] Nekorkin V.I., Makarov V.A. Clustering and synchronization in a chain of bistable oscillators // Abstr. of the Second Int. Scientific School-Seminar Dynamic and stochastic wave phenomena, N.Novgorod. 1994. P. 97.

[6] Nekorkin V.I., Makarov V.A. Spatial chaos in a chain of coupled bistable oscillators // Physical Review Letters. 1995. Vol. 74, N. 24. PP. 4819-4822.

[7] Макаров В.А. Волны в кольцевой цепочке бистабильных элементов // Тез. докл. Юбилейной научной конф. по радиофизике, Н.Новгород. 1995. С. 47.

[8] Nekorkin V.I., Makarov V.A., Velarde V.G. Spatial disorder and waves in a ring chain of bistable oscillators // Int. Journal of Bifurcation and Chaos. 1996. Vol.6, No. 10. P. 1845-1858.

[9] Макаров B.A. Фазовые кластеры в цепочке бистабильных осцилляторов с локальными связями // Современные проблемы радиофизики. Сб. научных трудов / Под ред. А.В. Якимова, Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1996. С. 94-99.

[10] Некоркин В.И., Макаров В.А., Казанцев В.Б. Пространственный беспорядок в решетках связанных бистабильных систем // Вестник Нижегородского гос. ун-та. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос / Под ред. М.И. Рабиновича, Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1996. С. 61-76.

[11] Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B., Velarde V.G. Ordered and Spatially Chaotic Patterns in Lattice Electronic Systems // NDES'96 Proc. of Fourth Int. Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, Seville, Spain. 1996. PP. 207-212.

[12] Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B Patterns and Wave Fronts in Gradient Lattice Systems // Abstr. of Int. Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems, N.Novgorod, Russia. 1996. P. 41.

[13] Воронин M.JI., Макаров B.A. Бегущие волны в кольцевой цепочке взаимосвязанных лазеров // Тез. докл. Научной конф. по радиофизике, Н.Новгород. 1996. С. 27.

[14] Макаров В.А. Пространственно-временная динамика сетей взаимосвязанных бистабильных осцилляторов // Тез. докл. Научной конф. по радиофизике, Н.Новгород. 1996. С. 35-36.

[15] Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Spatial disorder and pattern formation in lattices of coupled bistable elements // Physica D. 1997. No. 100. PP. 330-342.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

Глава 1. Пространственно-временная динамика одномерной сети автоколебательных элементов с жестким режимом возбуждения

1.1. Введение 1.2. Усредненная система 1.3. Пространственный беспорядок 1.4. Динамика амплитуд и фазовые кластеры 1.5. Выводы

Глава 2. Фазовые волны в кольцевой цепочке автоколебательных элементов с жестким режимом возбуждения 2.1. Введение 2.2. Пространственно-однородные фазовые волны 2.3. Пространственно-неоднородные фазовые волны 2.4. Длинноволновый предел 2.4. Конкуренция волн 2.5. Выводы

Глава 3. Пространственно-временная динамика двумерной сети взаимосвязанных бистабильных автоколебательных элементов

3.1. Введение 3.2. Режимы фазовой синхронизации 3.3. Численные эксперименты 3.4. Выводы

Заключение

Библиография