Пространственно-неоднородная регулярная и хаотическая динамика в цепочках автогенераторов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение

1 Периодическая синхронизация пространственного беспорядка

1.1 Введение

1.2 Модель

1.3 Периодическая динамика пространственного беспорядка

1.3.1 Область устойчивого существования.

1.3.2 Свойства.

1.3.3 Переход к пространственно-временному хаосу

1.4 Грубость периодического режима.

1.4.1 Структурная устойчивость.

1.4.2 Синхронизация беспорядка в неодномерной среде

1.5 Выводы.

2 Регулярная динамика пространственного беспорядка в цепочках хаотических автогенераторов

2.1 Введение

2.2 Регуляризация колебаний на фоне пространственного беспорядка.

2.2.1 Цепочки хаотических электронных генераторов

2.2.2 Цепочки периодически возбуждаемых генераторов Ван-дер-Поля — Дюффинга.

2.3 Механизмы регуляризации.

2.3.1 Переход к регулярной динамике через обратные бифуркации удвоения периода.

2.3.2 Регуляризация хаотического режима с нетривиальной пространственной структурой.

2.4 Выводы.

3 Динамика случайно неоднородных цепочек автогенераторов

3.1 Введение

3.2 Модель

3.3 Синхронизация в неоднородной цепочке со случайным разбросом параметров.

3.3.1 Численные эксперименты.

3.3.2 Фазовое приближение.

3.4 Вымирание автоколебаний в неоднородной цепочке со случайным разбросом параметров.

3.4.1 Численные эксперименты.

3.4.2 Влияние пространственного беспорядка на вымирание автоколебаний.

3.5 Системы неидентичных автоколебательных элементов с произвольными связями

3.5.1 Модели сетей неидентичных нейроподобных осцилляторов

3.5.2 Динамика модельного ансамбля. Сравнение с экспериментом

3.6 Выводы.

Коллективная динамика ансамблей связанных автогенераторов является одним из перспективных направлений современной радиофизики. После того, как был достигнут достаточный уровень понимания физики сосредоточенных нелинейных динамических систем с небольшим числом степеней свободы [1, 2, 3, 4], стало возможным успешно исследовать проблемы динамики ансамблей взаимодействующих активных колебательных систем. Основные вопросы, возникающие при этом, связаны с обнаружением и исследованием тех новых эффектов, к которым может привести определенная пространственная организация ансамбля и пространственные структуры, вводимые через изменения параметров системы в пространстве или формируемые самим ансамблем. Качественной теории таких систем не существует, однако общность задач и моделей в различных физических контекстах, очевидно, приводит к необходимости изучения, не только особенностей конкретных физических процессов, но и типичных для таких систем явлений и эффектов. Среди них — пространственно-временной хаос, структурообразование, синхронизация, регуляризация, вымирание колебаний и проч. При этом и с теоретической, и с практической точек зрения особенно интересны феномены, проявляющиеся на границе образования или исчезновения различных режимов, в частности, на границе хаоса или синхронизации, при сосуществовании различных режимов. Соответственно важна их грубость, устойчивость или неустойчивость по отношению к различным внешним воздействиям и т.д. Это во многом неизученные вопросы, и настоящая работа посвящена их исследованию. В ней установлены и изучены интересные особенности переходов к пространственно-временному хаосу, взаимосвязи между пространственной структурой паттернов и их временной динамикой, сосуществования регулярной и хаотической динамики, показано, что вводимый в систему пространственный беспорядок может играть конструктивную роль, рассмотрены новые подходы к моделированию динамики таких систем.

Актуальность и практическая значимость обсуждаемых вопросов связана с тем, что большое число радиофизических систем представляет из себя ансамбли связанных автогенераторов. То же самое справедливо и для других областей науки и техники. Многие из таких систем обладают определенной пространственной организацией, поэтому большое внимание вызывают модели в виде цепочек, решеток связанных автогенераторов и т.п. Число примеров весьма велико и здесь будут кратко описаны некоторые из них. Это — ансамбли связанных Джозефсоновских контактов, которые можно использовать, например, в качестве узкополосных генераторов колебаний высокой частоты [5, 6]; системы релятивистких магнетронов, связанных в единый ансамбль ради повышения мощности [7]; цепочки и решетки полупроводниковых лазеров [8, 9]; системы фазированных антенных решеток [10, 11]; многоэлементные системы фазовой синхронизации [12, 13]; системы связанных электрических генераторов переменного тока, работающих на общую нагрузку [14, 15]. В последнее время большой интерес приобрели задачи, связанные с построением и функционированием модулей обработки и отображения информации, состоящих из большого числа элементов — клеточных нейронных сетей (Cellular Neural Networks, CNN — по английской терминологии) [16, 17, 18, 20]. Большой интерес вызывают исследования кооперативного поведения нейронных ансамблей [21, 24, 182]. Анализ коллективной динамики ансамблей автогенераторов встречается при исследовании функционирования сердечной мышцы [25, 26, 27], кишечника [28, 29, 30], желез внутренней секреции [31], циркадных ритмов [32], поведения популяций насекомых [33, 34] и др. [35, 36]. На языке динамики связанных активных осцилляторных элементов формулируются некоторые модели социально-экономических процессов [37, 38].

Рассматриваемые проблемы возникают и при изучении динамики неравновесных нелинейных сред [39, 40, 41, 42]. Отметим такие важные феномены, как пространственно-временной хаос, синхронизация пульсаций в пространстве, образование структур в различных физических ситуациях — в гидродинамике (турбулентность [43], параметрически возбуждаемая капиллярная рябь [44, 45] и др.) [46], в химии (распределенные в пространстве автокаталитические реакции) [47, 48, 49], в биологии (морфогенез живых организмов [50], формообразование в колониях микроорганизмов [51]) и т.д.

Перейдем к более детальному рассмотрению проблем и явлений, исследуемых в настоящей диссертации. Пространственно-временной хаос — явление типичное для решеток и цепочек связанных автоколебательных элементов и их непрерывных аналогов. Проявления пространственно-временного хаоса рассматривались в разных контекстах в рамках различных моделей в дискретном и непрерывном по пространству вариантах: в системах связанных отображений [52, 53, 54, 55], например, логистических отображений, в системах автоколебательных элементов с регулярным поведением, в системах связанных хаотических осцилляторов [56, 57, 58, 59], в комплексном уравнении Гинзбурга-Ландау [60, 61, 62], в уравнении Курамото-Сивашинского [63] и многих других работах с модельными системами и в приложении к разнообразным физическим ситуациям. Можно отдельно выделить работы, посвященные градиентным системам (в них установившийся режим — статический), в которых выяснен механизм и свойства пространственного хаоса [64, 65, 66, 67], системы с однонаправ ленными связями [68, 69, 70], нелинейными и не разностными связями [13, 71, 72, 73] и др. В результате этих исследований было достигнуто определенное понимание механизмов пространственно временного-хаоса и разработаны методы его количественного описания и диагностики [40, 74, 75]. Однако, и с теоретической точки зрения, и с точки зрения практических приложений интересны режимы, когда в хаосе возникают когерентные структуры [76, 77, 78, 79], и режимы на границе порядка и хаоса, когда временная эволюция может становиться регулярной, а колебания в различных точках в пространстве синхронизуются. При изучении таких явлений в ансамблях из подсистем с периодическими колебаниями в общем виде, объектами исследования становятся, в определенном смысле, простейшие модели, описывающие поведение широкого класса систем вблизи бифуркационных границ, при небольшом превышении надкритичности над пороговым значением. Такой моделью является, например, комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау, описывающее динамику пространственно распределенной системы в окрестности бифуркации рождения цикла. В случаях, когда необходимо учитывать хаотичность динамики парциального элемента, используются модельные ансамбли из хорошо изученых парциальных элементов с необходимым набором свойств, при этом можно руководствоваться соображениями практической реализации. Давно стоящая проблема изучения таких регулярных режимов на границе хаоса, их свойств и переходов к пространственно-временному хаосу поднимается в данной работе. Здесь в рамках комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау — универсальной модели, описывающей разнообразные физические ситуации — гидродинамические течения, поля в нелинейных оптических резонаторах, электрические возбуждения нервных мембран и др., установлена реализуемость и изучены свойства нового грубого регулярного режима с неупорядоченной неоднородной пространственной структурой, показано, что через такой режим может осугцествлятся переход к пространственно-временному хаосу.

Обычно сложные пространстенно-временные паттерны в таких распределенных системах формируются в результате развития иерархии неустойчивостей при увеличении надкритичности. На начальном этапе их формирования иногда удается выделить два крайних случая, обычно реализующихся в разных системах (см., например, [46]). В одном из них увеличение надкритичности приводит к усложнению пространственной структуры без существенного усложнения временной динамики. В частности, такой сценарий наблюдается в подогреваемом снизу слое жидкости при больших числах Прандтля. В другом случае сложное временное поведение, в том числе и хаотическое, может возникнуть практически без изменения упорядоченной пространственной структуры, как, например, в цилиндрическом течении Куэтта.

При дальнейшем увеличении надкритичности изменения пространственной структуры и временного поведения становятся взаимосвязанными. Как правило, наблюдается прямое соответствие — усложнение пространственной структуры ведет к усложнению временного поведения. Это выглядит вполне естественно с учетом зависимости размерности хаоса от числа коллективных возбуждений при больших значениях надкритичности [80]. В связи с этим возникает вопрос, а возможна ли ситуация, когда реализуется обратное соответствие, когда в одной и той же системе более нерегулярным пространственным структурам соответствует более простое поведение во времени. В частности, могут ли в однородной системе при фиксированных значениях параметров сосуществовать два разные типа поведения: пространственно-однородный режим, в котором возможна только хаотическая временная динамика, и пространственно неоднородные режимы (в том числе и пространственный беспорядок), в которых возможна регулярная временная динамика. В настоящей работе установлено, что этот вопрос имеет положительный ответ, указаны классы систем, где реализуется такого рода мультистабильность.

Фактически, поставленый выше вопрос — это вопрос изучения возможности регуляризации динамики ансамбля из хаотических элементов. Такая постановка вопроса имеет особый интерес для ансамблей из хаотических нейроподобных элементов (где регуляризацию достигают с помощью подбора параметров связи) [79, 81, 82, 83, 84]. Этот интерес вызван, в частности, и тем, что последнее время высказывались предположнеия, что для успешного функционирования нейронных систем принципиален не сам факт наличия хаоса, а свойственное областям перехода от порядка к хаосу обилие различных (часто, неустойчивых) режимов, которые могут легко реализовываться в нейронной системе с помощью саморегуляции [85, 86]. В работах [87, 88, 89] регуляризация пространственно-временного хаоса была вызвана введением пространственного беспорядка параметров (этот эффект авторы [87] назвали "taming spatio-temporal chaos with disorder") или иных неод-нородностей. В настоящей диссертации, в отличие от проводимых ранее исследований, показана возможность совместного сосуществования хаотических и регулярных режимов, притом пространственные неоднородности, ответственные за регуляризацию, создаются самосогласованным образом в однородной системе при соответствующих начальных условях, а не привносятся извне. Этот результат нельзя предсказать заранее из простого анализа динамики нескольких мод, т.к. было обнаружено, что в регулярных режимах возбуждается большое число мод, однако из-за их взаимодействия число независимых степеней свободы может быть существенно меньше числа этих мод, динамика может стать синхронной и регулярной. Такие результаты нельзя получить в квазилинейном приближении.

Как было замечено выше, введение в ансамбли связанных автоколебательных элементов пространственного беспорядка может регуля-ризовать изначально хаотическую динамику. Поскольку любая строго однородная система представляет собой идеализацию, то особый интерес приобретает вопрос о влиянии различных неоднородностей и, в первую очередь, беспорядка на динамику ансамблей связанных автогенераторов. Это влияние оказывается очень нетривиальным — неоднородности (в том числе и нерегулярные в пространстве, т.е. беспорядок), привнесенные в систему, в которой уже без них реализуются сложные пространственно-временные паттерны, могут, вопреки интуиции, приводить к более синхронному поведению осцилляторов. В качестве примеров укажем улучшение синхронизации в ансамблях связанных нелинейных маятников (которые моделируют цепочки контактов Джозефсона) [90] и в решетках связанных отображений [91] (которые используются как модели динамики землетрясений).

Последнее время было обнаружено, что в распределенных системах некоррелированные в пространстве шумы могут усиливать эффекты стохастического резонанса в пространственно-временном варианте [92, 93], способствовать распространению сигналов в цепочках биста-бильных систем [94], поддерживать бегущие волны в недовозбужден-ных химических средах [95], поддерживать различные паттерны [96], индуцировать переходы паттернов [97] и фронты [98] и т.д.

Каково же действие пространственных неоднородностей (в общем случае, пространственного беспорядка параметров), на осциллятор-ные феномены в ансамблях связанных автогенераторов, в частности, на синхронизацию? Особенно интересно выяснить, как беспорядок действует на такие системы (см. например, [99, 100]), которые являются неоднородными (с регулярной, крупномасштабной неоднородностью) и в отсутствие беспорядка. После срыва синхронизации при достаточно сильной связи между элементами в таких неоднородных системах может появиться вымирание колебаний —формирование областей с пренебрежимо малой амплитудой колебаний, даже если для каждого элемента в отсутствие связи условия самовозбуждения выполнены

30, 102, 101, 99]. Вымирание колебаний связано с тем, что после срыва синхронизации влияние достаточно большой диссипативной связи приводит к увеличению потерь для автоколебаний в каждом из осцилляторов. Оно рассматривалось теоретически, численно и экспериментально в паре связанных автогенераторов [103, 104], системах связанных химических реакторов [105, 106], в ансамблях осцилляторов с нелокальными связями "все-со-всеми" [107, 108], в цепочках осцилляторов с монотонным распределением частот и др. [99, 109], в цепочках из хаотических осцилляторов [110]. Однако вопрос о характере влияния беспорядка на вымирание колебаний в пространственно-распределенных системах оставался открытым. В этой диссертационной работе показано, что беспорядок может конструктивно проявлять себя в таких системах, существенно повышая колебательную энергию, и выделены механизмы этого явления. Обнаружено, что эта конструктивная роль связана с присутствием определеннх пространственных масштабов, а остальные масштабы, присутствующие в пространственном распределении общего вида (в "беспорядке") не оказывают существенного воздействия. Таким образом, к повышению колебательной энергии приводит не только беспорядок, а и определенный класс регулярных пространственных распределений параметров, хотя большинство произвольных пространственных распределений параметров будет именно беспорядочным.

Рассматриваемые выше системы представляют из себя системы с локальными связями. Обычно под этим термином понимаются системы, в которых каждый элемент связан только с ближайшими (в определенном смысле) соседями, соответственно, в таких системах существенна пространственная организация. Это определение можно обобщить и на непрерывные системы, например, через их дискретизацию. Существуют совершенно разнообразные физические (и не только физические) ситуации, которым соответствуют модели в виде ансамблей осцилляторных элементов, связанных нелокальными связями. Говорить о какой-то общей теории таких систем тяжело. Ситуация упрощается в каких-то модельных вырожденных случаях, например, таких, как тождественность всех элементов, идентичность связей, наличие связей типа "все-со-всеми". Ансамблям, для которых справедливы подобные ограничения, посвящена сравнительно обширная литература (см., например, [48, 107, 111, 112, 113]). Для таких ансамблей, рассматриваемых и с общей, теоретической точки зрения, и с прикладной, как модели конкретных физических ситуаций (см., например, [6]), получен целый ряд результатов относительно, например, условий синхронизации.

Однако, если таких вырождений не имеется, получить какие-либо общие результаты представляется затруднительным, и поэтому исследуются более или менее частные задачи, носящие прикладной характер. Следовательно, в этих случаях ценность имеет не только (и, может быть, не столько) полученные результаты для конкретных моделей, сколько разработанные методы таких исследований. Поэтому среди вопросов динамики неоднородных осцилляторных систем с нелокальными связями (может быть точнее писать — системах из неодинаковых элементов — неоднородность предполагает пространственную организацию, которая может и не быть ярко выраженной из-за нелокальности связей) большое значение имеет разработка подхода к исследованию таких систем, а не только конкретная задача. В диссертации развит простой метод моделирования для ансамблей небольшого числа осцилляторных элементов, связанных нелокальными нелинейными связями. Показано, что использование этого метода позволяет по, крайней мере, исследовать зависимость фазовых сдвигов между элементами от характеристик связей.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании коллективной динамики ансамблей связанных автогенераторов (синхронизации, регуляризации, вымирания колебаний и др.) при наличии пространственных неоднородностей. Такие неоднородности могут возникать в системе в результате развития неустойчивости однородного режима или сосуществовать с ним, либо быть введеными извне (случайный в пространстве разброс параметров). При выполнении работы предполагалось решение следующих конкретных задач:

• Исследовать устойчивость регулярных режимов с неупорядоченной пространственной структурой в нелинейных неравновесных средах, изучить их зависимость от параметров и переходы к хаотическим режимам.

• Исследовать возможность регулярного поведения во времени пространственно неупорядоченного режима в цепочках хаотических автогенераторов. Проанализировать возможность мультистабиль-ности в виде сосуществования режимов с простой и сложной динамикой, рассмотреть классы систем, где могут реализовываться такие эффекты.

• Изучить влияние пространственного беспорядка в виде случайного разброса параметров на синхронизацию и вымирание колебаний в цепочках автогенераторов с регулярной крупномасштабной неоднородностью .

• Оценить возможность моделирования качественных особенностей динамики (в частности, формирования определенных временных паттернов) малых сетей активных осцилляторных элементов с помощью метода конечных автоматов.

Структура и объем работы. Настоящая диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

3.6 Выводы

В этой главе исследовалась динамика неоднородных ансамблей связанных автоколебательных элементов. Изучалось влияние беспорядка в виде случайного разброса частото на глобальную синхронизацию колебаний (реализующуюся при достаточно сильной связи и не очень большой величине частотных расстроек, вызванных трендом собственных частот) и на вымирание колебаний (реализующееся в системе после срыва синхронизации с ростом частотных расстроек). Рассматривался пространственный беспорядок двух типов: первого, расширяющего полный диапазон собственных частот, и второго, сохраняющего полный диапазон собственных частот.

Было обнаружено, что в исследуемой неоднородной системе вводимый беспорядок увеличивал критическое значение связи по отношению к соответствующему значению без беспорядка. Получены зависимости среднего критического значения величины связи от относительного уровня беспорядка.

Было изучено влияние пространственного беспорядка первого и второго типа на вымирание колебаний, проявляющее себя как формирование протяженной области с пренебрежимо малой амплитудой колебаний (в отсутствие беспорядка). Обнаружено, что беспорядок введенный в такую неоднородную колебательную систему может действовать конструктивно, снимая вымирание колебаний, что пространственный беспорядок может компенсировать регулярный монотонный тренд параметров. Показано существование оптимальных уровней беспорядка, максимизирующих интенсивность колебаний. Снятие вымирания колебаний оказалось связано с тем, что беспорядок почти всегда приводит к формированию синхронизованных кластеров с интенсивностями колебаний, сравнимыми с теми, которые наблюдаются в цепочках без вымирания. Возникновение таких кластеров обусловлено наличием в случайной составляющей распреденение частот длинноволновых компонент.

В последней части главы было рассмотрено построение динамической модели и описание с помощью нее осцилляторной динамики неоднородных систем из колебательных элементов с нелокальными связями. В качестве примера такой системы был выбран один из простых нейронных ансамблей. Была построена модель парциального элемента в виде конечного автомата с тремя состояниями, и на основе этой модели описана динамика модельного ансамбля, при этом удалось добиться хорошего соответствия с данными экспериментов. Показано, что подобные простые модели эффективны для описания качественных особенностей динамики малых ансамблей, таких как фазовые сдвиги между элементами в зависимости от параметров связей.

Заключение

В работе исследованы коллективные явления в динамике ансамблей связанных автогенераторов при наличии неупорядоченных пространственных неоднородностей, сгенерированных самой системой или привнесенных извне. Основными результатами настоящей диссертационной работы являются следующие результаты:

1. В рамках комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау — универсальной модели для динамики нелинейных неравновесных осцил-ляторных сред — обнаружен и исследован класс режимов, в которых пространственно неупорядоченные паттерны обладают периодической динамикой. В этих режимах колебания в различных точках в пространстве оказываются регулярными и синхронизованными в том смысле, что период колебаний одинаков во всех точках в пространстве, хотя форма колебаний может быть разная. Определена область устойчивости такого периодического во времени пространственного беспорядка в пространстве параметров. Она приблизительно ограничивается границей области существования амплитудной турбулентности, границей устойчивости локализованных структур и границей устойчивости плоских волн. Таким образом, периодический неупорядоченный в пространстве режим лежит на пути рождения пространственно-временного хаоса из "замороженного" беспорядка. Описана область притяжения периодического во времени беспорядка. В общем случае начальные условия должны содержать достаточно большие возмущения амплитуды. Обнаружена независимость периода от начальных условий.

2. Показана грубость описанного выше периодического во времени пространственного беспорядка по отношению к различным видам воздействий. Периодичность режима не нарушается, и период колебаний не изменяется при изменении длины системы, что подтверждает гипотезу о независимости эффекта от наличия границ (в достаточно длинной системе). Подтверждена структурная устойчивость этого режима по отношению к возмущениям правой части комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау в виде члена пятой степени. Установлено, что режим периодической эволюции пространственного беспорядка существует не только в одномерном, но и в двумерном случае, однако носит квазиодномерный характер. Его область существования и период колебаний совпадают с соответствующими значениями для одномерного случая.

3. Обнаружено, что в цепочках, состоящих из хаотических автогенераторов, возможна мультистабильность, при которой более нерегулярные в пространстве паттерны обладают более простым поведением во времени. Иными словами, возможно сосуществование простой и сложной динамики с различной пространственной организацией. Подробно рассмотрен вырожденный случай такой мультистабильности, когда однородный в пространстве паттерн обладает хаотической динамикой, а регулярная динамика возможна только на фоне беспорядка — в неоднородном (в общем случае неупорядоченном) в пространстве режиме. На различных примерах показано, что такого рода обратное соответствие неупорядоченности пространственных и временных паттернов представляет собой достаточно общее явление, по крайней мере, в цепочках бистабильных автогенераторов с хаотическими аттракторами, рождающимися через каскад удвоения периода.

4. Получена зависимость среднего значения пороговой величины связи для глобальной синхронизации колебаний в плавно-неоднородных цепочках связанных автогенераторов при наличии беспорядка в виде случайного разброса параметров. Показано, как введение такого беспорядка в цепочку автогенераторов с плавной неоднородностью собственных частот в пространстве только ухудшает синхронизацию, увеличивая в среднем необходимое для нее критическое значение величины связи между элементами.

5. Обнаружено, что введение пространственного беспорядка в виде случайного разброса параметров существенно влияет на вымирание колебаний (образование областей с очень малой амплитудой колебаний) в цепочках связанных автогенераторов с плавной крупномасштабной неоднородностью собственных частот в пространстве. Беспорядок может компенсировать крупномасштабную неоднородность, вызывающую вымирание. Введение случайного разброса собственных частот в общем случае приводит к образованию синхронизированных кластеров элементов с интенсивностями колебаний, сравнимыми с максимально возможными в отсутствие вымирания. Фактически, вымирание колебаний пропадает, и интенсивность колебаний существенно повышается. Показано, что существует оптимальная величина дисперсии пространственного беспорядка, максимизирующая интенсивность колебаний в системе.

6. Установлена природа действия описанного выше пространственного беспорядка собственных частот на вымирание колебаний. Выяснено, что возникновение синхронизованных кластеров, восстанавливающих колебания, определяется наличием в пространственном беспорядке собственных частот элементов цепочки определенных длинноволновых гармоник, которые локально компенсируют крупномасштабные неоднородности собственных частот.

7. Показана эффективность качественного моделирования осцилля-торной динамики реальных малых ансамблей автоколебательных элементов с произвольной организацией связей с помощью конечных автоматов. Построена модель такого рода ансамбля (малой нейронной сети, управляющей моторной активностью) в виде системы связанных конечных автоматов, хорошо описывающая фазовые сдвиги между элементами сети в зависимости от параметров связей. Правомерность предлагаемого подхода подтверждается совпадением качественных особенностей динамики модели с известными данными экспериментов.

Установленные в настоящей диссертационной работе закономерности коллективной динамики ансамблей автоколебательных элементов могут позволить создавать системы связанных автогенераторов различной природы с требуемыми свойствами, поскольку полученные результаты представляются достаточно общими и характерными для таких систем.

1. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с.

2. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. 277 с.

3. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312 с.

4. Hedley P. Beasley M.R., Wiesenfeld К. Phase locking of Josephson-junction series arrays // Phys. Rev. B. 1988. V. 38. P. 8712.

5. Wiesenfeld K., Colet P., Strogatz S.H. Syncronization transition in a disordered Josephson series array // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. N.3. P. 404-407.

6. Benford J., Sze H., Woo W., Smith R.R., Harteneck B. Phase locking of relativistic magnetrons // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 969-972.

7. Wang S.S., Winful H.G. Dynamics of phase-locked semiconductor laser arrays // Appl. Phys. Lett. 1988. V. 52. N. 21. P. 1774-1776.

8. Winful H.G., Rahman L. Synchronized Chaos and Spatiotemporal Chaos in Arrays of Coupled Lasers // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. N. 13. P. 1575-1578.

9. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ. / Под ред. Ю.Н. Бакаева, М.В. Капранова. М.: Сов. Радио, 1978. 600 с.

10. Дворников А.А., Уткин Г.М. Фазированные автогенераторы радиопередающих устройств. М.: Энергия, 1980. 176 с.

11. Системы фазовой синхронизации / Под ред. В.В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной. М.: Радио и связь, 1982. 288 с.

12. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Горький: Изд-во ИПФ РАН, 1989. 256 с.

13. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: Высшая школа, 1978. 415 с.

14. Варайя П., У Ф.Ф., Чжань Жунлян. Прямые методы анализа динамической устойчивости энергосистем: Новые результаты.// ЕТТЭР. 1985. Т.73. N. 12 С. 8-22.

15. Chua L.O., Roska Т. The CNN paradigm // IEEE Trans. Circuits and Systems I. 1993. V. 40. N. 3. P. 147-156.

16. Roska Т., Vandewalle Cellular neural networks. New York: Wiley. 1994.

17. Chua L.O., Hasler M., Moschytz, G.S., Neirynck J. Autonomous Cellular Neural Networks: A Unified Paradigm for Pattern Formation and Active Wave Propagation // IEEE Trans. Circuits and Systems I. 1995. V. 42. P. 559-577.

18. Некоркин В.И., Казанцев В.Б., Velarde M.G. Динамическое копирование в многослойных бистабильных решетках // Изв. ВУЗов. Прикладная Нелинейная Динамика. 1997. Т. 5. N. 5. С. 56-68.

19. Nekorkin V.l., Kazantsev V.B., Rabinovich M.I., Velarde M.G. Controlled disordered patterns and information transfer between coupled neural lattices with oscillatory states // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. N. 3. P. 3344-3351.

20. The handbook of brain theory and neural networks / Ed. M. Arbib. Cambridge: MIT Press, 1995.

21. Abarbanel H.D.I., Huerta R., Rabinovich M.I., Rulkov N.F., Rowat P., Sleverston A.I. Synchronized action of synaptically coupled chaotic model neurons // Neur. Comp. 1996. V. 8. N. 8. P. 1567602.

22. Winfree A.T. The geometry of biological time. New York: SpringerVerlag. 1980.

23. Борискж Г.Н., Борисюк P.M. Казанович Я.Б., Лузянина Т.Б., Турова Т.С., Цымбалюк Г.С. Осцилляторные нейронные сети. Математические результаты и приложения // Математическое моделирование. 1992. Т. 4. N. 1. С. 3-43.

24. C.Peskin // Courant Inst. Math. Sei. New York Univ. 1975. P. 268.

25. Мэки M.K., Гласс JI. От часов к хаосу: Пер. с англ. М.: Мир, 1992.248 с.

26. Theory of Heart. Biomechanics, biophysics and nonlinear dynamics of cardiac function / Ed. L. Glass, P. Hunter, A. McCulloch. New York: Springer-Verlag. 1991. 612 p.

27. Diamant N.E., Rose P.K., Davison E.J. Computer simulation of intestinal slow-wave frequency gradient // Am. J. Physiol. 1970. V. 219. N. 6. P. 1684-1690.

28. Ermentrout G.B., Kopell N. Frequency plateaus in a chain of weakly coupled oscillators // SIAM J. Math. Anal. 1984. V. 15. N. 2. P. 215-237.

29. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987. 240 с.

30. Sherman A., Rinzel J.M., Keizer J. J. Biophys. 1988. V. 54. P. 411.

31. Kronauer R.E. Temporal subdivision of the circadian cycle // Lect. in mathematics in life sciences. RI: Am. Math. Soc., 1987. V. 19. P. 63-120.

32. Ermentrout G.B., Rinzel J.M. Beyond a pacemaker entrainment limit: phase walkthrough // Am. J. Physiol. 1983. V. 246. P. R602-R606.

33. Buck J. Q. Rev. Biol. 1988. V. 63. P. 265.

34. Романовский Ю.М., Степанова H.B., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975. 344 с.

35. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. 304 с.

36. Короновский А.А., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии. Саратов: Изд. СГУ, 1995.

37. Mosekilde Е. Topics in nonlinear dynamics. Application to physics, biology and economics systems. Singapore: World Scientific, 1996.

38. Арансон И.С., Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И., Рогальский А.В., Сагдеев Р.З. Решеточные модели в нелинейной динамике неравновесных сред // Препринт N. 163. Горький: ИПФ АН СССР. 1987. 24 С.

39. Рабинович М.И., Фабрикант A.JL, Цимринг Л.Ш. Конечномерный пространственный беспорядок // УФН. 1992. Т. 162. N. 8. С. 1-42.

40. Cross М.С. and Hohenberg Р.С. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys. 1993. V. 65. N. 3. P. 851-1112.

41. Рабинович М.И., Езерский А.Б. Динамическая теория формообразования. М.: Янус-К, 1998. 192 с.

42. Арансон И.С., Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И., Старобинец И.М. Странные аттракторы и пространственное развитие турбулентности в потоковых системах // ЖЭТФ. 1986. Т. 90. С. 1707.

43. Езерский А.В., Рабинович М.И., Реутов В.П., Старобинец И.М. Пространственно-временной хаос при параметрическом возбуждении капиллярной ряби // ЖЭТФ. 1986. Т. 91. С. 2070.

44. Rabinovich M.I., Reutov V.P., Rogal'skii A.V. Large-scale intermittence in parametrically excited capillary wave patterns // Phys. Lett. A. 1992. V. 170. N. 3. P. 217-221.

45. Рабинович М.И., Сущик M.M. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости // УФН. 1990. Т. 160. N. 1. С. 3-64.

46. По лак JI.C., Михайлов А. С. Процессы самоорганизации в физико-химических системах. М.: Наука, 1983. 115 с.

47. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves and turbulence. Berlin: Springer-Verlag, 1984.

48. Epstein I.R. and Pojman J.A. An introduction to nonlinear chemical dynamics, oscillations, waves, patterns and chaos. New York: Oxford Univ.Press, 1998.

49. Koch A.J. and Meinhardt H. Rev. Mod. Phys. 1994. V. 66. P. 1481.

50. Цимринг Л.Ш. Формообразование в колониях микроорганизмов // В кн. 42]. С. 160-179.

51. Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. Space-time chaos in coupled map lattices // Nonlinearity. 1988. V. 1. P. 581.

52. Kaneko K. Spatiotemporal chaos in one and two-dimensional coupled map lattices // Physica D. 1989. V. 37. P. 60.

53. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика решеток связанных отображений на границе хаоса // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1991. Т. 34. N. 10-12. С. 1079-1115.

54. Sbitnev V.I. Chaos structure and spiral wave self-organization in 2D coupled map lattice // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1998. V.8. N. 12. P. 2341-2352.

55. Brunnet L., Chate H., Manneville P. Long-range order with local chaos in lattices of diffusively coupled ODEs // Physica D. 1994. V.78. P. 141-154.

56. Osipov G.V., Shalfeev V.D. Chaos and structures in a chain of mutually-coupled Chua's circuits // IEEE Trans. Circuits and Systems I. 1995. V. 42. N. 10. P. 693-699.

57. Huerta R., Bazhenov M., Rabinovich M.I. Clusters of synchronization and bistability in lattices of chaotic neurons // Europhys. Lett. 1998. V. 43. N. 6. P. 719-724.

58. Andreyev Yu.V., Dmitriev A.S. Conditions for global synchronization in lattices of chaotic elements with local connections // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1999. V. 9. N. 11. P. 2165-2172.

59. Shraiman B.I., Pumir A., van Saarlos W., Hohenberg P.C., Chate H., Holen M. Spatiotemporal chaos in the one-dimensional complex Ginzburg-Landau equation // Physica D. 1992. V. 57. P. 241-248.

60. Bazhenov M.V., Rabinovich M.I., Fabrikant A.L. The "amplitude"-"phase" turbulence transition in a Ginzburg-Landau model as a critical phenomenon // Phys. Lett. A. 1992. V. 163. N. 1-2. P. 87-94.

61. Egolf D.A., Greenside H.S. Characterization of the transition from defect to phase turbulence. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. N. 10. P. 1751-1754.

62. Manneville P. Disspative Structures and Weak Turbulence. Boston: Academic Press, 1990. 486 p.

63. Nekorkin V.I., Makarov V.A. Spatial chaos in a chain of coupled bistable oscillators // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. N. 24. P. 48194822.

64. MacKay R.S., Sepulchre J.-A. Multistability in networks of weakly coupled bistable units // Physica D. 1995. V. 82. P. 243-254.

65. Некоркин В.И., Макаров В.А., Казанцев В.Б. Пространственный беспорядок в решетках связанных бистабильных систем // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика синхронизация и хаос. 1996. С. 61-76.

66. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Spatial disorder and pattern formation in lattices of coupled bistable elements // Physica D. 1997. V. 100. N. 3-4. P. 330-342.

67. Aranson I.S., Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovich M.I. The onset and spatial development of turbulence in flow systems // Physica D. 1988. V. 33. P. 1.

68. Willeboordse F.H., Kaneko K. Bifurcations and spatial chaos in an open flow model // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. N. 4. P. 533-536.

69. Osipov G. V., Shalfeev V.D. The evolution of spatio-temporal disorder in a chain of unidirectionally-coupled Chua's circuits // IEEE Trans. Circuits and Systems I. 1995. V. 42. N. 10. P. 687-692.

70. Shalfeev V.D., Kuznetsov A.S. Controlling pattern formation in a CNN of Chua's circuits // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1996. V. 6. N. 11. P. 2127-2144.

71. Кузнецов А.С. Динамика ансамблей нелинейно связанных биста-бильных элементов (подавление колебаний, структурообразова-ние, синхронизация). Дисс. . канд. физ-мат. наук. Н.Новгород, 1999. 176 с.

72. Короновский А.А., Динамика решетки отображений с пороговой связью // ПЖТФ. 1999. Т. 25. N. 4. С. 28-34.

73. Afraimovich V.S., Ezersky А.В., Rabinovich M.I., Shereshevsky M.A., Zheleznyak A.L. Dynamical description of spatial disorder // Physica D. 1992. V. 58. N. 1-4. P. 331-338.

74. Корзинов JI.H., Рабинович M.И. Диагностика простанственно-временного беспорядка // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2. N. 1. С. 59-70.

75. Osipov G.V., Sushchik M.M. Coherent structures in coupled chains of self-excited oscillators // Phys. Lett. A. 1995. V. 201. P. 205-212.

76. Goryachev A., Kapral R. Spiral waves in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. N. 10. P. 1619-1622.

77. Rabinovich M.I., Torres J.J., Varona P., Huerta R., Weidman P. Origin of coherent structures in a discrete chaotic medium // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. N. 2. P. R1130-R1133.

78. Арансон И.С., Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Развитие хаоса в ансамблях динамических структур// ЖЭТФ. 1985. Т. 89.1. С. 92.

79. Rabinovich M.I., Abarbanel H.D.I., Huerta R., Elson R. and others. Self-regularization of chaos in neural systems: experimental and theoretical results // IEEE Trans. Circuits and Systems I. 1997. V. 44. N. 10. P. 997-1005.

80. Кузнецов А.С., Шалфеев В.Д. Анализ процессов регуляризации в ансамбле связанных хаотических осцилляторов // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1998. Т. 41. N. 12. С. 1558-1564.

81. Rabinovich M.I., Varona P., Torres J.J., Huerta R., Abarbanel H.D.I. Slow dynamics and regularization phenomena in ensembles of chaotic neurons // Physica A. 1999. V. 263. N. 1-4. P. 405-414.

82. La Rosa M., Rabinovich M.I., Huerta R., Abarbanel H.D.I., Fortuna L. Slow regularization through chaotic oscillation transfer in an uniderictional chain of Hindmarsh-Rose models // Phys. Lett. A. 2000. V. 266. P. 88-93.

83. Рабинович М.И. Роль хаоса в нейродинамике // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1996. Т. 39. N 6. С. 757-770.

84. Rabinovich M.I., Abarbanel H.D.I. The role of chaos in neural systems // Neuroscience. 1998. V. 87. N. 1. P. 5-14.

85. Braiman Y., Lindner J.F., Ditto W.L. Taming spatiotemporal chaos with disorder // Nature. 1995. V. 378. P. 465-467.

86. Lindner J.F., Prusha B.S., Clay K.E. Optimal disorders for taming spatiotemporal chaos // Phys. Lett. A. 1997. V. 231. P. 164-172.

87. Gavrielides A., Kottos T., Kovanis V., Tsironis G.P. Spatiotemporal organization of coupled nonlinear pendula through impurities // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. P. 5529-5534.

88. Braiman Y., Ditto W.L., Wiesenfeld K., Spano M.L. Disorder-enhanced synhronization // Phys. Lett. A. 1995. V. 106. P. 54-60.

89. Mousseau N. Synchronization by disorder in coupled systems // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. N. 5. P. 968-971.

90. Lindner J.F., Meadows B.K., Ditto W.L., Inchiosa M.E., Bulsara A.R. Scaling laws for spatiotemporal synchronization and array enhanced stochastic resonance // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. N. 3. P. 2081-2086.

91. Locher M., Johnson G.A., Hunt E.R. Spatiotemporal Stochastic Resonance in a System of Coupled Diode Resonators // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. N. 23. P. 4698-4701.

92. Lindner J.F., Chandramouli S., Bulsara A.R., Locher M., Ditto W.L. Noise enhanced propagation // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. N. 23. P. 5048-5051.

93. Kadar S., Wang J., Showalter K. Noise-supported travelling waves in sub-excitable media // Nature. 1998. V. 391. P. 770-772.

94. Hempel H., Schimansky-Geier L., Garcia-Ojalvo J., Noise-sustained pulsating patterns and global oscillations in subexcitible media // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. N. 18. P. 3713-3716.

95. Zhonghuai H., Lingfa Y., Zuo X., Houwen X. Noise induced transition and spatiotemporal stochastic resonance // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. N. 14. P. 2854-2857.

96. Santos M.A., Sancho J.M. Noise-induced fronts // Phys. Rev. E. 1999. V. 59. N. 1. P. 98-102.

97. Osipov G.V., Sushchik M.M. Synchronized clusters and multistability in arrays of oscillators with different natural frequencies. Phys. Rev. E. 1998. V. 58. P. 7198-7207.

98. Osipov G.V., Sushchik M.M. The effect of natural frequency distribution on cluster synchronization in oscillator arrays // IEEE Trans. Circuits and Systems I. 1997. V. 44. N. 10. P. 1006-1010.

99. Дрендель С.Д., Хоре Н.П., Васильев В.А. Режим синхронизации клеток гладкомышечной ткани // Межвузовский сб. Динамика клеточных популяций. Горький: Изд. Горьк. ун-та. 1984, С. 108.

100. Осипов Г.В., Сущик М.М. Синхронизация и управление в цепочках связанных автогенераторов // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика синхронизация и хаос II. 1997. С. 5-24.

101. Aronson, D.G., Ermentrout, В., Koppel, N., Amplitude responce of coupled oscillators // Physica D. V. 41. P. 403.

102. Herrero R., Figueras M., Ruis J., Pi F., Orriols G. Experimental observation of the amplitude death effect in two coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. N. 23. P. 5312-5315.

103. Bar-Eli K. On the stability of coupled chemical oscillators // Physica D. 1985. V. 14. P. 242.

104. Yoshimoto M., Yoshikawa K., Mori Y. Coupling among three chemical oscillators: synchronization, phase death, and frustration // Phys. Rev. E. 1993. V. 47. N. 2. P. 864-874.

105. Ermentrout G.B. Oscillator death in populations of "all to all" coupled nonlinear oscillators // Physica D. 1990. V. 41. P. 219-231.

106. Mirollo R.E., Strogatz S.H. Amplitude death in an arrays of limit-cycle oscillators // J. Stat. Phys. 1990. V. 60. N. 1/2. P. 245-262.

107. Ermentrout G.B., Troy W.C. The uniqueness and stability of the rest state for strongly coupled oscillators / / SI AM J. Math. Anal. 1989. V. 20. N. 6. P. 1436-1446.

108. Osipov G.V., Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical Rossler oscillators // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. N. 3. P. 2353-2361.

109. Daido H. Intrinsic fluctuations and a phase transition in a class of large populations of interacting oscillators //J. Stat. Phys. 1990. V. 60. N. 5/6. P. 753-800.

110. Strogatz S.H., Mirollo R.E. Stability of incoherence in a population of coupled ocsillators // J. Stat. Phys. 1991. V. 63. N. 3/4. P. 613-635.

111. Crawford J.D. Amplitude expansion for instabilities in populationsof globally-coupled oscillators //J. Stat. Phys. 1994. V. 74. N. 5/6. P. 1047-1085.

112. Stewartson K., Stuart J.T. A nonlinear instability theory for a wave system in a plane Poiseville flow // J. Fluid Mech. 1971. V.48. P.529.

113. Newell A.C., Moloney J.V. Nonlinear Optics. Reading: Addison-Wesley, 1992.

114. Arecchi T.T., Boccaletti S., Ramazza P.L. Pattern formation and competition in nonlinear optics // Phys. Rep. 1999. V. 318. P. 1-83.

115. Kramer L., Hynne F., Sorenson P.G., Walgraef D. The Ginzburg-Landau approach to oscillatory media // Chaos. 1994. V. 4. N. 3. P. 443-452.

116. Sakaguchi H. Breakdown of the phase dynamics // Prog. Theor. Phys. 1990. V.84. N. 5. P. 792.

117. Gil L. Space and time intermittency behavior of a one-dimentsional complex Ginzburg-Landau equation // Nonlinearity. 1991. V. 4. P. 1213-1222.

118. Chate H. // Nonlinearity. 1995. V. 7. P. 185.

119. Bekki N., Nozaki K. Formation of spatial patterns and holes in the generalized Ginzburg-Landau equation // Phys. Lett. A. 1985. V. 110. N. 3. P. 133-135.

120. Aranson I.S., Aranson L., Kramer L., Weber A. Stability limits of spirals and traveling waves in nonequilibrium media // Phys. Rev. A. 1992. V. 46. N. 6. P. 2992-2995.

121. Sakaguchi H. Instability of the hole solution in the complex Ginzburg-Landau equation // Prog. Theor. Phys. 1991. V. 85. N. 3. P. 417-421.

122. Aranson I., Kramer L., Weber A. Core instability and spatiotemporal intermittency of spiral waves in oscillatory media // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. N. 15. P. 2316-2319.

123. Montagne R., Hernandez-Garcia E., San Miguel M. Numerical study of a Lyapunov functional for the complex Ginzburg-Landau equation // Physica D. 1996. V. 96. P. 47-65.

124. Descalzi O., Graham R. Gradient expansion of the nonequilibrium potential for the supercritical Ginzburg-Landau equation // Phys. Lett. A. 1991. V. 170. P. 84-90.

125. Descalzi O., Graham R., // Z. Phys. 1991. V. 93. P. 509.

126. Fraser A.M., Swinney H.L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information // Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 1134.

127. Popp S., Stiller O., Aranson I., Weber A., Kramer L. Localized hole solutions and spatiotemporal chaos in the Id complex Ginzburg-Landau equation // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. N. 25. P. 38803883.

128. Bazhenov M., Bohr Т., Gorshkov K., Rabinovich M. The diversity of steady state solutions of the complex Ginzburg-Landau equation // Phys. Lett. A. 1996. V. 217. N. 2-3. P. 104-110.

129. Matsumoto T. A chaotic attractor from Chua's circuit // IEEE Trans. Circuits and Systems. 1984. V. 31. N. 12. P. 1055-1058.

130. Chua L.O. Global unfolding of Chua'scircuit. // IEICE Trans. Fundamentals. 1993. V. E76-A. N. 5. P.704-734.

131. Chua's circuit: A Paradigm for Chaos / Ed. R. Madan. Singapore: World Scientific, 1993.

132. Shilnikov L.P. Chua's Circuit: Rigorous results and future problems // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1994. V. 4. N. 3. P. 489.

133. Кияшко С.В., Пиковский А.С., Рабинович М.И. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением // Радиотехника и электроника. 1980. Т.25. N 2. С. 336-343.

134. Kazantsev V.B., Nekorkin V.I., Velarde M.G. Pulses, fronts and chaotic wave trains in a one-dimensional Chua's lattice // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. V. 7. N. 8. P. 1775-1790.

135. Пономарнеко В.П, Матросов В.В. Моделирование динамических процессов в автогенераторных системах с частотным управлением. Учеб. пособие. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1997.

136. Кузнецов А.С. Динамика модифицированного осциллятора Чуа // Вестник ННГУ. Радиофизика. 1998. N. 1. С. 136-145.

137. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 512 с.

138. Belykh V.N., Verichev N.N., Kocarev L., Chua L.O. On chaotic synchronization in a linear array of Chua's circuits // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1992. V. 2. P. 633.

139. Perez-Villar V., Munuzuri A.P., Munuzuri V., Chua L.O. Chaotic synchronization of a one-dimensional array of nonlinear active systems // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1993. V.3. N. 4. P. 1067.

140. Белых B.H., Веричев H.H. Пространственно однородные автоволновые процессы — глобальная синхронизация в системах с переносом и диффузией // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1996. Т. 39. N. 5. С. 588-596.

141. Venkatesan A., Lakshmanan М. Bifurcation and chaos in the doublewell Duffing-Van der Pol oscillator: Numerical and analytical studies // Phys. Rev. E. 1997. V. 56. N. 6. P. 6321-6330.

142. Pecora L.M., Carrol T.L., Johnson G.A., Mar D.J., Heagy J.F. Fundamentals of synchronization in chaotic systems, concepts, and applications // Chaos. 1997. V. 7. N. 4. P. 520-543.

143. Heagy J.F., Pecora L.M., Carrol T.L. Short wavelength bifurcation and size instabilities in coupled oscillator systems // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. N. 21. P. 4185-4188.

144. Noack B.R., Ohle F., Eckelmann H.J. On cell formation in vortex streets // J. Fluid Mech. 1991. V. 227. P. 293-308.

145. Dynamic Biological Networks: the Stomatogastric Nervous System / Ed. R.M. Harris-Warrick, E. Marder, M. Moulins, A.I. Selverston. Cambridge: MIT Press, 1992.

146. The Crustacean Stomatogastric System / Ed. A.I. Selverston, M. Moulins. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

147. Panchin Y.V., Arshavsky Y.I., Selverston A., Cleland T.A. Lobster stomatogastric neurons in primary culture I. Basic characteristics // J. of Neurophysiol. 1993. V. 69. P. 1976-1992.

148. Hayashi H., Ishizuka S. Chaotic nature of bursting discharges in the Onchidium pacemaker neuron //J. Theor. Biol. 1992. V. 156. P. 269-291.

149. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. (London). 1952. V. 117. P. 500-544.

150. Buchholtz F., Golowasch J., Epstein I.R., Marder, E. Mathematical model of an identified stomatogastric ganglion neuron // J. of Neurophysiol. 1992. V. 67. P. 332-340.

151. Guckenheimer J., Gueron S., Harris-Warrick R. M. Phil.Trans. Roy. Soc. Lond. B. 1993. V. 341. P. 345-359.

152. Abbott L.F., Kepler T.B. Model neurons: from Hodgkin-Huxley to Hopfield // Statistical Mechanics of Neural Networks /Ed. L. Garrido. Berlin: Springer-Verlag, 1990.

153. Kepler T.B., Abbott L.F., Marder E. Reduction of conductance-based neuron models // Biol. Cybern. 1992. V. 66. P. 381-387.

154. Ermentrout G.B., Edelstein-Keshet L. Cellular automata approaches to biological modelling //J. Theor. Biol. 1993. V. 160. P. 97-133.

155. McCulloch W.S., Pitts W.H. Logical calculus of the ideas immanent in nervous activity // Bull. Math. Biophys. 1943. V. 9. P. 127.

156. Thomas R., D'Ari, R. Biological Feedback. Boca Raton: CRC Press, 1990.

157. Kleinfeld D., Sompolinsky H. Associative network models for central pattern generators / Methods in Neuronal Modelling / Ed. C. Koch, I. Segev. Cambridge: MIT Press, 1989. P. 195-246.

158. Arshavsky Y.I., Beloozerova I.N., Orlovsky G.N., Panchin Y.V., Pavlova G.A. Control of locomotion in marine mollusc Clione Umacina. II. Rhythmic neurons of pedal ganglia // Exper. Brain Res. 1985. V. 58. P. 263-272.

159. Sharp A.A., O'Neil M.B. Abbott L.F. Marder E. Dynamics clamp: computer generated conductances in real neurons // J. of Neurophysiol. 1993. V. 69. P. 992-995

160. Баженов M.B., Рабинович М.И., Рубчинский JI.JI. Простая модель нейрона со сложной колебательной активностью // Тез. докл. Межд. конференции "Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах". М., 1995. С. 14.

161. Баженов М.В., Рабинович М.И., Рубчинский Л.Л. Временная самоорганизация паттернов в комплексном уравнении Гинзбурга-Ландау // Тез. докл. Межд. конференции "Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах". М., 1995. С. 83.

162. Bazhenov М., Rabinovich М., Rubchinsky L. Time Periodic Spatial Disorder in a Complex Ginzburg-Landay Equation // Abst. of the 16th Annual Informal Workshop "Dynamics Days". Lyon, 1995. P. 180.

163. Рубчинский Л.Л., Сущик М.М. Хаос и мультистабильность в комплексном уравнении Гинзбурга-Ландау // Тез. докл. 3-ей Нижегородской сессии молодых ученых. Н. Новгород, 1998. С. 73-74.

164. Rubchinsky L.L., Sushchik М.М. Anomalous relationship between spatial and temporal patterns of behavior and disorder-enhansed synchronization in arrays of identical oscillators // The Book of

165. Abstracts of the 5th Int. School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation CHAOS'98. Саратов, 1998. С. 53.

166. Rubchinsky L.L., Sushchik M.M. Control of cluster formation in innhomogeneous arrays of Van der Pol oscillators // The Book of Abstracts of the 5th Int. School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation CHAOS'98. Саратов, 1998. С. 53-54.

167. Рубчинский JI.JI., Сущик М.М. Динамика неоднородной цепочки связанных автогенераторов со случайным разбросом собственных частот //Сб. тез. докл. 4-ой Нижегородской сессии молодых ученых. Н. Новгород, 1999. С. 93-94.

168. Рубчинский Л.Л., Сущик М.М., Осипов Г.В. Эффекты синхронизации в цепочках связанных осцилляторов // Тез. докл. II Съезда биофизиков России. М., 1999. Т. 2. С. 447-448.

169. Рубчинский Л.Л., Сущик М.М. Влияние пространственного беспорядка на динамику неоднородной цепочки связанных автогенераторов // Тез. докл. V Международной конференции "Нелинейные колебания механических систем". Н. Новгород, 1999. С. 197.

170. Рубчинский Л.Л., Сущик М.М. Влияние беспорядка на вымирание колебаний в неоднородных сетях автогенераторов. // Труды VII Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". Красновидово Моск. обл., 2000. Т. 1. С. 20-22.

171. Баженов М.В., Рабинович М.И., Рубчинский Л.Л. Периодическая эволюция пространственного беспорядка в одномерном комплексном уравнении Гинзбурга-Ландау // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1995. Т. 38. N. 1-2. С. 37-43.

172. Bazhenov M., Rabinovich M., Rubchinsky L. A Model for Neural Network with Complex Oscillatory Activity // Proc. of Int. Symp. on Nonlinear Theory and Its Applications. 1995. V. 2. P. 1045-1048.

173. Баженов M.B., Рабинович М.И., Рубчинский JI.JI. Простая модель нейрона, обладающего сложной осцилляторной активностью // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т. 4. N. 1. С. 33-39.

174. Bazhenov М., Rabinovich М., Rubchinsky L. Time Periodic Spatial Disorder in a Complex Ginzburg-Landay Equation // Chaotic, Fractal, and Nonlinear Signal Processing / Ed. R.A. Katz AIP Press, 1996. P. 533-540.

175. Bazhenov M., Rabinovich M., Rubchinsky L. An Oscillatory Neural Network Unit Model // Chaotic, Fractal, and Nonlinear Signal Processing / Ed. R.A. Katz AIP Press, 1996. P. 726-733.

176. Bazhenov M., Rabinovich M., Rubchinsky L. Time-Periodic Spatial Chaos in the Complex Ginzburg-Landau Equation //J. Stat. Phys. 1996. V. 83. N. 5/6. P. 1165-1181.

177. Абарбанель Г.Д.И., Рабинович М.И., Селверстон А., Баженов М.В., Хуэрта Р., Сущик М.М., Рубчинский Л.Л. Синхронизация в нейронных ансамблях // УФН. 1996. Т. 166. N. 4. С. 363-390.

178. Rabinovich М., Selverston A., Rubchinsky L., Huerta R. Dynamics and kinematics of simple neural systems // Chaos. 1996. V. 6. N. 3. P. 288-296.

179. Rubchinsky L., Sushchik M. Anomalous Relationship between Spatial and Temporal Patterns of Behavior in Homogeneous Nonlinear Nonequilibrium Media // Proc. of Int. Symp. on Nonlinear Theory and Its Applications. 1998. V. 1. P. 307-310.

180. Osipov G., Rubchinsky L., Sushchik M. Controlled Formation of Synchronized Clusters in Arrays of Diffusively Coupled Van der Pol Oscillators // Proc. of Int. Symp. on Nonlinear Theory and Its Applications. 1998. V. 2. P. 531-534.

181. Рубчинский JI.JI., Сущик М.М. Прямая и обратная взаимосвязь между неупорядоченностью пространственных и временных паттернов в цепочках хаотических автогенераторов // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. N. 1. С. 81-87.

182. Rubchinsky L., Sushchik М. Anomalous relationship between spatial and temporal patterns of dynamical behavior // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1999. V. 9. N. 12. P. 2329-2334.

183. Rubchinsky L., Sushchik M. The action of disorder on oscillator death // Proc. of the 2nd IEEE-IUTAM Int. Conference "Control of Oscillations and Chaos". St.Petersburg. 2000. P. 181-182.

184. Rubchinsky L., Sushchik M. Disorder can eliminate oscillator death // Phys. Rev. E. 2000, accepted.