Синхронизация и динамический хаос в малых ансамблях активных элементов с нелинейными связями

Захаров, Денис Геннадьевич

Синхронизация и динамический хаос в малых ансамблях активных элементов с нелинейными связями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Захаров, Денис Геннадьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Синхронизация и динамический хаос в малых ансамблях активных элементов с нелинейными связями»

Автореферат диссертации на тему "Синхронизация и динамический хаос в малых ансамблях активных элементов с нелинейными связями"

На правах рукописи

ЗАХАРОВ Денис Геннадьевич

СИНХРОНИЗАЦИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В МАЛЫХ АНСАМБЛЯХ АКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С НЕЛИНЕЙНЫМИ СВЯЗЯМИ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2005

Работа выполнена в Институте прикладной физики Российской академии наук, г. Нижний Новгород

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Некоркин,

кандидат физико-математических наук М.М. Сущик

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.П. Пономаренко

кандидат физико-математических наук, доцент A.A. Дубков

Ведущая организация: Институт радиотехники и электроники РАН

Защита состоится " " 2005 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.07 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского (603950, Н. Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп. 4, ауд. _).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан " " 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

В.В. Черепенников

Зфоб-ц

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы: Исследование коллективной динамики ансамблей автоколебательных элементов на протяжении многих лет является актуальной задачей радиофизики. С одной стороны, такими ансамблями являются цепочки и решетки джозефсоновских контактов, полупроводниковые лазеры и генераторы переменного тока, фазированные антенные решетки и д.р. С другой стороны, ансамбли упорядоченных в пространстве активных элементов используются для моделирования процессов в распределенных нелинейных средах - в гидродинамических и биофизических средах, оптических волокнах, устройствах высокочастотной электроники и др.

Динамика ансамблей автоколебательных элементов зависит от выбора базового активного элемента, типа и пространственной организации связей. В несвязанном состоянии элементы могут находится в покое, совершать периодические колебания или демонстрировать хаотическое поведение. В некоторых случаях этими свойствами элементы обладают одновременно, т.е. являются мультистабильными. Характер связей между элементами варьируется в широких пределах как по пространственной организации связей, так и по их динамическим свойствам. Архитектура связей меняется от простейшего локального соединения элементов, когда взаимодействуют только ближайшие соседи, до глобального соединения, когда реализуется взаимодействие каждого элемента с каждым. Динамические свойства связей также могут быть чрезвычайно разнообразными - линейными и нелинейными, обладать запаздыванием И т.д.

Наиболее хорошо изучены ансамбли автоколебательных систем с линейными связями ( Chua L., Collinse J.J., Ermentroute B.G., Hopfield J.J., Hoppensteadt F.C., Izhekevich E.M. , Kuramoto Y., Mackey R.S. , Velar-deM. G., , Анищенко B.C., Астахов B.B., Безручко Б.П., Белых B.H., Борисюк P.M., Борисюк Г.Н., Вадивасова Т.Е., Волков Е.И., Дмитриев A.C., Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Лоскутов А.Ю., Некоркин В.И., Казанцев В.Б., Осипов Г.В., Пиковский A.C., Постнов Д.Е., Рабинович М. И., Трубецков Д.И., Яхно В.Г. и д.р.). К этому типу относятся, например, ансамбли с резистивными, индуктивными и емкостными связями. Для малых ансамблей автогенераторов с линейными связями изучены такие явления как синхронизация, конкурентное подавление колебаний, регуляризация хаотической динамики элементов. В качестве примера можно привести индуктивно связанные генераторы Ван-дер-Поля, связанные генераторы Чуа, контакты Джозефсона и т.д. В цепочках и решетках автогенераторов проведены исследования пространственной

синхронизации колебаний и пространственно-временного беспорядка. Для больших ансамблей мультистабильных элементов изучены явления формирования пространственных структур, нелинейные волновые процессы: бегущие импульсы и диссипативные солитоны в возбудимых системах, фронты переключения в бистабильных системах, спиральные и концентрические волны в решеточных системах возбудимого типа.

Ансамбли автоколебательных систем с нелинейными связями исследованы значительно хуже. Вместе с тем изучение таких ансамблей важно, так как нелинейные связи существенно влияют на динамические свойства систем. Более того, за счет использования нелинейных связей можно существенно изменить коллективную динамику ансамбля и получить его новые свойства, которые при линейных связях не существуют. Например, нелинейное соединение систем фазовой автоподстройки в ансамбли позволяет улучшить их динамические характеристики (полосу захвата, фильтрующие свойства, быстродействие и т.д.), решить задачи, связанные с обработкой сложных сигналов, синтезом частот и т.д. (Lindsey V., Капранов М.В., Матросов В.В., Пономаренко В.П., Ша-гильдян В.В., Шалфеев В.Д.).

В последнее время наблюдается повышенный интерес к нетрадиционным системам передачи, обработки и хранения информации, построенных на основе принципов функционирования нейронных ансамблей. Большое число работ посвящено моделированию малых нервных систем простейших организмов, нейронных ансамблей передающих и обрабатывающих информацию, генераторов ритма, управляющих движениями живых организмов и т.д. Наиболее широкое распространение получили автогенераторные модели нейродинамических систем. Нейроны, как правило, моделируются релаксационными автогенераторами ( Fitz Hugh R., Nagumo J., Hindmarsh J.L., Rose R.M. и д.р.), которые могут периодически или хаотически, самостоятельно или под действием стимула генерировать уединенные импульсы (спайки) и пачки импульсов (береты). Взаимодействие между нейронами происходит посредством так называемых синаптических связей (Abarbanel H.D.I.,Destexhe А., Koch С., Scott А., Рабинович М.И.), которые могут представлять из себя как линейные резистивные, так и нелинейные пороговые связи. Отметим, что для более развитых нервных систем свойственны именно нелинейные связи. Возникающие перед нейронными ансамблями задачи решаются за счет коллективной динамики, обеспечиваемой конфигурацией, типом и силой связей. Такое устройство обеспечивает гибкость и "обучаемость" нейронных ансамблей посредством перераспределения связей и их параметров.

Целью диссертационной работы является изучение динамических и информационных аспектов динамики малых ансамблей автоколебательных систем с нелинейными связями (кубической и пороговой); исследование влияния шума на динамику малых ансамблей автоколебательных систем.

Научная новизна:

1. Проведено исследование динамики двух нелинейно связанных автогенераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга при сильной нелинейности. Получены области существования синхронных режимов, разность фаз между которыми равна Д<р = ±<р, <р е (0,7г). Обнаружено существование хаотического аттрактора, рождение которого происходит через перемежаемость 1-рода с двумя метастабильны-ми состояниями, проявляющуюся в чередовании временных интервалов с квазипериодическим и хаотическим поведением. Обнаружено, что при критическом значении управляющего параметра одновременно исчезают две пары предельных циклов и появляются два метастабильных состояния. Поэтому, в отличии от классического случая, в исследуемой системе для перемежаемости характерны нерегулярные переключения между двумя квазипериодическими режимами.

2. Изучено влияние шумов на перемежаемость первого рода с двумя метастабильными состояниями. Установлено, что мультипликативные шумы с большим временем корреляции (порядка длительности ламинарной фазы) качественно меняют зависимость средней длительности ламинарных фаз от надкритичности и плотность распределения вероятности ламинарных фаз, приводя их к виду характерному для оп-о!Г перемежаемости.

3. Обнаружено, что при соединении двух пар автогенераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга линейными связями (с нелинейными связями в каждой паре) возможно существование режима противофазной синхронизации этих пар как в регулярном, так и в хаотическом режиме.

4. Показано, что ансамбль линейно связанных двух пар автогенераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга (с нелинейными кубическими функциями связи в каждой паре) может рассматриваться как модель локомоторного ритма человека для двуногого хождения. Такая модель качественно описывает результаты экспериментов по иницированию шагательных движений человека при нерезонансной вибрации мышц.

5. Установлен механизм генерации серий импульсов (беретов) релаксационным автогенератором, моделирующим нейрон Хиндмарша-Розе с тормозящей нелинейной связью, под действием импульсного сигнала. Показано, что генерации беретов соответствует переходный процесс, являющийся следствием специфической топологии фазового пространства системы, в окрестности единственного аттрактора.

Теоретическая и практическая значимость результатов:

В диссертации рассмотрены динамические и информационные аспекты коллективной динамики малых ансамблей автогенераторов с нелинейными связями. Результаты исследования развивают теорию малых ансамблей активных элементов с нелинейными связями и могут быть полезны при конструировании малых ансамблей активных элементов с заданными свойствами.

Результаты по исследованию импульсного воздействия на малый ансамбль релаксационных автогенераторов с нелинейными связями показали, что такие ансамбли могут рассматриваться в качестве элементных структур при построении нетрадиционных систем передачи и обработки информации.

Система четырех автогенераторов с линейными и кубическими функциями связи может рассматриваться как модель локомоторной активности человека под действием нерезонансной вибрации мышц. Практическая значимость этих результатов заключается в возможной диагностике состояния нервных центров, управляющими ходьбой. Параметры такой маломерной динамической системы, определяемые по временным реализациям колебаний суставов больного, могут использоваться в качестве критерия правильности выбранного курса тренировок при восстановлении утраченных локомоторных функций.

Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ.

Апробация результатов:

Основные результаты докладывались на Научных конференциях ННГУ (1998-1999), Сессиях молодых ученых (Нижний Новгород, 1998-2001), II Всероссийской научной конференции студентов-радиофизиков (Санкт-Петербург, 1998), Пятой всероссийской конференции по биомеханике (Нижний Новгород, 2000), международных симпозиумах: The International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications Nolta'98 (Crans - Montana, Switzerland, 1998), The Int. Summer School-Workshop DYNAMICS DAYS in Nizhny Novgorod DDNN98 (Нижний Новгород, Poc-

сия, 1998), The 5th International School of Chaotic Oscillations and Pattern Formations CHAOS'98 (Саратов, Россия,1998), The Second International Conference "Control of Oscillation and Chaos"COC'2000 (Санкт-Петербург, Россия, 2000), The International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications NOLTA'2000 (Dresden, Germany, 2000), The International Conference "Dynamics Days 2001 "(Dresden, Germany, 2001), The International Conference "Progress in Nonlinear Science" (Нижний Новгород, Россия, 2001), The International Conference "Experimental Chaos 2001 "(Potsdam, Germany, 2001), The 6th International School of Chaotic Oscillations and Pattern Formations CHAOS'Ol (Саратов, Россия, 2001), XII Научная школа "Нелинейные волны - 2004" (Нижний Новгород, 2004)

Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 119 страниц, включая 55 рисунков и 1таблица.

Краткое содержание диссертации: Во введении: дана общая характеристика работы, обсуждена актуальность темы диссертации, приведен краткий обзор литературы по данной тематике, определены цели исследования, сформулированы положения и основные задачи, которые выносятся на защиту.

Первая глава посвящена изучению коллективной динамики системы двух нелинейно связанных автогенераторов Ван-дер-Поля - Дюф-финга:

xi = 2/1 - С(хi,x2)

yi=r[yl{l-\x\)-ßx\]-xi

¿2 = 2/2 - C(x2,xi)

2/2 = г[г/2( 1 - \х\) - ßx\] - х2,

где функция связи определена следующим образом:

С{х1,х2) = 7(zi - х2)((ж! - х2)2 - а). (2)

Параметры автогенераторов выбраны так, что в отсутствии связи (7 = 0) на фазовой плоскости каждого из них существует единственный аттрактор - устойчивый предельный цикл.

Для удобства исследования была произведена замена парамера 7' = 7/г, после которой параметр г стал характеризовать нелинейность динамической системы (1) в целом. Был проведен бифуркационный анализ состояний равновесия и предельных циклов системы (1) аналитически при асимптотически малых и численно при конечных и больших значениях параметра г (случаи асимптотически малой, конечной

и сильной нелинейности соответственно). Установлено, что за счет введения связи (2) система может демонстрировать бистабильность (одновременно существует два устойчивых предельных цикла, отвечающих колебаниям автогенераторов с разностями фаз А<р — ±(ро,<ро € (0, я-)). Проведено исследование динамики системы (1) при переходе от асимптотически малой к конечной нелинейности. Показано, что при сильной нелинейности система (1) имеет хаотический режим. Переход к хаосу осуществляется через перемежаемость 1-го рода с двумя метастабиль-ными состояниями (на месте исчезнувших через седло-узловую бифуркацию предельных циклов). Для перемежаемости характерно чередование временных интервалов с "квазипериодическим" и "хаотическим" поведением. "Квазипериодическому" поведению соответствует длительное пребывание траектории в окрестности метастабильного состояния, а "хаотическому" - быстрый выброс изображающей точки из окрестности метастабильного состояния с последующим возвратом в нее. В исследуемой системе при критическом значении управляющего параметра исчезают две пары предельных циклов (появляются два метастабиль-ных состояния), поэтому перемежаемость проявляется в нерегулярных переключениях между двумя метастабильными состояниями (рис. 1).

71 71/2 -е- О -71/2

—71

О 200 400 600 800 1000

Рис. 1. Осциллограмма разности фаз автогенераторов при 0 = 2, г = 0.5, 7 = 0.4,а = 3. (фаза определена как ipj = argzj(t), где zj(t) = xj{t) + ixi(t),j = 1,2).

Рассмотрим процесс переключений более подробно (рис. 2). При t < 30, где t - время, колебания генераторов происходят с положительной разностью фаз ф и 7г/2. В момент времени t яа 30 на временном масштабе примерно одного периода колебаний происходит переключение на дру-

" 1 л IL -. 1 J 4 1 yi ii-i-

4 1 Г _1. V rllr

гой метастабильный режим с фазовым сдвигом —ф. Далее, при £ я* 80 происходит обратный переход.

2 1 О ■I

-2

*П 0 ♦

■К2 -я

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Рис. 2. Переключения между метастабильными состояниями при а = 2.5,7 — 0-5- Верхняя часть рисунка представляет осциллограммы сигналов генераторов (сплошная линия - первый генератор, пунктирная -второй), нижняя - осциллограмма разности фаз генераторов.

Во второй главе проведено исследование влияние расстройки параметров автогенераторов и случайных воздействий на динамику системы (1) в окрестности седло-узловой бифуркации (до бифуркационной границы которой система имеет два устойчивых периодических решения, а за ней - перемежаемость 1-го рода с двумя метастабильными состояниями на месте исчезнувших предельных циклов).

Влияние неидентичности автогенераторов на динамику системы (1) было проведено на примере линейной расстройки частоты. Показано, что в окрестности седло-узловой бифуркации линейная расстройка частоты может приводить к существенным изменениям динамики системы (1) .

Во второй и третьей части главы исследовалось влияние адаптивных и мультипликативных шумов соответственно. Шумы вводились следующим образом:

±1 =yi- j(xi - х2)[(х1 - х2)2 - а - t)i] + &, Vi = r[yi(l - xj) - /?xf] - xi, i2=2/2- 7(z2 - xi)[(x2 - xi)2 - a - + 6, У2 = r[y2( 1 - x\) - 0x1] - x2,

где , £2 and r)i,rj2- случайные процессы с нулевым средним значением, дисперсией а и временем корреляции тсотт.

Случайные процессы £1 и £1 (щ и г/2 аналогично) в каждый момент времени определялись следующим образом:

Ъ- — 1?

Д« -

где / = 1,2, [ж] - целая часть х, At Т - интервал времени между отчетами случайной величины {/;}:

а ЛГ

/Г =

где - равномерно распределенная на интервале [—1;+1] последовательность случайных чисел. Под временем корреляции понималась величина тС0ГТ =

ЛТД*.

Установлено, что аддитивные шумы (£1 и £1) с различными временами корреляции и мультипликативные шумы (771 и 772) с малым временем корреляции (порядка периода колебаний) приводят к смещению границы появления перемежаемости в сторону меньших значений управляющего параметра, слабо меняя зависимость средней длительности ламинарных фаз от надкритичности и плотность вероятности ламинарных фаз. Мультипликативные шумы с большим временем корреляции (порядка длительности ламинарной фазы) качественно меняют зависимость средней длительности ламинарных фаз от надкритичности и плотность вероятности ламинарных фаз к виду характерному для опой перемежаемости.

В третьей главе исследована система двух линейно связанных пар автогенераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга с нелинейными связями в каждой паре:

XI = У1 -С(®ь®2) +<*л(*з + х{)

VI = ЛуЛ 1 - Ах?) - ~ XI

X2 = У2 - С(Х2,Х1) + (1к(Х4 + Х2)

2/2 = ф2(1-Ах1)-^]-х2, ,дч

¿3=1/3- С(х3, Х4) + ¿н{Х1 + Х3)

Уз = г[у3(1 - Ах!) - рх%) - х3

Х4=У4- С(х4,хз) + (¿к(х2 + Х4)

1/4 = г[з/4(1 - Ах|) - /?х|] - х4,

Рассмотрены случаи симметричных (ф, <1к) и несимметричных связей (й/, ф йк)- Для случая симметричных связей установлено, что при

достаточной силе разностной связи <1^, система демонстрирует противофазную синхронизацию между парами автогенераторов, в том числе и в области хаотического поведения. Это позволяет обобщить на систему (5) результаты полученные для одной пары автогенераторов (динамика второй пары определяется соотношениями: х$ = —Х1,Х4 = —яг)-

В случае несимметричных связей при переходе к хаосу одно из мета-стабильных состояний появится при меньших значениях управляющего параметра. Это приводит к разрушению противофазной синхронизации между парами автогенераторов при некоторых значениях управляющего параметра.

В главе также обсуждается возможность использования системы (5) в качестве модели локомоторного ритма человека. Показано, что она качественно описывает результаты экспериментов по вынужденной локомоторной активности, вызванной нерезонансной вибрацией мышц.

Четвертая глава посвящена моделированию динамики малых нейронных ансамблей. В первой и второй частях главы рассматривается динамика базового элемента и свойства межэлементной связи. Базовый элемент был выбран в виде модели нейрона Хиндмарша-Розе, представляющей собой релаксационный автогенератор:

где ц, Л - фиксированные параметры, ¿¿с - управляющий параметр, - внешний импульсный сигнал.

Дан обзор динамических режимов релаксационного автогенератора (6) в зависимости от управляющего параметра ^с: состояние покоя, регулярная и хаотическая генерация импульсов (спайков) и пачек импульсов (беретов).

Межэлементная нелинейная пороговая связь задавалась следующей системой уравнений:

jai = ±gon{t){xrev - Xpost),

где xth,a,g0 и xrev - параметры, хрте - входной сигнал, a xpost - сигнал автогенератора. Плюс отвечает возбуждающей, минус - тормозящей связи.

= у + Зх2 - X3 - Z + jdc + jai = 1-5х2 -у, = fi(4(x + h) - z),

dt dz

(6)

В третьей части главы рассматривается синхронизация автогенератора внешним импульсным периодическим сигналом следующего вида:

где Т - период появления импульсов, хо, т - фиксированные параметры, <д(х) - функция Хевисайда. В частности, изучен ответ нейрона на стимул с различной частотой следования импульсов. Для фиксированных значений параметров ¿¿с и а построены области захвата частоты автогенератора, изучены режимы хаотического поведения между облаг стями синхронизации. Исследовано явление подавления колебаний.

В четвертой части главы исследуется влияние нерегулярной последовательности импульсов на систему однонаправлено связанных релаксационных автогенераторов с нелинейными пороговыми связями (входной импульсный сигнал —» тормозящая нелинейная связь —¥ автогенератор (в режиме генерации импульсов) —► возбуждающая нелинейная связь -> автогенератор (в состоянии покоя) —> выходной сигнал). Входная последовательность спайков задавалась в виде:

с межимпульсными интервалами, распределенными по закону:

Входной сигнал первым автогенератором, находящимся в режиме генерации спайков, преобразуется в последовательность серий импульсов (беретов), которая в свою очередь вторым автогенератором, находящимся в состоянии покоя, снова преобразуется в последовательность спайков (рис. 3). Были получены зависимости, характеризующие эффективность динамического преобразования кодирующих сигналов (последовательностей спайков в береты, и наоборот) от управляющих параметров автогенераторов и связей. В качестве количественной оценки эффективности преобразований было выбрало отношение частот появления событий, содержащих информацию (спайки, береты), на входе и выходе элемента, либо канала в целом.

Показано, что зависимости эффективности преобразования импульсов в береты от параметров нелинейной связи и автогенератора имеют плавный монотонный вид. При этом часть спайков входного сигнала

23 2 1.5 1

-0.5 -1 -1.5 -2

О 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

2.5 2 1.5 1

-0.5 -1 -и

-2

О 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

2.5 2 1.5 1 0.5 О

-0.5 -1 -1.5 -2

О 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Рис. 3. Осциллограммы переменных а;»п,Ж1,Х2 соответственно

преобразуется в береты вдали от бифуркационной границы, разделяющей режимы генерации спайков и беретов невозмущенной динамической системы, в то время как такое преобразование осуществляется не всегда надежно вблизи этой границы. Установлено, что причиной этого является так называемая "динамическая ненадежность", связанная с наличием собственной динамики у первого автогенератора. С помощью бифуркационного анализа и исследования фазового пространства автогенератора установлен механизм преобразования импульсов в береты. Показано, что этот процесс носит вероятностный характер и зависит от фазы колебаний автогенератора в момент прихода входного импульса. Это было проиллюстрировано на примере периодической генерации спайков. В фазовом пространстве автогенератора спайкам соответствует устойчивый предельный цикл, который охватывает сепаратрисная поверхность седловой траектории. Короткий входной импульс быстро "изменяет начальные условия" динамической системы. В случае вы-

Т-1-1-1-1-1-I-г

J_I_I_I_I_I_I_I

хода изображающей точки за сепаратрисную поверхность происходит генерация берета. Другими словами, генерации берета соответствует уход траектории за сепаратрисную поверхность в переходном процессе, вызванным действием входного импульса. Возможность или невозможность такого перехода зависит фазы генерируемых спайков в момент прихода импульсов входного сигнала.

Установлено, что обратное динамическое преобразование беретов в спайки происходит надежно в широком интервале параметров возбуждающей нелинейной связи и второго автогенератора.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты и выводы:

1. Показано, что в системе автогенераторов Ван-дер-Поля - Дюф-финга, с кубической функцией связи появляется бистабильность, проявляющаяся в одновременном существовании двух периодических решений, отвечающих колебаниям автогенераторов с разностью фаз Д= ±уо> Уо С (0, я-). Установлено, что в такой системе возможно хаотическое поведение. Переход к хаосу осуществляется через перемежаемость 1-го рода с двумя метастабильными состояниями.

2. Проведено исследование влияния слабых аддитивных и мультипликативных с различными временами корреляции на перемежаемость 1-го рода с двумя метастабильными состояниями. Получены смещение границы появления перемежаемости и скейлинги в зависимости средней длительности ламинарных фаз от надкритичности и плотности вероятности ламинарных фаз. Показано, что аддитивные шумы с различными временами корреляции и мультипликативные шумы с малыми временами корреляции (порядка периода колебаний) качественно не меняют динамику системы, тогда как мультипликативные шумы с большими временами корреляции (порядка длительности ламинарной фазы) меняют ее к виду характерному для оп-оАГ перемежаемости.

3. Показано, что две линейно связанных пары автогенераторов (с нелинейными связями в каждой паре) могут демонстрировать противофазную синхронизацию, что позволяет обобщить на эту систему результаты, полученные для одной пары автогенераторов с нелинейными связями.

4. Предложена модель локомоторного ритма человека, которая качественно описывает наблюдаемые в эксперименте по инициирова-

нию локомоторных движений человека нерезонансной вибрацией мышц режимы хождения вперед и назад и нерегулярные переключения между ними.

5. Изучено явление синхронизации и подавления колебаний релаксационного автогенератора, находящегося в режиме генерации импульсов, внешним импульсным периодическим сигналом. Получены области захвата частоты.

6. На примере системы релаксационных автогенераторов с нелинейными связями (один их которых находится в режиме генерации импульсов, а другой - в состоянии покоя) проведено исследование процессов преобразования кодируущих сигналов (последовательностей спайков в береты, и наоборот). Изучен механизм динамической ненадежности, наблюдающийся при преобразовании импульсов в береты.

Публикации:

1. Мольков Я.И., Сущик М.М., Кузнецов А.С Козлов А.К., Захаров Д.Г. Динамическая модель локомоторных движений человека, вызванных вибрационным воздействием на мышцы /it Вестник ИНГУ. Сер. Радиофизика, Нижний Новгород, 1998, с. 63-88.

2. Мольков Я.И., Сущик М.М., Захаров Д.Г. Феноменологическая модель шагательных движений человека, вызванных нерезонансной вибрацией. Научная конференция по радиофизике, посвященная 80-летию ННГУ им. Лобачевского. Тезисы докладов, Нижний Новгород, 1998, с. 42.

3. Мольков Я.И., Сущик М.М., Захаров Д.Г. Динамическая модель локомоторных движений человека, вызванных вибрационным воздействием на мышцы. Третья нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докладов, Нижний Новгород, 1998, с. 95.

4. Ya.I. Molkov, М.М. Sushchik, A.S. Kuznetsov, A.K. Kozlov and Za-kharov D.G. Dynamical model for locomotor-like movements of humans. Proceedings of the International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (Nolta'98), Crans-Montana, Switzerland, 1998, ». 3., p. 1325-1328.

5. Ya.I. Molkov, M.M. Sushchik, A.S. Kuznetsov, A.K. Kozlov and Za-kharov D.G. Dynamical model for locomotor-like movements of humans. The Book of Abstracts of the 5th International School of Chaotic Oscillations and Pattern Formations CHAOS'98, Saratov, 1998, p. 43.

6. Ya.I. Molkov, M.M. Sushchik and Zakharov D.G. Synchronized oscillations in the system of two coupled Van-der-Pol-Duffing-Rayileigh oscillators. The Book of Abstracts of the 5th International School of Chaotic Oscillations and Pattern Formations CHAOS'98, Saratov, 1998, p. 61.

7. Захаров Д.Г., Мольков Я.И., Сущик M.M. Синхронизированные колебания в системе двух связанных генераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга. Известия ВУЗов. Радиофизика, 1998, Том XLI, N12, с. 1531-1536.

8. Мольков Я.И., Сущик М.М., Захаров Д.Г. Синхронизированные колебания в системе двух связанных генераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга. II Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков. Тезисы докладов, Санкт- Петербург, 1998, с. 40-42.

9. Захаров Д.Г., Мольков Я.И., Сущик М.М. Влияние случайных воздействий на систему двух генераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга с нелинейной функцией. Четвертая нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докладов, 1999, с. 152.

10. Мольков Я.И., Сущик М.М., Кузнецов А.С Козлов А.К., Захаров Д.Г. Динамическая модель локомоторных движений человека, вызванных вибрационным воздействием на мышцы. Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1999, Том 7, N 2-3. с. 107-121.

11. Захаров Д.Г., Мольков Я.И., Сущик М.М. Влияние случайных воздействий на систему нелинейно связанных генераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга. Труды 3-й конференции по радиофизике, Нижний Новгород, 1999, с. 114-115.

12. Zakharov D.G., Ya.I. Molkov and M.M. Sushchik Synchronized oscillations in a system of two coupled Van-der-Pol-Duffing oscillators. Radiophysics and Quantum Electronics, v. 41, N 12, 1998, p. 10371041.

13. Захаров Д.Г., Мольков Я.И., Сущик М.М. Динамическая модель центрального генератора паттернов человека. Тезисы докладов Пятой Всероссийской конференции по биомеханике, Нижний Новгород, 2000.

14. Захаров Д.Г., Мольков Я.И., Сущик М.М. Влияние аддитивных и мультипликативных шумов на динамику двух нелинейно свя-

занных генераторов Ван-дер- Поля-Дюффинга. Пятая нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докладов, 2000, с. 30-31.

15. Zakharov D.G., Ya.I. Molkov and M.M. Sushchik The Effect of Noise on a Bistable Regime in the Dynamical Model of Locomotor Rhythm. Proceedings of the Second International Conference "Control of Oscillation and Chao" (COC 2000), Sankt-Peterburg, Russia, 2000, v. Ill, p. 457-460.

16. Zakharov D.G., A.S. Kuznetsov and M.M. Sushchik The Effect of Additive Multiplicative Noise on the Dynamics of Locomotor Central Pattern Generator. The International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications NOLTA 2000). Book of Abstract, Dresden, Germany, September 17- 21, 2000, p. 661.

17. Захаров Д.Г., Кузнецов А.С., Сущик M.M. Определение параметров динамической модели центрального генератора паттернов человека по экспериментальным реализациям. Шестая нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докладов, 2001, с. 9.

18. Zakharov D.G., A.S. Kuznetsov and M.M. Sushchik The Role of Intrinsic Dynamics of Neural Ensembles for Coding of Information. Book of Abstracts of the International Conference "Dynamics Days 2001", Dresden, Germany, June 5 - 8, 2001, p. 127.

19. Zakharov D.G., A.S. Kuznetsov and M.M. Sushchik Role of Dynamical Synapse in the Coding of Information in Small Neuron Ensembles. Book of Abstracts of the International Conference "Progress in Nonlinear Science", Nizhny Novgorod, Russia, July 2 - 6, 2001, p. 267.

20. Zakharov D.G., A.S. Kuznetsov and M.M. Sushchik Model of the Chaotic Involuntary Stepping-Like Movements of a Human Leg. Book of Abstracts of the International Conference "Progress in Nonlinear Science", Nizhny Novgorod, Russia, July 2 - 6, 2001, p. 343.

21. Zakharov D.G., A.S. Kuznetsov and M.M. Sushchik The Action of Intrinsic Chaos of Small Neuronal Ensembles on Transmission of Sensor Information. Abstract Booklet of the International Conference "Experimental Chaos 2001", Potsdam, Germany, July 22 - 26, 2001, p. 59.

22. Zakharov D.G., A.S. Kuznetsov and M.M. Sushchik Dynamical Model of the Rhythm of Involuntary Stepping-Like movements of a Human Leg. Abstract Booklet of the International Conference "Experimental Chaos 2001", Potsdam, Germany, July 22 - 26, 2001. p. 62.

23. Захаров Д.Г., Кузнецов А.С., Сущик М.М. Влияние особенностей внутренней динамики малых нейронных ансамблей на кодирование информации. The Book of Abstracts of the 6th Internationa] School of Chaotic Oscillations and Pattern Formations (CHAOS'01), Saratov, Russia, October 2 - 7, 2001. p. 68.

24. Захаров Д.Г., Кузнецов А.С., Сущик М.М. Оценка параметров динамической модели локомоторного ритма человека по экспериментальным данным. The Book of Abstracts of the 6th International School of Chaotic Oscillations and Pattern Formations (CHAOS'Ol), Saratov, Russia, October 2 - 7, 2001, p. 93.

25. D.G. Zakharov Influence of inhibitory pulse train on a pacemaker Hindmarsh-Rose neuron. In Proceedings of the International Sym- * posium "Topical problem of Nonlinear Wave Physics" (NWP-2003),

Nizhny Novgorod, September 06 - 12, 2003, p. 133-134.

26. Д.Г. Захаров О воздействии импульсного стимула на нейрон Хинд-марша-Розе. Тезисы докладов Конференции молодых ученых, XII научная школа "Нелинейные волны - 2004", Нижний Новгород, 29 февраля - 7 марта, 2004, с. 43-44.

27. Д.Г. Захаров Динамика нейрона Хиндмарша-Розе при импульсном воздействии. Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика., 2005, Том 13, N 1-2, с. 109-122.

Оглавление диссертации

Введение

Глава 1. Динамика двух нелинейно связанных автогенераторов 1.1 Бифуркационный анализ периодических решений при малой нелинейности 1.2 Бифуркационный анализ периодических решений при сильной нелинейности 1.3 Область хаотического поведения 1.4 Механизмы перехода к хаосу 1.5 Выводы

Глава 2. Влияние расстройки параметров и случайных воздействий на динамику двух нелинейно связанных автогенераторов 2.1 Влияние линейной расстройки частоты 2.2 Влияние случайных воздействий 2.3 Выводы

Глава 3. Динамика системы четырех автогенераторов с нелинейными связями

3.1 Симметричные связи 3.2 Несимметричные связи 3.3 Система четырех автогенераторов с нелинейными связями как модель локомоторной активности человека 3.4 Выводы

Глава 4. Динамика системы релаксационных автогенераторов с однонаправленными нелинейными пороговыми связями под импульсным воздействием

4.1 Динамика элемента 4.2 Динамика межэлементной связи 4.3 Синхронизация релаксационного автогенератора периодическим импульсным сигналом 4.4 Преобразование кодирующих сигналов 4.5 Выводы Заключение Библиография

В1 7 85 1

РНБ Русский фонд

2006-4 16398

Денис Геннадьевич Захаров

СИНХРОНИЗАЦИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В МАЛЫХ АНСАМБЛЯХ АКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С НЕЛИНЕЙНЫМИ СВЯЗЯМИ

Автореферат

Подписано к печати 27.09.2005 г. Формат 60 х 90 '/,6. Бумага офсетная № 1. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ №97(2005)

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН, 603950 Н. Новгород, ул. Ульянова, 46

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Захаров, Денис Геннадьевич

Введение

1 Динамика двух нелинейно связанных автогенерато

1.1 Бифуркационный анализ периодических решений при малой нелинейности.

1.1.1 Анализ укороченных уравнений

1.1.2 Переход к конечной нелинейности.

1.2 Бифуркационный анализ периодических решений при сильной нелинейности.

1.3 Область хаотического поведения.

1.4 Механизмы перехода к хаосу.

1.5 Выводы.

2 Влияние расстройки параметров и случайных воздействий на динамику двух нелинейно связанных автогенераторов.

2.1 Влияние линейной расстройки частоты.

2.2 Влияние случайных воздействий.

2.2.1 Влияние аддитивного шума.

2.2.2 Влияние мультипликативного шума.

2.3 Выводы.

3 Динамика системы четырех автогенераторов с нелинейными связями

3.1 Симметричные связи.

3.2 Несимметричные связи

3.2.1 Система четырех автогенераторов с нелинейными связями как модель локомоторной активности человека.

3.3 Выводы.

4 Динамика системы релаксационных автогенераторов с однонаправленными нелинейными пороговыми связями под импульсным воздействием

4.1 Динамика элемента.

4.1.1 Быстрая подсистема.

4.1.2 Медленная подсистема

4.2 Динамика межэлементной связи.

4.3 Синхронизация релаксационного автогенератора периодическим импульсным сигналом.

4.4 Преобразование кодирующих сигналов

4.4.1 Преобразование импульсов в береты. 4.4.2 Преобразование беретов в импульсы.

4.4.3 Динамическая ненадежность.

4.5 Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Синхронизация и динамический хаос в малых ансамблях активных элементов с нелинейными связями"

Исследование коллективной динамики ансамблей автоколебательных систем на протяжении многих лет является актуальной задачей радиофизики. С одной стороны такими ансамблями являются цепочки и решетки джозевсоновских контактов [1, 2], полупроводниковые лазеры [ 3]-[ 5] и генераторы переменного тока [6, 7], фазированные антенные решетки [ 8]-[ 13] и д.р. С другой стороны в дискретном приближении с помощью цепочек и решеток автогенераторов можно моделировать некоторые нелинейные процессы в таких распределенных системах как неоднородные гидродинамические среды [ 14]-[ 16], оптические волокна [ 17]-[ 20], неравновесные химические реакции [ 21]-[ 28] и др.

Наиболее хорошо изучены ансамбли автоколебательных систем с линейными связями. К этому типу относятся, например, ансамбли с резистивными, индуктивными и емкостными связями. Для малых ансамблей автогенераторов с линейными связями изучены такие явления как синхронизация, конкурентное подавление колебаний, регуляризация хаотической динамики элементов. В качестве примера можно привести два индуктивно связанных генератора Ван-дер-Поля [ 29], малые ансамбли ротаторов [ 30, 31], контактов Джозеф-сона [•!]-[ 5], элементов ФитцХью-Нагумо [ 32]-[ 34], генераторов Чуа [ 35, 36] и т.д. В цепочках и решетках автогенераторов проведены исследования пространственной синхронизации колебаний [ 31]-[ 45] и пространственно-временного беспорядка [ 37]-[ 43]. Для больших ансамблей мультистабильных элементов изучены явления формирования пространственных структур [ 46]-[ 51], нелинейные волновые процессы [ 52]-[ 58]: бегущие импульсы и диссипативные солитоны в возбудимых системах, фронты переключения в бистабильных системах, спиральные и концентрические волны в решеточных системах возбудимого типа.

В последнее время наблюдается повышенный интерес к нетрадиционным системам передачи, обработки и хранения информации, построенных на основе принципов функционирования нейронных ансамблей. Большое число работ посвящено моделированию малых нервных систем простейших организмов, нейронных ансамблей передающих и обрабатывающих информацию, генераторов ритма, управляющих движениями живых организмов и т.д. Наиболее широкое распространение получили автогенераторные модели нейродинами-ческих систем. Нейроны, как правило, моделируются релаксационными автогенераторами [ 62]-[ 66], которые могут периодически и хаотически, самостоятельно и под действием стимула генерировать как уединенные импульсы (спайки) так и пачки импульсов (береты). Взаимодействие между нейронами происходит посредством так называемых синаптических связей [ 67, 68], которые могут представлять из себя как линейные резистивные, так и нелинейные пороговые связи. Отметим, что для более развитых нервных систем свойственны именно нелинейные связи. Возникающие перед нейронными ансамблями задачи решаются за счет коллективной динамики, обеспечиваемой конфигурацией, типом и силой связей. Такое устройство обеспечивает гибкость и "обучаемость" нейронных ансамблей посредством перераспределения связей и их параметров.

Целью диссертационной работы является изучение динамических и информационных аспектов динамики малых ансамблей автоколебательных систем с нелинейными связями (кубичной и пороговой) и исследование влияния шума на динамику малых ансамблей автоколебательных систем.

Научная новизна:

1. Проведено исследование динамики двух нелинейно связанных автогенераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга при сильной нелинейности. Получены области существования синхронных режимов, разность фаз между которыми равна А<р = ±</?, (р е (0,7г). Обнаружено существование хаотического аттрактора, рождение которого происходит через перемежаемость 1-рода с двумя метастабильными состояниями, проявляющуюся в чередовании временных интервалов с квазипериодическим и хаотическим поведением. Обнаружено, что при критическом значении управляющего параметра одновременно исчезают две пары предельных циклов и появляются два метастабильных состояния. Поэтому, в отличии от классического случая, в исследуемой системе для перемежаемости характерны нерегулярные переключения между двумя квазипериодическими режимами.

2. Изучено влияние шумов на перемежаемость первого рода с двумя метастабильными состояниями. Установлено, что мультипликативные шумы с большим временем корреляции (порядка длительности ламинарной фазы) качественно меняют зависимость средней длительности ламинарных фаз от надкритично-сти и плотность распределения вероятности ламинарных фаз, приводя их к виду характерному для оп-о££ перемежаемости.

5. Установлен механизм генерации серий импульсов (беретов) релаксационным автогенератором, моделирующим нейрон Хинд-марша-Розе с тормозящей нелинейной связью, под действием импульсного сигнала. Показано, что генерации беретов соответствует переходный процесс, являющийся следствием специфической топологии фазового пространства системы, в окрестности единственного аттрактора.

Теоретическая и практическая значимость результатов:

Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ.

Апробация результатов: Основные результаты диссертации были опубликованы в [ 69]-[ 78] и представлены Научных конференциях ННГУ (1998-1999), Сессиях молодых ученых (Нижний Новгород, 1998-2001), II Всероссийской научной конференции студентов - радиофизиков (Санкт-Петербург, 1998), Пятой всероссийской конференции по биомеханике (Нижний Новгород, 2000), международных симпозиумах: The International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications Nolta'98 (Crans -Montana, Switzerland, 1998), The Int. Summer School-Workshop DYNAMICS DAYS in Nizhny Novgorod DDNN98 (Нижний Новгород, Россия, 1998), The 5th International School of Chaotic Oscillations and Pattern Formations CHAOS'98 (Саратов, Россия,1998), The Second International Conference "Control of Oscillation and Chaos" COC'2000

Санкт-Петербург, Россия, 2000), The International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications NOLTA'2000 (Dresden, Germany, 2000), The International Conference "Dynamics Days 2001" (Dresden, Germany, 2001), The International Conference "Progress in Nonlinear Science" (Нижний Новгород, Россия, 2001), The International Conference "Experimental Chaos 2001" (Potsdam, Germany, 2001), The 6th International School of Chaotic Oscillations and Pattern Formations CHAOS'Ol (Саратов, Россия, 2001), XII Научная школа "Нелинейные волны - 2004" (Нижний Новгород, 2004).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

4.5 Выводы

В этой главе изучено влияние импульсного сигнала на динамику малого ансамбля релаксационных автогенераторов. Получены елле-дующие результаты:

• При действии периодической входной последовательности импульсов:

1. Для фиксированных значений параметров ¿¿с и а получены основные области захвата частоты на плоскости (до^{П).

2. Хаотические режимы, возникающие между областями синхронизации описаны с помощью функций последования, гистограммы межимпульсных интервалов и временных диаграмм межимпульсных интервалов.

3. Для больших значений силы связи до обнаружен эффект подавления колебаний.

При действии входной последовательности спайков со случайной плотностью вероятности межимпульсных интервалов:

1. Показано, что преобразование спайков в береты в простейшем случае может быть осуществлено находящимся в режиме генерации импульсов релаксационным автогенератором с тормозящей нелинейной связью. Изучена эффективность такого преобразования от параметров связи и контрольного параметра элемента.

2. установлено, что в процессе преобразования спайков в береты имеет место динамическая ненадежность связанная с наличием собственной динамики у элемента (предельного цикла или хаотического аттрактора). Установлен механизм динамической ненадежности.

3. Показано, что преобразование беретов в спайки может быть осуществлено находящимся в покое автогенератором с нелинейной возбуждающей связью. Показано, что зависимость эффективности такого преобразования от параметров связи и контрольного параметра элемента носит пороговый характер и осуществляется надежно в широкой области этих параметров.

1. Показано, что в системе автогенераторов с кубичной функцией связи С(жг, = ^у(х{—х^((хг—ху)2 — а) появляется вызванная связью бистабильность, проявляющаяся в одновременном существовании двух периодических решений, отвечающих колебаниям автогенераторов с разностью фаз А(р — е [0,7г]. Установлено, что в такой системе возможно хаотическое поведение. Переход к хаосу осуществляется через перемежаемость 1-го рода с двумя метастабильными состояниями.

2. Проведено исследование влияния слабых аддитивных и мультипликативных с различными временами корреляции на перемежаемость 1-го рода с двумя метастабильными состояниями. Получены смещения границы появления перемежаемости и скейлинги в зависимости средней длительности ламинарных фаз от надкритичности и плотности вероятности ламинарных фаз. Показано, что аддитивные шумы с различными временами корреляции и мультипликативные шумы с малыми временами корреляции (порядка периода колебаний) качественно не меняют динамику системы, тогда как мультипликативные шумы с большими временами корреляции (порядка длительности ламинарной фазы) меняют ее к виду характерному для оп-о!Т перемежаемости.

4. Предложена модель локомоторного ритма человека, которая качественно описывает наблюдаемые в эксперименте по инициированию локомоторных движений человека нерезонансной вибрацией мышц режимы хождения вперед и назад и нерегулярные переключения между ними.

5. Изучено явление синхронизации и подавления колебаний релаксационного автогенератора, находящегося в режиме, с пороговой нелинейной связью внешним импульсным сигналом. Получены области захвата частоты.

6. На примере системы релаксационных автогенераторов с нелинейными связями (один из которых находится в режиме генерации импульсов, а другой - в состоянии покоя) проведено исследование процессов преобразования кодирующих сигналов (последовательностей спайков в береты, и наоборот). Изучен механизм динамической ненадежности, наблюдающийся при преобразовании спайков в береты.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Захаров, Денис Геннадьевич, Нижний Новгород

1. Hedley P. Beasley M.R. and Wiesenfeld К. Phys.Rev.B 38(1988) 8712.

2. Hedley P. Beasley M.R. and Wiesenfeld К. Appl.Phys.Lett. 52(1988) 1619.

3. Wang S.S. and Winful H.G. Appl.Phys.Lett. 52(1988) 1774.

4. Wang S.S. and Winful H.G. Appl.Phys.Lett. 53(1988) 1894.

5. Jane A.K. et. al, Phys. Reports, 109(1984) 309

6. Веников В. А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М. Высшая школа, 1978. 415 с.

7. Варайя П., У Ф.Ф., Чжань Жунлян. ЕТТЭР, 73(1985), N 12, 8.

8. Линд сей В. Системы синхронизации в связи и управлении / / Перевод с английского под ред. Ю.Н. Бакаева, М.В. Капранова. М. Сов. Радио, 1978. 600 с.

9. Мучник Г.Ф. Наука и жизнь, 1988, N 3, с. 68-75.

10. Радиопередающие устройства Под ред. М.В. Благовещенского, Г.М. Уткина. М. Радио и связь, 1982. 408 с.

11. Самойленко В.И. Шишов Ю.Л. Управление фазированными антенными решетками. М. Радио и связь, 1983, 238 с.

12. Есин C.B., Каганов В.И. Зарубежная радиоэлектроника, 1986, N 8, с. 39-48.

13. Дворников A.A., Уткин Г.М. Фазированные автогенераторы радиопередающих устройств. М. Энергия, 1980. 176 с.

14. Арансон И.С., Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И., Рогаль-ский A.B., Caгдеев Р.В. Решеточные модели в нелинейной динамике неравновесных сред. Препринт N. 163. -Горький: ИПФ АН СССР. 1987. 24 С.

15. M.I.Rabinivich, V.P.Reutov, A.V.Rogal'skii. Phys. Let. A, (1992) 217.

16. A.B.Ezerskii, M.I.Rabinivich, V.P.Reutov, I.M.Starobinets. Sov. Pys. JETP 64 (1986) 1228.

17. Хаус X. Волны и поля в опто-электронике. M.: Мир, 1988 (пер. с англ. под ред. К.Ф. Шипилова).

18. Агравал Г. Нелинейная волновая оптика. М.: Мир, 1996 (пер. с англ. под ред. П. В. Малышева).

19. Hasegawa A., Kodama Y. Solitons in Optical Communications. Oxford: Oxford Univ. Press, 1995.

20. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. Советское радио: 1977. 368 с.

21. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука. 1984. 432 С.

22. Нелинейные волны. Самоорганизация. Под. ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича.М.: Наука. 1983. 264 С.

23. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. Под. ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. М.: Наука. 1989. 398 С.

24. Saarloos W. and Hohenberg P.C., Fronts, pulses, sources and sinks in generalized complex Ginzburg-Landau equation. Physica D, 56(1992) 303.

25. Жаботинский A.M., Концентрационные автоколебания. M.: Наука. 1974. 250 С.

26. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Springer, New York, 1984.

27. Полак JI.С., Михайлов А.С. Процессы самоорганизации в физико-химических системах. М.: Наука, 1983, 115 С.

28. Колебания и бегущие волны в химических системах. Под ред. Филда Р., Бургер М. М.: Мир, 1988, 720 С.

29. Appleton E.V. The automatic synchronization of triod oscillators. Proc. Cambridge Phil. Soc. (Math, and Phys. Sci.) 21(1922) 231.

30. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. Наука: М. 1981.

31. Белых В.Н., Веричев Н.Н. Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1988. N. 6.

32. Volkov E.I. and Volkov D.V. Phys. Rev. E, 65(2002) 046232.

33. Volkov E.I., Stolyarov M.N., Zaikin A.A., and Kurths J. Phys. Rev. E, 67(2003) 066202.

34. Mosekilde E., Postnov D.E. and Sosnovtseva O.V. Progress of Theoretical Physics Supplement, N 150 (2003) 1-17.

35. Kazantsev V.B., Nekorkin V.I. and Velarde M.G. Int. J. Bifurcation and Chaos 7(1997) 1775-1790.

36. Nekorkin V.I., Kazantsev V.B. and Chua L.O. Int. J. Bifurcation and Chaos 6(1996) 1295-1317.

37. Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. Nonlinearity. 1(1988) 581.

38. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B. and Velarde M.G. Physica D 100(1997) 330-342.

39. Afraimovich V.S., Nekorkin V.l., Osipov G.V. and Shalfeev V.D. Stability, structures and chaos in nonlinear synchronization networks. World Scientific, Singapore, 1994.

40. Astakhov V.V., Anishenko V.S., Shabunin A.V. IEEE Trans, on Circuits and Systems I. 42(1995), N 6, 352-357.

41. Winful H.G., Rahman L. Physical Review Letters, 65(1990) 15751578.

42. Otsuka K. Physical Review Letters, 65(1990) 329-332.

43. Рабинович М.И., Фабрикант А.Л., Цимринг Л.Ш. УФН, 162(1992), N 8.

44. Гуртовник A.C., Неймарк Ю.И. Динамика систем: Динамика и управление. Сб. науч.тр. под ред. Ю.И. Неймарка. Н.Новгород. Гос. ун-т, 1991, 84-97.

45. Sushchik М.М., Osipov G.V. Physics Letters A, N 201(1995) 205212.

46. Mori H., Kuramoto Y. Dissipative Structures and Chaos. SpringerVerlag, Berlin, 1998.

47. Chate H., Courbage M. (Editors). Physica D 1-4 (1997).

48. Nekorkin V.l., Kazantsev V.B. and Velarde M.G. Phys. Rev. E 59(1999) 4515-4522.

49. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. Под ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. М.: Наука. 1987. 398 с.

50. Полак Л.С., Михайлов А.С. Процессы самоорганизации в физико-химических системах. М.: Наука, 1983, 115 с.

51. Nicolis G., Prigozhin I. Self-Organization in Non-Equilibrium Systems, N.Y., Wiley, 1977.

52. Хаус X. Волны и поля в опто-электронике. M.: Мир, 1988 (пер. с англ. под ред. К.Ф. Шипилова).

53. Агравал Г. Нелинейная волновая оптика. М.: Мир, 1996 (пер. с англ. под ред. П. В. Малышева).

54. Hasegawa A., Kodama Y. Solitons in Optical Communications. Oxford: Oxford Univ. Press, 1995.

55. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. Советское радио: 1977. 368 с.

56. Нелинейные волны. Самоорганизация. Под. ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. М.: Наука, 1983, 264 с.

57. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. Под. ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. М.: Наука, 1989, 398 с.

58. Perez-Munuzuri A., Perez-Munuzuri V., Perez-Villar V., Chua, L.O. IEEE Trans. Circuits Syst. 40(1993) 872-877.

59. Шагильдян В.В., Ляховкин A.A. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.:Связь, 1972.

60. Лиидсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. Пер. с англ.; под ред. Бакаева Ю.И., Капранова M.B. М.: Сов. радио, 1978.

61. Матросов В.В., Касаткин Д.В. Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 12(2004), N 1-2, 159-168.

62. Hodgkin A.L., Huxley A.F. J. Physiol (London), 117(1952) 500.

63. Ходжкин А. Нервный импульс. M.: Мир, 1965, 126 с.

64. Fitz Hugh R. Biophys. J., 1(1961) 445-446.

65. Nagumo J., Arimoto, S., Yoshizawa S. Proc. IRESO, 1962, 20612070.

66. Hindmarsh J.L., Rose R.M. Proc. R. Soc. Lond. B, 221(1984) 87102.

67. Methods in Neuronal Modeling. Edited by Koch, C. and Segev, I. MTI Press, Cambridge, MA, 1998.

68. A. Destexhe et. al, Neural Сотр., 6(1994) 14-18 .

69. Мольков Я.И., Сущик М.М., Кузнецов А.С Козлов А.К., Захаров Д.Г. "Динамическая модель локомоторных движений человека, вызванных вибрационным воздействием на мышцы". Вестник ННГУ. Сер. Радиофизика, Нижний Новгород, 1998, 63-88.

70. Захаров Д.Г., Мольков Я.И., Сущик М.М. "Синхронизированные колебания в системе двух связанных генераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга". Известия ВУЗов. Радиофизика, 1998, XLI, N12, 1531-1536.

71. Zakharov D.G., Ya.I. Molkov and М.М. Sushchik "Syncronized oscillations in a system of two coupled Van-der-Pol-Duffing oscillators". Radiophisics and Quantum Electronics, 41, N 12,1998, 1037-1041.

72. Мольков Я.И., Сущик М.М., Кузнецов А.С Козлов А.К., Захаров Д.Г. "Динамическая модель локомоторных движений человека, вызванных вибрационным воздействием на мышцы". Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1999, 7, N 2-3, 107-121.

73. Захаров Д.Г., Мольков Я.И., Сущик М.М. "Влияние случайных воздействий на систему нелинейно связанных генераторов Вандер-Поля-Дюффинга". Труды 3-й конференции по радиофизике, Нижний Новгород, 1999, с. 114.

74. D.G. Zakharov "Influence of inhibitory pukse train on a pacemaker Hindmarch-Rose neuron". The Proceedings of the International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics"(NWP-2003). Nizhny Novgorod, Russia. September, 6-12, 2003, 133-134.

75. Д.Г. Захаров "Динамика нейрона Хиндмарш-Розе при импульсном воздействии". Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2005, 13, N 1-2, 109-122.

76. Haken Н., Kelso J.A.S., Bunz Н. Biol. Cybern. 51(1985), 347.

77. Kelso J.A.S., Scholz J.P., Schover G. Phys. Lett. 118(1986) 279.81 828384 8586