Хаос волн и пространственный беспорядок в решеточных моделях автоколебательных сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

ХАОС ВОЛН И ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ БЕСПОРЯДОК В РЕШЕТОЧНЫХ МОДЕЛЯХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СРЕД

01.04:03 — Радиофизика

А»торефер«т

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов 1992

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского.

■ 1 • Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. М. Елеонский, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор С. П. Курдюмов,

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Д. И. Трубецков.

• Ведущая, организация — Институт радиоэлектроники РАН (г. Москва).

Защита состоится « »_^¡ШИ^у_. 1992 г.

в а уд. (корпус^?) в. часов на заседании специализирован-

ного совета Д. 063.74.01 по радиофизике при Саратовском государственном университете им. Н. Г. Чернышевского по адресу: 410071, Саратов, ул. Астраханская, д. 83.

С диссертацией можно ознакомиться п Научной библиотеке СГУ. Автореферат разослан «

мал 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, /

кандидат физико-математических - Ч ,

наук, доцент ^'/гВ- М- Аникин

_ з -

общая характеристика работ!!

Актуальность проблем!. I' нелинейной физике в ал ной место занимают проблемы, связанные с динамике» больного числа лзаи-моднИствусщих идентичных или почти идентичных элементов. Н частности, многие радиофизические системы (сети синхронизации, фазировании? антенные и лазерное ренеткя. пеночки дгозсфсоново-ких контактов и др.) представляй собоП ансамбли взаимосвязанных однотипных автоколебательных объектов. Особенностью таких систем является то, что их коллективная динам: кл нмоэт много общего с пространственно-временным поведением неравновесных сред, другими словами, проблемы исследования коллективного поведения упорядоченных в пространстве ансамблей автоколебательных систем тесно переплетается с проблемами теории нелинейных волн и структур в распределенных системах (АЛ1.Колмогоров, И.Г. Петровский, Н.С.Пискунов, Р.13.Хохлов, Я.Б.Зельдович, Л.Н.Гатто-нов-Г'рехсв, М.И.Рабинович, С.ii.Курдюков и др.; и, п нарпуп очередь, с изучением явления самоорганизации и хаотизашш. Очевидно, что эти явления чрезвычайно вами и для взаимосвязанных автоколебательных систем. Однако для дискретных сред следует ожидать и принципиальных отличия, связанных именно с дискретностью пространственных координат. Широкое распоостоанениз и разнообразная динамика дискретных автоколебательных "соед" постоянно стимулируют их теоретические и экспериментальные исследования. Наиболее полно изучены системы, состоящие из конечного (обычно сравнительно небольшого) числа взаимосвязанных автоколебательных объектов Оз.Я.Кислов, Л.С.Дмитриев, Д.И.Трубецков, Б.П.Без-ручко, С.ii. Кузнецов, К. Кане ко, И.И.Мпнакова, Г.М.Уткин, Л.Л. Дворников, 11.13.Капранов, F3.Д.Шалфеев, В.Н.Белых, Г.Л.Леонов и др.). Среди систем из неограниченного (или очень большого) числа элементов наибольшее внимание привлекали так называемые "снссовче" системы - такие, у которых связь между подсистемами однонаправленная (А.И.Галопов-Грехов, М.И.Рабинович, В.СДьвов. Л.А.Прэдтечсиския, Л.Г.Сипай, Л.А.Бунимович, В.С.Афрзпкович, И.С.Анигснко »др.).

Волновые свойства систем из неограниченного числа взаимо-яепптиукпих автоколебательных алсмоятов. котерне' по-оуш.еству

представляют собой неравновесные дискретные среди, исследованы мало. В то ке время, неоОходимость создания волновой теории дискретных сред настоятельно диктуется многими практическими задачами. Кроме упомянутых вше радиофизических задач, в качестве примера отметим еле дувшие.

Превде всего, проблему создания искусственных нейроподоб-них вычислительных систем и построения на их основе принципиально новых устройств распознования образов и ассоциативной памяти. Поскольку в таких системах, состоящих из огромного числа взаимодействующих активных ячеек, в качестве элементарной единицы информации используются уже не отдельные сигналы, а пространственные структуры, исследование коллективной динамики в этом случае становится первоочередной задачей.

Другая важная проблема, индуцирующая в некоторых случаях "решеточние" задачи - проблема турбулентности. Некоторые аспекты этой проблемы могут бить проанализированы в рамках ансамблей взаимодействующих локализованных структур, т.е. систем с пространственными дискретными координатами.

Простейшими моделями, описывающими дискретные среды, является так называемые цепочечные и решеточние модели. Математически цепочечные и решеточние модели автоколебательных сред представляет собой взаимосвязанные подсистемы дифференциальных уравнений или отображений, подчиненные тем или иным граничным условиям. Причем, эти подсистемы, образующие цепочки и решетки, обладает свое!', в некоторых случаях, достаточно сложной и даже хаотической динамикой.

Цель работы - создание основ теории конечномерных и бесконечномерных цепочечных и решеточных моделей автоколебательных сред как классических динамических систем. Развиваемое научное направление связано с выработкой основных понятий и базовых моделей, разработкой методов установления существования и устойчивости основных видов движений, в том числе регулярные и хаотические фронты, солитонные пакети и т.д., в цепочечных и решеточных моделях, а также развитие методов анализа волн хаотического профиля в распределенных аналогах дискретных моделей. Создаваемая теория должна объяснить, описать и предсказать основные нелинейные эффекты ромдения и эволюции статических и ди-

натгеских структур в неравновесных дискретних средах различной физической природы.

Научная новизна. Новизна работы замечается в следусцсм:

1. Сформулированы основные задачи исследования цепочечных и решеточных бесконечномерных динамических систем: даны сто огаз определения таких систем, поставлена задача исследования устойчивости ссчовпчх типов движений, введены понятия стационарных велн и автомодельной цепочечной система, пространственного беспорядка и хаоса волн.

2. Разработан метод установления достаточных условия устойчивости статических и динамических структур в цепочечных и решеточных системах обяого вида, состоящих из неограниченного числа автоколебатэлншх элементов.

3. Доказано существование пространственного хаоса в "базовых" цепочечных и ра^з точных системах с диффузионным типом связи: в одномерной и двумерной сетях триггерных элементов (дискретные аналога уравнении Хаксли, Фитц~)'т,п - Нагумо), цепочке взаимосвязанных отображений окруяности.

4. Обнаружено к строго исследовано наличие континуального множества устойчивых волн хаотического профиля в цепочечной диффузионной модели.

5. Для конечномерных цепочечных и решеточных систем изучены все основные типы движения и статических состояния (глобальная устойчивость, стохастические автоколебания, волны). Исследован характер границы порядок-хаос.

6. Исследована динамика фронтов и диссипатишшх со,питонов хаотического профиля в распределенных "базсвих" системах неравновесных след: модели Фитц-Хт-в - Нагумо и возмущенном уравнении синус-Гордспа.

В основу диссертации пслсиени работа, содетаапие новые результаты:

- по исследование динамики конечномерных цепочечных систем (динамика индивиду ти-них элементов, условия регулярной и хаотической динамики кештв, характер границы горядск-хаос, переход через кот'!"/!! сопровождается рождением нескольких типов стационарных в'-иО ['-6, 10, I?, Тб] ;

- по ^.'стоду йссег...г'",нг.я устойчивости состоянии и двпгенил бес-

конечномерных цепочек [19, 25, 27] и решеток [17, 2б] ;

- по изучении хаоса волн и пространственного беспорядка бесконечномерных цепочечных моделей [21-24, 30] ;

- по исследованию регулярной и хаотической динамики решеток (глобальная устойчивость, волны, пространственный хаос) [13, 16, 17, 26, 29] ;

- по исследованию колебаний и волн ь цепочечных моделях с непрерывным временем [9, II] ;

- по исследованию дисснпативных солитонов (импульсов) и фронтов в модели Фитц-Хьц - Нагумо [7, 8, 14, 15, 18] ;

- по исследованию диссипативных солитонов сложного профиля в возмущенном уравнении синус-Гордона [20, 2В] .

практическая ценность и реализация результатов. Разработан метод исследования устоПЧ}1вости движений цепочечных и решеточных моделей общего вида. Этот метод и приемы изучения существования движений отработаны и реализованы на ряде базовых моделей теории нелинейных неравновесных сред, описывающих нелинейные сети синхронизации, цепочки джозефсоновских контактов, нейропо-добные среды. Разработанная теория может быть применена такае к широкому классу других цепочечных и решеточных моделей.

Проведенные исследования позволяют дать конкретные практические рекомендации о работе радиофизических устройств, моделк которых изучен.ч.в работе: для сетей и цепочек фазового управления - это рекомендации по выбору параметров, гарантирующих синхронизацию систем, для джозефсоновских контактов - вольтам-перние характеристики, для нейроподобных сред - условия существования пространственных структур, распространения импульсов возбуждения среды и т.д.

Результаты работы использованы в кандидатской диссертации А.Г.Максимова, выполненной под руководством автора, внедрены в учебный процесс на радиофизическом факультете Нижегородского университета, используются в ИПФ РАН и других организациях.

Публикации и апробация результатов. Материалы диссертации опубликованы в 37 работах, в том числе в монографии. [16] .

Основные результаты диссертации докладывались на научно-техническом семинаре по системам фазовой синхронизации (Горький,

1077). Псисссчних конференциях "Пройдет! повышения эффективности н качеств.'» систем синхронизации" СГорысиЛ, 1979, Каунас,

.Льноп, 19ТС0, Всесоюзной школе па стабилизация частота (гСосоп; 1970), Всесоюзных конференциях по нелинейным колебаниям механических систем (ГорькиЯ, 1987, 1990), Всесоюзной конференции "Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи" (ГорькиЯ, 1988), Годовой научной конференции НИВЦ АН СССР (Пукино, 1988), Всесоюзной конференции "Математическое, моделирование: нелинепние проблем; и вычислительная математика" (Звенигород, 1908), Украинской республиканской иколе - семинаре "Разривнне динамические системы" (Киев, 1989), 1У МеЕДунароляой рабочей группе по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1989), И Всесоюзной школе "Стохастические колебания в радиофизике и электронике (Саратов, 1991), ХУГ Всесоюзной ?;г.оле по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний !1ся-гопод, 1991), Нз илународной конференции по дифференциальным уравнениям (Испания, Гарсслона, 199!), Чеждучародной конференции "Европейские линакические дни" (Германия, Рерчип, 1991); итоговых научных конференциях Нижегородского университета, а также докладывай сь на семинарах Московского университета (рук. академик РАИ Синай Я.Г.), Нижегородского университета, Института прикладной физики РАН (рук. член.-корр. РАН Рабинович М.П.), !1',;И прикладной математики и кибернетики (рук. I.Поильников).

Личный вклад соискателя. Основные публикации по теме диссертации выполнены без соавторов (гл. II [Гб] , [1-9, 17, 22, П, 29, 7о] ■ , либо в соавторстве с учеником Максимовым Л.Г.

[14, 15, 18, 20, ?8] . 3 совместных работах соискатели принадлежит ведущая роль в постановке задач, объяснении и обосновании о физической точки ярения рассматриваемых процессов и явления.

Структура и сбъея диссеотагити. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы. СбптЯ об 1.3м работы ЗГ>0 стр., тз .чих стр. основного текста, 59 стр. рисунков и таблиц. Список литература содерг.ят 149 наименований и цр'лге на ' ^ с";т

Основные научные положения, вцносимиз на зашиту.

1. Выработаны основные понятия теории бесконечномерных цепочечных и решеточных динамических систем (такие как автомодельные решения, пространственный беспорядок, хаотические волны, устойчивость безграничных статических и динамических структур). Это позволило рассматривать безграничные цепочечные и решеточные нелинейные, системы как классические динамические системы и анализировать их методами нелинейной динамики, не обращаясь к непрерывным аналогам или приближенным маломерным системам. Такой подход дает возможность описать многие специфические для дискретных сред физические явления, обычно теряемые при предельных переходах.

2. Разработан метод исследования устойчивости движений дискретных сред, представляющих собой неограниченные одномерные

и многомерные сети взаимодействующих автоколебательных элементов. Анализ устойчивости в сетях с неограниченным числом элементов сводится к изучению спектральных свойств некоторых конечномерных матриц, соответствующих цепочкам и решеткам из конечного числа элементов. Метод является весьма общим и может быть применен к цепочечным и решеточным нелинейным средам произвольного вида.

3. В базовых цепочечных и решеточных системах (одномерная и двумерная сети взаимодействующих триггерных атементов - модели Хаксли, Фита-Хью - Нагумо, цепочка взаимосвязанных отображений окружности) установлено существование пространственного беспорядка: в зачисимости от начальных условий, в системах реализуется .та или иьпя пространственная структура, профиль которой определяется наперед заданной неограниченной последовательностью (для цепочек) или матрицей (для решеток) из двух символов. В одномерной сети диффузионно связанных триггерных элементов установлено существование континуального множества устойчивых стационарных волн, профили которых определяются случайно выбранными бесконечными последовательностями из двух символов - хаоса бегущих волн. Эти результаты применимы и для описания хаоса дискретных элементов - структур в неравновесных средах.

Определены условия существований и устойчивости бегущих фронтов и диссипативных солитонов в базовых моделях непрерывных неравновесных сред (система Фитц-Хью - Нагумо, возмущенное уравнение синус-Гордона). Обнаружены стационарные волны хаотического профиля в виде "пакетов" из произвольного числа солитонов.

СОЛЯРНАЯИЕ РАЕОТИ

Во введении дана общая характеристика работа: обсуждена актуальность темы диссертации, приведен краткий обзор. Сформулированы цели и основные задачи исследования, введены отвечающие им модели, приведет! основные результаты и положения, выносимые на загшту.

В работе цепочечные и регаеточипе модели рассматриваются как динамические системы и поэтому нуждается в введении фазового пространства и оператора эволюции. Введем следуят.но оггредеге-ния цепочечных и репеточных моделей неограниченных сред.

Цепочечной моделью или цепочечной динамической системой будем называть систему вида

и (п+о*(п>> .и <4■ ■ (*)) (1}

<7 О V Vе

или

+ Р(Ц(п)} ,

где , ^ & И , ¿¿^ £ Ь^ - р-мерному эвклк-

долу пространству, а принад-

лежит гильбертову пространству 3 бесконечных в обе стороны последовательностей со скалярным произведением

(' и-, V- )

< и.) V > ~ —±—. (2)

В {'¿) , • ■) - обычное скалярное произведение в £Р , 4£ натуральное, а - некоторое фиксированное числа.

Система (I) описывает коллективную динамику произвольной неограниченной цепочки взаимосвязанных автоколебательных систем. Индивидуальная динамика каждого элемента, входящего в цепочку, задается некоторым ^-мерным точечным отображением ( р число компонент надели). Другим:! словами (I) - модель одномерной дисковгло;-». ^оз;;, I. которой пеючнепенная певем-знная ^ «г-

-ю -

рает роль пространственной координаты, а Л - дискретное время. Рассмотрим множество В = } и = ^ = , где

-/¿в! - некоторое натуральное число.

Решеточной ¿¿-мерной модель» или ¿^-мерной решеточной динамической системой будем называть систему вида

и.(пн)*Н{и.(п)] 0, '3)

а »

где

принадлежит гильбертову пространству В со скалярным произведением определяемым формулой (2), в которой

¡¿\ = П1йх{ ¡¿21,.. , I} .

Система (з) описывает коллективную динамику неограниченной произвольной ¡¿- мерной решетки взаимосвязанных автоколебательных систем или, что тоже самое, некоторой ¿¿-мерной дискретной среды. Например, если с1 = 2 , , то с каждой целочисленной парой ( , ^ ) (точкой двумерной среды) связана непрерывная переменная и.^ Лп) - состояние среды. При .этом состояние среды в следующий момент времени и- ■ (П+1) определяется А^ ■ (71,) .. и всеми Элементами, отстоящими от точки ( ^ , ^ 1 на величину ^ .

Общим моментом для обеих типов моделей, рассмотренных выше, является то, что пространственные и временная переменные диск- • ретны. В работе рассматриваются также цепочечные модели с непрерывным временем, но дискретной пространственной переменной. В этом случае цепочечная динамическая система вводится аналогично системе (I).

Заметим, что введенные подели описывают неограниченные неравновесные среды. Дискретные модели ограниченных сред это те ае системы, но дополненные некоторыми граничными условиями. В силу этого их можно трактовать как подкласс неограниченных моделей.

Кроме цепочечных и решеточных моделей в работе рассматриваются также распределенные нелинейные системы - модели одномерных двухкомпонентных неравновесных сред. Учитывая, что эти сис-

- тт -

гемн являются непрерывными аналогам! некоторых из цепочечных систем, изучаемых в работе и их динамика очень схожа с динамикой неограниченных цепочечных систем и представляется целесообразным рассмотреть эти среды с единой точки зрения.

В первой главе исследуются конечномерные цепочечные модели.

Рассмотрена цепочка пространственной "длины" /V= 2,.., М)

вида

и.(пЧ}=/+илп;ыГ(и/п))-$*Р(и./п})-#о(Г(и. (п)), СО

4 </ 7 с/"'

подчиненная следующим граничным условиям

и-0(П)в (5)

или

U. Лп)щ-Ц-(П) (б)

<1

В (Л) Ы , 5" , уе и - параметры, a Fill} - ^-периодическая Функция, lF(u) I 4 f (например, F(u)^ Sin и ,

F(u)m Ч/Ж при ие[-Я,'Л) и др.). Система ('+), (<5)

описывает цепочку с "закрепленными концами", а (4), (б) - цепочку из элементов объединенных в "кольцо" так, что "последний" алемент взаимодействует с "первым". Каздая из подсистем, образующая цепочку (4), сама представляет собой "нетривиальный" автоколебательный объект - отображение округшости и монет демонстрировать самую разнообразную динамику (В.И.Арнольд, I.P.Keener , В.Н.Белых и др.). Исследование цепочечной модели (4) представляет интерес с различных точек зрения. С теоретической поскольку (ч) - цепочка отображения окружности, связанных меяд.у собой диффузионным образом, т.е. цепочка классических объектов нелинейной динамики. С точки зрения приложений система (ч) является математической моделью однородной цепочки из N взаимосвязанных импульсных систем фазовой синхронизации. Системы фазовой синхронизации широко используются; в современной радиоавтоматике (В.В.Нахгильдян, КЛ'.Гахтар-лн и др.) и поэтому исследование их коллективной дипа'/ш'.и представляет актуальную прикладную задачу.

Установлено, «го при ^ > 0 в дискретной среде (4)

-

существует устойчивое статическое (.не зависящее от времени) состояние. В случае граничных условий (б) это состояние пространственно однородное, а при выполнении (5) - неоднородное (одномерная пространственная структура). Кроме этого, при Г(и)=и/% выявлены следующие закономерности коллективной динамики цепочки (4) - (б). Если элементы, образующие цепочку, индивидуально обладает хаотической (во времени)динамикоп, то и связанные в цепочку они сохраняет это свойство, т.е. с помощью объединения в цепочку не удается "погасить" хаотические колебания. При составлении цепочки из элементов с регулярной индивидуальной динамикой их совместная коллективная динамика в зависимости от параметров монет быть как регулярной, так и хаотической. Регулярная коллективная динамика может быть очень разнообразной. Выделены параметры, отвечающие глобальной асимптотической устойчивости статического состояния системы (в задачах фазовой синхронизации это глобальная синхронизация всей цепочки). Для кольцевой цепочки (4), (б) характерно рождение волновых дви-кениЯ при переходе через границу порядок-хаос. Эта граница -кусочно-гладкая замкнутая кривая Л , состоящая из нескольких компонент. Одни из Этих компонент отвечают смене устойчивости статического пространственно однородного состояния, другие - бифуркации его исчезновения в множестве разрыва. Смена устойчивости сопровождается появлением на границе области регулярной динамики следующих движений - стационарных и модулированных волн, 2- периодических пространственно однородных и неоднородных состояний.

Вторая цепочечная модель, рассмотренная в этой главе, имеет вид ■

и:(пц)=и.(п)4%(и. .(п)~2и(п)-ги. /п))*ир(и.(п))-у, Ш

</ а а'1 а а " '

где X , с/. > О , а - параметры (///^оО ,. а функция Р(и) удовлетворяет условиям: = , если 1/2

и р(и) = -2(и~О , если и>П2 . Граничные условия

предполагаются периодическими, т.е. выполняется (б). Система (7) описывает неравновесную среду с "диффуэиеи" ( К - коэффициент "диффузии") и является дискретным аналогом уравнения Хаксли, которое встречается в задачах теории горения, твердотельной

здектроняки, биофизики и др. КаядыЛ элемент, входящий в цепочку (7), представляет собой одномерное разрывное точечное отображение, и имеет две устойчивые (при cl* { ) неподвижные точки, т.е. является "триггерным". Установлено, что в зависимости от параметров цепочка (7), (6) совершает либо регулярные ( ¿'X-i-^-^i ), либо хаотические во времени ( )

колебания. Переход через границу порядок - хасс сопровождается появлением в.кольцевой цепочке (7), (б) стационарных велн вида U (/l)=(--fH*Crl£+fi ( i,f>- Const ), распространявшихся со^скоростью С-2.пг+{ , t7l= Ot i> 2,... . Вычислена ля-пуповская приведенная (относительно N ) размерность G хаотического множества системы. Неличина 9 монотонно нарастает с увеличением парамзтра X и движение на хаотическом множестве становится все более неустойчивым и, начиная с хаос полностью развит. В области регулярной динамики найдены параметры, при которых эта дискретная среда является мулътиста-бильной, т.е. система (7), (б) имеет большое число устойчивых статических состояний.

Итак, цепочки взаимодействующих автоколебательных систем конечной длины обладают всеми атрибутами неравновесных сред: глобальная синхронизация всех элементов цепочки, мультисгабшгг— ность, разнообразие волновых движений, хаотические колебания. Применительно к упомянутым выше прикладным задачам эти свойства можно исполх^зовать, например, следующим образом. Изменяя коэффициенты связи 5 и ж между подсистемами можно управлять коллективной динамикой и реализовывать необходимые режимы функционирования систем фазовой синхронизации, образующих цепочку (*»). В частности, добиться того, чтобы вез генераторы, входящие в сеть были синхронизованы по опорному сигналу. Объединяя триг-герные элемента в единую сеть (7), сформировать мультистабиль-ну к среду, икающую бслиое число состояний и поэтому перспективную для построения ало центов памяти.

Втсдая глав?: посвящена исследованию неограниченных цепочечных моделей. Внач-эде для цепочечных динамически:', систем !гроиз-вольного вила (I) развивается метод исследования устойчивости дяикенк;?.

Пуст1-. А(п/ - сп'-та^гч) »икчреззири. (ягтзквавяпй этолгпир

- It -

возмущений в окрестности некоторого фиксированного ограниченного движения [U*(ri)] системы (I). Для устойчивости в линейном приближении достаточно, чтобы II A*(ft) А(П) II ¿

0¿ 8 < { . Это неравенство будет выполнено, если спектр -

задача об устойчивости движений системы (I) сводится к изучению спектра некоторого линейного оператора L (под которым понимается А (п) А(п) )

Разработан метод оценки спектра линейного произвольного оператора L , состоящего в том, что бесконечная матрица, реализующая оператор L в некотором фиксированном базисе, приближается последовательность!) конечномерных матриц, размер которых, неограниченно растет. Доказано, что Spec принадлежит

замыкание объединения множества всех собственных значений всех аппроксимирующих матриц. Эти конечномерные матрицы строятся с помощью граничных условий из соответствующего оператора, отвечающего цепочке, состоящей из конечного числа элементов.

Далее, опираясь на этот метод, исследуются явления пространственного беспорядка и хаоса волн в цепочке диффузионно связанных автоколебательных систем.

I. Пространственный беспорядок. Рассматривается модель

U-(n+J) = U.(n)+%(U. /п)-2и (n)+U ■(n))+c<-f(U.(n))l (8) d d <tTi d </-' J </ '

где - счалярная переменная, характеризующая среду,

-f(u)í U(U-ü)Cí-U) , 0<U¿ i , а смысл параметров

Sí и o( тот же, что и в случае системы (7). Исследуются статические состояния Uy(n)=Y- системы (8). Задача сводится к анализу точечного отображения

где . Отображение (9) имеет три неподвижных точки,

две "крайние" из которых всегда седла. Для отображений такого типа разработан метод, позволяющий находить параметры, при которых подобные отображения действувт как известное отобрагение "подкова Скеила". В основе метода лепит идея локализации и con-

ровождения сепаратрисных инвариантных кривых неподвижных точек при итерировании. Рис. I иллюстрирует этот метод. Установлено, что отображение (9) имеет некоторое множество ограниченных траекторип, характеризуемое тем, что каждая его траектория находится во взаимно однозначном соответствии с бесконечной в обе стороны последовательностью из двух символов. Поскольку любой траектории этого множества отвечает статическое состояние модели (8) (одно из возможных состояний представлено на рис. 2) таких состояний континуальное множество. С помощью изложенного выше метода выделены параметры, при которых все статические состояния локально устойчивы, что соответствует реачизаиии в дискретной среде (8) пространственного беспорядка.

Аналогичная задача реиена еле для двух цепочечных моделей, в которых обнаружен пространственный беспорядок. Рассмотрена цепочка диффузионно связанных отображений окружности

иХп+1)*/+и.(п)-липи.(п)+де(и (п)-2и(п)+и. (п)) 4 " <! <! </-'</ <г'

и цепочка являющаяся обобщением модели (8) на двухкомпонелтима случай (дискретный аналог системы Фитц-Хью - Нагумо, которая рассматривается в гл. 5).

(и-(пч) = и (П)+де(а (п)-2и.шни. (п)) + (и.(а.))-(п)

Я 4 4 <1"1 д ' ^

V. (пч) = -спп) + Щ)

4 о п С

2. Хаос волн. Рассматриваются вопросы существования и устойчивости стационарных волн модели (I), т.е. движений вида:

(АуСп) ~ Сп) , С£ . Введены понятия авто-

модельной системы в виде нелинейного точечного отображения я "бегущей" координаты - к = у - £ + СП . Сформулирована задача об устойчивости стационарных волн относительно возмуиений эволюционирующих со скоростью волны С - . !3 этом случае для исследования устойчивости волн применяется метод конечномерных аппроксимаций, развитый в работе и изложенный вьгае.

Исследована дигамика воли вида (п) ~ + п) в мо-лзгя (8). Существование волн установлено а помощью изучения

< л

иа(а)

О

40 80 120 3

Рис. 2.

Статическое состояние модели (8).

Рис. I.

Отображение (9) типа "подкова СмеПла".

соответствующей автомодельной системы - точечного отображения вида

где Хк = УС^+П- 1) , ук = ФС^* П) . Показано, что система (8) имеет континуальное множество стационарных волн, распространяющихся со скоростью 0 = 4 . Профиль Этих волн определяется случайно выбранными бесконечными последовательностями из двух символов. Каждая из этих волн линейно устойчива по отношению к возмущениям распространяющийся с этой же скоростью. Таким образом, в модели (В) реализуется хаос бегущих волн.

Изучены стационарные волны и^(п)- + в виде бегущих фронтов в безграничной цепочке (7). Наиболее подробно исследован случай С=2 , когда система для стационарных волн имеет вид разрывного точечного отображения четвертого порядка. Установлено, что в среде (7) могут распространяться со скорость!)

С=2 два типа бегущих фронтов, "переключающих" среду из одного однородного статического состояния в другое.

В третьей главе рассматриваются решеточные модели автоколебательных сред. Исследуются решетки взаимосвязанных отображений, состоящие из ограниченного ^.неограниченного числа аизмен-тов.

Изучена динамика конечномерной решетки, являющейся обобщением цепочки (Л) на Двумерный случай:

(10)

Предполагается, что в (10) вид функции Р(и) и сынрл параметров такой ге, что и в случае системы (4), а граничные условия периодические

иут(а)аи1/к(п)' ¿,^/,2,..,*.

Исследование показало, что коллективная динамика решетки (10) в зависимости от управляющих параметров может быть как регулярной,

так и хаотической. При этом спектр регулярных движений очень широк: от полной синхронизации системы, отвечающей глобальной асимптотической устойчивости пространственно однородного состояния до суперпозиции большого числа волновых движений различной формы. Кроме пространственно однородного состояния, в решетке (10) существует значительное число й неоднородных, но все эти состояния, кроме двух,неустойчивы. В изотропной среде 8= X = С-р устойчивые стационарные волны не существует, а реализуется лишь пространственно неоднородные статические состояния и пространственно однородные 2- периодические колебания. Хаотические движения тоже могут быть различными. В частности, показано, чте ляпуновская размерность хаотического множества при изменении параметров может меняться от нуля до .

Разработан метод исследования устойчивости движений ¿Замерных неограниченных решеточных динамических систем общего вида (3). Он представляет обобщение метода исследования устойчивости, построенного в главе 2, на решеточный случай. Показано, что спектр оператора линеаризации в гильбертовом пространстве можно аппроксимировать множеством собственных значений последовательности, определенным образом построенных, конечномерных матриц. Это утверждение позволяет свести исследование устойчивости движений в неограниченных решетках к изучение спектральных свойств некоторых конечномерных матриц, соответствующих решеткам из конечного числа элементов.

С помощью этого метода проведено исследование устойчивости статических состояний в двумерном дискретном уравнении Хаксли:

и-к 0чч)=и-к (п)+и/С и..к(п))ч- ¡е(инк(п)~ ч (п) +

Си)

Показано, что в зависимости от начальных условий, состояние системы (II) может с течением времени принять любую возможную форму, определяемую наперед заданной неограниченней матрицей из двух символов. Наличие бесконечного множества аттракторов, среди которых имеются хаотически распределенные по пространству состояния, означает существование пространственного беспорядка

в среде, моделируемой неограниченной решеткой (II).

Отметим некоторые прикладные аспекты полученных результатов. Изучение коллективной динамики решетки (10)'позволило ответить на принципиальный для теории фазовой синхронизации вопрос о возможности осуществления режима глобальной синхронизации сети сис-. тем фазовой автоподстройки частоты. Выделены параметры, отвечающие такому режиму работы сети. При этом во всех индивидуальных системах устанавливается одна и та же разность фаз генераторов. Существование пространственного беспорядка, обнаруженного в решетке (II) состоящей из нелинейных триггерных элементов, показывает большие потенциальные возможности таких автоколебательных систем для решения задач аналоговой обработки информации.

В четвертой главе рассматриваются конечномерные и бесконечномерные цепочечные системы, имеющие одну дискретную координату - пространственную, а временная переменная у этих систем непрерывна, т.е. цепочки взаимосвязанных систем дифференциальных уравнений.

Для цепочек с конечным числом алементов, которые взаимодействуют (по одному и тому же нелинейному закону) лишь с ближайшими соседями, развит прием исследования статических состояний. Предполагается, что "концы" цепочки "закреплены", т.е. выполняются граничные условия (5). Системы такого типа описывают коллективную динамику многих физических объектов: взаимосвязанные непрерывные системы фазовой синхронизации, цепочки взаимо-> действующих механических маятников и джозефсоновских контактов и т.д. Показано, что изучение статических состояний сводится к анализу некоторых типов линейных отображений. Это позволяет при достаточно общих предположениях о параметрах и нелинейностях получить аналитическое решение.задачи о существовании и локальной устойчивости статических состояний.

Изучена динамика цепочки из неограниченного числа элементов, представляющая аналог уравнения Хаксли с дискретной пространственной координатой (система типа (7), но с'непрерывным временем). Установлено, что основные черты динамики этой цепочки аналогичны динамике цепочки (7): континуальное множество стационарных состояний, стационарные волны в виде фронтов, волн хаотического профиля и т.д. Однако, в этой системе "спектр" скоростей

{

стационарных волн является сплошным, а не дискретным, как в случае системы (7).

Пятая глава посвящена анализу одной из базовых непрерывных моделей неравновесных сред - модели Фитц-Хью - Нагумо (Ф~Х - Н),

имеющей вид

% = ,

где % , $> - параметры, характеризующие среду, а нелинейная функция имеет /V- образную форму (например,ч(и-а)(и-{) ) Система (Ю), с одной стороны, является развитием классических моделей Колмогорова-Петровского-Пискунова и Хаксли, а с другой стороны - некоторым упрощенным вариантом модели Ходжкина-Хаксли, которая играет значительную роль в теории нервной проводимости. В последнее время к нелинейным распределенным системам типа (12) возник также значительный интерес в связи созданием систем, обладающих ассоциативной памятью.

Система (10) рассматривается без предположения о малости каких-либо параметров. Исследуется динамика уединенных волн в виде импульсов и фронтов. Бегущие импульсы соответствуют гомокли-ническим, а фронты - гетероклиническим траекториям автомодельной системы, имеющей вид

( С*=6(и-{0) ,

где точкой обозначено дифференцирование по бегущей координате

£ = а":■+ ci . Проведено доказательство существования гомокли-нических и гетероклинических "траекторий системы (13). В основе доказательства лежит использование аналитически построенных конических поверхностей и "трубок", с помощью которых локализуется и сопровождается одномерная сепаратриса седлового состояния равновесия системы (13). Этот, разработанный в работе, метод иллюстрирует рис. 3. Исследование гомо и гетероклинических траекторий позволило установить условия распространения к форму бегущих фронтов модели (12).

При 0 в двухкомпонентноЯ среде (I?) возможно распрсст-

- г с -

Рис. 3.

Локализация и сопровождение сепаратрис коническими поверхностями.

Рис.

Импульсы модели (12)

ранение бегущих импульсов. Количество импульсов, их скорость и профиль существенно зависят от величины £'(0) , т.е. от параметра а в случае ^(и.)-и(и-Х)(ц--1) . Существует критическое значение ^'(0) (параметра О. ) - йс , разделяющее два принципиально различных случая. Если ^-'(0) ъ 0,с , то в среде возможно распространение лишь одиночных импульсов, а если

< ас - импульсов, содержащих произвольное число больших горбов и имеющих вид связанного состояния из произвольного числа одиночных импульсов, т.е. импульсов хаотического профиля (рис. 4). Показано, что скорость либого из импульсов меньше скорости бегущего фронта однокомпонентной модели Хаксли.

При $ з -1-0.)'* , когда модель (12) описывает бистабильную среду, могут распространяться бегущие фронты двух типов. Если £>^ = 3(2Лг- 50. + ) , то после распространения фронта в среде устанавливается однородное состояние [и=и.\ V- и"//} (и°?0) , а если ^ с / * -сос-

тояние { и=0, . При одновременно сущест-

вуют бегущие фронты обеих типов, образующие связанное состояние импульсно-подобноя формы. Профиль фронтов очень разнообразный: от монотонного (что типично для, однокомпонентных сред), до осциллирующего на "хвостах" и переднем фронте.

С Помощью компьютерного моделирования системы (12) проведено исследование устойчивости волновых движений, которое показало эволюционную устойчивость фронтов и "быстрых" импульсов.

Исследование динамики нелинейных волн в двухкомпонентной непрерывной среде (12) показало, что эта динамика имеет много общего с поведением в однокомпонентном дискретном уравнении (0). Например, в обеих средах возможно распространение волн в виде импульсов, фронтов и волн хаотического профиля.

В шестой главе исследуется динамика диссипативных солито-нов в возмущенном уравнении синус-Гордона, которое описывает протяженный джозефсоновский сверхпроводящий контакт и имеет вид

*хх ~ % = у + 'РЧязч ~ {> ■ ^

где У - разность фаз между макроскопическими квантовыми волновыми функциями сверхпроводящих ачектродов, $ ~ нормированный

ток смещения, и - диссипативные слагаемые,

связанные с протеканием нормального тока электронов соответственно вдоль и поперек контакта. Протяженный джозефсоновский контакт - один из тех физических объектов, для которых исследование локализованных решений не просто интересно, но есть предмет наблюдения экспериментаторов, который важен для приложений.

Изучена динамика солитонов в безграничном контакте и протяженном контакте длины £ '. В последнем случае рассмотрены два вида граничных условий

= .(к)

Система (14), (15) описывает "свободный" контакт, а (14),, (16) -контакт под воздействием переменного магнитного поля, частоты СО Существование солитонов установлено с помощью качественного анализа автомодельной системы третьего порядка, состоящего в изучении различного типа гомоклинических траекторий этой системы. В фазовом пространстве аналитически построены поверхности, формирующие "трубки", внутри- которых распологавтся устойчивая и неустойчивая сепаратрисы седловой точки. Подобное построение позволило доказать существование многообходиых гомоклинических траекторий и отвечающих им многогорбых солитонов (рис. 5). Установлено, что солитрны могут быть как Простой, так-и хаотическое формы, содержащей произвольное число больших гор.бов.- Найдены условия распространения и исследована эволюционная устойчивость солитонов. На основании этих результатов построена вольт-амперная характеристика (ВАХ) контакта, представляющая зависимость среднего по времени напряжения, вызванного прохождением солитона через контакт, от тока смещения / ."В случае граничных условий (15) имеется два типа ВАХ. Первый тип состоит чз одной ветви и формируется одногорбым солитоном (рис. 5 а), й второй несколько изолированных ветвей, которые формируются многогорбыми солитонами (рис. 5 б-з). При наличии магнитного поля частоты ) , действующего на контакт обнаружено и изучено явление синхронизации многогорбых солитонов полем. Это явление вызывает появление на ВАХ контакта "ступеньки" тока.

- ?л -

Солитонн модели (14).

ВШЮДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

В настоящей диссертационной работе построены основы теории нелинейных динамических процессов в бесконечномерных цепочечных я решеточных моделях автоколебательных сред. Наиболее важными представляются следующие результаты:

1. Разработан подход к исследованию динамики цепочечных и решеточных автоколебательных систем из бесконечного числа элементов, как классических динамических систем. В том числе выработаны строгие понятия теории такие как: бесконечномерной цепочечной и решеточной динамических систем, .стационарных волн в цепочечных системах, пространственного беспорядка и хаоса волн, устойчивости статических и динамических структур.

2. Разработан метод установления достаточных условий устойчивости статических и динамических структур бесконечномерных цепочечных и решеточных автоколебательных систем общего вида. Суть метода состоит в том, что бесконечная матрица, реализующая оператор линеаризации в некотором фиксированном базисе, приближается последовательностью конечномерных матриц, размер которых неограниченно растет. Этот метод позволяет свести исследование устойчивости движений в неограниченных цепочках и решетках к изучению спектральных свойств некоторых конечномерных матриц, соответствующих цепочкам, и решеткам из конечного числа элементов. С помощью этопэ метода, в частности, исследована устойчивость движений в одномерной и двумерной сетях диффузионно связанных тригтерных алементов (уравнение Хаксли, модель Фитц-Хью -Нагумо) и др.

3. Строго установлено существование пространственного беспорядка в базовых цепочечных и решеточных системах с диффузионным типом связи: дискретных аналогах уравнения Хаксли, Фитц-Хью -Нагумо, цепочке взаимосвязанных отображений окружности и др. Выделены параметры, при которых в этих системах, в зависимости от начальных условий, устанавливается та или иная пространственная структура, профиль которой определяется наперед заданной неограниченной последовательностью (для цепочек) или матрицей (для решеток) из двух символов. Разработан метод локализации и сопро-

вождения сепаратрисннх инвариантных кривых неподвижных точек некоторого класса двумерных отображении, позволявший изучать статические состояния цепочек из неограниченного (очень большого) числа взаимосвязанных автоколебательных систем.

В цепочках, состоящих из диффузионным образом связанных триггерных элементов (дискретное уравнение Хаксли), доказано существование бесконечного множества стационарных бегущих волн, профили которых определяются случайно выбранными бесконечными последовательностями из двух символов. Установлено, что эти волны устойчивы по отношению к возмущениям распространяющимся с этой не скоростью. Тем сакым показано, что в дискретном аналоге уравнения Хаксли реализуется хаос бегущих волн.

5. Для конечномерных цепочечных и решеточных систем, являющихся моделями систем фазовой синхронизации определены условия регулярной и хаотической динамики. В частности, в области регу-ияпной динамики выделены параметры, соответствующие глобальной синхронизации цепочек и решеток. Изучен характер границы порядок-, хаос. Показано, что на этой границе рождаются устойчивые волновые движения различного типа. Полученные результаты позволяют управлять (путем варьирования коэффициентов связи) коллективной динамикой одномерных и двумерных сетей синхронизации и осуществлять требуемые характеристики и режимы работы (например, спектр колебаний, глобальную синхронизацию и др.) таких систем.

Установлено, что автоколебательная дискретная спеда, моделируемая цепочкой, состоящей из триггерных элементов, является мультлстабильной и перспективной для построения элементов памяти.

6. Изучена динамика бегущих фронтов и диссипативных солито-нов в базовых непрерывных системах неравновесных сред: модели Фитц-Хью - Нагумо и возмущенном уравнении синус-Гордона. В частности, определены условия, при'которых эти стационарные волны могут иметь сложный и даже хаотический профиль. Исследование базируется на исследовании гомоклинических и гетерсклинических траекторий модели с помощью развитого в работе метода локализации этих траектории вспомогательными конически™ поверхностям!. Исследование динамики солитонов возмущенного уравнения синус-Гордона позволило изучить и построить вольтамперные характеристики протяженных дгозоФсоновских контактов, которые моделируются этим уравнением.. '• '

- п -

Установленные в работе закономерности динамики нелинейных распределенных систем и сетей, состоящих из больного числа активных элементов позволяет фактически формировать среди к заданными пространственными структурам. Это принципиально важно при построении систем аналоговой обработки информации.

Развитые в работе методы и приемы исследования цепочечных, решеточных и непрерывных моделей неравновесных сред является достаточно общими и могут использоваться при изучении многих динамических систем с нетривиальным поведением траекторий. Например, разработанный в работе метод исследования устойчивости применим для произвольных цепочечных"и решеточных систем с любым типом связи не ад у элементами (в том числе и нсюкальной) и произвольным числом компонент в системе.

По материалам диссертации опубликовано 37 работ,, основные из них следующие:

1. Некоркин В.И. О динамике системы фазовой синхронизации со сложными фильтрами в цепи управления// Стабилизация частоты. - :•(.: ВИМИ. - 1978. - С. 164-170.

2. Некоркин В.И. Качественные структуры и бифуркации многомерной фазовой системы с двумя нелинейностями// Дифференциальные и интегральные уравнения. - Горький, ГГУ, 1980. - С.13-13.

3. Некоркин В.И. Динамические свойства поисковой системы частотной автоподстройки частоты с фильтром третьего порядка// Стабилизация частоты. - М., ВИМИ, 1980. - С. 132.

Некоркин В.И. Динамические свойства системы фазовой автоподстройки частоты с идеальным интегрирующим фильтром второго порядка// Всес. Н.-Т. конф. "Проблемы повыш. эффективности и качества систем синхронизации", - Я., Радио и связь, 1982, с. 35.

5. Некоркин В.И. Следящие системы фазовой синхронизации при линейно-изменяющихся параметрах сигналов// Всес. Н.-Т. конф. "Проблемы повышения эффективности и качества а!Ътем синхронизации" - М., Радио и связь, 1985, с. 10-11.

6. Некоркин В.И. Динамические свойства систем фазовой синхронизации при линейно изменяющихся параметрах сигналов//,Теоретическая электротехника. - Львов, ЛГУ, 1986. - С. 53-57.

7. Некоркин В.И. 0 существовании петли сепаратрисы одного кяас-

са динамических систем// Всес. конф. "Нелинейные колебания механических систем" - Горький, 1987, 4.1, с. II7-II8.

0. Некоркин В.И. Бегуиие импульсы в двухкомпонентной активной среде с диффузией// Изв. ВУЗов Радиофизика. - 1988. - J6 I. -с. 41-52.

9. Некоркин В.И. Волновые свойства коллективных систем синхронизации// Всес. Н.-Т. конф. "Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи" - М., Радио и связь, 1988, с. 14.

10. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Шалфеев В.Д. Устойчивость и хаос в динамических системах, порождаемых отображениями тора// Дифференциальные и интегральные уравнения. - Горький, ГГУ, 1988. - С. 26-31.

11. Некоркин В.И., Шалфеев В.Д. Коллективная динамика систем частотной авгоподстройки, как модель возбуждения нейропо-добной среды// Коллективная динамика возбуждений и струк-турообразование в биологических тканях. - Горький, ИПФ ЛН СССР, 1988. - С. 190-197.

12. Афраймович B.C., Некоркин В.И. Волновые движения в динамических системах, порождаемых цепочками разрывных отображений окружности// Республ. школа-семинар "Разрывные динамические системы" - Киев, 1989, с. 8-9.

13. АфраЯмович B.C., Некоркин В.И. О динамике периодических решеток диссипативных отображений// Горьк. ун-т. - Горький. -1989. - Деп. в ВИНИТИ 16.10.89, Ъ 6299 - В 89 - 25 с.

14. Максимов А.Г., Некоркин В.И. Бегущие фронты сложной формы в двухкомпонентной активной среде с диффузией. Препринт ИП1> АН СССР, 1989. - & 238. - 24 с.

15. Maksimov A.G,, Nekorkin V.I. Excitation «avea oí chaotic profile in two-component active medium with diffusion // Proc. of the IV Int. Workshop on Nonlinear and Turbulent Proceses in Physics. Kiev, Haukova Duraka, 1939, p.391-394.

16. Афраймович B.C., Некоркин tí.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации/ Под ред. Гапонова-Грехова А.В., Рабиновича М.И. -Горький, ИПФ АН СССР, 1989, - 256 с.

17. Некоркин В.И. Регулярные и хаотические колебания в решетке отображений// Всес. конф. "Нелинейные колебания механичес-

ких систем". - Гоушнй, 1990, 4.1. с. 117.

18. Максимов А.Г., Некоркин В.И. Гетерокпинические траектории

и фронты сложной формы модели Фитц-Хью - Нагумо// Математическое моделирование. - 1990. - Т. 2, £2.-G. 129-142.

19. Афраймович B.C., Некоркин В.И. Устойчивые стационарные движения в цепочке диффузионно связанных отображении. Препринт ИП5 АН СССР,. 1990. - I 267. ~ 26 с. '

20. Максимов А.Г., Некоркин В.И. Фронты в распределенных джо-зефсоновских контактах// Изв. ВУ2ов Радиофизика. - 1991. -{ 8. - С. 9=36-966.

?1. Афраймович B.C., Некоркин В.И. Хаос бегущих волн в цепочке диффузионно связанных отображений. Препринт ИПФ АН СССР, 1991. - J6 303. - ]8 с.

22. Некоркин В.И. Пространственный хаос в дискретной модели двухкомпонентной неравновесной среды// Методы качественной теории и теории бифуркаций/ Под ред. Л.П.Шилыгакова - Нижнии Новгород, Нижегородский университет, 1991. - С. I05-II9.

23. Hekorkin V.l. Stable stationary motiona in lattice of diffusion connected maps // International Conference "Dynamics days" - Bei-lin, 1991» p.9 •

24. Afrairnovich V.3., Hekorkin V.l., Zheleznyalc I.L. stable regular and chaotic motions in lattice dynamical systems // International Conference on Differential Equations -Barcelona, 1991, p. 5 .

25. Афраймович B.C.,' Некоркин В.И. Метод конечномерных аппроксимаций в теории устойчивости движений цепочечных моделей неограниченных неравновесных сред// Ниже гор. ун-т. - Нижний Новгород. - 1991. - Деп. в ВИНИТИ All СССР 24.06.91, I 2643 -

В 91. - 43 с.

26. Афраймович B.C., Глебский Л.В., Некоркин В.И. Устойчивые стационарные состояния решеточных динамических систем// Методы качественной теории и теории бифуркаций: (1§жвуэ. темат. сб. научн. тр./ Под ред. Л.П.Шильникова. -Нижний Новгород, Нижегородский университет, 1991. - С. 137-154.

27. Афраймович B.C., Нексркин В.И. Устойчивые состояния в цепочечных моделях неограниченных неравновесных сред// Матем. моделирование. - ¡992. - Т. 4, 1 I, - С. 83-95.

28. Максимов А.Г., Некоркин В.И., Рабинович М.И. Солитошше "пакеты" и волът-амперная характеристика протяженных дю-зефсоповских контактов. Препринт Ш1Ф РАН, 1992; - Р Э10. • 28 с.

29. Некоркйн В.И. О глобальной синхронизации сети импульсных систем фазовой автоподстройки частоты// Радиотехника и электроника. - 1992. - Л 4. - С. 750-752.

30. Некоркин В.И. Пространственный хаос в дискретной модели радиогианической среды// Радиотехника и электроника. -1992. - * И. - С. 651-660.