Нелинейная динамика дискретных моделей некоторых типов распределенных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

РГ6 од

- 8 ОКТ 1996

На правах рукописи

МЧЕДЛОВА Елена Сумбатовна

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 1996

Работа выполнена на кафедре электроники и волновых процессов СГУ и в Государственном учебно - научном центре "Колледж" СГУ.

Научный руководитель - член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Д. И. Трубецков

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А. П. Сухоруков - кандидат физико-математических наук, доцент В. В. Астахов

Ведущая организация - Нижегородский государственный

университет

Защита диссертации состоится 25 октября 1996 г. в 17.30 ч. на заседании диссертационного совета Д 063.74.01 в Саратовском государственном университете им. Н.Г.Чернышевского (410026, г. Саратов, ул. Астраханская, 83)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ. Автореферат разослан 2 сентября 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного с™'"™ кандидат физико-математических нау!

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследуемой проблемы. Создание моделей распределенных систем различной природы стало одним из актуальных направлений для исследований во многих областях современной науки. В частности, большое внимание уделяется описанию систем со сложным поведением, демонстрирующих эффекты самоорганизации, возникновения динамического хаоса и турбулентности [1-4]. Следует отметить, что при всем многообразии таких систем, они объединены идеей колебательной общности протекающих в них процессов, что, в свою очередь, позволяет говорить о создании универсальных математических моделей разной степени сложности.

Так, для описания процессов в системах с распределенными параметрами, преимущественно используются два подхода, отличающиеся степенью идеализации. Математическим выражением первого служат непосредственно уравнения в частных производных или их дискретные аналога. Второму подходу соответствует моделирование распределенной системы как совокупности связанных сосредоточенных систем, каждая из которых может быть описана обыкновенным дифференциальным или разностным уравнением.

Модели, наиболее соответствующие исходной системе, как правило, сложны, обладают большим количеством параметров и часто не позволяют провести быстрый качественный анализ поведения системы. С другой стороны, многое универсальные закономерности динамики могут изучаться и на примерах

[1] М.И.Рабинович, Д.И.Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. - М.: Наука, 1984. - 432 с.

[2] Нелинейные волны. Структуры и бифуркации/ Под ред. Гапонова-Грехова A.B., Рабиновича М.И. - М.: Наука, 1987. 398 с.

[3] Нелинейные волны. Динамика и эволюция. М.-. Наука, 1989.

[4] Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. / М.: Наука, 1990. - 312 с.

достаточно простых модельных систем, которые несут в себе потенциальную возможность усложнения. Кроме того, построение подобных моделей может оказаться целесообразным для предварительного изучения явления: полученная таким образом информация будет полезна для построения моделей более высокого уровня сложности или соответствия реальной системе.

Необходимость использования упрощенных моделей часто проявляется в тех случаях, когда описываемая распределенная система изначально обладает ярко выраженной дискретностью (например, присутствуют локализованные структуры). Тоща вместо решения уравнений в частных производных имеет смысл рассматривать соответствующие колебательные элементы с сосредоточенными параметрами, объединенные в решетку нужной размерности.

Целью настоящей работы является создание и исследование дискретных моделей сложных систем, отличающихся как типом составляющих элементов, так и способом задания взаимодействий между ними. На примерах модельных систем предполагалось изучить динамику потока взаимодействующих структур, эффекты синхронизации и разрушения синхронных колебаний в решетках связанных автогенераторов под внешним воздействием, влияние типа связи на характер колебаний в цепочках и решетках связанных сосредоточенных систем.

Научная новизна. Все представленные в работе модельные системы предложены и исследуются впервые. По-существу, предложен новый метод моделирования взаимодействий в потоке малых объемов активной среды, содержащей электроны-осцилляторы. В основу модели положен эффект кооперативного излучения ансамбля классических нелинейных осцилляторов. Для данной системы обнаружены режимы периодических и сложнопериодических колебаний, пространственно-временной беспорядок, образование стационарных нерегулярных пространственных структур. Построена феноменологическая

4

модель электронной турбулентности. Впервые сделана попытка описать сложные взаимодействия биологических процессов, носящих автоколебательный характер и протекающих в изменяющихся условиях, с помощью двумерной решетки нелинейных осцилляторов, находящихся под внешним воздействием с возмущенной фазой. Предложены характеристики, позволяющие количественно выразить степень влияния внешних возмущений на подобную систему. Новыми также являются результаты, полученные вследствие сравнения динамики решеток отображений с обычным, фрактальным и случайным типами связей.

Обоснование и достоверность полученных в работе численных результатов подтверждается их воспроизводимостью, совпадением с результатами экспериментов, обоснованным выбором параметров численных схем и проверкой точности вычислений. Результаты моделирования, по возможности, сравнивались с результатами исследования похожих систем другими авторами.

Практическая значимость. Предложенная в диссертации модель электронной турбулентности может быть использована для объяснения возникновения турбулентности в структурированных потоках, в частности, для объяснения результатов эксперимента [5] по наблюдению хаоса в цилиндрическом кольцевом электронном потоке.

Часть работы, посвященная взаимодействиям в системах связанных нелинейных процессов, протекающих в изменяющихся внешних условиях, имеет непосредственное практическое приложение для описания хронобиологических закономерностей в

[5] Ампилошва В.Р., Зборовский A.B., Трубецков Д.И., Худзик К.В. О проверке одной гипотезы возникновения хаоса из структур в электронных потоках // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. Саратов, 1986. Книга 1. С. 106-110.

организме человека. В частности, предложенная модель в сочетании с данными меди кобиол отческих исследований позволила оценить степень влияния различных режимов сменного труда на физическое состояние организма человека. Одним из главных практических результатов явилась возможность прогнозирования нарушений здоровья в зависимости от временной организации трудовой деятельности.

Кроме того, каждая из предложенных моделей, в том числе решетки связанных отображений, может иметь самостоятельное значение как задачи нелинейной теории колебаний и применяться для описания поведения многих систем, обладающих качественным соответствием предложенному математическому аппарату.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. В каждой главе, помимо основного содержания, присутствуют краткое введение в проблему и выводы из полученных результатов. Объем работы составляет 133 стр., из них 50 стр. рисунков. Список литературы содержит 109 наменований и приведен на 10 стр.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Общая характеристика работы дана во введении. Здесь же обоснована актуальность направления исследования, научная новизна и практическая значимость работы, кратко изложено содержание работы, приведены основные положения, выносимые на защиту, а также сведения об апробации результатов и публикациях.

В первой главе исследуется сложная динамика потока связанных малых объемов, в каждом из которых присутствует эффект кооперативного излучения или сверхизлучения, возникающего в системах с отрицательной энергией колебаний при наличии потерь благодаря развитию диссипативной неустойчивости (Л.А.Вайнштейн, Н.С.Гинзбург, В.В.Железняков,

6

В.И.Канавец, А.И.Клеев, В.В.Кочаровский, Вл.В.Кочаровский, А.Ю.Стабшшс). Несмотря на квантовое происхождение (К.Н.Бюке, 1954 г.), эффект реализуется и в системах другого типа, в том числе классических. Глава начинается кратким анализом современного состояния теории систем с когерентными спонтанными эффектами, обоснованием преимущества предлагаемого подхода для моделирования взаимодействий электронных структур. Далее следует описание модели, особенности ее численной реализации и исследование поведения системы в зависимости от изменения параметров.

Модель потока представляет собой последовательность электронных ансамблей (структур), движущихся и оказывающих друг на друга взаимное влияние и описывается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

¿и + ]в(Ы2 - 1)ск1 = -Ч + КРс;_! + КВС;+], где к = 1,...,М; \ = 1,2,3,...; М - число электронов в каждом ансамбле; С}.; - безразмерная комплексная переменная, соответствующая полю к-ого электрона в 1-ой структуре; величина

1 „м

С; = Ск1 определяет дипольныи момент 1-ои системы

электронов; параметр 0 характеризует степень влияния нелинейности в сравнении с коллективными потерями; Кр и Кв

- коэффициенты взаимного влияния элементов потока; Данное уравнение без двух последних слагаемых в правой части описывает процессы в 1-ой электронной структуре, для которой имеют место кооперативные эффекты. Последние происходят за счет взаимодействия электронов через поле собственного излучения, являющееся для них фазирующим.

Движение электронов в данном случае означает "перенос информации" от (Ы)-го к ¿-ому сечению потока через интервал времени, приближенно равный характерному времени, за которое происходит излучение отдельной электронной структуры.

На основе численного исследования модели получен ряд интересных результатов. Так, описан сценарий перехода к пространственно-временному беспорядку, что позволяет применить данную модель для феноменологического описания электронной турбулентности. Количественное изменение -существенное увеличение числа взаимодействующих структур, одновременно находящихся в пространстве взаимодействия, приводит к качественно новому для данной системы типу динамики - возникновению нерегулярных стационарных пространственных структур. Предложена возможность управления пространственно-временным распределением поля вдоль потока: исследовано изменение динамики потока при прохождении через одиночные резонаторы и через цепочку связанных резонансных систем, где связь осуществляется за счет переноса электронов.

Во второй главе исследуются процессы самоорганизации в ансамблях связанных автоколебательных систем, особенностям динамики которых посвящены современные исследования многих авторов (В.С.Анищенко, В.В.Астахов, В.С.Афраймович, Г.В.Осипов, М.И.Рабинович, Ю.М.Романовский, М.М.Сущик, В. Д.Шалфеев).

В качестве исходной модельной системы рассматривается двумерная решетка автогенераторов с внешним периодическим воздействием:

Zi,m = jffli,юZ¡lm+Zi,m(l-|Z¡IIn[Ve(Zi_1,IИ+Zi+1>m+Zi,m_1+Zi>m+1)+Kexp(jф) Здесь Z■um - комплексная переменная состояния, б - параметр, характеризующий связь; ср - <в0(; собственные частоты осцилляторов а>1!т распределены в малом интервале вблизи

частоты ш0 внешнего воздействия.

Рассмотрено влияние возмущений фазы ф внешнего воздействия на характер колебаний решетки. Выявлена зависимость времени, за которое восстанавливается синхронизированное состояние в решетке после внесения одиночного

возмущения в виде смещения фазы внешнего воздействия, от величины фазового сдвига. Предложенная модель и результаты ее исследования используются в качестве одного из возможных описаний взаимодействий в ансамблях биологических осцилляторов, для которых одним из основных является эффект синхронизации. Введено понятие и способ вычисления времени адаптации для наблюдения за восстановлением синхронизации после внешних возмущений.

Предложены характеристики и способы их расчета для оценки степени влияния возмущений фазы внешнего воздействия на синхронизацию колебаний решетки. Это позволило применить модель для описания взаимодействий циркадных ритмов в биологических системах. Сопоставление результатов моделирования с практическими данными медицинских наблюдений дало возможность прогнозировать влияние сменного труда как фактора риска нарушений здоровья.

Третья глава посвящена исследованию моделей двух типов: ансамблей осцилляторов с большим числом степеней свободы и решеток неоднородно связанных сосредоточенных систем.

В первом случае каждый осциллятор в системе описывался обыкновенным дифференциальным уравнением с простейшей нелинейностью и запаздывающим во времени аргументом, лишь обозначениями отличающимся от уравнения Хатчинсона. Объединенные в замкнутую цепочку или глобально, осцилляторы описывались системой уравнений:

Xj(t) = fli(l - Xj(t - T))Xi(t) + 8F{Xi} +G(t), гце i=l,...,N; N - количество взаимодействующих элементов; тип связи задается функцией F{x;}; функция G(t) определяет периодическое внешнее воздействие.

Система исследовалась на предмет возможности установления синхронных колебаний в случаях разных связей, распределений собственных частот осцилляторов, наличия и отсутствия внешнего воздействия.

Во втором случае исследовались особенности простран-

ственно-временной динамики одномерных решеток сосредоточенных систем с неоднородными связями. Изложению материала предшествует обоснование постановки проблемы. Рассмотрена цепочка автогенераторов, подобная модели из второй главы, но отличающаяся неоднородностью связей. Ввиду относительной сложности отдельного элемента цепочки данный эксперимент не выявил каких либо интересных закономерностей динамики системы, за исключением отсутствия синхронных колебаний. Тогда учет неоднородностей связей был выполнен на более хорошо изученной модельной системе - цепочке, составной элемент которой описывался логистическим отображением (С.П.Кузнецов, К.Капеко).

Исследуемая модель описывалась системой разностных уравнений:

х1 = а(1 - х^х; + 0.05е8^х1_! + Х1+1), где определяет закон распределения коэффициентов связи. В первом случае коэффициенты связи задавались как элементы одномасштабного фрактального канторова множества, а именно:

8. е ц. JL._2L._9_._3_,

Ь, и, 243, 243, 243, 243]

Во втором - выбирались случайным образом с равномерным распределением в интервале [0;1]. Полученные результаты сравнивались с результатами для соответствующей цепочки одинаково связанных отображений.

В результате численного эксперимента было обнаружено, что поведение подобных систем определяется как способом задания начальных условий, так и типом распределения коэффициентов связи между элементами решетки.

В частности, для равномерно случайно распределенных начальных условий пространственная неоднородность типов колебаний, реализующихся в цепочке, существует в сравнительно большом диапазоне изменения параметра нелинейности, и этот диапазон сужается с уменьшением степени неоднородности

начальных условий. Однако, как показали исследования, для случайного и фрактального законов распределения коэффициентов связи подобная неоднородность достижима и при одинаковых начальных условиях.

Неоднородность связей также влияет на динамику системы: форма границ на плоскости параметров нелинейность -пространственная координата, разделяющих колебания с разным периодом вдоль цепочки, в известной степени определяется структурой связи, и это влияние тем заметнее, чем меньше дисперсия распределения начальных условий.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Так, моделирование взаимодействий в потоке малых объемов активной среды со сверхизлучением дало возможность объяснить возникновение турбулентности в структурированных электронных потоках. Предполагается, что режимы, при которых происходит усложнение колебаний поля потока с увеличением дискретной пространственной координаты, соответствуют возникновению динамического хаоса через разрушение квазипериодических колебаний. Модель демонстрирует многообразие колебательных режимов - от пространственно - временного хаоса до образования стационарных во времени и нерегулярных в пространстве распределений поля вдоль потока. Предложены способы управления динамикой потока через взаимодействие с резонансными системами: в зависимости от их количества, места расположения в пространстве взаимодействия и параметров, характер колебаний изменяется от регулярных до сложно-периодических и хаотических.

Двумерная решетка связанных автогенераторов с внешним воздействием представляет интерес, прежде всего, с точки зрения моделирования эффектов синхронизации в больших ансамблях биологических процессов, многие из которых носят автоколебательный характер. Исследование явления синхронизации в такой системе позволило провести аналогию между предложенной моделью и взаимодействием циркадных ритмов в

11

организме человека, в результате чего представляется возможным прогнозировать влияние внешних временных факторов на живые системы и, в частности, оценить сменный труд как фактор риска нарушений здоровья.

Синхронные колебания в системе с большим числом степеней свободы также исследовались и на примере ансамбля осцилляторов с запаздыванием для разных типов связей и частот осцилляторов.

В результате исследования связанных логистических уравнений с запаздывающим аргументом выяснилось, что возможность установления синхронных колебаний в системе идентичных осцилляторов без внешних воздействий зависит от способа их взаимодействия: синхронизация наблюдалась в случае глобальных связей и отсутствовала для цепочки с двунаправленными взаимными связями.

В случае цепочки взаимно связанных осцилляторов с запаздыванием синхронизация возможна при наличии внешнего периодического воздействия, причем точное совпадение частоты последнего и собственных частот осцилляторов необязательно: синхронные колебания существуют при значениях частоты внешнего воздействия, лежащих в ограниченном диапазоне, который с увеличением амплитуды внешнего воздействия смещается в более высокочастотную область.

Наличие в замкнутой цепочке из осцилляторов с запаздыванием внутренней неоднородности - элемента с отличающимся параметром нелинейности - приводит к распространению в обе стороны от места возмущения импульсов, которые уничтожаются при взаимодействии. Количество импульсов, одновременно существующих в цепочке (частота их появления) зависит от величины неоднородности.

Относительно последней из представленных в работе моделей можно отметить, что она качественно отличается от предыдущих решеточных моделей своей организацией: если в предыдущих случаях взаимодействующие элементы различались, а связи в пределах одной системы были одинаковы, то в данном

12

случае акцент ставился на изучении влияния неоднородности связей. Оказалось, что решетка с фрактальным и случайным характером распределений коэффициентов связи между отдельными элементами при одних значениях однородных начальных условий может демонстрировать каскад удвоений периода при меньших значениях нелинейности, чем при других, в то время как в случае однородных связей подобный эффект возможен только за счет введения неоднородности начальных условий.

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. При движении потока взаимодействующих структур, каждая из которых представляет малый объем активной среды, состоящий из классических электронов-осцилляторов со сверхизлучением, имеют место регулярные, квазипериодические и хаотические колебания. При увеличении количества электронных структур, одновременно находящихся в пространстве взаимодействия, получено стационарное нерегулярное распределение поля потока.

Предложена феноменологическая модель электронной турбулентности, возникающей в структурированных электронных потоках.

Разработана численная методика построения модели потока малых объемов активной среды, в основу которой положена величина характерного времени кооперативного излучения.

Показана возможность управления пространственно-временными колебаниями поля потока посредством его пропускания через одну или несколько систем с резонансными свойствами.

2. При скачкообразном изменении фазы внешнего периодического воздействии на большой ансамбль связанных в решетку автоколебательных систем имеет место синхронизация колебаний, наступающая через конечное время, которое связано с величиной фазового сдвига нелинейной зависимостью.

Предложены характеристики и способы их расчета для

оценки степени влияния возмущений фазы внешнего воздействия на синхронизацию колебаний решетки.

Результаты применены для описания процессов синхронизации биологических осцилляторов и, в частности, для прогнозирования влияния сменного труда как фактора риска нарушений здоровья. Имеет место совпадение с практическими данными медицинских наблюдений.

3. В результате исследования динамики взаимно связанных осцилляторов с запаздыванием при наличии и в отсутствие внешнего воздействия показана возможность наступления синхронных колебаний в зависимости от типа связей и характера распределений частот осцилляторов. Показано, что при наличии внутренних временны? неоднородностей в цепочке двунаправленно связанных осцилляторов с запаздыванием имеет место распространение возмущений в пространстве.

4. Для одномерной решетки связанных логистических отображений с фрактальным и случайным законами распределения коэффициентов связи в случае однородных начальных условий существуют такие значения последних, при которых бифуркационные значения параметра нелинейности существенно уменьшаются, что не наблюдается для решетки с однородными связями в тех же пределах изменения остальных параметров.

Апробация результатов и публикации.

Работа выполнена на кафедре электроники и волновых процессов Саратовского государственного университета и в Государственном учебно - научном центре "Колледж" СГУ.

Основные положения диссертации докладывались на четвертой Международной школе-семинаре по хаотическим колебаниям в радиофизике и электронике ХАОС'94 (Саратов, 2-8 октября 1994 г.), Second International Scientific School-Seminar "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena" (Nizhny Novgorod, 2128 June 1994), Международной конференции "Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических

системах" (Москва-Суздаль, 12-18 июня 1995 г), International School in Nonlinear Science (Nizhny Novgorod, September 5-16, 1995), 10-ой зимней школе-семинаре по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, январь 1996), International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine (Saratov, July 8-14, 1996), а также на научных семинарах кафедры электроники и волновых процессов Саратовского государственного университета. Основные результаты работы использованы в НИР НИИМФ СГУ и ГосУНЦ "Колледж": г/б НИР "Вакханалия-РВО", № ГР У74199 от 01.06.92 г.; г/б НИР "Фрактал"; гранты РФФИ 93-02-16171; 96-02-16753.

По теме диссертации опубликованы работы:

[1] Мчедлова Е.С., Трубецков Д. И. Излучение потока взаимодействующих малых объемов, содержащих электроны-осцилляторы // Письма в ЖТФ. 1993. Т. 19. Вып.24. С.26-30.

[2] Mchedlova E.S., Trubetskov D.I. Radiation from the flow of interacting small volumes, containing the electron oscillator // In the Proceedings of Internatonal Simposium "Physics and Engineering of Millimeter and Submillemeter Waves", Kharkov, Ukraine, June 7-10, 1994, P.345-348.

[3] Mchedlova E.S., Trubetskov D.I., Ponomarenko V. I. Nonlinear Dynamics of Two Unusual Electronic Systems // In the Proceedings of Second International Scientific School-Seminar "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena", Nizhny Novgorod, 21-28 June 1994, P.93-94.

[4] Мчедлова E.C., Трубецков Д.И. Особенности излучения в цепочках связанных малых объемов, содержащих электроны-осцилляторы //ЖТФ, 1994. Т.64. 110. С.158-167.

[5] Мчедлова Е.С., Трубецков А.Д. Процессы самоорганизации как результат нелинейных взаимодействий в системах биологических осцилляторов // Известия ВУЗов серия Прикладная

15

нелинейная динамика, 1995, том 3, 11, С.73-81.

[6] Мчедлова Е.С., Трубецков А.Д. Образование и разрушение структур в цепочках и решетках осцилляторов различной природы // В сборнике тезисов докладов Международной конференции "Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах". Москва - Суздаль, 1995. С.73.

[7] Mchedlova E.S. Some Universalities in the Large Groups of Time-Delayed Systems // In: Nonlinear Waves. Synchronization and Patterns. Edited by Rabinovich M. I., Syshchik M. M. and Shalfeev V. D. Nizhny Novgorod: Nizhny Novgorod University Press. 1995. V.l. P.75-78.

[8] Мчедлова E.C. Феноменологическая модель электронной турбулентности // Лекции по СВЧ электронике и радиофизике. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж". 1996. Книга 2. С. 107-112.

[9] Трубецков А.Д., Мчедлова Е.С. Синергетический подход к хрономедицине // В сборнике тезисов Московского синергети-ческого форума. Москва. 1996. С. 104-105.

[10] Mchedlova E.S., Trubetskov A.D. Modelling of the shift work with various rapids of rotations // In: Book of abstracts of the international conference on nonlinear dynamics and chaos. Applications in physics, biology and medicine (ICND-96). Saratov. 1996. P.123.

[11] Mchedlova E.S. Effect of nonhomogeneous coupling on dynamics of logistic maps lattice // In: the Abstracts of the International Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems. 1996. N.Novgorod University Press. P.38.

[12] Мчедлова E.C. Пространственно-временная динамика одномерной решетки фрактально связанных отображений // В сборнике тезисов IV конференции по нелинейным колебаниям механических систем. Н.Новгород. 1996. (принято к печати).

[13] Trubetskov D.I., Mchedlova E.S., Anfînogentov V.G., Ponomarenko V.l., Ryskin N.M. Nonlinear waves, chaos nd patterns in microwaves // Chaos. 1996. V.6. No.3. (Accepted)

[14] Mchedlova E.S., Trubetskov D.I. Spatio-Temporal Chaos and Patterns Formation in Nonequilibrium Media: Phenomenological Model of Electronic Turbulence // Electronic preprint in the Internet: http:Wxyz.lanl.gov/chao-dyn No.9607010.

МЧЕДЛОВА Елена Сумбатовна

Нелинейная динамика дискретных моделей некоторых типов распределенных систем

Автореферат

Ответственный за выпуск - к.ф.-м.н., доцент Ю.ИЛевин

Заказ № 11 Подписано к печати 26.07.96. Объем 1.1 печл. Тираж 100 экз. Изд-во ГосУНЦ "Колледж", г.Саратов.