Синтез и моделирование дискретных автогенераторов и нелинейных резонансных систем

Зайцев, Олег Валерьевич

Синтез и моделирование дискретных автогенераторов и нелинейных резонансных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Зайцев, Олег Валерьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Синтез и моделирование дискретных автогенераторов и нелинейных резонансных систем»

Автореферат диссертации на тему "Синтез и моделирование дискретных автогенераторов и нелинейных резонансных систем"

На правах рукописи

ЗАЙЦЕВ Олег Валерьевич

СИНТЕЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ АВТОГЕНЕРАТОРОВ И НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМ

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара-2006

Работа выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Г.П. Яровой Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.Ф. Кругов; кандидат физико-математических наук, доцент С.Ю. Медведев.

Ведущая организация:

ГОУВПО «Нижегородский государственный университет»

Защита состоится « #">>_2006 г. в СО На заседании диссертационного совета Д 219.003.01 в ГОУВПО «Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики» по адресу:

443010, г. Самара, ул. Льва Толстого, 23 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГАТИ

Автореферат разослан «_»_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 219.003.01,

доктор технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

За годы, прошедшие после формулировки академиком A.A. Андроновым основных представлений об автоколебательных системах как об особом классе нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, автоколебательные модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники. Например, автоколебательные модели используются при описании химических реакций, биологических систем, механических конструкций. Тем не менее, наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.

В радиофизике автоколебательными системами является множество различных физических источников колебаний от генераторов на электронных лампах до микроволновых и оптических квантовых генераторов. Введено в рассмотрение и подробно исследовано множество типов аналоговых автоколебательных систем, различающихся по физическим принципам взаимодействия колебаний с источником энергии, видам нелинейностей, структурам резонаторов. Изучены основные физические явления и эффекты, сопутствующие автоколебаниям, определены способы их практического использования.

В значительно меньшей степени сказанное относится к дискретным автоколебательным и нелинейным колебательным системам, т.е. системам, функционирующим в дискретном времени (ДВ-системам). Традиционно теория дискретных динамических систем развивается, ориентируясь на решение задач цифровой обработки и фильтрации сигналов. При этом в подавляющем большинстве случаев исследуются лишь линейные системы. Ряд исследователей, в том числе А. Оппенгейм и Р. Шафер, предложили использовать нелинейные системы для фильтрации мультипликативных сигналов. Однако предложенные ими гомоморфные системы относятся к классу нелинейных трансверсальных систем, т.е. динамическими системами не являются. Преобразования сигналов, осуществляемые гомоморфными системами, аналогичны безынерционным нелинейным преобразованиям в непрерывном времени.

По формальным признакам к дискретным нелинейным динамическим системам наиболее близки точечные отображения, в частности, отображения Пуанкаре. Последние строятся на основе решений дифференциальных уравнений движения динамической системы (в настоящее время, как правило, численных) и служат для качественного анализа особенностей поведения исходной динамической системы в непрерывном времени. Можно также постулировать вид точечного отображения и рассматривать его как модель для описания некоторой физической ситуации. Тем не менее, целесообразно использовать регу-

лярный метод для синтеза нелинейных ДВ-систем с ориентировочно заданными характеристиками для нелинейной фильтрации сигналов.

Следует особо отметить, что имеющиеся к настоящему времени данные указывают на то, что нелинейная дискретная система может быть сравнительно легко переведена из динамического режима в режим хаотических колебаний или автоколебаний. При этом характеристики хаоса определяются динамикой системы, а не внешними шумовыми источниками с независимо заданной статистикой. Подход на основе представлений о динамическом хаосе в настоящее время обоснованно считается весьма плодотворным при вероятностной интерпретации многих явлений окружающей среды.

Таким образом, специфика нелинейных колебаний и автоколебаний в ДВ-системах требует детального и систематического исследования на основе разработанных в радиофизике методов теории нелинейных колебаний и методами численного эксперимента.

Цель работы

Целью диссертационной работы является проведение комплекса исследований по разработке моделей нелинейных дискретных колебательных и автоколебательных систем, анализу моделей и выявлению физических эффектов, имеющих перспективу практического применения в алгоритмах цифровой обработки сигналов и измерений параметров процессов в рамках физического эксперимента.

Методы исследования

Работа выполнена на основе методов теории колебаний, математического моделирования, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна работы определяется

— разработкой метода синтеза дискретных нелинейных систем по аналоговым прототипам, основанного на использовании инвариантности импульсной характеристики линейной резонансной подсистемы;

— методикой и результатами численного эксперимента с синтезированными дискретными нелинейными колебательными и автоколебательными системами;

— обобщением асимптотических методов теории нелинейных колебаний на дискретные автоколебательные и нелинейные резонансные системы с учетом эффекта подмены частот гармоник колебаний в ДВ-системах;

— разработкой общего подхода к анализу систем в непрерывном и дискретном времени на основе выявленной аналогии между интегральными моделями НВ-систем и трансверсальной формой ДВ-систем;

— использованием интегральных моделей аналоговых прототипов для синтеза дискретных нелинейных систем;

— обнаруженными новыми странными аттракторами дискретных осцилляторов Ван дер Поля и Дюффинга;

— статистической моделью дискретного осциллятора Ван дер Поля и описанием на ее основе эффекта хаотизации автоколебаний;

— построением алгоритмов амплитудного и частотного детектирования на основе системы фазовой автоподстройки частоты дискретного автогенератора.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод синтеза дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем по аналоговым прототипам.

2. Дискретные автоколебательные и нелинейные резонансные системы второго порядка, сохраняющие основные свойства аналоговых прототипов.

3. Результаты численного эксперимента с синтезированными дискретными нелинейными системами, в том числе обнаруженные режимы хаотических колебаний и автоколебаний и их странные аттракторы.

4. Приближенные аналитические методы анализа динамики дискретных автоколебательных систем, учитывающие эффект подмены частот в дискретных системах.

5. Статистическая модель дискретного осциллятора Ван дер Поля.

6. Динамические алгоритмы амплитудного и частотного детектирования на основе системы фазовой автоподстройки частоты ДВ-автогенератора.

Обоснованность и достоверность результатов работы Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:

— использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа и синтеза дискретных систем;

— количественной согласованностью результатов математического моделирования и натурного эксперимента;

— соответствием приведенных результатов математического моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

— соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

Практическая ценность работы

1. Предложенный в диссертационной работе метод синтеза дискретных нелинейных систем может найти применение при проектировании устройств нелинейной цифровой обработки и фильтрации сигналов.

2. Разработанные компьютерные методы анализа нелинейных моделей применимы к анализу характеристик нелинейных аналоговых и дискретных фильтров.

3. Разработанные динамические алгоритмы амплитудного и частотного детектирования можно использовать для обработки данных в физическом эксперименте.

4. Синтезированные дискретные автоколебательные системы в хаотических режимах могут являться генераторами случайных последовательностей при решении задач математического моделирования.

5. Система математического моделирования прохождения сигналов в импульсных каналах обмена данными предназначена для оптимизации структуры канала и определения предельно допустимых отклонений его параметров, обеспечивающих безотказное функционирование информационного комплекса.

База исследования

Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на

— I—III и V международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 10-16 сентября 2001 г.; г. Самара, 7-13 сентября 2003 г.; г. Волгоград, 6-12 сентября 2004 г.; г. Самара, 11-17 сентября 2006 г.);

— всероссийских научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии»: «ИСТ-2001», «ИСТ-2002», «ИСТ-2004» (г. Нижний Новгород, 2001 г., 2002 г., 2004 г.);

— всероссийских научно-технических конференциях «Современные проблемы радиоэлектроники» (г. Красноярск, 2001 г., 2002 г., 2005 г.);

— И всероссийской научно-технической конференции «Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов» (г. Пенза, 25-26 мая, 2004 г.);

— конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века» (г. Самара, 1-5 июля 2005 г.);

— конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» (г. Самара, 21-27 ноября 2005 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликованы 24 работы, в том числе 10 статей (из них 8 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание степени доктора наук) и 14 тезисов докладов и сообщений различных научно-технических конференций и семинаров.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка использованных источников из 108 наименований. Она содержит 130 страниц текста и 86 рисунков на 64 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования и ее практическая значимость, проведен обзор литературы по теме диссертации, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертационной работы введен в рассмотрение метод синтеза дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем по аналоговым системам-прототипам (п. 1.1). Метод основан на выделении в аналоговой системе линейной диссипативной подсистемы, порождающей затухающие свободные колебания, и преобразовании этой подсистемы к дискретной форме, используя принцип инвариантности импульсных характеристик. Нелинейные части систем при этом рассматриваются как внешние воздействия на резонансные подсистемы. Показано, что при надлежащем выборе порождающей подсистемы удается синтезировать нелинейную дискретную систему в рекурсивной форме.

Далее приведены примеры решения задачи синтеза нелинейных ДВ-систем. Синтезированы две нелинейные резонансные системы — дискретный осциллятор Дюффинга (ДОД) и дискретный осциллирующий магнитный диполь (ОМД). Исследованы основные свойства синтезированных систем.

Дискретный осциллятор Дюффинга (п. 1.2) определяется разностным уравнением

Я«] = сс,у[п -1] + ссгу{п - 2] + ру3[п -1] + х[п -1], (1)

где ц — параметр нелинейности, х[п] — внешнее воздействие. Значения коэффициентов линейной части системы (1)

а, = 2 ехр^- п со5(2я£20 \ а2=- ехр^- 2л

вычисляются по параметрам НВ-прототипа — колебательного контура с собственной частотой О0 (измеряется в единицах тактовой частоты) и добротностью В численном эксперименте с системой (1) установлено, что в ДОД, как и в аналоговой системе, наблюдается явление нелинейного резонанса. В то же время при жесткой нелинейности (//СО) в осцилляторе возможны автоколебания, которые возбуждаются либо внешним воздействием *[и], либо начальным смещением из равновесия. Кроме того, при определенных условиях в ДОД внешним гармоническим сигналом возбуждаются хаотические колебания. На рис. 1 приведена нелинейная амплитудно-частотная характеристика ДОД, полученная в результате численного эксперимента с осциллятором с параметрами П0 = 0.2, 2 = 30, ц = 0.05 при амплитуде внешнего воздействия а, = 0.12. В окрестности частоты О = 0.17 на регулярной АЧХ наблюдается область пуль-

саций. Далее, в главе 3 показано, что в этой области чередуются режимы детерминированных и хаотических колебаний. Подробнее хаотические колебания в ДОД рассмотрены в п. 3.8.

В п. 1.3 описана аналоговая система - ОМД, которая использована в качестве прототипа для синтеза дискретной нелинейной колебательной системы с двумя потенциальными ямами. Синтезированный дискретный ОМД с аддитивным воздействием определяется уравнением

Я«] = -1] + а2у[п - 2] + рт >'["'11,„г + х[п-1] (2)

с параметром нелинейности О. Показано, что в системе (2) наблюдаются нелинейные резонансы как мягкого, так и жесткого типов. Смена типа резонанса происходит при изменении величины параметра нелинейности, а не его знака, как это имеет место в контуре с нелинейной емкостью или индуктивностью. При резонансе с мягкой нелинейностью с ростом амплитуды внешнего воздействия колебания в одной из ям бистабильного потенциала сменяются переходами между ямами. Этот режим колебаний представляет интерес для исследований явления стохастического резонанса. В дискретном ОМД наблюдаются также режимы динамического хаоса.

В п. 1.4 решена задача синтеза дискретной автоколебательной системы по аналоговому прототипу - осциллятору Ван дер Поля. Синтезированный дискретный осциллятор ВдП описывается разностным уравнением

Я"] = а,Я" -1] + а2у[п - 2] + у{1 - уг[п - 1]Хя« -1] - у\п - 2]), (3)

в котором параметр нелинейности у имеет физический смысл глубины обратной связи. В гармоническом приближении проведено исследование установившихся автоколебаний. Показано, что система (3) является неизохронной автоколебательной системой. Этот вывод подтвержден результатами численного эксперимента. Исследован спектральный состав автоколебаний и проанализировано влияние эффекта подмены частот на положение спектральных линий гармонических составляющих.

В п. 1.5 представлены разновидности дискретных автогенераторов, которые в отличие от (3) имеют ограниченную кубическую нелинейность

Я«] = а,Я» -1] + а2у[п - 2] + yG(y[n -1],у. Х>'[" -1] - Я« ~ 2]), (4)

где С(у,у,) = (1 -\в(у + у.)- в(у -у,)), у. - параметр нелинейной характеристики, в(у) - функция Хевисайда. Проведено сравнение амплитуд гармоник автоколебаний в генераторе (4) при у,-1 и дискретном осцилляторе ВдП. Кроме того, в п. 1.5 описан дискретный автогенератор с жестким возбуждением.

В п. 1.6 сформулированы основные выводы первой главы.

Вторая глава диссертации посвящена обобщениям приближенных аналитических методов теории нелинейных колебаний на дискретные автоколебательные системы. В п. 2.1 предложен компьютерный вариант метода медленно меняющихся амплитуд (ММА) и дана его интерпретация с точки зрения цифровой фильтрации сигналов. Первоначально использованное квазигармоническое приближение в п. 2.2 заменено полигармоническим. Приведены примеры численного анализа автоколебаний в осцилляторе Ван дер Поля и осцилляторе с ограниченной кубической нелинейностью, позволившие дать оценки точности компьютерного варианта метода ММА.

В п. 2.3 методом ММА проведен анализ переходных процессов в дискретном осцилляторе ВдП в предположении, что частота автоколебаний не попадает в окрестность частоты О = 0.25. Получено укороченное уравнение для комплексной амплитуды автоколебаний и на его основе исследованы процессы установления амплитуды и частоты. Проведено сравнение результатов, полученных методом ММА, с результатами численного эксперимента и констатировано их хорошее соответствие.

Обобщениям метода усреднения и метода многих масштабов на дискретные системы посвящены п. 2.4 и п. 2.5. Метод усреднения использован для анализа процесса установления автоколебаний с частотой Оа = 0.25 в дискретном осцилляторе ВдП (п. 2.6). Показано, что в этом режиме весьма существенную роль играет подмененная третья гармоника автоколебаний, вызывая так называемый эффект самосинхронизации ДВ-автогенератора. Укороченное уравнение для комплексной амплитуды с учетом эффекта самосинхронизации имеет вид

1 + а2-г + ^у\А[п-г£ +

(5)

А[П] = А[П-1]-~

+ У'| се, +Г + ^г\А[п-Ц

Здесь последнее слагаемое учитывает влияние подмененной третьей гармоники. На рис. 2 непрерывной линией в соответствии с уравнением (5) представлен процесс изменения амплитуды автоколебаний для дискретного осциллятора ВдП с параметрами О0 =0.253, 2 = 30 и у = 0.081. Точками на графике отмечены значения амплитуды, полученные по отрезку реализации автоколебаний, методами теории аналитического сигнала. Наблюдаемое хорошее согласие результатов теории и численного эксперимента является подтверждением адек-

1.0

0.5

ИМ

800

Рис. 2.

виде нелинейного уравнения свертки

л-1

ватности разработанной модели нелинейного взаимодействия колебаний основной частоты и его подмененных гармоник.

В п. 2.7 предложено использовать интегральные модели для исследования автоколебаний в аналоговых системах и этот метод распространен на дискретные автогенераторы. Дано их представление в трансвер-сапьной форме. Получено укороченное уравнение для комплексной амплитуды в

А[п] = -к- 1])Ди-к-1 + Аг[«],

(6)

где для автоколебаний вдали от частоты О = 0.25 20=ехр(_/2 лО.0), О{А[п])=1-г;1-^{ъ-2г;,-г0}А[п^2; ад = ехр^-?г^и) и Аг[п] - огибающая импульсной характеристики дискретного резонатора и огибающая свободных колебаний в резонаторе.

Дискретную систему с импульсной характеристикой Вк[п\ можно реализовать не только в трансверсальной (6), но и в рекурсивной форме:

А[»] = ст,А[П-1]-у:

-МА[п-\])А[п-1],

(7)

21ш(20)

где <т, = ехр(- я£20 / О). Две формы (6) и (7) укороченных уравнений полностью эквивалентны. Но рекурсивная форма (7), естественно, обладает большей вычислительной эффективностью. Отметим также, что уравнениям (6) и (7) в теории аналоговых систем соответствуют укороченные уравнения в интегральной и дифференциальной формах.

Выводы второй главы сформулированы в п. 2.8.

В третьей главе исследованы хаотические колебания и автоколебания в нелинейных дискретных системах. Проведено исследование трансформации амплитудных спектров автоколебаний дискретного осциллятора ВдП (3) с ростом параметра глубины обратной связи / (п. 3.1). Показано, что при определенных условиях в осцилляторе возбуждаются хаотические автоколебания, которые характеризуются широким спектром и сложным фазовым портретом сис-

Рис. 3.

темы. На рис. 3 приведен типичный спектр хаотических автоколебаний в дискретном осцилляторе ВдП с параметрами О0 = 0.2,

¡0 = 30 и / = 0.195. Спектральная оценка получена методом Бартлетта с использованием 1024-точечного преобразования Фурье на основе реализаций автоколебаний длины N = 216.

Исследованы возможности управления хаотическими автоколебаниями дискретного осциллятора ВдП. Показано, что внешнее гармоническое воздействие на осциллятор может как возбуждать, так и подавлять хаотические автоколебания.

Широкому сплошному спектру соответствует изображенный на рис. 4 аттрактор автоколебаний. Следует отметить, что представленное на рис. 4 множество точек сохраняет свою геометрическую форму при изменениях начальных условий >[0] и _у[1] для уравнения (3). Для характеристики фрактальной размерности аттрактора использована ве-Рис. 4. личина корреляционного

показателя. В результате расчетов (п. 3.3) было получено значение и = 1.291 ±0.039. Дробная величина корреляционного показателя дает основание отнести аттрактор хаотических автоколебаний дискретного осциллятора ВдП к числу странных аттракторов.

В п. 3.2 исследованы спектрально-корреляционные и вероятностные характеристики огибающей хаотических автоколебаний. Установлено, что хаос в дискретном осцилляторе ВдП обусловлен переходами между двумя режимами автоколебаний с различающимися амплитудами и частотами. Разработана статистическая модель дискретного осциллятора ВдП (пп. 3.4, 3.5), в которой шум квантования сигнала в цифровой системе рассматривается в качестве причины случайных переходов между бистабильными состояниями динамической сис-

темы. Результаты статистического моделирования (п. 3.6) подтверждают адекватность модели. В п. 3.7 статистическая модель с шумом квантования использована для описания хаотизации вынужденных колебаний в ОМД.

В п. 3.8 показано, что в дискретном осцилляторе Дюффинга наблюдаются режимы хаотических вынужденных колебаний. На рис. 5 показан аттрактор хаотических колебаний ДОД с параметрами О0 =0.2, 6 = 30, ^ = 0.05, возбуждаемых гармоническим сигналом с амплитудой а, = 0.12 и частотой = 0.1708. Фрактальная размерность аттрактора характеризуется значением корреляционного показателя v = 1.724 ± 0.03. Его дробная величина позволяет отнести аттрактор хаотических колебаний ДОД к числу странных аттракторов. Исследования временных и спектрально-корреляционных характеристик амплитуды и фазы колебаний приводят к выводу о том, что в хаотическом режиме имеет место случайная автомодуляция амплитуды и фазы. При этом переход к хаосу происходит по сценарию перемежаемости.

В п. 3.9 сформулированы выводы третьей главы.

Четвертая глава диссертации посвящена практическим применениям дискретных автогенераторов. В п. 4.1 описан динамический алгоритм частотного детектирования квазигармонических сигналов. Алгоритм основан на моделировании в реальном времени процессов в кольце фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) дискретного автогенератора. Перестраиваемый генератор кольца ФАПЧ определяется уравнением движения

Ми] = «itf и -1] + а2у[п - 2] + }G{y[n - l],l)G'[« -1] - Я" - 2]), (8)

в котором коэффициент а, изменяется во времени в соответствии с сигналом управления z[rï\ :

а, [и] = 2 ехр(- яг fi0 /g)cos(2;r Cl0 (l + /с[„])) . (9)

В кольце ФАПЧ с фазовым детектором на основе перемножителя сигнала автоколебаний со входным сигналом х[и] и фильтром нижних частот первого порядка сигнал управления частотой ДВ-генератора формируется в соответствии с уравнением

Рис. 5.

z[ri\ = сг,г[« -1] + 2лПс>{и - 1]x[/i],

(10)

где // - крутизна характеристики управления частотой генератора; о-, = exp(-2/zQc), Лс - частота среза ФНЧ ФАПЧ. Подбором параметров системы (8)-(10) удается получить линейную зависимость управляющего сигнала z[ri\ от расстройки частот С2[и] - fi0 в полосе входного ЧМ-сигнала. Приведен пример оценки временной зависимости доплеровского смещения частоты акустического сигнала, излучаемого источником, установленным на колеблющемся маятнике.

Алгоритм синхронного детектирования АМ-сигналов с подавленной несущей на основе ФАПЧ дискретного автогенератора представлен в п. 4.2. В дополнение к преобразованиям (8)-(10) алгоритм содержит операцию перемножения входного сигнала х[п] с сигналом автоколебаний >[«] и фильтрацию произведения низкочастотным фильтром:

Ди] = о^[и-1] + 2яПсЯл]*[и]. (11)

Частота среза этого фильтра может отличаться от частоты среза ФНЧ ФАПЧ. Приведены примеры, подтверждающие работоспособность алгоритма (8)-(11) и высокое качество детектирования.

Использование дискретного осциллятора ВдП в режиме хаотических автоколебаний в качестве источника реализаций случайных процессов при решении задач статистического и имитационного моделирования обсуждается в п. 4.3. Получены оценки совместных корреляционных функций реализаций, различающихся начальными условиями генерации. Установлена высокая чувствительность хаотических автоколебаний в дискретном осцилляторе ВдП к начальным условиям, что позволяет на практике получать некоррелированные реализации случайных процессов.

Предложено использовать огибающую хаотических автоколебаний в качестве источника низкочастотного шума — случайного телеграфного сигнала с пуассоновской статистикой переключений. Для этого сигнал хаотических автоколебаний подвергается квадратичному детектированию и низкочастотной фильтрации:

z[n] = 2сг,-[и -1] - z[n - 2] + 4л-2ПсУ [и].

Затем из процесса г[и] удаляется среднее значение z и формируется случайный телеграфный сигнал с амплитудой А:

Г[п] = А • sign{z[ri\ -z).

Отрезок реализации сигнала Т[п] показан на рис. 6. В предположении пуассо-

новской статистики переключений форма спектра мощности случайного телеграфного сигнала описывается лоренцевой кривой:

,, (12)

£г +4 V

где V — средняя частота переключений. Сопоставление формы (12) с экспериментальными оценками формы спектра мощности позволило подтвердить предполо-Рис. б. жение о пуассоновской ста-

тистике переключений. На рис. 7 непрерывная кривая соответствует лоренцевой форме (12), а точки — оценке спектральной плотности мощности по методу Барт-летта с 256-точечным преобразованием Фурье на основе реализации Т[п\ длиной N = 216. При этом ап-роксимация экспериментальных данных теоретической зависимостью методом наименьших квадратов дает рис ^ значение частоты переклю-

чений — V = 3.5 ■ 10~3. То есть, среднее время между переключениями составляет приблизительно 289 тактовых периода. Выводы четвертой главы сформулированы в п. 4.4.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Приложение содержит описание алгоритма и программы моделирования импульсных процессов в разветвленных каналах информационного обмена. Алгоритм моделирования основан на сочетании методов теории систем с распределенными параметрами и теории систем дискретных во времени. Приведены примеры моделирования. Результаты моделирования сопоставлены с результатами физического эксперимента.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Предложен метод синтеза дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем по аналоговым прототипам.

2. Синтезирован ряд дискретных автоколебательных и нелинейных резонансных систем второго порядка. Показано, что синтезированные системы обладают основными свойствами аналоговых прототипов и поэтому могут выполнять их функции в устройствах цифровой обработки сигналов.

3. Проведено обобщение асимптотических методов теории нелинейных колебаний на дискретные автоколебательные и нелинейные резонансные системы с учетом эффекта подмены частот гармоник колебаний в ДВ-системах.

4. Разработан общий подход к анализу систем в непрерывном и дискретном времени на основе выявленной аналогии между интегральными моделями НВ-систем и трансверсальной формой ДВ-систем. Интегральные модели аналоговых прототипов предложено использовать для синтеза дискретных нелинейных систем.

5. Обнаружены новые странные аттракторы: аттракторы хаотических колебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля и дискретного осциллятора Дюффинга.

6. Разработана статистическая модель дискретного осциллятора Ван дер Поля и на ее основе описан эффект хаотизации автоколебаний. Показано, что шум квантования может являться причиной возникновения хаотических колебаний и автоколебаний в бистабильных цифровых системах.

7. Предложены динамические алгоритмы частотного и синхронного амплитудного детектирования, основанные на уравнении движения дискретного автогенератора в кольце фазовой автоподстройки частоты. Приведены примеры детектирования доплеровского смещения частоты в акустическом эксперименте. Продемонстрировано хорошее соответствие результатов детектирования по предложенным алгоритмам и результатам, полученным с помощью традиционных методов.

8. На основе сочетания методов теории систем с распределенными параметрами и теории дискретных систем разработана система моделирования импульсных процессов в разветвленных волновых цепях, в том числе в мультиплексных каналах обмена данными информационно-измерительных комплексов.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Давыденко C.B., Зайцев В.В., Зайцев О.В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2000. - Т. 3. - N 2. - С. 64-67.

2. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Яровой Г.П. Динамические и стохастические режимы автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля // Всероссийская НТК «Информационные системы и технологии». Тезисы докладов. - Нижний Новгород, 2001. — С. 18-19.

3. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Яровой Г.П. Метод усреднения для дискретных автоколебательных систем // I Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов, Т. 1. — Самара, 2001.-С. 115.

4. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Яровой Г.П. Статистические оценки характеристик стохастических автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2001. -Т. 4. — N 1.-С. 18-21.

5. Зайцев О.В., Яровой Г.П. Моделирование дискретного осциллятора Ван дер Поля // Всероссийская конференция «Современные проблемы радиоэлектроники». Тезисы докладов. — Красноярск, 2001. — С. 127.

6. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин A.B. Численное моделирование автогенераторов с распределенными обратными связями // I Международая НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов, Т.1. - Самара, 2001. - С. 123-124.

7. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин A.B. Особенности анализа дискретных автогенераторов методом усреднения // Сборник научных трудов "Современные проблемы радиоэлектроники — 2002". - Красноярск, 2002. -С. 20-22.

8. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин A.B., Яровой Г.П. Эффект самосинхронизации в дискретном осцилляторе Ван дер Поля // Всероссийская НТК "Информацион. системы и технологии (ИСТ-2002)". - Нижний Новгород, 2002. - С. 6-7.

9. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин A.B. Исследование эффекта самосинхронизации дискретного осциллятора Ван дер Поля методом усреднения // II Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. - Самара, 2003. - С. 114-115.

Ю.Зайцев В.В., Зайцев О.В., Занин В.И., Мостовой Я.А., Чайкин Ю.В. Система математического моделирования мультиплексного канала обмена данными бортового измерительно-информационного комплекса // II Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. - Самара, 2003. - С. 77-79.

11. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Яровой Г.П. Частотный детектор на основе ФАП ДВ-автогенератора // III Международная НТК "Физика и техниче-

ские приложения волновых процессов". Тезисы докладов. - Волгоград, 2004.-С. 180-181.

12. Зайцев В.В., Зайцев О.В. Яровой Г.П. Численная реализация метода медленно меняющихся амплитуд // Всероссийская НТК "Информационные системы и технологии (ИСТ-2004)". Тезисы докладов. - Нижний Новгород, 2004. - С. 6-7.

13. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин A.B. Метод ММА в численных моделях автоколебательных систем II Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2004. - Т. 7. - N2. - С. 5-12.

14. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин A.B., Яровой Г.П.. Численная реализация метода ММА и цифровая фильтрация сигналов // Вестник СамГУ. -2004.-N2(32).-С. 120-130.

15.Зайцев В.В., Зайцев О.В., Яровой Г.П. Моделирование полигармонических автоколебаний методом ММА // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2004. —Т. 7. -N 3. - С. 31-34.

16.3айцев В.В., Зайцев О.В., Яровой Г.П. Детектор доплеровского смещения частоты на основе ФАП дискретного автогенератора // Сборник статей "Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов - Пенза, 2004. - С. 100-103.

17.3айцев В.В., Зайцев О.В. Детектор ЧМ-сигнала на основе кольца фазовой автоподстройки частоты дискретного автогенератора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2005. — Т. 8. - N 1. — С. 82-84.

18.3айцев О.В. Амплитудный детектор на основе синхронизированного ДВ-автогенератора // НТК «Концепции фундаментальной физика XXI века». Тезисы докладов. — Самара, 2005. - С. 61-62.

19.3айцев В.В., Зайцев О.В., Никулин В.В. Интегральная модель дискретно-распределенной автоколебательной системы // Вестник СамГУ. — 2006. — N3 (43).-С. 88-93.

20. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин В.В. Интегральные модели автоколебательных систем // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2006. - Т.9. -N 1. - С. 53-57.

21. Зайцев О.В., Никулин В.В., Зайцев В.В. Модели дискретно-распределенных автогенераторов на основе интегральных уравнений Вольтерра // Сборник научных трудов «Современные проблемы радиоэлектроники». - М.: Радио и связь, 2006. - С. 18-20.

22. Зайцев В.В., Зайцев О.В. Механизм стохастизации колебаний в динамических системах // V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. — Самара, 2006. -С. 316-318.

23. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Телегин С.С. Стохастические колебания в бис-табильном осцилляторе // V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. — Самара, 2006. — С. 320-321.

24. Зайцев О.В. Синхронный детектор дискретных АМ сигналов // V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. - Самара, 2006. - С. 411-412.

Подписано в печать 16.10.06 Гарнитура Times New Roman. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Усл.-печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,91. Тираж 100 экз. Заказ № 1311 443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1.

Отпечатано УОП СамГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Зайцев, Олег Валерьевич

Введение.

Глава 1. Метод импульсной инвариантности для лискргтны нелинейных систем.

I.] Синтез дискретных систем методом импульсной нквдрийтностн. . .J

1.2 Колебательный контур с нелинейной емкостью н дискретный осциллятор Дюффдога.,.«. J

1.3 Дискретная модель осциллятора с бистабилышми состояниями равновесия.,.

1.4 Дискретная автоколебательная система второго порядка.

1.5 Разновидности дискретных автогенераторов.

1.6 Выводы.

Глава 2. Асимптотические методы теории нелинейных колебании дли

ДИСКретЯШ нелинейных систем.

2Л Численная реализация метода ММЛ и дискретная фильтрация сигналов.

2.2 Моделирование поли гармонических автоколебаний методом ММА.

2.3 Анализ переходных процессов в дискретном осцилляторе Ван дер Поля методом ММА.

2.4 Метод усреднения для дискретных систем.

2.5 Метод многих масштабов.

2.6 Эффект самосинхронизации дискретного автогенератора. Анализ методом усреднения.

2.7 Интегральные модели и дискретные автоколебательные системы.

2.8 Выводы.

Глава 3. Хаотические колебания в дискреты* нелинейным еисгсмах.

3.1 Хаотизздия колебаний в дискретном осцилляторе Ван дер Поля.

3-2 Статистические характеристики хаотических автоколебаний.

3.3 Фрактальная размерность аттракторов дискретного осциллятора Ван дер Поля.

3.4 Эффект квантования сигнала как источник шума а цифровой системе---.

3.5 Статистическая модел ь дискретного автогенератора.

3.6 Статистическое моделирование автоколебаний в дискретном осцилляторе ВдП.

3.7 Шум квантования и хаотические колебания в дискретном ОМД.

3.8 Хаотические колебания в дискретном осцилляторе Дюффннл».

3.9 Выводы.

Глава 4. Применение дискретных автогенераторов.

4.1 Детектирование ЧМ-сигнала в системе фазовой автоподстройки частоты дискретного автогенератора.

4.2 Синхронное детектирование амплитудно-модулированных сигналов.

4.3 Генерация случайных сигналов.

4.4 Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Синтез и моделирование дискретных автогенераторов и нелинейных резонансных систем"

Актуальность работы

За годы, прошедшие после формулировки академиком А .А. Андроповым основных представлений об автоколебательных системах [1, 2] как об особом классе нелинейных днссниатннных систем, способных генерировать центу хающие колебания с параметрами, не завися шнмн от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, автоколебательные модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники. Представления об автоколебаниях широко используются также в моделях химических реакций [31, биологических систем [4, 5], механических конструкций (б]. Тем не менее наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась а радиофизике, где автоколебания н автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследовании.

В радиофизике автоколебательными системами является множество различных физических источников колебаний: от генераторов на электронных лампах [7] до микроволновых и оптических квантовых генераторов [8,9].

Введено а рассмотрение н подробно исследовано множество типов аналоговых автоколебательных систем, различающихся по физическим принципам взаимодействия колебаний с источником энергии, видам нслинейностей, структурам резонаторов. Изучены основные физические явления и эффекты, сопутствующие автоколебаниям, определены способы их практического использовании.

В значительно меньшей степени сказанное относится к дискретным автоколебательным и нелинейным колебательным системам, т.е. системам, функционирующим в дискрегиом времени (ДВ-систсмам), Традиционно теорня дискретных динамических систем развивается, ориентируясь на решение задач цифровой обработки и фильтрации сигналов J1Q-I2], При этом в подавляющем большинстве случаев исследуются лншь линейные системы [13]. Рад исследователей, в том числе А. Оппенгсйм и Р. Шафер, предложили использовать нелинейные системы для фильтрации мультипликативных сип гадов J14J. Однако предложенные ими гомоморфные системы относятся к классу нелинейных трансвсрсальных систем, т.е. динамическими системами не являются. Преобразования сигналов, осуществляемые гомоморфными системами, аналогичны безынерционным нелинейным преобразованиям в непрерывном времени [15].

Актуальность исследования нелинейных динамических систем существенно возросла а связи с успехами цифровой электроники и микропроцессорной техники, однако и значительную часть реально существующих в естественных условиях объектов окружающей среды целесообразно исследовать в рамках дискретных временных моделей, Например, известную экологическую систему «хищник-жертва» следует проанализировать и в рамках ДВ-моделн, учитывая, что системе присуши характерные временные масштабы - времена воспроизводства взаимодействующих ендов. Это только один пример из множества подобных.

По формальным признакам к дискретным нелинейным динамическим системам наиболее близки точечные отображения [16}. в частности, отображения Пуанкаре. Последние строятся на основе решений дифференциальных уравнений движения динамической системы {в настоящее время, как правило, численных) н служат для качественного анализа особенностей поведения исходной динамической снсгемы в непрерывном времени. Можно также постулировать вид точечного отображения и рассматривать его как модель для описания некоторой физической ситуации [17, 18].

Следует особо отметить, что имеющиеся к настоящему времени данные указывают на то, что нелинейная дискретная система может быть сравнительно легко переведена из динамического режима и режим хаотических колебании или автоколебаний (17]. При этом характеристики хаоса определяются динамикой системы, а не внешними шумовыми источниками с независимо заданной статистикой. Подход на основе представлений о динамическом хаосе в настоящее время обоснованно считается весьма плодотворным при вероятностной интерпретации многих явлений окружающей среды.

Проблеме хаоса в динамических радиоэлектронных системах к настоящему времени посвящено значительное число монографий (см., например, [19-21]) и большое число журнальных публикаций. Среди последних по времени отметим статьи [22» 23], посвященные хаотическим колебаниям в системах связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дюффннга. Однако до сих пор рассматривались хаотические процессы лишь в аналоговых динамических системах, в основном численными методами. Хаос в дискретных автогенераторах в литературе не описан.

Цель работы

Целью диссертационной работы является проведение комплекса исследований но разработке моделей нелинейных дискретных колебательных и автоколебательных систем, анализу моделей и выявлению физических эффектов, имеющих перспективу практического применении в алгоритмах цифровой обработки сигналов и измерений параметров процессов в рамках физического эксперимента.

Методы исследования

Научная новнзна работы определяется

- разработкой метода синтеза дискретных нелинейных систем по аналоговым прототипам, основанного на использовании инвариантности импульсной характеристики линейной резонансной подсистемы;

- методикой и результатами численного эксперимента с синтезированными дискретными нелинейными колебательными и автоколебательными системами;

- обобщением асимптотических методов теории нелинейных колебаний на дискретные автоколебательные и нелинейные резонансные системы с учетом эффекта подмены частот гармоник колебаний в ДВ-системах;

- разработкой общего подхода к анализу систем в непрерывном и дискретном времени на основе выявленной аналогии между интегральными моделями НВ-систем и трансверсальной формой ДВ-систем;

- использованием интегральных моделей аналоговых прототипов для синтеза дискретных нелинейных систем;

- обнаруженными новыми странными аттракторами дискретных осцилляторов Ван дер Поля и Дюффинга;

- статистической моделью дискретного осциллятора Ван дер Поля и описанием на ее основе эффекта хаотизации автоколебаний;

- построением алгоритмов амплитудного и частотного детектирования на основе системы фазовой автоподстройки частоты дискретного автогенератора.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод синтеза дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем по аналоговым прототипам.

3. Результаты численного эксперимента с синтезированными дискретными нелинейными системами, в том числе, обнаруженные режимы хаотических колебаний и автоколебаний и их странные аттракторы.

5. Статистическая модель дискретного осциллятора Ван дер Поля.

Обоснованность и достоверность результатов работы

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:

- использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа и синтеза дискретных систем;

- количественной согласованностью результатов математического моделирования и натурного эксперимента;

- соответствием приведенных результатов математического моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

- соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

Практическая ценность работы

База исследования

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на

- I международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 10-16 сентября 2001 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «ИСТ-2001» (г. Нижний Новгород, 2001 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (г. Красноярск, 2001 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «ИСТ-2002» (г. Нижний Новгород, 2002 г.);

- II международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 7-13 сентября

2003 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «ИСТ-2004» (г. Нижний Новгород, 2004 г.);

- II Всероссийской научно-технической конференции «Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов» (г. Пенза, 25-26 мая, 2004 г.);

- III международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Волгоград, 6-12 сентября

2004 г.);

- конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века» (г. Самара, 1-5 июля 2005 г.);

- конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» (г. Самара, 21-27 ноября 2005 г.).

- V международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара. 11-17 сентября 2006 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 24 работы, в том числе 10 статей (из них 8 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций на соискание степени доктора наук) и 14 тезисов докладов и сообщений всероссийских и региональных научно-технических конференций.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

4.4. Выводы

В четвертой главе получены следующие основные результаты.

1. Разработан динамический алгоритм частотного детектирования, основанный на уравнении движения дискретного автогенератора в кольце фазовой автоподстройки частоты, Приведен пример детектирований доплеровского смешения частоты в акустическом эксперименте. Продемонстрировано хорошее соответствие результатов детектирования по предложенному алгоритму результатам, полученным с помощью традиционных методов,

2. Разработан алгоритм синхронного детектирования амплитудно-модулированных сигналов с подавленной несущей.

3. Предложено использовать режимы хаотических автоколебаний в дискретном осцилляторе Ван дер Поля для генерации случайных процессов при решении задач статистического моделирования. Показано, что на основе огибаюшей хаотических автоколебаний можно получить случайный телеграфный сигнал с пуассоновской статистикой переключений.

Результаты четвертой главы отражены в публикациях [14 - IBJ,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

I Предложен метод синтеза дискретных нелинейных колебательных и знтоколсбательных систем по аналоговым прототипам.

4. Разработан общий подход к анализу систем в непрерывном и дискретном времени на основе выявленной а наложи между интегральными моделями НВ-снстем и трансверсальнон формой ДВ-систсм, Интегральные модели аналоговых прототипов предложено использовать для синтеза дискретных нелинейных систем.

5. Показано, что в дискретных нелинейных системах второго порядка -осцилляторе Дюффкнгя и осцилляторе Ван дер Поля - наблюдаются хаотические колебания и автоколебания, Исследованы их спектрально-корреляционные и вероятностные характеристики.

6. Обнаружены новые странные аттракторы; аттракторы хаотических колебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля и дискретного осциллятора Дюффинга.

7. Разработана статистическая модель дискретного осциллятора Ван дер Поля, и на се основе описан эффект хаотнзацнн автоколебаний. Показано, что шум квантования может являться причиной возни кновения хаотических колебаний и автоколебаний в бистабильных цифровых системах,

8, Предложены динамические алгоритмы частотного и синхронного амплитудного детектирования, основанные на уравнении движения дискретного автогенератора в кольце фазовой автоподстройки частоты, Приведены примеры детектирования доплеровского смешения частоты в акустическом эксперименте. Продемонстрировано хорошее соответствие результатов детектирования по предложенным алгоритмам результатам, полученным с помощью традиционных методов.

9. На основе сочетания методов теории систем с распределенными параметрами и теории дискретных систем разработана система моделирования импульсных процессов в разветвленных волновых цепях, в том числе в мультиплексных каналах обмена данными информацнонно-измернтсл ышх комплексов.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Зайцев, Олег Валерьевич, Самара

1. Л" введению и главе I

2. Андронов A.A. Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний // Собр. трудов A.A. Андронова. М.: Над. АН СССР, 1956.

3. Андронов A.A. Теория колебаний / A.A. Андронов. АЛ. Бнтт, С.Э. Хайкин. М.: Наука, 1981. - 568 с.

4. ЭбелннгЭ. Образование структур при необратимых процессах. М.: Мир, 1976.-280 с.

5. Романовский Ю.М. Математическое моделирование в биофизике / Ю.М, Романовский, НЛЗ. Степанова, Д.С. Чернявский. — Москвя-Ижсвск: Институт компьютерных исследований 12004, 472 с.

6. Базмкнн А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 368 с.

7. Вольмир АХ. Нелинейная динамика пластинок н оболочек. М.: Наука, 1972,-432«.

8. Евтянов С.И. Ламповые генераторы. М.*. Связь, 1967, - 384 с.

9. Лэмб У. Теория оптических мазеров. I/ В кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизика. М.: Мир, 1966. - С, 281-376.

10. Мнгулин В.В. Основы теории колебаний / В.Б. Мнгулин, В,И, Медведев, Е,Р. Мустель, В.Н. Парыпш, -М.: Наука, 1978. 392 с,

11. Куприянов М.С. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования / М,С- Куприянов, Б.Д, Матюшкнн. СПб.: Политехника, 1999. - 592 с.

12. Сибсрт У М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х частях, Ч, \, Ч. 2. М.г Мир, 1988.-33« с. 360 с,

13. Олпекгейм А, Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгсйм. Р. Шафер. М.: Техносфера. 2006. - 856 с.

14. Бобровскн Д. Введение в теорию динамических систем с дискретным временем. Москва-Ижевск: РХД, 2006, - 360 с,

15. Оппенгейм А. Нелинейная фильтрация сигналов, представленных в виде произведения и свертки ! А. Оппснгейм, Т. Шафер, Т. Стокхем И ТИИЭР. 1968. - Т, 56. - №8, - С, 5-46,

16. Баскаков СИ. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, -1988.-448 е.

17. Ней марк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейны s колебаний. М.: Наука, 972,-384 е.

18. Мун Ф. Хаотические колебания. М.г Мир, 1990. -312 с.

19. ЛихтснбергА. Регулярная н стохастическая динамика / А. Лих те ибер г. М. Лнберман. Череповец: Мер курий-ПРЕСС, 2000. - 528 с.

20. Неймарк Ю.И. Стохастические и хаотические колебания / Ю.И. Неймарк, П.С. Ланда. М.: Наука, 1987.

21. Дмитриев А.С. Стохастические колебания в радиофизике и электронике / А.С. Дмитриев, В, Я. Кислое. М.; Наука, 1989. -280 с,2t. Ашнценко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.; Наука, 1W0.-312C,

22. Кальянов Э.В. Автоколебательные системы с хаотической динамикой на основе уравнений Ван дер ГГадя-Дюффнип» /Э.В. Кальянов, В .Я. Кислое // Радиотехника и электроника. 2006. -T. 5L - №1. - С. 65~73.

23. Кальянов Э.В. Управляемый хаос в системе генераторов Ван дер Поля при их емкостной связи // Радиотехника н электроника. 2006. - Т. 51, -№4 - С. 437-444.24, Хаясн Т. Нелинейные колебания в физических системах, М.: Мир, 1968.-432 с.

24. Капранов М.В. Теория колебаний в радиотехнике ! М.В. Капранов, В Н. Кулешов, Г.М. Уткнн. М.: Наука, 1984. - 320 с.

25. Вайнштсйн Л.А. Разделение частот и теории колебаний и воли / Л.А, Вайнштсйн, Д.Е, Вакман. М.: Наука. 1983. - 288 с.27, Ландау Л. Д, Электродинамика сплошных сред / Л Д. Ландау, ЕМ. Лившиц. М.: Наука, 1982. - 624 с.

26. Матвеев А.Н. Электричество н магнетизм. М.; Высшая школа, 1983, -463 с,

27. Ярив А. Квантован электроинка. М. Сое. радио, 1980, - 488 с.

28. Нсганов В.А. Электродинамика и распространение радиоволн / В.А. Неганов. 0,В. Осипов. С.Б. Раевский, Г.П. Яровой. М.: Радио н связь, 2005. - 648 с.

29. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. -М,: Гостехнздат, 1952. 33- Берестнев Д.П. Дискретные сигналы и системы / Д.П. Берестнев,

30. В В. Зайцев Самара: Изд. СамГУ, 1996. - % с.

31. Рабинович М.И. Введение в теорию колебании и волн / М.И. Рабинович, Д.И. Трубсцков. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика, 2000. - 560 с.

32. Брусвнч А.Н. Аппроксимации нелинейных характеристик н спектры при гармоническом воздействии / А.Н. Бруевнч, С.Й. Ёвтянов- М.: Сов, радио, 1965. 344 с.

33. Уткин Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. -Сов радио, 1978.-272 с.

34. Морозов А,Д. Рсзонансы, циклы и хаос в квазнкоксерватнвныч системах. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика, 2005. - 424 С.

35. Миляев Н А. К теории емнхрошшцнн автогенераторов с нелинейным задающим контуром // Радиотехника. 1968. - - С. 7-13. 39, Демьянченко А.Г, Синхронизация генераторов гармонических колебаний. - М.: Энергия, 1976. - 240 с.

36. Дмитриев ВТ, Лазеры с активно-нелинейными средами / В,Г, Дм>ггрнев.

37. B.А. Зенкин, U.E. Кори ней ко. All, Рыжков» ВЛ. Стрижевский И Квантовая электроника. 1978. - Т. 5. - №11. - С- 2416-2427.

38. Дмитриев В,Г. Прикладная нелинейная оптика / В.Г. Дмитриев, Л.В. Тарасов. М.: Радио и связь, 1982. - 352 с.

39. РубаникВ.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М,: Наука, 1969 - 288 с.

40. Клнмонтойич 10л- Что такое стохастическая фильтрация и стохастический резонанс // УФН. 1999. - Т. 169, - Вып. 1. - С. 39-47.

41. Зайцев 0,0. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / ВВ. Зайцев, С.В. Давыденко С.В., О.В.Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000, - Т. 3. - N 2.1. C. 64-67.

42. Зайцев О-В, Моделирование дискретного осциллятора Ван дер Поля / О.В. Зайцев, Т.П. Яровой // Всероссийская конференция «Современные проблемы радиоэлектроники». Тезисы докладов. Красноярск, 2001. -С.127.

43. Зайцев О.В. Численное моделирование автогенераторов с распределенными обратными связями / В В. Зайцев, О.В. Зайцев. A.B. Никулин // I Международая НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». 'Гсзисы докладов, "ГЛ. Самара, 200I.-C 123-124.

44. Зайцев О, В, Механизм стохастика ни и колебаний в динамических системах / В В. Зайцев, О.В. Зайцев // V Международная НТК «Физика н технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов- -Самара, 2006. -С. 316-318.

45. Зайцев О.В., Стохастические колебания & бнетабильном осциллятор« / В В. Зайцев, О-В. Зайцев, С.С Телегин // V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» Гсзисы докладов. Самара, 2006. - С. 320^3211. К главе 2

46. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний t H.H. Боголюбов. Ю.А. Мнтропольсхий. М: Наука. 1974, -504 с.

47. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. - 536 е.

48. Капранов МЛ. Теория колебаний в радиотехнике / М.В, Капранов, В Н. Кулешов, Г.М. Уткин. М.: Наука, 1984, - 320 с.

49. Медведев СЮ. Влияние БЛФ на оценку спектра / С.Ю, Медведев. М.Ю- Псров, А,В, Якимов // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 2002. - Т 45, ЛЗ.-С. 263-269,

50. Берестнев Д.П. Численный метод исследования стационарных режимов нелинейных систем / Д.П. Берестнев, В В. Зайцев, Г.Л.Яровой // Математическое моделирование волновых процессов в электродинамических системах СВЧ. Самара: Изд. СамГУ, 1992. - С. 54-59.

51. Манасв Е.И. Основы радиоэлектроники, М.; Радио и связь, 1985. -488 с.

52. Бяехман Н.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981,288 с.

53. Пиковский А. Синхронизация, Фундаментальное нелинейное явление /

54. A, ПиковскнП, М- Розсиблюм, Ю. Курте, М-: Техносфера, 2003, - 496 с,

55. Ли идее и В. Системы синхронизации в святн и управлении. М, Сов. радио, 197S. 600 с.

56. B.В. Бобков, П.И. Монастырный М,: Наука, 1977, - 400 с.

57. Оппеигейм А. Цифровая обработка сигналов / А, Опленгейм, Р. Шафер. М: Техносфера, 2006. - 856 с,

58. Зайцев О.В. Интегральная модель дискретно-распре делен ной автоколебательной системы / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев. В.В. Никулин Н Вестник СамГУ. 2006. - № (43). - С. 88-93.

59. Зайцев О.В. Модели дискрегао-раслределснных автогенераторов па основе интегральных уравнений Вольтсрра / О.В. Зайцев, В.В- Никулин, В.В, Зайцев // Сборник научных трудов «Современные проблемы радиоэлектроники», М,: Радио и связь, 2006. - С. 18-20.

60. Зайцев О-В- Интегральные модели автоколебательных систем / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, В.В. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2006, - Т. 9, №1, - С. 53-57.

61. Зайцев О,В. Метод усреднен!« для дискретных автоколебательных систем / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, Г.П. Яровой И 1 Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов» Т. 1. Самара, 2001, - С, (15,

62. Зайцев О-В. Особенности анализа дискретных автогенераторов методом усреднения I В,В. Зайцев» О.В. Зайцев, А,В. Никулин // Сборник научных трудов "Современные проблемы радиоэлектроники 2002". Красноярск, 2002. - С. 20-22.

63. Зайцев О.В. 'Эффект самосинхронизации в дискретном осцилляторе Ван дер Поля / В.В. Зайцев. О.В. Зайцев, А.В. Никулин, Г.П, Яровой // Всероссийская НТК "Информационные системы и технологии (ИСТ-2002)". Нижний Новгород. 2002. - С.6-7.

64. Зайцев О,В- Численная реализация метода медленно меняющихся амплитуд / В.В, Зайце». О.В. Зайцев* Г.П, Яровой Н Всероссийская НТК "Информационные системы и технологии (ИСТ-2004)И. Тезисы докладов. Нижний Новгород, 2004 - С.б-7.

65. Зайцев О.В, Метод ММЛ в численных моделях автоколебательных сметем ) В В. Зайцев, О-В. Зайцев, А.В. Никулин Н Физика волновых Процессов н радиотехнические системы. 2004. - Т. 7. - N2. - С. 5-12,

66. Зайцев О.В, Численная реализация метода ММА и цифровая фильтрация сигналов / В.В. Зайцев. О.В. Зайцев, А.В. Никулин, Г,П. Яровой И Вестник СамГУ. 2004. 2 (32), - С. 120-130.

67. Зайцев О-В. Моделирование гюлнгармоническнх автоколебаний методом ММ А / ВВ. Зайцев» О-В. Зайцев, Г П. Яровой И Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2004. - Т, 7. - N 3. - С. 31 -34.1. К главе 3

68. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение И Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л,П. Шнльникова. М,: Мнр, 1982. -С. 88-116,

69. Рабинович М,И. Стохастические автоколебания н турбулентность // УФН. 1978. - Т. 125. - Вып. I. - С, 123-168,

70. Аннщснко В.С. Сложные колебания в простых системах. М : Наука, 1990.-312 с,

71. Берже П., Помо И,, Видаль К, Порядок в хаосе, М Мир, 1991,

72. Морозов А.Д. Резонансы. циклы и хаос в квазнконсерватнвных системах. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная VI хаотическая динамика, 2005. -424 с,

73. ИнфельдЭ. Нелинейные волны» солнтоны н хаос I Э, Инфсльл, Дж. Роуланлс, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 480 с,

74. Чириков Б. В. Резонансные процессы в магнитных ловушках // Атомная энергия. 1959, -Т. 6 т. - С. 630-638.

75. S, Заславский Г,М. Введение в нал иней ную фишку / ГМ. Заславский, Р.З. Сагдссв. М.: Наука, 1988. - 368 с,

76. Непоп М- A two-dimensional mapping with a strange attractor U Comm. Malh. Phys. 1976. -V. SO. - P. 69-77.

77. Энон M. Двумерное отображение со странным аттрактором // Странные аттракторы / Под ред. Я.Г Синая н О.П. Шндьннкова. М : Мир, 1981. -С. 152-163.

78. Гукснхсймер Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукскхсймср. Ф Холмс. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002 . 560 с.

79. Holmes P.J. The Dynamics of Repeated Impacts With a Sinusoidally Vibraling Table И J. Sound Vib. 1982. - V. 84. - P. 173-189.

80. Мун Ф Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. - 312 с.

81. Кузнецов С П, О воздействии периодического внешнего возмущения на систему, демонстрирующую переход порядок-хаос через бифуркации удвоения периода И Письма в ЖЭ'ГФ. 1984. - Т. 39, - Вып. 3. - С. 113116.

82. Анищенко В,С. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / Нейман А.Б. Мосс Ф., Шнманскнй-Гайср Л. // УФК 1999. -Т, 169. - Выи. 1.-С 7-38.

83. Farmer J.D., The dimension of chaotic abactors / J. D. Fanner. E. Otl, 1.А. Yorfce H Physica. 1983- - V, 7D. - P 158-180.

84. Grassberger P., Characterization of sirange attractors / P Grassbcrger. L Procaccia //Phys. Rev. Lett. 3983. - V. 50. - P. 346-349.

85. Опиенгейм A.B. Цифровая обработка сигналов I A.B. Опленгейм, PB. Шафер, М,: Техносфера, 2006. - 856 с.

86. Widrow В. Statistical Analysis of Amplitude-Quantized Sampled-Data Systems // A EE Transactions. 1961, - V. 81. - N \ - P555-568,

87. Пугаче» B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М-: ФИЗМАТЛИТ» 2002. -196 с.

88. Акищснко B.C. Бифуркации и индуцированная внешним шумом стохастнчность в лазере с нелинейным поглощением / B.C. Анишенко, М-А. Сафонова, В.В, Тучин И Квантовая электроника. 1988. - Т. 15. -№9,-С- 1885*1894.

89. Малахов А Н. Флуктуации в автоколебательных системах, М.: Наука, 1968.-660 с.

90. Аннщенко В С' Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах ! B.C. Аннщенко, В В. Астахов, Т.Е. Владиславов», A.B. Ней* май, Г.И. Стрелкова, Л. Шимански-Гайер. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 544 с,

91. Ucda Y. Randomly Transitional Phenomena in the System Governed by During Equation // Journal Stat. Phys. 1979. - V. 20. - P. 181-196,

92. Зайцев O.B. Динамические и стохастические режимы автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В В Зайцев, О.В.Зайцев, Т.П. Яровой И Всероссийская НТК «Информационные системы и технологии». Тезисы докладов. Нижний Новгород, 2001, - С. 18-19,

93. Зайцев О.В, Статистические оценки характеристик стохастических автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В В. Зайцев, О.В. Зайцев, Т.П. Яровой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2001. - Т. 4. - N J. - С. ¡8-2J.

94. ПиковскийА., Розенблюм М., Курте Ю- Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М,; Техносфера. 2003, 496 с,

95. Системы фазовой синхронизации U Под. ред, В.В. Шахгнльдяна и Л.Н. НслюстиноЙ. М.: Радио н связь, 1982 -288 с,

96. Шахгильдян В.В, Фазовая автоподстройка частоты / В,В. Ш&чгнльдян, A.A. Ляховкнн. М.: Сов, радио. 1966. - 512 с.

97. Ли идеен В. Системы синхронизации а связи и управлении. М.: Сов. радио, 197S. - 600 с.

98. Тихонов В.И. Нелинейная фильтрация и квазикогсрситный прием сигналов i В.И. Тихонов, Н.К. Кульман. М, Сов. радио, 1975, - 704 с,

99. КияшкоС-В. Автогенератор раднодианазона со стохастическим поведением / C.B. Княшко, A.C. Пиковскнй, М.И, Рабинович Н Радиотехника и электроника, J980. Т. 25. - №3. - С. 336-343.

100. Ермаков С.М. Статистическое моделирование / С.М. Ермаков. Г А. Михайлов. М.г Наука, 1982. - 296 с.

101. Маланин В.В Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах t В,В. Маланнн, И.Е. Полосков, М.-Ижевск; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. - 296 с.

102. Малахов А.Н, Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968. -660 с.

103. Зайцев О.В. Детектор ЧМ-снгнала на основе кольца фазовой автоподстройкн частоты дискретного автогенератора ( В.В. Зайцев, О,В. Зайцев И Физика волновых процессов и радиотехнические системы -2005.-T,8.-N 1.-С. 82-84.

104. Зайцев О.В. Амплитудный детектор на основе синхронизированного ДВ-автогенератора // НТК «Концепции фундаментальной физика XXI века». Тезисы докладов. Самара, 2005. - С. б t-62.

105. Зайцев О.В. Синхронный детектор дискретных AM сигналов Н V Международная НТК «Физика н технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов, Самара, 2006. - С 411-412,