Численное моделирование автоколебательных систем на основе интегральных уравнений движения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ
|
Никулин, Владимир Владимирович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Самара
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
003163 1
НИКУЛИН Владимир Владимирович
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
01 04 03 - Радиофизика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
1 5 МАЧ 2008
Самара-2008
003169114
Работа выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета
Научный руководитель
кандидат физико-математических наук В В Зайцев
Официальные оппоненты:
доктор технических наук О В Горячкин,
кандидат физико-математических наук С Ю Медведев
Ведущая организация: ФГУП «ГНП РКЦ «ЦСКБ-Прогресс»»
Защита состоится « ^ » ^^Я_ 2008 г. в ib-OO на заседании
диссертационного совета Д 219 003 01 в ГОУВПО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики» по адресу
443010, г Самара, ул Льва Толстого, 23 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУТИ
Автореферат разослан 2008 г
Ученый секретарь диссертационного
совета Д 219 003 01,
доктор физико-математических наук
О В Осипов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования
Основы представлений об автоколебательных системах, как об особом классе нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, были сформулированы академиком А А Андроновым в первой трети XX века С тех пор автоколебательные системы и модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники Представления об автоколебаниях широко используются в моделях химических реакций, биологических систем, механических конструкций
Но наиболее обширный класс автоколебательных систем в технике составляют генераторы электромагнитных колебаний В процессе развития радиофизики создавались и вводились в радиотехническую практику автогенераторы на основе различных типов активных элементов, обеспечивающих взаимодействие колебательной системы генератора с источником энергии Задачи разработки автогенераторов стимулировали развитие теории нелинейных колебаний. Наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.
Осциллятор Ван дер Поля явился одной из первых математических моделей автоколебательной системы с одной степенью свободы, получивших широкую известность среди радиофизиков Б Ван дер Поль предложил также приближенный аналитический метод решения нелинейного дифференциального уравнения движения автогенератора, дающий адекватное описание динамики высокодобротных и слабо нелинейных автоколебательных систем В дальнейшем наиболее полное развитие приближенные методы анализа нелинейных колебаний получили в работах научных школ Л И Мандельштама, Н М Крылова, Н Н Боголюбова, Ю Н Митропольского и других исследователей Были разработаны асимптотический метод Крылова-Боголюбова и метод усреднения Бо-голюбова-Митропольского, имеющие строгое математическое обоснование и позволяющие получать приближенные решения уравнений движения автоколебательных систем различных порядков по параметру нелинейности Асимптотический метод Крылова-Боголюбова и метод усреднения широко используются при анализе автоколебательных систем со многими степенями свободы и распределенных автоколебательных систем Проведено их обобщение на автоколебательные системы с запаздывающими связями
Начиная с первых работ 20-х годов прошлого века и до настоящего времени подавляющее большинство моделей автоколебательных систем в радиофизике формулируется в дифференциальной форме - в форме нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, а также дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими
физической ситуации граничными условиями Использование асимптотических методов теории нелинейных колебаний позволяет понизить порядок дифференциальной модели, сводя задачу анализа к решению системы укороченных уравнений для амплитуд и фаз автоколебаний При этом решение укороченных уравнений, как правило, проводится численными методами
Если автоколебательная система с конечным числом степеней свободы не относится к томсоновскому типу, т е является сильно нелинейной и (или) низкодобротной, то численный анализ автоколебаний проводится путем непосредственного интегрирования уравнений движения, в том числе с использованием методов интегрирования жестких и сверхжестких систем дифференциальных уравнений Для распределенных автоколебательных систем уравнения движения - дифференциальные уравнения в частных производных - сводятся к системам ОДУ на основе модовых разложений или с использованием приближения бегущих волн
Вместе с тем, среди автоколебательных систем можно выделить системы дискретного и дискретно-распределенного типов В них локализованный в пространстве (дискретный) активный элемент взаимодействует либо с сосредоточенной колебательной системой, либо с распределенным резонатором К дискретным автоколебательным системам относится большинство радиочастотных генераторов, а к дискретно-распределенным - СВЧ-генераторы на электронных лампах и полупроводниковых приборах, а также радиочастотные генераторы с линиями задержки и резонаторами на поверхностных акустических волнах В любом из указанных автогенераторов линейная колебательная система или цепь обратной связи по отношению к точкам включения нелинейного активного элемента может быть описана импульсной характеристикой При надлежащем выборе ее физической размерности, т е переменных «вход-выход» резонатора, для самосогласованной системы «активный элемент-резонатор» можно записать нелинейное интегральное уравнение движения, относящееся к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода Таким образом, для автоколебательных систем с распределенными резонаторами и обратными связями удается сформировать математические модели, численная реализация которых позволяет использовать точные решения уравнений движений колебательных и волновых систем
Следует также отметить, что на уровне физических представлений о процессах генерации автоколебаний существуют две обобщенные структурные схемы автогенератора Одна из них - это колебательный контур с внешним отрицательным затуханием, другая - усилитель с положительной обратной связью И если дифференциальная форма уравнений движения является адекватным описанием первой структуры, то интегральная модель полностью соответствует структуре «усилитель плюс обратная связь»
Таким образом, разработка и анализ моделей автоколебательных систем с дискретными и дискретно-распределенными параметрами, основанных на интегральных уравнениях движения, является актуальной задачей радиофизиче-
ской теории колебаний, решение которой имеет общетеоретическое, прикладное и методическое значение
Цель работы
Целью диссертационной работы является проведение комплекса исследований по разработке интегральных моделей нелинейных автоколебательных систем, численному анализу моделей и выявлению физических закономерностей автоколебаний, имеющих перспективу практического применения
Методы исследования
Работа выполнена на основе методов теории колебаний, математического моделирования, теории радиотехнических сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем
- в методе моделирования автоколебательных систем с сосредоточенными активными элементами, основанном на точном описании линейной дисси-пативной части системы импульсной характеристикой и записи нелинейного интегрального уравнения движения системы для замкнутой петли обратной связи,
- в распространении метода усреднения теории нелинейных колебаний на интегральные уравнения движения автоколебательных систем,
- в новых математических моделях автогенераторов с сосредоточенными активными элементами и распределенными резонаторами и цепями обратных связей,
- в методике и результатах численного моделирования ряда автоколебательных систем
Положения, выносимые на защиту
1. Способы формирования интегральных уравнений движения автоколебательных систем с сосредоточенными и сосредоточенно-распределенными параметрами
2. Алгоритмы численного решения интегральных уравнений движения автоколебательных систем
3 Интегральные модели автогенераторов с резонаторами на отрезках линий передачи и объемными резонаторами
4 Интегральные модели автогенераторов с ЯС-структурами
5 Модель струнного автогенератора
Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются
- использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа автоколебательных систем,
- соответствием приведенных результатов математического моделирования их аналогам, полученным другими авторами,
- соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям
Практическая значимость работы
Предложенный в диссертационной работе метод численного моделирования автоколебаний может найти применение при решении задач проектирования и поиска оптимальных режимов функционирования радиочастотных и СВЧ генераторов
- на диодах Ганна и ЛПД с резонаторами на отрезках коаксиальных и микрополосковых линий,
- на биполярных и полевых транзисторах с микрополосковыми резонаторами,
- твердотельных СВЧ-генераторов с объемными резонаторами,
- генераторов с фазосдвигающими КС-линиями,
- генераторов с электромеханическими резонаторами
База исследования
Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на
- IV, V и VI Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г Нижний Новгород, 2005 г , г Самара, 2006 г., г Казань, 2007 г),
-конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века» (г Самара, 2005 г),
- конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» (г Самара, 2005 г),
- Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (г Красноярск, 2006 г),
-Всероссийских научно-технических конференциях аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (г Томск, 2006 г , г Томск, 2007 г),
- X Международных чтениях по квантовой оптике (г Самара, 2007 г),
- 17-й Международной Крымской научно-технической конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (г Севастополь, 2007),
- 10-й региональной научной школе-семинаре «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (г Ульяновск, 2008)
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 6 статей (из них 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание степени доктора наук) и 10 докладов и тезисов докладов научно-технических конференций и семинаров
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка использованных источников из 105 наименований Объем диссертации - 139 страниц Работа содержит 54 рисунка и 4 таблицы
Во введении обоснованы актуальность темы исследования и ее практическая значимость, проведен обзор литературы по теме диссертации, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту
Первая глава диссертационной работы посвящена разработке методики формирования интегральных моделей автоколебательных систем В п 1 1 описана процедура перехода от дифференциальной модели автоколебательной системы с одной степенью свободы к нелинейному интегральному уравнению движения Для этого рассмотрена модель автоколебаний вида
где, в отличие от стандартного представления автоколебательной системы, потери в линейном колебательном контуре системы исключены из правой части уравнения и описываются вторым слагаемым в его левой части (2 - добротность резонатора с собственной частотой й)а Функция /(.) учитывает только нелинейности активного элемента (АЭ) и положительную обратную связь в системе Показано, что нелинейный осциллятор (1) имеет интегральное уравнение движения (ИУД)
где й(/) - импульсная характеристика резонатора, Х{1) - свободные колебания в резонаторе, зависящие от начальных условий ИУД (2) относится к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода Далее показано, каким образом ИУД можно сформировать на основе структурной схемы генератора, содержащей нелинейный активный элемент (двухполюсник или трехполюсник), под-
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
(О
(2)
о
I У.
ключенный к линейной колебательной системе с импульсной характеристикой hit) в точках включения АЭ
Метод усреднения для интегральных уравнений движения описан в п 1 2 Получена интегральная форма укороченного уравнения для комплексной амплитуды автоколебаний В п 1 3 показано, что при расчете характеристик установившихся автоколебаний в гармоническом приближении интегральное уравнение движения преобразуется в известные соотношения баланса амплитуд и фаз в кольце автогенератора
Выводу интегральных уравнений движения многостепенных автоколебательных систем с одним активным элементом посвящен п 1 4 Рассмотрена также система с двумя степенями свободы, содержащая два взаимодействующих резонансных контура, и двумя нелинейностями Для нее получена система уравнений движения, состоящая из двух интегральных уравнений Далее, в п 1 5 на базе структурных схем выведены общего вида интегральные уравнения движения дискретно-распределенных автогенераторов с активными двухполюсниками и трехполюсниками На рис 1 приведена структурная схема одного из автогенераторов такого типа, выполненного на основе отрезков линий передачи и активного двухполюсника ИУД для приведенной схемы имеет вид
I"
Рис 1
х(0
I
= |G(x(t'))x(t')h(t-t')dt' + X{t),
(3)
где С]{х) - крутизна вольт-амперной характеристики двухполюсника, Х(г) -свободные колебания в линейной части схемы Аналогичный вид имеет ИУД для автогенераторов с активными трехполюсниками
Численным алгоритмам решения полученных в предыдущих разделах работы основных типов интегральных уравнений движения посвящен п 1 6 За основу алгоритмов взят широко используемый для линейных уравнений метод квадратурных формул Для решения получаемой при этом системы нелинейных уравнений использован итерационный метод Зейделя Здесь же представлен алгоритм решения интегральных уравнений движения автоколебательных систем с запаздыванием Компьютерные программы, реализующие представленные алгоритмы, приведены в приложении
В заключение первой главы, в п 1 7, на примере моделирования осциллятора Ван дер Поля дано сравнение результатов, полученных в рамках интегральной и дифференциальной моделей
Во второй главе приведены примеры анализа интегральных моделей ряда автогенераторов с распределенными колебательными системами В п 2 1 рассмотрен автогенератор с активным двухполюсником и резонатором на отрезке линии передачи К такому типу систем относятся СВЧ-генераторы на ла-винно-пролетных и инжекционно-пролетных диодах и диодах Ганна с резонаторами на отрезках коаксиальных линий или микрополосковыми резонаторами Отмечено, что предложенная интегральная модель автогенераторов позволяет, в частности, учитывать в расчетах частотную зависимость добротностей мод резонатора В п 2 2 исследован режим релаксационных автоколебаний в линии с туннельным диодом
Моделирование автоколебаний в генераторе с активным двухполюсником и объемным прямоугольным резонатором проведено в п 2 3 На рис 2 дано схематическое изображение резонатора с нитью тока АЭ ИУД автоколебательной системы относительно напряжения на АЭ имеет вид (3) Импульсная характеристика резонатора вычисляется как интеграл Фурье от импеданса в точках включения активной части проводимости двухполюсника Получено выражение для импе-
У к
Рис 2
данса с учетом емкости двухполюсника Са
г(]П) =
А2ф г,рП)
а 1 -}&0.1Г{]0.У
2г0О)=££л2
Здесь £1п т - нормированные собственные частоты Нпйт мод резонатора, ()„ т -добротности мод, Д, и ут - волновые числа Величина емкостного коэффициента й пропорциональна отношению постоянной времени тс = 2йСа ко времени пролета г = 1/с Отличное от нуля значение г? обеспечивает сходимость интеграла Фурье при вычислении импульсной характеристики При этом на практике интеграл вычисляется в конечных пределах с помощью быстрого преобразования Фурье и используется высокочастотная асимптотика импеданса 2{]£1) ~ О4 Показано, что предложенная модель автогенератора позволяет
анализировать взаимодействие мод резонатора с гармониками тока АЭ и спектральный состав автоколебаний
Широко распространенная трехточечная схема СВЧ-генераторов (рис 3) с емкостной связью и резонатором на отрезке линии передачи исследована в п 24
Q
Рис 3
Для напряжения x(t) получено ИУД вида (3), в котором импульсная характеристика h(i) линейной подсистемы, определяемая обратным преобразованием Лапласа высокочастотной системной функции
HV(S)= ъ, л,- <4>
cth{st) + nsr+Q
Здесь для отношений емкостей схемы введены обозначения & =С/(С,+С2), п = (С + С3) /С0/, С = С1С21(С1 +С2) Кроме того, t = Uv - время распространения, Q = R, IZn - добротность резонатора При этом потери R, отнесены ко входу резонатора
Интеграл обратного преобразования Лапласа импульсной характеристики (4) вычисляется путем численного интегрирования по замкнутому контуру Контур интегрирования состоит из отрезка прямой линии s-jw при -С0т< 0)< £0т и полуокружности s = 0)т cos(^) + ]0)т ып(р) при л 12<<р<Ъл 12 Варьируя значение (От, можно менять число мод резонатора, учитываемых в модели На рис 4 показан график функции h(t), рассчитанный для 0)тТ = 20 Спектр процесса h(t) указывает на то, что импульсная характеристика при этом формируется семью модами резонатора
На рис 5 результаты моделирования иллюстрирует график процесса установления автоколебаний при значении параметра глубины обратной связи kG0Z0 = 0 5 и п = 02 Показано, что величина параметра п (отношения емкости схемы, приведенной ко входу линии, к полной емкости линии) существенным образом влияет на форму колебаний и длительность переходного процесса в автогенераторе. Меньшие значения п обеспечивают лучшую связь резонатора
с активным трехполюсником, вследствие чего переходной процесс укорачивается, но форма колебаний при этом значительно отличается от гармонической
Рис 4
Третья глава диссертации посвящена моделированию автоколебаний в относительно низкочастотных генераторах фазосдвигающими ЯС-цепями и электромеханическими резонаторами ЯС-генераторы традиционно находят широкое применение в радиоэлектронных устройствах, где не предъявляется высоких требований к стабильности частоты сигнала В последнее время встроенные /?С-генераторы нашли применение также в качестве источников тактовой частоты в микроконтроллерах различного назначения Из-за отсутствия высокодобротного контура форма колебаний в ЯС-автогенераторах часто далека от гармонической, и ее коррекция может быть основана на результатах детального моделирования процессов в электрической схеме генератора
В п 3 1 представлены модели генераторов с сосредоточенными ЯС-цепями мостовыми и лестничными Из числа мостовых схем рассмотрены мост Вина и двойной Т-образный мост Лестничные структуры дифференцирующего и интегрирующего типов содержат по три и более фазосдвигающих ячеек На основе систематизации результатов формирования моделей перечисленных
систем предложена обобщенная интегральная модель ЯС-генератора
В п 3 2 рассмотрен автогенератор с распределенной КС-линией в цепи обратной связи Эквивалентная схема генератора показана на рис 6 ИС-линия характеризуется постоянной времени т = ИС12, где Я и С - погонные сопро-
тивление и емкость, I - длина линии В ИУД автогенератора, записанном относительно напряжения м(/), импульсная характеристика линии при / > 0 представлена в виде ряда
¿(0 = ^ V Н)"(2« + 1)ехрГ- 0
т^—/ 4 г]
Примеры численного моделирования ЯС-генераторов приведены в п 3 3 Показано, что за счет эффективного подавления гармоник ЛС-линией форма автоколебаний и(1) в схеме на рис 6, в отличие от схем с дискретными ЯС-структурами, близка к гармонической
Моделированию струнного генератора посвящен п 3 4 Автогенераторы с электромеханическими резонаторами (ЭМР), выполненными на основе колеблющейся в магнитном поле металлической струны, - струнные автогенераторы - широко используются при конструировании частотных датчиков ускорений (акселерометров) Эквивалентная схема струнного автогенератора приведена на рис. 7.
ИУД автогенератора с импульсной характеристикой струнного ЭМР
№
^Цги-!
ехр
0)„
"2 а
со8(гу2„_,г) -
1
2е2„_,
Ч1П(Л>2„_,/)
и передаточной характеристикой ОУ
=
относительно нормированного напряжения на дифференциальном входе усилителя записано в виде
х(1) = щ Jе{х(1'))Х(!-1')Л'+Х{1) о
Здесь 0)п и ()„ - собственные частоты и добротности мод резонатора, у - безразмерный параметр, характеризующий линейное усиление сигнала в петле автогенератора, Х(!) - собственные (затухающие) колебания ЭМР Проведен анализ влияния высших мод резонатора на гармонический состав автоколебаний Показано, что расчеты в одномодовом приближении дают заниженные значения амплитуд третьей и пятой гармоник
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы
Приложение содержит компьютерные программы решения нелинейных ИУД автоколебательных систем
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
В диссертационной работе получены следующие основные результаты
1 Разработаны методики формирования интегральных уравнений движения автоколебательных систем на основе их структурных схем и дифференциальных моделей
2. Установлено, что автоколебательные системы с сосредоточенными активными элементами и сосредоточенно-распределенными колебательными системами могут быть представлены однотипными математическими моделями - нелинейными интегральными уравнениями Вольтерра второго рода
3 Показано, что метод интегральных уравнений движения при численном моделировании автоколебаний позволяет использовать результаты точного анализа резонансной системы методами линейной электродинамики или радиотехнической теории цепей
4 Проведено обобщение метода усреднения теории нелинейных колебаний на интегральные модели автоколебательных систем Предложен метод расчета установившихся автоколебаний
5 Разработаны численные алгоритмы решения нелинейных интегральных уравнений движения и компьютерные программы моделирования автоколебательных систем
6 Разработана интегральная модель автоколебательных систем с активными двухполюсниками и резонаторами на отрезках линий передачи, а также модель системы с объемным резонатором на отрезке прямоугольного волновода Показано, что учет собственной емкости (емкости корпуса) активного двухполюсника позволяет ускорить сходимость модового разложения импульсной характеристики резонатора
7 Представлена интегральная модель трехточечной схемы автогенератора с емкостной обратной связью и резонатором на отрезке линии передачи Проанализировано влияние эквивалентной емкости схемы на входе резонатора на форму автоколебаний
8 Разработаны обобщенная интегральная модель автогенераторов с ЛС-цепями и КС-структурами и интегральная модель автогенератора со струнным электромеханическим резонатором, позволяющие анализировать форму и спектральный состав автоколебаний.
СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1 Зайцев В В , Никулин А В , Никулин В.В Нелинейный резонанс в струнном ЭМР // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия - 2005 - Вып 5 -С 125-130
2 Зайцев В В , Никулин А В , Никулин В В Нелинейная модель колебаний струны в ЭМР // Физика и технические приложения волновых процессов тезисы докладов IV Международной НТК - Нижний Новгород, 2005 -С 57.
3 Зайцев В В., Никулин А В , Никулин В В Численное моделирование нелинейных колебаний струны в электромеханическом резонаторе // Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI в тезисы докладов НТК - Самара, 2005. - С 82-83
4 Зайцев В В, Никулин В.В. Модель струнного автогенератора с нелинейной струной // Проблемы фундаментальной физики XXI в • тезисы докладов НТК -Самара,2005 -С 67
5 Зайцев В В , Зайцев О В , Никулин В В Интегральные модели автоколебательных систем // Физика волновых процессов и радиотехнические системы -2006 -Т 1 -С 53-57.
6 Зайцев В В , Никулин В В Моделирование автоколебаний в ИС-генераторе на основе интегральных уравнений движения // Физика волновых процессов и радиотехнические системы - 2006 -Т 9 - N2 - С 64-68
7. Зайцев В В , Зайцев О В , Никулин В В Интегральная модель дискретно-распределенной автоколебательной системы И Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия - 2006 - Вып 3 - С 88-93
8 Зайцев В В , Никулин В В Интегральная модель КС-генератора // Научная сессия ТУСУР. материалы докладов, 4 4- Томск, 2006 - С 92-95
9 Зайцев О В , Никулин В В , Зайцев В В Модели дискретно-распределенных автогенераторов на основе интегральных уравнений Вольтерра // Современные проблемы радиоэлектроники сборник научных трудов - Красноярск, 2006 - С 18-20
10 Зайцев В В., Никулин В В Интегральные модели автогенераторов с распределенными обратными связями // Физика и технические приложения волно-
вых процессов тезисы докладов V Международной НТК - Самара, 2006 -С. 412-413
11 Зайцев В В , Никулин В В , Хлопков П С Интегральная модель дискретно-распределенного автогенератора с емкостной обратной связью // Физика волновых процессов и радиотехнические системы -2007 -Т 10 -N4 -С 110-114
12 Никулин В В Интегральное уравнение движения струнного автогенератора // Физика и технические приложения волновых процессов тезисы докладов VI Международной НТК - Казань, 2007 - С 75-76
13 Зайцев В В , Никулин В В , Хлопков П С Интегральная модель автогенератора с емкостной связью и распределенным резонатором // СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии материалы 17-й Международной НТК - Севастополь, 2007 -С 107-109
14 Зайцев В В , Никулин В В , Хлопков П С Интегральная модель трехточечного автогенератора с распределенным резонатором // Научная сессия ТУСУР материалы докладов, 4 4- Томск, 2007 - С 33-35
15 Зайцев ВВ., Никулин В В , Хлопков П С Моделирование автоколебаний в дискретно-распределенной системе с объемным резонатором методом интегрального уравнения движения [Электронный ресурс] // Известия СамГУ Серия физико-математические науки Раздел физика - 2008 - Вып 1 -С 31 -46 chttp //weblib ssu sainara ru/e proceedssu/litdocs/index php>
16 НикулинВВ, Хлопков ПС Интегральная модель взаимодействия поля объемного резонатора с активным твердотельным двухполюсником // Актуальные проблемы физической и функциональной электроники тезисы докладов 10-й региональной научной школы-семинара - Ульяновск, 2008. -С 31
Подписано в печать 11 02 2008 г Гарнитура Times New Roman Формат 60x84/16 Бумага офсетная Печать оперативная Уел-печ л 1,0 Уч-изд л 0,91 Тираж 100 экз Заказ №1485 443011, Самара, ул Академика Павлова, 1
Отпечатано УОП СамГУ
Введение.
Глава 1. Интегральные уравнения движения автоколебательных систем.
1.1. Интегральные уравнения движения автоколебательных систем с одной степенью свободы.
1.2. Усреднение в интегральных уравнениях движения.
1.3. Установившиеся автоколебания.
1.4. Автоколебательные системы со многими степенями свободы.
1.5 Интегральные модели дискретно-распределенных автоколебательных систем.
1.6. Численное решение интегральных уравнений движения автоколебательных систем.
1.6.1. Решение уравнений движения общего вида.
1.6.2. Решение уравнений движения автоколебательных систем с запаздыванием.1'
1.6.3. Модификация интегральных моделей.
1.7. Пример моделирования автоколебаний.
Глава 2. Моделирование автоколебаний в генераторах с распределенными колебательными системамиЛ.
2.1. Дискретно-распределенная автоколебательная система с активным двухполюсником.
2.2. Релаксационные автоколебания в генераторе на отрезке линии.
2.3. Автогенератор с объемным резонатором.
2.4. Емкостная трехточка с резонатором на отрезке линии.
Глава 3. Интегральные модели низкочастотных автогенераторов с
RC-цепями и электромеханичекими резонаторами.
3.1. Модели автогенераторов с сосредоточенными ^С-цепями.
3.1.1. Генератор с мостом Вина.
3.1.2. Генератор с двойным Т-мостом.
3.1.3. Генераторы с лестничными RC-структурами.
3.1.4. Обобщенная модель генераторов с RC-структурами.
3.2. Интегральное уравнение движения автогенератора с ЯС-линией.104»
3.3. Примеры моделирования автоколебаний в ^С-генераторах.
3.4. Моделирование автоколебаний в струнном генераторе.
3.4.1. Схема автогенератора.
3.4.2. Импульсная характеристика струнного резонатора.
3.4.3. Интегральное уравнение движения автогенератора.
3.4.4. Результаты моделирования автогенератора.
Актуальность работы
Основы представлений об автоколебательных системах, как об особом классе нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, были сформулированы академиком А.А. Андроновым [1-3] в первой трети XX века. С тех пор автоколебательные системы и модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники.
Одной из первых технических реализаций механических автоколебательных систем явились маятниковые часы [4]. Появление их первых образцов, по-видимому, относится к четырнадцатому столетию. Но основы современной теории часов, основанной на автоколебательных моделях, были заложены в фундаментальной монографии [2]. Важнейшее значение имела также работа А.А. Андронова и Ю.М. Неймарка [5], в которой часы впервые рассматриваются как автоколебательная система с двумя степенями свободы. К механическим автоколебаниям относятся также колебания струн смычковых музыкальных инструментов [6].
Представления об автоколебаниях широко используются также в моделях химических реакций [7], биологических систем [8, 9], механических конструкций [10].
Но наиболее обширный класс автоколебательных систем в технике составляют генераторы электромагнитных колебаний. В процессе развития радиофизики создавались и вводились в радиотехническую практику автогенераторы на основе различных типов активных элементов, обеспечивающих взаимодействие колебательной системы генератора с источником энергии: автогенераторы на электронных лампах [11] и приборах с распределенным взаимодействием электронных потоков с электромагнитными волнами [12], автогенераторы на транзисторах [13] и полупроводниковых диодах [14]. Представления об автоколебательной системе и обратной связи в форме резонатора были описаны Н.Г. Басовым и A.M. Прохоровым при создании первого квантового генератора - мазера на пучке молекул аммиака [15]. Полуклассическая теория квантовых генераторов [16, 17], основанная на классической модели автоколебательной системы - «резонатор плюс активная среда», и в настоящее время широко используется в квантовой электронике [18]. Именно задачи разработки автогенераторов стимулировали развитие теории нелинейных колебаний [1921] и радиофизики в целом. Наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.
Одна из первых математических моделей лампового автогенератора -автоколебательной системы с одной степенью свободы, получивших широкую известность среди радиофизиков как осциллятор Ван дер Поля, описана в работе [22]. Б. Ван дер Поль предложил также приближенный аналитический метод решения нелинейного дифференциального уравнения движения автогенератора, дающий адекватное описание динамики высокодобротных и слабо нелинейных автоколебательных систем - систем томсоновского типа [19]. Для исследования периодических режимов томсоновских автоколебательных систем успешно применялись также методы возмущений Ляпунова-Пуанкаре [2,23]. В дальнейшем наиболее полное развитие приближенные методы анализа нелинейных колебаний получили в работах научных школ Л.И. Мандельштама [24], Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.Н. Митропольского [25, 26] и других исследователей [27, 28]. Были разработаны асимптотический метод Крылова-Боголюбова и метод усреднения Боголюбова-Митропольского, имеющие строгое математическое обоснование и позволяющие получать приближенные решения уравнений движения автоколебательных систем различных порядков по параметру нелинейности.
Первый порядок метода усреднения и его разновидность — метод медленно меняющихся амплитуд (метод ММА) получили широкое распространение в инженерной практике [20]. На основе метода усреднения С.М. Рытовым [29], А.Н.Малаховым [30], P.JI. Стратановичем [31] была построена теория флуктуаций в автоколебательных системах.
Асимптотический метод Крылова-Боголюбова и метод усреднения широко используются при анализе автоколебательных систем со многими степенями свободы [32] и распределенных автоколебательных систем [33,34]. Проведено их обобщение на автоколебательные системы с запаздывающими связями [35, 36].
Начиная с первых работ 20-х годов прошлого века, и до настоящего времени подавляющее большинство моделей автоколебательных систем в радиофизике формулируется в дифференциальной форме — в форме нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, а также дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими физической ситуации граничными условиями. Использование асимптотических методов теории нелинейных колебаний позволяет понизить порядок дифференциальной модели, сводя задачу анализа к решению системы укороченных уравнений для амплитуд и фаз автоколебаний. При этом решение укороченных уравнений, как правило, проводится численными методами [37,38]. Численные методы можно использовать и для выполнения процедуры неявного формирования системы укороченных уравнений (см., например, [39-41]).
Если автоколебательная система с конечным числом степеней свободы не относится к томсоновскому типу, т.е. является сильно нелинейной и (или) низкодобротной, то численный анализ автоколебаний проводится путем непосредственного интегрирования уравнений движения [42], в том числе с использованием методов интегрирования жестких [43] и сверхжестких [44] систем дифференциальных уравнений. Для распределенных автоколебательных систем уравнения движения — дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к системам ОДУ на основе модовых разложений [34] или с использованием приближения бегущих волн [45].
С ростом вычислительных ресурсов ЭВМ расширяются возможности применения конечно-разностных схем для анализа автоколебаний в системах параболического [46] и гиперболического [47, 48] типов. При этом один из вариантов схем состоит в том, что разностная аппроксимация производных проводится лишь по пространственным переменным. К полученной таким образом дифференциально-разностной модели распределенной автоколебательной системы [49,50] в дальнейшем применяются методы численного интегрирования систем ОДУ. В вычислительной математике такого рода аппроксимации известны как метод прямых (метод линий) [51]. Они находят также применение при моделировании волновых процессов в нелинейных системах и средах [52-54]. Однако разностная аппроксимация пространственных производных вносит в исходную модель дополнительную пространственную дисперсию. Этот эффект, по-видимому, менее существенен в системах с диффузионными связями [49], но играет заметную роль в системах со связями волнового типа. В результате дисперсионного разрушения крутых волновых фронтов процессы в конечно-разностной (или дифференциально-разностной) и дифференциальной моделях автоколебательной системы могут иметь существенное различие. Способы устранения эффектов, связанных с разностной аппроксимацией пространственных производных, опираются, как правило, на физический механизм колебательно-волновых процессов (см., например, [53, 54]).
Вместе с тем, среди автоколебательных систем можно выделить системы дискретного и дискретно-распределенного типов. В них локализованный в пространстве (дискретный) активный элемент взаимодействует либо с сосредоточенной колебательной системой, либо с распределенным резонатором. К дискретным автоколебательным системам относится большинство радиочастотных генераторов [55], а к дискретно-распределенным - СВЧ генераторы на электронных лампах [56] и полупроводниковых приборах [57], а также радиочастотные генераторы с линиями задержки и резонаторами на поверхностных акустических волнах [58, 59]. В любом из указанных автогенераторов линейная колебательная система или цепь обратной связи по отношению к точкам включения нелинейного активного элемента может быть описана импульсной характеристикой [60]. При надлежащем выборе ее физической размерности, т.е. переменных «вход-выход» резонатора, для самосогласованной системы «активный элемент-резонатор» можно записать нелинейное интегральное уравнение движения, относящееся к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода [61]. Такие интегральные модели не получили заметного распространения в теории автоколебательных систем. По-видимому, это обусловлено тем, что нелинейные уравнения движения, как дифференциальные, так и интегральные, не имеют точных аналитических решений, а приближенные и численные решения традиционно строятся для дифференциальных моделей. В связи с интегральными моделями можно лишь отметить публикации, в которых линейные флуктуационные интегральные уравнения используются при анализе фазовых шумов радиочастотных автогенераторов [62] и полупроводниковых инжекционных лазеров [63, 64].
Между тем, в статье [65] и диссертации [66] показано, что интегральные модели автоколебательных систем позволяют синтезировать дискретные во времени автогенераторы - алгоритмы генерации дискретных сигналов. Такие автогенераторы (алгоритмы) можно использовать для обработки цифровых сигналов [67] и защиты информации от несанкционированного доступа [68].
Следует также отметить, что на уровне физических представлений о процессах генерации автоколебаний существуют две обобщенные структурные схемы автогенератора. Одна из них - это колебательный контур с внешним отрицательным затуханием, другая - усилитель с положительной обратной связью. И если дифференциальная форма уравнений движения является адекватным описанием первой структуры, то интегральная модель полностью соответствует структуре «усилитель плюс обратная связь».
Таким образом, разработка и анализ моделей автоколебательных систем с дискретными и дискретно-распределенными параметрами, основанных на интегральных уравнениях движения, является актуальной задачей радиофизической теории колебаний, решение которой имеет общетеоретическое, прикладное и методическое значение.
Цель работы
Целью диссертационной работы является проведение комплекса исследований по разработке интегральных моделей нелинейных автоколебательных систем, численному анализу моделей и выявлению физических закономерностей автоколебаний, имеющих перспективу практического применения.
Методы исследования
Работа выполнена на основе методов теории колебаний, математического моделирования, теории радиотехнических сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
- в методе моделирования автоколебательных систем с сосредоточенными активными элементами, основанном на точном описании линейной диссипативной части системы импульсной характеристикой и записи нелинейного интегрального уравнения движения системы для замкнутой петли обратной связи;
- в распространении метода усреднения теории нелинейных колебаний на интегральные уравнения движения автоколебательных систем;
- в новых математических моделях автогенераторов с сосредоточенными активными элементами и распределенными резонаторами и цепями обратных связей;
- в методике и результатах численного моделирования ряда автоколебательных систем.
Положения, выносимые на защиту
1. Способы формирования интегральных уравнений движения автоколебательных систем с сосредоточенными и сосредоточенно-распределенными параметрами.
2. Алгоритмы численного решения интегральных уравнений движения автоколебательных систем
3. Интегральные модели автогенераторов с резонаторами на отрезках линий передачи и объемными резонаторами.
4. Интегральные модели автогенераторов с 7?С-структурами.
5. Модель струнного автогенератора.
Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:
- использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа автоколебательных систем;
- соответствием приведенных результатов математического моделирования их аналогам, полученным другими авторами;
- соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.
Практическая значимость работы
Предложенный в диссертационной работе метод численного моделирования автоколебаний может найти применение при решении задач проектирования и поиска оптимальных режимов функционирования радиочастотных и СВЧ генераторов:
- на диодах Ганна и ЛПД с резонаторами на отрезках коаксиальных и микрополосковых линий;
- на биполярных и полевых транзисторах с микрополосковыми резонаторами;
- твердотельных СВЧ-генераторов с объемными резонаторами;
- генераторов с фазосдвигающими ЯС-линиями;
- генераторов с электромеханическими резонаторами.
База исследования
Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на
- IV, V и VI Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Нижний Новгород, 2005 г.; г. Самара, 2006 г.; г. Казань, 2007 г.);
-конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века» (г. Самара, 2005 г.);
- конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» (г. Самара, 2005 г.);
-Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (г. Красноярск, 2006 г.);
- Всероссийских научно-технических конференциях аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (г. Томск, 2006 г.; г. Томск, 2007 г.);
- X Международных чтениях по квантовой оптике (г. Самара, 2007 г.);
- 17-й Международной Крымской научно-технической конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (г. Севастополь, 2007);
- 10-й региональной научной школе-семинаре «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (г. Ульяновск, 2008).
Публикации
По материалам диссертации опубликованы 16 работ, в том числе 6 статей (из них 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание степени доктора наук) и 10 докладов и тезисов докладов научно-технических конференций и семинаров.
Содержание работы
Первая глава посвящена разработке методики формирования интегральных моделей автоколебательных систем. В п. 1.1 на примере осциллятора Ван дер Поля описана процедура перехода от дифференциальной модели автоколебательной системы с одной степенью свободы к нелинейному интегральному уравнению движения. Затем показано, каким образом можно записать интегральные уравнения движения на основании структурной схемы генератора, содержащей нелинейный активный элемент (двухполюсник или трехполюсник), подключенный к линейной колебательной системе автогенератора. Метод усреднения для интегральных уравнений движения описан в п. 1.2. Получена интегральная форма укороченного уравнения для комплексной амплитуды автоколебаний. В п. 1.3 показано, что при расчете характеристик установившихся автоколебаний в гармоническом приближении интегральное уравнение движения преобразуется в известные соотношения баланса амплитуд и фаз в кольце автогенератора [20]. Выводу интегральных уравнений движения многостепенных автоколебательных систем с одним активным элементом посвящен п. 1.4. Рассмотрена также система с двумя степенями свободы, содержащая два взаимодействующих резонансных контура, и двумя нелинейностями. Для нее получена система уравнений движения, состоящая из двух интегральных уравнений. Далее, в п. 1.5 на базе структурных схем выведены общего вида интегральные уравнения движения дискретно-распределенных автогенераторов с активными двухполюсниками и трехполюсниками.
Численным алгоритмам решения полученных в предыдущих разделах работы основных типов интегральных уравнений движения посвящен п. 1.6. За основу алгоритмов взят широко используемый для линейных уравнений метод квадратурных формул [51,69]. Здесь же представлен алгоритм решения интегральных уравнений движения автоколебательных систем с запаздыванием. Такие системы традиционно входят в круг интересов радиофизики [35, 36]. В последнее время модели с запаздыванием находят широкое распространение в теории полупроводниковых лазеров с дополнительной внешней обратной связью [70]. Компьютерные программы, реализующие представленные алгоритмы приведены в приложении.
В заключение первой главы, в п. 1.7 на примере моделирования осциллятора Ван дер Поля дано сравнение результатов, полученных в рамках интегральной и дифференциальной моделей.
Во второй главе приведены примеры анализа интегральных моделей ряда автогенераторов с распределенными колебательными системами. В п. 2.1 рассмотрен автогенератор с активным двухполюсником и резонатором на отрезке линии передачи. К такому типу систем относятся СВЧ-генераторы на лавинно-пролетных и инжекционно-пролетных диодах [71-74] и диодах
Ганна [73-75] с резонаторами на отрезках коаксиальных линий [74] или микрополосковыми резонаторами [76]. В п. 2.2 исследован режим релаксационных автоколебаний в линии с туннельным диодом [19]. Моделирование автоколебаний в генераторе с активным двухполюсником и объемным прямоугольным резонатором проведено в п. 2.3. Широко распространенная трехточечная схема ламповых [56] и транзисторных [57] СВЧ-генераторов с емкостной связью и резонатором на отрезке линии передачи исследована в п. 2.4.
Третья глава посвящена моделированию автоколебаний в относительно низкочастотных генераторах с фазосдвигающими .RC-цепями и электромеханическими резонаторами. .RC-генераторы традиционно находят широкое применение в радиоэлектронных устройствах, где не предъявляется высоких требований к стабильности частоты сигнала [77,78]. Они генерируют колебания в диапазоне частот от долей герц до сотен килогерц с относительной нестабильностью частоты в десятые доли процента. В последнее время встроенные .КС-генераторы нашли применение также в качестве источников тактовой частоты в микроконтроллерах различного назначения [79]. При этом верхняя граница диапазона генерируемых частот повысилась до единиц мегагерц. Из-за отсутствия высокодобротного контура форма колебаний в .КС-автогенераторах часто далека от гармонической, и ее коррекция может быть основана на результатах детального моделирования процессов в электрической схеме генератора.
В п. 3.1 представлены модели генераторов с сосредоточенными .КС-цепями: мостовыми и лестничными. Из числа мостовых схем рассмотрены мост Вина и двойной Т-образный мост. Лестничные структуры дифференцирующего и интегрирующего типов содержат по три и более фазосдвигающих ячейки. На основе систематизации результатов формирования моделей перечисленных систем предложена обобщенная интегральная модель .КС-генератора. В п. 3.2 рассмотрен автогенератор с RCлинией [80] в цепи обратной связи. Получено интегральное уравнение движения автогенератора. Примеры численного моделирования регенераторов приведены в п. 3.3.
Моделированию струнного генератора посвящен п. 3.4. Автогенераторы с электромеханическими резонаторами, выполненными на основе колеблющейся в магнитном поле металлической струны, - струнные автогенераторы - широко используются при конструировании частотных датчиков ускорений (акселерометров) [81]. Такие акселерометры в настоящее время считаются наиболее точными [82] и широко используются, например, в системах автоматического управления движением объектов по заданной траектории. Достижение минимального времени реагирования, дальнейшее повышение точности и совершенствование конструкции акселерометров возможно лишь на основе детальных исследований переходных процессов в струнных автогенераторах. Достаточно подробно струнный автогенератор исследован на основе дифференциально-разностной модели в статьях [50, 83] и диссертации [84]. В п. 3.4 представлена интегральная модель автогенератора и приведены результаты численного моделирования.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В диссертационной работе получены следующие основные результаты.
1. Разработаны методики формирования интегральных уравнений движения автоколебательных систем на основе их структурных схем и дифференциальных моделей.
2. Установлено, что автоколебательные системы с сосредоточенными активными элементами и сосредоточенно-распределенными колебательными системами могут быть представлены однотипными математическими моделями - нелинейными интегральными уравнениями Вольтера второго рода.
3. Показано, что метод интегральных уравнений движения при численном моделировании автоколебаний позволяет использовать результаты точного анализа резонансной системы методами линейной электродинамики или радиотехнической теории цепей.
4. Проведено обобщение метода усреднения теории нелинейных колебаний на интегральные модели автоколебательных систем. Предложен метод расчета установившихся автоколебаний.
5. Разработаны численные алгоритмы решения нелинейных интегральных уравнений движения и компьютерные программы моделирования автоколебательных систем.
6. Разработана интегральная модель автоколебательных систем с активными двухполюсниками и резонаторами на отрезках линий передачи, а также модель системы с объемным резонатором на отрезке прямоугольного волновода. Показано, что учет собственной емкости (емкости корпуса) активного двухполюсника позволяет ускорить сходимость модового разложения импульсной характеристики резонатора.
7. Представлена интегральная модель трехточечной схемы автогенератора с емкостной обратной связью и резонатором на отрезке линии передачи. Проанализировано влияние эквивалентной емкости схемы на входе резонатора на форму автоколебаний. 8. Разработаны обобщенная интегральная модель автогенераторов с RC-цепями и ЛС-структурами и интегральная модель автогенератора со струнным электромеханическим резонатором, позволяющие анализировать форму и спектральный состав автоколебаний.
1. Андронов, А.А. Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний (доклад на съезде русских физиков, 1928 г.) // Собр. трудов А.А. Андронова. -М.: Изд. АН СССР, 1956.
2. Андронов, А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. 3-е изд. - М.: Наука, 1981.-568 с.
3. Горелик, Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. — 2-е изд. М.: Физматгиз, 1959. - 572 с.
4. Баутин, Н.Н. Динамическая теория часов. М.: Наука, 1986. - 192 с.
5. Андронов, А.А. О движении идеальной модели часов, имеющей две степени свободы / А.А. Андронов, Ю.М. Неймарк // ДАН СССР. 1946. -Т. 1. - №1. - С. 17-20.
6. Ланда, П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983.-320 с.
7. Эбелинг, Э. Образование структур при необратимых процессах. М.: Мир, 1976.-280 с.
8. Романовский, Ю.М. Математическое моделирование в биофизике / Ю.М. Романовский, Н.В. Степанова, Д.С. Чернавский. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований , 2004. - 472 с.
9. Базыкин, А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 368 с.
10. Вольмир, А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.
11. Евтянов, С.И. Ламповые генераторы. М.: Связь, 1967. - 384 с.
12. Трубецков, Д.И. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков. Т. 1, Т. 2 / Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов. М.: Физматлит, 2003, 2004.-496 е., 648 с.
13. Челноков, О.А. Транзисторные генераторы синусоидальных колебаний. -М.: Сов. радио, 1975. 272 с.
14. Каганов, В.И. СВЧ полупроводниковые радиопередатчики. М.: Радио и связь, 1981.-400 с.
15. Басов, Н.Г. Применение молекулярных пучков для радиоспектроскопического изучения вращательных спектров молекул / Н.Г.Басов, А.М.Прохоров // ЖЭТФ. 1954. - Т. 27. - С. 431; Молекулярный генератор и усилитель // УФН. -1955. - Т. 57. - Вып. 3. -С. 485.
16. Лэмб, У. Теория оптических мазеров. // В кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизика. -М.: Мир, 1966. С. 281-376.
17. Ханин, Я.И. Динамика квантовых генераторов. М.: Сов. радио, 1975. -496 с.
18. Малышев, В.А. Основы квантовой электроники и лазерной техники. М.: Высшая школа, 2005. - 544 с.
19. Мигулин, В.В. Основы теории колебаний. 2-е изд. / В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин. - М.: Наука, 1988. - 392 с.
20. Капранов, М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М.В. Капранов, В.Н. Кулешов, Г.М. Уткин. М.: Наука, 1984. - 320 с.
21. Найфе, А. Введение в методы возмущений. -М.: Мир, 1984. 536 с.
22. Мандельштам, Л.И. Полное собрание сочинений. Т. 2. JT.: Изд. АН СССР, 1947. - 396 с.
23. Крылов, Н.М. Введение в нелинейную механику / Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов. Киев: Изд. АН УССР, 1937. - 364 с.
24. Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. 4-е изд. - М.: Наука, 1974. - 504 с.
25. Моисеев, Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.-400 с.
26. Волосов, В.М. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем / В.М. Волосов, Б.И. Моргунов. М.: Изд. МГУ, 1971.-508 с.
27. Рытов, С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1966. -404 с.
28. Малахов, А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.-660 с.
29. Стратанович, P.JI. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961. - 560 с.
30. Ланда, П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. - 360 с.
31. Уткин, Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. М.: Сов. радио, 1978. - 272 с.
32. Ланда, П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983.-320 с.
33. Митропольский, Ю.А. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. Киев: В ища школа, 1979. - 248 с.
34. Рубаник, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969.-288 с.
35. Арушанян, О.Б. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране / О.Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин. М.: Изд. МГУ, 1990.-336 с.
36. Ортега, Дж., Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Дж. Ортега, У. Пулл. М.: Наука, 1986. - 288 с.
37. Зайцев, В.В. Метод ММА в численных моделях автоколебательных систем / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, А.В. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2004. - Т. 7. - N2. - С. 5-12.
38. Зайцев, В.В. Численная реализация метода ММА и цифровая фильтрация сигналов / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, А.В. Никулин, Г.П. Яровой // Вестник СамГУ. 2004. -N 2 (32). - С. 120-130.
39. Зайцев, В.В. Моделирование полигармонических автоколебаний методом ММА / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, Г.П. Яровой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2004. - Т. 7. - N 3. - С. 31-34.
40. Акуленко, Л.Д. Автоколебания осцилляторов Релея и Ван дер Поля при умеренно больших коэффицентах обратной связи //ПММ. 2004. - Т.68. -Вып. 2.-С. 273-281.
41. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер. М.: Мир, 1999, - 688 с.
42. Алыпина, Е.А. Методы вычислений с контролем точности на квазиравномерных сетках: Автореферат дисс. докт. физ.-мат. наук. М.: ИММ РАН, 2006.-34 с.
43. Волновые и флуктуационные явления в лазерах / Под ред. Ю.Л. Климонтовича. М.: Наука, 1974. - 416 с.
44. Марчук, Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г.И. Марчук, В .И. Агошков. М.: Наука, 1981.-416 с.
45. Куликовский, А.Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 608 с.
46. Малышев, А.П. Монотонная разностная схема повышенной точности для моделирования волновых процессов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. - Т. 36. - №9. - С. 155-158.
47. Зайцев, В.В. Численная модель струнного автогенератора / В.В. Зайцев,
48. A.В. Никулин, В.М. Трещев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2003. - Т. 6. - N4. - С. 85-87.
49. Крылов, В.И. Вычислительные методы. Том 2 / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. М.: Наука, 1977. - 400 с.
50. Зайцев, В.В. О методе численного моделирования солитонов НУШ /
51. B.В. Зайцев, Г.П. Яровой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1998. - Т. 1. - N1. - С. 69-70.
52. Dmitriev, S.V. Discrete nonlinear Schredinger equations free of the Peierls-Nabarro potential / S.V. Dmitriev., P.G. Kevrekidis, A.A. Sukhorukov, N. Yoshikawa, S. Takeno // Phys. Lett. A. 2006. - V.356. - P. 324-332.
53. Дмитриев, C.B. Волны солитонного типа в дискретных системах в физике конденсированного состояния: Автореферат дисс. докт. физ.-мат. наук. -Барнаул: АлтГТУ, 2007. 40 с.
54. Шитиков, Г.Т. Стабильные автогенераторы метровых и дециметровых волн. М.: Радио и связь, 1983. -256 с.
55. Проектирование радиопередающих устройств СВЧ / Под. ред. Г.М. Уткина. М.: Сов. радио, 1979. - 320 с.
56. Твердотельные устройства СВЧ в технике связи / Л.Г. Гасанов, А.А. Липатов, В.В. Марков, Н.А. Могильченко. М.: Радио и связь, 1988. -288 с.
57. Дворников, А.А. Стабильные генераторы с фильтрами на поверхностных акустических волнах / А.А. Дворников, В.И. Огурцов, Г.М. Уткин. М.: Радио и связь, 1983. - 136 с.
58. Петухов, В.К. Фильтры, линии задержки и автогенераторы на поверхностных акустических волнах / В.К. Петухов, И.Г. Мальтер, О.П. Павловский // Радиотехника. 2006. - №3.
59. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. 3-е изд. - М.: Высшая школа, 2005. - 462 с.
60. Вольтерра, В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. - 304 с.
61. Жалуд, В. Шумы в полупроводниковых устройствах / В. Жалуд, В.Н. Кулешов. М.: Сов. радио, 1977. - 416 с.
62. Yamamoto, Y. Theory of a negative frequency feedback semiconductor laser / Y. Yamamoto, O. Nilsson, S. Saito // IEEE Journal of Quantum Electronics. -1985.-V. 21.-№12.-P. 1919-1928.
63. Ямамото, E. Модуляция частоты и частотный шум в полупроводниковых лазерах // В кн.: Физика полупроводниковых лазеров / Под ред. X. Такумы. М.: Мир, 1989. - 310 с.
64. Зайцев, В.В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В.В. Зайцев, С.В. Давыденко, О.В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. - Т. 3. - N 2. - С. 64-67.
65. Зайцев, О.В. Синтез и моделирование дискретных автогенераторов и нелинейных резонансных систем: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Самара: СамГУ, 2006.- 194 с.
66. Зайцев, В.В. Детектор ЧМ-сигнала на основе кольца фазовой автоподстройки частоты дискретного автогенератора / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2005. - Т. 8. - N 1. - С. 82-84.
67. Зайцев, В.В. Скрытая передача информации на основе хаотических колебаний дискретного осциллятора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2007. - Т. 10. - N 1. - С. 132-135.
68. Верлань, А.Ф. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ / А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков. Киев: Наукова думка, 1978. -292 с.
69. Verduyn Lunel, S.M. The mathematics of delay equations with an application to the Lang-Kobayashi equations / S.M. Verduyn Lunel, B. Krauskopf // AIP Conference Proceedings. 2000. - V. 548. - P. 66-86.
70. Тагер, А.С. Лавинно-пролетные диоды и их применение в технике СВЧ / А.С. Тагер, В.М. Вальд-Перлов. М.: Сов. радио, 1968. - 480 с.
71. Зайцев, В.В. Флуктуации в автогенераторных системах на инжекционно-пролетных и лавинно-пролетных диодах: Дисс. канд. физ.-мат. наук. -Горький: ГГУ, 1980. 145 с.
72. Кэрролл, Дж. СВЧ-генераторы на горячих электронах. М.: Мир, 1972. -384 с.
73. Полупроводниковые приборы в схемах СВЧ / Под ред. М. Хауэса и Д. Моргана. М.: Мир, 1979. - 446 с.
74. Левинштейн, М.Е. Эффект Ганна / М.Е. Левинштейн, Ю.К. Пожела, М.С. Шур. М.: Сов. радио, 1975. - 288 с.
75. Микроэлектронные устройства СВЧ / Под ред. Г.И. Веселова. М.: Высшая школа, 1988. - 280 с.
76. Манаев, Е.И. Основы радиоэлектроники. 3-е изд. - М.: Радио и связь, 1990.-512 с.
77. Бойко, В.И. Схемотехника электронных систем. Аналоговые и импульсные устройства / В.И. Бойко, А.Н. Гуржий, В .Я. Жуйков и др. -СПб: БХВ-Петербург, 2004. 496 с.
78. Еременко, М. Новые Flash-контроллеры PIC16F со сверхнизким энергопотреблением / Компоненты и технологии. 2003. - №4.
79. Кабанов, Д.А. Функциональные устройства с распределенными параметрами. М.: Сов. радио, 1979. - 336 с.
80. Карцев, Е.А. Унифицированные струнные измерительные преобразователи / Е.А. Карцев, В.П.Коротков. М.: Машиностроение, 1982.- 144 с.
81. Северов, А.П. Тенденции в разработке акселерометров для военных и аэрокосмических применений // Приборы и системы управления. 1999. - №5. — С. 53-56.
82. Зайцев, В.В. Моделирование автоколебаний в генераторе с электромеханическим резонатором / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев,
83. А.В. Никулин, Г.П. Яровой // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2003. - Вып. 2(спец). - С. 118-126.
84. Никулин, А.В. Математические модели и численные алгоритмы анализа дискретно-распределенных автогенераторов и виброчастотных датчиков: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Самара: СамГУ, 2005. - 140 с.
85. Дворников, А.А. Автогенераторы в радиотехнике./ А.А. Дворников, Г.М. Уткин. М.: Радио и связь, 1991. - 224 с.
86. Свешников, А.Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004. - 336 с.
87. Янке, Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. 3-е изд. -М.: Наука, 1977.-344 с.
88. Оппенгейм, А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер. — 2-е изд. М.: Техносфера, 2006. - 856 с.
89. Вульверт, Дж. Датчики в цифровых системах. М.: Энергоиздат, 2981. -200 с.
90. Зайцев, В.В. Нелинейный резонанс в струнном ЭМР / В.В. Зайцев, А.В. Никулин, В.В. Никулин // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2005. - Вып. 5. - С. 125-130.
91. Зайцев, В.В. Нелинейная модель колебаний струны в ЭМР /В.В. Зайцев,
92. A.В. Никулин, В.В. Никулин // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов IV Международной НТК. -Нижний Новгород, 2005. С. 57.
93. Зайцев, В.В. Численное моделирование нелинейных колебаний струны в электромеханическом резонаторе / В.В. Зайцев, А.В. Никулин,
94. B.В. Никулин // Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI в.: тезисы докладов НТК. Самара, 2005. - С. 8283.
95. Зайцев, В.В. Модель струнного автогенератора с нелинейной струной / В.В. Зайцев, В.В. Никулин // Проблемы фундаментальной физики XXI в.: тезисы докладов НТК. Самара, 2005. - С. 67.
96. Зайцев, В.В. Интегральные модели автоколебательных систем /
97. B.В. Зайцев, О.В. Зайцев, В.В. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2006. - Т. 9. - N 1. - С. 53-57.
98. Зайцев, В.В. Моделирование автоколебаний в RC-генераторе на основе интегральных уравнений движения /В.В. Зайцев, В.В. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2006. - Т. 9. - N 2.1. C. 64-68.
99. Зайцев, В.В. Интегральная модель дискретно-распределенной автоколебательной системы / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, В.В. Никулин // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2006. - Вып. 3. — С. 88-93.
100. Зайцев, В.В. Интегральная модель RC-генератора / В.В. Зайцев, В.В. Никулин // Научная сессия ТУ СУР: материалы докладов, Ч. 4. -Томск, 2006-С. 92-95.
101. Зайцев, О.В. Модели дискретно-распределенных автогенераторов на основе интегральных уравнений Вольтера / О.В. Зайцев, В.В. Никулин, В.В. Зайцев // Современные проблемы радиоэлектроники: сборник научных трудов. Красноярск, 2006. - С. 18-20.
102. Зайцев, В.В. Интегральные модели автогенераторов с распределенными обратными связями /В.В. Зайцев, В.В. Никулин // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов V Международной НТК. Самара, 2006. - С. 412-413.
103. Зайцев, В.В. Интегральная модель дискретно-распределенного автогенератора с емкостной обратной связью /В.В. Зайцев, В.В. Никулин, П.С. Хлопков // Физика волновых процессов и радиотехнические системы.-2007.-Т. 10.-N4.-С. 110-114.
104. Никулин, В.В. Интегральное уравнение движения струнного автогенератора // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов VI Международной НТК. Казань, 2007. - С. 75-76.
105. Зайцев, В.В. Интегральная модель автогенератора с емкостной связью и распределенным резонатором / В.В. Зайцев, В.В. Никулин,
106. П.С. Хлопков // СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии: материалы 17-й Международной НТК. Севастополь, 2007. - С. 107-109.
107. Никулин, В.В. Интегральная модель трехточечного автогенератора с распределенным резонатором / В.В. Никулин, П.С. Хлопков, В.В. Зайцев // Научная сессия ТУСУР: материалы докладов, 4.4. Томск, 2007.- С. 33-35.
