Условия определенной положительности и неотрицательности особых и неособых вторых вариаций в задачах оптимизации дискретных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА. I. УСЛОВИЯ ОПРЕДЕЛЕННОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ И НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ОСОБОЙ И НЕОСОБОЙ ВТОРЫХ ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧЕ МАЙЕРА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ СО СВОБОДНЫМ ПРАШМ

КОНЦОМ.

§ I. Вывод формулы второй вариации функционала для системы с запаздыванием по управлению* -Критерий определенной положительности второй вариации нелинейных обыкновенных дискретных систем.

§ 2. Достаточные условия неотрицательности второй вариации нелинейных обыкновенных дис1фетных систем.

§ 3. Достаточные условия определенной положительности второй вариации для нелинейных дискретных систем с запаздыванием по управлению.

§ 4. Достаточные условия неотрицательности второй вариации для нелинейных дискретных систем с запаздыванием.

§ 5. Необходимые условия оптимальности второго порядка особых оптимальных управлений в нелинейных дискретных системах с запаздыванием по управлению.

ГЛАВА П. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ УПРАВЛЕНИЕМ И НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО

ПОРЯДКОВ.

§ 6. Постановка задачи. Формула приращения первого порядка. Принцип максимума для терминальной задачи в нелинейных дискретных системах с распределенным управлением.

§ 7. Формула приращения второго порядка. Необходимые условия оптимальности второго порядка для особых оптимальных управлений . ПО

§ 8. Исследование второй вариации вдоль оптимального управления. Необходимые условия знако-положительности, сильной положительности, достаточное условие сильной положительности второй вариации вдоль оптимальных управлений

Принцип максимума Л.С.Понтрягина [47] с момента открытия и до настоящего времени стимулирует исследования в области прикладной математики. Одно из важных направлений развития теории оптимальных цроцессов связано с дискретными системами управления [ю,13, 14,23,36,48,49,51,62,69/ .

Дискретные процессы управления имеют большое значение в теории и практике оптимального управления. Интерес к задачам оптимального управления дискретными системами обусловлен рядом причин. Во-первых, дискретными системами описываются многочисленные динамические модели экономики,анализ и оптимизация которых, как указывается в работе [49], являются одной из центральных проблем математической экономики. Все большую актуальность приобретает решение задач экономического планирования и управления производством [9,12,40,44,55] , оптимизация многоступенчатых химико-технологических схем [4,46,55] , сводящихся к оптимальному управлению дискретными системами. Задачи экономического планирования, технологии и организации производства и многие другие описываются разностными уравнениями, так как на практике чаще всего и информация о состоянии процесса, и управление процессом осуществляются в дискретные моменты времени. Во-вторых, трудности определения оптимальных управлений во многих задачах оптимизации приводят к использованию цифровых ЭВМ, что приводит к необходимости дискретизировать задачу. Наконец, в работах /Ъ,44/ предлагается решать задачи математического программирования большой размерности, преобразуя их к задачам оптимального управления дис кретными системами.

К настоящему времени задачам дискретного управления посвящена обширная литература, подробный список которой можно найти в [l0,17,22,23,49,50,55/ .

Общая задача оптимального управления дискретными системами имеет вид:

J(uhf(x(ti))->mUL г xHH)=Hxlt),uitW. teT=[b,to4.,h-f2 (i) x(t)eX(tl-teT**Tt/ii, и.(t)eJ/Н teT, где Xli)- it - вектор состояния дискретной системы в момент i; U(b)~Z- вектор управления в момент £ ; 77 ТТ X(t), UМ ~ заданные множества числовой оси и ft~, t -мерных пространств;

- скалярная и П -векторная функции, определенные в пространствах своих аргументов и имеющие достаточное число производных.

Существуют два подхода к решению задач оптимального управления дискретными системами. Первый [в] основан на применении динамического программирования, развитого Р.Беллманом и его сотрудниками, и приводит к необходимости решать функциональные уравнения специального вида. Имея ряд преимуществ перед другими методами, этот подход, однако, не позволяет в общем случае сформулировать явно те условия, которым необходимо удовлетворяют опти -малыше управления. Второй подход, начиная с работ /36,51J , использует необходимые условия оптимальности, среди которых ведущую роль играют аналоги цринципа максимума Л.С.Понтрягина [б,10, 17,22,26,39,49,50,55,57,60,66,68J .

Достоинства и недостатки каждого из подходов хорошо известны [l7,49,55j . Подробное сравнение методов на практических задачах было приведено в [55J .

Задача (I) стала систематически исследоваться после создания модели аналогичной непрерывной задачи. Любую задачу дис1фетного оптимального управления можно рассматривать как дискретный аналог некоторой задачи оптимального управления непрерывной системой. Существует группа методов доказательства необходимых условий оптимальности для дискретных систем, использующих специальные вариации управления по аналогии с непрерывными задачами оптимального управления.

Задача (I) прежде всего заинтересовала специалистов прикладного профиля. Отметим, что расцространение принципа максимума на дискретные системы встретило с самого начала серьезные затруднения. Как показали работы [ll,13j , первые утверждения о справедливости дис1фетного принципа максимума оказались неверными f55,70,7lj : считали, что в задаче (I) функция H(Xj%U,i:)= =YУ-(хи,£) вдоль оптимального управления и°(Ь) достигает максимума

Н(хЩ ГШ и С(Ц Ь)=тах. (2) V

Здесь Vit) - решение сопряженной системы шмштшш, №эмхуы) (3)

Этот результат был доказан Л.И.Розоноэром [ы] лишь для линейных по состоянию задач: J-(x.JLL)-b)=/\(t)X +6(11,4:), У(ОС)-С1ОСш А.Г.Бутковский fllj первым показал его ошибочность на примере и выдвинул принцип локального максимума (согласно которому функция HtXtfjUfi) достигает не абсолютного (2), а локального максимума ): если U°(i:)GLnt U It) % то выполняются условия стационарности

2HlX°lt)t 4">lt), U'ltl t)* 2LL

Учитывая это, А.И.Пропой [48J предложил: вдоль оптимального управления функция НtyfU-it) локально максимальна или стационарна. Однако были построены контпримеры [13] по всем указанным условиям оптимальности. Детальное исследование достаточных условий, при которых для дисщютных систем справедлив принцип максимума, было проведено Р.Габасовым [13] . Для задачи (I) первая трудность, связанная с оптимальным управлением, относится к получению эффективных необходимых условий оптимальности. В математике принято считать необходимое условие оптимальности тем сильнее, чем меньше неоптимальных элементов ему удовлетворяет.

Одним из методов исследования условий оптимальности, естественно учитывающим структуру задачи (I), является метод приращений, предложенный Л.И.Розоноэром [51] и развитый впоследствии в других работах fl3,I8,20j .

В работе [13] методом приращений доказано, что вдоль оптимального процесса (Ult), ОС.It)) и соответствующего решения Wit) сопряженного уравнения wit-D=Hx.ix, ч>,и,t), wiHh-^x ты), гамильтониан Н fai^t U-, t)— У' J-(X,Utt) достигает максимального значения не на всем [/ It) , а на его подмножестве (Ff It) С UIt) :

Hlx(t), wt),uct)j £h max. Hlxit/, ШЩЬ). ve<nit)

Здесь О"* Ш - подмножество из UШ , состоящее из тех точек ire U(t), для которых вектор принадлежит звездной окрестности точки j?-^(х (i)t и (Ь)} t) относительно множества Условие (4) переходит в принцип максимума Понтрягина, если множество J (out), Ua it) (множество допустимых скоростей) выпукло при Х6-Rnf t^T. Из (4) следуют и результаты работ

48,66-68J .

Пусть существует (х,^^) . Тогда вдоль оптимального процесса выполняется аналог дифференциального принципа максимума t

Ни (х, max Н(х, ъ у,Ь)тг (5)

1Г6<Ъ(Ш£1С/(±)) где (fziUlb), I/ft)) - звездная окрестность точки U(t) относительно множества U(t) . Условие (5) переходит в линеаризованный принцип максимума, если U - выпукло. Дальнейшее усиление условий (4), (5) за счет множества имеется в работах б,19,24,43J .

При каждом обобщении локальных условий оптимальности неявно встает вопрос о выделении класса систем, для которого полученное условие переходит в глобальный принцип максимума. Эти классы описаны в работах /б,1з/ .

Новый подход к проблеме предложен Б.Ш.Мордуховичем /45У , который доказал ряд индивидуальных дискретных принципов максимума, исходя из условий оптимальности высокого порядка.

Основной результат в теории необходимых условий первого порядка для дискретных систем управления - принцип квазимаксимума -был выдвинут Р.Габасовым и Ф.М.Кирилловой [ы] . Он позволяет связать условия оптимальности для дискретных и непрерывных процессов. Простой анализ связи между непрерывными системами и их дискретными аналогами показывает, что дискретный принцип максимума не должен выполняться, если дискретная система точно аппроксимирует непрерывную систему, в которой не существует оптимального управления. В работе [ы] дан другой подход к необходимым условиям оптимальности, при котором сохраняется в некотором смысле глобальный характер этих условий. Рассмотрим задачу

J(uJ=<Р(х (ii))-+ mia X [t+kh ХС£)+кЯхШ,ШЦ Ц (6) xibo)-3Co) umUi-tiM ТкЧьм*-,.»,*'-* I где параметр k?0 характеризует степень аппроксимации непрерывной задачи ; TJ (Ъ) - компактные множества.

Пусть - оптимальное управление задачи (6)\Х^(-Ь) соответствующая оптимальная траектория; Ч^ (t) - решение сопряженной системы тнк зи(х%1ы,ш),имьш, дх.

Пусть Olk^ho , допустимые траектории системы (6) равномерно ограничены. Тогда справедлив принцип квазимаксимума: для любого (5 >0 существует такое О , что^выполняется условие 6 -максимума

Hlx°kH r°(t), u°hct), ihmaz H (zfaj, ^it), u, i)-&t

U£U другими словами, вдоль оптимального управления U^ (t) гамиль

С \ тониан достигает максимума с точностью до с

В конкретных случаях это глобальное условие оптимальности целесообразно использовать в сочетании с локальными условиями.

Существует группа работ £5-7,16,28,41J , в которых доказаны необходимые условия оптимальности высокого порядка. Переход к условиям высокого порядка диктуется несколькими обстоятельствами. Во-первых, поскольку дискретный принцип максимума в общем случае не выполняется, то дискретную систему в (I) разумно заменить "овыпукленной"

ОС(±Н)~И J-l Mj-lX-H Ui It l t)t Ui(t)£rU(i:)t L-1

HH

JLl (b)z-o, 7L Ж i для которой дискретный принцип максимума выполняется, и по решению новой задачи восстановить (точно или приближенно) решение исходной /15/ . Одной из трудностей, возникающих на этом пути, является появление особых оптимальных управлений, для которых принцип максимума выполняется с вырождением, не доставляя того объема информации, который характерен для невырожденного случая. Исследование особых управлений - цроблема условий оптимальности высокого порядка.

Условие оптимальности особых управлений и условие оптимальности высокого порядка для дискретных систем стали разрабатываться с появлением работ [l6,28] . В их основу положены формулы црира-щения второго порядка.

Пусть эЧ/эх2-, 2ltf/axz6C tz* игщх)={а: у1(о~х)=о}г

Гх iXj Х} [у: (а-х)&X при i

Справедливо условие оптимальности второго порядка [l&] :

- II вдоль оптимального управления ufit) выполняется неравенство

Av-HU'lU, +(Нх. Щ иЩ и) •

7)

•УмШх'Ш, a, у-Нх'Щи'Ш, о для всех V,CL,b таких, что j-lx°(t),v;t)6(rz (Нх<Щичц-.b)t Ш0(Ь1а.,Ь)е ur(^°(t),x0tb))> teT.

В условии (7) Х° [£) - оптимальная траектория; 4/D(i:) - соответствующее решение сопряженной системы (3) fix И - матричная функция - решение уравнения

J, эх2- } Т 1 J & гхг

Результат (7) с помощью формул приращения высокого порядка развит в [28] , где получены необходимые условия оптимальности произвольного к. -го порядка.

Условия оптимальности высокого порядка упрощаются, если исследуется особое управление. Даже в тех случаях, когда дискретный цринцип максимума справедлив, на особых управлениях он теряет эффективность.

Перше результаты по необходимым условиям оптимальности особых управлений в дискретных системах освещены в обзоре [27] . Определение. Допустимое управление Uib)t ЬбТ % называется особым на множестве Т , если найдется такое под-множество й^11хЩи°(Ь),Ь)и°[Ь),Ь)кО, Ь&Г} (8)

Понятие особого управления зависит от вида условия первого порядка. Выше использовался дискретный принцип максимума. Можно использовать и условие (5), считая особым управление, вдоль которого оно вырождается, т.е. в случае, когда максимум справа в (5) достигается в нескольких точках LL 6 U(£) • Классическим в теории особого управления считается случай, когда JJ(t) - отбытое множество и вдоль управления

Указанные дополнительные типы особых управлений также исследу

Развитие условия (7) на особые управления высокого порядка приведено в £38j . При этом управление называется особым управлением второго порядка, если оно особое первого порядка и вдоль него левая часть неравенства (7) то.вдественно равна нулю на . Аналогично определяется особое управление третьего, четвертого и т.д. порядков. ются в [1б] , и для них получены аналоги условий (7), (8).

Необходимо отметить, что все упомянутые выше работы посвящены задачам оптимального управления обыкновенными дискретными системами. Теория необходимых условий оптимальности для таких систем близка к завершению. Менее развита теория достаточных условий оптимальности. Среди работ, посвященных достаточным условиям оптимальности для дискретных систем, отметим работы [9-12,37, 38,72,74j .

Заметное число публикаций в настоящее время относится к задачам оптимального управления дискретными системами с запаздыванием [54,61,63,73,777 .

По необходимым условиям второго порядка в дискретных системах с запаздыванием известны пока лишь результаты [25,54j . Значительно полнее изучен этот вопрос для непрерывных систем как с запаздыванием [25,33,35,52,75,76J , так и без запаздывания [1,2,18, 25,3I,42,59,65j .

Н.М.Гельфанд и С.В.Фомин в [30] для классической задачи Лаг-ранжа показали, что достаточное условие для слабого локального минимума в неособом случае состоит в том, что вторая вариация строго положительна.В этой же работе установлено, что существование решения хорошо известного уравнения Риккати эквивалентно требованию выполнения усиленного условия Якоби. Эти результаты послужили толчком к изучению второй вариации в задачах оптимального управления. Среди исследований в этом направлении в первую очередь следует выделить £3,18,32,34,38,53,58,59,647 .

В диссертации изучаются свойства второй вариации функционала на траекториях управляемых дискретных систем с сосредоточенным и распределенным управлением- и получены необходимые условия оптимальности высокого порядка особых оптимальных управлений в нелинейных дискретных системах с сосредоточенным и распределенным управлением.

Исследование второй вариации дает возможность при некоторых' условиях сказать, является ли экстремаль Понтрягина точкой локального минимума функционала или нет.

Изучение свойств второй вариации является актуальной задачей в теории достаточных условий оптимальности.

Известно, что при равенстве нулю первой вариации неотрицательность второй вариации является необходимым условием (второго порядка) оптимальности в задаче управления. Достаточным условием слабого локального минимума является определенная положительность второй вариации. В задачах особого управления вторая вариация не может быть определенно положительной, поэтому нужны другие достаточные условия. Несмотря на это вторая вариация продолжает играть важную роль в критериях оптимальности второго порядка. В задаче неособого управления (Нии * О для любого Ь&Т) достаточным условием определенной положительности второй вариации, а следовательно, и слабого локального минимума, является существование решения матричного уравнения Риккати, связанного со второй вариацией. Это условие не применимо в особом случае из-за присутствия Нии. в матричном уравнении Риккати.

Для получения необходимых условий оптимальности используется метод приращений.

Диссертация состоит из введения и двух глав.

1. Аграчев А.А. Необходимое условие оптимальности второго порядка в общем нелинейном случае. - Мат. сб., 1977, т.102(144),4, с. 551-568.

2. Аграчев А.А., Гамкрелидзе Р.В. Принцип оптимальности второго порядка для задачи быстродействия. Мат. сб., 1976,т. 100(142), I 4(8), с. 610-643.

3. Анрион Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном управлении. М.: Наука, 1979. - 208 с.

4. Арис Р. Оптимальное проектирование химических реакторов. -М.: ИД, 1963. 238 с.

5. Ащепков Л.Т. К необходимым условиям оптимальности высокого порядка для особых управлений дискретных систем. Дифференц. уравнения, 1972, т. 8, № 10, с. 1857-1867.

6. Ащепков Л.Т., Габасов Р. К оптимизации дискретных систем. -Дифференц. уравнения, 1972, т. 8, й 6, с. 1068-1080.

7. Ащепков Л.Т., Тарасенко Н.В. К условиям оптимальности второго порядка в дискретных и непрерывных системах и связи между ними. В сб.: Управляемые системы. - Новосибирск, 1977, вып. 16, с. 11-19.

8. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, I960. -400 с.

9. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. - 458 с.

10. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973. - 446 с.

11. Бутковский А.Г. О необходимых и достаточных условиях оптимальности для импульсных систем управления. Автоматика и телемеханика, 1963, т. 24, й 8, с. 1056-1064.

12. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. - 474 с.

13. Габасов Р. К теории оптимальных процессов в дискретных системах. ЖШ и МФ, 1968, т. 8, Л 4, с. 780-796.

14. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К вопросу о распространении принципа максимума Л.С.Понтрягина на дискретные системы. Автоматика и телемеханика, 1966, т. 27, В II, с. 46-51.

15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Применение принципа максимума для вычисления оптимальных управлений дискретных систем. Доклады АН СССР, 1969, т. 189, гё 5, с. 963-965.

16. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К теории необходимых условий оптимальности для дискретных систем. Автоматика и телемеханика, 1969, №12, с. 39-47.

17. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. - 507 с.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. -М.: Наука, 1973. 256 с.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Необходимые условия оптимальности типа равенства в дискретных системах. Дифференц. уравнения, 1973, т. 9, & 3, с. 542-546.

20. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974. - 272 с.

21. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Шнек: Изд-во Б1У, 1975. - 262 с.

22. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления.В сб.: Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники) М., 1976, т. 6, с. 131-261.

23. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К теории необходимых условий оптимальности в дискретных системах управления. В сб.: Управлявмне системы. Новосибирск, 1979, вып. 18, с. 14-25.

24. Габасов Р., Русакова М.Л. Принцип максимума для общих дискретных систем. Дифференц. уравнения, 1971, т. 7, №9,с. I581-1590.

25. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка (обзор). Ин-т мат. АН БССР Препр., 1982, У?. 30/155, 47 е., ил.

26. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мордухович Б.Ш. Дискретный принцип максимума. Доклада АН СССР, 1973, т. 213, В I, с.19-22.

27. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Срочко В.А., Тарасенко Н.В. Условия оптимальности высокого порядка. Автоматика и телемеханика, 1971, В .5-7, с. 5-21; 5-24; 5-34.

28. Габасов Р., Тарасенко Н.В. Необходимые условия оптимальности высокого порядка для дискретных систем. Автоматика и телемеханика, 1971, Jfc I, с. 58-65.

29. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

30. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. Физмат-гиз, 1961. - 228 с.

31. Гороховик В.В., Гороховик С.Я. Различные формы обобщенных условий Лежащра-Клебша. Автоматика и телемеханика, 1982, В 7, с. 28-33.

32. Дмитрук А. В. Квадратичные условия слабого минимума для особых режимов в задачах оптимального управления. Доклады АН СССР, 1977, т. 223, В 4, с. 523-526.

33. Забелло I.E. Исследование особых управлений в системах с запаздыванием с помощью матричных импульсов. Дифференц.уравнения, 1984, т. 20, Jg 8, с. I332-I34I.

34. Забелло I.E. Необходимые условия оптимальности второго порядка для систем с запаздыванием. Доклады АН БССР, 1982,т. 26, II I, с. 13-16.

35. Красовский Н.Н. Об одной задаче оптимального регулирования. -Прикладная математика и механика, 1957, т. 21, вып. 5,с. 670-677.

36. Кротов В.Ф. Достаточные условия оптимальности для дискретных управляемых систем. Доклады АН СССР, 1967, т. 172, IS I,с. 18-21.

37. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Метода и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. - 448.,

38. Леонов В.В. Исследования по теории управляемых многошаговых процессов. В сб.: Управляемые системы, Новосибирск, 1974, вып. 12, с. 20-23.

39. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973. - 335 с.

40. Мансимов К.Б. К теории необходимых условий оптимальности высокого порядка в дискретных управляемых системах с подвижным правым концом траектории. Изв. АН АзССР, Сер.физ.-техн. и мат. наук, 1978, }£ 6, с. 43-48.

41. Мансимов К.Б., Ягубов М.А. Об одном способе получения многоточечных условий оптимальности особых управлений в задаче терминального управления. Дифференц.уравнения, 1983, т. 19, № 10, с. I68I-I687.

42. Минченко Л.И. О необходимых условиях оптимальности для некоторых классов дискретных систем управления. Дифференц. уравнения, 1976, т. 12, № 7, с. I2II-I2I8.

43. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука,1975. 526 с.

44. Мордухович Б.Ш. Об оптимальном управлении дискретными системами. Дифференц. уравнения, 1973, т. 9, №4, с. 727-734.

45. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации химических реакторов. М.:Химия, 1967. - 248 с.

46. Понтрягин I.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.:Наука, 1983. 392 с.

47. Пропой А.И. О принципе максимума для дискретных систем управления. Автоматика и телемеханика, 1965, т. 26, № 7,с. II77-II87.

48. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дисщзетных процессов. М.: Наука, 1973. - 225 с.

49. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1969. - 152 с.

50. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С.Понтрягина в теории оптимальных систем. Ш. Автоматика и телемеханика, 1959, т. 20, № 12, с. I561-1578.

51. Салиев Э.А. Необходимые условия оптимальности особых управлений в системах с запаздыванием. Ред. я. Вестн. Белорус, ун-та. Сери. I. Физ., мат., мех. Минск, 1981, 39 с. Библиогр. 21 назв. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 25 мая 1981, № 2400-81 Деп.).

52. Срочко В.А. Исследование второй вариации на особых управлениях. Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, $ 6, с.1050-1066.

53. Фам Хыу Шак. Об оптимальном управлении дискретными системами с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, 1970, 7, с. 40-49.

54. Фан Лянь-цэнь, Вань-Чу-сень. Дискретный принцип максимума. -М.: Мир, 1967. 180 с.5659