Исследование абсолютной устойчивости регулируемых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЬМ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

Р Г Б ОЛ

" На правах рукописи

ТЕН ЧЖИ-ДУН

УДК 62-50

ИССЛЕДОВАНИЕ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕГУЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.Д1 -Системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата Физика-математических наук

Алматы 1994

Работа выполнена на кафедре теории управления Казахского государственного национального университета им. Аль-Фараби.

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РК, доктор

технических наук, проф. С.А.Айсагалиев. Официальные оппоненты: - Доктор физико-математических наук,

профессор М.И.Рахимбердиев. • - Кандидат физико-математических наук, доцент З.Н.^уряабеков. Ведущая организация: Казахский национальный технический университет.

Запета состоится "^¿Р 1995 г. в_часов

на заседании Регионального специализированного совета К 14/А. 01.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Казахском государственном национально«* унивеситете им. Аль-Фараби по адресу:

490012, г. Алматы, ул. Масанчи 39/47, КазГУ, ШЙ. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-магематичвсц доцент •

Ш.А.Айпанов

ОБ'НАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность рзботы: Существуют два подхода к получению критерия абсолютно!» устойчивости: метод А.И.Лурье, основанный на выборе функции Ляпунова в виде "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейностей"; метод В.М.Попова, который дает час -тотний критерий абсолютно? устойчивости системы.

Связь между указанными методами установлена З.А.Якубовичеи и Р.Е.Калманом в виде "частотной теоремы", в зарубежной литературе называется обычно "леммой Калмана-Якубовича". Показано»что частотный критерий абсолютной устойчивости является необходимым и достаточным условием суиествования функции Ляпунова а виде "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейностей".

Критерию абсолютно!1 устойчивости регулируемых систем по -свячены монографии: А.И.Лурье; М.А.Айзермана; Ф.Р.Гантмахеоа; А.М.Летова; В.М.Попова; А.Х.Гелига, Г.А.Леонова, В.А.Якубовича. В последней монографии приведен обаор научных результатов по теории абсолютной устойчивости регулируемых систем»

Следует отметить, что: во-первых, хотя частотный критерий охватывает все критерии, которые могут быть получены с помощью функции Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейностей" , он все же является лишь достаточным, но не необходимым условием абсолютной устойчивости; во-вторых„ "лемма Калмана-Якубовича", основанная на использования функция Ляпунова и "частотной теоремы", является математическим аппаратом„доставляющим эффективные частотные критерии абсолютной устойчи -вости.

Совершенно иной подход к исследованию абсолютной устойчи -.

вости регулируемых систем предложен в работах С.А.АЙсагалиева, Суть метода С.А.Айсагалиева состоит в том, что задача абсолютной устойчивости сеодится к разреммости некоторого оператор -ного уравнения и критерий абсолютной устойчивости получен из условия существования решения операторного уравнения, без привлечения какой-либо функции. Ляпунова. Диссертационная работа является продолжением научных исследований, начатых в работах С.А.Айсагалиева.

Остаются открытыми следующие вопросы: возможно ли найти необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости; существует ли другой подход для получения критерия абсолютной устойчивости. Отсутствие необходимого и достаточного условия абсолютной устойчивости, а также существования абсолютно усто! чивых систем, для которых не существует функции Ляпунова в классе функции "квадратичная форма плюс интеграл от нелиней -ноетей" делает актуальными исследования абсолютной устойчивости регулируемых систем.

Целью_£§боты является развитие теории регулируемых систем для критических случаев, разработка эффективных критериев аб -солютной устойчивости, применение полученных теоретических результатов для конкретных систем управления.

• Методы исследования: Основные результаты диссертационной работы получены на основе теории управляемости, теории экстремальных задач, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений,- теории устойчивости движения, функционального анализа.

Научная новизна полученных результатов заключается в еле -дуюшем:

I. Погружение исходной задачи в задачу управляемости и вы-

деления всего множества управлений в пространстве ¿¿С , ' каждый элемент которого переводит траекторию системы из любого начального состояния в начало координат;

2. Сведение задачи абсолютной устойчивости регулируемых систем в критических случаях к равносильной задаче разрешимости соответствующих операторных уравнений;

3, Разработка достаточных условий разрешимости' операторных уравнений и получения новых эффективных критериев абсолютной устойчивости в критических случаях.

Теоретическая )! практическая ценность работы:

Теоретическая ценность работы заключается з том, что; впервые получены необходимые к достаточные условия абсолютной ус -тойчивости регулируемых систем в критических случаях, предло -жены новые эффективные критерии абсолютной устойчивости.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные критерии абсолютной устойчивости в критических случаях и точечной устойчивости в целом стационарного множества регули -руемых систем с разрывными нелинейностями могут быть применена для расчета и проектирования различных систем управления в автоматике, энергетике, экономике и др.

Апробация работы; Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на междувузовских научных конференциях, конкурсах молодых ученых и специалистов Казахского государствен ного университета им. Аль-Фарабя (1990, 1991) , на научных семинарах кафедры теории управления КазГУ.

Публикация; По теме диссертации опубликованы 4 научных работ.

ОбБем и структура работы: Диссертационная работа состоит из 4 глав, заключения и список литературы. Общи? обйем работы со- .

ставляет 85 страниц, список литературы включает 55 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой_глазе обосновывается актуальность исследования, дается краткий обзор литературы по теме диссертации и приводится постановка задачи.

Во второй главе рассматриваются нелинейные системы автоматического управления в критических случаях: 1однократного нулевого корня:

У = ?-- е *'<>■

<г= Су-*?, = % , ?М = ; П)

2). двухкратных нулевых корней!

у = г = ¥, ? = ' *о,

где функция

<рМ £ Ф ■ I № = (<?,<Ч>, <РЩ«Ъ)) ( ССКЩ)/

А/, В, „ С , & „ V ~ постоянные матрицы соответственно порядков я»«, е-»«, »»»«л ««»«, «»»я , причем /4, - гурвицева, & - неособая для системы 11) и А/ - неособая для системы (2 ) . Полагаем, что функция * Ф обратится в нуль только при С - о и выполнено условие Липшица

* А-/*'-*'/, У о/ & ,

5 4 * « л

где А > О _ постоянные числа.

Стационарные множества Д) , Ал соответственно систем

( I) и ( 2 ) определяются следующими формулами

Л, * {у'О, Т = ° К 4 = { V -о, Г = г *о}.

Говорят, что тривиальное решение системы (I) (или (2)) абсолютно устойчиво, если:

I ). ДЛЯ любого ^ = с1,'ау — ) г

о •.< $ * - т р линейная система

У® <4 -Ъ^У-В,**?,

ум = г,е)= г г-0, (или линейная система

Ч -- ж у -М р , у Ю) = у0} ё(°> = *в| ' % ) асимптотически устойчиво;

2). для всех Ф система (I) (или 62)) обладает

свойствами о, </„(р) = О, = О

(или ££ у С ^ Ур> р; = о, (р) = 0,

* * ^ = 0 ) » где V'** * 0 •

Для систем (I) и (2) поставлена следующие задачи;

Задача I. Найти необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости.

Задача П. Найти эффективные критерии абсолютной устойчн -. вости,

В § 2.2. рассматривается решение задачи I для систем (I) и { 2) о

Лемма I. Пусть пара (А, 8,} - управляема, А антигур-вицева матрица порядка л**1 , В, - матрица порядка пт , матрица к = К* реэекие матричного уравнения АК* К А*= . Тогда матрицы

и/ГО, - Г е-АЧ в; е » * * * * > 0}

1А/«,") = 1 е-А*В,в;е-*'1 ¿С =е-мКе-А'*, его ; и/с«»,с; = \л/(о, - *>) 1 ььо. Тео^ека_]_. Пусть пара (А, В/ } управляема, А - антигур-вицева матрица и пусть х(^) - эс( г", о, решение диф-

ференциального уравнения

£ = л1Г{*)> х«0 = у. . * 'х/(0 6 с°>

Для того чтобы КШ -* о при ( -* необходимо и достаточно, чтобы ум = у) - им(3)

«о

о '

где' УМ ( 1*1 Со,-) - произвольная функция.

Для системы (I) рассмотрим следующие оптимизационные задачи: 1аинимизировать функционал

>77 V;"; $ [ /4/-е0к<О*■

при условиях:

хт * Ах+В, I/, тс (о) * у,, -х(г) = О, мш * и. /««л и/Г)в о, <е(г)(Ф,

* > Г+Л ^

« ' 4 К Сх<о-#- постоянная мат-

рица порядка «1*« ;

минимизировать функционал * '

при условиях:

к») * 4хН,У) VI*,У) с *(•>) = УШ ¿(,гСь,*>), •

МЩ) = МО* Ц, * !7)

^ ^ (¿(ж. Ф ,

где функции у) определяется формулой (3) ,а функции

* а

МИД) =

Лемма 2. Пусть пара {А, ^ ] управляема. Матрица А ~ антигурвицева. Тогда оптимизационная задача 14) - (5) с закрепленными концами траекторий, равносильна задаче (6) - 11), со свободным правим концом.

Теорема 2. Пусть пара управляема. Тогда следующие

три утверждения равносильны:

! ). либо оптимизационная задача (6) - (7) имеет решение (У,а>, fj.it>) такое, что значение I(У>Юш = 0 , где матрица А/ = А * в,<£ , А - антигурвицева, матрица

«Э - постоянная матраца порядка м'п ; • 2). либо операторное уравнение

- ¿(^ в?™.»-иЩА* О (а)

имеет ревение у ^ ю е- ¿^£о,»>) , где А, = А А - антигурвицева матрица» функция <?(?)( ф • 3). либо решение системы П) обладает свойством

у (е, с, уо1 (?) =0, ?((, с, 7.,9Л = о, V ргФ . Теорема 3. Пусть пара управляет. Для абсолютной

устойчивости системы П) необходимо и достаточно, чтобы!

1). матрицы А, и / А,* В,УС

- гурвицевы;

2). операторнае уравнение (8) имеет решение

у, <ое61 ^(»¿¿гСо,*>) , Где ^ - А »

А - антигурвицева матрица, функция <Р(/)( Ф „

Для системы (2) получены аналогичные результаты. В § 2.3 рассмотрена задача П для систем (I) и (2) . Решение данной задачи получено из достаточных условий разрешимости операторных уравнений.

Лемма ¡3. Пусть пара управляема, лкВ^т,

пусть существует матрица & порядка а" 1 такая, что с = - неособая. Тогда для разрешимости операторного уравнения (8) необходимо и достаточно, что восполнялись товдества: и,у) = г^анм -А1 х(*.у)) ; К и,»} = + (2„-в/ -Сб) А, ») ;

где X* - единичная матрица порядка **п и кроме того,

о при *-**> ( * о, = ,

V <?(» ( Ф , где Кг,К - Сл.г <4 Л - Щи/V, # . Введем следующие матрицы

4 = -гв?н-г3т,

5 в с^-/?, ^ = ¿.у ^

5 - «^у ^/У = Н - постоянная матрица порядка и*«.. Теорема 4. Пусть пара М/,4-7 управляема, Пусть существует матрица 0 порядка »»»ч „ такая, что г = - неособая, функция <?(*)(-$ , пусть матрица

= ¿Н) { л/, =■ - матрица порядка . Тогда

несобственный интеграл

К, - Р"1 х"(г)Их(г) + Ч1нч - А« М*(г)Н,/«г) *■

♦ К", 7.,

де ¿<» - xtt) = X(t,»)t С, = tenti < с* .

Xeo2gMa_¿o Пусть выполнены следующие условия;

1). пара í управляема, гаьГв^пг ;

2). матрица 4/ и

/л,*у С

( мс -м/? Js

■ гурвицевы;

3). существует матрица 9 порядка такая, что. г s 9 в/ - неособая;

4). существуют матрицы Ц * н* > ог н - > 0 » ¡©ответственно порядков , такие» что - ,

% - не особая матрица, функция

5). выполнено одно из следующих условий:

а), либо ¿t*Lf >0 i .

б), либо ¿л*гл'">о, ¿, - ¿/ > Q'r, Q » Л" ~f,*'>o ¡

в), либо ¿t*¿">ot L, + L? ** %,'К, .

застема (J) на линейной многообразии s О абсолютно устойчива, где f?, - постоянная матрица порядка S*n, Тогда операторные уравнения (8) разрешимо и система (I) абсолютно устойчива.

Для системы (2) получены аналогичные результат«. 3 3 2.4 для применения полученных результатов рассмотрены задача Б.Э.Булгахова, задача об автопилоте в задача гироскопи-. веского креновыравнивателяс

В третьей главе рассматривается система автоматического управления с неединственным положением равновесия в с разрывными •

нелинейностямк

X = Ах ВУ>(°-\ 0-= х/о)= х. , (9)

где А , б , £ - постоянные матрицы соответственно порядков »»* „ «»»а и ««я , функция = причем функции , * в , кусочно однозначные.

Стационарное множество системы (9) точечно устойчиво в целом« если оно устойчиво в малом и любое решение системы (9) при { оо стремится к некоторому стационарному решению. Поставлена следующая задача

Задача Ш. Найти условия, налагаемые на конструктивные параметры системы С9) ( А с 8 „ 5) при выполнении которых, стационарное множество системы (9) точечао устойчиво в целом.

В 5 3.2 получена однозначная линейная связь между решениями системы ( 9) и значениями функции . Система (9) может записана в виде

X = Ахю *В1Ы1, ?«) ( (?(<гш), о-м * .

Рассмотрим случай, когда в системе (9) , функция

фМ € § -I <р«г) а £»0- * фм / ф/о-) - ,

% </>/*) >0( (Г. (сн-> Ъ.-}, , «' - /.

Стационарное множество системы ( 9.) имеет вид

Л - I ^ - -А^ВС ! С = (с,.~,ст)р С< ( си.]%

ЗАчВсв0}.

Лемма Пусть для системы (9J выполнены следующие условия;

1. Пара (А,6} управляема, матрица А - А,-В£„3 »

£, = с е»„> > о ^ а, - гурвицева, функция £ ^ ;

2. Существуют матрица $ и неособая матрица г соот -

- ;з -

ветственно порядков т.*п , м.*»г » такие, что = г.

Тогда: 1). все решения системы (9) ограничены при t г-о ;

2X вдоль решения системы (9) верны соотношения

f (¿j = - fe (¿(ti - Ax(ü) >

ЛШ = i(*)-?, = -i4& (Фа) - 4 ум) , где f, - Cíi^^ , ^ = xf0-x: .

В § 3.3 получена оценка несобственного интеграла вдоль

решения системы ( 9 ) .

Лемма 5. Пусть выполнены все условия леммы 4 и пусть И = Н

- некоторая матрица порядка л«« . Тогда вдоль решения

системы (9) , несобственный интеграл

•о - „ ,

1¡ = f с "4>'ii)N. У/О + Ц>Ю У>*шм.

О '

ч< С - fi* Н IplV - y>fte)H f(o) , где С - постоянное число,матрицы

ДГ г -ZHА - 2НВ*Ч9А * i-1, r ¿t'-'e^H , ^ - Уа58*ч*Г3 , =J>S + y¿SA , L, = AVrteA +AVrt *-S*rsSA +S*(T,-rt)S ->

= + jg.-r'Z-c'leSr, ,

t> г 2(г.-т«)*тЛ ♦ t'-'S's'Ts-íf.-t^'T, +

T¿ * ¿'У

« -- f, г, J, a, í, В i 3.4 получен алгебраический критерий точечной устойчивости в целом стационарного множества А для системы (9) Теорема 6. Пусть выполнены все условия леммы 4 и следующие условия

1). существуют матрицы Н = Н * И, г Н1 *, соответственно порядков „ л»« , такие» что А^ = 2 Н,® ;

2).выполнено одно из следующих условии :

а), либо матрицы Ы, * ы* > о е ^ )

б), либо матрицы Ы1 * л// >. р д/,' 5/3 -неособая,, линейная система V = Л, У* , Аа = А -В (вВ)~'бА асимптотически устойчива на линейном многообразии = о ;

в), либо матрицы * Ы* >у > /\/д <> л// Ъс , система (9) точечно устойчива в целом на линейной многообраэи

г я: , , - постоянная матрица порядка с

Тогда система (9) точечно устойчива в целом- В качестве при»/ ра рассмотрен осциллятор с нелинейным трением-

В четвертой главе рассматривается нелинейная система авто матического управления

£ = ДХ с- = Сх , (ю)

где А, В, С - постоянные матрицы соответственно порядков сп я Я р функция Цю £ ф * { (рщ = <?т«гп)) ( С(^) /

где о - постоянные числа,

Поставлена следующая задача

Задача |У„ Найти необходимые и достаточные условия отрицательности производной от функции Ляпунова типа "Квадратична форма плюс интеграл от нелинейностей" в силу системы (10) и определить в основном случав максимальные значения параметров •^/»'"'о » такие,, что система (10) абсолютно устойчива на множестве ф , когда Щ < #<>£ е •

В § 4.2 , приведены.некоторые вспомогательные предложения.

Лемма g. Пусть матрица

где D = L Q » 9 L , Q п L - матрицы порядка п*п и L = L " > о „ число а = „ Р - некоторый п -мерный

вектор j е, = (it о,—.о) ( Л?" , вектор b s + .

Тогда, если матрица Р > о , то cfêt % О .

В 3 4.3 получена теорема о положительности квадратичной формы

8 fx. s ¿JC°H (Qz* p?«v) * 2 Z°£<P M * <ре<*)Грп)

где W е 0 , р , g , Г в г - матрица соответственно порядков П'Л р «irrt, Л<гЛ1, «» «г л», шп, т- - F я: , причем И = И** Г s Г " „ функция £ Ф .

Теорема 7» Для того чтобы имело место неравенство В (гс, > О при <?M ( ф „ К êR*, % необходимо

к достаточно чтобы были выполнены следующие условия; }). (HQ *<1*Н)ф > 0 $

2). dit Ç >0 » пр» 0 4 К/ <'=Ст,

глв а . + у'к^ц

% г My .

В | 4.4 получены с помощью пользования теоремы 7 максимальные значения параметров A/s—* , для абсолютной устойчи -вости системы (10) в основном случае.

Рассмотрим функцию Ляпунова;

«ч К'

\/(х) ? х*HX + S (p. ts)h .

fl - 9 g й

Для любой матрицы В ~ Е* > 6 существует матрица H* ~ H <0 9

такая, что НА А'Н - Е .

В силу системы (Ю) получаем производную

\/1х) - гк*Н (Ах + Вфы) 2зс*1 В*е?м +

* <Р*ю*(<5>С8 0>(Ъ> -

- <4, ••% „

где функция <?(*) - к = , матрица

4 = £ * нькс * Ски^и *• £ (В'С'ФКС '

^¿(с'косвкс

Определим число ■Мои по следующей оценке

Ж(«¡,<¡¿-,0) >0 при к, < Ме, , И с/ее (Ме,, о) = О . Предположим < Ц,, и определим число >4>2 по оценке

<1ц$(ос кг ,0^0) > о, ¿^Лл-А^епри С? .с «е.. < . и о1ее 4 (О^ог,*,*-, " $ , «V", о) = о . Предположим < и продолжая этот процесс можно в кон-

це концов определить числа р •

Теорема 8. Пусть матрица А гурвицева, для того чтобы имело место V >0 при фМ * Ф „ аг«^* х р необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия

Теорема 9, Пусть матрица А гурвицева, пусть существуй ют матрицы £ = £щ >о и О, такие, что

Ц<Щ>1, Ц г, <Чп < *> . Тогда система (10)

абсолютно устойчива на множестве <Ф

В $ 4,5 рассмотрена трехмерная система с двумя нелинейнос-тями и' найдены области абсолютной устойчивости с использованием теорем 8 и 9.

Основные результаты диссертации,выносимые на защиту

1. Погружена исходная задача в задачу управляемости и выделения всего множества управлений в пространстве Со) *>_) каждый элемент которого переводит траекторию системы из любого начального состояния в начало координат.

2. Сведена задачаЕбсолютной устойчивости регулируемых систем в критических случаях к равносильной задаче разрешимости соответствующих операторных уравнений и получены необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости.

3. Получены достаточные условия разрешимости операторных уравнений и новые эффективные критерии абсолютной устойчивости в критических случаях.

4. Получены новые эффективные алгебраические критерии точечной устойчивости стационарного множества регулируемых систем

с разрывными нелинейностями.

5. Получены необходимые и достаточные условия отрицательности производной от функции Ляпунова типа "квадратичная форма плюс интеграл от нелияейностей" в силу системы и определены максимальные значения параметров - для которых тривиальное решение системы абсолютно устойчиво.

6. На основе полученных критериев абсолютной устойчивости были решены задачи абсолютной устойчивости для некоторых прикладных систем.

Список работ опубликованных по теме диссертации: I. Айсагалиев A.C., Тен Чжи-Дун. К теории устойчивости разрыв-

ных систем. Известия АН PK, серия физико-математическая, № 5, 1993.

2. Лйсагалиев A.C., Айпанов Ш.А., Тен Чжи-Дун. К теории точечной устойчивости в целом релейных систем с неединственным состоянием равновесия. Деп.науч.работы в ВИНИТИ, М.; А II,

241 , 1991 г., с.104.

3. Тен Чжк-Дун. К задаче абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем в основном случае. Деп. в КазгосИНТИ» й 4929-Ка94, 1994«, 12 с.

4. Тан Чни-Дун. Некоторые необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем в критических случаях и их применение. Деп. в КазгосИНТИ, & 5532-Ка94, 1994 г., 24 с.

Teng Zhl-Dong

Investigating absolute stability oi the regular systems

In this work, the theory absolute stability of nonlinear regular systems is concerned. The results of prof. S.A.Aisagaliev hear era extended.

Necessary and sufficient conditions for absolute stability oi nonlinear regular systems in the critical савеэ are studied ' and hear the direct method of Llapunov is not applied. The new efficient and algebrio criteria of absolute stability are obtained.

Тен Чжн-дун

РеттелеПн тгйелэрдш абсолют орныктылнгын зорттеу

Диссертацяялык агемыс сызнкти емэс реттелет1н этйвлердШ абсолют орныктшшк твориясняа багышталгвн пане проф, С.Э.АЙсагали-евт1н енбектерШда басталган гшшми .зерттеулердт валгасы болып келедг.

Пшыста сызыкты емес реттвлет1н егй0лэрд1ц еракше ear дай- *

лардвпг абсолют орныкташтшшн кахетт! вэве автк1л1кт! шарттары кандай да 6tp Ляпунов функциясын карастнрмай табылган, сояымен катар абсолют орныктшвдтыд вана да ти1вд1 алгебрзлнк критерило-pt алынган.