Абсолютная устойчивость систем автоматического управления с обратными связями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Абсолютная устойчивость автономных систем управления с одной и со многими нелинейностями.

1. Алгебраические щштерии.

§1.1. Устойчивость автономной системы с одной стационарной нелинейностью.

§1.2. Устойчивость в критическом случае.

§1.3. Устойчивость САУ с изодромной обратной связью

§1.4. Устойчивость автономной системы со многими нелинейностями

2. Частотные условия абсолютной устойчивости САУ

§1.5. Условия абсолютной устойчивости системы управления.

Глава 2. Абсолютная устойчивость неавтономных САУ с одной нелинейностью.

§2.1. Устойчивость решений САУ с обратными связями по координате и скорости управляющего органа.

§2.2. Устойчивость САУ с обратными связями по координате, скорости и ускорению управляющего органа.

§2.3. Устойчивость системы управления с нелинейным объектом.

§2.4. Устойчивость системы управления с нелинейным неавтономным объектом.

Глава 3. Оценка решений и времени переходного процесса систем управления с одной нелинейностью.

§3.1. Оценка решений и времени переходного процесса систем управления с помощью построения ФЗЕ.

§3.2. Оценка решений и времени переходного процесса систем управления на основе леммы Гронуслла-Беллмана

Одной из основных проблем динамики нелинейных систем является проблема устойчивости движения. Математическая теория устойчивости движения динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, была создана А.М.Ляпуновым /36/. Он разработал эффективные методы ее решения, одним из которых является метод функций Ляпунова (Ш). Второй метод А.М.Ляпунова широко применяется при решении многих теоретических и прикладных вопросов устойчивости движения нелинейных систем автоматического управления (САУ). Центральной в методе остается проблема построения Ф2Е с требуемыми свойствами для конкретных нелинейных систем.

Второй метод Ляпунова получил значительное развитие в работах М.А.Айзермана, Е.А.Барбашина, А.К.Бедельбаева, Ф.Р.Гантмахе-ра, Н.П.Еругина, В.И.Зубова, Я.Курцвейяя, Н.Н.Красовского, Ж.Ла-Салля, А.М.Летова, С.Лефщеца, А.И.Лурье, И.Г.Малкина, Л.Массера, В.М.Матросова, К.П.Персидского, В.В.Румянцева, Н.Г.Четаева, В.А.Якубовича и др.

Задача об абсолютной устойчивости САУ обобщалась и распространялась на целый ряд более широких и более сложных классов нелинейных систем, и по этим вопросам существует обширная научная литература, а также обзорные статьи /2, 13, 33, 45, 55/.

Исследованию вторым методом Ляпунова нелинейных САУ вида б = ^ЭТОСз

В.1) гдех - П -мерный вектор состояния; Д - постоянная матрица С Л х п) - скаляр; 6 ,р - Л -мерные постоянные векторы; ^(б1) -непрерывная функция, удовлетворяющая условиям или

О (с =соп&-£,к<+ -о) (В.З) или

0) = 0, о< Уб^о, (в.4) посвящены многочисленные работы.

Определение В.1 /15/. Нулевое решение Х = 0 системы (В.1) называется абсолютно устойчивым в угле [о, кО » если оно устойчиво в целом при любой непрерывной функции , удовлетворяющей условиям (В.2).

В силу определения В.1 класс произвольных непрерывных функции <^(6)» удовлетворяющих условиям (В.2), (В.З) и (В.4), соответственно будем обозначать следующими символами е С^ , {(&) е СС£)И, {&) е ССо, »оп.

Пусть функция 1?(ос)=,эсг, зсп), определенная в фазовом пространстве переменных эсА, ., а?п, непрерывна в некоторой области <?Вс Я" включающей в себя начало координат, а также обладает непрерывными частными производными по переменным Х^, ЭС^, ., ос.п в области Ю.

В дальнейшем мы будем обозначать определенно положительную функцию Ляпунова через и (ос) > О > а знакоположительную

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости движения для автономной системы

О>=00(37), (Вж5) где ОС Со)-О.

Теорема В Л /14/. Если для системы (В. 5) существует в области знакоопре деленная функция полная производная которой по времени 2У» взятая в силу системы (В. 5), является знакопостоянной функцией знака, противоположного знаку функции &, то положение равновесия ОС-О устойчиво в смысле Ляпунова.

Теорема В.2. Если для системы (В.5) существует знакоопреде-ленная функция полная производная которой по времени в силу системы (В.5) будет также знакооцределенной, знака, противоположного с г?", то положение равновесия ОС= О будет асимптотически устойчивым.

Проблема абсолютной устойчивости нулевого решения системы (В.1) впервые была поставлена в работе А.И.Лурье и В.Н.Постникова /34/. Вслед за этим А.И.Лурье /35/ разрешил эту задачу для одного широко распространенного класса регулируемых систем* В этих работах для решения задачи впервые было предложено использовать ФЯ вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности", где нелинейностью может быть любая кривая, расположенная в первом и третьем квадрантах фазовой плоскости.

Этот путь решения задачи развивался в ряде последующих работ А.М.Летова /28/, И.Г.Малкина /37/, Е.Н.Розенвассера /2/, В.А.Якубовича /2/, С.Лефшеца /32/ и др.

Принципиально другой подход к решению проблемы об абсолютной устойчивости положения равновесия был предложен В.М.Поповым в работах /52, 53/.

Развитию и применению частотного метода В.М.Попова было посвящено значительное количество работ.

В работе /38/ установлена связь между областями абсолютной устойчивости в пространстве параметров для системы третьего порядка.

В работах /38, 39, 41/ выделены широкие классы систем п -го порядка, для которых проблема Айзермана имеет положительное решение. Показано, что критерий В.М.Попова ^ >0 Усе?, (В.6) где с| - конечное действительное число; ^\)(/(са>)- видоизмененная частотная характеристика вида является лишь достаточным.

Позже Е.С.Пятницкий /56/ установил, что критерий В.М.Попова не является необходимым условием абсолютной устойчивости.

А.И.Лурье /35/, А.М.Летов /28/ исследовали на устойчивость системы прямого и непрямого управления. А.М#Лотовым, Е.Н.Розен-вассером /58, 59/ и Б.Ж.Майгариным /41/ рассмотрены системы управления с жесткими и тахометрическими обратными связями. Ими были получены достаточные условия абсолютной устойчивости на основе второго метода Ляпунова и частотного метода Попова.

Естественно, возникает вопрос исследования систем управления с учетом воздействия на объект и закон управления не только по координате и скорости, но и по ускорению исполнительных органов.

Актуальными остаются также задачи об оценке решений и времени переходного процесса таких систем.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

- получены алгебраические и частотные условия абсолютной устойчивости нулевого решения автономной САУ с обратными связями по координате, скорости и ускорению с одной и со многими стационарными нелинейностями на основе второго метода Ляпунова и Полова. Выявлена эффективность введения положительной обратной связи по ускорению исполнительного органа;

- получены алгебраические условия абсолютной устойчивости нулевого решения автономной САУ с обратными связями по координате, скорости и ускорению с одной стационарной нелинейностью в случае, когда матрица объекта имеет одно нулевое собственное значение. Для кошфетных примеров проведены численные расчеты на ЭВМ;

- найдены условия устойчивости решения автономной САУ в случае изодромного регулятора;

- на основе метода В.И.Зубова "кажущейся линеаризации" получены условия устойчивости неавтономной САУ с нелинейным объектом с одной стационарной нелинейностью;

- получены условия устойчивости САУ с нелинейным неавтономным объектом в области допустимых отклонений начальных данных;

- найдены оценки решений и времени переходного процесса САУ на основе метода Н.Г.Четаева и леммы Гронуолла-Беллмана;

Полученные в работе результаты могут быть использованы в теории устойчивости непрерывных нелинейных систем автоматического управления и регулирования, в частности для установления абсолютной устойчивости движения курсом корабля и продольным движением самолета.

1. Айзерман М.А. об одной проблеме, касающейся устойчивости в большом динамических систем. - Успехи мат. наук, 1949,т.4, вып.4, с.186-188.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Наука СССР, 1963. - 140 с.

3. Айкинов М.К., Майгарин Б.Ж. Абсолютная устойчивость установившихся движений управляемых систем в угле J О, fill . -Изв. АН КазССР, сер, физ.-мат., 1978, J& 5, с. 1-6.

4. Айкинов М.К., Майгарин Б.Ж. Абсолютная устойчивость установившихся движений регулируемых систем с обратными связями по координате, скорости и ускорению исполнительного органа.

5. В кн.: Тез. докл. Всесоюзн. конф. по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике. М.,1978, с.46-47.

6. Айкинов М.К., Майгарин Б.Ж. Абсолютная устойчивость управляемых систем с дифференцируемой нелинейностью. Всесоюзн. летняя школа по методу функций Ляпунова и его приложениям; Программа заседаний. - Иркутск, 1979, с.2.

7. Айкинов М.К., Майгарин Б.Ж. Абсолютная устойчивость управляемых систем со многими исполнительными органами. Изв.

8. АН КазССР, сер. физ.-мат., 1979, & 5, с.34-39.

9. Айкинов М.К. Абсолютная устойчивость возмущенных систем управления, В кн.: Тез. докл. Всесоюзной конф. по асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущенных уравнений. -Алма-Ата: Наука КазССР, 1979, с.86-88.

10. Айкинов М.К. Абсолютная устойчивость установившихся движений управляемых систем в угле В кн.: Теоретическиеи прикладные задачи математики и механики. Алма-Ата: Наука КазССР, 1979, с.3-8.

11. Айкинов М.К. Частотный 1фитерий абсолютной устойчивости управляемых систем. Изв. АН КазССР, сер. физ.-мат., 1980, № I, с.55-57.

12. Айкинов М.К. Оценка решений и времени переходного цро-цесса управляемых систем. Изв. АН КазССР, сер. физ.-мат., 1981, Л> I, с. 56-59.

13. Айкинов М.К. Абсолютная устойчивость регулируемых систем в критических случаях. В кн.: Дифференциальные уравнения и их приложения. - Алма-Ата: Наука КазССР, 1981, с. 8-15.

14. Анапальский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова. В кн.: Общая механика, т.2.1. М.,1975, с.53-111.

15. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука СССР, 1967. - 224 с.

16. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука СССР, 1970 - 240 с.

17. Баркин А.И., Зеленцовский А.Л. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных систем управления. Автоматика и телемеханика, 1981, № 7, с.5-10.

18. Бедельбавв А.К. Устойчивость нелинейных систем автоматического регулирования. Алма-Ата: Наука КазССР, 1980. - 164с.

19. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука СССР, 1969. - 352 с.

20. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. -М.: Наука СССР, 1979. 336 с.

21. Гантмахер Ф.Р., Якубович В.А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. Тр. П Всесоюзного съезда по теоретич. и црикладн. механике. - М.: Наука СССР, 1965, вып. I, с.30-63.

22. Гайдук А.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем с несколькими нелинейностями. Автоматика и телемеханика, 1976, № 6, с.5-11.

23. Еругин Н.П. Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования. Прикладная математика и механика, 1952, т.16, В 5, с.520-528.

24. Зубов В.й. К теории второго метода А.М.Ляпунова: Докл. АН СССР, 1954, с.99, № 3, с.341-344.

25. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. - 272 с.

26. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. - 212 с.

27. Кудавв М.Б. Абсолютная устойчивость регулируемых систем.: Уч. записки Кабардино-Балкарского ун-та, сер. физ.-мат., 1965, вып.24, с.144-145.

28. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. - 168 с.

29. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.-М.: Физматгиз, 1962. 484 с.

30. Летов A.M. Проблематика научных исследований в области автоматического управления. Автоматика и телемеханика, 1966, № 8, с.167-173.

31. Летов A.M. Некоторые нерешенные задачи теории автоматического управления. В кн.: Дифференциальные уравнения, 1970, т.6, J& 4, с.592-616.

32. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. -М.: Наука СССР, 1981. 256 с.

33. Лефшец С. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.-М.: Мир, 1967. 184 с.

34. Либерзон М.Р. Новые результаты по абсолютной устойчивости нестационарных регулируемых систем (обзор). Автоматика и телемеханика, 1979, № 8, с.29-48.

35. Лурье А.И., Постников В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем. Прикладная математика и механика, 1944, т.8, вып.З, с.246-248.

36. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951. - 216 с.

37. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 471 с.

38. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука СССР, 1966. - 432 с.

39. Майгарин Б.Ж. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования третьего порядка. Автоматика и телемеханика, 1963, т.24, № 6, с.5-14.

40. Майгарин Б.Ж. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования с тахометрической обратной связью. Автоматика и телемеханика, 1963, т.24, $ 9, с. 1202-I2II.

41. Майгарин Б.Ж., Майсаканов С.Ж. К проблеме абсолютной устойчивости систем автоматического управления третьего порядка. В кн.: Тез. докл. 1У Казахстанской межвузовской научн. конф. по математике и механике. Алма-Ата, 1971, с.4-5.

42. Майгарин Б.Ж. Устойчивость и качество процессов нелинейных систем автоматического управления. Алма-Ата:Наука КазССР, 1980. - 316 с.

43. Майгарин Б.Ж., Жуматов С.С. Абсолютная устойчивость программного многообразия и оценка показателей переходного процесса. В кн.: Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, № 4,с.613-623.

44. Матросов В.М. Развитие метода функций Ляпунова в теории устойчивости движения. В кн.: П Всесогозн. съезда по теоретической и прикладн. механике, вып.1. - М.: Наука СССР, 1965, с.112-125.

45. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. -М.: Наука СССР, 1976. 320 с.

46. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем. -М.: Наука СССР, 1972. 544 с.

47. Нелепин P.A., Тимофеев Ф.Н. Исследование нелинейных САУ курсом и успокоителем качка корабля. В кн.: Т.ЛВВМКУ. -Л.: 1970, вып. - 34 с.

48. Нелепин P.A. и др. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред.Р.А.Нелепина. М.: Наука СССР, 1975. - 448 с.

49. Немыцкий В.В. О проблеме качественного исследования в целом методами функций Ляпунова: Вестн. МГУ, сер. мех.-мат., вып.1, 1962, & 6, с.26-28.

50. Новое доказательство критерия устойчивости Рауса-Гур-вица, основанное на применении второго метода Ляпунова. Механика: Период, сб. переводов иностр. статей, 1964, В 4, с.22-31.

51. Персидский К.П. Об одной теореме Ляпунова: Докл. АН СССР, 1937, т.14, & 9, с.541-544.

52. Персидский C.K. К вопросу об абсолютной устойчивости. -Автоматика и телемеханика, 1969, № 12, с.5-11.

53. Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, 1961, £ 8, с.961-979.

54. Попов В.М. Об одном критическом случае абсолютной устойчивости. Автоматика и телемеханика, 1962, т.23, с.3-24.

55. Плисс В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом. Л.: Изд-во ЛГУ, 1958, - 184 с.

56. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования (обзор). Автоматика и телемеханика, 1968, № 6, с.5-36.

57. Пятницкий Е.С. О существовании абсолютно устойчивых систем, для которых не выполняются критерии В.М.Попова. Автоматика и телемеханика, 1973, lb I, с.30-37.

58. Разумихин B.C. 0 применении метода Ляпунова к задачам устойчивости. Прикладная математика и механика, 1958, т.22, Ш 3, с.338-349.

59. Розенвассер E.H. Замечания об одном способе построения функции Ляпунова. Прикладная математика и механика, I960,т.24, В 4, с.746-749.

60. Розенвассер E.H. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем. Автоматика и телемеханика, 1963, № 3, с.304-313.

61. Румянцев В.В. Метод функции Ляпунова в теории устойчивости движения. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. T.I. - М.: Наука СССР, 1968, с.7-66.

62. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. - 300 с.

63. Сёге Дж.П. Новые методы построения функций Ляпуновадля автономных систем с постоянными коэффициентами. В кн.: Теория непрерывных автоматических систем: Тр. П Международного конгресса ИФАК. - М.: Наука СССР, 1965, с.127-136.

64. Фишман В.М. О решении матричного уравнения Ляпунова. -Автоматика и телемеханика, 1981, № I, с.190-192.

65. Четаев Н.Г, Устойчивость движения. М. ,1965. 208 с.

66. Якубович В.А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем в критических случаях. Автоматика и телемеханика, ч.I, т.24, № 3, 1963, с.293-303.

67. Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем П. Автоматика и телемеханика, 1965, В 9, с.578-589.

68. Структурная схема САУ с обратными связями по координате, скорости и ускорению управляющих органов1. График нелинейности