Абсолютная устойчивость двумерных систем с гистерезисной функцией релейного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Евдокимов, Сергей Маратович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
08-3
ті
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИСТЕТ
На правах рукописи
ЕВДОКИМОВ Сергей Маратович
АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ С
ГИСТЕРЕЗИСНОЙ ФУНКЦИЕЙ РЕЛЕЙНОГО ТИПА
«
01.01.02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Санкт-Петербург 2008
Работа выполнена на кафедре прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.
Научный руководитель:
член-корреспондент Российской Академии Наук, доктор физико-математических наук, профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор ЧУРИН Юрий Васильевич (Санкт-Петербургский государственный университет)
кандидат физико-математических наук, доцент ЕРШОВ Евгений Константинович (Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет)
Ведущая организация:
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
Защита состоится « » ОюъЛ 200/г. в /В часов на заседании совета Д 212.232.49 по защите
докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199048, Санкт-Петербург, В.О., 14 линия, д. 29, математико-механический факультет, ауд. /3 ■
С диссертацией, можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.
Автореферат разослан « » 200
Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.49 доктор физико-математических наук чь/М^ХМА^^. A.A. Архипова
сси йская царственная іблиотека 2008
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. К изучению систем с релейно-гистерезисными нелинейностями приводит широкий 1фуг задан современной техники. Такие системы используются для описания динамики в системах управления химическими процессами, техническими устройствами, например, в корабельной энергетике, авиационной и космической промышленности. Характерная особенность релейных элементов состоит в том, что при прохождении управляющим сигналом некоторых пороговых значений управляющее воздействие изменяется скачком, а между скачками оно практически постоянно.
Одной из основных задач теории автоматического управления является определение значений параметров системы, при которых положения равновесия или стационарные множества системы являются устойчивыми. К этой задаче тесно примыкает задача нахождения периодических движений и автоколебаний в таких системах.
Первые теоретические исследования систем с гистерезисными нелинейностями появились в 40-е годы прошлого столетия в работах А.А.Андронова, Н.Н.Баутина, А.А.Витга, А.А.Фельдбаума и Ф.Краутвига и получили существенное развитие в последующие годы.
В работах А.А.Андронова, Н.Н.Баутина, А.Г.Майера для изучения поведения решений систем автоматического регулирования были развиты методы фазовой плоскости и фазового пространства, основные идеи которых были изложены еще в работах А.Пуанкаре и Г.Биркгофа, а также метод точечных отображений, который позволил полностью решить ряд классических задач теории управления и оказался эффективным при исследовании поведения решений двумерных систем с кусочно-линейными характеристиками. В дальнейшем метод точечных отображений был применен Ю.И.Неймарком, Н.А.Железцовым, А.А.Фельдбаумом и многими другими авторами к исследованию релейных систем с гистерезисом.
Общая теория систем с гистерезисом была существенно развита в работах В.А.Якубовича, М.А.Красносельского и А.В.Покровского.
Большое значение для исследования устойчивости нелинейных систем автоматического управления имеет второй метод А.М.Ляпунова, который широко применялся и развивался начиная с 30-х годов прошлого столетия Н.А.Еругиным, В.И.Зубовым, Н.Н.Красовским, А.И.Лурье, А.М.Летовым, В.А.Плиссом,
Я.З.Цыпкиным, В.А.Якубовичем и многими другими авторами. Основная трудность в применении этого метода состоит в построении функции Ляпунова, так как регулярных методов ее построения для
нелинейных систем не существует. Кроме того, второй метод Ляпунова, как правило, позволяет получить лишь достаточные условия устойчивости нелинейных систем.
В 1944 году в работе А.И.Лурье и В.Н.Постникова было впервые дано определение абсолютной устойчивости систем автоматического управления с нелинейностью, удовлетворяющей секторному условию. Там же был предложен метод исследования таких систем, в основе которого лежит второй метод Ляпунова. В работе Е.С.Пятницкого для получения необходимых и достаточных условий абсолютной устойчивости двумерной системы с секторной нелинейностью был применен принцип максимума Понтрягина.
В работах Я.З.Цыпкина, Д.В.Аносова, В.Г.Болтянского и Л.С.Понтрягина, А.Х.Гелига и других авторов методы А.М.Ляпунова были обобщены на системы с разрывными нелинейностями и, в частности, на релейные системы.
В 1959 году в работе румынского математика В.М.Попова был впервые доказан частотный критерий абсолютной устойчивости положения равновесия для систем с нелинейностью, удовлетворяющей секторному условию. В.А.Якубовичем критерий Попова был распространен на случай неоднозначных гистерезисных нелинейностей, А.Х.Гелигом - на системы с неединственным положением равновесия. Р.Е.Калман показал, что критерий Попова основан на идеях второго метода Ляпунова. Поэтому частотные критерии абсолютной устойчивости доставляют лишь достаточные условия устойчивости положений равновесия нелинейных систем.
Еще одним эффективным методом исследования устойчивости движения нелинейных систем является принцип систем сравнения, основы которого были заложены в работах С.А.Чаплыгина и Е.Камке. В теории автоматического управления идеи метода систем сравнения были использованы П.В.Бромбергом и Я.З.Цыпкиным, А.А.Фельдбаумом и другими авторами. Существенное развитие этот метод получил в работах Н.Н.Красовского, В.М.Матросова и Р.Беллмана.
В диссертационной работе с помощью метода систем сравнения находятся условия абсолютной устойчивости систем с релейно-гистерезисной нелинейностью.
Цель работы. Основной целью работы является получение необходимых и достаточных условий абсолютной устойчивости двумерных систем автомагического регулирования с нелинейностью релейно-гистерезисного типа.
Методы исследования. В работе использовались классические методы исследования фазового пространства автономных
дифференциальных систем на плоскости, второй метод исследования устойчивости A.M. Ляпунова, метод систем сравнения.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
1. Получены коэффициентные необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости двумерных систем с гистерезисной функцией релейного типа.
2. Получены коэффициентные необходимые и достаточные условия существования предельного цикла и устойчивости в целом стационарного множества двумерной релейной системы с положительным гистерезисом.
Практическая и теоретическая ценность. Работа в значительной степени носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для решения ряда теоретических задач и более детального изучения реальных релейных систем, где кусочно-линейные модели являются слишком упрощенными и требуется учет внешних воздействий.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседании Международного конгресса «Нелинейный динамический анализ», посвященного 150-летию со дня рождения академика А.М.Ляпунова (С.-Петербург, 4-8 июня 2007 г.), на Международной научной конференции «Космос, астрономия и программирование» (Лавровские чтения), посвященной 85-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР, профессора С.С.Лаврова (С.-Петербург, 2022 мая 2008 г.), на научной конференции «Герценовские чтения» в РГПУ имени А.И.Герцена (14-19 апреля 2008 г.), а также неоднократно докладывались на заседаниях Семинара под руководством члена-корреспондента РАН, профессора Г.А.Леонова Кафедры прикладной кибернетики Математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, перечисленных в конце автореферата. Работы [2, 4, 5] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.
В работе [3] (тезисах доклада), выполненной в соавторстве, соавтору Т.Е.Звягинцевой принадлежит идея доказательства, а соискателю принадлежит доказательство сформулированного утверждения.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 115 страницах, состоит из введения, двух глав, разбитых на 6 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 115 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, излагается история вопроса, формулируется определение абсолютной устойчивости для двумерных систем с гистерезисной нелинейностью, дается описание основных результатов диссертации и краткое изложение структуры работы.
В диссертации изучаются двумерные системы автоматического регулирования вида
[х = у
^ (1) \у = -ау-Рх-ч>[и<гъфа\,
где сг = ау+Ьх, </?[/, £Г, эд,] представляет собой релейно-гистерезисную функцию, изображенную на рис. 1.
.у
0
-X
- к
Рис. 1.
Гистерезисная функция (р[1,ссостоит из двух ветвей однозначных функций г) и ^(/,<т):
= (рх {и<У), если <7>-6, <р[1,(т,(р0\ = <р2{1,а), если о<5 (<?>0),
направление обхода петли гистерезиса указано на рис. 1 стрелками.
Считаем, что а>0 и /?> 0 (при (р[(,<7,%\ = 0 система (1) является асимптотически устойчивой), выполнено условие Ьг-ааЬ + а2р* 0 (передаточная функция системы является невырожденной). Не умаляя общности рассуждений считаем, что а £ О.
Пусть Л' < (Лсг) < М , -М < <р2 (',сг) й -Я, где Я, М - некоторые константы, О <Н <М .
Фазовая поверхность системы (1) с нелинейностью вида (2) состоит из двух листов: Р, ={(х,^):<т>-£} и Р2={(х,у):а<б],
перекрывающих друг друга в «зоне неоднозначности» —5 <<т<8.
Переход фазовой точки с первого листа на второй происходит по лучу Ьх = {(х,у):сг = — 3, < 0|, переход со второго листа на
первый - по лучу Ь2 = {(*,.у) \а = 6, а^^-о ^ °} ■
Решением системы (1) с нелинейностью (2) на листе Р{ является решение системы
\х = у
\у = -ау-рх-<рх{иа), (3)
на листе Р2 — решение системы
\х = у
} (4)
\у = -ссу-рх-<р2(1,а).
Предполагаем, что функции ^,(г,(т):В хВ ->Н (/=1, 2) таковы, что на листе Р\ выполнены условия существования и единственности решения системы (3), на листе Р2 — условия существования и единственности решения системы (4).
Решение системы (3) на листе Рь достигающее в момент
времени / = Г| луча Л, в некоторой точке (л:,,^), продолжается при / > т, на лист Р2 и является решением системы (4) с начальными данными (г1? ДГ|, ).
Аналогично, решение (4) на листе Р2, достигающее в момент t = т2 луча /,2 в точке (х2, у2), продолжается при I > т2 на лист Р, и является решением системы (3) с начальными условиями (г2, х2, у2).
Сформулируем определение абсолютной устойчивости систем вида (1) с релейно-гистерезисной нелинейностью (2).
Определение 1. Будем говорить, что гистерезисная функция ф\(,<т,<р^\, удовлетворяющая описанным выше условиям, является функцией класса м .
Введем в рассмотрение два отрезка:
J^={{x,y)■.-M|p<x<-S|p,y = 0},J1={{x,y)■.S|fЗ<x<M|P,y = 0}.
Заметим, что если при .t = jc0, >' = >'0 и некотором t =!() правые части системы (3) обращаются в ноль, то точка у^) принадлежит множеству J,. И каждая точка отрезка J\ является особой точкой системы (3) при <рх (t, сг) = с = comí, где S á с <i М .
Аналогично, если при х=х0, y = yo и некотором t = í0 правые части системы (4) обращаются в ноль, то (jc0, Д'о)6 ¿2 ■ И каждая точка J2 является особой точкой системы (4) при <p2{t,(y) = C = const, где -М <c<-S.
Если выполнено неравенство Sfi — Mb ¡> 0, то отрезок J, целиком лежит в Р], а отрезок J2 целиком лежит в Р2 ■
Определение 2. Множество © = J\ u J2 назовем сингулярным множеством для системы (1) с функцией (p\t,<J,% \ класса ■
Определение 3. Множество 0 называется устойчивьш множеством системы (1) с функцией класса , если для
любого £> 0 найдется такое 5> 0, что для каждого решения (л:(/), >*(/)) системы с начальными условиями ('у, -<о, Л)) выполнение
неравенства /?((*( ío),_y(/o)),0)<<? влечет за собой выполнение неравенства ¿>((дг(/), >■(/)),©)< Е для всех />/и.
Определение 4. Множество 0 называется устойчивым в целом множеством системы (1) с функцией (p\t,o,%\ класса К'¿¡jy , если оно
устойчиво и для каждого решения (*(/), системы
p((x{t), j/(í)), 0)->О при
Определение 5. Система (1) называется абсолютно устойчивой в классе нелинейностей А'«,, если для любой функции <p[t,(T,из этого класса множество 0 является для системы (1) устойчивым в целом.
В первой главе изучаются системы (1) с нелинейностью <p\t,<j,%\, которая является частным случаем нелинейности (2):
0,(l,er) = M, если сг>-S,
<p2(t,a) = -M, если о<,5.
В этой главе даны через коэффициенты системы необходимые и достаточные условия существования предельного цикла и устойчивости в целом стационарного множества системы (1) с нелинейностью (5). Глава носит вспомогательный характер, ее результаты используются во второй главе.
Во второй главе через коэффициенты системы даны необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости систем вида (1) с нелинейностью (2). Эти условия получены с помощью метода систем сравнения. В качестве систем сравнения рассматриваются системы с нелинейностью вида (5), изученные в первой главе.
Основные результаты первой главы при а > О сформулированы в теоремах 1-4 (случай а = О рассматривается аналогично). Сингулярное множество 0 в этом случае является стационарным множеством и состоит из двух состояний равновесия: 0 = (—МЦЗ, 0)и(Л4/;9,0), если 8р~МЬ^ 0. Если же 8(5-МЬ < 0, то состояний равновесия на листах Рх и Р2 нет.
Обозначим через Л,, \ корни характеристического уравнения положений равновесия (ТМ/Р,0): Л, = - а¡2 - ^а2/^-Р,
Л2=-а/2 + 7^/4-/9.
Теорема 1. Если 8р~МЬ< 0 (¿>0), то в системе (1) с нелинейностью (5) существует предельный цикл, «сшитый» из кусков траекторий систем (3) и (4).
Куски траекторий (3) и (4), образующие предельный цикл,
8 8т
>
сшивается в точках с координатами (±х0, ±у0) = ±-
V ат + Ь ат + Ь
лежащих на лучах и 1Л, где параметр т определяется из уравнения
1)
1 I
/ 1 / . .\ . го/ 1
МЛ[(ат + Ь) + 8р{т-&1) (МХг(ат+Ь) + 8р(т-Лг)Л\ ^МД, (ат + Ь) - 8р(т - \)) ~{мЛ2(ат + Ь)-8р(т-Л2)>
если а2 - 4/?>0;
2) ехр
( 2М8рт{ат + Ь)
1
(МЯ(ат + Ь)) -(8р(т-Л)) ^ если а2 -4/? = 0;
гМЛ(ат + Ь) + 8р{т-Х) V МЛ(ат+Ь)-8Р(т-А)J '
3)—In 2v
М2{ат + Ъ)2-2M5(am + b){P+mal2) + 82p[m2 +am + p) M2{am + bf + 2M8(am + b)(p+ma¡ 2) + S2p(m2 +am + /3)
/ \
1
-—arctg w
2M8wm(am + b)
яг(т) + ——, где w
M2(am + bf -S2p(m2 + am + p)
4(m) =M2 (am+¿)2 - + am + /?), r(m) = í°' ^ * И >
v ' [1, если £(w)< 0,
если a2 -4/?<0, /ij 2 = v±/'w.
Существование предельного цикла в системе (1) с нелинейностью (5) в случае SP — Mb < 0 следует из результатов статьи А.М.Камачкина (Дифференциальные уравнения. 1972. Т. VIII, № 8. С. 1505-1506). Уравнения в пунктах 1)-3) утверждения теоремы 1 получены соискателем.
Теорема 2. Пусть 6>0, SP~Mb> 0. Тогда
1) если а2 -4р>0, Á2>-b¡a, то стационарное множество 0 системы является устойчивым в целом;
2) если а} -4/?>0, ¿2 <—Ь/а, то существует такое значение ¿'(зависящее от значений остальных параметров), что при 8 >8* множество 0 является устойчивым в целом, а при 8 < 8 система имеет предельный цикл.
Значение 8 является решением уравнения
h
' 8p+M{2a^+b)\h-h 8p-Mb
<^ + М(2аЛ2+Ь)) ~ 8p + M(2aAj +b)'
и Mb/P<8* <-M(2aÁ2+b)/P\
3) если а2 -4Р = 0, Af =Á2 =Л >-bja, то стационарное
множество 0 системы является устойчивым в целом;
2 *
4) если а - \р = 0, Я < -Ь/а, то существует такое значение 8 ,
что при 8 >8* множество 0 является устойчивым в целом, а при 8 <8* система имеет предельный цикл.
Значение 8 является решением уравнения
ехр
2 МаЯ
зр-мь
' 8р + М(2аХ + Ьу
(7)
8Р + М(2аА + Ъ)
и МЬ/Р<5* <-М(2аЛ+Ь)/Р; 2
5) если а -4р<0, Д) 2 = 1'±/и>, то существует такое значение
8*, что при 8 >8* множество 0 является устойчивым в целом, а
при 8 <8 система имеет предельный цикл. *
Значение 8 является решением уравнения
( ( ( \ ^
ехр
агс
V ч V
-2 Мам
8Р + М(2а\' + Ь)
+ лг
8Р-МЪ
(8)
где г =
у1(8р + М(2а\' + Ь))2 +(2Мст)2 [О, если 8Р + М(2а\>+Ь)<0, [1, если 8Р + М(2ю + Ь)>0.
Теорема 3. Пусть МЬ-8р = 0(Ь>0). Тогда
1)если от2 - 4/? > О, > —Ь/а, то существует замкнутый контур, «сшитый» из кусков траекторий и особых точек системы;
2) если ¿у2 — 4/? > О, Д2 < -Ь/а, то в системе существует предельный цикл;
3) если а -4/7 = 0, Л, = ^ = Л > -Ь/а, то существует замкнутый контур, «сшитый» из кусков траекторий и особых точек системы;
4) если -4/7 = 0, Л<-Ь/а, то в системе существует предельный цикл;
л
5) если а -4/?<0, 2 = 1'±/и', то существует предельный
цикл.
Теорема 4. Пусть Ь < 0. Тогда существует такое значение 8*, что при 8 >8* стационарное множество В системы является устойчивым в целом, а при 8 < 8 в системе существует предельный цикл.
1) если от2 - 4/?>0, то 8 является решением уравнения (6) и 0<8* <-М{2аЛ1+Ь)/р-
2) если а -4/3 = 0, то 8 является решением уравнения (7) и 0<5* <-М(2аЛ + Ь)/Р\
л ф
3) если а -4/?<0, Ли = г + ш, то 8 является решением уравнения (8).
Во второй главе рассматривается система (1) с нелинейностью вида (2). Результаты второй главы при а> 0 сформулированы в теремах 5-8 (случай а = 0 рассматривается аналогично).
Теорема 5. Пусть Ь> 0, Зр - МЬ > 0 и выполнено одно из следующих условий 1-7:
1) а2-40>О, Л2>-Ь/а-,
2) а2 -4/3 > 0, Л^<-Ь/а и а^М + 8) + {8р + 8Ь)> 0;
3) а2 -4Р>0, Аг<-Ь/а, а^М + 8) + (ЗР + 8Ь)<0 и
¿2
а\{М + 8) + {5р + 8ЬУ а^М +8)+ (Зр + БЬ)
>(мь-зр)~
ехр
4) а2 -4/? = 0, Я1=Л2=Л>-Ь/а-
5) а2-4Р = 0, Л<-Ь/а и аЛ{М + ¿>) + {Зр + 8Ь) >0;
6)а2-4р = 0, Л<-Ь/а, аЛ{М + 8) + {Зр + ЯЬ)<Ои
аЛ{М+8) + {Зр + 8Ь)) к 1 ' ки >'
> [МЬ- ЗР) - ехрГ--■ (М - Я)(аА + Ь);
^ аЛ + Ь)
7) а2-4р<0, Л] 2 = V±/и' и
ехр^-(0, + 6>2)^• + + (ЗР + ЬЪ))2 + [ем{М + Л'))2 <
(9)
(10)
где в[
<
0, если £>0,
1, если £<0;
4 = а{аР + Ьу){М + 8) + {5р + 8Ь)(а\> + Ь). Тогда система (1) абсолютно устойчива в классе нелинейностей
Теорема 6. Если Ь> 0, - МЬ > 0 и ни одно из условий 1-7 теоремы 5 не выполнено, то найдется функция класса К^^
такая, что в системе (1) существует предельный цикл.
Теорема 7. 1) Если МЬ< О, то найдется функция (р\і,ст,%\ класса такая, что в системе существует предельный цикл.
2) Если 8Р~МЬ = 0, то найдется функция класса
К^м такая, что в системе существует предельный цикл или
замкнутый контур, «сшитый» из кусков траекторий и особых точек системы.
Теорема А Пусть Ь < 0 и выполнено одно из следующих условий 1-5:
Тогда система (1) абсолютно устойчива в классе нелинейностей КН,М ■
1) О2 -4/?>0 и аЛ2(Л/+Л,) + (^ + 5й)>0;
2) а2 - 4/7 > 0, аЛ} (М + 5) + (¿¡0 + ЯЬ) < 0 и верно (9);
3)0^-4/7 = 0 и аХ(М+$) + (ёр + 8Ь)> 0;
4) аг2 -4/? = 0, аА(М +Я) + {5Р + $Ь)<0 иверно(Ю);
5) а2 - 4р < 0 и верно неравенство (11).
Если ни одно из условий 1-5 не выполняется, то найдется функция из класса такая, что в системе (1) существует
предельный цикл.
Теоремы 5-8 дают необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости системы (1) с нелинейностью вида (2) при различных соотношениях коэффициентов системы.
Таким образом, в работе полностью решена задача определения абсолютной устойчивости двумерных систем автоматического регулирования с нелинейностью рассмотренного типа.
ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Евдокимов С.М. Необходимые и достаточные условия существования предельного цикла в двумерной системе с гистерезисом / В сборнике «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2008». СПб. : Изд-во БАН, 2008. С. 35-39.
2. Евдокимов С.М. Абсолютная устойчивость двумерных систем с гистерезисной функцией релейного типа // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. I. 2008. Вып. 3. С. 132-135.
3. Евдокимов С.М. Звягинцева Т.Е. Существование предельного цикла в системе с гистерезисной функцией релейного типа / Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ -2007». Тезисы докладов. Санкт- Петербург, 4-8 июня 2007 г. С. 365.
4. Евдокимов С.М. Устойчивость в целом двумерной релейной системы с гистерезисом // Электронный журнал «Дифференциальные уравнения и процессы управления». 2008. № 2. С. 1-18.
5. Евдокимов С.М. Абсолютная устойчивость двумерных систем с одной гистерезисной нелинейностью // Электронный журнал «Дифференциальные уравнения и процессы управления». 2008. №3. С. 1-19.
Подписано в печать 10.09.08. Формат 60 х 84 '/и- Бумага офсетная. Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4278. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГ'У 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр. 26.
2007512130
2007512130
Введение.
Глава 1. Необходимые и достаточные условия существования предельного цикла в двумерной релейной системе с гистерезисом.
§ 1. Существование предельного цикла в случае а > 0, Ь> 0, д/3-МЬ<
§2. Условия устойчивости в целом стационарного множества и существования предельного цикла в случае а > 0, Ъ > 0, д/З - МЬ > 0.
§3.Случай а > О, Ъ> 0, 5/3 - МЬ = 0.
§4. Условия устойчивости в целом стационарного множества и существования предельного цикла в случае а > 0, Ъ< 0 и в случае а-0.
Глава 2. Абсолютная устойчивость двумерных систем с гистерезисной функцией релейного типа.
§ 1. Системы сравнения. Условия абсолютной устойчивости в случае <2>0,6>0.
§2. Условия абсолютной устойчивости в случае а> О, Ь< 0 и в случае а = 0.
К изучению систем с релейно-гистерезисными нелинейностями приводит широкий круг задач современной техники. Такие системы используются как для описания динамики в стационарных системах управления химическими процессами, техническими устройствами, так и в системах управления подвижными объектами, например, в корабельной энергетике, авиационной и космической промышленности [см., например, 14, 39, 66, 92].
По своему принципу работы релейные системы являются нелинейными. Структурную схему релейной системы представляют обычно в виде соединения линейной части системы и релейного элемента. Линейная часть включает в себя исполнительное устройство, регулируемый объект, управляющее, измерительное, задающее и сравнивающее устройства и различные внутренние связи. Релейный элемент представляет собой усилительное устройство, первостепенное значение здесь имеет повышение уровня энергии выходной величины. Характерная особенность релейных элементов [92] состоит в том, что при прохождении управляющим сигналом некоторых пороговых значений управляющее воздействие изменяется скачком, а между скачками оно практически постоянно. Это обстоятельство приводит к своеобразию методов исследования релейных систем.
Первые теоретические исследования систем с гистерезисными нелинейностями появились в 40-е годы прошлого столетия в работах А.А.Андронова, Н.Н.Баутина, А.А.Витта, А.А.Фельдбаума и Ф.Краутвига [10-12, 85, 86, 105] и получили существенное развитие в последующие годы.
В работах А.А.Андронова, Н.Н.Баутина, А.Г.Май ера [10, 11] для изучения поведения решений систем автоматического регулирования были развиты методы фазовой плоскости и фазового пространства, основные идеи которых были изложены еще в работах А.Пуанкаре и Г.Биркгофа, а также метод точечных отображений, который позволил полностью решить ряд классических задач теории управления и оказался эффективным при исследовании поведения решений двумерных систем с кусочно-линейными характеристиками.
В дальнейшем метод точечных отображений был применен Ю.И.Неймарком [67, 68], Н.А.Железцовым [10], А.А.Фельдбаумом [85, 86] и многими другими авторами к исследованию релейных систем автоматического управления. На основе этого метода Р.А.Нелепиным [69] был разработан метод сечений пространства параметров, позволивший провести исследование систем выше второго порядка.
Одной из основных задач теории автоматического управления является определение значений параметров системы, при которых положения равновесия или стационарные множества системы являются устойчивыми.
Теория устойчивости движения динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, были создана в конце XIX века А.М.Ляпуновым [57]. Большое значение для исследования устойчивости нелинейных систем автоматического управления имеет второй метод Ляпунова, который широко применялся и развивался начиная с 30-х годов прошлого столетия Н.А.Еругиным [34], В.И.Зубовым [36], Н.Н.Красовским [41, 42], А.И.Лурье [54 - 56], А.М.Летовым [52], В.А.Плиссом [73, 74], Я.З.Цыпкиным [89-92], В.А.Якубовичем [94-98] и многими другими авторами. Основная трудность в применении этого метода состоит в построении функции Ляпунова, т.к. регулярных методов ее построения для нелинейных систем не существует. Кроме того, второй метод Ляпунова, как правило, позволяет получить лишь достаточные условия устойчивости нелинейных систем.
В 1944 году в работе А.И.Лурье и В.Н.Постникова [56] было впервые дано определение абсолютной устойчивости систем автоматического управления с нелинейностью, удовлетворяющей секторному условию
0 < (р^,а)сг < кет2 для еК, УсгеК. Там же был предложен метод исследования таких систем, в основе которого лежит второй метод Ляпунова. Развитие этого метода и его применение для решения ряда практических задач было дано в работах А.И.Лурье, А.М.Летова, М.А.Айзермана [1-6] и других авторов.
В работе Е.С.Пятницкого [81] для получения необходимых и достаточных условий абсолютной устойчивости двумерной системы с секторной нелинейностью был применен принцип максимума Понтрягина. Позже А.П.Молчановым и Е.С.Пятницким [64, 65] с помощью аппарата функций Ляпунова найдены необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости таких систем.
В работах Я.З.Цыпкина [89-92], Д.В.Аносова [13], В.Г.Болтянского и Л.С.Понтрягина [21], А.Х.Гелига [28-31] и других авторов методы А.М.Ляпунова были обобщены на системы с разрывными нелинейностями и, в частности, на релейные системы.
В 1959 году в работе румынского математика В.М.Попова [109] был впервые доказан частотный критерий абсолютной устойчивости положения равновесия для систем с нелинейностью, удовлетворяющей секторному условию. В.А.Якубовичем [94-98] критерий Попова был распространен на случай неоднозначных гистерезисных нелинейностей, В.М.Поповым и А.Халанаем [77-79] - на системы с запаздыванием, А.Х.Гелигом [29, 30, 32] - на системы с неединственным положением равновесия и системы с распределенными параметрами, Я.З.Цыпкиным - на нелинейные импульсные системы.
Р.Е.Калман [103] показал, что критерий Попова тоже основан на идеях второго метода Ляпунова. Поэтому частотные критерии абсолютной устойчивости доставляют лишь достаточные условия устойчивости положений равновесия нелинейных систем.
Еще одним эффективным методом исследования устойчивости движения нелинейных систем является принцип систем сравнения, основы которого были заложены в работах С.А.Чаплыгина [93] и Е.Камке [104]. В теории автоматического управления идеи принципа сравнения были использованы П.В.Бромбергом и Я.З.Цыпкиным [24], А.А.Фельдбаумом [85] и другими авторами. Существенное развитие этот метод получил в работах Н.Н.Красовского [41, 42], В.М.Матросова [61, 62] и Р.Беллмана [99].
В работах Г.А.Леонова [49, 50] показано, что с помощью метода систем сравнения и метода сшивания трансверсальных кривых из линий уровня нескольких различных функций ляпуновского типа можно получить новые результаты в решении многих прикладных нелинейных задач. В этих работах методом систем сравнения получены легко проверяемые необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости систем с нелинейностью, удовлетворяющей секторному условию. Описанная здесь методика эффективнее и проще, чем используемая в работах [64, 65, 81].
К задаче определения устойчивости положений равновесия нелинейных систем тесно примыкает задача нахождения периодических движений и автоколебаний в таких системах.
Одной из первых работ по изучению периодических режимов в задачах автоматического управления была работа И.А.Вышнеградского, опубликованная в 1878 году [27].
Термин «автоколебания» был введен А.А.Андроновым. Задаче исследования автоколебаний, определения условий их существования была посвящена обширная литература начиная с 30-х годов прошлого столетия в связи с развитием радиотехники. Исследования, изложенные в работах А.А.Андронова, А.А.Витта, А.Г.Майера [10-12], Б.В.Булгакова [22, 23], А.М.Летова [52], И.Г.Малкина [59, 60], А.И.Лурье [54, 55], М.А.Айзермана [1, 2] и других авторов, были основаны на методе малого параметра А.Пуанкаре и методе медленно меняющихся коэффициентов Ван-дер-Поля. Указанные методы достаточно громоздки и не позволяют в общем виде решить задачу нахождения периодических решений. Исследование устойчивости периодических режимов также является аналитически сложным и в общем случае сводится к рассмотрению характеристического уравнения, имеющего вид определителя бесконечного порядка.
Необходимость исследования двумерных систем автоматического управления, а также систем более высокого порядка, для решения прикладных инженерных задач привела к созданию ряда приближенных методов [22, 23, 66, 100], среди которых особое место занимает метод гармонического баланса или гармонической линеаризации. Теоретические основы и математическое обоснование этого метода было дано в работах Н.М.Крылова и Н.Н.Боголюбова [44] и ряде более поздних работ [80, 82, 90, 92]. Е.П.Поповым было показано, что в некоторых случаях первое приближение может дать неверный результат, и только изучение приближений более высокого порядка позволяет сделать правильные выводы о поведении решений в системе.
В конце 50-х годов М.А.Айзерманом и Ф.Р.Гантмахером [3, 4] был разработан метод определения периодических решений в системах автоматического регулирования произвольного порядка с кусочнолинейными характеристиками в виде рядов Фурье. С помощью этого метода задача сводится к решению системы трансцендентных уравнений -уравнений периодов.
А.И.Лурье в 1947 году [54] разработал метод определения автоколебаний и их устойчивости в релейных системах, который опирается на метод припасовывания. Я.З.Цыпкин в 50-х годах прошлого столетия [89, 90] разработал для релейных систем метод исследования автоколебаний, не имеющих переключений внутри периода, основанный на использовании частотных представлений. Этот метод был развит и использован для изучения различных релейных систем в более поздних работах и обобщен Я.З.Цыпкиным на случай вынужденных движений в релейных системах. Позже в монографии Я.З.Цыпкина [92] были изложены результаты, позволяющие исследовать случаи несимметричных сложных периодических режимов и определять их локальную устойчивость.
В 1953 году Ю.И.Неймарком [67, 68] была разработан общий метод исследования симметричных и сложных несимметричных периодических режимов в релейных системах произвольного порядка, основанный на изучении точечного преобразования многомерного гильбертова пространства в себя.
Ряд важных результатов по исследованию двумерных систем с гистерезисом был получен также в более поздних работах [26, 32, 35, 40, 47, 48, 70, 102 и др.]. Современный этап развития теории автоматического управления характеризуется анализом, систематизацией и пересмотром материала, накопленного за десятилетия ее существования, и созданием новых, более общих и содержательных методов исследования.
В данной работе изучаются двумерные системы автоматического управления вида
X = у
Г 1 (0.1) y = -ccy-ßx-(p[t,cj,<p0\, где су = ау + Ьх, (p\t,<7,(po\ представляет собой релейно-гистерезисную функцию, изображенную на рис. 0.1.
Строгое общее определение гистерезисных нелинейностей введено в работах В.А.Якубовича [94, 96], М.А.Красносельского и А.В.Покровского [43]. Значение функции зависит от t, функции сг(7) и от начального значения щ.
В нашем случае гистерезисная функция состоит из двух ветвей однозначных функций <рх (t,cr) и <р2 (t,<j): р\г,а,(рЛ - (рх (t,<j), если a>-S,
0.2) p\t,cj,(p()\-(p2{t,cr), если <j<ö (<5">О), направление обхода петли гистерезиса указано на рисунке 0.1 стрелками.
Рис. 0.1.
Если а0>8, то =<^(0,сго); если сг0<-8, то <р0 = {р2(0,(т0); в случае —8 < <Тд < 8 множество начальных значений состоит из двух точек:
Пусть £ < д\ (?, сг) < М, -М < (р2 <т) < , где М - некоторые константы, 0 < < М.
Считаем, что а> 0 и /?>0, т.е. при = 0 система (0.1) является асимптотически устойчивой. Предполагаем также, что выполнено условие Ь2 - ааЬ + а2/? ф 0, т.е. передаточная функция IV(р) = + ^р + ар+ р системы (0.1) является невырожденной.
Фазовая поверхность системы (0.1) с нелинейностью вида (0.2) состоит из двух листов: Р] =|(х,>'):сг>-^| и Р2=\(х,уу.(7 <8}, перекрывающих друг друга в «зоне неоднозначности» -8 <сг<8.
Переход фазовой точки с первого листа на второй происходит по лучу Ьх = {(х,у):сг = -8.&\а. > ¿¡о <01, переход со второго листа на первый - по лучу 12={(х,у):сг = 8,&1а>#0>0} (рис. 0.1).
Решением системы (0.1) с нелинейностью (0.2) на листе Р1 является решение системы х - у ч (0.3) у = -ау-0х-<р1у,ст), на листе Р2 - решение системы х = у Ч (0-4) у=-ау- Рх-<р2[г,ст).
Предполагаем, что функции (р • (V, сг): М х Е М (/ = 1, 2) таковы, что на листе Р1 выполнены условия существования и единственности решения системы (0.3), на листе Р2 - условия, существования и единственности решения системы (0.4).
Решение системы (0.3) на листе Р{, достигающее в момент времени 1 = тх луча в некоторой точке (д^,^), продолжается при г>тх на лист Р2 и является решением системы (0.4) с начальными данными (г15 х,,^).
Аналогично, решение (0.4) на листе Р2, достигающее в момент ¿ = г2 луча Ь2 в точке (х2,у2), продолжается при 1>т2 на лист Рх и является решением системы (0.3) с начальными условиями (т2,х2,у2).
Сформулируем определение абсолютной устойчивости двумерных систем вида (0.1) с релейно-гистерезисной нелинейностью (0.2). Это понятие используется в работах прикладного характера для нелинейностей, не удовлетворяющих секторному условию (например, [14-17]), но строгого определения в литературе нет.
Определение 1. Будем говорить, что гистерезисная функция удовлетворяющая описанным выше условиям, является функцией класса
Не умаляя общности рассуждений можно считать, что а > 0. Для доказательства этого в системе достаточно сделать замену х -> -х, у —> -у, а-*-а, Ь->-Ь и заметить, что функция -<р[г,-<т,<р0] тоже принадлежит классу К8М.
Введем в рассмотрение два отрезка: ^={{х,у)-.-МЦЗ<х<-81р,у = 0} и ^ = {{х,у)-.51р<х<М1Р,у = о} .
Заметим, что если при х = х0, у = Уо и некотором ( = правые части системы (0.3) обращаются в ноль, то точка (х0, уо) принадлежит множеству У,. И каждая точка отрезка является особой точкой системы (0.3) при = с = где Б <с<М.
Аналогично, если при х = х0, у^уо и некотором t = tQ правые части системы (0.4) обращаются в ноль, то (х05 .Уо) • И каждая точка J2 является особой точкой системы (0.4) при = с = где
-М < с <-Б.
Если выполнено неравенство §Р - МЬ > 0, то отрезок J■í целиком лежит в Р1, а отрезок целиком лежит в Р2.
Определение 2. Множество 0 = ^ и </2 назовем сингулярным множеством для системы (0.1) с функцией класса м.
Определение 3. Множество 0 называется устойчивым множеством системы (0.1) с функцией <р[/\,сг,(^0] класса если для любого б>0 найдется такое £>0, что для каждого решения системы с начальными условиями Л)) выполнение неравенства
0^ < 8 влечет за собой выполнение неравенства
У^У), ©) < 8 длявсехГ>^0.
Определение 4. Множество 0 называется устойчивым в целом множеством системы (0.1) с функцией класса К5 м, если оно устойчиво и для каждого решения системы .у(/)),0)->-О при
Определение 5. Систему (0.1) назовем абсолютно устойчивой в классе нелинейностей К5 ^, если для любой функции из этого класса множество 0 является для системы (0.1) устойчивым в целом.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
В первой главе рассматриваются системы (0.1) с нелинейностью ^[^сг,^], изображенной на рис. 0.2, которая является частным случаем нелинейности (0.2). В этом случае р\1,<у,срЛ = М, если а >-8,
1 (°-5) р^,сг,(р0\ = -М, если а <8,
Системы с такой нелинейностью возникают при исследовании большого числа прикладных задач и хорошо изучены. Н.А.Железцовым [10] методом точечных отображений изучена такая система при условии ¡5 = 0. В монографии В.И.Зубова [36] с использованием второго метода Ляпунова показано, что в системе существует предельный цикл при достаточно малых <5*> 0, но точные границы для 8 не определяются. В работе А.М.Камачкина [38] доказано существование сшитого предельного цикла в системе при выполнении условия МЬ-5/3> 0. В работе В.А.Якубовича, Н.Е.Барабанова [17] приведены полученные с помощью частотных методов условия устойчивости в целом стационарного множества такой системы, которые являются лишь достаточными условиями.
Л/ Г м
Рис. 0.2.
В первой главе работы даны через коэффициенты системы необходимые и достаточные условия существования предельного цикла и устойчивости в целом стационарного множества системы (0.1) с нелинейностью (0.5). Результаты получены с помощью исследования фазового пространства автономных дифференциальных систем на плоскости. В зависимости от коэффициентов системы изучаются все возможные случаи расположения траекторий на листах фазовой поверхности. Эта глава носит вспомогательный характер, ее результаты используются во второй главе.
Основные результаты первой главы при а > 0 сформулированы в теоремах 1-4. Случай а = 0 рассмотрен в теореме 5.
В случае нелинейности (0.5), где = (р2(/,сг) = -М, системы
0.3) и (0.4) имеют вид у у - -ау - ¡Зх-М
0.6) на листе Рх, и на листе Рп х = у
I у = -ау - /Зх + М
0.7)
Сингулярное множество 0 в этом случае является стационарным множеством и состоит из двух состояний равновесия: ® = (гМ/0,О)и(М/0,О), если дР - МЬ > 0. Если же 8$-МЬ< 0, то состояний равновесия на листах Рх и Р2 нет.
Характеристическое уравнение положений равновесия (+М/Р,0) о систем (0.6) и (0.7) имеет вид: Л +аЛ + Р = 0, его корни: Л1 =-а/2-у1сс2/4-/3 , Я^ = -а/2 + ^а2 ¡4-р .
Теорема 1. Пусть а> 0. Если 5Р~МЬ< 0 (¿>0), то в системе (0.1) существует предельный цикл, сшитый из кусков траекторий систем (0.6) и (0.7). Куски траекторий (0.6) и (0.7), образующие предельный цикл, .
8т сшиваются в точках с координатами (±^,±>»0)= , ат + Ь' ат + Ъ лежащих на лучах Ь2 и , где параметр т определяется из уравнения
1)
МЛ\ (ат + Ь) + 8р(т-Л1) М\ [ат + Ь) - Зр(т - Л1) если а2 -4/?>0; 1
2) ехр
2М8рт(ат + Ъ)
МЛ1(ат + Ь) +8р(т-Л2) Ц МЛ2 (ат + Ь)~ 8р(т -Л2)
МЛ(ат + Ь) + ЗР(т- Л)
МЛ(ат + Ь) - 5р(т - Л)
МЛ(ат + Ь)) - (8р{т - Л)) если а" -4/? = 0;
М2(ат + Ь)2 -2М8(ат + Ь)(р+та/2) + 82р[т2 + ат + р^ М2 (ат + Ъ)2 + 2М8(ат + Ъ)(Р+та! 2) + 82р(т2 + ат + /?)
3) — 1п 2у 1 —аг м?
2 М5м;т(ат + Ь)
М2 (ат + Ъ)2 - 82р{т2 + ат + р} жг(т) м? ч ?/ ч2 9/9 N / ч Го» еСЛИ #М>0, где ^(т) = М (ат + Ь) -3 Р[т +ат + Р), г(т) = \ v ' [1, если ^(т)< 0, о если а - 4/? < 0,
Теорема 2. Пусть а > 0, Ъ > 0, 8Р - МЪ > 0. Тогда
1) если а2 -4Р > 0, Л^>-Ь/а, то стационарное множество 0 системы является устойчивым в целом;
2) если а -4/?>0, Л^к-Ь/а, то существует такое значение * *
8 (зависящее от значений остальных параметров), что при 5 > 5 множество 0 является устойчивым в целом, а при 8 < 8 система имеет предельный цикл.
Значение 8 является решением уравнения
Л1
8/3-МЬ 8/3 + М(2аЛ]+Ь) и МЬ//3<8* <-М(2аАъ+Ь)/Р;
8/3 + М(2а\+ъу
0.8)
3) если а - 4/? = 0, \ = ~ ^ >~Ь/а, то стационарное множество © системы является устойчивым в целом;
9 *
4) если а -4/3 = 0, Л<-Ь/а, то существует такое значение 8 , что при 8 >8 множество 0 является устойчивым в целом, а при 8 <8 система имеет предельный цикл. *
Значение 8 является решением уравнения г . . . \ ехр
2 МаЛ
8(5-МЬ
0.9)
8Р + М(2аХ + Ь)) 8/3 + М{2аЛ + Ъ) ' и МЪ/Р<8* <-М(2аЛ + Ь)/0; о *
5) если а -4/?<0, то существует такое значение 8 , что при 8> 8 множество 0 является устойчивым в целом, а при 8<8 система имеет предельный цикл.
Значение 8 является решением уравнения л лл лг ехр г / v и> v
-2 Мам>
8/3 + М{2ау + Ъ)
1)
8/3-МЬ М (2ау + Ь))2 + (2 Мам>)2
0.10) где г
0, если 8/3 + М(2м + Ъ)<0,
1, если 8/3 + М(2ау + Ь)> 0.
Теорема 3. Пусть а> 0, МЬ-8р- 0 (6 > 0 ). Тогда
1) если а2- 4/3 > 0, ?^>-Ъ/а, то существует замкнутый контур, сшитый из кусков траекторий и особых точек систем (0.6) и (0.7); г\
2) если а -4/3>0, Л2 то в системе существует предельный цикл;
3) если а2 -4/? = О, Я] = = Я >-Ь/а, то существует замкнутый контур, сшитый из кусков траекторий и особых точек систем (0.6) и (0.7).
4) если а2 -4/? = О, Х<-Ь/а, то в системе существует предельный цикл; 2
5) если а -4/3 <0, = , то существует предельный цикл, сшитый из кусков траекторий систем (0.6) и (0.7).
Теорема 4. Пусть а > 0, Ъ< 0. Тогда существует такое значение 5 , что при 8 > 8 стационарное множество 0 системы является устойчивым в целом, а при 8 <8 в системе существует предельный цикл.
9 *
1) если а — 4/? > 0, то 8 является решением уравнения (0.8) и 0<8* <-М(2аЯ2 + Ь)//3;
2) если а -4/? = 0, то с> является решением уравнения (0.9) и 0</ <-М{2аЯ + Ь)/р-,
9 *
3) если а — 4/?<0, ^ 2 = то £ является решением уравнения (0.10).
Теорема 5. Пусть а = 0, Тогда
1) если Ъ > 0, - МЪ < 0, то в системе существует предельный цикл, сшитый из кусков траекторий систем (0.6) и (0.7); 9
2) если ¿>0, 8/3-МЬ = 0, то в случае « -4/3>0 в системе существует замкнутый контур, сшитый из кусков траекторий и особых точек 9 систем (0.6) и (0.7), а в случае а - 4/3 < 0 в системе существует предельный цикл; 9
3) если Ь> 0, 8/3-МЬ> 0, то в случае а -4/?>0 множество 0 2 является устойчивым в целом, а в случае а - 4/? < 0 существует такое * значение 8 , что при 8 > 8 множество 0 является устойчивым в целом, и при 8 <8 в системе существует предельный цикл. Значение 8 определяется равенством
5*=
МЪ(\ + ехр (уя/м>)) /?(1-ехр(у;г/и>))
0.11)
4) если Ъ < 0, то стационарное множество 0 системы является устойчивым в целом.
Во второй главе работы через коэффициенты системы даны необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости систем вида (0.1) с нелинейностью (0.2). Эти условия получены с помощью метода систем сравнения. В качестве систем сравнения рассматриваются системы с нелинейностью вида (0.5), изученные в первой главе.
Результаты второй главы сформулированы в теоремах 6-10.
Теорема 6. Пусть а> 0, Ь> 0, 5(3-МЬ> 0 и выполнено одно из следующих условий 1-7:
1) а2 -4/3 > 0, >-Ь/а;
2) а2-4@>0, Л^к-Ь/а и аЛ2(М + 5) + (^ + 5,б)>0;
3) а1 -4(3 > 0, ¿2<-Ь/а, а^М + 8) + (5(3 + БЪ) < 0 и л. а\ (М + £) + (5(3 + БЬ) а&1(М + 8) + (5(3 + 8Ъ)
МЬ- 5(3) аЛх(М + 8) + (др + 8Ъ)) а\ +Ь аЛ^ + Ь
М-8)(аЛх+Ъ)\ (0.12)
4) а2 - 4(3 = 0, Л1 = Л2 = Л> -Ь/а;
5) а2-4(3 = 0, Л<-Ъ(а и аЛ(М + 8) + (5/3 + 8Ъ)> 0;
6) а2-4(3 = Ъ, Л <-Ь(а, аЛ(М + 8) + (5(3 + 8Ъ)<0 и аЛ(М + 8) ехр аЛ(М + 8) + (5р + 8Ъ) аЛ(М + 8) + (5р + 8Ь))
МЪ - 5(3) - ехр аЛ аЛ + Ь
М-8)(аЛ + Ь); (0.13)
7) ос -4(3 < 0, и ехр в\ + 0г)]' + + {ЯР + ^¿>))2 + [ам>(М + Б))2 <
•(М-8)^а2р + 2аЪу + Ь2 , (0.14)
5>/?-М>)-ех р V
Vм7 у где <9] = ам>(др-МЪ) гх =
0, если Е, > О,
1, если % < 0; ЯТ|, в2 =
О, если ау + Ъ < О, -он; Л ау + Ь 7ГГ 2,
1, если ау + Ь> 0;
Тогда система (0.1) абсолютно устойчива в классе нелинейностей
Я" б,м
Теорема 7. Если а > 0, £ > 0, ¿>/? - МЬ > 0 и ни одно из условий 1 -7 теоремы 5 не выполнено, то найдется функция класса м такая, что в системе (0.1) существует предельный цикл.
Теорема 8. 1) Если а > 0, 5р~ МЬ < 0, то найдется функция ср\г, сг,<р0 ] класса м такая, что в системе (0.1) существует предельный цикл.
2) Если 8р~МЬ- 0, то найдется функция класса такая, что в системе (0.1) существует предельный цикл или замкнутый контур, «сшитый» из кусков траекторий и особых точек системы.
Теорема 9. Пусть а> 0, Ъ< 0 и выполнено одно из следующих условий 1-5:
1) а2 - Ар > 0 и ¿^(Л/Ч 5)+ (#? + ££)> 0;
2) а2-4Р>0, аАъ(М+ 8) + (Зр + 8Ъ)< 0 и верно неравенство (0.12);
4) а2 -АР = 0, + £) + (£/? +£6) < 0 и верно неравенство (0.13); о
5) от - 4/? < 0 и верно неравенство (0.14).
Тогда система (0.1) абсолютно устойчива в классе нелинейностей К
5,А/ •
Если ни одно из условий 1 - 5 не выполняется, то найдется функция (p\t,<j,(pь] из класса Ks ¡^ такая, что в системе (0.1) существует предельный цикл.
Теорема 10. Пусть af = 0, b Ф 0. Тогда
1) если Ь> 0, 8ß-Mb<Q, то найдется функция класса KS M такая, что в системе (0.1) существует предельный цикл;
2) если ¿>>0, Sß-Mb = 0, то найдется функция <£>[/, сг,%] класса KS M такая, что в системе (0.1) существует предельный цикл или замкнутый контур, сшитый из кусков траекторий и особых точек системы; о
3) если Ъ> 0, öß-Mb> 0, то в случае а — 4/?>0 система (0.1) абсолютно устойчива в классе нелинейностей Kgj^. В случае а - 4/? < 0 существует такое значение 8 , что при 8>8 система (0.1) абсолютно устойчива в классе нелинейностей KSM, а при 5 <8 найдется функция (p\t,<7,(po\ класса KS M такая, что в системе (0.1) существует предельный цикл. Значение 8 определяется равенством (0.11);
4) если ¿<0, то система (0.1) абсолютно устойчива в классе нелинейностей
Таким образом, в теоремах 6-10 изучен вопрос об абсолютной устойчивости систем (0.1) с нелинейностью вида (0.2) при всех возможных соотношениях значений коэффициентов системы. В теоремах 6-9 рассмотрен случай а > 0, в теореме 10 - случай а = 0.
Результаты работы изложены на 115 страницах, являются новыми и могут быть использованы для решения ряда теоретических задач и более детального изучения реальных релейных систем, где кусочно-линейные модели становятся слишком упрощенными и требуется учет внешних воздействий.
Главы разбиты на параграфы, первая глава состоит из четырех параграфов, вторая - из двух параграфов. Список литературы содержит 115 наименований.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [111-115]. В работе [113] (тезисах доклада), выполненной в соавторстве, соавтору Т.Е.Звягинцевой принадлежит идея доказательства, а соискателю принадлежит доказательство сформулированного утверждения. Работа [112] опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК.
Результаты работы носят в основном теоретический характер и могут быть использованы для решения ряда теоретических задач и более детального изучения реальных релейных систем, где кусочно-линейные модели являются слишком упрощенными и требуется более точный учет внешних воздействий.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в работе полностью решена задача определения абсолютной устойчивости двумерных систем автоматического регулирования (0.1) с релейно-гистерезисной нелинейностью вида (0.2), изображенной на рисунке 0.1. Такая нелинейная модель более полно отражает свойства реальной релейной системы, чем известная кусочно-линейная модель.
В работе сформулировано строгое определение абсолютной устойчивости систем с нелинейностью указанного типа и даны коэффициентные необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости таких систем при всех возможных соотношениях коэффициентов системы.
Результаты получены с помощью точных аналитических методов, используются классические методы исследования фазового пространства автономных дифференциальных систем на плоскости, второй метод исследования устойчивости A.M. Ляпунова, метод систем сравнения.
В качестве систем сравнения рассматриваются двумерные релейные системы с кусочно-линейной нелинейностью вида (0.5), изображенной на рисунке 0.2. Такие системы достаточно широко изучены в случае, когда особые точки системы не принадлежат листам фазового пространства ([17], [36], [38], [90]). В работе изучен также случай, когда особые точки расположены на листах фазовой поверхности. И в этом случае через коэффициенты системы даны необходимые и достаточные условия существования предельного цикла и устойчивости в целом стационарного множества систем с нелинейностью вида (0.5) при всех возможных соотношениях коэффициентов.
1. Айзерман М.А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости «в большом» динамических систем // Успехи математических наук. 1949. Т. 4, вып. 4. С. 187-188.
2. Айзерман М.А. Теория автоматического управления. М.: Наука. 1966. 452 с.
3. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.П. Определение периодических режимов в системах с кусочно-линейной характеристикой, составленной из звеньев, параллельных двум заданным прямым // Автоматика и телемеханика. 1957. №2. С. 97-111.
4. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.П. Устойчивость по линейному приближению периодических решений систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // ДАН СССР. 1957. Т. 116, №4. С. 527-531.
5. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. Ч. I // Автоматика и телемеханика. 1974. № 7. С. 33-37.
6. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. Ч. II // Автоматика и телемеханика. 1974. № 8. С. 39-61.
7. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Об абсолютной устойчивости систем второго порядка // Вестник МГУ. Сер. Математика, механика. 1972. № 5. С. 102-109.
8. Александров В.В., Морозова О.И. О необходимых и достаточных условиях абсолютной устойчивости систем второго порядка // Автоматика и телемеханика. 1985. № 8. С. 161-164.
9. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке Matlab. СПб.: Наука. 1999. 467 с.
10. Ю.Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: ГИФМЛ. 1959. 916 с.
11. П.Андронов A.A., Баутин H.H. Об одном вырожденном случае общей задачи прямого регулирования // Доклады АН СССР. 1945. Т. 46, № 7. С. 304-306.
12. Андронов A.A., Витт A.A. К математической теории автоколебательных систем с двумя степенями свободы // Журнал технической физики. 1934. Т. 4, вып. 1. С. 122-143.
13. Аносов Д.В. Об устойчивости положений равновесия релейных систем // Автоматика и телемеханика. 1959. Т. 20, № 2. С. 135-149.
14. Афонин С.М. Абсолютная устойчивость системы управления деформацией пьезопреобразователя // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. 2005. № 2. С. 112-119.
15. Афонин С.М. Условия абсолютной устойчивости системы управления деформацией электромагнитоупругого преобразователя // Доклады Академии Наук. 2006. Т. 411, № 5. с. 603-608.
16. Афонин С.М. Абсолютная устойчивость систем управления электромагнитоупругими преобразователями энергии для приводов нано- и микроперемещений // Известия Академии Наук. Сер. Энергетика. 2005. № 5. С. 133-143.
17. Барабанов Н.Е., Якубович В.А. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью // Автоматика и телемеханика. 1979. № 12. С. 5-11.
18. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука. 1970. 240 с.
19. Белых В.Н. Анализ непрерывных СФС методом двумерных систем сравнения / В кн.: Системы фазовой синхронизации. Под ред. Шахгильдяна В.В., Белюстиной JI.H. М.: Радио и связь. 1982. С. 45-55.
20. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. СПб.: «Профессия». 2003. 752 с.
21. Болтянский В.Г., Понтрягин JI.C. Об устойчивости положений равновесия «релейной» системы обыкновенных дифференциальных уравнений / В кн.: Труды 3-го Всесоюзного математического съезда. I. М. 1956. С. 217-218.
22. Булгаков Б.В. Автоколебания регулируемых систем // Прикладная математика и механика. 1943. Т. 7, вып. 2. С. 97-108.
23. Булгаков Б.В. Некоторые задачи теории регулирования с нелинейными характеристиками // Прикладная математика и механика. 1946. Т. 10, вып. 3. С. 313-333.
24. Бромберг П.В., Цыпкин Я.З. О степени устойчивости линейных систем // Известия АН СССР. ОТН. 1945. № 2. С. 1163-1167.
25. Воронов A.A. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость. М.: Наука. 1979.336 с.
26. Воронов А А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука. 1985.352 с.
27. Вышнеградский И.А. О регуляторах непрямого действия // Известия Санкт-Петербургского практического технологического университета. 1878. С. 1-48.
28. Гелиг А.Х. О применении второго метода Ляпунова к исследованию устойчивости движения нелинейных разрывных систем // Вестник Санкт- Петербургского университета. 1962. № 7. С. 58-62.
29. Гелиг А.Х. Исследование устойчивости нелинейных разрывных систем автоматического регулирования с неединственным равновесным состоянием // Автоматика и телемеханика. 1964. № 2. С. 153-161.
30. Гелиг А.Х. Условия автоколебательности нелинейных систем // Вестник Санкт-Петербургского университета. 1975. № 7. С. 23-28.
31. Гелиг А.Х. Неклассические дифференциальные уравнения // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. 2006. Вып. 4. С. 7-18.
32. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука. 1978. 400 с.
33. Еругин Н.П. Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования // Прикладная математика и механика. 1952. Т. 16, вып. 5. С. 620-628.
34. Ефимов Д.В., Фрадков А.Л. Условия колебательности по Якубовичу для нелинейных систем // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. 2006. Вып. 4. С. 28-40.
35. Зубов В.И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л.: Судостроение. 1966. 352 с.
36. Казакевич В.В. К теории спусковых регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1951. № 1. С. 41-60.
37. Камачкин A.M. Существование и единственность периодического решения релейной системы с гистерезисом // Дифференциальные уравнения. 1972. Т. VIII, № 8. С. 1505-1506.
38. Камачкин A.M. Стабилизация и устойчивость системы п-то порядка с релейным гистерезисом / XII Международная конференция по дифференциальным равнениям (Еругинские чтения 2007). Тезисы докладов. 16-19 мая 2007. Минск, Беларусь. С. 64-65.
39. Камачкин A.M., Шамберов В.Н, Отыскание периодических решений в нелинейных динамических системах. СПб.: Изд-во СПб университета. 2002. 86 с.
40. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука. 1968. 475 с.
41. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. 211 с.
42. Красносельский М.А. Покровский A.B. Системы с гистерезисом. М.: Наука. 1983.271 с.
43. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР. 1937. 243 с.
44. Леонов Г.А. Необходимые частотные условия абсолютной устойчивости нестационарных систем // Автоматика и телемеханика. 1981. № 1. С. 15-19.
45. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний. СПб.: Изд-во СПб университета. 1992. 366 с.
46. Леонов Г.А., Филина М.Ю. Неустойчивость и колебания систем с гистерезисными нелинейностями // Автоматика и телемеханика. 1983. № 1. С. 44-49.
47. Леонов Г.А., Фрадков А.Л. Анализ и управление нелинейными колебательными системами. СПб.: Наука. 1998. 252 с.
48. Леонов Г.А. Необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости двумерных нестационарных систем // Автоматика и телемеханика. 2005. № 7. С. 43-53.
49. Леонов Г.А. Семейства трансверсальных кривых для двумерных систем дифференциальных уравнений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. 2006. Вып. 4. С. 48-78.
50. Леонов Г.А. Теория управления. СПб.: Изд-во СПб университета. 2006. 221 с.
51. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: ГИТТЛ. 1955.312 с.
52. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир. 1967. 184 с.
53. Лурье А.И. Об автоколебаниях в некоторых регулируемых системах // Автоматика и телемеханика. 1947. № 5. С. 335-348.
54. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.-Л.: ГИТТЛ. 1951. 216 с.
55. Лурье А.И., Постников В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем // Прикладная математика и механика. 1944. Т. 8, № 3. С. 246248.
56. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Харьковское Математическое Общество, 1892. 251 с.
57. Малкин И.Г. Об устойчивости периодических решений динамических систем // Прикладная математика и механика. 1944. Т. 8, вып. 4. С. 327332.
58. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М,- Л.: ОГИЗ. 1949. 244 с.
59. Малкин И.Г. Об устойчивости систем автоматического регулирования // Прикладная математика и механика. 1952. Т. 16, вып. 4. С. 495-499.
60. Матросов В.М. К теории устойчивости движения // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26, № 6. С. 992-1002.
61. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука. 1980. 482 с.
62. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. Под ред. НелепинаР.А. М.: Наука. 1975. 448 с.
63. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления. I // Автоматика и телемеханика. 1986. № 3. С. 63-76.
64. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления. II // Автоматика и телемеханика. 1986. № 4. С. 5-15.
65. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем. М.: Наука. 1972. 544 с.t
66. Неймарк Ю.И. О периодических режимах и устойчивости релейных систем // Автоматика и телемеханика. 1953. № 5. С. 556-570.
67. Неймарк Ю.И. О скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1957. № 1.С. 27-34.
68. Нелепин Р.А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Л.: Судостроение. 1967. 447 с.
69. Нетушил A.B. Балтрушевич A.B., Бурляев В.А. Теория автоматического управления. М.: Высшая школа. 1983. 432 с.
70. Петров В.В., Уланов Г.М. Теория двух простейших релейных систем регулирования // Автоматика и телемеханика. 1950. № 5. С. 289-300.
71. Плисс В.А. О проблеме Айзермана для случая системы трех дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1958. Т. 121, № 3. С. 422426.
72. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. M.-JT.: Наука. 1964.367 с.
73. Покровский A.B. К теории гистерезисных функций // Доклады АН СССР. 1973. Т. 210, № 6. С. 1284-1288.
74. Покровский A.B. Существование и расчет устойчивых режимов в релейных системах // Автоматика и телемеханика. 1986. № 4. С. 16-23.
75. Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1961. № 8. С. 961-979.
76. Попов В.М. Решение новой задачи устойчивости регулируемых систем // Автоматика и телемеханика. 1963. Т. 24, № 1. С. 7-26.
77. Попов В.М., Халанай А. Об устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования с запаздывающим аргументом // ' Автоматика и телемеханика. 1962. № 7. С. 849 851.
78. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз. 1960. 792 с.
79. Пятницкий Е.С. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем второго порядка с одним нелинейным нестационарным элементом // Автоматика и телемеханика. 1971. № 1. С. 5-16.
80. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем. Метод интегральных уравнений. М.: Наука. 1969. 576 с.
81. Томберг Э.А., Якубович В.А. Условия автоколебаний в нелинейных системах// Сибирский математический журнал. 1989. Т. 30, №4. С. 180-195.
82. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1981.367 с.
83. Фельдбаум A.A. О распределении корней характеристического уравнения систем регулирования // Автоматика и телемеханика. 1948. № 4. С. 253-279.
84. Фельдбаум A.A. Простейшие релейные системы автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1949. № 4. С. 249-266.
85. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985. 223 с.
86. Филиппов А.Ф. Об условиях существования решений многозначных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1977. т. 13, №6. С. 1070-1079.
87. Цыпкин Я.З. Об устойчивости периодических режимов в релейных системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1953. № 5. С. 638-647.
88. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования. М.: Гостехиздат. 1955. 456 с.
89. Цыпкин Я.З. Об устойчивости релейных автоматических систем в большом // Известия АН СССР. ОТН, техническая кибернетика. 1963. №3. С. 121-136.
90. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука. 1977. 565 с.
91. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования уравнений // Собр. сочинений. Т. 1. М.: Гостехиздат. 1950. 102 с.
92. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисными нелинейностями // ДАН СССР. 1963. Т. 149, №2. С. 288-291.
93. Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. III. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисными нелинейностями // Автоматика и телемеханика. 1965. № 9. С. 753-768.
94. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками // Автоматика и телемеханика. 1967. № 6. С. 5-30.
95. Якубович В.А. Частотные условия автоколебаний в нелинейных системах с одной стационарной нелинейностью // Сибирский математический журнал. 1973. Т. 14, № 5. С. 1100-1129.
96. Якубович В.А. Частотные условия колебаний в нелинейных регулируемых системах с одной однозначной или гистерезисной нелинейностью //Автоматика и телемеханика. 1975. № 12. С. 51-65.
97. Bellman R. Vector Lyapunov functions // SIAM Journal of Control. Ser. A. 1962. V. 26, № 6. P. 992-1002.
98. Caughey Т.К. Random exitation of a system with bilinear hysteresis // Journal of Applied Mechanics. 1960. V. 27, № 4. P. 649-652.
99. El-Geldawi F. More on the phase-plane analysis of a relay control systems // Int. Journal of Control. 1970. V. 11, № 3. P. 499-507.
100. Hayashi C. Nonlinear oscillations in physical systems. New York: McGraw-Hill. 1964. 392 p.
101. Kalman R.E. Ljapunov Functions for the problem of Lur'e in Automatic Control // Proc. NAS. 1963. V. 49, № 2. P. 7-30.
102. Kamke E. Zur Theorie der Systeme gewonlicher Differential gleichungen. II // Acta Matematica. 1932. V. 58. P. 57-85.
103. Krautwig F. Stabilitatsuntersuckungen an unstetigen Reglen dargestellt an Hand einer Kontactnachlaufsteuerung// Archiv fur Electrotechnic. 1941. V. 25, №3. P. 117-126.
104. Leonov G.A. Mathematical Problems of Control Theory. Singapore: World Scientific. 2001. 172 p.
105. Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory. New York: Springer. 1999. 288 p.
106. Paul M. Frank. Advances in Control. London: Springer. 1999. 499 p.
107. Popov V. M. Criterii de stabilitate pentru sistemele neliniare de reglare automata bazate pe utilizarea transformatei Laplace // Studii si cercetari de energetica. 1959. V. 9, № 1. P. 119-135.
108. Varigonda S., Giorgiou T.T. Dynamics of Relay Relacxations Oscillations // IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. V. 46, № 1. P. 65-77.
109. Евдокимов С.М. Абсолютная устойчивость двумерных систем с гистерезисной функцией релейного типа // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. 2008. Вып. 3. С. 132-135.
110. Евдокимов С.М. Звягинцева Т.Е. Существование предельного цикла в системе с гистерезисной функцией релейного типа // Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ 2007». Тезисы докладов. Санкт- Петербург , 4-8 июня 2007 г. С. 365.
111. Евдокимов С.М. Устойчивость в целом двумерной релейной системы с гистерезисом // Электронный журнал «Дифференциальные уравнения и процессы управления». 2008. № 2. С. 1-18.
112. Евдокимов С.М. Абсолютная устойчивость двумерных систем с одной гистерезисной нелинейностью // Электронный журнал «Дифференциальные уравнения и процессы управления». 2008. № 3. С. 1-19.
