Анализ и стабилизация систем с релейным гистерезисным управлением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КАМЕНСКАЯ Светлана Александровна

АНАЛИЗ И СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ С РЕЛЕЙНЫМ ГИСТЕРЕЗИСНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

Специальность 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на кафедре высшей математики факультета прикладной математики - процессов управления Санкт -| Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Камачкин Александр Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Александров Александр Юрьевич

кандидат технических наук,

доцент Шамберов Владимир Николаевич

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится « 2006 г. в ib часов на заседании

диссертационного совета К-212.232.07 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 190004, Санкт-Петербург, Средний проспект В.О., дом 41/43, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета им. A.M. Горького по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9.

Автореферат разослан «_

MCL9 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-маг. паук, профессор

В. Ф. Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время растет интерес к исследованиям в области анализа и управления нелинейными колебательными системами. Такие задачи возникают при математическом моделировании различных управляемых процессов в механике, электротехнике [1], химии [2], биологии [3], экологии [4j, медицине. Весьма важным при конструировании систем управления является выбор параметров управляющей функции на предварительном этапе проектирования, который позволяет предсказать динамическое поведение систем.

В данной работе в качестве математической модели рассматривается n-мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений, в правую часть которой аддитивно входит линейная часть и скалярная нелинейность типа двухпозиционного реле с гистерезисом, умноженная на вектор.

Гистерезисные нелинейности как один из источников реальных, «тонких нелинейных эффектов» в системах управления изучались давно. В работах А.И. Лурье используется точный аналитический метод поиска периодических решений релейных систем, основанный на представлении искомых функций в виде полных или укороченных рядов Фурье. В работах A.A. Андронова и сотрудников его школы для исследования указанных систем с нелинейной функцией, объединяющей все типовые нелинейности (такие как мертвая зона, насыщение, гистерезисная петля) применялся метод точечных отображений, поэтому рассматривались в основном системы второго порядка. В монографии 1967 г. P.A. Нелепина изложен метод сечений пространства параметров, при помощи которого исследование динамики систем высокого порядка сводится к исследованию хорошо изученных систем 1-го и 2-го порядков. Ю.И. Неймарк исследовал движения динамических систем, среди которых были рассмотрены системы с неоднозначностями типа сухого трения и петлевой характеристикой реле, и изучал структуру разбиения фазового пространства на траектории.

В монографии 1962 г. В.И. Зубов рассмотрел большое число примеров построения и изучения колебательных режимов в системах управления с различными модификациями гистерезисных нелинейностей; для случал нелинейности типа двухпозиционного реле с гистерезисом была предложена задача полного качественного исследования поведения интегральных кривых системы и сформулирована следующая гипотеза: если действительные части всех собственных чисел матрицы системы отличны от нуля, то эта система при условии, что формальные центры устойчивости расположены в фазовом

пространстве вне зоны неоднозначности нелинейной характеристики, имеет единственное периодическое стационарное собственное колебание. Это периодическое решение будет автоколебанием, область притяжения которого совпадает со всем фазовым пространством в том случае, когда нулевое решение соответствующей однородной линейной системы асимптотически устойчиво.

В случае достаточно «узкой» симметричной гистерезисной петли эта гипотеза была доказана самим В.И. Зубовым. В дальнейшем учениками В.И. Зубова были получены достаточные условия стабилизации программных движений с помощью релейного гистерезисного управления при достаточно «узкой» петле гистерезиса; достаточные условия существования единственного периодического решения в случае диагональной, гурвицевой матрицы системы и рассмотрен вопрос об устойчивости этого решения; в предположениях гипотезы В.И. Зубова при условии, что скалярное произведение вектора обратной связи на вектор неоднородности системы не равно нулю, показано существование по крайней мере одного периодического решения указанной системы, а в случае, когда вектор обратной связи является собственным вектором транспонированной матрицы системы, и его единственность, без предположений о «узости» петли гистерезиса; также показано, что даже орбитальная устойчивость стационарного собственного колебания существенно зависит от расположения в фазовом пространстве вектора обратной связи и точек переключения периодического решения.

Ю.С. Колесов, используя понятие позитивного гурвицева многочлена, указал множество в фазовом пространстве, которому должен принадлежать вектор обратной связи, чтобы у указанной системы существовало единственное устойчивое периодическое решение.

Дальнейшее изучение фазового пространства и пространства параметров указанных систем, в том числе и учитывающих внешнее воздействие, разделилось на два направления исследования — качественными методами и функциональными методами. Первое направление в основном связано с именами сотрудников СПбГУ, а второе основано на работах М.А. Красносельского и A.B. Покровского, которые касаются указанных систем с гурвицевой матрицей, в том числе и при учете внешних воздействий.

Существенный вклад в изучение подобных систем, в том числе и при учете внешних воздействий, частотными методами внесли работы В.А. Якубовича и сотрудников его школы.

Отметим также, что Н.Е. Кириным получены эллипсоидальные оценки области притяжения указанной системы с достаточно «узкой» петлей гисте-

резиса, а также решек вопрос о минимизации ^-предельного множества этой системы в случае Е2 с помощью негладких функций Ляпунова.

Несмотря на значительные достижения в исследовании гистерезисных систем, осталось много неизученных вопросов, как в плане изучения динамики, так и в плане синтеза гистерезисного закона управления, который обеспечивал бы системе требуемое динамическое поведение. Последний аспект напрямую связан с вопросом о разбиении пространства параметров системы на области качественно различного динамического поведения, что также является непростой математической задачей. В силу причин, указанных выше, актуальность темы диссертации не вызывает сомнений.

Основная цель работы заключается в проведении исследований, направленных на развитие теории управления, в частности, развитие теории управления колебательными системами, и построения на ее основе законов управления, создающих в системе колебания с заданными характеристиками.

Направление исследований. В данной работе предлагается развитие подходов В.И. Зубова к изучению фазового пространства и пространства параметров систем с гистерезисом.

Методы исследований, достоверность и обоснованность результатов. В работе использованы подходы к исследованию пространства состояний указанной системы, основанные на методе функций Ляпунова и методе неподвижной точки. Достоверность полученных результатов подтверждается строгостью изложения в виде теорем с подробными доказательствами. Отдельные результаты хорошо стыкуются с опубликованными научными работами предшествующих исследователей.

Научная новизна. В условиях гипотезы В.И. Зубова показано, что симметричность фазового портрета системы не гарантирует ни единственности, ни устойчивости имеющихся решений. Это основано на полученных достаточных условиях на параметры системы, при выполнении которых фазовый портрет системы может быть приведен к симметричному виду.

Показано, что у рассматриваемой системы не может быть более, чем конченого числа асимптотически орбитально устойчивых периодических решений, удовлетворяющих дополнительным ограничениям.

С помощью метода функций Ляпунова установлены достаточные условия на параметры и периодические решения системы, при выполнении которых эти решения являются асимптотически орбитально устойчивыми.

Получены выражения для проверки периодических решений на непрерывную зависимость от параметров системы.

В аналитическом виде в фазовом пространстве системы на поверхностях переключения ее правой части выделены особые множества, обладающие тем свойством, что, если они пусты, то выполняются упомянутые выше дополнительные ограничения, позволяющие доказать существование у системы конечного числа асимптотически орбитально устойчивых решений.

В пространстве коэффициентов вектора обратной связи и пространстве выходных параметров реле, при условии, что все остальные параметры системы зафиксированы, выделены и описаны области значений, при которых система имеет хотя бы одно периодическое решение.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретическую направленность. Проведенные исследования выделяют из класса рассматриваемых систем те системы, решения которых обладают свойством устойчивости и свойством грубости по отношению к параметрам системы. Результаты работы могут быть использованы при исследовании различных управляемых процессов, для конструирования систем управления на начальной стадии их проектирования и коррекции параметров системы в процессе ее эксплуатации.

На защиту выносятся:

1. Достаточные условия на параметры системы, при выполнении которых фазовый портрет системы может быть приведен к симметричному виду.

2. Достаточные условия существования конечного числа периодических решений рассмотренной системы.

3. Достаточные условия асимптотической орбитальной устойчивости периодических решений.

4. Аналитическое представление множества в фазовом пространстве системы, такого, что, если оно пусто, то выполняются условия, позволяющие доказать существование у системы конечного числа асимптотически орбитально устойчивых решений.

5. Достаточные условия существования множества значений в пространстве коэффициентов вектора обратной связи и множества значений в пространстве выходных параметров управляющей функции, при которых система имеет по крайней мере одно периодическое решение.

Апробация работы. Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и школах: ежегодных (XXXIV, XXXV, XXXVI) научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и усойчивость» (Санкт-Петербург, 21-24 апреля 2003, 14-16 апреля, 2004, 11-14 апреля, 2005); шестой междуна-

родной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 12-14 мая 2004); IX Белорусской математической конференции (Белоруссия, Гродно, 3-6 ноября 2004); 2nd IFAC Symposium on System, Structure and Control — SSSC04 (Mexico, Oaxaca, December 8-10, 2004); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 27 января - 2 февраля 2005); международной математической конференции «Еругинские чтения X» (Белоруссия, Могилев, 24-26 мая 2005); международной конференции «Устойчивость и процессы управления» — SCP'05 (Санкт-Петербург, 29 июня - 1 июля 2005); второй научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 1-14 июля 2005).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 12 печатных работах [7-18], список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, заключения по диссертации в целом, библиографического списка, включающего 60 наименований, и 2 приложений. Работа изложена на 155 листах машинописного текста, содержит 44 рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, поставлена цель исследований, дан краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулированы положения, выносимые на защиту, показаны теоретическая ценность и практическая значимость представленных в работе материалов.

В первой главе обсуждены вопросы существования и локализации в фазовом пространстве периодических решений n-мерной системы дифференциальных уравнений с релейным гистерезисным управлением:

х = Ах + Ьи(ст), и{а) = Гг:е, (1.1)

где (-)т — знак транспонирования; матрица Л, векторы Ь, Г — постоянные; X £ Е" — вектор состояний системы; и(а) = toi при а < 12, и(а) = таг при а > Zi, причем тх < тщ, ii < h-

Даны определения основных понятий, используемых в диссертации.

Определение 1.1. Заданную при всех t > 0 непрерывную по t вектор-функцию х = tp(t, х^,т2) со значениями в Е" будем называть периодическим, с 2q точками переключения, решением системы (1.1), если существуют 2q

(д — целое положительное число, принимающее конечные значения) положительных констант ..¿2,, имеющих конечные значения, таких, что

1. <* = и + + х° = у?(0,х?,т2), х£ = </>(£*, т2), А: = 1,..., 2д.

2. ^(вр.^.тг) = 3$ = х°3,у{1к + вр,1«,т2) = х* ф х°„ р = 1,2,...,

А: = 1,..., — 1, где © = <2, = <1 + ■ • • + — период решения.

3. Г^-'^.Г^ =ь,* = 1,...,9.

4. Г^^.а^тг) > /1 при £ 6 ,Ц-и), А: = 0,... ,9 - 1;

Ггу>(£, х°, т2) < к при г е [<2*-ь *2*), Л = 1, • • ■, 95. Функция ж = (¿>(4, т2) дифференцируема по £ для всех £, кроме точек

вида ¿к + вр, А; = 1,... ,2д, р = 1,2,...;

ф^,х°,т2) = А<рЦ,х°а,тп2) + Ьтп2 при £ е (£г*, ¿гм-О, к = 0,... - 1;

= Аф(г,хЧ,тп2) + Ьтщ при 4 <Е («2к-1»* = 1,...

Числа ¿1.....£2? будем называть временами перехода с одной поверхности

переключения на другую, числа £1,... ,Ь2ч — моментами переключения решения х = , х®, т2), а вектора х^,..., — точками переключения периодического решения.

Так как система (1.1) автономна, то из периодичности решения х = <р^,х°,и°) следует периодичность с тем же периодом решения х = <р^,<р(т,х0,и0),и(ГТ<р(т,х°,и0))) для любого т > 0. Будем отождествлять отличающиеся лишь таким сдвигом по времени периодические решения системы (1.1). В связи с этим будем предполагать, что для периодического решения х = у>(£, х°, и0) системы (1.1) справедливы следующие равенства Гг<р(0,х°,и0) к° = т2.

Определение 1.2. Решение х = ^>(£, х°, и0) называется орбиталъно устойчивым, если для произвольного е > 0 существует такое 5 = <5(е) > 0, что для любого х1 6 5(Ф(х°,и°), 5) можно указать такое и1 = и^х1) (либо и1 = тп\, либо и1 = т2), что при всех £ > 0 получим ■ф\{1,х1,и1) е ¿>(Ф(х°, и°),е). Если, кроме того, число <5(е) можно выбрать таким, чтобы (4, х1, и1), Ф(х°, и0)) —» 0 при t —> +оо, то решение х - ф^,х°,и°) называется асимптотически орбиталъно устойчивым [5].

Здесь ||хЦ = \/х*х; р(х, Ф) = Ы ||х - уЦ; 5(Ф,е) = {у : у е Еп,р(у, Ф) < е},

уеч'

с > 0; Ф(х°,и°) € Е", Ф(х°,и°) = {х : х 6 Еп,х = -ф(1,х°,и°),г > 0} -траектория решения х = ^(£,х°,«°).

Параметрами системы (1.1) будем называть компоненты матрицы А, векторов Ь, Г; вещественные числа тпь т2, ¿1,12.

Задача стабилизации системы (1.1) сформулирована как задача выбора таких параметров функции w(cr)> что система (1.1), замкнутая сформированным управлением, имеет периодические решения, обладающие определенными свойствами, а именно: орбитальной устойчивостью и непрерывной зависимостью времен перехода от параметров системы.

Приведен краткий обзор результатов предшествующих исследователей. Обсуждены достаточные условия существования периодических решений. Известно, что система (1.1) имеет хотя бы одно периодическое решение с двумя точками переключения, если все собственные числа матрицы А имеют отрицательные действительные части, ГТЬ ф 0, выполнено условие

-Г^Л-'бт! > 12, —ГтА~1Ьт2 < li- (1.2)

При условиях (1.2) рассмотрена геометрия фазового пространства системы (1.1), в случае, когда действительные части собственных чисел матрицы А отрицательны. В фазовом пространстве, при помощи функций Ляпунова построено ограниченное замкнутое инвариантное множество G = {х : xTVx < с} (где V — постоянная положительно определенная матрица, с — вещественная постоянная), в которое за конечное время попадают все интегральные кривые. Матрица V удовлетворяет уравнению Ляпунова ATV + VA = W, для заданной постоянной отрицательно определенной матрицы W, величина с выбирается так, чтобы на границе xTVx = с множества G выполнялись нера-

_J* _

венства N (Ах + brrii) < 0, i = 1,2. Здесь N — внешняя нормаль к границе. Геометрически это означает, что имеет место одностороннее пересечение границы множества G траекториями исследуемой системы дифференциальных уравнений. Если периодические решения системы (1.1) существуют, точки переключения этих решений лежат в ограниченных замкнутых областях

Si = GC\LU i = 1,2,

являющихся пресечением множества G с поверхностями переключения Li = {х 6 Е" : ГТх = ¿¿}, г = 1,2.

На основании метода, предложенного Зубовым В.И. [6], в предположении, что матрица А не имеет чисто мнимых собственных чисел, из необходимых условий существования замкнутых траекторий построены системы трансцендентных алгебраических уравнений относительно времен перехода как для периодических решений, имеющих две точки переключения:

I

^(¿,,¿2)=*!, rTX23(tUt2) = 12, (1.3)

где

*i(tbt2) = -Л-'iwi, + \Е- {e^1 - £} А'Ч{т2 - тО,

x2,(h,t2) = -А~*Ьт2 - [я - eA(il+'j)] {ем* - Е} А^Ь^ - т,),

так и для периодических решений с четным, большим двух числом точек переключения.

В случае, когда имеем систему с симметричной петлей гистерезиса, то есть I'll = l^iil — гп2, возможно равенство ti = t2, тогда система трансцендентных уравнений (1.3) относительно времен перехода t\ и £2 для периодического решения с двумя точками переключения преобразуется в уравнение относительно полупериода i = (ti + <г)/2. Следовательно, задача отыскания периодического решения численными методами упрощается. В связи с этим исследуется вопрос о сведении системы (1.1) общего вида к системе с симметричной петлей гистерезиса путем параллельного переноса системы координат. Получены достаточные условия на параметры системы (1.1), при выполнении которых эта задача осуществима.

Теорема 1.1. Пусть параметры системы (1.1), таковы, что для них выполняется равенство

—ГгЛ-1Ь(т.1 + т2) = ¿1 + ¿2-

Тогда, вводя новую систему координат по правилу х = х — d, где вектор d = —A~ib(m1 + mj)/2, получим систему с симметричной петлей гистерезиса, причем т = (тп2 — mi)/2, I = (Z2 — Zi)/2.

Показано, что равенство tj = t2 для времен перехода периодического решения системы (1.1) имеет место только в том случае, когда система (1.1) может быть преобразована к системе с симметричной петлей гистерезиса.

Приведены примеры систем с гурвицивой матрицей А, характеризующие сложность динамики системы вида (1.1): пример системы, имеющей периодические решения с двумя, четырьмя, шестью точками переключения; пример системы с симметричной петлей гистерезиса с двумя периодическими решениями, каждое из которых имеет две точки переключения; пример системы с симметричной петлей гистерезиса, имеющей одно устойчивое и одно неустойчивое периодические решения. Эти примеры дают отрицательный ответ на вопрос, поставленный в задаче В.И. Зубова.

Во второй главе исследованы вопросы асимптотической орбитальной устойчивости периодических, обладающих переключениями, решений системы (1.1), и вопрос о количестве решений, обладающих этим свойством.

Аналитически решить систему трансцендентных уравнений (1.3) относительно времен перехода можно только в отдельных частных случаях. Поэтому предлагается другой способ определения числа изолированных периодических решений системы (1.1).

Теорема 2.1. Предположим, что матрица А — гурвицева, ГТЬ ф 0, выполнено условие (1-2). Пусть существует /л 6 (0,1), такое, что точки переключения х, каждого из асимптотически орбиталъно устойчивых периодических, с двумя точками переключения, решений системы (1.1) удовлетворяют неравенствам вида

|ГТ(>1х, + 6т01/(||Г||-|И^ + Ьш1||)>м, г = 1,2. (2.1)

Тогда система (1Л) имеет конечное число таких решений.

Теорема 2.2. Предположим, что матрица А — гурвицева, ГТЪ ф 0, выполнено условие (1-2). Пусть существует /л € (0,1), такое, что для любого д € N точки переключения х, каждого из асимптотически орбиталъно устойчивых периодических, с количеством точек переключения не превосходящим 2д, решений системы (1.1) удовлетворяют неравенствам вида (2.1). Тогда система (1.1) умеет конечное число таких решений.

Ключевыми моментами при доказательстве этих теорем являются существование в фазовом пространстве инвариантного множества С, в которое за конечное время сходятся все интегральные кривые системы (1.1), и изолированность асимптотически орбитально устойчивого периодического решения, точки переключения которого удовлетворяют неравенствам (2.1).

Далее, с помощью метода функций Ляпунова исследовано поведение решений в окрестности периодической траектории. В предположении, что известны точки переключения, получены достаточные условия асимптотической орбитальной устойчивости периодического решения системы (1.1).

Определение 2.1. Будем говорить, что периодическое решение системы (1.1) с двумя точками переключения х\ и х] не выходит из зоны неоднозначности функции и(сг), если ¿1 < гг^, т2) < для всех г е ((МОи (¿х,«1 + причем <¿>(¿1,х1,тг) = х^, + г2,х2„т2) = х

Теорема 2.3. Пусть параметры системы (1.1) таковы, что: вещественная часть каждого собственного числа матрицы А отрицательна, ГТЬ -¡- О, АТГ ф «Г (а — вещественная постоянная), выполнено условие (1.2). Предположим, что система имеет периодическое решение т2) с двумя точками переключения а:', х^ и соответствующими временами перехода £1 и ¿2, не выходящее из зоны неоднозначности функции и(а), причем точки переключения удовлетворяют условиям

ТТАх\ + ГтЬгП} ф 0, (2.2)

Г ф0(Ах\ + Ьт^, (2.3)

где г = 1,2; ] — 1,2; ¡3 — вещественное число. Кроме того, предположим, что функция х^, монотонно убывает при £ € (0, £1) и монотонно

возрастает при £ 6 (ti.ii + £г)-

Если точки хр(£) = </?(£, т2) + А~1Ьт2 периодического решения при всех £ 6 [0, и точки хр(Ь) = 1/>(£, т2) 4- А~1Ьт\ периодического решения при всех £ 6 [ii.ii + £2) удовлетворяют неравенствам вида

ГГЛхр(£) ф О

1^(01 ; сое агссш \\ЛТГ\\ • ||хр(£)|| > С05агС8Ш ||АТГЦ . иг»'

тогда периодическое, с двумя точками переключения х\ и х,, решение системы (1.1) является асимптотически орбитально устойчивым.

Результат обобщен на случай периодического, с 2д точками переключения, решения (1.1).

Определение 2.2. Будем говорить, что периодическое решение <р(£, х^,т2) с двумя точками переключения х\ и х\ выходит из зоны неоднозначности функции и(а), если ГТ<р(1,х^,тп2) > 1\, для всех £ € (0, £1), причем = х* (ГТ¥>(0, х*. т2) = 12), <р(1их2„тп2) = х^

(Гг^(£1,х^,т2) = ), кроме того существует момент времени ть 0 < < такой, что Гт<р(Ь,х],тп2) > 12 Для всех £ 6 (О.п), Тт<р(т1,х1,т2) = 12, ¿1 < ГТ1р(Ь, х^тг) < 12 для всех t е (ri.ii); Гт^(£,х^,ггг2) < 12, для всех £ е (ti.ii + *г)> причем <р(и,х2„т2) = х* (ГГ^(£ьх^ш2) = ¿1), |/>(£1+£2, х^тг) = X2, (ГТ^(£1+£2,^,т2) = /2), кроме того существует момент времени < т2 < ^-Кг, такой, что Гт<р(£,х^,т2) < ¿1 для всех £ 6 (£1,т2), Ггуз(г2,х?,т2) = 1\, 11 < ГТ<р(£, х'.тг) < /2 для всех £ 6 (т2, £1 +£2).

Теорема 2.4. Пусть параметры системы (11) таковы, что: вещественная часть каждого собственного числа матрицы А отрицательна, ТТЬ ф О, АТГ ф аГ (а — вещественная постоянная), выполнено условие (1.2). Предположим, что система имеет периодическое решение (р(Ь,х*,т2) с двумя точками переключения х\, х* и соответствующими временами перехода <1 и ¿2» причем точки переключения удовлетворяют условиям (2.2) и (2.3). Пусть решение выходит из зоны неоднозначности функции и{а).

Предположим, что

• можно выбрать момент времени ¿1 € (0, ¿1), ¿1 — < ¿ь такой, что существуют такие числа ац > О в А € (0,1), удовлетворяющие условию 61^1 — = 1, что для всех Ь € [¿1,(1) справедливы

неравенства вида

ГТ{1)Ахр{1) ф 0. (2.4)

где

|Гг(^)Лжр(г)|

1ИТГ(ОП ' 1М011

\\ATrm ° ГС8Ш||Г(«)|| • ||*(*) +АЩт' Г(г) = + а^ - (--£.---^

(2.5)

11^11 V "Г11 \\Ахр

т = ахе^С-'^Х + - ?,)) Г-тт^тт - ,

Хр(«) = х23, т2) + А~1Ьт2, хр = , х], т2) 4- А~1Ът2; можно выбрать момент времени 1) € (ii.it 4- ¿г), £1 — £1 < ¿2, такой, что существуют такие числа «1 >0 и 01 € (0,1), удовлетворяющие условию а 1(^1 — = 1, что для всех < 6 [ii.fi) справедливы

неравенства вида (2.4) и (2.5), где

Xp(i) = <^(t,xj,m2) + A^bmi, xj, = ^(¿ьх2,т2) + A 1bml;

• можно выбрать момент времени t2 6 (ii, ti + £2)1 ^l +t2 —t2 < t2, такой, что существуют такие числа а2 > 0 и 02 6 (0,1), удовлетворяющие условию 62(4! + t2 — ¿2)eA(il+i2_il) = 1, что для всех t 6 [t2, ti 4-12) справедливы неравенства вида (2.4) и (2.5), где

Г(1) = -^4- + a2(t - t2)e^-i>> (- ,

Xp(t) = <P(t>x2„m2) + Л-'6ть Хр = y(i2,x2„m2) + A~lbmi;

• можно выбрать момент времени t2 6 (ti + t2,2t\ 4- t2), t2 — t\—t2< t\, такой, что существуют такие числа а2 > О и 02 € (0,1), удовлетворяющие условию a2{t2 — ii — ¿г)^^3-*1-'^ = 1, что для всех t 6 [ii 4-12, справедливы неравенства вида (2.4) и (2.5), где

......-'Шги)'

ц.) = .««-„-^(^l-i),

xp(t) = v>(f,x*,m2) +A'lbm2, £р = 4>{i2,x\,m2) + A~lbm2. Тогда периодическое, с двумя точками переключения х* и х\, решение системы (1.1) является асимптотически орбитально устойчивым.

Указан алгоритм выбора чисел Qi, а2, 02, oci, Pi, бс2 и Результат обобщен на случай периодического, с 2q точками переключения, решения системы (1.1). Кроме того, условия теоремы 2.4. модифицированы таким образом, что они могут быть применены и к периодическому решению <p(t), не выходящему из зоны неоднозначности, при этом не требуется монотонность функции rT<p(t).

Требования на поведение периодических решений в фазовом пространстве, на их расположение относительно поверхностей переключения, накладываемые условиями теорем 2.3. и 2.4., задают определенную геометрическую структуру фазового пространства системы (1.1).

В третьей главе рассмотрены вопросы практического применения результатов первых двух глав. Для решения задачи выбора параметров управляющей функции отдельно исследуются пространство М выходных параметров ГП1, т2 и пространство 0 коэффициентов вектора обратной связи Г, в предположении, что все остальные параметры системы (1.1) зафиксированы. Показано, что в общем случае кроме выбора параметров управляющей функции необходимо указать множество начальных данных, принадлежащих области притяжения периодического решения.

При помощи теоремы о неявных функциях, из системы трансцендентных уравнений (1.3) относительно времен перехода периодического решения с двумя точками переключения, получено условие, а именно:

[ггТ{еА^ - Е}Ь ■ ГтТеАЧ + ГгТ{ем* - Е)Ь ■ ГтГеАЧ +

+ГтТеАЧ ■ ТтГеАЧ ] (т2 - тщ)2 ф О,

где

Т = [Я - е'4('1+'1)]-1, Т = Те^'+^Т,

при выполнении которого имеет место непрерывная зависимость времен перехода от параметров системы в некоторой окрестности зафиксированной точки пространства параметров. Показано, что асимптотически орбитально устойчивых периодических, с двумя точками переключения, решений системы (1.1), времена перехода которых непрерывно зависят от параметров системы, а точки переключения удовлетворяют неравенствам вида (2.1), может быть не более конечного числа.

В фазовом пространстве системы построены особые множества

где

= {х € Е" : Гг(Лх + Ьтп;) = 0),

г = 1,2, 2 = 1,2, такие, что, если точка переключения периодического решения принадлежит одному из множеств, то имеет место касание периодической орбиты с поверхностью переключения. Если эти множества пусты, то выполняется условие (2.1) теорем 2.1. и 2.2.

"Утверждение 3.1. Предположим, что матрица А системы (1.1) гурви-цева, ГТЬ ф 0, выполнено условие (1.2). Пусть, кроме того, Si Г) = 0,

где г = 1, 2; ] = 1,2; 0 — пустое множество. Тогда существует ц € (0,1), такое, что точки переключения периодических решений системы удовлетворяют условию (8.1).

В предположении, что известны А, 6, Г, 1\. и 12) построено множество допустимых значений в пространстве Л4 выходных параметров управляющей функции:

то есть множество таких значений гп\ и т2, при которых система (1.1) имеет хотя бы одно периодическое решение. При этом получено дополнительное условие на заданные параметры:

ГТА~1Ъ > 0, (3.1)

при выполнении которого это множество непусто. Также получены условия, при выполнении которых непусто множество допустимых значений, если на параметры тщ и гп2 накладываются дополнительные ограничения.

Утверждение 3.2. Пусть заданные параметры системы (1.1) — матрица А, векторы Ъ и Г, вещественные числа и 12 — удовлетворяют условиям: все собственные числа матрицы А имеют отрицательные действительные части; векторы 6 «Г ненулевые, ТТЬ -ф 0/1\ < ¿2," (3-1). Предположим, что ГП1, тг ограничены следующим образом

Ш, <ГП\< ТЩ, ТП2 <ТП2 < ГП2. (3.2)

где тщ, тЩ, тп2, тЩ — вещественные постоянные. Тогда, если справедливы неравенства:

¡2 Ь _

121 < ~Г~ГТА=Ч < Ш2' то существует непустое множество пространства ЛЛ допустимых значений параметров тгц, тпг при ограничениях (3.8).

В предположении, что известны Л, 6, тпх, т2, Ь и ¿2. построено множество допустимых значений в пространстве 0 коэффициентов вектора обратной связи, то есть множество таких векторов Г, при которых система (1.1) имеет хотя бы одно периодическое решение. В случае, когда т\ < т2 < 0, если справедливы 0 < ^ < ¿2 и

-А. > -X (3.3)

т.2 ТП1

это множество непусто и определяется системой неравенств:

_ А < гтА-1ь < - А.

ТП\ ТП2

В случае, когда ггс! < 0 < т2 множество допустимых значений непусто и определяется неравенством:

ГТЛ_1Ь > шах

\ т2' гщ ]

В случае, когда 0 < т\ < т2, если ¿1 < 12 < 0 и

-А. < - А, (3.4)

тп2 т 1

множество допустимых значений непусто и определяется системой неравенств:

_Л. < Ггл-1Ь <

т2 гщ

В случае, когда тп\ = 0, если т2 > 0, ¿1 < 12 < 0, множество допустимых значений непусто и определяется неравенством

ГТА~1Ь > -X тп2

В случае, когда тп2 — 0, если тп\ < 0, 0 < 1\ < 12, множество допустимых значений непусто и определяется неравенством

ГгЛ-'Ь > -X

ТП\

Также получены условия, при выполнении которых непусто множество допустимых значений, если на величину нормы вектора Г накладываются дополнительные ограничения.

"Утверждение 3.3. Пусть заданные параметры системы (1.1) — матрица А, вектор Ь, вещественные числа 12, т\ и тп2 — удовлетворяют следующим условиям: все собственные числа матрицы А имеют отрицательные действительные части; Ь ф 0; если тп\ < т2 < 0, тогда 0 < 1\ < 12 и выполнено условие (3.3); если тх < 0 < т2, тогда ¿1 < 12; если 0 < 7гц < тп2, тогда ¿1 < 12 < 0 и выполнено условие (3.4); если т 1 = 0, тогда т2 > 0, ¡1 < 12 < 0; если тп2 — 0, тогда пи < 0, 0 < < к- Предположим, что Г ограничен следующим образом:

ПП1 < с, (3.5)

где с — положительная вещественная постоянная. Предположим, что верно следующее соотношение:

{Г:||Г||<С}р{Г:ГтЛ-16>А;}^0,

где

Ηh/тп 1 при mi < т% < 0 либо т\ < О < т2, О < ¿i < ¿2; —ii/гпг при О < m! < т2 либо mi < 0 < т2, ¿1 < 12 < О; max{—Îi/ttcz; —h/mi} при mi < О < m2, li < О <

Тогда в пространстве G существует область допустимых значений коэффициентов вектора обратной связи Г при ограничениях (3.5).

В заключении сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В приложении 1 приведены дополнительные выкладки к различным разделам диссертационной работы.

В приложении 2 дается краткий обзор функций прикладных программ, используемых для численного исследования примеров.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены достаточные условия на параметры автономной системы с релейным гистерезисом, при выполнении которых фазовый портрет системы может быть приведен к симметричному виду, при этом показано, что симметричность не гарантирует ни единственности, ни устойчивости решений системы.

2. Доказано, что у рассматриваемой системы число асимптотически орби-тально устойчивых периодических решений с 2q (q е N) точками переключения, удовлетворяющих дополнительным условиям на точки переключения, конечно.

3. Получены достаточные условия, накладываемые на периодическое, не выходящее из зоны неоднозначности управляющей функции, решение системы, при выполнении которых это решение является асимптотически орбитально устойчивым.

4. Получены достаточные условия, накладываемые на периодическое, имеющее выход из зоны неоднозначности управляющей функции, решение системы, при выполнении которых это решение является асимптотически орбитально устойчивым.

5. Получено выражение для проверки периодических решений на непрерывную зависимость от параметров системы в некоторой окрестности зафиксированной точки пространства параметров.

6. Получено аналитическое выражение для выделения в фазовом пространстве системы множества, такого, что, если хотя бы одна из точек решения принадлежит этому множеству, то имеет место касание периодической орбиты с поверхностью переключения. Показано, что, если эти множества пусты, то выполняются дополнительные условия на точки переключения, позволяющие доказать существование у системы конечного числа асимптотически орбитально устойчивых периодических решений.

7. В пространстве выходных параметров управления и в пространстве коэффициентов вектора обратной связи построены множества значений, при которых система имеет по крайней мере одно периодическое решение. Получены достаточные условия существования указанных множеств при дополнительных ограничениях на выходные параметры управления и коэффициенты вектора обратной связи.

РАБОТЫ, ЦИТИРОВАННЫЕ В АЁТОРЕФЕРАТЕ

1. Criminate W. О., Mar T.F. The electric bell as a nonlinear oscillator // SI AM Review, 1991. Vol. 33. No. 1. P. 644-649.

2. Epstein I.R., Showalter К. Nonlinear chemical dynamics: Oscillations, patterns and chaos // J. Phys. Chem., 1996. Vol. 100. No. 31. P. 13131-13147.

3. Grasman J., Jansen M.J. W. Mutually synchronized relaxation oscillators as prototypes of oscillating systems in biology // J. Math. Biol., 1979. Vol. 7. No. 2. P. 171-197.

4. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии // Труды Математического института имени

B.А. Стеклова, 1993. Т. 199. С. 122-124.

5. Зубов C.B. Об одной системе с гистирезисом //Дифференциальные уравнения, 1978. Т. 14. X' 6. С. 1133-1135.

6. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Суд-промгиз, 1962. 632 с.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в журналах и материалы конференций:

7. Каменская С.А. Построение функции Ляпунова в окрестности периодической орбиты системы дифференциальных уравнений с неоднозначной правой частью // Процессы управления и устойчивость: Труды 34-й научной конференции аспирантов и студентов. СПб.: изд-во СПбГУ, 2003.

C. 48-52.

8. Каменская С.А. Строение окрестностей и точки переключения одной ги-стерезисной системы // Процессы управления и устойчивость: Труды 35-й научной конференции аспирантов и студентов. СПб.: изд-во СПб-ГУ, 2004. С. 51-56.

9. Камачкин A.M., Каменская С.А. Существование и свойства периодических решений системы с гистерезисом // Труды СВМО, 2004. Т. 6. jV® 1. С. 51-60.

10. Каменская С.А. Теорема о конечном числе периодических решений одной системы дифференциальных уравнений с неоднозначной правой частью // Процессы управления и устойчивость: Труды 36-й научной конференции аспирантов и студентов. СПб.: изд-во СПбГУ, 2005. С. 60-64.

11. Каменская С.А. О конфигурации периодических режимов одной п-мер-ной системы с гитерезисом // Труды СВМО, 2005. Т. 7, № 1. С. 333-340.

12. Каменская С.А. Качественное исследование периодических режимов одной нелинейной системы дифференциальных уравнений // Устойчивость и процессы управления Т. 3: Секции 9-10 : Труды междун. конференции (Санкт-Петербург, 29 июня - 1 июля 2005 г.) СПб.: СГ1БГУ, НИИ ВМ и ПУ, ООО ВВМ, 2005. С. 1373-1382.

13. Камачкин A.M., Евстафьева В.В., Каменская С.А., Степанов A.B. Задача В.И. Зубова о существовании и свойствах решений системы управления п-го порядка с неоднозначными нелинейностями // Устойчивость и процессы управления Т. 3: Секции 9-10 : Труды междун. конференции (Санкт-Петербург, 29 июня - 1 июля 2005 г.) СПб.: СПБГУ, ПИИ ВМ и ПУ, ООО ВВМ, 2005. С. 1363-1372.

14. Каменская С.А. Формирование гистерезисного закона управления динамикой // Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры: Материалы международной конференции (Брест, 5-8 октября 2005 г.), в 2 ч. Минск: БГПУ, 2005. Ч. 1. С. 130-136.

Тезисы докладов:

15. Камачкин A.M., Каменская С.А. Структура пространства параметров и фазового пространства гистерезисной системы n-го порядка //IX Белорусская математическая конференция: Тезисы докладов. В 3 ч. Гродно: ГрГУ, 2004. Ч. 3. С. 114-115.

16. Kamachkin A.M., Kamenskaya S.A. Qualitative Investigation of the Solution Stability in n-dimensional Hysteresis System 11 Book of Abstract of 2nd 1FAC Symposium on System, Structure and Control — SSSC04, 2004. P. 61.

17. Каменская С.А. Разбиение пространства параметров n-мерной гистерезисной системы на области различного динамического поведения // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 108-109.

18. Камачкин A.M., Каменская С.А., Степанов A.B. Строение фазового пространства диссипативной n-мерной гистерезисной системы управления // Еругинские чтения — X. Международная математическая конференция: тез. докл. Могилев: МГУ им. A.A. Кулешова, 2005. С. 122-123.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 27.04.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 306/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

Введение

Глава 1. Необходимые и достаточные условия существования периодических решений

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Фазовое пространство системы

1.2.1. Достаточные условия существования периодического решения с двумя точками переключения

1.2.2. Инвариантное множество фазового пространства системы (1.1), (1.2)

§ 1.3. Необходимые условия существования периодических решений с переключениями

1.3.1. Необходимые условия существования периодических решении с двумя точками переключения

1.3.2. Необходимые условия существования периодических решений с двумя точками переключения для системы ' с симметричной петлей гистерезиса.•

1.3.3. Достаточные условия сведения системы (1.1), (1.2) к системе (1.1), (1.23)

1.3.4. Необходимые условия существования периодических ф решений с 2q точками переключения.

В настоящее время растет интерес к исследованиям в области анализа ф и управления нелинейными колебательными системами. Такие задачи возникают при математическом моделировании различных управляемых процессов в механике, электротехнике, биологии, экологии, химии, медицине [1, 2, б, 33, 51, 52, 53, 54, 57, 60].

В данной работе в качестве математической модели рассматривается n-мерная система дифференциальных уравнений вида х = Ах + bf(a) а = Гтх, (1) где (-)т — знак транспонирования; матрица А, векторы Ь, Г — постоян-ф ные; х G Еп — вектор состояний системы; функционал f(a(t)), описывающий нелинейность типа двухпозициопного реле с гистерезисом [48, 32] с пороговыми числами 1\ и b (h < U) и выходами rri\ и то (т\ < 777-2), определен при t > 0 на классе непрерывных функций следующим образом: во-первых, из неравенства a(t) < I2 следует равенство f(a) = mi, а из неравенства a(t) > 1\ следует равенство f(a) = то, и, во-вторых, из неравенств l\ < a(i) < U (t 1 < t < (2) следует равенство u{ti) = crfo), то есть в случае 1\ < сг(0) < h входу cr(t) отвечает два допустимых выхода, а в противном случае — один допустимый выход [46].

В приложениях функционал f(<r(t)) называют нелинейной характери-^ стикой системы [1, 44]. Гистерезисную нелинейность можно трактовать как управление, зависящее от скалярного произведения постоянного вектора Г, определяющего обратную связь в системе, на вектор состояний системы х. В математических моделях систем управления нелинейности вида f(a) описывают реально существующее пространственное запаздывание управляющих механизмов (см., например, модель двухпозициопного авторулевого — системы стабилизации курса судна — с запаздыванием [1]) и могут как способствовать процессу стабилизации, так # и вызывать нежелательные колебательные процессы соответствующего технического объекта. Модели рассматриваемого вида могут возникнуть в задачах управления ориентацией космических аппаратов и стабилизацией при выполнении маневров или коррекции траектории [6]. ® Различные определения гистерезисной нелинейности, а также обширную библиографию можно найти, например, в [5, 56, 57, 60].

Гистерезисные нелинейности как один из источников реальных, «тонких нелинейных эффектов» [1, 38] в системах управления изучались давно [37, 38, 39, 58]. В работе [39] А.И. Лурье использует точный аналитический метод поиска периодических решений релейных систем, основанный на представлении искомых функций в виде полных или укороченных рядов Фурье. В работах А.А. Андронова и сотрудников его шко-^ лы [1] для исследования систем вида (1) с нелинейной функцией, объединяющей все типовые нелинейности (такие как мертвая зона, насыщение, гистерезисная петля), применялся метод точечных отображений, поэтому рассматривались в основном системы второго порядка. В монографии [41] Р.А. Нелепина изложен метод сечений пространства параметров, при помощи которого исследование динамики систем высокого порядка сводится к исследованию хорошо изученных систем 1-го и 2-го порядков. Ю.И. Неймарк посвятил работы [42, 43] исследованию движений динамических систем, среди которых были рассмотрены системы с неоднозначностями типа сухого трения и петлевой характеристикой реле, • и изучению структуры разбиения фазового пространства на траектории.

В монографии [9] В.И. Зубов рассмотрел большое число примеров построения и изучения колебательных режимов в системах управления с различными модификациями гистерезисных нелинейностей; для случая нелинейности типа двухпозиционного реле с гистерезисом была предложена задача полного качественного исследования поведения интегральных кривых системы (1) и сформулирована следующая гипотеза: «.если действительные части всех собственных чисел матрицы А отличны Ф от нуля, то система (1) при условии — ТтA~lbm\ > U, —YTA~lbrri2 < h имеет единственное периодическое стационарное собственное колебание.

Это периодическое решение будет автоколебанием, область притяжения которого совпадает со всем фазовым пространством в том случае, когда нулевое решение системы х = Ах асимптотически устойчиво». ® Для случая |/i| = /2 = /, где I — достаточно малое вещественное число, эта гипотеза была доказана самим В.И. Зубовым [11]. С работой [11] тесно связана работа [3] B.C. Антончика и Е.Я. Смирнова о релейной стабилизации программных движений с помощью релейного гистерезисного управления с достаточно малыми |/i| и I2.

В работе [4] Г.К. Баландина получены достаточные условия существования единственного периодического решения в случае диагональной, гурвицевой матрицы А и рассмотрен вопрос об устойчивости это-^ го решения. Ю.С. Колесов, используя понятие позитивного гурвицева многочлена, указал множество в фазовом пространстве, которому должен принадлежать вектор Г, чтобы у системы (1) существовало единственное устойчивое периодическое решение [34]. A.M. Камачкипу в работе [20] в предположениях гипотезы В.И. Зубова при условии ГТЬ ф О удалось показать существование по крайней мере одного автоколебания системы (1), а в случае, когда Г является собственным вектором матрицы Ат, и его единственность, без предположений о малости /1 и /2; а в работе [18], — что даже орбитальная устойчивость стационарного собственного колебания существенно зависят от расположения в фазовом Ф пространстве вектора Г и точек переключения периодического решения.

Дальнейшее изучение фазового пространства и пространства параметров систем вида (1), в том числе и при учете внешнего воздействия, разделилось на два направления исследования — качественными методами и функциональными методами. Первое направление в основном связано с именами сотрудников СПбГУ [12, 13], а второе основано на работах М.А. Красносельского и А.В. Покровского [32, 46, 45, 31, 47], которые касаются систем вида (1) с гурвицевой матрицей А, в том числе А и при учете внешних воздействий.

Существенный вклад в изучение систем вида (1), в том числе и при учете внешних воздействий, частотными методами внесли работы В.А. Якубовича и сотрудников его школы [49, 50, 7, 35, 36].

В монографии [30] Н.Е. Кирина получены эллипсоидальные оценки области притяжения системы вида (1) с нелинейностью /(сг) при достаточно малых li и /<2, а также решен вопрос о минимизации ы-пределыюго множества в этой системе в случае Е2 с помощью негладких функций Ляпунова.

В данной работе предлагается развитие подходов В.И. Зубова к изучению периодических решений систем с гистерезисом, без предположения о малости пороговых чисел 1\ и fa.

Цель работы заключается в проведении исследований, направленных на развитие теории управления, в частности, развитие теории управления колебательными системами, и построения на ее основе законов управления, создающих в системе колебания с заданными характеристиками.

Научная новизна работы. В работе получены достаточные условия на параметры системы, при выполнении которых фазовый портрет системы может быть приведен к симметричному виду. В условиях гипотезы В.И. Зубова показано, что симметричность фазового портрета системы не гарантирует ни единственности, ни устойчивости имеющихся решений.

Показано, что у рассматриваемой системы не может быть более, чем конченого числа асимптотически орбитальио устойчивых периодических решений, удовлетворяющих дополнительным ограничениям.

С помощью метода функций Ляпунова установлены достаточные условия на параметры и периодические решения системы, при выполнении которых эти решения являются асимптотически орбиталыю устойчивыми

Получены выражения для проверки периодических решений на непрерывную зависимость от параметров системы.

В фазовом пространстве системы на поверхностях переключения ее правой части выделены особые множества, обладающие тем свойством, что, если они пусты, то выполняются упомянутые выше дополнительные ® ограничения, позволяющие доказать существование у системы конечного числа асимптотически орбитально устойчивых решений.

В пространстве коэффициентов вектора обратной связи и пространстве выходных параметров реле, при условии, что все остальные параметры системы зафиксированы, построены и детально описаны области значений, при которых система имеет хотя бы одно периодическое решение.

Теоретическая и практическая значимость заключается в выделении из класса систем вида (1) систем, обладающих устойчивыми периодическими решениями, которые являются грубыми по отношению к параметрам системы. Полученные результаты применимы для конструирования систем управления на начальной стадии их проектирования.

Диссертационная работа состоит из настоящего введения, 3 глав, разбитых на параграфы, заключения, библиографического списка и 2 приложений.

В первой главе обсуждаются вопросы существования и локализации в фазовом пространстве периодических решений системы (1).

В § 1.1 изложена постановка задачи стабилизации системы (1); даны • определения основных понятий (периодического решения системы (1), точек переключения и времен перехода периодического решения, асимптотической орбитальной устойчивости периодического решения), используемых в диссертационной работе.

В § 1.2 обсуждаются достаточные условия существования периодических решений с переключениями, а также рассмотрена геометрия фазового пространства системы вида (1) в случае, когда действительные части собственных чисел матрицы А отрицательны. В фазовом простран-Ф стве при помощи функций Ляпунова построено ограниченное замкнутое множество G, в которое за конечное время попадают все интегральные кривые. Установлено, что, если периодические решения системы (1) существуют, их точки переключения лежат в ограниченных замкнутых областях, являющихся пересечением множества G с поверхностями пере-w ключения Ттх — г = 1,2. Результат иллюстрируется на примере.

В § 1.3 приведен способ отыскания периодических решений системы (1). На основании метода [9], предложенного Зубовым В.И., в предположении, что матрица А не имеет чисто мнимых собственных чисел, из необходимых условий существования замкнутых траекторий построены системы трансцендентных алгебраических уравнений относительно времен перехода (промежутков времени, за которое изображающая точка периодического решения попадает из одной точки переключения в другую) как для периодических решений, имеющих две точки переключения, так и для периодических решений с четным, большим двух числом точек переключения.

В случае системы вида (1) с симметричной петлей гистерезиса, то есть при |mi| = rri2, |/i| = lo, количество уравнений трансцендентной системы относительно времен перехода периодического решения может быть уменьшено. В связи с этим получены достаточные условия на параметры системы (1), то есть компоненты матрицы А, векторов Ь, Г, числа mi, 7712, /ь /2, при выполнении которых система вида (1) может быть сведена к системе с симметричной петлей гистерезиса путем параллельного переноса # координат (теорема 1.2.). При этом показано, что только симметричные или сводящиеся к симметричным системы могут иметь периодические решения с двумя точками переключения, времена перехода каждого из которых равны полупериоду решения.

Приведены примеры, характеризующие сложность динамики систем вида (1).

Во второй главе исследованы вопросы об асимптотической орбитальной устойчивости периодических, обладающих переключениями, решений системы (1) и о количестве решений, обладающих этим свойством.

В § 2.1 доказаны теоремы о конечном числе асимптотически орбиталь-но устойчивых решений с двумя точками переключения (теорема 2.1.) и конечном числе асимптотически орбитально устойчивых решений с ® конечным, большим двух, четным числом точек переключения (теорема 2.2.). При этом на точки переключения периодических решений накладываются дополнительные условия.

В § 2.2 исследовано поведение интегральных кривых системы (1) в достаточно малой окрестности периодической орбиты. В предположении что точки переключения известны, получены достаточные условия существования функции Ляпунова, с помощью которой доказана асимптотическая орбитальная устойчивость периодического решения, как для случая, когда периодическое решение не выходит из зоны неоднозначности функции f(cr) (теорема 2.3.), так и в случае, когда имеет место выход периодического решения из зоны неоднозначности функции /(сг) (теорема 2.4.). Результаты иллюстрируются на примере.

В третьей главе рассмотрены вопросы непрерывной зависимости времен перехода периодических режимов от параметров системы (1); выбора значений выходных параметров mi, rri2 управляющей функции либо коэффициентов вектора обратной связи Г, в предположении, что все остальные параметры системы заданы.

В § 3.1 получены условия, при выполнении которых имеет место непре-ф рывная зависимость времен перехода от параметров системы (утверждение З.1.). Показано, что асимптотически орбитально устойчивых периодических решений с двумя точками переключения, времена перехода которых обладают непрерывной зависимостью от параметров системы, а на точки переключения наложены дополнительные условия, может быть только конечное число.

В § 3.2 построены подмножества фазового пространства системы, такие, что, если эти подмножества пусты, то выполняются дополнительные условия, наложенные на точки переключения периодических режимов теоремами 2.1. и 2.2. (утверждение 3.2.).

В § 3.3 построены сечения пространства выходных параметров mi, rri2 и пространства коэффициентов вектора обратной связи Г, в предположении, что все остальные параметры системы (1) зафиксированы. При ® этом введено понятие области допустимых значений каждого из указанных пространств.

В § 3.4 показано, что кроме выбора параметров управляющей функции необходимо указать множество начальных данных, принадлежащих области притяжения периодического решения, так как возможно нарушение связности этих областей, отвечающих различным решениям. Получены условия, при выполнении которых не пусто множество допустимых значений в пространстве выходных параметров управления, если на тп\ и Ш2 накладываются дополнительные ограничения (утверждение 3.3.). Также получены условия, при выполнении которых не пусто множество допустимых значений пространства коэффициентов вектора обратной связи, если на величину нормы этого вектора накладываются дополнительные ограничения (утверждение 3.4.).

В заключении сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Библиографический список содержит 60 наименований. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 55]. # В приложении 1 приведены дополнительные выкладки к различным разделам диссертационной работы.

В приложении 2 дается краткий обзор функций прикладных программ, используемых для численного исследования примеров.

В диссертационной работе использована двойная нумерация формул, теорем, утверждений, определений, следствий, замечаний. Первая цифра означает номер главы, вторая — текущий номер в главе. Параграфы пронумерованы для каждой главы отдельно. Библиографический список приведен в алфавитном порядке. Для рисунков используется сквозная для всей работы нумерация.

Заключение

Рассмотренная в диссертации математическая модель взята из практики ф проектирования систем управления. В работе

1) получены достаточные условия на параметры автономной системы с релейным гистерезисом, при выполнении которых фазовый портрет системы может быть приведен к симметричному виду, при этом показано, что симметричность не гарантирует ни единственности, ни устойчивости решений системы;

2) доказано, что у рассматриваемой системы число асимптотически орбитально устойчивых периодических решений с 2q (q G N) точками переключения, удовлетворяющих дополнительным условиям на точки переключения, конечно;

3) получены достаточные условия, накладываемые на периодическое, не выходящее из зоны неоднозначности управляющей функции, решение системы, при выполнении которых это решение является асимптотически орбитально устойчивым;

4) получены достаточные условия, накладываемые на периодическое, имеющее выход из зоны неоднозначности управляющей функции, решение системы, при выполнении которых это решение является асимптотически орбитально устойчивым;

5) получено выражение для проверки периодических решений на непрерывную зависимость от параметров системы в некоторой окрестности заданной точки пространства параметров;

6) получено аналитическое выражение для выделения в фазовом пространстве системы множества, такого, что если хотя бы одна из точек решения принадлежит этому множеству, то имеет место каса

Ф ние периодической орбиты с поверхностью переключения. Показано, что если эти множества пусты, то выполняются дополнительные условия на точки переключения, позволяющие доказать существование у системы конечного числа асимптотически орбитально устойчивых периодических решений; в пространстве выходных параметров управления и в пространстве коэффициентов вектора обратной связи построены множества значений, при которых система имеет по крайней мере одно периодическое решение.

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. 1959.

2. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамический систем. М.: Наука, 1966.

3. Антончик B.C., Смирнов Е.Я. К вопросу релейной стабилизации программных движений // Дифференциальные уравнения, 1971. Т. 7. № 3. С. 538-539.

4. Брокате М. Оптимальное управление системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями с нелинейными характеристиками гистерезисного типа // АиТ, 1991. № 12. С. 3-51; 1992. № 1. С. 3-40.

5. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. М.: Наука, 1976.

6. Гелиг, Якубович В.А., Леонов Г.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

8. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962.

9. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., 1975.

10. Зубов В.И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. JL: Судпромгиз, 1966, 352с.

11. Зубов Н.В., Зубов С.В. Лекции по теории стабилизации динамических систем.: Учебное пособие. СПб.: Мобильность плюс, 1996.

12. Зубов Н.В., Зубов С. В. Математические методы стабилизации динамических систем / Под ред. Ю.З. Алешкова. С.-Петерб. гос. ун-т. СПб.: изд-во СПбГУ, 1996.

13. Зубов С.В. Об одной системе с гистирезисом // Дифференциальные уравнения, 1978. Т. 14. № 6. С. 1133-1135.

14. Зубов С.В. Автоколебания в системах с гистерезисом. В кн.: Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979. С. 310-326

15. Камачкип A.M. Достаточные условия единственности периодических решений системы управления с гистерезисом // Труды СВМО, 2003. Т. 5. № 1. С. 62-67.

16. Камачкин A.M. Орбитальная устойчивость периодического решения системы автоматического регулирования с запаздыванием управляющих механизмов // Прикладная и вычислительная математика в судостроении. Труды ЛКИ: Л.: Изд-во ЛКИ, 1981. С. 94-98.

17. Камачкин A.M. Существование и единственность периодического решения релейной системы с гистерезисом // Дифференциалные уравнения, 1972. Т. 8. № 8. С. 1505-1506.

18. Камачкин A.M., Каменская С.А. Структура пространства параметров и фазового пространства гистерезисной системы n-го порядка // IX Белорусская математическая конференция: Тезисы докладов. В 3 ч. Гродно: ГрГУ, 2004. Ч. 3. С. 114-115.

19. Камачкин A.M., Каменская С.А. Существование и свойства периодических решений системы с гистерезисом // Труды СВМО, 2004. Т. 6. № 1. С. 51-60.

20. Каменская С.А. О конфигурации периодических режимов одной п-мерной системы с гитерезисом // Труды СВМО, 2005. Т. 7, № 1. С. 333-340.

21. Каменская С.А. Разбиение пространства параметров n-мерной гистерезисной системы на области различного динамического поведения // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 108-109.

22. Каменская С.А. Формирование гистерезисного закона управления динамикой // Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры: Материалы международной конференции (Брест, 5-8 октября 2005 г.), в 2 ч. Минск: БГПУ, 2005. Ч. 1. С. 130-136.

23. Кирин Н.Е. Методы оценивания и управления в динамических системах. СПб., 1993.

24. Красносельский A.M., Рачинский Д.И. Об одном нелокальном признаке существования циклов систем с гистерезисом // АиТ, 2003. № 2. С.66-88.

25. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

26. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1993. Т. 199. С. 122-124.

27. Колесов Ю. С. Периодические решения уравнений n-го порядка с релейным управлением // АиТ. 1969. Т. 30. № 11. С. 178-181.

28. Леонов Г.А. Частотный критерий стабилизации нелинейных систем гармоническим внешним воздействием // АиТ, 1986. № 1. С. 169-174.

29. Леонов Г.А. Частотные методы в теории колебаний. СПб.: изд-во СПбГУ, 1992.

30. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: изд-во техникотеоретической литер., 1955.

31. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951.

32. Лурье А.И. Об автоколебаниях в некоторых регулируемых системах // АиТ, 1947. № 5. С. 335-348.

33. Мизулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1988.

34. Неленин Р.А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Л.: Судостроение, 1971.

35. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

36. Неймарк Ю.И. Динамика систем: Качественно-численное исследование динамических систем. Горький: Сб. ГГУ, 1988.

37. Неленин Р.А., Камачкин A.M., Туркин И.И., Шамберов В.Н. Алгоритмический синтез нелинейных систем управления. Л.: изд-во ЛГУ, 1990.

38. Покровский А.В. Системы с сильными нелинейностями // Математическая теория систем / Под ред. М.А. Красносельского. М.: Наука, 1986. С. 96-111.

39. Покровский А.В. Существование и расчет устойчивых режимов в релейных системах // АиТ, 1986. № 4. С. 16-23.

40. Семенов М.Е. Математическое моделирование устойчивых периодических решений в системах с гистерезисными нелинейностями. Воронеж, 2002.

41. Ципкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.

42. Якубович В.А. Частотные условия колебаний в нелинейных регулируемых системах с одной однозначной или гистерезисной нелинейностью // АиТ, 1975. е 12. С. 51-64.

43. Якубович В.А. В кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического регулирования / Под ред. Р.А. Нелепина. М.: Наука, 1976. С. 42-177.

44. Brokate М., Sprecels J. Hysteresis and Phase Transitions. N.Y.: Springer, 1996.

45. Criminale W.O., Mar T.F. The electric bell as a nonlinear oscillator // SIAM Review, 1991. Vol. 33. No. 1. P. 644-649.

46. Epstein I.R., Showalter K. Nonlinear chemical dynamics: Oscillations, patterns and chaos //J. Phys. Chem., 1996. Vol. 100. No. 31. P. 1313113147.

47. Grasman J., Jansen M.J. W. Mutually synchronized relaxation oscillators as prototypes of oscillating systems in biology //J. Math. Biol., 1979. Vol. 7. No. 2. P. 171-197.

48. Kamachkin A.M., Kamenskaya S.A. Qualitative Investigation of the Solution Stability in n-dimensional Hysteresis System // Book of Abstract of 2nd IFAC Symposium on System, Structure and Control — SSSC04, 2004. P. 61.

49. Macki J. W., Nistri P., Zecca P. Mathematical Models for Hysteresis j j SIAM Review, 1993. Vol. 35. No. 1. P. 94-123.

50. Mayergoyz I.D. Mathematical Models of Hysteresis. N.Y.: Springer, 1991.

51. Minagava S. A Proposal of a New Method of Phase Analysis of On-Off Control Systems with Relation to Sinusoidal Input // Bulletin of ISME, 1961. Vol. 4. P. 650-657.

52. Varigonda S., Giorgiou T.T. Dynamics of Relay Relaxation Oscillators // IEEE Transactions on Automatic Control, 2001. Vol. 46. No. 1. P. 65-77.

53. Visitin A. Differential Models of Hysteresis. Berlin: Springer, 1994.