О дифференциальных уравнениях систем гистерезисного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

НГУЕН Тхи ХИЕН

094616877

О дифференциальных уравнениях систем гистерезисного типа

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

- 9 ЛЕК 2010

ВОРОНЕЖ - 2010

004616877

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Садовский Борис Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Перов Анатолий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Семенов Михаил Евгеньевич

Ведущая организация: Институт проблем передачи информации

им. A.A. Харкевнча РАН

Защита состоится 21 декабря 2010 г. в 15 час. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете но адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212. 038. 22 доктор физико-математических наук, профессор

Глнклих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Системы с гистерезисом активно изучаются в связи с различными задачами физики, техники, теории управления. Основы математической теории систем с гистерезисом заложены в монографии М.А. Красносельского и A.B. Покровского "Системы с гистерезисом". В последовавшей серии работ различных авторов при изучении систем гистерезисного типа использовались явные н полуявные описания гнстерсзнсных элементов по Красносельскому — Покровскому, а также в последнее время локально явное описание Прядко — Садовского. В диссертации изучена возможность описания гнстсрезисных элементов и систем с гистерезисом с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих большой параметр. Такой подход позволяет применять для численного и качественного анализа систем с гистерезисом программы и методы, разработанные для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Целью работы являются разработка гладких описаний гнстерсзнсных элементов, сравнение новых описаний с известными дискретными, явными и полуявными, изучение примеров систем гнстсрезисных типов с использованием гладких моделей.

Методика исследований. В диссертации использовались методы теории функций и нелинейного функционального анализа; идеи и методы теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработаны описания реле с гистерезисом, упора, люфта и системы с диодной нелинейностью в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений с большим параметром.

2. Доказаны теоремы о близости поведений систем гистерезисного типа при использовании классических моделей, с одной стороны, и разработанных в диссертации гладких описаний - с другой.

3. Проведено исследование ряда конкретных систем гистерезисного типа с использованием гладких описаний.

В частности, введено и исследовано понятие выходной функции реле на всей оси; исследованы системы автоматического управления с одним, двумя реле; изучено поведение выходной функции бесконечного множества реле; рассмотрены примеры численного анализа оператора упора и люфта, изучена система с диодной нелинейностью в четырехугольнике на плоскости; доказана теорема о существовании и усиленной орбитальной устойчивости замкнутой траектории; проведены численные эксперименты по нахождению замкнутой траектории.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты имеют как теоретическую, так и практическую направленность; они могут быть использованы при исследовании конкретных систем гистерезисного типа и приближенном решении связанных с ними задач.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях по теории систем с гистерезисом, проводимых в научных коллективах Института проблем управления РАН, Института проблем передачи информации РАН, а также Воронежского, Нижегородского, Ростовского, Саратовского, Челябинского и Ярославского государственных университетов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — [7]. В совместных публикациях [5], [6] соавтору принадлежит постановка задач.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы, включающего 55 источников. Общий объем диссертации — 99 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан краткий обзор исследований по ее тематике н приведена общая информация о предлагаемых в работе математических описаниях таких элементов

и систем, как реле с гистерезисом, упор, люфт и система с диодной нелинейностью.

Реле рассматривается как преобразователь с произвольным непрерывным входом x(t) и выходом y(t), имеющим два возможных значения 0 и 1, причем при x(t) < а - только 0, при x(t) > ß - только 1. О скачком меняется на 1 при достижении входным сигналом значения ß, 1 па 0 - при достижении а. При этом a,ß (а < ß) называются, соответственно, нижним и верхним пороговыми значениями реле. Таким образом, областью ü(a,ß) допустимых состояний реле с пороговыми значениями а и ß является множество точек (х, у) плоскости, лежащих на двух полупрямых: у = 0 при х < ß и у = 1 при х > а.

В монографин М.А. Красносельского и A.B. Покровского "Системы с гистерезисом" дапо следующее явное оннсание такого реле, в котором начальное состояние (хо, Уо) 6 /?):

О, если x(t) < а V 3(ii)[x(ii) = а Л V(r е (tu ¿])[x(r) < ß]],

2/(0 = 1, если x(t) >ßV 3(ti)[x(ti) = ßh V(r e {tht])[x(r) > а]], уо, если х(т) 6 (a,ß) при всех г € [¿о, i].

(1)

При таком описании выходная функция меняет свое значение точно в моменты достижения входной функции пороговых значений, т.е. выходная функция непрерывна справа.

Следуя статье И.Н. Прядко и Б.Н. Садовского "О локально явных моделях некоторых негладких систем", выходной сигнал можно задать локально явным уравнением:

0, если x(t) < а, y(t + dt)={ 1, если x{t) > ß, (2)

y(t), если а < x(t) < ß.

Решение уравнения (2) определяется как непрерывная слева функция y{t), которая при каждом t из ее области определения удовлетворяет

этому уравнению при достаточно малых положительных <й : <й 6 (0, $(£)), б(() > 0. В дальнейшем, если (хо,Уо) лежит в области допустимых состояний реле в виде локально явного уравнения (2), то мы обозначим В,1а(а,(3,х)(уо) решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию у(Ьо) = уо. Утверждение о существовании и единственности такого решения доказано в той же статье.

Нелинейности люфт и упор широко используются в различных разделах физики, механики, теории управления и др. Одномерный упор, соответствующий отрезку [0,1] - это преобразователь, который монотонно возрастающему входу х(Ь) (£ > £о) и начальному состоянию щ ё [0,1] сопоставляет выходной сигнал и(£), который возрастает с той же скоростью, что и вход х{{), до тех пор, пока и(Ь) не становится равным верхнему ограничению 1; после этого при дальнейшем возрастании входного сигнала, выход и(Ь) равняется единице, т.е. и(£) = тт{1,:г(£) — х(Ь0) + «(£о)}- Для убывающего входа > ¿о) и начального состояния щ е [0,1] выход и(£) со скоростью входа убывает до достижения нижнего ограничения 0; после этого при дальнейшем убывании входного сигнала, выход и(£) не меняется, т.е. и({) = тах{0, — + 0)}.

Одномерный люфт, соответствующий отрезку [0,1] - это преобразователь, который монотонно возрастающему непрерывному входу х(Ь) и начальному состоянию зд € + 1] сопоставляет

выход г;(<), который равен ио, пока х(£) < Уо, и в дальнейшем, т.е. у{£) = тах{ио,а;(£)}. Для убывающего входа х(Ь) и начального состояния г;0 € [ж(£о),а:(£о) + 1] выход определяется аналогично: 1>о, покаа;(£) + 1 > г>о, и х{£) +1 в дальнейшем, т.е. = гшп{г>о, х{Ь) + 1}. Такие описания упора и люфта очевидным образом распространяются на кусочно монотонные непрерывные входы.

В монографии М.А. Красносельского и А.В. Покровского "Системы с гистерезисом" дано следующее описание упора и люфта. Кусочно-гладкая входная функция > Ц) преобразуется в выходные упора функцию

<p(t) и люфта функцию ip(t), определяемые соотношениями:

х, если ip 6 (0,1);

Ф = { гпах{0, х}, если <р = 0; min{0, х], если у? = 1.

0, если ф е (х,х + 1);

Ф = тах{0,±}, если ф = х] (4)

тт{0,я:}, если ф = х + 1.

В этой монографии доказано, что при заданном начальном условии решения двух последующих дифференциальных уравнений существуют и единственны; определения этих операторов распространяются по непрерывности на любые непрерывные входы. Кроме этого, доказано, что операторы упора и люфта обладают свойствами детерминированности, статичности, управляемости, виброкоректпости и монотонности.

В статье И.Н. Прядко и Б.Н. Садовского "О локально явных моделях некоторых негладких систем", даются математические описания упора и люфта в виде локально явных уравнений. Для монотонных входов выходные сигналы упора «(£) и люфта V(£) при малых <И > 0 можно задать локально явными уравнениями:

i{t + dt) = <

x(t + dt) - x(t) + u(t), если u(t) e (0,1),

x{t + dt) — max x(s)+u(t), если u(t) = 1,

t<s<t+dt

x{t + dt)— min x(s) + u(t), если u(t) = 0.

t<s<t+dt

(5)

max x(s) — x(t) + v(t), если v(t) = x(t),

t<s<t+dt

v(t + dt)=l min x(s) - x{t) + v(t), если v(t) = x(t) + 1, (6)

t<s<t+dt

v(t) в остальных случаях.

В статье доказано, что описания упора (5) и люфта (6) имеют смысл для всех непрерывных входов и они эквивалентны, соответственно,

приведенным выше феноменологическим описаниям. Кроме этого, доказана теорема о глобальной разрешимости н единственности сильного решения уравнений (5) и (6) с заданными начальными условиями.

Системы с диодными нелинейностями введены в качестве математического описания электрических цепей с диодными преобразователями тока. С точки зрения теории цепей диод называется идеальным, если его ток г и напряжение и от анода к катоду удовлетворяет следующей системе:

г >0, < и < 0, г • и = 0.

Описание таких цепей сводится к изучению систем, называемых обобщенными системами с диодной нелинейностью. Пусть <3 - непустое выпуклое замкнутое множество в Мп. Тогда обобщенная система с диодной нелинейностью имеет вид:

± = тх№,х), (7)

где тх/(Ь, х) - проекция вектора ¡(1, х) на Тх - касательный конус к <5 в точке х.

В ряде работ Б.Н. Садовского и его учеников для системы (7) изучен вопрос о разрешимости; приведено достаточное условие асимптотической устойчивости положения равновесия; рассмотрены условия существования периодического решения, эта задача связана с вопросом о вынужденных колебаниях в электрических цепях, содержащих диоды; доказано обобщение известной теоремы Пуанкаре - Бендиксона о существовании замкнутой траектории и описана ситуация, в которой гарантируется существование единственного орбитально устойчивого в усиленном смысле цикла.

Кроме того, во введении изложены основные результаты, полученные в диссертации.

В первой главе доказана практическая эквивалентность описаний

реле в явном (1) и локально явном виде (2), введены и обоснованы обозначения для выхода реле: Що(а, (3,х)(уо) и Rt_00(a,P,x){yo), доказаны свойства реле: автономность, вольтсрровость (причинность), полугрупповое свойство, статичность, управляемость н доказано утверждение о периодических входах и выходах.

Во второй главе предлагается описание реле с гистерезисом, записываемое в виде обыкновенного дифференциального уравнения с большим параметром. Такое описание удобно для численного анализа с применением современных пакетов прикладных программ. Оно может быть полезным и для качественного исследования систем управления методами теории дифференциальных уравнений. Изучается вопрос о погрешности гладкого описания по отношению к известному дискретному локально явному описанию (2). Основной результат заключается в том, что для некоторого класса систем релейного управления поведения таких систем с гладким описанием равномерно на любом временном промежутке стремятся к соответствующим поведениям с локально явным описанием при стремлении параметра в гладком описании к бесконечности. Найдены оценки близости этих поведений, рассмотрен частный случай. Построение и исследование такого описания составляет предмет данной главы.

В параграфе 2.1 дано гладкое описание реле:

w = K[(x-/3)+{l-w)-{a-x)+w], у = int(w + 5).

Здесь: w = w(t) - промежуточная (гладкая) выходная функция; К -большой параметр; х = x{t) - входная непрерывная функция; у = y(t) -(дискретная) выходная функция; х+ - положительная часть числа х, т.е. max{0,x}; int(:r) - непрерывная слева целая часть числа х, т.е. наибольшее целое число, меньшее х.

Для выхода реле в гладком описании (8), соответствующего входу х и начальному условию y(t0) = tu(fo) = Уо, будем использовать обозначение

(9)

В параграфе 2.2 доказана теорема о степени несовпадения выходов гладкого и локально явного описания: пусть непрерывная функция х в точках локального минимума и максимума не принимает значение, соответственно, а и ¡3. Тогда на любом конечном отрезке [¿о,Т] степень несовпадения выходов локально явного и гладкого реле, характеризующаяся следующей величиной

» = [£0,т] ■. в^{а,р,х){уо) Ф г)Ы).

стремится к 0 при К —> +оо.

В параграфах 2.3 - 2.5 сформулирована и доказана теорема о близости. Рассматриваются следующие две системы:

й = и,у), х{г) = <£>(«(£)),

о) = Щ,

г

и = Щ,и,у), Щ = <р(Щ),

и (¿о) = и0.

Теорема о близости формулируется следующим образом: при некоторых условиях на функции / и <р для любого решения «(£) (¿о < £ < Т) системы (9) существуют такие константы С и Ко, что при К > Ко решение и(£) системы (10) удовлетворяет неравенству:

Доказательство этой теоремы проводится с помощью леммы о зависимости решений от начальных данных и параметра (в п. 2.5.1) и следующих утверждений (в и. 2.5.2 - 2.5.5): утверждения об оценке времени

(10)

срабатывания гладкого реле; утверждения о близости поверхностей уровня; утверждения об оценке промежутка между выходами на пороговые значения и утверждения об оценке близости.

В параграфе 2.6 изучается частный случай, в котором рассматриваемые системы (9) н (10) являются скалярными. Тогда при некоторых условиях на функцию / указанную оценку для С в теореме о близости можно улучшить, а параметр К > 0 в (8) можно выбирать произвольно.

В третьей главе рассматриваются примеры анализа некоторых систем с релейным управлением. В параграфе 3.1 изучается система с одним реле на плоскости:

г' йЛ _ [1 ~~£

чй2/ V £ 1 - 2у(4)

и{го) = ко е к2 \ {0}.

ч

Здесь у({) - выход реле в виде локально явного уравнения с положительными пороговыми значениями а, ¡3 и входной функцией :г(£) =

(П)

ущ+ и|. При этом доказывается критерий периодичности решений: для того, чтобы начиная с некоторого момента, решение системы (11) было периодическим, необходимо и достаточно, чтобы £ 6 <3 = ЕГ/РЕсё^-Кроме того, в этом параграфе проводятся некоторые эксперименты численного анализа на основе гладкого описания реле.

В параграфе 3.2 исследуется вопрос о существовании периодического решения системы с двумя реле:

х = Цх,у),

я(0) = х0,

,У = У1 + У2, (12)

2/1 СО = Щ0(о!,Р,х)(уо1),

Ш (*)=Д?о(7,*,*)(Ы-Для случая, когда пороговые значения двух реле вложены, именно, 7 < а и Р < 6, в этом параграфе сформулировано и доказано

И

утверждение о существовании периодического решения: пусть функции f(x,Q),f(x,l),f(x,2) удовлетворяют локальному условию Липшица и выполнены следующие условия:

на [а, +оо) /(х, 2) < О,

па (-оо, /3] /(гс, 0) > О,

/0М)< О,

на 5] }(х, 1) > г > 0, причём существует конечный предел ¡(х, 1) при х —> ^^ + 0. Тогда для любого Хо €Е К\ каждое решение системы (12), начиная

с некоторого момента, является периодическим вправо и любые два решения этой системы, начиная с некоторого момента, совпадают с точностью до сдвига по времени.

В параграфе 3.3 изучается бесконечная система реле с пороговыми значениями (—п,п) (п £ Ы), общей входной функцией х({) и выходными функциями п-ого реле уп(0 в виде локально явного уравнения (2). Выходная функция бесконечной системы реле задается следующей формулой:

оо ^ оо

п= 1 п~ 1

В этом параграфе доказаны утверждения о существовании и единственности периодического выхода с любым наперед заданным средним значением из некоторого отрезка, однозначно определяемого входной функцией.

В четвертой главе для гистерезисных преобразователей упора и люфта предложены гладкие описания в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с большим параметром. Описания упора и люфта, построенные в этой главе, отличаются от описаний (3) и (4) тем, что с помощью сглаженной входной функции £(£) для непрерывной входной функции а:(£)(£ € [¿сь?1]) (см- параграф 4.1) они определяются

сразу для любых непрерывных функций, а не только кусочно гладких входов. Именно, гладкие выходные функции упора u(t) и люфта v(t), соответствующие непрерывному входу x(t) п (большому) параметру К, зададим уравнениями:

u = i + I<{(-u(t))+-(u(t)-1)+], (13)

v = К[(т - V(t))+ - (v(t) - 1 - f (t))+], (14)

где £ = £(i) - сглаэюенная входная функция для непрерывной входной функции x(t).

В параграфе 4.2 доказано утверждение об оценке близости выходов упора с гладким входом при гладком и классическом описаниях. С помощью этого утверждения в параграфах 4.3 н 4.4 сформулированы и доказаны утверждения об оценке близости между выходами упора (люфта) для гладких и классических описаний, в которых входная функция является непрерывной; полученные оценки выражаются через модуль непрерывности входной функции и)(х, (см. параграф 4.3).

Для упора утверждение формулируется следующим образом: пусть ip(t), u{t) - решения, соответственно, уравнения (3) и (13), удовлетворяющие начальным условиям:

<fi{to) = u(t0) = щ. Тогда для любого К > 0 на [to, Т] будет верна следующая оценка: \u(t)-<p{t)\<Mx,±).

Для люфта утверждение формулируется следующим образом: пусть ip(t), v(t) ~ решения, соответственно, уравнения (4) и (14), удовлетворяющие начальным условиям:

= v(*o) = г>0.

Тогда для любого К > 0 па [fo, Т] будет верна следующая оценка:

В параграфе 4.5 на основе гладкого описания упора н люфта приводятся эксперименты численного анализа, в которых получены приближенные решения систем (3) и (4) с непрерывной входной функцией.

В последней пятой главе изучается гладкое описание системы с диодной нелинейностью. Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью вида (7) построена и изучена близкая к ней система с непрерывной правой частью и большим параметром К. Такое гладкое описание определяется следующим уравнением (см. параграф 5.1):

у = пг,у)-к(у-у). (15)

Здесь у = Р(у,Я) - проекция у на - непустое замкнутое выпуклое множество в М"; для I 6 [¿о, ¿о+Т] и х £ <5 функция /(*:, х) непрерывна по £ при фиксированном х, удовлетворяет по х условию Липшица с константой Ь и ограничена по норме константой С.

В параграфе 5.2 доказана теорема о точности гладкого описания системы с диодной нелинейностью: пусть х(£),?/(£) - решения систем (7), (15), соответственно, удовлетворяющие одинаковым начальным условиям:

= у(к) =х0е(2.

Тогда при всех í € [¿о>£о + Т] верна следующая оценка:

В частном случае (в параграфе 5.3) по сравнению с (15) введено и другое гладкое описание - более эффективное, не использующее оператора проектирования. В двумерном пространстве К2 рассмотрим множество (3 как пересечение двух полупространств (¿1 и <52, которые являются множествами векторов г, соответственно, удовлетворяющих при некоторых фиксированных единичных щ 6 Е2 (г = 1,2) неравенствам (щ,г) < 0. Пусть П\,П2 не коллинеарны и ш € (0,7г) - меньший из двух углов

между этими секторами. В частном случае гладкое описание определяется следующим уравнением:

¿ = f(t,z)~ Kraax{(m,z)+,(n2,z)+} ^ щ, (16)

1еМ{г)

где

I в M(z) (щ, z) = max{(ni, z)+, (n2, z)+}.

С помощью теоремы о точности гладкого описания системы с диодной нелинейностью в этом параграфе доказана теорема о близости решений соответствующих начальных задач порядка 1 ¡у[К\ пусть x(t),z(t) -решения систем (7), (16), соответственно, удовлетворяющие начальным условиям:

z(tо) = s(í0) = zo е Q. Тогда при всех t 6 [íq, Iq + Т] справедлива следующая оценка:

CeLT 1

sJL mm{2 eos f, 1} cos f \JK

В параграфе 5.4 рассматривается электрическая цепь, которая состоит из сопротивления R, индуктивности L и источника ЭДС, подключенного с помощью диодного двухполуиернодного выпрямителя. Описание этой цепи приводится к дифференциальному уравнению вида (7) и соответствующей гладкой модели (16). С помощью теоремы предыдущего параграфа получена оценка близости соответствующих решений.

В параграфе 5.5 сформулирована и доказана обобщенная теорема о существовании и единственности предельного цикла.

В параграфе 5.6 рассматривается пример применения этой обобщенной теоремы. Пусть множество Q С R2 есть некоторый выпуклый четырехугольник. На этом множестве рассматривается система (7), в которой функция / не зависит от i, именно, рассмотрим f(x) = А(х — а;*), где

А= ,а,/?,£> О н х* е intQ

(см. п. 5.6.1). В пункте 5.6.2 доказана теорема, в которой найдено достаточное условие на параметр е > 0 для того, чтобы все условия обобщенной теоремы были выполнены.

В параграфе 5.7 на основе (16) определено гладкое описание для примера из предыдущего параграфа. При этом доказана теорема об оценке близости между решениями классического и гладкого описания. Кроме того, приводятся некоторые эксперименты численного анализа и для одного конкретного получена оценка близости между соответствующими решениями.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Нгуен Тхи Хиен. Анализ автоколебании в системе с двумя реле / Нгуен Тхи Хиен // Труды математического факультета. - Воронеж: ВорГУ, 2006. - Вып. 10 (новая серия). - С. 112-118.

[2] Нгуен Тхи Хиен. Анализ автоколебаний в системе с двумя реле / Нгуен Тхи Хиен // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна: тез. докл, Воронеж, 2006 г. - Воронеж: ВорГУ, 2006. - С. 69.

[3] Нгуен Тхи Хиен. Гладкие модели упора и люфта / Нгуен Тхи Хиен // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - 2009. - № 2. - С. 92-95.

[4] Нгуен Тхи Хиен. Гладкие модели упора и люфта / Нгуен Тхи Хиен // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна: тез. докл, Воронеж, 2010 г. - Воронеж: ВорГУ, 2010. - С. 108-109.

[5] Нгуен Тхи Хиен. Гладкая модель реле с гистерезисом / Нгуен Тхи Хиен, Б.Н. Садовский // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна: тез. докл, Воронеж, 2010 г. - Воронеж: ВорГУ, 2010, с. 109-110.

[6] Нгуен Тхн Хиен. Гладкая модель реле с гистерезисом / Нгуен Тхи Хиен, Б.Н. Садовский // Автом. и телемех. - 2010. - № 11. - С. 100-111.

[7] Нгуен Тхи Хиен. О точности гладкой модели системы с диодной нелинейностью / Нгуен Тхи Хиен // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - 2010. - № 2. - С. 240-243.

Работы [6], [7] соответствуют списку ВАК.

Подл, в печ. 12.11.2010. Формат 60*84 V,6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 80 экз. Заказ 1435.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3 Тел. 204-133

Введение

1 Предварительные результаты для изучения систем с релейным управлением

1.1 Утверждение об практической эквивалентности описания реле в виде локально явного уравнения явному описанию по Красносельскому - Покровскому.

1.2 Свойства реле Я\

1.2.1 Автономность.

1.2.2 Вольтерровость - причинность.

1.2.3 Полугрупповое свойство.

1.2.4 Статичность.

1.2.5 Управляемость.

1.3 Определение Я*

1.4 Свойства Н^оо

1.4.1 Автономность.

1.4.2 Вольтерровость - причинность.

1.4.3 Полугрупповое свойство.

1.4.4 Статичность.

1.4.5 Управляемость.

1.5 Утверждение о периодических входах и выходах.

2 Гладкое описание реле с гистерезисом

2.1 Постановка задачи.

2.2 Теорема о степени несовпадения выходов гладкого и локально явного описания.

2.3 Формулировка теоремы о близости.

2.4 Оценки констант.'.

2.5 Доказательство теоремы о близости.

2.5.1 Лемма о зависимости решений от начальных данных и параметра.

2.5.2 Утверждение об оценке времени срабатывания гладкого реле.

2.5.3 Утверждение о близости поверхностей уровня

2.5.4 Утверждение об оценке промежутка между выходами на пороговые значения.

2.5.5 Утверждение об оценке близости.

2.6 Частный случай

2.6.1 Оценка констант С в частном случае

2.6.2 Доказательство.

3 Примеры анализа некоторых систем с релейным управлением

3.1 Система с одним реле на плоскости

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Теорема (критерий периодичности решений)

3.1.3 Эксперименты численного анализа.

3.1.4 Оценка близости к решениям системы с локально явным описанием реле.

3.2 Система с двумя реле.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Утверждение о существовании периодического решения

3.3 Бесконечная система реле

3.3.1 Лемма о двоичной системе

3.3.2 Утверждение о существовании периодического выхода

3.3.3 Утверждение о существовании и единственности периодического выхода.

4 Гладкое описание упора и люфта

4.1 Постановка задачи.

4.2 Утверждение об оценке близости выходов упора с гладким входом.

4.3 Утверждение об оценке близости выходов у пора с непрерывным входом.

4.4 Утверждение об оценке близости для выхода люфта с непрерывным входом.

4.5 Эксперименты численного анализа и оценки близости

5 Гладкое описание системы с диодной нелинейностью

5.1 Постановка задачи.

5.2 Теорема о точности гладкого описания системы с диодной нелинейностью.

5.3 Частный случай

5.4 Пример

5.5 Обобщенная теорема о существовании и единственности предельного цикла (см.[22]).

5.6 Пример применения обобщенной теоремы

5.6.1 Постановка задачи.

5.6.2 Теорема о замкнутой траектории.

5.7 Оценка близости и эксперименты численного анализа

5.7.1 Теорема об оценке близости.

5.7.2 Эксперименты численного анализа.

Появление математических описаний гистерезисных явлений обусловливалось достаточно богатым набором прикладных задач (прежде всего в теории автоматического регулирования), в которых носители гистерезиса нельзя рассматривать изолированно, поскольку они являлись частью некоторой более сложной системы. Создание математической теории гистерезиса относится к 60-м годам XX века, когда в Воронежском государственном университете начал работать семинар под руководством М. А. Красносельского, посвященный "гистерезисной" тематике. В связи с семинаром было подготовлено и опубликовано несколько работ (см. [14] - [18], [28] и [2]). Позднее, в 1983 году появилась монография [19], в которой различные гистерезисные явления получили формальное описание в рамках теории систем: гистерезисные преобразователи трактовались как операторы, зависящие от своего начального состояния кь,к от параметра, определённые на достаточно богатом функциональном пространстве (например, пространстве непрерывных функций), действующие в некоторое функциональное пространство. Различным вопросам, связанным с гистерезисными нелинейностями, посвящены многие сотни статей и монографий. Информацию о подходах к изучению гистерезисных явлений, а также обширную библиографию можно найти в [47], [48], [3], [4], [24], [12], [5], [13], [36], [37], [29] - [31] и [1].

Реле рассматривается как преобразователь с произвольным непрерывным входом х(£) и выходом ?/(£). имеющим два возможных значения 0 и 1, причем при х{€) < а - только 0, при ж(£) > ¡3 - только 1. 0 скачком меняется на 1 при достижении входным сигналом значения /3, 1 на 0 - при достижении а. При этом а, /3 (а < (3) называются, соответственно, нижним и верхним пороговыми значениями реле. Таким образом, областью Г£(а;, (3) допустимых состояний реле с пороговыми значениями а и /3 является множество точек (ж, у) плоскости, лежащих на двух полупрямых: у — 0 при х < /? и у — 1 при х > а. Различные формальные уточнения приведенного феноменологического описания реле рассматривались многими авторами (см., например, [44], [19], [13], [29] и [30]).

По Я.З. Цыпкину уравнение гистерезисного элемента в общем случае определяется не функцией от входа х, а оператором, определенным на входах х, и может быть представлено в виде

Эта запись показывает, что выходная величина y(t) в момент t определяется значением входной величины x(t) не только в момент i, но и его значениями во все предыдущие моменты времени и, кроме того, y(t) зависит от некоторого параметра ст. Описания нелинейных элементов при наличии гистерезиса в общем случае можно найти в работах В.А. Якубовича [45], [46]. В цикле работ Я.З. Цыпкина (см. [40] - [43]) изучены различные аспекты теории релейных автоматических систем. Релейный элемент, отвечающий приведенному выше феноменологическому описанию, Я.З. Цыпкин называет элементом с положительным гистерезисом и без зоны нечувствительности (см. [44], с. 74). Если обозначим через ° — Ух £ {ОД} значение выходного сигнала после последнего момента ¿1 переключения реле, то уравнение такого элемента можно представить в следующем виде (приведем его в несколько измененной эквивалентной форме): y(t) = Ф(ж;2/1) =

1, если х > ß или ß > x(s) > а при у\ = 1;

0, если х < а или а < x{s) < ß при у\ = 0.

В монографии М.А. Красносельского и A.B. Покровского [19] (см. также [13]) дано следующее явное описание такого реле (мы приводим его в несколько измененной эквивалентной форме). При каждом начальном состоянии (хо,уо) G О (се, ß) в момент времени t — to допустимыми являются непрерывные входы x(t) (t > ¿о), удовлетворяющие условию x(to) = Жо- Допустимому входу х(t) отвечает выход y(t) (t > to), который определяется соотношениями: г

О, если х(г) <аУ = а Л У(т е (£ь Ц)[х(т) < (3]\,

2/(*) = 1, если х{€) >(ЗУ З^г^х^г) — ¡ЗА \/(т Е г])[ж(т) > а]], т/о? если ж(г) € (а, (3) при всех т Е [¿о?£]

1)

Нетрудно видеть, что при таком описании выходная функция меняет свое значение точно в моменты достижения входной функции пороговых значений, т.е. выходная функция непрерывна справа.

Следуя [29], в соответствии с приведенным феноменологическим описанием выходной сигнал можно записать локально явным уравнением: ей) = <

0, если х(£) < а,

1, если > (3, (2) если а < х(Ь) < (3.

Решение уравнения (2) определяется как непрерывная слева функция ?/(£), которая при каждом £ из ее области определения удовлетворяет этому уравнению при достаточно малых положительных скЬ : <И Е (0,£(£)),

ОД > 0.

Заметим, что для описания реле в виде локально явного уравнения (2) областью £1(а,/3) допустимых состояний реле с пороговыми значениями а и (3 является множество точек (х, у) плоскости, лежащих на двух полупрямых: у — 0 при х < (3 и у = 1 при х > а. В дальнейшем, если (хо,Уо) лежит в этой области, то мы обозначим Щ (ос, /3,х)(уо) решение уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию у(Ьо) = т/о- Утверждение о существовании и единственности такого решения доказано в [29].

В [30] показано, что при локально явном описании (2) реле обладает основными свойствами, отмеченными в [19], например, свойством монотонности по входам и монотонности по пороговым значениям. Кроме этого, доказана непрерывная зависимость выхода от входа при условии, что непрерывная входная функция в точках локального максимума не принимает значение ß, а в точках локального минимума - а. В локально явном уравнении (2) предполагается непрерывность выходной функции слева, что существенно связано со спецификой локально явных уравнений; практически описания (1) и (2) эквивалентны.

Нелинейности люфт и упор широко используются в различных разделах физики, механики, теории управления и др. (см., например, [11], [3], [10] и [19]). Одномерный упор, соответствующий отрезку [0,1] - это преобразователь, который монотонно возрастающему входу x{t) (t > to) и начальному состоянию г/о € [0,1] сопоставляет выходной сигнал u(t), который возрастает с той же скоростью, что и вход x(t), до тех пор, пока u(t) не становится равным верхнему ограничению 1; после этого при дальнейшем возрастании входного сигнала, выход u(t) равняется единице, т.е. u{t) = min{l,a:(i) — x{to) -f it(io)}. Для убывающего входа x(t)(t > ¿о) и начального состояния ^о 6 [0,1] выход u(t) со скоростью входа убывает до достижения нижнего ограничения 0; после этого при дальнейшем убывании входного сигнала, выход u(t) не меняется, т.е. u(t) = max{0, x(t) — x(t0) 4- u(to)}

Одномерный люфт, соответствующий отрезку [0,1] - это преобразователь, который монотонно возрастающему непрерывному входу x{t) и начальному состоянию г>о 6 [x(to),x(to) + 1] сопоставляет выход v(t), который равен Vq, пока x(t) < г>о, и x(t) в дальнейшем, т.е. v(t) = mdx{vo,x(t)}. Для убывающего входа x(t) и начального состояния vq £ [&(io)> x(to) +1] выход определяется аналогично: г>о, пока x{t) 4-1 > vq, и x(t)~Ы в дальнейшем, т.е. v(t) = min{i;o, + Такие описания упора и люфта очевидным образом распространяются на кусочно монотонные непрерывные входы.

В монографии М.А. Красносельского и A.B. Покровского [19] дано следующее описание упора и люфта. Кусочно-гладкая входная функция x(t)(t > to) преобразуется в выходные упора функцию (p{t) и люфта функцию ф{Ь), определяемые соотношениями: г х, если ср е (0,1);

Ф — \ шах{0, £}, если = 0; min{0, £}, если <р = 1. ч

О, если ф £ (х,х + 1);

Ф — \ тах{0, £}, если ф = ж;

4) min{0, £}, если ф = х 4-1. V

В этой монографии (с. 111) доказано, что при заданном начальном условии решения двух последующих дифференциальных уравнений существуют и единственны. Под решением любого из этих уравнений понимается локально абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая ему почти всюду. Из леммы 2.2 на с. 16 и формулы (16.25) на с. 111 вытекает, что соответствия х t—>• ip и х ь-> ф при фиксированных начальных значениях выходов удовлетворяют в норме пространства С условию Липшица с константами, соответственно, 1 и 2. Поэтому определения этих операторов распространяются по непрерывности на любые непрерывные входы. Кроме этого, доказано, что оператор люфта обладает свойствами детерминированности, статичности, управляемости, виброкоректности (с. 18) и самым важным свойством монотонности — люфт монотонен в том смысле, что увеличение (уменьшение) входного сигнала влечет увеличение (уменьшение) и выходного сигнала (с. 22). В силу связи между упором и люфтом (с. 111) получим, что преобразователь упора также обладает аналогичными свойствами.

В [30] даются математические описания упора и люфта в виде локально явных уравнений. Для монотонных входов x(t) выходные сигналы упора u(t) и люфта v(t) при малых dt > 0 можно задать локально явными уравнениями: х(Ь + ей) — х{Ь) -4- если £ (0,1), ь(г + (И) = х(1 + - + если = и v(t + dt) = < x(t + dt)— min x(s)+u(t), если u(t) = 0. t<s<t+dt max xi s) — x(t) + vit), если vit) — xit), t<s<t+dt w min xis) — xit) + vit), если vit) = xit) + 1, t<s<t+dt

6) v(t) в остальных случаях.

В [30] доказано, что описания упора (5) и люфта (6) имеют смысл для всех непрерывных входов и они эквивалентны, соответственно, приведенным выше феноменологическим описаниям. Кроме этого, доказана теорема о глобальной разрешимости и единственности сильного решения уравнений (5) и (6) с заданными начальными условиями.

Системы с диодными нелинейностями введены в рассмотрение [26], [27] в качестве математического описания электрических цепей с диодными преобразователями тока. С точки зрения теории цепей диод называется идеальным, если его ток I и напряжение и от анода к катоду удовлетворяет следующей системе: г > 0, и < 0, г - и = 0.

Геометрически эта система означает, что точка с координатами (г, и) в любой момент времени должна принадлежать линии, составленной из положительной полуоси г и отрицательной полуоси и. Цепи ЯЬСО и более широкие классы цепей изучались многими авторами (см., например, [8], [39], [38], [32], [33], [23], [6], [34], [7], [20], [21], [9], [25], [35] и [22]). Описание таких цепей сводится к изучению систем, называемых обобщенными системами с диодной нелинейностью. Пусть С} - непустое выпуклое замкнутое множество в Кп. Тогда обобщенная система с диодной нелинейностью имеет вид: х = тх/(г,х), (7) где тх/(Ь,х) - проекция вектора /(£, х) на Тх - касательный конус к в точке х (см. [19] с. 109).

В работе [20] изучается вопрос о разрешимости системы (7): доказана теорема о существовании и единственности решения данной системы при некотором начальном условии; в [9] получено достаточное условие асимптотической устойчивости положения равновесия системы (7); в [25] изучаются условия существования периодического решения данной системы, эта задача связана с вопросом о вынужденных колебаниях в электрических цепях, содержащих диоды; в [22] доказывается обобщение известной теоремы Пуанкаре - Бендиксона о существовании замкнутой траектории и описана ситуация, в которой гарантируется существование единственного орбиталыго устойчивого в усиленном смысле цикла.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Дадим краткое описание диссертации по главам.

1. Appell J. On the stability of some relay-type regulation system / J. Appell, 1.N. Pryadko, B.N. Sadovsky // Z. Angew. Math. Mech. 88. -2008. - № 10. - P. 808-816.

2. Владимиров A.A. Покровский A.B. Векторные гистерезисные нелинейности типа Мизеса Треска / A.A. Владимиров и др.] // ДАН СССР. - 1981. - Т. 257, № 3. - С. 506-509.

3. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления / A.A. Воронов. М.: Энергия, 1980. - 312 с.

4. Гильман Т.С. Вынужденные колебания систем с простейшими ги-стерезисными нелинейностями / Т.С. Гильман, A.B. Покровский // ДАН СССР. 1982. - Т. 262, № 3. С. 437-450.

5. Golubev G. On the second order minimax estimation in partial linear models / G. Golubev, W. Hardie // Math. Methods of Stat. -2000. -V. 2. P. 160-175.

6. Данилов JI. В. Ряды Вольтерры-Пикара в теории нелинейных электрических цепей / JI.B. Данилов. М.: Радио и связь, 1987. - 224 с.

7. Данилов JI.B. Теория нелинейных электрических цепей / Л.В. Данилов, П.Н. Матханов, Е.С. Филиппов. Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 256 с.

8. Дезоер Ч.А. Основы теории цепей / Ч.А. Дезоер, Э.С. Ку. М.: Связь, 1976. - 286 с.

9. Дробченко Е.Ю. Об устойчивости положения равновесия двумерной системы дифференциальных уравнений с фазовыми ограничителями / Е.Ю. Дробченко, Р.В. Нестеренко, Б.Н. Садовский // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2001. - № 1. С. 95-96.

10. Дюво Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.Л. Лионе. М.: Наука, 1980. - 384 с.

11. Емельянов C.B. Теория систем с переменной структурой / C.B. Емельянов. М.: Наука, 1970. - 592 с.

12. Зубов C.B. Устойчивость периодических решений в системах с гистерезисом / C.B. Зубов // Нелинейный анализ и его приложения: тез. докл. междунар. конгр, Москва, 1-5 сент. 1998 г. М., 1998. - С. 293-307.

13. Красносельский A.M. О континуумах циклов в системах с гистерезисом / A.M. Красносельский, Д.И. Рачинский // Доклады РАН. -2001. Т. 378, № 3. - С. 314-319.

14. Красносельский М.А. Оператор-гистерант / М.А. Красносельский и др.] // ДАН СССР. 1970. - № 1. - С. 29-33.

15. Красносельский М.А. Системы гистеронов / М.А. Красносельский, A.B. Покровский // ДАН СССР. 1971. - Т. 200, № 4, - С. 733-736.

16. Красносельский М.А. Периодические колебания в системах с релейными нелинейностями / М.А. Красносельский, A.B. Покровский // ДАН СССР. 1974. - Т. 216, № 4. - С. 733-736.

17. Красносельский М.А. Моделирование преобрзователей с гистерезисом континуальными системами реле / М.А. Красносельский, A.B. Покровский // ДАН СССР. 1976. - Т. 227, № 3. - С. 547-550.

18. Красносельский М.А. Правильные решения интегральных уравнений с разрывной нелинейностью / М.А. Красносельский, A.B. Покровский // ДАН СССР. 1976. - Т. 226, № 3. - С. 506-509.

19. Красносельский М.А. Системы с гистерерисом / М.А. Красносельский, A.B. Покровский. М.: Наука, 1983. - 272 с.

20. Лобанова O.A. О движении точки в ограниченном фазовом пространстве / O.A. Лобанова // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. Воронеж: ВорГУ, 1999. - С. 88-92.

21. Лобанова O.A. О существовании предельного цикла у линейной системы с ограничением / O.A. Лобанова // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2001. - № 1. - С. 108-110.

22. Лобанова O.A. О двумерных динамических системах с ограничением /O.A. Лобанова, Б.Н. Садовский // Дифференциальные уравнения.- 2007. Том. 43, № 4. - С. 449-456.

23. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейныецепи / П. Н. Матханов. М.: Высшая школа, 1986. - 352 с.t

24. Mayergoyz I.D. Mathematical Models of Hysteresis / I.D. Mayergoyz. -New York: Springer, 1991. 207 p.

25. Нестеренко P.B. О вынужденных колебаниях в двумерном конусе / Р.В. Нестеренко, Б.Н. Садовский // Автом. и телемех. 2002. - № 2. - С. 14-21.

26. Петрова Л.П. К математической теории электрических цепей с диодными преобразователями тока / Л.П. Петрова, Б.Н. Садовский. -Воронеж: ВорГУ, 1982. 27 с.

27. Прядко И.Н. О локально явных моделях некоторых негладких систем / И.Н. Прядко, Б.Н. Садовский // Автом. и телемех. 2004. -№ 10. - С. 40-50.

28. Прядко И.Н. О локально явных уравнениях /И.Н. Прядко // Диссертация канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 2006. - 115 с.

29. Pryadko I.N. On locally explicit equations and systems with switching / I.N. Pryadko, B.N. Sadovsky // Func. Diff. Equat. 2006. - T. 13, № 3-4. - P. 571-584.

30. Садовский Б.Н. Системы с диодными нелинейностями и максимальные монотонные операторы / Б.Н. Садовский. В кн.: VIII школа по теории операторов в функциональных пространствах, 2 часть. 1 Рига, 1983.

31. Садовский Б.Н. К математической теории цепей с тиристорами / Б.Н. Садовский, М.П. Соболевская // Сб. научных трудов Динамика неоднородных систем. Материалы семинара. М.: ВНИИСИ, 1984. - С. 178-182.

32. Садовский Б.Н. О двумерных динамических системах с ограничением / Б.Н. Садовский, O.A. Лобанова // Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений: тез. докл. конф, 30 июня-4 июля, Воронеж, 2003 г. Воронеж, 2003. - С. 170-171.

33. Семенов М.Е. Математическое моделирование динамических систем с гистерезисными явлениями / М.Е. Семенов // Диссертация д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 2003. - 192 с.

34. Синицкий Л.А. Методы аналитической механики в теории электрических цепей / Л.А. Синицкий. Львов : Вища школа, 1978. - 138 с.

35. Теоретические основы электоротехники. Том I. Основы теории линейных цепей / Под редакцией Ионкина П.А. М.: Высшая школа, 1976. - 544 с.

36. Цыпкин Я.З. Частотные характеристики релейных следящих систем / Я.З. Цыпкин // Автом. и телемех. 1959. -Т. 20, № 12. - С. 16031610.

37. Цыпкин Я.З. Влияние случайных помех на периодический режим в релейных автоматических системах /Я.З. Цыпкин // Доклады АН СССР. -1961. Т. 139, № 3. - С. 570-573.

38. Цыпкин Я.З. Об устойчивости релейных автоматических систем "в большом"/ Я.З. Цыпкин // Известия АН СССР ОТН "Техника кибернетика". 1963. - № 3. С. 121-135.

39. Цыпкин Я.З. частотный метод анализа автоколебаний и вынужденных колебаний в релейных системах автоматического регулирования / Я.З. Цыпкин // под ред. Солодовникова "машиностроение". 1969. - Книга 3, ч. 2. - С. 101-104.

40. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы /Я.З. Цыпкин. -М.: Наука, 1974. 575 с.

41. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисным нелинейностями / В.А. Якубович // ДАН СССР. 1963. - Т. 149, № 2. - С. 288-291.

42. Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. III. Абсолютная устойчивость систем с гистерезистными нелинейностями / В.А. Якубович // Автом. и телемех. 1965. - Т. 26, № 5. - С. 753-763.

43. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками / В.А. Якубович // Автом. и телемех. 1967. -Т.23, №6. - С. 5-30.

44. Нгуен Тхи Хиен. Анализ автоколебаний в системе с двумя реле / Нгуен Тхи Хиен // Труды математического факультета. Воронеж: ВорГУ, 2006. - Вып. 10 (новая серия). - С. 112-118.

45. Нгуен Тхи Хиен. Анализ автоколебаний в системе с двумя реле / Нгуен Тхи Хиен // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна: тез. докл, Воронеж, 2006 г. Воронеж: ВорГУ, 2006. - С. 69.

46. Нгуен Тхи Хиен. Гладкие модели упора и люфта / Нгуен Тхи Хиен // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2009. - № 2. - С. 92-95.

47. Нгуен Тхи Хиен. Гладкие модели упора и люфта / Нгуен Тхи Хиен // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна: тез. докл, Воронеж, 2010 г. Воронеж: ВорГУ, 2010. - С. 108-109.

48. Нгуен Тхи Хиен. Гладкая модель реле с гистерезисом / Нгуен Тхи Хиен, Б.Н. Садовский // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна: тез. докл, Воронеж, 2010 г. Воронеж: ВорГУ, 2010, с. 109-110.

49. Нгуен Тхи Хиен. Гладкая модель реле с гистерезисом / Нгуен Тхи Хиен, Б.Н. Садовский // Автом. и телемех. 2010. - № 11. - С. 100-111.

50. Нгуен Тхи Хиен. О точности гладкой модели системы с диодной нелинейностью / Нгуен Тхи Хиен // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2010. - № 2. - С. 240-243.