Дифференциальные уравнения со сложными нелинейностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

на прапах рукописи

РГБ ОД

■ . :•( П п : !

1ЮРЗДЫКО ВЕРОНИКА ИИЛИОШ1Л

ДИси<11ЕРЕНЦ«АЛТ>НЫЕ УРАВНЕНИЯ СО СЛ ОЖИТЖ М НЕЛИНЕЙНО СТЯМК

Специальность: 01.0! .02 -дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Душанбе -2000

Работа выполнена ном университете

в Таджикском государственном нашюн.

Официальные оппоненты: член-корр. АН РТ, доктор физико-

математических наук, профессор МУХАМАДИЕВ Э.М.,

доктор физико-математических наух, профессор КУРБАЛШОЕВ СЗ., доктор физихо-матсматнческнх наук, профессор САД ОБСКИЙ Б.Н.

Ведущая организация: Институт проблем управления Российской Академии наук (г.Мосхва)

"Л^/" О /¿/>1

Защита диссертации состоится у» а /опг . 2000г. а часов на заседании диссертационного соот Д 065.01.07. по защите диссертации на соискание ученой степени доэтора фнзико- • математического наух в Таджикском государственном'национальном ункзеряггете по адресу: 734025, Республика Таджикистан гДушанбе пр. Рудаки, 17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тадаагкского государственного национального университета

Автореферат разослан

2000г.

Учеяый секретарь дасогртяциошюго совета, доктор филрянаатеМйлпеских

паук, профессор ' ДХ САФАРОВ

)

э

Многие задачи механики, физики, управления, экологии и др. приводят к необходимости рассмотрения систем со сложными нелинейностями той или иной природа. Исследование динамики таких систем требует изучения новых классов эволюционных уравнений.

Настоящая работа посвящена методам исследования двух классов эволюционных уравнений, первый из которых связан с описанием динамики систем, содержащих гисторозисныэ нелинейности, о второй - с описанием динамики систем запаздывающего типа.

К уравнениям, содержащим нелинейные зависимости гистерезисного типа, приводят многочисленные задачи фнз'ихи, механики, управления, биологии и др.; здесь достаточно.упомянуть магнитный гистерезис, пластический гистерезис и т.д.

Основы общей математической теории систем с гистерезпсннмп нелинейностями были заложены N.А.Красносельским и ого научной школой. В этой теории каядая гисторезисная нелинейность трактуется как независимая система со . своим пространством состояний, операторами "вход-выход". Она оспот;г''л но обг,ой методологии теории систем и охватнзз"? оснозпго фэпоменолог!п'есю1е модели гистерезиса: люфты п упоры, модели Прандтля, Прейсаха, Ишптского, Бесселинга и др.

Разработанная математичэская.-тчоряя - систем, с • гасторэзпзоу позволяет избавиться о? поояредедатшсста, хйргхторт:1 для обычных феноменологических описаний гпсторозпсгас: гаглсс! а дао? возионпость применять тохяику . Отпкцяоналъпого сзаапгз я цифферопциальпых уравнений для изучения процессов в сттсхэ:гэ2 с гистерезисом. Она позволила рзпзть рад-' классячэскяг; гадач'. о занузданных колебательных регимэх ф,л»цпо;п1рсвгкгл' пи .

систем, об . автоколебаниях-' в таких, 'сяс&1шг о, •врг&таюс^я,-

принципа усреднения и др.

Дальнейшее- развитие математической теории систем с гистерезисом представляется актуальным и важным, так как многие ее разделы остаются недостаточно или даже совершенно не изученными. Необходимость изучения этих разделов диктуется как потребностями самой теории, так и практическим интересом.

В 1983 г. М.А.Красносельским и А.В.Покровским в монографии "Системы с гистерезисом" была предложена общая схема для описания нелинейных систем с гистерезисом, характеристики которых меняются со временем, и поставлена проблема выделения классов входов, для которых эта схема (содержащая операцию предельного перехода) реализуется.

В 1969 г. Ы.А.Красносельский и В.В.ЧерноруцкиЯ разработали конструкцию, описыващу» нестационарные гистерезисные нелинейности, характеристик которых меняются вследствие функционирования самой системы.

Многочисленные экспериментальные наблюдения показывают, что различные материалы могут изменять . своя упруго-пластические и ферромагнитные свойства (и, следовательно, форму гисторезисной потля) не только вследствие функционирования самой системы, но и под влиянием внешних факторов: температуры окружающей среда, переменного радиационного облучения, электромагнитного поля и пр. Поэтому исследование проблемы и.А.Красносельского-А.В.Покровского актуально тагаю для описания. нестационарных тистерозй'. . нолине^юстеП, характеристики которых меняются вслэдств!- иенения параметров внешней среды.

Одакаа аз наиболее важных в теории систем с гистерезисом являются опросы построения теоретических пологашй о двффоронш^лздих уравнениях с гистерэзнсшьш нолшеаностяка. Ряд

таких, вопросов (существование решений, задачи о периодически решениях, устойчивость реиений) рассматривались А.Х.Гелигом, П.П.Забрейко, В.И.Зубовым. М.А.Красносельским, А.В.Потфовским, В.А.Якубовичем п др.

Актуальным представляется вопрос о постановке задачи Коли для даИеренциальиого уравпопия с гистерозисной нелинейностью обща го вида (которая может быть и нестационарной) в1 пространствах. С и Н" и исследование для этой задачи вопроса о существовании и единственности решения.

Хорошо известно, что дифференциальные уравнении явЛткцпесп математическими моделяш реальных процессов, могут пэ удовлетворять стандартным условиям существования п единственности решения задачи . Коли. Для обыкновенных дифференциальных уравнений хоропо изучено много условий единственности решения задачи Кояи менее ограничительпых, - чом условия Липшица» Такие условия были ' указана, натгог.'ор, В.Ф.Осгудом, 0.Перроном, М.Нагумо, А.Розенблаттом. М.А.Краспосэ-льским и С.Г.Крейном, Т.Родаэрсом", Ю.Витте, В.Ламг-стканта?.«»!, Т.Ц.Гардом л др. В ряде работ признаки ощшствалноста формулируются в общем виде в. терашазс сравнительных функций Камке и функций типа ляпуновскпх (Е.Ка>.кэ, С.Р.Борнфэльд, Р.Д.Драйвер, В.Лакшмикантгм а др.). •'Значатэлшй1 еттерзе представляют и работы, в которых обобщенные условия Лилпща заменяются некоторыми условиями полоаптэлыюстл а иояототаоста правых частей (Дз.М.Боундс, Д.В.В.Вэнд). '

Представляется актуальным. п вагжпа разработка указанных методов исследования применительно к задаче Кот для дифференциальных уравнений с гисторезасннма нелякеЯноста.

В последние десятилетия- все возрастащий . пятерос

исслсдовантелей вызывают эволюционные уравнения и другой природа, зто* ди$форенциальные уравнения с нелинейностями, содержащими запаздывания той или иной природы.

Основы общей теории доВФеренциальных уравнений с запаздываниям аргументом или. в Солее общей постановке, функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа (ЭДДЛ были заложены А.Д.Шшкцсом, Л.Э.Эльсгольцом, Р.Белшаном, Н.Н.Красовскш, А.Халанвем. Существенный вклад в развитие указанной теории внесли работа А.Ю.Митрополъского, . Д.И.Мартиника, В.Б.Колыановского, В.Р.Носова, П.В.Азбелева, Дн.ХоЗла и др.

Одшм из самых важных при исследовании нелинейных систем ЗфДУ является вопрос о существовании периодических решений; этому вопросу посвящены многочисленные исследования.

Большинство известных методов приводит к достижению значительных результатов при исследовании слабо нелинейных' систем с запаздыванием (систем, содержащих маягй параметр). Для изучения сильно нелинейных систем применение атих методов не всегда возможно;'здесь более офХ'Зктивны топологические методы.

В основе значительной части топологических методов доказательства существования периодических решений у ЗФДУ дояит понятие оператора сдвига по траекториям такта уравнений. При этой приходится предполагать, что для ЗФДУ имеет место существование, единственность и • нелокальная . продолжимость решения основной пачальной задачи, что требует определенных ограничений на правые части уравнения.

В 1963 г. М.Д.Красносельским бил предложен топологический кетод ("альтернативный- принцип") доказательства теореи сущэствания периодических решений у , основанный на переходе к слеииаяькым нелинейны». интегральном ур^пнокк/л, сод^раз'дим

вспомогательный параметр, и не использующий рассмотрение оператора сдвига. Им ке била поставлена задача о выделении классов ЗФДУ, для которых возможна реализация этого метода.

В.В.Стригли предложил способ реализации метода "альтернативного принципа" для некоторого класса систем ЗФДУ с сосредоточенными запаздываниями. Однако, этот способ нельзя перенести на ЗФДУ с распре делегатами запаздываниями. Представляет-интерес реализация "альтернативного принципа" для общего ЗФДУ, вклвчая уравнения с распределенными запаздываниями.

При исследовавши многих математических моделей, отшсшзапзпх различные процессы с запаздыванием в экологии, медицине,биологии и др. важен вопрос о положительных периодических решениях. В связи с этим актуальна задача о модификации метода "альтернативного принципа" для доказательства существования у системы ЗФДУ общего вида периодических реиений, траектории которых лэзкат в некотором конусе фазового пространства. При этом представляет интерес исследование указанной задачи на основе методов теории полуупорядоченгах • пространств и полохитольпнх операторов (М.Г.Крейн, М.А.Рутман, М.А.Крзсносольский, Л.В.Канторович, Б.З.Вулих, М.Я.Антоновский, В.Г.Болтянский, Т.А.Сарымсаков и др.). -

^ехь__ро^ссту. 1) Разработка теоретических положения о

гистервзисных нвлинейностях, гароктс-рпсппс; которнх является нестационарными вследствие изменчивости во врзмонп параметров внешних воздействий.

; „ 2) Анализ общей постановки задачи Копи для обпснопэрлшх гск^ференциаш>ных уравнений с гистерэзксныки нелшейностяет и исследование условий единственности реиения этой задачи.

. 3) Построение общей схема реплнзашм "альтернативного

принципа" доказательства существования периодических решений у нелинейных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа (ЭФДУ). .

4). Разработка методов исследования периодических решений нелинейных ЭФДУ» траектории которых лежат в некоторых конусах фазового пространства системы.

ЯеадОп_иссиеОдвдния. Ъ работе использованы общие методы теории дифференциальных уравнений и теории двффэренцнальшх. уравнений с запаздывающим аргументом, нелинейного функционального анализа, теории полу упорядоченных пространств и положительных операторов, разработанные Ы.А.Красносельским л его научной школой метода исследования систем с гистерезисом.

Ид]кндя___новпзт. 1) Исследована новые конструкции

гистеразисных шлннеЯностей, характеристики которых являются на стационарными вследствие, влияния, внешних условий; изучены процессы функционирования систем; содергаада. указанные гистереэисные нелинейности.

2) Проведен детальный анализ задачи Коша для обыкновенных ди©£эрэнцнальшх уравнеш£ с гастервзисшма нолшойкостяш оОадго вида, доказана теорема существования н единственности.

3) Исследованы условия единственности реиешш задачи Коса двя обыкновенных дифференциальных уравнений с гистерезисныни нелннейностями, установлен ряд теорем единг-вещоста решения атой задачи.

4) Разработана общая схема реализации "альтернативного принципа" доказательства существования периодических решений у щрокого класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа (ЗФДУ).

5} Предлоасенн новые мотоды исследования . положительные

периодических решений ЗФДУ, получены приложения этих методов к ряду математических моделей динамики популяций.

Гедре1шчесшя_и_пракшческая_уенкостъ. Работа теоретическая. Полученные в ней результата могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений,.в теории систем, при исследовании конкретных систем с гастерезнсными нелинейностями й с запаздыванаями сложной природы. Отдельные положения-диссертационной работы могут служить основой для чтения специальных курсов на математических факультетах высших учебных заведений, при подготовке курсовых и дипломных работ студентов.

' Основные результаты диссертационной

работы обсуадались на научных семинарах кафедры функционального аналюа и дифференциальных уравнений Таджикского государственного университета (руководитель - профессор Э.Ы.Мухамадиев) и на научных семинарах по нелинейному анализу в Институте проблем •передачи информации Российской Академии наук, г. Москва (руководитель - профессор М.А.Красносельский). Результаты исследований докладывались:

1) На Всесоюзной конференции по теории и приложение функционз-, льно-дифференциальных уравнений., (г. Душанбе, 1987 г.).

2) На третьей Международной конференции по качественной теория дифференциальных уравнений (Венгрия, г. Сегед, 1983 г.).

3) На седьмой Чехословацкой конференции по даффоренциалъннм уравнения}« и их приложениям (г. Прага, 1989 г.).

4) На конференции "Нелинейные гтрооламы дифференциальных уравне--, •' шй и математической физики (Вторые Ботгаобавские чтения)"

(г. Киев, 1992 г.).

На Всесоюзных и Международных конференциях "Йоделирование и исследование устойчивых систем" (г.-Киев, 1590-199-5 гг.).

Яубдукауии. Основные результаты диссертации опубликованы в 25 работах, список которых привбдвн в конце автореферата.

ЯЧШШУШ.. Диссертация состоит из введения, где приводится краткий исторический обзор и краткое содержание работы, трех глав, содержащих 12"параграфов, списка литературы и 4 рисунков. Объём диссертации - 251 стр. машинописного текста.

К каждой главе даны краткие необходимые пояснения результатов и методов исследования, а также библиографическая справка.

В первой_главе (§§ 1-4) изучаются условия, при которых реализуется предложенная М.А.Красносельским и А.В.Покровским .конструкция для ошсаЕвя нестационарных систем с ■ гистерезисом, научаются свойства переменного гистерона . - преобразователя, который возникает при описании нестационарных систем -с гистерезисом, ставится задача . Кош для дифференциального уравнения общего вида с гистерезисной нелинейностью, для этой радачи доказывается теорема существобания и единственности типа теоремы Коши.

В § 1 приводятся известные сведения' о гистерезисных налинейностях. В основе математической теории систем с гистерезисом находится понятие оператора гистерона. Для описания конкретного гистерона Я определяют область возможных

состояний, представляющую' собой некоторую область на плоскости скалярных переменных (и,х) , и операторы

хП) = иа, х0]иШ, « > го ,

сопоставляющие входам : и(Х) выходы когда при-

. образователь - гистерон П находится в начальном состоянии здесь иЦ) и х(\) - скалярные «йгнкции. Для кусочно-

-монотонных входов иа) выхода х(Х) определяются с помоцыэ некоторой система кривых, расположенных в области возможных состояний ЩТ1) и называемых определяющей системой кривых гпстерона 17 . Затем для определения прео<Зразователя-гистерона Г? на непрерывных входах и(г) применяется предельная конструкция.

Если все функции, графики которых участвуют в определении гистерона, удовлетворяют общему условию Липшица, то гистероп 7! также удовлетворяет условию Липшица.

В качества примера в Я рассмотрены упор и упругопластичес-кое волокно Прандтля. Приводятся также сведения о многомерных гкстеронах: гистеронах с векторными входами и выходами. Даются определения люфта 1.(2) и упора 0(г) с характеристикой 2, где 2 - некоторое ограниченное выпуклое замкнутое многоство в евклидовом пространстве /Г . Если г - многогранник, то Ъ(Ъ) и и(г) удовлетворяют условию Липшица.

Б §2 изучаются условия, при которых прэдлойеппая Ы.А.Красносельским и А.В.Покровским схема для описания нестационарных систем с гистерезисом, реализуется для лгбого входа, удовлетворяющего условию Лгаетща. Изучаются такга свойства переменного гистерон-преобразователя, вознтзсащого при описании нестационарных систем с гистерезисом.

В указанной схеме для описания кестащгснартлх систен с гистерезисом предполагается, что задано одггопаррмэтричоспсо семейство гистеронов

яг', а < г < & . (0.1)

Роль параметра г играет время. При этом если а < < $ Ъ, то для областей возможных состояний П(17*) глстерошв Р4

. справедливо включение

t t ППГ lj с íjfíf ') .

М.А.Красносельскиы и А.В.Покровским предложена некоторая общая конструкция - "схема Л " , аналогичная построению мультипликативного интеграла, с помощью которой семейству (0.1), непрерывному входу u(t) и начальному состоянию

(и(а). ха) е íW3; •

ставится в соответствие некоторая функция

x(t) = iTía, и(а), xju(t) . (0.2)

Эту функцию считают выходом переменного гистерона if при входе u(t) и начальном состоянии (и(а), хо) . Конструкция, при которой определяется выход (0.2) , содержит операцию предельного перехода, который, вообще говоря, может не . осуществляться для произвольного непрерывного входа u(t) . Если эта схема осуществима при данном входе и(t). и данном начальном состоянии

(и(а), х) е ЩЯ*) , то будем говорить, что схема Л реализуется

#

для входа lift; и начального состояния íu(a), хо) í fifff°; , а вход u(t) в атом случае будем называть допустимым для гистерона ff.

В §2 исследуется проблема: какими, свойствам:! должна обладать функция ГГ* , чтобы схема Л реализовывалась для некоторого класса входов.

Обозначим через I некоторое подмножество пространства непрерывных функций CfajbJ .

Теорем 2.1. Пусть для любого входа u(t) € Ь существуют такие постоянные

о < ео < т, О < 0о < СО, О < а С со, О í X. < со, о $ с < а> ,

что при любых

t,,í,€ ía.b} (t, < tx, |ít-íj <80) ,

на отрезке ft*, t*+SoJ икает место неравенство

< mr f MV*.la , nfcft-t*JJ|z0-y0| J .

Тогда схема Л реализуется для любого входа u(t) € Ъ н любого начального состояния fufa;, с fiftF0; .

В этой теорема условия реализуемости схемы Л приведены в терминах близости выходов гистерона Jf* при различных t . В последующих двух теоремах § 2 эти условия формулируется з виде непосредственных ограничений на систекы крхшах, опредоляизпх гистероны IT1" . Сформулируем одну из этих теороя.

Обозначим через Н1 la.bl класс функций, удоалатворлЕсгах па отрезка 1а,Ы услов1Ю Дипшща, а через и*(и,Т) - некоторуэ кривую, дринадлевадую системе кривых, определпщих гястарон н проходящую через точку Р = (иа> za) € ЩЯ*) .

Теореха 2,3. Пусть все опродвлшидо крпвнз ксох шегэроноз, входящих в со!!эйстео (с í t í Ь) , удозлэтверяат o5t;s?jy условию Лппяяца с одной п той го постоянной . Пусть згйчугсл такие пологптелызнв константы ¡i, е , a к неогрзцатзльшэ \ н с , что неравенство

|Г '(иь+7х,У) - Г а(1ь+п,Ю1 «í

5 sup i я.li,-*»111 • "«WlVtfol >

выполнено при любых t,.t„€ fa.bb |t,-ta| < е , любом h , \h\ i a , и любых u0, yD, za таких, что

* - <VV € • H " {u0>y0} t ■

Тогда схеме Л реализуется для любого входа u(t) € НЧа.Ы и любого начального состояния (и(а), ха) t ЩИ0) .

В § 2 изучаются таете свойства переменного гистерона I? (см. (0.2)). Показано, что если все определяющие кривые всех гистеронов (0.1) удовлетворяют условию Липшица с одной и той же постоянной , то гистерон ff удовлетворяет условию Липшица.

В § 3 сформулирована задача Кош для дифференциального уравнения с гисторезиспой нелинейностью общего вида. Для этой задачи доказана теорема существования и единственности типа теоремы Кохи.

Рассматривается задача

rnt)

at

» f[t,z(t)Mt)) , (0.3)

u(t) « T(t0,z0,u0)z(t) , (0.4)

Z(*J - К . ' »(¡J = 4> • (0-5)

где г(1) и - скалярные непрерывные на . Н0,Т) функции. Оператор 7(Х0,га,ы0) при фиксированных однозначен,

он даЕствует в каждом пространстве СГГ0,гд 1 < tt < Г).

Оиаратор Т(г0>гаГы0) каадой функции гШ « , удовле-

творяааэ® уьшнгш » г0 , ставит в соответствие функцию

€ ■GCt)t,tл}t ^довлетворздсодю условию .) - ио . Предполв-

гается, что оператор T(t0,z0,b)a) удовлетворяет условию Липшица

\T(t0,z0,w0)gt(t) - T(t0,z0,u>0)zt(t)\ *

• <n max \гл(х) - z~(x)\ (О.б)

t„*t<t 1 2

пря t ( it0,TJ , где n - некоторая постоянная, zx (t) , zg(t) ( zc(to) в zx(t0) » za ) - произвольные функции.

Подоператором T(t0,z0,to0) можно понимать статической идя переменный гистерон.

В предаоловенпи , что функция f(t,z,u>) удовлетворяет условию ЛИпяица по z и о , для задачи (0.3)-{0.5) в 5 3 доказана теорема существования и единственности яша творэш Ксш.

в §4 приведены доказательства утверждений т §2.

(5§ 5-7) изучаются условия, обеспэчпвещке единственность решения задачи Копя (0.3)-(0.5) для случая, когда функция f(t,z,u>) , вообае говоря, но удовлетворяет условию Липшица по z ни. Рассмотрены также условия -здинстЕэннсста решения задачи Кош для системы даффоретдальта уревнс-кнй с гистерезисшдаи нелинейностши.

В § & получены критерия единственности да? задача (0.3)—(0.5), содержащие обе/^эиия условия Лягжш длл Фупкцзя f(X,z,m) по z и ш н являщаеся аналогами изгоси-лг теорза единственности для обыкновенных дгДфэраншдазшл: ур?5™го:гтЗ. Доказаны:

1) Признак единственности типа тоореж! Осгула.

Тэорехп 5,1. Пусть Фуекцня f(irz,t)) , заданная па мязгвствэ

б : г0 sg г < т , fz-zj с с , |ь>-ч,| ъ ъ » (0.7)

непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет неравенству

Ifit.z^uj - f(t,zt,wa)\ < ф(|гж-2а| lu.-wJJ .

Здесь функция ф(х) > О непрерывна, не убывает при О < х i р и, кроме того,

Р йх

1 Im Г-= » .

е-ю s ф(х;

( р > О - некоторое число). Тогда задача (0.3)-(0.5) имеет не более одного решения.

2) Признак единственности типа теоремы Перрона.

Теорела 5.3. Пусть функция f(t,z,u) непрерывна по совокупности переменных на множестве ,(0.7) и удовлетворяет условию

I- f(t,zifua)\|t-to| « sup f|z^zj, lui.-uJJ .(0,8)

Пусть оператор T(t0,z0,(D0) удовлетворяет условию Липшица (0.6) с постоянной m = 1 . Тогда задача (0.3)-(0.5) имеет не более одного решения. •

3) Признак единственности типа теоремы М.А.Красносельского и С.Г.Крейна. *

Положим

ц = mar ( 1, ш ) , (0.9)

где в - постоянная в условии (0.6).

Теорела 5.4. Пусть функция f(t,z,b)) непрерывна по . совокупности переменных на множестве (0.7) и удовлетворяет условиям:

|/ít,z1,MíJ-/ft.«a.w1Jllt-t0l < i sup flz^zj.loj.-ujj . (0.10)

\f(t,ZitWt) - f(t,Zx,U>x) I < psup f^-Zj01, |UtHJa|°J,

где О < a < 1 . Пусть (1-a)l\i < 1 . Тогда задача (0.3)-(0.5) имеет на отрезке (ta,T) не более одного решения.

4) Признаки единственности типа теорем Ю.Витте и Т.Роджерса. Теорела 5.7. Пусть функция f(t,z,w) непрерывна по совокупности переменных на множестве

С : te < t < Т, |z-zc| < a, |tiMi)0| < Ъ

и удовлетворяет на G условиям

\f(t,zitvt)-f(t,za.ua)\ <h(t) sup (¡Z1-ZX¡,¡U)Í-(I)X¡) , (0.11)

t

\}(t-,z,w)\ < p(t)h(t) expías h(s)d3} ,

T

где h(t) и p(t) - некоторые непрерывные соответственно на (t0,T) и fí0,TJ функции, при этом h(t) > О ( t с (t0,Tl) и P(t0) = О ; ц определено равенством (О.Э). Тогда задача (0.3)'--(0.5) имеет не более одного решения.

Подбирая в теореме 5.7 различные функции h(t) можно получить некоторые более конкретные признаки единственности для задачи (0.3)-(0.5). В частности , пологие

1

где a > 1 и I > О, получим признак единственности типа теоремы Т.Родаерса.

В 55 рассмотрены такгэ теоремы единственностн рееэняя

задачи (0.3)-(0.5) типа теореми Венда« В этой теореме обобщенные условия Липшица для функции f(t,z,w)„ которые имеют место в теоремах 5.1, 5.3, 5.4 и 5.7, заменяются некоторыми условиями положительности и монотонности.

В § 6 рассматривается вопрос о единственности решения задачк Кош для системы дифференциальных уравнений, правая часть которой содержит гистерезисную нелинейность.

Задача (0„3)-(0.5) в 56 рассматривалась в случае, когда z(t), w(t) £ ff при любом t € it . Предполагается* что оператор T(t0,z0,w0) при фиксированных tof z0, о0 является одаозначным, причем действующим в каждом пространстве Ctto,til ( to < tt < Т ), непрерывных на ttortt) вектор-функций со значениями в If . Каздой вектор - функции z(t) < Oits>l>tlJp удовлетворяющей условию z(tQ) = z0> оператор T(tolzo,wa) ставит в соответствие вектор-функцию u(t) € 0fio,itJ , удовлетворяющую условию <a(ta) - <о0 . При п > 1 под оператором ?(t0,z0,w0) можно понимать многомерный гиистерон с характеристикой - выпуклым многогранником Z с if .

Для задачк (0.3)-(0.5) в случав г. > 1 получены признаки едикстшкностк решения, аналогичные некоторым известным теоремам единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений.

В п. 6.2 получен признак единственности типа 'теорем С.Р.Бервфэльда, Р.Д.Драйвера и В.Лакимикантгша. Предполагается, что вектор-функция f(t,z,v>) определена на мжжестве

V : tD < t < Т, |z-zo| « о, < Ъ, z, и с ЯГ.

Пусть функция B(t) определена, непрерывна и неотрицательна на По,Г/ , причек Bit) > О при г > ta . Пусть функция

wt,u) : (t0,T) ' [О,со; — R1

непрерывна; ф (t.O) я О; при этом функция и я о является единственным неотрицательным решением уравнения

du

— = $ft,tO dt

при * > г0 » Удовлетворяющим условию

um

lfm -= О

. t-te+0 BfU

Теорем 6.1. Пусть существует непрерывная функция Tit.«,.а,•* fte.W - R4" -» -0,<о) такая, что , во-первых, равенство

Vft,zt, z^u^ü),; = о

выполнено, если и только если zt = za и ut = ua , во-вторых, для любых двух решений

(z;(t),ut(t)i , (Zz(t)Mx(t)) , f t„< t < t, ; . задачи (0.3)-(0.5) справедливо соотношение

Ilm -= О „

t-t„+0 B(t)

и, наконец, в-третьих „ при

У(t,zjt),zjt)rali(t),wx(t)} > 0„ «„,<«< t,.

справедлива односторонняя оценка

Тогда задача (0.3)-(0.5) имеет не более одного решения на любом отрезке ^t0,tl) ио < < Г).

В п. 6.3 получен признак единственности типа теорема О.Перрона и Т.Роджерса для случая п = 1 и когда оператор то,го,ио) соответствует модели упругопластического волокна Прандтля.

В §7 приведены доказательства утверждений из 5§5 и 6.

В третьей,главе (§§ 8-12) рассматриваются дифференциальные уравнения с нелинейностями, содержадими сосредоточенные или распределенные запаздывания. Глава посвящена исследованию вопросов существования периодических и положительных периодических решений у функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа (ЭФДУ).

В носящем вспомогательный характер } 8 приводятся известные сведения об используемых в последующи^ построениях понятиях.

В } 9 для широкого класса ЭФДУ предлагается реализация топологического метода "альтернативного принципа", предлоетнного в общем виде Ы. А.Красносельским, доказана теорема о существовании периодических решений у ЭФДУ.

Рассматривается ЭФДУ вида

щг)

-- рп, х; . (0.12)

йг *

Здесь символом ^ обозначена вектор - функция х(з), определенная при -<» < з ^ ? , со значениями в и

относящаяся к некоторому классу D . содержащему множество Ь омгериодаческих и кусочно-непрерывных функций. Правая ' часть уравнения (0.12) определяет отображение

Fit, xi) ; Я1 « D — FT.

Предполагается, что оператор F(t,xt) является оьпериодичоским по t .

Общая идея "альтернативного принципа" состоит в рассмотрении, наряду с (0.12) , также уравнения

ax(t)

-— = F(t, xt, \) , 0< \ « 1 , (0.13)

at *

зависящего от скалярного параметра X таким образом, чтобы npii \ = 1 это уравнение совпадало с (0.12), а при X = О переходило в некоторое обыкновенное даМерепциальное уравнепие, при этом оператор

t

А(К,х) = х(ы) + JPfT,xt,X;c!x , (0.14)

о

где х(s) - «-периодическое продолжение вектор - функции x(t) сполуинтервала (О,из] на всю ' ось, был вполне непрерывен как оператор из топологического произведения (0,1 J ж С(0,иJ в 0(б,ы) ' . ' ■

•В.§ 9 предлагается следующая реализация этой идеи. Пусть

Wt.x) : (^о,а) . R" — fT

- .некоторая непрерывная по совокупности переданных п w-периодическая по г вектор-функция. Рассмотрим систему

--= + о «; \ < 1, (0.15)

&

где вектор-функция х^Гз; определяется равенством З^Гв; а х(г), •- » < а <

При X = 1 система (0.15) совпадает с (0.12), а при X = О -переходит в систему обыкновенных дифференциальных уравнений

-= + фи.кг)] . го. 16;

си 1

Выделен широкий класс ЗФДУ. (0.12) с сосредоточенными и распределенными запаздываниями, для которых оператор (0.14) , соответствующий системе (0.15) вполне непрерывен . как оператор, действующий из топологического произведения 10,11 х С(0,ы] в его,и: .

Будем говорить, что существует априорная оценка для ^-периодических решений системы (0.15) , если для некоторого й, О < Н < со , каждое (^периодическое решение х(Х) системы (0.15) при любой \ € 10,11 удовлетворяет оценке

■ I

\ха)\ < й , 1 е 10,ы1 .

Будем считать, что система (0.16) невырождена на бесконечности, т.е. для нее определен оператор и сдвига за период ш , все о-периодаческие решения системы (0.16) равномерно ограничены и на сферах 5 большого радиуса в пространстве ГТ вращение у(<р(х),Б] векторного, поля <р(х) - х - Ох отлично от нуля .

Реализация метода' "альтернативного принципа" для уравнения (0.12) заключается в следующем утверждении.

УтверхОетз 0.1. Пусть существует априорная оценка для (^периодических решений системы (0.15) . Пусть система (0.16) невырокденв на бесконечности. Тогда система (0.12) шзет по крайней мере одно (^периодическое решение.

В § 10 дается понятие квазивращения векторного поля, являющееся модпфжацпей понятия вращения векторного поля для случая, когда соответствующий оператор положителен относительно некоторого конуса Я в банаховом пространстве Е . На основе этого понятия формулируется теорема о принципе родственности применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Эта теорема вакна в последующих построениях.

В § 11 изучается вопрос о существовании у ЗФДУ (0.12) полоаителыых апериодических решений. При этом уравнение (0.12) рассматривается в пространстве Я" , полуупорядоченным телесным конусом X; решение хН) система (0.12) будем называть неотрицательным , если х(г) с X для всех I; неотрицательное . нетривиальное реиение будем называть положительных«.

Будем говорить, что правив часта системы (0.12) удовлетворяют условию "втекания в конус Я " , если для хаядого линейного положительного функционала 1 и любой непрерывной вектор-функции х(в) , удовлетворялся соотношениям

х(э) € к ( < э < г ) . гщг)] = о , имеет место неравенство

Ши,хк)1 >0 ( 0< { <и ) .

Условие "втекания в конус К " обеспечивает зля уравнения (0.12) существование для начальных футхцка <рси, удов-

удовлетворяющих условию ф(г) € К (-со <1 < О), неотрицательного решения. ■ ' • В 8 11 используя понятие квазивращения полей конструируется модификация метода "альтернативного принципа" для задачи о неотрицательных периодических решениях системы (0.1 2). На этой основе формулируются достаточные признаки существования положительных периодических решений у системы (0.12). Приведем один из них.

Пусть вектор-функция из системы (0.15)

удовлетворяет условию: • для любого линейного положительного функционала I из условия

К\) = О , ^ с «К , '-(0.17)

( «г: - граница конуса К ) следует неравенство

«и). : (0.1В)

Будем также предполагать, что для системы (0.16) на конусе К определен оператор У сдвига за период о .

Теорела 11.4. Пусть правые' 'части системы (0.12) удовлетворяют условию "втекания в конус К " , а вектор-функция <р(г,х) удовлетворяет условию (0.17) и (0.18). Пусть существуют положительные числа г1 и Я, такиэ, что если х(Ч; - эхо положительное »-периодическое решение, системы (0.15) при некотором [0.11 , то г, .< |хШ10 < Я}.. Пусть существует число га > О такое, что для' / любого • "положительного ^-периодического решения х(Х) • системы (0.16) . шэет место неравенство | х(0)\ >'гг . Пусть^ наконец,.-оператор. 1Г "для система-(0; 16) сжимает или растягивает конуру . ..Тогда 'система

(

(0.12) имеет по крайней мере одно положительное (^-периодическое решение.

В § 12 рассмотрены приложения и примеры. На ослове теоремы 11.4 доказаны теореш существования нестационарных положительных периодических решений у уравнения Хатчинсона и у системы "хищ-ник-хертва" Вангерски и Каннингэма. При зтом в указанных уравнениях коэффициенты предполагаются зависящими от времени t, что соответствует обобщения этих моделей на случай нестационарных сред.

ОтоЗкие результат диссертации опубмжовсзы в работах^

1. Борздако В.И.Положительные периодические решения дифЭеропцй-

алышх уравнений с отклонящимся аргумонтом//Докл. АЛ ТаджССР. -1966.-Т.9.-» 4.-С.З-5.

2. Борздако В.И.Положительные периодические репошш дифйеронци-

альных уравнений с отклоняющимся аргументом в банаховом прос-транстве//Докл.АН ТаджССР.-1968.-Т.11.-» 7.-С. 3-6.

3. Борздако В.И. Об альтернативном принципе существования перио-

дических решений для дифференциальных уравнений с запаздывании 8ргумен?см//Докл.АН ТадтССР. -1976. -Т. 19. -Я 10.-C.o-9. •4. Борздако В.И. Применение топологических г^тодов в теории положительных. периодических решений фупхцйоаашю-дафЭерендааль-ных уравнений// Изв.АН Тада.ССР. Отд.вяз.-мат. и геол.-хнм. наук. - 1979.-й 2.-С.22-30. 5. Борздыко В.И. Положительные периодические решения функционально-дифференциальных урашений//Изв.АН ТадаССР. Отд. 5из.-ш?. и геол.-хим. наук.- 1979.-Л 4,- С.11-19. з 6 Борздако В.И. О сущестновэнии ненулевых пг-!охя?едь8нх перяоди-

ческих решений у функционально-дифференциальных уравнений// Изв. АН ТаджССР.Отд.физ.-ыат. и геол.-хкм.наук.- 1982. - * 1. -27-36.

7. Борздако В.И. 00 исследовании популяционной модели Хатчинсона

//ДиЗферонц.уравнения.-1985.-Т.21 .-й 2.-С.316-318.

8. Борздако В.И. О некоторых классах теорем .единственности для

дкфХоренциальпнх уравнения с гистерезисными нелкнейностями //ДОКЛ. АН ТадкССР.- 1985.- Т.28.- Я 10.- С.547-551.

9. Борздако В.И. Теоремы единственности для даффэренциальных

уравнений с гистерезисными нелкпейностшл1//Днффоренц. уравнения.- 1987.-Т.23.-Й 6.- С.Э37-Э41.

10. Борздыко В.И. Теорема единственности типа теоре?.ш С.Р.Берн-

фельда, Р.Д.Драйвера и В.Лакшшжантама для дифференциальных уравнешхй с гистерезисными нел1шейностями//Докл.АН ТаджССР.

- 1967.-Т.30.-* 2.- С.74-77.

11. Борздако В.И. Условия существования а: единственности решения

задачи Копт для. системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями// Докл. АН Тадк.ССР.-

- 1987. - T.30.-J& 12.- С.766-770.

12. Борздако В.И. Существование положительных периодических реше-

ний у функционально-дифференциальных уравнений// Тезисы док-дов Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. - Душанбе, 1987. -Ч.1.-

- С.56-57.

13. Борздако В.И. Теорема единственности для системы дифференци-

альных уравнений с гистерезисными нелинойкостяма // Тезисы докладов Всесоюзной конференции по;теорий к приложениям фук-: кцион8Льно-дифференциалышх уравнений. - Душанбе, 1987.->4.1

- С.58-59. . • ' :

14. Борздако В.М. Условия единственности для систем дифференци-

альных уравнений с гистерезисшми членами //Дифференц. уравнения. - 1968.- Т.24,- * 8.- С. 1291-1295.

15. Борздако В.И. Теорема единственности типа теоремы Вепда для

дифференциальных уравнений с гистерезисныма нелинейностями //Изв.АН ТаджССР. Отд. физ.-мат. и геол.-хим. паук.- 1933.» г.- с. 63-65.

16. Борздако В.И. (Eorzdyko V.I.) On a topological method oi trie

proof of existence of positive periodical solutions for functional differential equatlona/ZAbatracta 3-rd Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations . August 22-26 1988,-Bolyal Institute, Szeged, Hungary, 1988.- P.21.

17. Борздако В.И. (Borsdyto V.I.) On a method of the proof of

existence of positive periodical- solutions for functional differential equations // 7-th Czechoslovak Conference on Differential Equations .and Their Applications . Equadlff 7. Enlarged Abstracts. Ordinary Differential Equations. -Praha, 1985.- P.7-9.

18. Борздако Е.'Л. 00 одном топологическом методе доказательства

существования положительных периодических решожй у фувкци-налъно-доХФеренциалъных уравнения. // ДиСйоронц. уравнения.-1990.-T.2G.-J« 10.- С. 1671-1678. 19.. Борздако В.й. Признаки вдшстеенноста для дифференциальных уравнений с гисхерезисными нелинеЯностями//Дою1.РАН.-1992.-Т. 324.- И U- С.56-59.

20. Борздако В.И. Переменный гисторон // Докл.РАЛ.-1992.-Т.324.-

» 2.-С.269-272.

21. Борздако В.И. Теорема единственности для системы дмффэреши-

алъяю. уравнений с гистерезиснсй пглшеЕгость^/Нокф. "Кsr/-

нейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики.- 2-е Боголюбовские чтения". - 14-18 сентября 1992 г. Тезисы докладов.- Киев,1992.- 0.26.

22. Борздыко В.И. Задача Кош дифференциального уравнения с гис-

терезисной нелинейностью // Украинская конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем". Тезисы докладов хонф..- Киев, 1994.- С.13-14.

23. Борздыко В.И. Нелинейные нестационарные системы с гистерези-

сом// Автоматика и телемеханика.-19Э4.-Й 5.- 0.20-26.

24. Борздыко В.М. Об исследовании моделей "хвдник-жертва"//Конф. "Математическое моделирование в естественных н гуманитарных науках". Тезисы докладов конф..-Вороне*, 2000. -С.34.

25. Борздыко В.И. Об одной теореме единственности решения задачи Кош для дифференциального уравнения с гксторе застой нелинейностью //Конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения". Материалы международной ковф., посвященной 60 -летаю Т.Себирова. -Душанбе, 2000. -С.18.

16/ГХ-2000 г. ПНУ. Злхаа 30. Тире* ДОС*

Введение.

Глава I. Нестационарные системы с гистерезисом . . . , :

§ I. Основные понятия. Преобразователь статический

• гистерон.

I 2. Переменный гистерон.

§ 3. Дифференциальные уравнения с гистерезисными нелинейностями.

§ 4. Доказательство утверждений

§2.

Библиографические замечания к главе I.,

Глава 2. Условия единственности для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями

§ 5.Условия единственности решения задачи Коши для скалярных дифференциальных уравнений.

§ 6. Условия единственности для систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями.

§ 7. Доказательство утверждений из

§§ 5 и 6.

Библиографические замечания к главе 2.

Глава 3. Положительные периодические решения систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

§ 8. Основные понятия.

§ 9. Периодическая задача для функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа

§ 10. Принцип родственности для задачи о положительных периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ II. Положительные периодические решения

§ и.

Многие задачи механики, физики, управления, экологии ж др. приводят к необходимоетж расомотреяия ежетем оо олошшмж нелж-жейноотяш той шт иной природа. Иоеледоваше дшашкй Ааких систем требует изученш новых классов эволюционнах уравнений.

Настоящая работа посвщана методш нсследованш двух классов ЭВ0Ш1ЩНННХ уравнений, первый жз которых связан е описанием .данамики систем,' содержащх гиотеревжсныв мелинейноотиА а второй ~ с описанием дршашки систем запаздыващего тша.

К уравненжш, содержащим нелинейные зависимости гжстерезя-сного типа, приводят многочисленные задачи физики, механики, управления, биологии и др.; здесь достаточно упомянуть магнитный гистерезис, диэлектрический гистерезис, пластический гистерезис и т.д.

Основы общей математической теории систем с гистерезжсны-т нелинейностяш были заложены М.А.Красносельским и его учен

В этой теории каждая гжстерезжс-най нелинейность трактуетсяА'как независимая система со своим пространством состояний, операторами "вход-выход". Она основана на общей методологии теории систем а^/Д|'аа Адуулу/ 7 ж охватывает основные феноменологические модели гистерезиса: люфты ж упоры, моделаа Нрандтля, Прейсаха, Ипшинского, Бессе-линга

Разработанная математическая теория систем с гистерезжсом позволяет избавиться от неопределенности, характерной дая обычных феноменологических описаний гжстерезжсных явленжй и дает возможность применять технику функщонаЕьного анализа и дифференциальных уравненй! дая изучения процессов в системах с гистерезисом.

Она позволила реять ряд классических задач о вынужденных колебательных режимах функцжоиировайЕя ужршляемых систем, об автоколебаниях в таких системах, о применимости пршцжпа ус-редаенжя ж др.

Дальнейшее развитие математической теории систем с гистерезисом представляется актуаяьным ж важным, так как многие её разделы остаются недостаточно жлж даже совершенно не изученными. Необходимость изучения этих разделов диктуется как потреб-ноотяш самой теории, так ж практическим интересом. ъ/ЛМ.А.Красносельским ж А.В.Пбкровскш предаожена общая схема для опжсаяжя нелинейных систем с гжстерезжсом, ха-рактериетики которых меняются со временем, ж иоставлеиа проблема выделения классов входов, для которых эта схема (содержащая операцию предельного перехода) реализуется. Примером нестационарной гжстерезисной нелинейности является упрутопласти-ческжй элемент, характеристики которого (пределы текучести, модуль упругости) меняются в результате изменения со временем параметров внешней среды. Существуют шогочжсленные экспериментальные наблюдения, показывающие, что различные материалы изменяют свеж унругопластжческже ж ферромагнитные свойства (ж, следовательно, форму гжетерезжсной петлж) при изменении температуры внешней среды, под влиянием переменного радаацион-ного облучения, электромагнитного поля (см., например,А/УААА 1:5Л

Исследоваше проблемы Красносельского-Покровского актуально как для указанной вьше схемы описания нестационарных гисте-резисных нелинейаостей, характеристики которых меняются вследствие изшнения параметров внешней среды, так и для преддожен-ной ъ/'^ 6 Л/7У ЛМ.А.Красносельским и В.ВЛерноруцким конструкции, описывающей нестационарные риотерезнсные нелинейности, характеристики которых меняются вследетвже фзшкцнонировшшя самой системы.

Сдаиш из 1Ааиболее важных в теории систем с гистерезисом являются вопросы построения теоретических положений о дифференциальных уравнениях с гистерезисными нел&шейностями. Ряд таких вопросов (существование решений, существование периодических решений, устойчивость решений) рассматривались А.Х.Гели-гом, П.П.Забрейко, В.И.Зубовым, М.А.Красносельским, А.В.Пок-ровсюш, В.А.Якубовичем и др. (ш,[ЗАЛ6 (>А, 10^13:^^ У У 6 А ) . Актуальным представляется вопреиз о постановке задачи Коши для дифференциального уравнения с гис-терезисной нелинейностью общего вида (которая может быть и не- ' стационарной) в пространствахА/АА а1ад уАогАА исследование для этой задачи вопроса о существовании и единственности решения.

Хорошо известно, что дафференщальны© уравнения, явлшщи-еоя штематжческшш моделями реальных процессов, могут не удовлетворять стаад.ртным условиям существования и единственности решения задачи Коши. Дяя обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо изучено много условий единственности решения задачи Кошж менее ограничительных, чем условия Лишащ.

Таете условия едийстаешоест бшт дазаш, нацржшр, B.f .Осгу-дом, 0.Перроном, М.йагумо, А.Розенблаттом, М.А.Красноселвокйи и 0.Г.1рейном, Т.Роджерсом, Ю.Витте, В.Лакшшкантамом, Т.Щ.Гардом ж ф. ААп,[Ю£р3/РА,иА9^3,АЮе,т,щ^)'

В ряде работ нризяаш еджиственности формулируются в общем виде в терминах сравштельннх фунщи! Камке ж'функщй тша дяну-новскйх (см. с«атьи Е.Камке, СР.БерЕрльд, Р.Д.Драйвер, В .1а

Значйтелвннй интерес представлшт и работы, в которшг обобщенные условия Лишшщ зашняются некоторыми уеловиями полоштельности и шнотонннос-тж правых частей (см. статьи JA.M.Бoyждcay5A;AУ7л7'и Д.В.В.Ве-н далУл -JJAJ). Важными являются формулировки условий типа Каратеодори, обеспечивающие не только существование, но и единственность решения задачи Коши (см., например, статью П. 0. Бондаренко//у/).

Представляется актуальным ж важным разработка указанных методов исследования применительно к задаче Коши дет диффврей-циальных уравнений с гистерезжсныш нелинейностямй.

В последние дасятилетия все возрастающий интерес исследователей вмзьшагот эволюционные уравнения и другой пр1фоды: это дифференциальные уравнения с нелинейностямй, содержащиш запаздывания той или иной природы. ,

Основы общей теорий дифференщальннх уравнений с запаздывающим аргрзентом или, в более общей форийулировке, фзшкщсона-льно-дифференщальных уравнений запаздашающего типа (ШДУ) были заложены А.Д.Шшкисом, Л.Э.Эльегольцом, Р.Беллмшом, А.Халшаем ж др. )• Ор|вственшй вклад в развитие таких, уравнений внесли работы А.Ю.Мжтроно-льского, Д.И.Мартышока, В.Б.Колмановского, В.Р.Носова, Н.В.Аз-белева, лЛеРша ж др. (см. а/а/а. уАу/А/АА.

Одним из сшлых важных при исследовании нелинейных систем является вопрос о существовании периодических решений; этому вопросу посвящены многочисленные исследования (см., нал

Большинство известных методов приводят к достижению значительных результатов при исследовании слабо нелинейных систем с запаздыванием (систем, содержащих так называемый малый параметр) . Ддя изучения сильно нелинейных систем применение этих методов не всегда возможно; здесь более эффективны топологические методы.

В основе значительной части топологических методов доказательства существования периодических решений у ШЛУ лежит понятие оператора сдвига по траекториям таких уравнений (см., например,АД//АА у/ /а ААуу ). При этом приходится предполагать, что для ШШ имеет место существование, единственность и нелокальная продолжшлость решения основной начальной задачи, что требует определеяшх ограниченшй на правые части уравнения (ом. [А9А УЗАуАу ) •

ВААМ,А.Красносельским был предложен в общей форме топологический метод ("альтернативный принцип") доказательства теорем существавания периодических решений у ШДу, основанный на переходе к специальным нелинейным интегральным уравненжям, содержащим вспомогательный параметр, и не исподьзующжй рассмотрение оператора сдвига. Им же в б ы л а поставлена задача о выделении классов ШДу, дая которых возможна реализация л 9 этого метода. В,ВХтржш/УА"Ащеможш способ реализации метода "альтернативного принципа" дш некоторого 1слассаа систем ЗЩУ о сосредоточеннтш запаздываниями. Однако, этот способ нельзя перенести на ЗФДУ с распределешымж запаздываншши. Дредставляет интерес реализация "альтернативного принципа" для общего вида ЗЩУ , включая уравнения с распределенными запаздыванЕямй.

Особенно большое расцространенже ЗФДУ получили при описании различных процессов в экологии, медицине, биологии и др. ( ом.улл тЛУ/лл у у л ) . При исследовании штематическшс моделей этих процессов часто возникает вопрос о существовшши положительных периодических решений. В связи с этим актуальна задача о модификации метода "альтернативного принципа" дяят доказательства существования у систем ШДУ общего вида периодических решений, траектории которых лежат в некотором конусе пространства

Перейдем к краткому изложению основных результатов работы. Диссертация посвящена анализу и методам исследования дифференциальных уравнений со сложными нелине1Й10стями: гистерезисного типа или содержащими запаздывания. Работа состоит из трех глав ж двенадцати параграфов.

В первой главе (§§ 1-4) изучаются условия, при которых реализуется предаженная, в лу/конструкция дая описания нестационарных систем с гистерезисом, изучаются свойства переменного гистерона - преобразователя, .который возникает при описании нестационарных систем с гистерезжеом, ставится задача Кошж дш дифференциального у|тшенЕЯ общего вида с гистерезисной нелинейностью, да этой задачи дошзывается теореш существования и едйжствешости типа теореш Кош.

В § I приводятся известше сведения о ристерезиснБК нели-нейностях. В основе штештичеоко! теории систем с гистерезисом, разщтой в [АЛ] , находится понятие оператора-гжстеро-на. ДЙ описания конкретного гистерона Jz (Иуопредвляют область возможных состояний, представляющрз собой некоторр) область на плоскости скалярных переменных 7АА XJ ' А операторы хШ - wet, K.xJfj, соЕоставлдаще входам Y^J выхода X /AyAJ , когда преобразователь-гистерон ]/]/ находится в начальном состоянии л "Aoj' а-аааа 7а /и X/2J - скалйрные функции. Для кусочно монтоннах входов А /Авыходы X/iA определштся с помощью некоторой системы кривых, расположенных в обжсти возможных состошм! и шзмваешх определящей системой кривых гистерона \а/ • Затем для определения преобразователя-гистерона ]/]/ на жещэернвных входах А//АуАпршленяется предельная консофукцш.

Если все фушАщи, графики которых участите s оаределвшя гистерона, удовлетворяют общему условию Лшшаца, то гистврон / ] / также удовлетворяет условию Липшица.

В качес!твв примера в § I рассмотрены упор ж pipyronmcTH-ческое волокно npanfe. Приводятся также сведения о многомерных гжетеронах: пстеронах о векторными входаш а внходаА.ш. Даются 01#еД8ления люфта (2) ж упора 7A /2J <i характеристикой Z , где Z - некоторое огршшчвнное выпуклое замкнутое множество в евклидовом пространстве А

2 - Ш01'0Г|Ш1НЯЕ, то Z (2>) ^^/^fl-j)удовлет-воряют условию 1ишшца.

В § 2 изучаются условия, при которнх предоюженная в '[ллл охвш да описания квстащоиарнш: систем с гистерезисом. реализуется шт. люёото входа, удовлетвордащего уожтт Липшица. Изучаются также свойства шременного гйстерона - преобразователя, возникающего при описании иестацйояарннх систем с гйстврезиоош.

Ъ [А/Л] предложена общая схема для озгределения гйстерона, характеристики которого меняются во времеш. Иредполагается, что задано однопараметричвекое семейство гиотеронов

В СЛЬ параметра т/ нгхает вреш. При этом если ллл л л ' областей возможннх состоянии J2 [\А/лжстеронов / / К л справедливо включение С

В С**] првдашгается некоторая общая схема - схеш ( аналогичная построению мультипликативного интеграла, с помощью которой семейству (0.1), непрерывному входу 7*/т*Уи жачальтщ СОСТОЯНИЕ Ул 7ZJy } ствие некоторая фуЕ!Кпия

Л Л А

А А ится в соответх(7)

И / А л/йу , / , 7 л / у / С 0 . 2 )

Эту функцию считают выходом переменного гйстерона ] / / при входе 77 /¿5Л и начальном состоянии /Т-С{ТХ)Л л . Конструкция, при которой определяется выход (0.2), содержит операцию предельного перехода, который, вообще говоря, может не осуществляться для произвольного непрерывного входа 77 •

Если эта схема осуществима при данном входе 77 и данном начадьном состоянии '{77^ } лл] [\7/^) > будем говорить, что схемареализуется для входа Л ж начального состояижя 7477/7^^ ^У' А этом случае будем называть допустимым дая гйстерона | д / .

В § 2 исследуется проблема: какими свойствами должна обладать функция А , чтобы схемаА/АА реализовывалась для некоторого класса входов

Обозначил через некоторое подмножество пространства непрерывных функций

Теорема 2.1. Пусть ддя любого входа ¿^/¿^^¿/^ существуют такие постояняыеА<с£А < ааа о<§а<-Аа оС<-лС> АА 5

77^/\<-Л а ? 0АС<аа, что при любых 2аа а а/77а на отрезке имеет место неравенство

7 Г и/7У,г} и/77 л схема реализуется для любог© входа 17. ж любого начальжого состояния АТС (СС)Л л / /

В этой теореме условия реализуемости схемы лрлллдлйл в терминах близости выходов гйстерона И/ при различных В последующих двух теоремах § 2 эти условия формулируюА тся в виде непосредственных ограничений на системы кривых, определяющих гистероны И/л л'

Сформулируем одну из этих теорем. С этой целью через /У обозначим кяаес функ -цйй, удовжетворяюцщх на отрезке £СЬЛ г£/ условию Липшица, а через 7л [И,л - некоторую кривую, принадлежащую системе кривых, определшощйх гжстерон ]7\/ и проходящую через очку Р =/т А,,)(о}е[1(У[/ V.

Теорема 2,3. Пусть все определяющие кривые всех гжстеронов. входящих в семейство , удовлетворяют общему условию Лкпшица о одной и той же постоянной. Пусть найдутся также положительные константы с£А об ж неотрицательные /1 и С , что неравенство /и, А к , М) - Т*'-[ло Ю / А • выполнено при любых . любом Л (11гЫ оС) и любых что 4 а таких,

Тогда схема аа2. реализуется для .дюбого входа 17лл)л 7/а/(2, -л' ^л любого начального состояния в § 2 изучаются также свойства переменного гжстерояа ¡4Л (см. (0.2)). Показано, что если все определяювде кривых всех гжстероноБ (0.1) удовлетворяют условию Липшица с одной и той же постоянной, то гжстерон / \ / удовлетворяет условжо Липшица.

В I 3 сформулирована задача Коши дася дифферешиального уршнения с гйстерезжсной нелинейностью общего вида; для этой задачи доказана теорема существования ж единственности типа теоремы Кош.

Рассматривается задача

0.3) где а

Л/ а и ¿7/скадярные непрерывные на /

АЛЛ стве л л

Оператор Т / Т лллу ллуллри фиксированных однозначен, он действует в каждом простран

У/ / / ( £</</л. Опералорлллл каждой функции %/а/А//2л 2Л/1М> шетеоАрштЖ условию

А/7Х1,/ А , ставит в соответствие функцию

7А'А/АТАу АС/аАр дал-ллтворяющую условшоь /л7/2;А'а/71а

Предполагается, что оператор / у л л ллудовлетворяет условию Липшица

Ао-А-А А (0.6) при / V ' л'лл ~ некоторая постоянная, 1 л , (4 /7Х=ААЮ=А. ) - произвольны© функции.

Под оператором / л у можо понимать статический шш переменный гистерон.

В предположении, что функция А/А2А АУ удовлетворяет условию Липшжщ по л ж ¿л , даш задачи (0.3)-(0.5) в § 3 доказана теорема существования и единствен-неоти типа теоремы Коши.

В § 4 приведены доказательства утверждений из § 2.

Во ВТСРСИ главе (§§ 5-7) изучаются условия, обеспечивающие единственность решения задачиКоши (0.3)-(0.5) даш случая, когда функция лтл//} АJ Ау > вообще говоря, не удовлетворяет условш Липшица по л ж л . Рассмотрены также условия единственности решения задачи Коши для ежотемы дифференциальных уравнений о гжстерезионымж н©линв13ностяш1.

В § 6 получены критерии единствешости дан задачи (0.3)--(0.9), содержащие обобщения условия Липшида для функщй //т.А ао % л а ¿л являющиеся аналогами известных теорем единственности для обыкновенных дифференциальиых уравнении. Доказаны:

I) Признак единствениоотж типа теоремы Осгуда.

Теорема 5.1. Пусть фААпщ-/-/АА АА и/у, заданная на шожествб

7 : 7у7лТJл,лJiл,/мJ<7

Л 'Л непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет неравенству

Здесь функцж ¿ 7 непрерывна, не убывает при

УГ < А и, кроме того.

Ух с{ > О - некоторое число). Тогда задача (0.3)-(0.5) имеет не более одного решения.

2) Признак единственности типа теоремы Перрона.

Теорема 5.3. Пусть функция х 1и л % А А^>у непрерывна по совокупности переменных на множестве а (см. (0.7)) и удовлетворяет условию / У . Л у - / У Ах/- х м

ЛЛУ//ЛЛЛ-ЛЛ/у/АА-йуЛХ,

0.8)

Пусть оператор / л / л л удовлетворяет условшо Липшица (0.6) с постояшой /77 А. Тогда задача л*з'0~(%'-5) имеет не более одного решения.

3) Признак единственности типа теоремы М.А.Красносельского и С.Г.Крейна. Положим j/yl А 7П777'Х/:7А 777} а (0.9) где /"77 - постоянная в условии (0.6).

Теорема ЪЛ. Пусть функция л л / л а 7(7) непрерывна по совокупности переменных на множестве л (см. (О.?)) ж удовлетворяет условиям: if (7, г,у.)-7Х,х™.)777Х)'

7> <с7 < У . Пусть А у — Л • ча (0.3)-(0.5) имеет на отрезке/А Ул/ не более одного решения.

4) Признаки единственности типа теорем Ю.Витте и Т.Родаер-са.

Теорема 5.7. Пусть функция а / а а а непрерывна по оовокушостж перемешьк на множестве

И удовлетворяет на условЕям

У. . - / У ЛУЛ< где ^ ^ н /2/а - некоторые непрерывные соответственно н а / 2 а а / 1 / и Lyл0J 7" / фгА1кщи, при тш1АЦ)>0 (гУллл Т]л и ^ А; определено равенством (0.9). Тогда задача (0.3)-(0.5) имеет не более одного решения.

Подбирая в теореме 6.7 различны© фзшкции /тАможо получить некоторые более конкретные признаки единственноотЕ для задачи (0.3)-(0.5). Положив А/Т-У~ / / А аС >А ж > О > получаем признак единственности тина теоремы Т.Родасерса.

В § 5 рассмотренЕ также теорема единственностЕ решения задачи (0.3)-(0.5) типа теоремы Венда. В этой теореме обобщенные условия Липшищ дм функции л л л ои) , которые имеют место в теореглах 5.1, 5.3, 5.4 и 5.7, заменяются уело-вияма положительности жш монотонности .

В § 6 рассштривается вопрос о едашственностж решенж задачи Коши для системы дифференциальных уравнений, правая часть которой содержит етстерезисную нелинейность.

Задача (0.3)-(0.5) в § 6 рассштривается в случае, когда * У)* Ш */** да шбош 2* е /лл . Предполагается, что оператор /А /А А аааа при фиксированных А у А у является однозначным, причем действующим в кавдом пространств С//*с л Т***У Л 2Л <2^-^/ ), непрерывных на У л J - л вектор-функщй со значениями в У> * . Каддой вектор-функда * * С/*0* 7**7* удовлетворяющей условиюА тА// а а оператор / /ТО , Л*)* ш*/0,шшт-ъ соответствие вектор-фушщшо {кУ /т) л о 2А/А удовлетворяющуж) условию Ш ( л л л При 71 > У иод опвратором7/2аа^Уо) можно понимать многомерный гиотерон с характеристикой - выпуклым многогранником а с • (см. § I).

Для задачи (0.3)-(0.5) в случае /2а >а получены признаки едйнствешости решения аналогичные некоторнм известным теоремам единственности дш обыкновенных дифференциальных уравнений.

В п. 6.2 получен признак единственности, переходящий в случае ©быкновеняых джффере ища льных уравнений в теорему С Р . Бернфельда, Р.Д. Драйвера ж В. Л&ктишшвтвмал. Предполагается, что вектор-1унктдия АуА 6сАА определена и непрерывна на множестве

Пусть функция АуААуАопределена, непрерывна ж неотржца ~ те льна на /7Л / / , причем Р У) У1 О 2Л л 2Л *

•о •)

Пусть функция непрерывна; у (,А) л — 7ЛЛ ааллл функция ЪСАО пусть будет едаственным неотрицательным решением уравнения при > 2А I удовлетворяющим условию

Теорема 6.1. Пусть сзлцествз?"ет непрерывная функция такая, что, во-шрвнх:, равенство вышолнено еслж ж только если л л и С<УЛ-=<Л(Л , во

-вторых, для любых двух решений а у х ; , / / у л Щйх* у ; / ХМ.^ задаш (0.3)-Ш.5) справедливо соотношение

К / / ./ / у / / у л ХАУ4)А„ и, наконец, в-третьих, при лхх, V /у, лх/2мХМ 7Л< справедлива односторонняя оценка

Тогда задача ('0.3)~(0.5) имеет не более одного решения на любом отрезке / УЛЛ ( 2 л <7Т.

В п. 6.3 получены теоремы типа 0.Перрона и Т.Роджерса для случая 71 X и когда оператор / / ' л л л¿^ л/л^от-ветствует модели уиругопластического волокна Прандтля.

В § 7 приведены доказательства утверждений из §§ 5 и 6.

В третьей главе (§§ 8-12) рассматриваются дифференщальные уравненш с нелшейностяш, содержащшж сосредоточенные иди распределенные залаздыванин. Глава посвящена исследованию вопросов существования периодических и положтельных периодических решений у функциональяо-дифференпиальных уравнений запаздывающего типа (ШШ)

В носящем вспомогательный характер § 8 приводятся известные сведения об используемых в последуюпрос построениях понятиях.

В § 9 для широкого класса ЗШЖ предлагается реализация топологического метода "альтернативного принципа", предложенного в общем виде М.А.Красносельским/АЛу, доказана теорема о оуществоважш периодических решений у ШЩ, Рассматривается ШШ вида

0.12)

Здесь сиводом обозначена вектор-функция X > бпределешая щъ-сх: ><АХ А '£ . с о значежиями в и относящаяся к некоторому классу УА , содержащему множество ~ 00 -пврнбдичеекжх и кусочно-непрерывных Цгишрй. Правая часть уравнения (0.12) определяет отображение

Г Х х ,) Х 7 2 ) ~ ~ А Х

Предполагается, что в (0Д2) оператор /-~У ХА) является (у) -периодичным по .

Обозначим через Г п глП пространство непрерывных на 10у (А7ц вектор-функций со значениями в И с нормой I 1ХХ —ГГМХ //Х0// где //X/ - евклидова норма в л .

Общая идея "альтернативного принципа" состоит в рассмотрение, наряду с (0.12), также уравнения а зависящего от скалярного параметра А таким образом, чтобы при /\ а х это уравнение совпадало с (0.12), а при л := ¿? переходило в некоторое обыкновенное дифференциальное уравнение, при этом оператор где -периодическое продолжение вектор-пункции

Xf¿) с полуинтервала f¿}j У/ на всю ось, был вполне непре« рывен как оператор из топологического произведения^.^'¿3íA в cío, COj . в § 9 предлагается следр)щая реализация этой идеи. Пусть У у) 1 AAJAÑ-" некоторая непрерывная Л по совокупности переменных и й/ тор-функция. Рассмотрим систему

-периодическая по 2A век

F[t \ 4 Н Ш , ] л

НХ fít X

4)1 где вектор-функция

0 4 A Ai Л

0.14) определяется равенством

При /) / система (0.14) совпадает с (0.12), а при :1г У - переходит в систему обыкновенных дифференциальных уравнении

Будем говорить, что существует априорная оценка для ¿кУ -периодических решений системы (0.14), если джя некоторого

У <У<л сх:? каждое -периодическое решение системы (0.14) при любом / / У / а удовлетворяет сцен

Будем считать, что систею (0.15) нев1фождена на бесконечности, т.е. для нее определен оператор сдвига за период ¿4Л , вое а/ -периодические решения системы (0.15) равномерно ограничены и на сферах У большого радиуса в.а пространстве а вращение УЛ /А7JА векторного поля у fXJ — Х~7/Х отлично от нуля.

Реализация метода "альтернативного принципа" ддя уравнения (0.12) заключается в следующем утверждении.

ЗГтверждежй© 0.1. Пусть ср1ествует априорная олрмка джя а -периодических решений системы (0.14). Пусть система (0.15) невырождена на бесконечности. Тогда систеш (0.12) имеет, по крайней мере, одао -периодическое решение.

Для конкретных уравнений вида (0.12) системы (0.14) ж (0.15) легко выписываются.

В § 10 дается понятие квазшвращенжя векторного поля, являющееся модификацией понятия вращения векторного поля для случая, когда соответствующий оператор положителен относительно некоторого конуса /\ в бадаховом пространстве У На основе этого понятия формулируется теорема о принципе родственности применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Эта теорема важна в последующих построениях.

В § II изучается вопрос о существовании у ШЩ (0.12) положительных си -периодических решений. При этом уравнение (0.12) рассматривается в пространстве / Р а , полуупорядо-чениом телесным конусом /\ ; решениеи Л'системы (0.12) будем называть неотрицательным, если ХУ)Л /\ дан всех 2А" ; неотрицательное нетривиальное решение будем называть положительным.

Будем говорить, что правые части-систеш--(Л.12-)--удовлетво-ряют условию "втекания в конус У если ддя каздого лшнейн-ого положительного функционала У и любой непрерывной вектор-функции X (АХ), удовлетворяющей соотношениям имеет место неравенство

ХХ х")] А 7 х А А А х

Условие "втекания в конус " обеспечивает дяя уравнения (0.12) существоваже для начальных функций а у д о -влетворяющих условию А /\ {—С>А<7ААА) неотрицательного решения. в § ЦЛиспользуя понятие квазйвращения полейЛконструиру-ется модификация метода "альтернативного принципа" для задачи о неотрицательных периодических решений системы (0.12), На этой основе формулируются достаточные признаки существования положительных периодических решений у системы (0.12). Приведем один из них.

Пусть вектор-функция -у л хл из системы (0.14) удо-вявтворяет условию: для любого линейного положительного функционала ¿л из условия

О (0.16) /4Л принадлежит границе конуса /<С ) следует неравенство

Будем предполагать, что дж системы (0.15) на конусе/л определен оператор 2А сдвига за период лло .

Теорема 11.4, Пусть правые части системы (0.12) удовлет^ воряют условию "втекания в конус ", а вектор-функиия

X) удовлетворяет условию (0.16) и (0.17), Пусть существуют положительные числа Х-А и такие, что тжж X а) - это положите.яьное 00 - периодическое решение системы (0.14) при некотором \л ['лул ' -лл

11X11лялл. Пусть существует >/) такое, что для любого положительного СО - периодического решения X, /тЛ/сис-темы (0.15) имеет место неравенство НХ([?)1(лул* Пусть,наконец, оператор ]/[, дая системы (0.15) сжимает или растягш

- 27 вает конус К • Тогда система (0.12) имеет по кражей мере одно положительное сО -периодическое решение.

В § 12 рассмотрежн приложения и примеры. На основ© теоремы 11.4 доказаны теоремы о существовании нестационарных положительных периодических решений у уравнения Хатчинсона и у системы Важгерскй и Каннижгэма? При этом в этих зфавнежиях коэффициенты предполагаются зависящими от времени 2а , что соответствует обобщению этих моделей ма случай нестационарных сред.

Основные результаты получены автором самостоятельно и опубликованы в статьях

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. - 1982. - Т. 18. - 12.-С. 2027-2050.

2. Антоновский М.Я., Болтянский В.Г., Сарымсаков Т.А. К теории полуупорядоченных пространств // Труды IV Всесоюзной топологической конференции. Ташкент, 1967. - С. 10-22.

3. Бабицкий В.М., Крупенин Б.М. Колебания в сильно нелинейныхсистемах. М.: Наука, 1985. - 260с.

4. Бабский В.Г.,Мышкис А.Д. Математические модели в биологии,связ-анные с учетом последействия//Марри Дж.Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моде лях.-М.: Мир, 1983.-0.383-394.

5. Барабанов Н.Е., Якубович В.А. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью // Автоматика и телемеханика. 1979. - Ш 12. - С.5-12.

6. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 548с.

7. Березовский А.А.,Нижник Л.П.Математические модели гистерезиса//TA.V Междунар.конф.по нелинейным колебаниям.-Киев, 1970.-Т.4.-С.69-71.

8. Боголюбов H.H., Митропольский ЮА Асимптотические методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 501с.

9. Возорт Р. Ферромагнетизм. М.: Мзд-во МЛ, 1956. - 784с.

10. Боли В., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.:Каратеодор1//В1сник Ки1вського университету. Оер1я математики та механ1ки. 1972. - № 14. - С.34-42.

11. Борисович Ю.Г. Об одном применении понятия вращения векторного поля // ДоклАН СССР. 1963. - Т. 153. - I. - С. 12-15.

12. Борисович Ю.Г. О методе Пуанкаре Андронова в задаче о периМир, 1964. 517с. 11. Бондаренко П.С. Зауваження до умов 1снування таодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием // Докл.АН СССР. 1963. - Т. 152. - М 4. - С. 779-782.

13. Борисович Ю.Г.,Субботин В.Ф.Теоремы существования полуположительных решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргу-ментом//Тр. семинара по функц. анализу. -Воронеж, ВГУ, 1967. -Вып. 9.- С. 111-115.

14. Бзфиев Т.И., Шарипов Ш.Р., Эргашев В.Э. Качественное исследование обобщенной модели Лотка-Вольтерра с учетом эффектов насыщения и конкуренции // Качеств, и анал. методы в динам, систем. Самарканд, 1987.-С.14-23.

15. Вайнер Л.А. , Разов М.А. Влияние нейтронного облучения на сопротивление деформированию и хрупкому разрушению стаж // Материалы I Всесоюзного совещ. "Радиац. эффекты изм. мех. свойств конструкц. материалов и методы их исслед.'* Киев, 1976. - С.77-84.

16. Валле-Пуссен ШЖ Курс анализа бесконечно малых. Л.-М.% Гостехиздат, 1933.-Т.I. - 464с.

17. Васильев Н.Г., Зверев В.А. Электронное моделироваание гисте-резисных характеристик ферромагнитных материалов // Известия ВУЗов. Электромеханика. 1956. - Л 6. - С. 3-17.

18. Вейнер Дж., Ландау Г. Температурные напряжения в упруго-пластических телах // Пластичность и термопластичность. М., 1962. - С. 70-91.

19. Викторовский Е.Е. Об одном обобщении интегральных кривых для разрывного поля направлений // Математический сборник. -1954. Т. 34. - Л 2. - С- 213-248.

20. Владимиров A.A., Клепцын А.Ф., Козякин B.C., Красносельский M.Ä., Лифшщ Е.А., Покровский A.B. Векторные гистерезисные нелинейности типа Мизеса-Треска // Докл.АН СССР. I98I. -Т. 257. - JS 3. - С. 506-509.

21. Владимиров A.A., Клепцын А.Ф. О некоторых гистерезисных звеньях // Автоматика и телемеханжа.- 1982. â 7. -С. 165-169.

22. Вонсовский C.B. Магнетизм . М.: Наука, I97I. - 1032с.

23. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. М.: Энергоиздат,1980.- T.I. - 309с.,Т.2.- ЗЮс; I98I.- Т.З.- 303с.

24. Вужх Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. -М.: Физматгиз, I96I. 407с.

25. Гежг А.X.,Леонов Г.А.,Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. - 400 с.

26. Гильман Т.О. , Покровский A.B. Вынужденные колебания систем с простейшими гистерезисными нелинейностями // Докл.АН СССР. -1982. Т.263. - 4. - С.790-793.

27. Грачев Н.М. Некоторые свойства нелинейных звеньев с гистерезисом // Тезисы докладов 8-го Всесоюзного совещания по проблемам управления. Таллин,1980.- T.I. - С.40-42.

28. Давиденков H.H. О рассеянии энергии при вибрациях // Журнал теоретич. физики 1938. - Т.8. - â 6. - С.37-38.

29. Давиденков H.H., Лихачев В.А. Необратимое формоизменение металлов при циклическом тепловом воздействии. М.: Машгиз, 1962. - 222с.

30. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с банаховом пространстве.-М.: Наука,1970.-534с.

31. Дезоер Ч.,Заде Л. Теория линейных систем. (Метод пространствасостояний).-М.: Наука, 1970.-690с.

32. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. - 511с.

33. Доброславский В.Л. О моделях и математическом описании упругих связей с гистерезисом // Рассеяние энергии при колебаниях систем. Киев, 1968. - С. 155-160.

34. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.:Наука, 1980. 3 83с.

35. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. - 33 5с.

36. Забрейко П.П., Красносельский М.А., Лифшпц E.i. Осциллятор на упруго-пластическом элементе // ДоклАН СССР. 1970. -Т.190.- J* 2. - C.2I7-220.

37. Зубов В.М. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Мзд.2.-Л.-.Машиностроение, 1974. 33 5с.

38. Икюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории.- М.: Наука, 1963. 271с.

39. Иона Ф., Ширине Д. Сегнетоэлектрические кристаллы. М.: Мир, 1965. - 555с.

40. Мшлинский АЮ. Некоторые применения статистики к описанию законов деформирования тел // Изв.АН СССР, ОТН. 1944. - JÉ 9,- С.580-590.

41. Шплинский АЮОбшая теория пластичности с линейным упрочнением // Украинский математический журнал. -195 ■4. -Т. е.-Ш. -С.430-441.

42. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Об учете мжронапряжений в теории пластичностиУ/Механика твердого тел а.-1968.3.-С.17-32.

43. Калман Р. Об общей теории систем управления // Труды 1-го конгресса МФАК М., I96I.- Т.2. - С. 521-547.

44. Калман Р.,Фалб П., Арбиб А. Очерки по математической теории систем. М.: Наука, 1973. - 400с. ,

45. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Мзд.З. -М.: Наука, 1984. 752с.

46. Канторович Л.В.,Вулих Б.З.,Пинскер А.Г.Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.-М.-Л.'.Гостехиздат, 1950.-548с.

47. Качанов Л.М. Основы теории пластичности.-М.: Наука,1969.-420с.

48. Квапиш М. О существовании и единственности решений дифференциальных уравнений с 8апаздывающ|ш аргументом в банаховом пространстве //Труда семинара по теории уравнений с отклоняющимся аргументом. УДН М., 1967.-С.96-110.

49. Киренский Л.В. Магнетизм. Л.-М.: Наука, 1967. - 196с.

50. Киренский Л.В., Дрокин A.M., Лаптей Д.А. Температурный магнитный гистерезис ферромагнетиков и ферритов. Новосибирск: Сибирское отд.АН СССР, 1965. - 159с.

51. Киселевский В.Н. Изменение механических свойств сталей и сплавов при радиационном облучении. Киев: Наук.дужа, 1977.-ЮЗс.

52. Клепцын А.Ф. Свойства преобразователя Мизеса // Исследование операторных уравнений. Куйбышев,1983.-С.45-52.

53. Клепцын А.Ф., Покровский A.B. Виброкорректность некоторых гистерезисных звеньев // Динамика неоднородных систем. Материалы семинара.-М.: ^НИИ системных исследований, 1982.-С.62-69.

54. Коваленко А.Д. Основы термоупругости // Избранные труды.-Киев.: Наук.думка, 1976. С.399-685.

55. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мзд-во МЛ, 1958.-474с.

56. Козякин B.C., Красносельский М.А., Покровский A.B. Виброустойчивые гистероны //Докл. АН СССР. -1972. -Т.206. ~М. -С. 800-803.

57. Колосов Ю.С. Положительные периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Канд. дисс.,ВГУ,1966.

58. Колесов Ю.С, Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздаванием.- Вильнюс: Москлас, 1979. 147с.

59. Колмановский В.В.,Носов В.Р.Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием.-М.: Наука,I981.-448с.

60. Кравченко A.A. О модели Кадашевича-Новожилова гистерезисных нелинейностей //Методы исследования нелинейных систем управления. М., 1982. - С.43-48.

61. Красносельский М.А. Альтернативный принцип существования периодических решений для дифференциальных уравнений с запаздывающцм аргументом //Докл.АН СССР.-1963.-Т.152.-М.-С.801-804.

62. Красносельский М.А. Математическое описание колебаний материальной точки на упруго-пластическом элементе //Дифференциальные уравнения с частными производными.-М., 1970.-С. 146-149.

63. Красносельский М.А. О некоторых новых методах в теории периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной ме-ханике.-М., 1965. Вып.2.-С.81-97.

64. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. - 32 9с.

65. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. -М.: Физматгиз, 1962.-394с.

66. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.-392с.

67. Красносельский М.А. Уравнения с гистерезисными нелинейностями //VII Internationale Konferenz über nicht lineare Schwingungen. -Berlin: Akademie Verlag, 19T7.-B.I.-S.437-458.

68. Красносельский М.А.,Даринский Б.М.,Емелин М.В.Забрейко П.П., Лифшиц Е.А.Покровский A.B. Оператор-гистерант //Докл.АН СССР. 1970.- Т. 190.-JÉ I. - С.34-37.

69. Красносельский М.А.,Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 510с.

70. Красносельский М.А.,Крейн С.Г. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Тр.семинара по функц.анализу. Воронеж, ВГУ, 1956.- Вып.2.-С.3-23.

71. Красносельский М.А.,Крейн С.Г. Нелокальные теоремы существования и теоремы единственности для систем обыкновенных дифферен-щальных уравнений //Докл.АН СССР.-1955.-Т. 102.-Jfel.-С. 13-16.

72. Красносельский М.А.,Крейн С.Г. Об одном классе теорем единственности для уравнения у' = f(x,y) // Успехи мат.наук.-1956.- T.II. Вып. I.- С.209-213.

73. Красносельский М.А.,Лифшиц Е.А. Об одном принципе двойственности // Украинский матем.журнал.-1965.-Т.17.-Л 5.-C.II9-I22.

74. Красносельский М.А., Маергойц М.Д. (США), Покровский A.B., Рачинский Д.М. Переменные состояния континуальных систем реле //ДОКЛ.РАН.-1993.-Т.330.- 4.- С.427-430.

75. Красносельский М.А.,Перов A.M. Об одном принципе существования ограниченнык, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений//Докл.АН СССР.- 1958.-Т. 123.-Ji 2.-С.235-238.

76. Красносельский М.А.,Покровский A.B. Виброустойчивые дифференциальные уравнения с непрерывной правой частью //Труды Московского матем.об-ва. -М., 1972. -Т .27 .-С .'93-112.

77. Красносельский М.А.,Покровский A.B. Виброустойчивость решений дифференциальных уравнений //Докл.Ан СССР.-1970.-Т. 195.-ЖЗ.-С. 544-547.

78. Красносельский М.А., Покровский A.B. Метод блок-схем в математическом моделировании систем со сложными нелинейностями // Труды 8-го конгресса МФАК.-Киото, 1981.-С.88-97.

79. Красносельский М.А.,Покровский A.B. Периодические колебания в системах со сложными нелинейностями // IX Международная конф. по нелинейным колебаниям. Киев,1984.-Т.I.-С.189-193.

80. Красносельский М.А., Покровский A.B. Системы гистеронов // Докл.АН СССР. -I971 .-Т.200.^0.-С.286-289.

81. Красносельский М.А. .Покровский A.B. Системы с гистерезисом. -М.'.Наука, 1983.-271с.

82. Красносельский М.А. .Покровский A.B., Троне ль Ж. ,Черноруцкий В .В. О динамике систем управления, описываемых уравнениями параболического типа с гистерезисными нелинейностями //Автоматика и телемеханика. -1992.- £ II.- С.65-72.

83. Красносельский М.А.,Стрыгин B.B. О вычислении вращения вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений // ДоклАН СССР.-1963. Т. 152.-Je 3. - С.540-543.

84. Красносельский М.А., Стрыгин В.В. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений //Докл.АН СССР.-1964.-Т.156.- Ш>.- C.I022-I024.

85. Красносельский М.А. ,Черноруцкий В.В.Об одном классе гистерези-сных нелинейностей//Докл.АН CCCP.-I989.-T.305.-J5.-C.I065-I068.

86. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движений. -М.: Физматгиз., 1959.-211с.

87. Крейн М.Г.,Рутман М.А. Линейные операторы , оставляющие инвариантным конус в банаховом пространстве // Успехи матем. наук. -1948.-Т.3.-Вып.1.

88. Кудрявцев В.А.,Партон В.В. Магнитотермоупругость//Итоги науки и техники.Механика деформ.тела.-М.: BMHMTM,I98I.-T.I4.-C.3-59.

89. Куксин СБ. Применения монотонных полугрупп в теории идеально-упруго-пластичности//Успехи мат .наук. -1982. -Т.37 .-М 5. С. I89-190.

90. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред.-М.:Гостехиздат, 1953.- 788с.

91. Латипов Х.Р.,Носиров Ф.У. О влиянии запаздывания на нелинейные системы.- Ташкент: "ФАН", 1988.-С. 116.

92. Лере Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения// Успехи мат. наук. -1946. Т. I. -Вып. 3-4. - С. 7 1-95. 'у

93. Лифшиц Е.А. О принципах двойственности для задачи Ь периодических решениях дифференциальных уравнений высших цо рядков // ДоклАН СССР.-1965.-Т. 165.- JE 2.- С277-280. •

94. Лурье А.И. Теория упругости.-М.: Наука, 1970.-939с.

95. Марченко Н.В. О продолжении оператора и существовании неподвижных точек //Докл.АН СССР.-1962.-Т. 147.-Je 5.-CI026-1028.

96. Мартьшюк Д.М., Коломиец В.Г. Периодические решения сильно нелинейных систем с запаздыванием // Матем. физика.-Киев, 1968.-Вып.4.-С.55-65.

97. Мартынюк Д.М., Самойленко 1.М. О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием // Матем. физика.-Киев, 1967.-Вып.3.-С.128-145.

98. Мартынюк Д.М. ,Фодчук В.М. Периодические решения дифференциального уравнения п-го порядка с запаздыванием //Матем. физика. -Киев, 1969.-Вып.4.- С.90-92.ЮО.Мессарович М.,Такахара Я.Общая теория систем.-М.:Мир,1978.-311с

99. Митропольский ЮА Метод усреднения в нелинейной механике. -Киев: Наук. думка,I97I.-440с.

100. Митропольский Ю.А.,Мартынюк Д.М. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием.-Киев:Мзд-во АН УССР, 1969.-309с.

101. Митропольский Ю.А.,Мартынюк Д.М. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием.- Киев: Вища школа, 1979.-247с.

102. Митропольский Ю.А.,Самойленко А.М.,Мартынюк Д.М. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно периодическими коэффициентами.-Киев :Наук. думка, 1984 .-213 с.

103. МШИН В.В.Пластичность при переменных нагружениях.-М.:Мзд-во МГУ, 1968.-263с.

104. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений вязко-пластической среды //Прикладная мат. и мех.-1965. -T.29.-J« 3.- С.468-492.

105. Натансон М.П.Теория функций вещественной переменной.Мзд.2.-М.: Гостехиздат.1957.-552с.

106. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории колебаний.М.: Наука, 1972.-471с.

107. Нетушил A.B. Автоколебания в системах с отрицательным гистерезисом // Труды 5-й Международной конференции по нелинейным колебаниям.- Киев,1970.-Т.4.- С.393-407.

108. Нетушил A.B. Нелинейное звено типа упор //Автоматика и теле-механика.-1968.-7.- С. 175-179.

109. Новожилов В.В. О сложном Нагружении и перспективах феноменелогйче ского подхода к исследованию микронапряжений //Прикладная мат. и мех.-'1964.-Т.28.-Л 3.- Q.393-400.

110. Пальмов В.А.Колебания упругопластических те л.-М.: Наука, 1976. -328с.

111. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем.-М.:ФизматгизД960.-193с.

112. Перестюк Н.А.,Щ1дыло К.В. О периодических решениях одного класса систем дифференциалБНо-разноетных уравнений //Материалы ИГ Всесоюзн.межвуз.конф.по теории и приложениям диф. уравнений с отклоН.аргументом.-Киев, 1972.-С.154-155.

113. Петрова 1.П. ,Садовский В.Н. К математической теории электрических цепей с диодными преобразователями тока/Воронежск .гос. ун-т. -Воронеж, 1982. -22с. -Рукопись деп. в ЕМШМ 10.08.82,М403.

114. Петровский М.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1970.-279с.

115. Шсаренко В.Г. Периодические решения одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом//Анажтически© и качественные методы теории дифференциальных уравнений.-Киев, 1972.-О.-175-186.

116. Писаренко Г.С. Рассеяние энергии при механических колебаниях. -Киев: Мзд-во АН УССР, 1962.-436С.

117. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала.-Киев:Изд-во АН УССР,Р970.-377с.129.11исаренко Г.СКиселевский В.Н. Прочность и пластичность материалов в радиационных потоках.-Киев: Наук.думка, 1979.-282с.

118. Писаренко Г.С. ,МожаровскиЙ Н.С. ,Антипов Е.А. Сопротивление жаропрочных материалов нестационарным температурным воздействиям.- Киев: Наук.думка,1974.-198с.131 .Плисе В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний.-М.-Л. :Наука, 1964. -368с.

119. Покровский A.B. К теории гистерезисшх нелинейностей//Докл.АН СССР.-1973.-Т.210.6.-С.896-900.

120. Покровский A.B. Нелокальная продолжимость решений виброустойчивых дифференциальных уравнений //Докл.АН СССР.-1973.-Т.208.6.-C.I286-I289.

121. Покровский A.B. Об одном классе разрывных систем //Автоматика и телемеханика.- 1981.-Л7.-С.47-51.

122. Покровский A.B. Системы с сильными нелинейностями //Математическая теория систем.-М.:Наука,1986.-С.96-112.

123. Потапов В.Н. Мультипликативная структура J-нерастягивающих матриц-функций. -Труды Московок .мат. об-ва. -1955. -Т. 4. -С. 125-236.

124. Прагер В. Неизотермическое пластическое деформирование //Сб. переводов"Механика".-М.,1959.-5(57).- С. 795-101.

125. Прагер В.,Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел.-М.: Мзд-во МЛ 1956.-398с.

126. Привальский В.В. Задача Коши для систем с простейшими гистерезисными нелинейностями //Качественные и прибжженные методы исследования операторных уравнений.-Ярославль:Изд-во ЯГУ,1980.-С.112-118

127. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.:Гостехиздат, 1947.-392с.

128. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием.--М.: Наука,1969.-287с.

129. Рябов ЮА Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием //Труды семинара по теории дифф.ур-ний с отклон.аргументом.УДН.-М. ,1962.-Вып.1.- C.I03-II3.

130. Рябов Ю.А., Хусанов Д.Х. Построение и оценки по тригонометрической норме периодических решений интегро-дифференциальных уравнений в теории вязкоупругости / / Матем.физика.-Киев, 1983.-Вып.34.- С. 36-42.

131. Самойленко A.M. ,Ронто Н.М. Численно-аналитические метода исследования периодаческих решений.-Киев :Вища ж. ,1976.-179с.

132. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т.И.-М. : Мзд-во М, 1954. -415с.

133. Седов Л.М. Механика сплошной среда.-М.:Наука,1976.-Т.I.-535с.; 1976.-Т.2.- 573с.147. смит Дж.М. Модели в экологии.-М.: Мир,1976.-182с.

134. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем.- М.:Госстройиздат,1960.-131с.

135. Стеценко В.Я. Критерии неразложимости линейных операторов // Успехи матем.наук .-1966.-Т.21 .-Вып.5.-С.265-267.

136. Стрыгин В.В. О зависимости от параметра одного интегрального оператора //Докл.АН СССР.-1964.-Т.-159.-Л I.- С.28-31.

137. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов.-М. : Наука,1965.-Т. 2.-480с.

138. Филатов А.Н.,Шарова Л.В. Мнтегральные неравенства и теория нелинейных колебаний.- М.:Наука, 1976.- 152с.

139. Филиппов А.Ф.Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью //Матем.сб.-1968.-Т.51.-JÉ I.-С.99-108.

140. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнений с разрывной правой частью.-М.: Наука,1985.-224с.

141. Фодчук B.I. Деяк! теореми 1снування 1 ВДНО для диферен-ц1альних р1внянь 1з зап1знюючим аргументом // Доп.АН УРСР.--1962.-Ш2.-С. I54I-I545.

142. Фодчук В.М. Об интегральных многообразиях для систем с запаз-даванием //Тр. V Междунар.конф.по нелинейным колебаниям. -Киев,1970.-ТЛ.- С.558-564.

143. Халанай А. О некоторых свойствах периодических и почти периодических систем с запаздаванием //Revue de math.pures et appl., Acad. RPR.-1964.- 9,7.-P.667-675.

144. Халанай A. Системы с запаздаванием. Результаты и проблемы //Сб.переводов "Математика".-М.,1966.- 10,5.-0.85-102.

145. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.:Мир, 1970.-7200.

146. Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. III. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисными нелинейностями // Автоматика и телемеханика. -1965. -JÉ 5.- С753-763.

147. Bañas J., HaAnosz А., Wedrychowlcz St. Relations among various criteria of uniqueness for ordinary differential equations // Comment, math. Univ. Carol. 1981. - V. 22. - JÉ 1. - P. 59-70

148. Becker R. Elastische Nachwirkung und Plastizität //Zeitschrift fur Physik. 1925. - В. 33. - H.5. - S. 185-212.

149. Bernfeld S.R., Driver R.D., Lakshmlkantham V. Uniqueness of ordinary differential equations //Math. Systems Theory.-1976.-Y.9.-JÉ 4.-Р.359Ч36Т.

150. Bouc R. Modele mathématique d'hysteresis application au circuit oscillant a sell sa tupable//Tp. V Междунар.конф.по нелинейным колебаниям. -Киев,1970.-T.4.-С.100-113.

151. Bownds J.M. A Uniqueness Theorem for y'-f(x,y) Using a CertainFactorization of f//Jörn».of Diff.Equations.-1970.-V.7.-P.227-23 1.

152. Bownds J.M. A Uniqueness Theorem for Non-Llpschitzian Systems of Ordinary Differential Equations // Punkciala:! EkyacloJ.-1970.-V.13.-P.61-65.

153. Caratheodory С .Vorlesungen über reelle Punktionen é -Leipzig, 1927.

154. Chernorutskli V.V. ,Krasnosel'skli M.A:. Hysteresis systems with variable characteristics //Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Appllcatlons.-1992.-V.t8.-JÉ 6.-P.543-557.

155. Coleman B.D.,Noll W. -'Poundations of linear vlscoelastlcity // Rev. Modern Phys.-r961 .-V.33.-P.239-249.

156. Conti R. Sulla prolungabliitla délie soluzlone dl ш sistema del equasloni dlfferenslall ordlnarle // Boll.Unlone Mat. ital.-1956.-V.11 4.-P.510-514.V

157. Driver R.D. Existence Theory for a Belay-Dlfferentlal System // GOntrib. toDlff. Eq.-1.963-.-V.1.-JÉ3.-P.317-336.

158. Dugünd;il J. An extension of Tietze's theorem //Рас. J.Math. -1951.-V. 1.-JÉ 3.-P .353-367.

159. Gard Т.е. A generalization of the Nagumo uniqueness criterion //Proc.Affler.Math.S0Cv-1978.-V.70w-JÉ 2.-P.167-172.

160. Grafton R. A periodicity theorem for autonomous functionaldlfierentlal equations // J.DifferentlalEqns.-1969.-V.6.-P. 87-109.

161. S.Groger G. Zur Theorie des quaslstatlsclien Verhultens von elastisch plastischen Körpern // Zelt. ing. Math. Mech. -1978.- B.58.- H.H. - S.36-41.

162. Haie J.K. Averaging Methods for Differentlal.Equations with Retarded Argmentsmd a Small Parameter // J. Different. Equat.-1966.-V.2.- W 1.-P.57-73.

163. Heldel J.W. Uniqueness, continuation, and nonosclllatlon for a second order nonlinear differential equation //Pacific J. Math.- 1970.-V.32.-P,715-721.

164. Hutchlnson G.E. Circular causal systems In ecology // Ann. N.Y.Acad.Scl.-1948.-Y.50.-P.221-246.187.1wan W.D., Lutes L.D. Response of the bilinear hysteretlc system to stationary random excitation // Joum.Accust.Soc. Amer.- 1968.-V.43.-JE3,-Pv545-553.:

165. Jones G. The existence of periodic solutions of f'(x)= -af(x-1)1+f(X). // J.Math. Ana. Appl.-1962.-V.5.-P.435-450.

166. Kamke E. Differentlaiglelchungen reeler Punktionen.-Leipzig: Academ.Verlags-gesellschaft, 1930;New York:Chelsea, 1947.

167. Karnopp D.,Scharton T.D. Plastic deformation in random vlhrat ion//Journ. Acoust. Soc .Amer.-1966.-V. 39.-JE. 6.-P. 1154-11 A

168. Kronmuller 1. Nachwirkung In Perromagnetlka. -Bonn: Sprlnger--Verlag,1968.

169. Lakshmlkantham V. Uniqueness theorems for ordinary and hyperbolic differential equatlons/ZMlchigan Math. J.-1962.-V.9.-P.161-166.

170. Lakshmlkantham V.,Leela S:. Dlfferantlal and Integral Inequali-ties.-New York: Academic Press, 1969.-Vol. 1.

171. Lere J. Theorie das points fixes. Indice total et nombre de1.i sehetz// Bull.Soc.Math.Prance.-I959.-V.87.-P.221-233.

172. Lions Y.-L. Inequations varlatlomielles d'evolutlon/ZIntonaa-tlonal Congress of Mathematicians.-Nice, 1970.

173. Lutes L.D. Approximate technique for treating random vibration of hlsteretlc systems//Journ.Acoust.Soc,Amer.-1970.-V.48.-J* 1. -P.299~306.

174. Mayergoyz I.D. Mathematical models of hysteresls.-B. .-Springer -Verlag, 1991.

175. Montel P. Sur l'Intégrale supérieure et l'Intégrale Inférieure d'une equation différentielle// Bull.des Sciences Math.-1926.-V.50. P.205-217.199.loyer R.D. A general uniqueness theorem// Proc. Amer.Math.Soc.-1966.-V.17.-JÉ 3.-P.602-60T.

176. Nagumo M. Eine hinreichende Bedingung fur die Unltat der Losung von Dlffrentlalglelchungen erster Ordnung//Jap, Journ. of Math.-1926.-V.3.-P.107-112.

177. Perron 0. Eine hinreichende Bedingung fur die Unltat der Losung von Differentialgleichungen erster Ordnung // Math. Zelt sehr. -1928. -B.2&.-S.216-219.

178. Prager W. A new method of analysing Stresses and strains In work-hardening plastic solids//J.Appl.Mech.-1956.-V.23.-JÉ 4 -P.493-496.

179. Prager W. On Ideal locking matherlals.-Soc.Rheology.-1957.-V.1 .-P.169-175.

180. Rogers T. On Nagumo's concLltlonZ/CanâçL. Matli.Bull.-1972.-V.15.-JE 4.-P.609-611.

181. Rosenblatt A. Ueber die Existenz von Integralen gewöhnlicher Differentialgleichungen//Arch, for Matem.Astr.och Pyslk. -1909.-B.5.-JÉ 2.-S.4.

182. Salnt-Venant M. Sur I'etabllssment des equations des mouvements Intereurs opères dans les corps ductiles au-dela des limites d'elastlslte//C.R.Acad.Scl., Paris. 1870.-V.70.-P.473-480.

183. Saint-Venant M. Sur les equations du mouvement In ter leur du solides ductlles//J.Math.Pures et Appl.-1871 .-V. 16.-P.373-382.

184. Smith H.L. On periodic solutions of delay Integral equations modeling epldemdcs and population growth.-Ph D. Thesis,Univ. of Iowa, May 1976.

185. Tresca H.-C.R.Âcad.Scl.Parls.-1864.-V.59.-P.54-112.

186. Vlzlntln A. Mathematical models of hysteresis. Topics In nonsmooth analysis.-B.:Blrkhauser Verlag, 1988.

187. Volterra E. Vibration of elastic systems having hereditary characteristics//J. Appl.Mech.-1950.-V.I 7.-P.363-371.

188. Volterra V. Sulle equazlonl Integro-dlfferenzlall della elasclta nel caso della lsotroplcca//Rend.Acad.Llncel.-1909.-V.5.-JÉ 18.-P. 577-586.

189. Vol terra V. Sur la théorie mathématique des phehomenas heredl-tlres//J.Math.Pures et Appl.-1928.-V. 1 .-P.249-298.

190. Wângersky P.J., Cunningham W.J. Time lag In preypredator population models//Ecology.-1957.-V. 38.-P. 136-139.

191. Wend D.V.V. Existence and uniqueness of solutions of ordinary differential equatlons//Notlces Amer.Math.Soc.-1968.-V. 15.-JÉ 89.

192. Wend D.V.V. Existence and uniqueness of solutions of ordinary differential equatlons//ProG.Amer.Math.Soc.-1969.-V.23.-P.27-33.

193. Wend D.V.V. Uniqueness of solutions of ordinary differential equat lons//Amer. Math.: Ion thly. -1967.-V .74. -P. 948-950.

194. Wlntner A, The nonlocal existence problem of ordinary dlffe-rentlal equationsZ/Amer. J.Math.-1946.-V.68.-Jfe 1.-P .277-284.

195. Wlteman I.R. A mathematical model depleting the stress-strain diagram and the hysteresis loopZZJoum.Appl.Mech. (Trans.ASME series E)-1959.-V.26.-JSI.-P.95-100.

196. Wltte J. Eln Elndeutlgk:eltssatz fur die Differentlalgleichung y '=f(x,y) //Math. Zeltschr.-1974.-B.160.-H.3.-S.281-287.

197. Борздыко В.М.Положительные периодические решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся apгyмeнтoмZZДoкл.АН ТаджССР. -1966.-Т.9.4.-С.3-5.

198. Борздыко В.М.Положительные периодические решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в банаховом прос-тpaнcтвeZZДoкл.AH ТаджССР.-1968.-ТДи 7.-С. 3-6.

199. Борздыко В.М. Об альтернативном принципе существования периодических решений для дифференциальных уравнений с запаздывающим apгyмeнтoмZZДoкл. АН ТаджССР.-1976.-Т. 19.10.-С.6-9.

200. Борздыко В.М. Применение топологических методов в теории положительных периодических решений функционально-дифференциальных ypaBHennftZZ Мзв.АН Тадж.ССР. Отд.физ.-мат. и геол.-хим. наук.-1979.-1 2.-С.22-30. •

201. Борздыко В.М. Положительные периодические решения функционально-дифференциальных ypaBHeHHEZ/MsB.AH ТаджССР. Отд. физ.-мат. и геол.-хим. наук.- 1979.J 4.- C.II-I9.

202. Борздыко В.М. О существовании ненулевых положительных периодических решений у функционально-дифференциальньк уравнений//Мзв. АН ТаджССР.Отд.физ.-мат.и геол.-хим. наук. -1 982. I.-27-3 6»

203. Борздыко В.М. Об исследовании популяционной модели Хатчинсона //Дифференц. уравнения .-1985 ,-Т .21 2. С. 316-318. V

204. Борздыко В.М. О некоторых классах теорем единственности для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями. Докл. М ТаджССР.- 1985.- Т.28.- а 10.- С.547-551.

205. Борздыко В.М. Теоремы единственности для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями//Дифференц.уравнения.- 1987.-Т.23.-Л 6.- 0.937-941.

206. Борздыко В.М. Теорема единственности типа теоремы С.Р.Берн-фельда, Р.Д.Драйвера и В.Лакшмикантама для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями// Докл.АН ТаджССР.-I987.-T.30.-J« 2.- С.74-77.

207. Борздыко В.М. Условия существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями//Докл.АН ТаджССР.- 1987.-Т.30.-1 12.- С.766-770.

208. Борздыко В.М. Условия единственности для систем дифференциальных уравнений с гистерезисными членами// Дифференц. уравнения. -1988.- Т.24.- J« 8.- С. 1291--1295. ;

209. Борздыко В.М. Теорема единственности типа теоремы Венда для дифференциальных уравнений с гистерезисными: нелинейностями// МзвАН ТаджССР. Отд. физ—мат. и геол.-хим. наук.- 1988.J« 2.- С. 63-65.

210. Борздыко В.М. Об одном топологическом методе доказательства существования положительных,периодических решенийАу нально-дифференциальных уравнений// Дифференц.уравнеш|я.-I990.-T.26.-J« 10.- С. 1671-1678. >

211. Борздыко В.М. Переменный гистерон//Докл.Ш1.-1994.-Т.324.-^ 2.-С.269-272.

212. Борздыко В.М. Признаки единотве1Шобти для дйфе уравнений с гистерезисными нелш1Йнрстями//Докл.РАН.-1992.-Т. 324.- }6 I.- 0.56-59.

213. Борздыко В.М. Нелинейные нестационарные системы с гистерезисом// Автоматжа и телемехаш1ка.-1994.-1« 5.- С.20-26.

214. Борздыко В.М. Существование положительных периодических решений у функционально-дифференциальных уравнений//Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений.-Душанбе,I987.-4.I.-С.56-57.

215. Борздыко В.М. Теорема единственности для системы дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями//Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. -Душанбе, 1987. -Ч. I. -С. 58-59.

216. Борздыко В.М. Задача Коши дифференциального уравнения с гистерезисной нелинейностью // Украинская конференция "Модеж-рование и исследование устойчивости систем". Тезисы докладов конф. -Киев, 1994.- С. 13-14.

217. Борздыко В.й. Об исследовании моделей ,Ахищник-жертва" // Конф» "Математическое &/юдепирование в естественных и гуманитарных науках Тезисы докладов конф. Воронеж, 2000. -с. 34,