Исследование процесса самофокусировки электромагнитного излучения в плазме при наличии стрикционной и тепловой нелинейностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГБ ОД

^^¿Твскй^чГосударственньш Университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

Корнев Андрей Алексеевич-

УДК 518:517.91/.94

Исследование процесса самофокусировки электромагнитного излучения в плазме при наличии стрикционной и тепловой нелинейностей.

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре Вычислительной математики Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Г.М.Кобельков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Ю.А.Дубинский кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник А.Б. Кукаркин

Ведущая организация:

Институт математического моделирования РАН.

Защита состоится "20 " 1995г.' в 15 часов

на заседании специализированного Совета К.053.05.84 в МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899 Москва, Воробьевы горы, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке -исследовательского центра МГУ.

Автореферат разослан . 1995г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

М.Н.Киоса

Актуальность темы. Появление лазера около трети века назад открыло множество увлекательных областей, среди которых нелинейная оптика, безусловно, получила наибольшее развитие. Изучение этой области берет начало с экспериментальной работы П.А. Франкена с сотрудниками, выполненной в 1961 году, и теоретической работы Н. Бломберга с сотрудниками, выполненной в 1962 году. Тот факт, что плазма может выступать в роли сильно нелинейной среды, был известен еще на заре нелинейной оптики. Как проводящая жидкость плазма легко возмущается под действием внешних электромагнитных полей. Очень сильный и сложный отклик плазмы на мощное световое поле приводит к интереснейшим нелинейным эффектам, понимание физической сути которых имеет принципиальное значение.

Однако, полная система уравнений для электромагнитного поля в материальной среде очень сложна как для аналитического, так и для численного анализа, поэтому возникает необходимость во введении дополнительных упрощающих гипотез.

Это приводит к тому, что полученная модельная задача может применяться для исследования физического явления только в очень узкой области значений параметров задачи. Появление новой модели, описывающей известные ранее экспериментальные факты, но не обладающей нежелательными свойствами для критических значений параметров процесса, позволяет значительно продвинуться в изучении данного явления.

Однако, математическое исследование уравнений новой модели требует применения новых алгоритмов, получения оценок точности приближения. Это, в свою очередь, связано с вопросами существования и единственности решения дифференциальной задачи.

Особые трудности при решении такого рода задач могут возникать в случае, когда рассматриваемый физический процесс описывается системой существенно нелинейных уравнений в частных производных, имеющих различный тип. Классические результаты для подобных задач отсутствуют, и при доказательстве теорем существования и единственности решения возникает необходимость в использовании методов, учитывающих специфику данных уравнений.

Настоятельная потребность в исследовании новой модельной за-

дачи, предложенной в работе Л.М. Горбунова, Е.В. Чижонкова и описывающей процесс распространения электромагнитного излучения в плазме с учетом стрикционной и тепловой нелинейностей, привела к необходимости тщательного изучения вопросов, связанных со всеми сторонами проблемы: с существованием и единственностью решения дифференциальной задачи, с построением разностных схем, с обоснованием разрешимости разностных задач, со сходимостью решения разностной задачи к решению дифференциальной, с исследованием итерационных методов решения разностных 'задач.

Цель работы состоит в наиболее полном, по возможности, исследовании задачи о распространении электромагнитного излучения в плазме с учетом нагрева среды: начиная от теорем существования, единственности и гладкости обобщенного решения и кончая разностными методами решения задачи.

Научная новизна работы. В диссертации рассматривается система трех уравнений в частных производных, описывающих процесс распространения электромагнитного излучения в плазме с учетом тепловой и стрикционной нелинейностей. При этом уравнение для вектора напряженности имеет вид уравнения Шредингера, уравнение для температуры имеет эллиптический вид, а уравнение для плотности - градиентный вид. Классические результаты для подобного рода задач отсутствуют, и это приводит к необходимости, учитывая специфику задачи, одновременно применять технику, разработанную для каждого из трех типов уравнений.

В диссертации доказываются теоремы существования и единственности обобщенного решения данной задачи. Метод доказательства определяет алгоритмы численного решения задачи.

Отметим, что с практической точки зрения представляет интерес модель, в которой предполагается слабый нагрев среды. Тогда уравнение на температуру отсутствует, а уравнение на плотность можно проинтегрировать в явном виде. Для полученной таким образом модели с постоянной температурой в диссертации доказаны теоремы существования, единственности и гладкости решения в более общей формулировке.

В работе исследована неявная разностная схема второго порядка, полученная при аппроксимации уравнения модели с постоянной температурой в декартовых координатах, и неявная разностная схема второго порядка, полученная при аппроксимации уравнений модели, учитывающей температуру, в цилиндрических координатах. Изучены вопросы разрешимости разностных схем, приведены оценки скорости сходимости решения разностных задач к решению диф ф е р енци а л ьных.

В диссертации описаны итерационные методы решения поставленных разностных задач.- Приведены оценки скорости их сходимости.

В работе изложены результаты численных экспериментов. Расчеты проводились при различных значениях параметров для одно-темпер атурной модели в декартовых и циллиндрических координатах и для модели с температурой в циллиндрических координатах. Численные эксперименты хорошо согласуются с теоретическими исследованиями.

Практическая значимость. Результаты, полученные в работе, позволяют осуществить детальный анализ процесса распространения электромагнитного излучения в плазме при наличии стрик-ционной и тепловой нелинейностей в широком диапазоне физических параметров и могут служить базой для дальнейшего изучения свойств плазмы.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались и докладывались на:

-научно-исследовательском семинаре мех.-мат. ф-та МГУ под . руководством академика РАН Н.С. Бахвалова;

-научно-исследовательском семинаре НИВЦ МГУ под руководством проф. Я.М. Жилейкина;

-конференции молодых ученых МГУ (кафедра дифференциальных уравнений, 1995);

-четвертой Международной конференции по прикладной и вычислительной математике (Москва,1995).

Публикации. По материалам диссертации опубликована одна

работа.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 41 названия, приложения. Общий объем работы 95 стр.

Краткое содержание работы.

'.В диссертации исследуются две новые модельные задачи, лред-ложенные для описания распространения электромагнитного излучения в плазме при постоянной температуре (1)-(2), учитывающей стрикционную нелинейность среды, и при совпадении электронной и ионной температур (3)-(5), учитывающей стрикционную и тепловую нелинейность среды.

Рассматриваемые уравнения в безразмерной форме для первой модели имеют вид:

(1)

£|г = 0; Е{0, х) = Е0(х), х Е Й, (2)

где Е(г,х) - вектор напряженности электромагнитного поля. Уравнения для второй модели имеют вид:

Г г^ + АЕ + (Л0 - А)Е = 0, А = -|-(г|-),

г дг дг

дг

к АТ + аА2\Е\2 = 0, A0)a,p = const>0, дЕ

г—(л,г)|г=0 = 0 ,Е{г,Щ = 0; Е(0,г) = Е0(г),

дТ

А{г,К) = Л; г—(г,г)|г=0 = 0,Т(г,П) = 0, где А(г,г) - функция плотности, Т(г,г) - функция температуры.

(3)

(4)

Отметим, что постановка задачи (3)-(5) известна только в осе: симметричном виде.

Введение диссертации содержит краткий вывод уравнений (1),(3) и исторический обзор известных результатов о классических задачах подобного класса.

Первая глава посвящена исследованию модели самофокусировки плазмы с учетом стрикционной нелинейности (1). В §1 формулируется обобщенная постановка задачи (1)-(2) и приводятся известные результаты, необходимые для дальнейшего изложения.

Пусть П - ограниченная односвязная область точек х = (ж),... ,хп) в пространстве 7?". Будем предполагать, что граница 80. области П состоит из конечного числа (п-1)-мерных поверхностей класса С1. Случаи, когда граница обладает более высокой гладкостью, мы будем оговаривать отдельно.

Обозначим через <5 цилиндр в пространстве Л" х Д2 с боковой поверхностью Г :

Введем пространство функций от переменных г и х следующим образом: будем рассматривать функцию <р : (г,х) —><р(г,х), определенную в ф, как функцию от г со значением в пространстве функций от х.

Пусть В - банахово пространство. Обозначим через Ьр(0^;В) пространство (классов) функций г —+ и(г) : (0,£) —> В, измеримых по г € (0, Z), принимающих значения из В и таких, что

Определим обобщенную производную —. Для этого введем

пространство .0(0, Z) бесконечно дифференцируемых функций, имеющих компактный носитель в интервале (0, £), и определим пространство обобщенных функций О'(0, Z\ В) как пространство непрерывных функционалов на пространстве основных функций £>(0, Z)

Q — VI х (0,Z), Г = dtt х [0,Z], Z конечно.

IMU~(o,z-,B) = ess sup ||u(z, х)\\в < со.

*e(o,z)

du

со значениями в В, т.е.

£'(0,Б) = £(£(0,2); Я).

Ви

Если и 6 то производную — будем понимать в смысле

С/2

обобщенных функций из

Дадим теперь определение обобщенного решения задачи для мо-

о.

дели с постоянной температурой. Функция Е(г, х) £ £оо(0,И^1 (П))

о •

такая,что £'(0,2:) = ^о(^) называется обобщенным решени-

о

ем задачи (1),(2), если для любой функции ь(х) еМ^1 (П) выполняется интегральное соотношение

(£» + ЦЧЕ, Уи) - гЛ0((1 - е~а[Е?)Е,у) = 0 (6)

в смысле обобщенных функций на (0,2).

Выполнение начального условия будем понимать как стремление к нулю ||£(х, г) — ¿?о(я)|| -> 0 при 2 —» 0. Далее мы покажем, что определенное таким образом обобщенное решение обладает некоторой гладкостью, и это имеет смысл.

В параграфе 2 доказывается теорема существования, в параграфе 3 доказывается теорема единствености и дополнительный результат о гладкости решения задачи (6). Теоремы существования и единственности обобщенного решения задачи (1),(2) имеют вид:

Теорема 1 Пусть О. - область в Я" с границей дП, состоящей из конечного числа поверхностей класса С1. Тогда для любой функции Е0(х) £ М'гоС^) существует обобщенное решение задачи (1),(2) такое, что

ЕеЬ^(0,2;^ (П)), дг ' ^

6 100(0,^^(0)),

Е(г,х) еС[0,£;£2(П)].

Теорема 2 Решение обобщенной задачи (1),(2) такое, что

я € МО. ж? (П)),

8Е

единственно.

Если граница области удовлетворяет более сильным условиям на гладкость, то имеет место '

Теорема 3 Пусть в задаче (1),(2) граница области принадлежит классу С2. Тогда для любой функции и0(х) £ ^г.о(^) существует обобщенное решение задачи такое, что

Д€М 0^;ТК220(П)), Е{г,х)еС[0,г-,ьгщ.

Вторая глава посвящена исследованию системы уравнений, описывающих процесс распространения электромагнитного возмущения в плазме при наличии температуры. В §1 изложена идея доказательства теоремы существования обобщенного решения задачи (3)-(5) и получены оценки для линеаризованных уранений, необходимые для дальнейшего изложения. В §2 доказывается теорема существования, в §3 - теорема единственности решения задачи (3)-(5).

Пусть С} = & х [0, г], Г = дП х [0,2], а. П - круг радиуса Я. Рассмотрим следующую осесимметричную задачу: найти функции Е(г,г),А(г,г),Т(г,г), удовлетворяющие в области ф в обобщенном смысле системе уравнений (3), а на границе области начальным и краевым условиям (4),(5).

В диссертации доказаны следующие теоремы:

о

Теорема 4 Пусть функция Ей(г) еИ/21 (О)- Тогда существует обобщенное решение задачи (3)-(5) такое, что

I

Е(г,г)еь00(о,г;\^ (П)), ЩЛ € мо,г-,1¥2-\п)),

Л(г, г) е ¿то( О, Я; Ж,1 (12)), Т(г, г) е £«,( О, Я; Ж? (П) ).

Теорема 5 Пусть для обобщенного решения задачи (3)-(5) такого,

что

Е 6 Lca(0,Z; И72

О оу

T &L^O^Wi (ííjflMfi)), 4e£«(í?)

jta -некотором отрезке ¡0,Z] выполнены следующие оценки:

Pilco < IIT'IU < PIU < л,-

При этом

(C}(A0(3S¡ + Л0 + lStA0pS2tR) + A0pS2cR(l + StC{)))íoAo^Cf = g < 1.

Тогда на этом отрезке решение системы (3)-(5) единственно.

(7)

Здесь С/ константа из неравенства Фридрикса.

Третья глава посвящена численным алгоритмам для задач (1),(2);

(3)-(5).

В работе показано, что система (3) может быть записана в эквивалентном виде (8), и математической моделью процесса распространения мощного 5лектромагнитного излучения в плазме при пон-деромоторной и стрикционной нелинейностях является задача Ко-ши для системы дифференциальных уравнений:

ЯР

i jj- + ¿SE + Ло(1 - е~аМ2)Е = 0,z > О,

AT + aA2|£|2 = 0, Ло

(1 + Т)2/7 expV J (г+1)2/7

г

£?(0)1>!/) = Е0(Г), (x,y)eR\

и

W

(|Я|2)'

dr

(8)

(9)

T|(ri„hoo = 0, Л|(1,уЬоо = А0 > 0. (10)

Здесь Е(х,у, z) - вектор напряженности электромагнитного излучения, А(х, y,z) - функция плотности, T(x,y,z) - температура.

Задача (8)-(10) сформулирована как задача нахождения Е,А,Т во всем полупространстве л > 0. Однако, если начальное распределение Е0 близко к нулю вне некоторой ограниченной области Q плоскости (х,у), то решение E(z,x,y) будет близко к нулю_вне некоторого цилиндра [0,^]хП. Это оправдывает, при грамотном выборе области П, переход от исходной задачи (8)-(10) к начально-краевой задаче в цилиндре [0,^] х П. При этом на границе ЭП ставится условие Дирихле T,E\qq = 0,

Будем считать, что температура среды не изменяется, и рассмотрим начально-краевую задачу (1),(2) в области Q — Q х [0,Z], Г2 = [0,1л,.] X [0, Ьу]. Для нахождения приближенного решения задачи (1),(2) построим равномерную сетку Q), = П/, х Zi,:

= {(xi,Vj) : х> = i Vj =

i = 0,...,Nu j = 0,..ЛГ2, /м = Л2 = L

у

АГ1 ' ' Л^' %

2Н = {гк : гк = ккг; к = 0,..., Лгз А = —}.

Мз

Аппроксимируем оператор Лапласа стандартным образом по пятиточечному шаблону и рассмотрим следующую разностную схему:

1-^Г~ + А—2-+ —-}-2-= (И)

Е°(хиуЛ = Е(0,хиу^, Еп(2)\ОПк=0.

Отметим, что для достаточно гладких решений порядок аппроксимации схемы равен 0{Ъ\ + + Ъ2г).

Схема (11) сохраняет на сетке разностный аналог интеграла движения, другими словами она консервативна. Схема (11) является

нелинейной. Для нахождения приближенного решения применим следующий внутренний итерационный процесс:

_ Е"

-+ ДАГ,+1+Г(У,)П+1 = 0, (12)

£,"-»+Д"

2

Здесь Е"+г означает 5-ю итерацию для нахождения £"1+1. В'каче-• стве начального приближения Е£+1 берем решение с предыдущего слоя: Е%+1 = Е". Вычисления по формулам (12) проводятся до тех пор, пока величина невязки в ££(П/,) не станет достаточно малой.

Для экономии машинного времени при численном решении задачи (1) так же применялась трехслойная схема:

_ Г"1 ГП+-2 I ГП , рп

+ + = 0. (13)

Здесь вектор Ей задан, а Е1 находится из разностной схемы (11).

Отметим, что в случае применения методов (12) и (13) приходится обращать несамосопряженный оператор '5 вида 5 = Д'1 + аА(х,т/)/ + гЬн(х,у)1, Ьь(х,у) > 0. Для решения этой задачи использовался модифицированный попеременно-треугольный метод с симметризацией по Гауссу.

Результаты по схемам (12),(13) достаточно подробно изложены в литературе.

Перейдем к построению разностной схемы для задачи (3)-(5) в осесимметричном случае.

Введём в области <3, круге радиуса Я, равномерную сетку: = Пл х Ян, где

ПЛ = {г; :г; = г7гг,г'= 0,...,]У1,/1Г =#/N1}, гк = : г,- = зт,з = 0,..., N2, т ~

Аппроксимируем оператор Лапласа по переменной г со вторым порядком стандартным образом и заменим интеграл следующей сум-

мои: п

} (Т + \уп - ^ (Т(х1+1 + \ур + (Т^) + 1)2/7) - ^Л*.

Г,' ^ 1

Возьмем консервативную схему:

ЕП+1-ЕП АГЕП+1 + Е" ,л А"+1 + Ап,Е"+1+Еп г-—— + + {А0---= О,

ДГТ" + а(Ап)2|£"|2 = 0, (14)

Ло

—^ех^^ДЛ^.Г-]},

Е°(г) = £(0,г),£(г,Я) = 0,Т(л, Л) - 0.

Отметим, что на достаточно гладких решениях порядок аппроксимации схемы равен 0(/г2/г + т2).

Схема (14) является нелинейной. Для нахождения приближенного решения будем использовать следующий внутренний итерационный процесс для напряженности поля:

_ Р" 4_ Р" ип+1 I А" Еп+1 4- Еп

г" 8+1 Ь + (Л„- ' +АГ°+\+Ь = 0. (15)

7* ¿4 и Л

При этом плотность Ап и температура Т" вычисляются для известной функции напряженности поля Еп с необходимой точностью по следующему алгоритму:

= (Тп ехр{^[Е",Т1')}- ■ (16)

Обобщением известных результатов для схемы (12) является следующая теорема.

Теорема 6 Пусть в цилиндре существует единственное достаточно гладкое решение задачи (3)-(5), и для него выполнена оценка (7). Тогда существуют т°,/г^ такие, что при т < г0, /гг < /1° и

т ~ Ь?г разностная схема (Ц) имеет единственное решение. Итерационные процессы (15),(16) сходятся со скоростью геометрической прогрессии. Для погрешности схемы справедлива следующая оценка:

Основные результаты диссертации.

1. Доказаны теоремы о глобальном существовании, единственности и гладкости решения начально-краевой задачи о распространении электромагнитного излучения в плазме с учетом стрикцион-ной нелинейности.

2. Доказаны теоремы о глобальном существовании и единственности в малом решения начально-краевой задачи о распространении осесимметричного пучка электромагнитного излучения в плазме с учетом стрикционной и тепловой нелинейностей.

3. Рассмотрены разностные схемы, аппроксимирующие исходные задачи, выписаны оценки сходимости разностных задач к дифференциальным.

4. Исследованы итерационные методы решения систем нелинейных разностных уравнений, приведены оценки скорости сходимости.

5. Разработан набор программ, позволяющих расчитывать распространение электромагнитного излучения в плазме:

а) в декартовых координатах и осесимметричного пучка в цил-линдрических координатах при наличии стрикционной нелинейности,

б) осесимметричного пучка в циллиндрических координатах при наличии стрикционной и тепловой нелинейностей.

На основе этих программ проведены численные эксперименты.

Работа выполнена при поддержке Франко - русского центра МГУ по информатике и прикладной математике им. A.M. Ляпунова.

Литература.

1. A.A. Корнев. Об одном уравнении физики плазмы. Вестн. МГУ, сер. математика, механика, 1995, N6, с.83-87.