Существование и устойчивость решений краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Лепчинский, Михаил Германович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Челябинск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2006
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Лепчинский Михаил Германович
УДК 517.95
СУЩЕСТВОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА С РАЗРЫВНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
01.01.02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
м-
ЕКАТЕРИНБУРГ - 2006
Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре вычислительной математики
Научный руководитель Официальные оппоненты
Ведущая организация
доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Павленко доктор физико-математических наук, доцент А.Р. Данилин доктор физико-математических наук, профессор М.М. Кипнис Южно-Уральский государственный университет
Защита состоится 2006 года в мин. на засе-
дании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу: 620083, Екатеринбург, просп. Ленина, 51, комн. 248.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. A.M. Горького.
Автореферат разослан "pffiK^&f.. 2006г.
Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор
В.Г. Пименов
гойг1219621
тег.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Объект исследования. Диссертация посвящена изучению краевых эллиптических задач, содержащих нелинейный член, разрывно зависящий от фазовой переменной.
Пусть Ü - ограниченная область в R" (п > 2) с границей дС1 класса <72,е\ а е (0,1),
п
Lu(x) = - + с(х)и(х)
i,j'=1
- равномерно эллиптический дифференциальный оператор с коэффициентами аг} € С1'^), агз{х) = а]г(х) на П, с € C°'a(Q).
Основные результаты диссертации относятся к проблеме существования обобщенных, сильных, полуправильных, корректных и правильных решений, а также к проблеме устойчивости множеств решений следующей нелинейной краевой задачи:
Lu(x) + go(x, и(х)) — 0, х е П (1)
Bu\dQ = /, (2)
где (2) - одно из следующих основных краевых условий:
• Дирихле, если Ви = и;
du п
• Неймана, если Ви = —— = V^ atj(x)uXtcos(n,Xj),rAecos(n,Xj)
änL '
i,J=X
- направляющие косинусы внешней нормали п к границе dQ;
• третье краевое условие, если Ви = ~ + а(х)и(х), где функ-
ОПЬ
ция а 6 С1,0 (Г) неотрицательна на dfl и не равна тождественно нулю.
Будет предполагать, что нелинейность до(х, и) удовлетворяет условию (*):
(*1) функция д0 '■ П х R —> ^ борелева (mod 0) 1, что означает существования множества I С П х 1, проекция которого на Q имеет
1 Красносельский М.А., Покровский A.B. Системы_с гистерезисом - М.: Наука, 1983.- 272с. I ;
меру нуль, и борелевой на О хR функции, совпадающей с до(х, и) на (fi х R) \ I ;
(*2) для почти всех i€f! сечение до(х, ■) имеет на К разрывы только первого рода и для произвольного и £ R верно включение
до(х,и) £ {д-(х,и),д+{х,и)\,
где д~{х,и) = liminf д0{х, s), д+(х,и) = ümsup£to(z, s);
s—f s-*u
(*3) существует постоянная b > 0 и функция а £ Lq(iï), q > 2, такие, что для почти всех х £ il верно неравенство
|ро(х,и)\<Ь- |u|r + а(х) Vw е R, 0 < г. (3)
Предполагается, что функция /(s), определенная на границе díl, лежит в пространстве Y, которое является пространством Бесова
если мы рассматриваем краевую задачу Дирихле;
если мы рассматриваем краевую задачу Неймана или третью краевую задачу.
Обобщенным решением задачи (1)-(2) будем называть функцию и £ Wg (fi), удовлетворяющую граничному условию (2) и для почти всех х £ Cl включению
-Lu(x) £ [g-(x,u{x)),g+(x,u(x))}.
Сильным решением задачи (1)-(2) называется обобщенное решение, удовлетворяющая для почти всех х £ О, уравнению (1). Сильное решение и задачи (1)-(2) называют полуправильным, если для почти всех х £ Cl значение и(х) является точкой непрерывности ди(х, ■). Пусть задана некоторая мера отклонения нелинейностей R(g.go)-Обобщенное решение щ £ задачи (1)-(2) с нулевым гра-
ничным условием будем называть корректным, если найдется такое S > 0, что для любой последовательности S > âk > 0, удовле-
творяющей условию 5k 0. приближенная краевая задача
Lkи(х) + дк(х, u(z)) = 0, х £ fi (4)
Bu\an = fk (5)
имеет по крайней мере одно обобщенное решение, причем возможно построить последовательность состоящую из обобщенных решений соответствующих краевых задач, слабо сходящуюся к гг0 в пространстве Игде
• граничное условие удовлетворяет неравенству ||Л||у < &к\
• коэффициенты а^ (х) и ск(х) дифференциального оператора Ьк подчиняются тем же ограничениям на гладкость, что и соответствующие коэффициенты оператора Ь и отличаются от последних не более чем на 5к в метрике С(П);
• функции дк(х,и) удовлетворяют условию (*) с такой же как и для до(х, и) функцией а € Ьч{0) и константами Ь, г > О в оценке (3), а также неравенству Я(до,дк) <
Полуправильное и корректное решение называется правильным.
По аналогичной схеме вводится понятие корректного множества решений.
Множество Ш £ обобщенных решений задачи (1)-(2) с ну-
левым граничным условием (/ = 0) будем называть корректным, если для любого достаточно малого £ > 0 найдется такое <5 > 0, что для любой последовательности {¿А;}^, 5 > $к > 0, удовлетворяющей условию 5к ^ 0, приближенная краевая задача
имеет по крайней мере одно обобщенное решение в ^-окрестности множества Ш пространства Я1 (П), причем из любой последовательности решений {г^}, состоящую из обобщенных решений соответствующих краевых задач, можно выделить подпоследовательность слабо сходящуюся к точке щ € ШТ в пространстве где
• граничное условие удовлетворяет неравенству ||Д||у < 8к",
• коэффициенты а* (х) и ск(х) дифференциального оператора Ьк подчиняются тем же ограничениям на гладкость, что и соответствующие коэффициенты оператора Ь и отличаются от последних не более чем на 5к в метрике <Г*(0);
Ьки(х) + дк(х, и(х)) =0, х е П Ви\Эп = /к
(6) (7)
• функции дк(х,и) удовлетворяют условию (*) с такой же как и для до(х, и) функцией а € Ьд(С1) и константами 6, г > 0 в условии (*3), а также неравенству К{до,9к) <
Также в рамках диссертации изучаются две постановки краевых нелинейных задач с параметрами.
Задача со спектральным параметром. Рассматривается нелинейная краевая задача
Ьи(х) = Хд0(х,и(х)), х € П (8)
Ви\дп = 0, (9)
где оператор функция до и оператор граничного условия В описаны выше, Л > 0 — спектральный параметр. Для краевой задачи (8)-(9) исследуются следующие вопросы:
1. существования нетривиальных решений при условии
д0(х, 0) = 0;
2. корректность решений и устойчивость множеств решений по отношению к возмущениям нелинейности, спектрального параметра и дифференциального оператора.
Задача с распределенным параметром. Рассматривается нелинейная краевая задача
Ьи(х) + д0{х, и(х), ю(х)) = 0, х £ П (10)
Ви\эа = /• (И)
где оператор Ь. функция / и оператор граничного условия В описаны выше, т(х) € £р(0), 1 < р < 4-ос. — распределенный параметр, нелинейность до удовлетворяет следующему условию (**):
(* * 1) функция такова, что
(* * 1.1) при каждом фиксированном и функция до(х, и, •) непрерывна для почти всех х 6
(**1.2) функция до{х, •, ю) для почти всех (х, го) € (1 х М имеет разрывы только первого рода и непрерывна слева (справа);
(* * 1.3) функция до(-, и, т) измерима для всех (и, ю) £ К х К;
(* * 2) существует постоянная 6 > 0 и функция а £ д >2, такие,
что для почти всех х 6 П верно либо неравенство
Ы*, И,1^)1 < Ь-(\и\г+ \и]\р/д) + а(х) Уи £ К, 0 < г < (12)
если р — конечное число, либо неравенство
|д0(я, и, ю)| < 6 ■ |и|Г + о(х) Уи 6 К, 0 < г < , (13) если р = +оо.
Для задачи (10)-(11) рассматривается вопрос корректности множеств решений.
Актуальность темы. Решение любой физической задачи начинается с построения математической модели предметной области. Числовые характеристики, определяющие модель, находятся посредством анализа результатов замеров или экспериментов. Сама процедура составления и проведения этих измерений опосредована теориями и приборами, которые описывают физическую реальность лишь с некоторой долей правдоподобия. Таким образом, имеется целое множество моментов, накладывающих отпечаток неточности в получаемой модели. Это только одна сторона.
Другая сторона заключается в том, что элемент неточности сознательно закладывается в модель, чаще всего с целью ее упрощения.
Многие задачи теории управления, механики и математической физики в своих математических моделях содержат разрывные нелинейности. Например, такие нелинейности могут возникать как идеализация непрерывных процессов, в которых наблюдаются короткие промежутки с резким изменением тех или иных параметров. Так как
структуру такого изменения отследить довольно сложно, то в уравнениях просто считают, что некоторая функция имеет разрыв и решают задачу в таком предположении. Тем не менее при таком подходе остается открытым вопрос о том, насколько решение получившейся задачи адекватно отражает физическую действительность. Вопрос о близости множеств решений уравнения с допредельными нелинейно-стями и множества обобщенных решений с идеализированными разрывными характеристиками был поставлен в работе Красноселького М.А. и Покровского В.А. в 1979 году 2. Еще ранее на необходимость разработки теории краевых задач с разрывными по фазовой переменной нелинейностями было указано в 1967 г. в совместной монографии3 O.A. Ладыженской, В.А. Солонникова и H.H. Уральцевой.
Важные результаты о разрешимости краевых задач для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями были получены в работах М.А. Красносельского и A.B. Покровского, К.-С. Chang, С.А. Stuart и J.F. Toland, В.H. Павленко и других авторов. Важным моментом при изучении этих задач стало различение так называемого резонансного или нерезонансного случая. Резонансный случай характеризуется тем, что предел — lim g0(x,s)/s при почти всех х 6 П
s—>оо
совпадает с одним и собственных значений оператора L с граничным условием (2). В такой ситуации приходится налагать дополнительные специальные условия, которые бы гарантировали разрешимость краевой задачи. Пионерской работой в этом направлении стала статья4 Ландесмана Е. и Лазера А., где впервые появилось то, что в последствии назвали условиями Ландесмана-Лазера. В дальнейшем появилось много работ, в которых на нелинейность налагались условия типа Ландесмана-Лазера Исследования в этом направлении интенсивно ведутся и по сей день.
Как было сказано выше, вместе с появлением задач, включающими разрывные нелинейности, встал сложный вопрос об усюйчнвосаи
2Красносельский М.А., Покровский А.В Уравнениях с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. - 1979. - Т.248. - .N"55. - С.1056-1059
3Ладыженская O.A., Оолонников В А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа - М.: На>ка, 1967. - 736с.
4Landesman Е., Lazer A. N'onlinear perturbations of linear elliptic boundary value problems at resonance /, J.Math, and Mech. - 1970 - V 19, N3. - P.609-623
решений таких задач, что является важнейшим моментом для прикладных задач. Первые шаги в разрешении данной проблемы были сделаны в совместной работе5 Красносельского М.А. и Покровского A.B. в 1976г., где рассматривались ограниченные монотонные нелинейности и впервые был введен термин корректное решение для рассматриваемого класса задач.
При исследовании корректности решений определяющим моментом является принцип выбора аппроксимирующих нелинейностей, а также выбор меры отклонения исходной и приближенной нелинейности. В упомянутой работе за меру отклонения принималась хаусдор-фово расстояние между графиками нелинейностей в Rn+2. Эта же мера была использована в работе6 1978г. тех же авторов.
Кроме исследования на устойчивость конкретного решения краевой задачи в ситуации, когда априори невозможно гарантировать единственность решения (известно, что существуют краевые задачи рассматриваемого вида, имеющие счетное число решений и даже континуумы решений7), ставится вопрос об изучении устойчивости множеств решений.
Этой проблеме посвящен ряд работ. Для нерезонансных задач укажем на статью Павленко В.Н. и Искакова P.C., для резонансных задач со спектральным параметром теоремы об устойчивости были доказаны в работе Павленко В.Н. и Потапова Д.К., наконец, для задач с распределенным параметром вопрос изучался в статьях8'9 Bors D. и Walczak S.
Цель работы. Получение новых теорем существования для резо-
®Красносрльский М.А., Покровский А В. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями // ДАН СССР. - 1976. - Т.226. - Л>3. - с.506-509
6Красносельский М.А., Покровский A.B. Правильные решения эллиптических уравнений с разрывными нелинейностями. Труды Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными, посвященной 73-летию со дня рождения академика И.Г Петровского // М -Изд-во МГУ, 1978, с.346-347
7Красносельский М.А., Покровский A.B. Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностями // Доклады РАН, 1995. - т.342. - -V6. - с.731-734
8Bors D.. Walczak S. \onlinear elliptic systems with variable boundary data. / / Nonlinear Analysis. 52 (2003), p.1347-1364
9Bors D , Walczak S. Stability of nonlinear elliptic systems with distributed parametrs and variable boundary data. / ' J. of Computational and Applied Math., 164-165 (2004). p.117-130
нансных краевых задач, установление достаточных условий корректности и правильности решений, а также доказательство результатов об устойчивости множеств решений.
Методы исследования. В диссертации к рассматриваемому классу задач применяется вариационный метод; используются методы и результаты теории уравнений с частными производными, теории функций и нелинейного функционального анализа.
Научная новизна. В работе получены новые теоремы существования сильных и полуправильных решений задачи (1)-(2) в резонансном случае, когда нелинейность имеет подлинейный рост, а также установлены новые достаточные условия существования решений в случае сверхлинейного докритического роста нелинейности. Доказаны утверждения о правильных решениях и корректных множествах решений. Рассмотрены краевые задачи с параметрами, для которых также получены теоремы о существовании и устойчивости решений.
По сравнению с работой В.Н. Павленко и В.В. Винокура10 для резонансной задачи (1)-(2) с разрывной нелинейностью в диссертации не предполагается ограниченность нелинейного члена и вводится новое условие, обобщающее условие из упомянутой работы, а также включающее как частный случай и условие Ландесмана-Лазера и некоторые его обобщения11. Также в диссертации приводятся новые условия, гарантирующие разрешимость задачи (1)-(2) в случае, когда нелинейность имеет докритический рост. Эти условия являются более слабыми, чем те, чю налагаются на нелинейность обычно в таких случаях12.
Установлены теоремы о корректности решений, которые сравниваются с результатами Красносельского М.А. и Покровского A.B., при этом вводится интегральная мера близости нелинейностей, более слабая, чем хаусдорфово расстояние между графиками, использованное
10Павленко В.Н., Винокур В.В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными не линейности ми // Известия вузов. Математика- 2001. - N 5. - С. 43-58.
11Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка , Итоги науки и техники Современные проблемы математики. - т.37 - М , 1990
12Павленко В.Н. Уравнения и вариационные неравенства с разрывными нелинейное тями / -1995. - Автореферат диссертации на соискание уч. степени доктора физ.-мат наук - г Екатеринбург
этими авторами в ряде их работ. Доказаны утверждения об устойчивости множеств решений задачи (8)-(9) с докритическим ростом нелинейности (что поглощает результаты13 Павленко В.Н. и Искако-ва Р.С., которые рассматривали нерезонансные коэрцитивные задачи и накладывали существенные ограничения на исходные и аппроксимирующие нелинейности). В отличие от упомянутых работ мы возмущаем также граничное условие и дифференциальный оператор.
Доказаны теоремы о существовании луча положительных собственных значений и теоремы об устойчивости множеств решений задачи (8)-(9) для нелинейностей с подлинейным ростом, что поглащает результаты14'15 Павленко В.Н. и Потапова Д.К. и ряд других, еще более узких результатов.
Также доказаны соответствующие утверждения для задачи с распределенным параметром (10)-(11), где по сравнению с работами Bors D. и Walczak S. допускаются возмущения дифференциального оператора и разрывы нелинейности по фазовой переменной (для чего вводится класс полукаратеодориевых функций и исследуются свойства таких функций) и доказывается сходимость в более сильной топологии.
Практическая значимость. Основные результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Полученные результаты могут быть применены для исследования известных и новых классов эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями.
Апробация работы. Основные результаты докладывались конференции ИНПРИМ-2000 в Новосибирске (2000г.), на Воронежских математических школах (2003г., 2005г.), на XXVI Конференция молодых ученых мехмата МГУ (2004г.), на Международной конференции "Nonlinear partial differential equations" в Алуште (2003г.), на науч-
13Павленко В.Н., Искаков Р.С. Непрерывные аппроксимации разрывных нелинейностей полулинейных уравнений эллиптического типа /' Укр. матем. журн. -1999. - Т.51. - V2. - с.224-233
14Павленко В.Н., Потапов Д.К. О существовании л\ча собственных значений для уравнений с разрывными операторами / ' Сиб. мат. журн. - 2001. - т.42. - .V4. - с.911-919
15Павленко В.Н., Потапов Д.К. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью. / ' Известия ВУЗов. Математика. - 2005. - >4. - с.49-55
ных семинарах кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[9], список которых приводится в конце автореферата. В совместных работах научному руководителю В.Н. Павленко принадлежит постановка задач, диссертанту - получение конкретных результатов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа содержит 125 страниц, включая библиографический список из 56 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении приводится постановка задачи, обоснование ее актуальности, сделан краткий обзор результатов, полученных другими авторами в данной области. Проводится сравнение этих результатов с теми, что получены в диссертации.
В первой главе приводятся необходимые сведения о функциональных пространствах Соболева и Бесова, формулируются теоремы вложения для соболевских пространств, приводятся теоремы о разрешимости основных типов краевых эллиптических задач, дается развернутая постановка нелинейной краевой эллиптической задачи, перечисляются различные определения решений таких задач, а также вводится понятие А-условия.
Определение. Говорят, что для уравнения (1) выполнено А-условие, если найдется не более чем счетное семейство поверхностей
{5„ i € /}, 5г = {(!,«) € Жп+11 и = ¥>г(х), х е П}, <р, е Ич2!ос(П)
таких, что для почти всех хбЯ неравенство до(х, и — 0) < до(х, и + 0) влечет существование г е 7, для которого и = <рг{х) и
0 £ [Ь^г(х) + д0(х, ^г(х) - 0), + д0(.г, ¿г(х) + 0)].
Вторая глава содержит три части. {
В первой части раскрывается аппарат вариационного метода и при-
водится его реализация применительно к рассматриваемому классу задач. В частности, вводится вариационный функционал
2 г ги(х)
■1до(и) = + / до{х,з)йз. (14)
г Jn Jo
определенный на пространстве X, совпадающем либо с Hl(il), либо с Hq (Q) в зависимости от вида граничного условия, где
(Cu,v) = 2_] I o,t3{x)Ux,vXjdx+ I c(x)u(x)v(x)dx+ I a(s)u(s)v(s)ds.
JQ J г
(15)
Во второй части формулируются результаты о разрешимости за-
дачи (1)-(2) в резонансном случае, когда нелинейность до имеет под-линейный рост, т.е. параметр г в условии (*3) строго меньше 1. Приведем формулировку одного из результатов. Теорема 2.2.2. Пусть выполняются следующие условия:
1) оператор С неотрицательно определенный, т.е. {Си, и) > 0 для любого ненулевого и € X;
2) нелинейность до удовлетворяет условию (*) с параметром 0 < г < 1;
3) выполняется следующее соотношение
1 г гФ{х)
lim ,, , ... I dx I go(x, s)ds = +oo, (16)
где N(L) — ядро оператора L с соответствующим граничным условием.
Тогда, если f = 0, то существует ио £ X такое, что
■Jg„(uo) = iufJgn{u), пел
причем любое такое и принадлежит пространству удовле-
творяет включению
О G [Lu(x) + g-(x.u(x)).Lu + g^{x. и(а;))]
и граничному условию (2) с / = 0 (т.е. является обобщенным решением).
Кроме того, если выполнено А-условие (Al-условие), то такое щ является полуправильным (сильным) решением задачи (1)-(2).
Аналогичная теорема сформулирована и для ненулевого граничного условия.
Ключевым условием этих двух теорем является условие (16), поэтому вторая часть раздела посвящена утверждениям, позволяющим проверить это условие. Вводится функция
в±{х) = ИггипГ —^ д0{х,
через которую формулируется следующее предложение.
Предложение 2.2.1 Пусть для каждой ненулевой функции ср £ N(1,) выполняется неравенство
( Их)Г+1С_(х)<£г+ [ \ф{х)\г+1С+{х)(1х > 0. (17)
Тогда условие 3) теоремы 2.2.2 выполняется.
Обсуждается связь предложения 2.2.1 с другими условиями типа Ландесмана-Лазера.
Третья часть состоит из четырех параграфов, посвященных доказательству конкретных теорем, сформулированных во второй части. В частности, в доказательстве теоремы 2.2.2 устанавливается коэрци-тивностъ вариационного функционала при выполнении условия 3) этой теоремы, что влечет ограниченность множества точек абсолютного минимума </9о на пространстве X.
Третья глава диссертации посвящена правильным решениям и корректным множествам решений и состоит из двух частей.
Первая часть состоит из шести параграфов.
В первом параграфе приводится постановка задачи и дается определение корректного решения и правильного решения, а также вводится семейство интегральных метрик близости нелинейностей:
ЗДсьЯ) = (||</ - <?0|к1(пх(-г.г)) +Т-"), (18)
где параметр г; >0 и
К°с(9-9о) = Из - ЯоНмпхИ)-
Во втором параграфе формулируются все основные результаты первой части главы. Формулируются утверждения о свойствах введенных интегральных метрик, выясняется их связь с мерами отклонения нелинейностей, использованными Красносельским и Покровским. Далее следуют теоремы, непосредственно касающиеся достаточных условий правильности решений.
Приведем одну из таких теорем.
Теорема 3.1.2. Предположим, что нелинейность до удовлетворяет условию (*), ио — точка строгого локального минимума функционала Jgí¡, оператор С положительно определён.
Тогда щ — правильное решение задачи (1)-(2) с / = 0, где в качестве меры отклонения нелинейностей выбрана Яп{до,д) сц = /у(г, </).
Формулируются следствие из теоремы о корректности для случаев <?> ~ и >п, когда можно утверждать о сходимости решений
аппроксимирующих задач по метрике С(П) и С1(П) соответственно.
Второе следствие является аналогом теоремы Красносельского и Покровского о существовании правильного решения в ситуации, когда задача имеет не более счетного числа классических решений.
Следствие 3.1.2. Пусть до удовлетворяет условию (*), для уравнения (1) выполнено А-условие и число точек глобального минимума функционала </9о на X непусто и не более чем счетно. Тогда задача (1)-(2) с / = 0 имеет правильное решение.
Оставшиеся параграфы первой части посвящены доказательству сформулированных утверждений.
Вторая часть третьей главы посвящена корректным множествам
решений задачи (1)-(2).
В первом параграфе дано определение корректного множества решений и приведена основная теорема о корректности множества решений гДе через ^ обозначено множество точек абсолютного минимума функционала Jg0 на точках шара Дгг(О) пространства Н1(Я), удовлетворяющих граничном} условию (2).
Теорема 3.2.1. Предположим, что оператор С положительно определён. Пусть число Я таково, что дп 0 не пусто и для всех точек и сферы Бд(0) пространства X выполняется неравенство
Jg.Au) > \1ц.
где ßR = inf||u(|<^ Jga(u).
Тогда множество решений ffl^ Q является корректным, где в качестве меры отклонения нелинейностей R(g,go) выбрана Rv{g.go) с параметром г/ = т](г, q), который выбирается также, как в теореме 3.1.1.
Далее сформулировано два следствия этой теоремы. Приведем одно из этих следствий, в рамках которого дано новое условие, обеспечивающее коэрцитивность вариационного функционала.
Следствие 3.2.2. Пусть А — минимальное собственное значение оператора L с граничным условием (2), где / = 0. Предположим, что
для нелинейности до выполняется условие (*) с параметром 1 < г < п + 2
-- (для п = 2 предполагаем, что число г > I произвольное
положительное), а также дополнительно выполняется неравенство
" Л
g0{x,s)ds> --H2 + Si(x,u) + S2(x), (19)
где S'2(x) € L\{{1) и Si(x,u) — неотрицательная функция такая, что
Si(x,u) "zll»00 для п.в. х € Я. (20)
Тогда множество ЯЯ^3 0 является ограниченным и корректным относительно меры отклонения Rr}(g,go), где г] = rj(r,q).
Следующие два параграфа посвящены доказательству теорем и следствий второй части третьей главы.
Четвертая глава посвящена нелинейным краевым задачам с параметром и состоит из двух частей.
В первой части рассматриваются краевые задачи на собственные значения.
Определение. Число Л > 0 называют собственным значением задачи (8)-(9), если существует обобщенное ненулевое решение «д этой проблемы. При этом и\ будем называть собственной функцией задачи (8)-(9), соответствующей А.
Формулируются две теоремы о существовании положительного луча собственных значений, которым соответствуют нетривиальные собственные функции. Приведем одну из этих теорем.
L
Теорема 4.1.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.2.2, выполнено равенство до(х, 0) = 0 и существует элемент щ 6 X такой, что
Си0(х)
д0{х, з)6з > 0. (21)
f dx f
Jo. Jo
Тогда существует Ло > 0 такое, что для любого Л > Ло существует конечное
dx = inf JSo,a(u) < 0,
v£X
причем найдется ненулевая точка и £ X, доставляющая этот минимум и являющаяся собственной функцией, соответствующей А.
Приводится необходимое и достаточное условие, для выполнения условия (21). Формулируется теорема о существовании луча положительных собственных значений в ситуации, когда существуют
9±(х)= I™ 9o(x,s).
4 ' s—»±оо
Определим
-/ \ Г ff+(x), при s >0, ^ д~(х), при s < 0.
Теорема 4.1.3. Пусть краевая задача
Lu{x) — g0(x,u{x)), х € П (22)
Ви\т = 0 (23)
имеет ненулевое корректное решение относительно метрики Rn(g, go) (rj > 0), тогда существует Ло такое, что все Л > Ао являются собственными значениями исходной краевой задачи (8)-(9).
Далее формулируется теорема об устойчивости множеств собственных функций относительно возмущения спектрального параметра, нелинейности и коэффициентов дифференциального оператора.
Во втором параграфе приводятся доказательства всех утверждений первой части.
Во второй части четвертой главы рассматриваются краевые задачи с распределенным параметром.
Первый параграф содержит постановку задачи и в том числе формулировку условия (**). Вводится класс полукаратеодориевых функций и устанавливаются свойства таких функций.
Определение. Функции д0 : П х К —> R, удовлетворяющие следующим двум условиям
(i) сечение до(х, •) для почти всех г 6 О непрерывна слева (справа), (И) для каждого фиксированного щ функция до{-,щ) измерима,
назовем полукаратеодориевыми.
Утверждение 4.2.1. Пусть функция до : О х R —i► R — полука-ратеодориева, тогда до(х,и) является борелевой (mod 0).
Этим результатом описывается достаточно широкий класс бореле-вых (mod 0) нелинейностей, которые могут встретиться в приложениях. Следующее утверждение, связанное с задачами с распределённым параметром, опирается на утверждение 4.2.1.
Утверждение 4.2.2. Для любой функции до, удовлетворяющей условию (* * 1), и любой измеримой функции w : О. —> R функция go(x,u,w(x)) является борелевой (mod 0).
Мы модифицируем определение корректного решения и корректного множества решений, чтобы отразить специфику задач с распределенным параметром.
Определение. Множество Ш € W^(fi) обобщенных решений задачи (10)-(11) будем называть корректным, если для достаточно малого е > 0 найдется такое 6 > 0, что для любой последовательности S > Sk > 0, удовлетворяющей условию Sk 0, приближенная краевая задача
имеет по крайней мере одно обобщенное решение в ^-окрестности множества ЗЯ пространства Я1(П). причем из любой последовательности решений {ик}, состоящую из обобщенных решений соответствующих краевых задач, можно выделить подпоследовательность слабо сходящуюся к точке ио € А/ в пространстве где
Lku{x) + g0(x,u(x),Wk(x)) = 0, х € О.
Ви\дп = Д.
(24)
(25)
• граничное условие удовлетворяет неравенству ЦЛНк <
• коэффициенты а^ (х) и ск(х) дифференциального оператора Ьк подчиняются тем же ограничениям на гладкость, что и соответствующие коэффициенты оператора Ь и отличаются от последних не более чем на 5к в метрике С(0);
• функции Юк удовлетворяют неравенствам \и>к(х)\ < Ш(х) для п.в. л;€0, \¥{х) € ЬР(П), и Цад - и)0||р < ¿к-
Приводятся аналоги теорем об устойчивости из главы 3. Сформулируем один из этих результатов.
Сопоставим краевой задаче (10)-(11) вариационный функционал
Обозначим через 971^ шо множество точек абсолютного минимума функционала JWo в шаре Вд(0) пространства X.
Теорема 4.2.2. Пусть число Я таково, что ОТ^ не пусто и для всех точек и сферы 5д(0) пространства X выполняется неравенство Л,0(и) > цп ~ т£ ■/Шо(и). Тогда множество решений №п ||и||<Я
является корректным.
Доказательство результатов главы 4 основывается на результатах, полученных в главах 2 и 3.
В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору В.Н. Павленко, за постановку исходной задачи, внимание и помощь в работе.
= 2 + до(х,8,Ь)о(х))<1з.
1
Публикации по теме диссертации
[1] Лепчинский М.Г. Задача М. А. Лаврентьева об обтекании траншеи. // ИМПРИМ-2000, Fourth Siberian Congress on Industrial and Applied Mathematics. Book of abstracts. - Novosibirsk. - 2000
[2] Лепчинский М.Г., Павленко B.H. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // Материалы Воронежской весенней математической школы. - 2003. - Воронеж. - с. 76
[3] Лепчинский М.Г., Павленко В.Н. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // Вестник Челябинского университета. Математика, механика, информатика, №1(7). Челябинск, 2003г. - с.89-98
[4] Leptchinski М., Pavlenko N.Approximation of discontinuous nonlinearities for elliptic boundary value problems at resonance. // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts. - Donetsk. -2003
[5] Лепчинский М.Г. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа с разрывной правой частью. // Конкурс грантов молодых ученых Чел. обл. Сборник рефератов. - Челябинск. - 2003. - с. 10
[6] Лепчинский М.Г. Правильные решения краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. / / XXVI Конференция молодых ученых мехмата МГУ. Тезисы докладов. - Москва. -2004. - с. 74
[7] Лепчинский М.Г., Павленко В.Н. Аппроксимация резонансных краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // Сибирский математический журнал. - 2005. - т.46 №1. - с. 139-148
[8] Лепчинский М.Г. Правильные решения резонансных краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. ' Матери-
алы Воронежской весенней математической школы. - Воронеж. - 2005. - с.142-143
М. Г. Лепчинский, В. Н. Павленко. Правильные решения эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями. // Алгебра и Анализ. - 2005. - т.17, номер 3. - с.124-138
Подписано в печать С5 Z2.CS. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ £. Бесплатно.
ГОУВПО "Челябинский государственный университет" 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129
Полиграфический участок Издательского центра Челябинского государственного университета 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 576
26 3
РНБ Русский фонд
2006-4 29162
!
!
Введение
1 Предварительные сведения
1.1 Функциональные пространства.
1.1.1 Пространства Соболева.
1.1.2 Теоремы вложения.
1.1.3 Пространства Бесова.
-V 1.2 Эллиптические краевые задачи.
1.2.1 Разрешимость основных эллиптических краевых задач.
1.2.2 Нелинейные эллиптические краевые задачи
2 Теоремы существования решений для краевых эллиптических задач
2.1 Основной аппарат вариационного метода. Реализация вариационного подхода для нелинейных эллиптических задач.
2.2 Теоремы существования и регулярности решений для уравнений с разрывными нелинейностями.
2.3 Доказательство основных результатов.
2.3.1 Доказательство теоремы 2.2.1.
2.3.2 Доказательство теоремы 2.2.2.
2.3.3 Доказательство теоремы 2.2.3.
2.3.4 Доказательство предложения 2.2.1.
3 Правильные решения и устойчивость множеств решений краевых эллиптических задач с разрывными нели-нейностями
3.1 Правильные решения краевых эллиптических задач с разрывными нелинейностями.
3.1.1 Постановка задачи.
3.1.2 Формулировка основных результатов о правильных решениях.
3.1.3 Доказательство предложения 3.1.1.
3.1.4 Доказательство предложения 3.1.2.
3.1.5 Доказательство теоремы 3.1.1.
3.1.6 Доказательство теоремы 3.1.2.
3.2 Устойчивость множеств решений эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями.
3.2.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов
§
3.2.2 Доказательство теоремы 3.2.1.
3.2.3 Доказательство следствий из теоремы 3.2.
4 Краевые эллиптические задачи с параметрами
4.1 Нелинейные краевые эллиптические задачи на собственные значения.
4.1.1 Постановка задачи и основные результаты
4.1.2 Доказательство результатов.
4.2 Нелинейные краевые эллиптические задачи с распределённым параметром.
4.2.1 Постановка задачи и основные результаты
4.2.2 Доказательство основных результатов.
Решение любой физической задачи начинается с построения математической модели предметной области. Числовые характеристики, определяющие модель, находятся посредством анализа результатов замеров или экспериментов. Сама процедура составления и проведения этих измерений опосредована теориями и приборами, которые описывают физическую реальность лишь с некоторой долей правдоподобия. Таким образом, имеется целое множество моментов, накладывающих отпечаток неточности в получаемой модели. Это только одна сторона.
Другая сторона заключается в том, что элемент неточности сознательно закладывается в модель, чаще всего с целью ее упрощения.
Многие задачи теории управления, механики и математической физики в своих математических моделях содержат разрывные нелинейности. Например, такие нелинейности могут возникать как идеализация непрерывных процессов, в которых наблюдаются короткие промежутки с резким изменением тех или иных параметров. Так как структуру такого изменения отследить довольно сложно, то в уравнениях просто считают, что некоторая функция имеет разрыв и решают задачу в таком предположении. Тем не менее при таком подходе остается открытым вопрос о том, насколько решение получившейся задачи адекватно отражает физическую действительность. Вопрос о близости множеств решений уравнения с допредельными нелинейностями и множества обобщенных решений с идеализированными разрывными характеристиками был поставлен в работе [9].
Долгое время в физике считалось, что все процессы в природе происходят непрерывно. Однако в начале 20 века были открыты факты, опровергнувшие такие допущения. В числе подобных фактов, стоят например явления сверхтекучести и сверхпроводимости, когда при достижении определенных низких температур скачком происходит полное исчезновение вязкости и электрического сопротивления соответственно.
Можно даже привести гораздо более простой пример процесса с некотролируемыми скочкообразными изменениями параметров. Рассмотрим тело покоящееся на плоской поверхности. Прицепим к нему нить и начнем тянуть за неё это тело. При постепенном наращивании прикладываемой силы тело поначалу будет находиться в полном покое, но при достижении определенного порогового значения произойдет резкий рывок тела и после этого оно уже плавно покатиться по поверхности. В описанной ситуации идеализированной моделью зависимости скорости от силы будет функция, имеющая разрыв.
В данной работе изучаются краевые эллиптические задачи, содержащие нелинейные слагаемые, разрывно зависящие от фазовой переменной.
Пусть П - ограниченная область в Е" (п > 2) с границей класса
- равномерно эллиптический формально сопряженный дифференциальный оператор с коэффициентами а^ б С1,а(П), а^(х) = на
С2,а, а € (0,1), п
П, с е С°>а{П).
Рассматривается нелинейная краевая задача
Ьи(х) + до(х,и(х)) = 0, х € П Ви\вп = /,
0.1) (0.2) где (0.2) - одно из следующих основных краевых условий:
• Дирихле, если Ви = и; du п
• Неймана, если Ви = —— = ^ CLij(x)ux. cos(п, Xj), где cos(n, Xj)
OTijj . . 1
- направляющие косинусы внешней нормали п к границе dfl;
• третье краевое условие, если Ви = 4- а(х)и(х), где функопь ция а € С1,а(Г) неотрицательна на dQ и не равна тождественно нулю.
Будет предполагать, что нелинейность до(х, и) удовлетворяет условию (*):
1) функция до : О, х R —> R борелева (mod 0) [10], что означает существования множества I С Ü х Ш, проекция которого на ft имеет меру нуль, и борелевой на П х R функции, совпадающей с до(х, и) на (Q х R) \ I ;
2) для почти всех х £ Ü сечение до{х, •) имеет на М разрывы только первого рода и для произвольного и € R верно включение до(х,и) е [д-{х,и),д+{х,и)}, д-(х,и) = liminf д0(х, s), д+(х,и) = s—>и lim suppö(z,s); s—>u
3) существует постоянная Ь > 0 и функция а Е Lq(Q), q > 2, такие, что для почти всех х £ Q верно неравенство до{х, и)\<Ъ • Мг + а(х) Уи е R, 0 < г. (0.3)
Предполагается, что функция f(s), определенная на границе д£1, лежит в пространстве Бесова если мы рассматриваем краевую задачу Дирихле; если мы рассматриваем краевую задачу Неймана или третью краевую задачу.
Обобщенным решением задачи (0.1)-(0.2) будем называть функцию и е Wq(Çl), удовлетворяющую граничному условию (0.2) и для почти всех içQ включению
-Lu(x) е [0(ж,и(ж)),0+(я,и(ж))].
Сильным решением задачи (0.1)-(0.2) называется обобщенное решение, удовлетворяющая для почти всех х G Q уравнению (0.1). Сильное решение и задачи (0.1)-(0.2) называют полуправильным, если для почти всех х £ S1 значение и(х) является точкой непрерывности до(х, •).
К задачам, допускающим постановку в таком виде, относится известная модель отрывных течений несжимаемой жидкости, предложенная М.А. Гольдштиком [4]. В работах [42] и [43] рассматривалась задача Дирихле с нулевым граничным условием и с положительной разрывной нелинейностью, к которой сводилась задача о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводность материала при переходе через определенные температуры меняется скачком. В работе [40] Frankel L.E. и Berger M.S. описали математическую модель вихревых колец в идеальной жидкости, также имеющую вид (0.1)-(0.2).
В работе [38] были рассмотрены некоторые естественные задачи со свободными границами: задача с препятствием, задача о просачивании вод с поверхности, задача Стефана. Иссследование этих задач может быть сведено к поиску неподвижных точек многозначных отображений. Исследуются задачи с разрывными нелинейностями вида Lu(x) = гр(х,и(х)) в Ü, где L — эллиптический или параболический дифференциальный оператор, ÇI — ограниченная область вГ с достаточно гладкой границей (для параболических уравнений краевая задача рассматривается в цилиндре), нелинейность ф(х,у) определена на О, х R и может быть разрывна по у.
Вариационный метод исследования задачи (0.1)-(0.2) с разрывными нелинейностями был использован Павленко В.Н. в работах [18], [17], [19], [21], [24], [30], [25]. В [17] и [19] доказываются утверждения о разрешимости уравнения Тх = 0 в случае, когда Т - квазипотенциальный оператор, при этом заранее не предполагается, что оператор Т монотонен. Полученные теоремы использованы для установления предложений о существовании полуправильных решений задачи Дирихле для уравнения (0.1).
Основные результаты диссертации относятся к проблеме существования обобщенных, сильных, полуправильных, корректных и правильных решений краевой задачи (0.1)-(0.2).
В первой главе даны приведены необходимые для дальнейшего изложения предварительные сведения о функциональных пространствах Соболева и Бесова, теоремы вложения для пространств Соболева, теоремы о разрешимости основных типов краевых задач эллиптического типа, приведена постановка нелинейной эллиптической задачи и связанные с ней понятия и определения.
Вторая глава диссертации посвящена теоремам существования полуправильных решений для резонансных эллиптических задач с разрывной нелинейностью. Под такими задачами мы понимаем следующее:
• Ах = 0 является собственным значением оператора Ь, соответствующим граничному условию (0.2);
• параметр г из условия (*3) удовлетворяет неравенству 0 < г < 1 (в этом случае мы будем говорить, что нелинейность до имеет подлинейный рост).
Далее через N(1,) будем обозначать ядро оператора Ь, т.е. множество решений однородной краевой задачи
Lu(x) = О, х е Ü (0.4)
Bu\dn = 0. (0.5)
Систематическое изучение резонансных краевых задач началось с основополагающей работы Ландесмана и Лазера [41], где предполагалось, что нелинейность go(x,u) = g(u) непрерывна на R , существуют lim g(u) = g± и g- < g(u) < g+ для любых u € M, а размерность
U—»±00 ядра N{L) равна единице. При таких допущениях было доказано, что решение задачи (0.1)-(0.2) с нулевым граничным условием (/ = 0) существует тогда и только тогда, когда верно неравенство
7+ J ф(х)<1х+д- J if)(x)dx < 0 < f Г (0-6) д+ / ijj(x)dx + д~ i){x)dx 1р>0 ip<0 где ф — базисная функция N(L).
В дальнейшем было придумано множество подобных условий, которые теперь носят названия условия типа Ландесмана-Лазера.
Например, в [32] указан следующий критерий существования решения. Пусть нелинейность д(х, и) ограничена, д+(х) = lim inf s),
S—»+00 д~(х) = lim sup ^(ж, s).
S—»— 00
Тогда выполнение следующего неравенства для любой ненулевой функции ф(х) из ядра N(L)
О < J g+(x)${x)dx + J д~{х)ф(х)йх (0.7) ф> 0 ф< о гарантирует существование решения краевой задачи (0.1)-(0.2). В главе 2 мы покажем, что соотношение является следствием условия из предложения 2.2.1 при г = 0. Это означает, что мы в данной работе требуем выполнения более слабых ограничений на нелинейность, которые гарантируют существование решений.
В работе [37] К.С. Chang, базируясь на понятии обобщенного градиента Кларка для локально липшецевых функций и обобщих для них условие Palais-Smale (P.S. условие) и деформационную лемму, развил вариационный подход применительно к краевым задачам для уравнения эллиптического типа с разрывными нелинейностями. В частности, он доказал теорему о существовании u (Е Г) W™,Q{0), удовлетворяющей включению
-Аи(х) е \g-(x,u),g+(x,u)] для почти всех х € П, где А — формально самосопряженный, равномерно эллиптический, линейный дифференциальный оператор порядка 2т с достаточно гладкими коэффициентами, функция go(x,s) суперпозиционно измеримая и ограниченная на Q х 1, и для неё выполнено условие dx / go(x, s)ds = ±оо,
Jo
N(A) — множество решений Аи(х) = 0, удовлетворяющих нулевым граничным условиям Дирихле.
Основным результатом второй главы является теорема о существовании полуправильного решения для задачи (0.1)-(0.2) с неограниченной нелинейностью, имеющей подлинейный рост. Условие, которое мы предлагаем в качестве обобщения условий типа Ландесмана-Лазера для неограниченных нелинейностей имеет вид
I г гФ(х) lim dx g0{x, s)ds = +oo, (0.8)
IMI-ooMx)£N(L)\\ф\\2г Ja J0 где параметр г — скорость роста нелинейности до из условия (*3). Заметим, что при г = 0 получиться условие, предложенное Chang, lim
JV(i4),||u||-»oo Ja
Jü которое является наиболее общим из рассматриваемого класса условий типа Ландесмана-Лазера.
Также во второй главе рассмотрены неоднородные задачи и приведены достаточные легко проверяемые условия для проверки соотношения (0.8).
Третья глава посвящена вопросам устойчивости решений (0.1)-(0.2). Ранее мы ввели понятия обобщенного, сильного и полуправильного решения, которые были призваны охарактеризовать решения краевой задачи по формальным признакам. Устойчивость решения отражает уже совсем другое качество решения, которое, вместе с полуправильностью, является определяющим для физических приложений.
В работе [7] исследовались интегральные уравнения вполне непрерывен из L^a, b) в С (а, Ь); функция f(x,t) суперпозици-онно измерима и удовлетворяет условию lim SUp ЛМ = о. (0.10)
N-*00 a<t<b X
Для такого интегрального уравнения было сформулировано понятие полуправильного решения, приведенное выше и доказана следующая теорема.
Теорема 0.0.1 Пусть ядро G(x, s) почти всюду положительно, а функция f(t,x) удовлетворяет соотношению (0.10) и не убывает по переменной х. Тогда уравнение (0.9) имеет по крайней мере одно полуправильное решение.
0.9) где функция G(x, t) измерима, а оператор
Там же, было дано определение усиленно корректного решения.
Решение х*(£) уравнения (0.9) называется усиленно коректным, если \/е > 0 > 0, что в ¿-окрестности решения лежит по крайней мере одно полуправильное решение любого удовлетворяющего условиям теоремы 0.0.1 уравнения и хаусдорфово расстояние от графика функции х) до графика функции /(£, я) не превышает 6.
В этой работе Красносельский и Покровский впервые сформулировали понятие правильного решения, как полуправильного и усиленно корректного решения. Они дали следующий критерий правильности решения.
Теорема 0.0.2 Пусть выполнены условия теоремы 0.0.1 и з) > 7 > 0. Пусть решение х*(£) (получающееся некоторым итерационным процессом, который мы тут не будем описывать) изолировано. Тогда это решение правильное.
Теорему 0.0.2 можно рассматривать как аналог доказанной в главе 3 теоремы 3.1.2, а сравнению результатов посвящено предложение 3.1.2, где доказывается, что малое уклонение нелинейности в метрике Хаусдорфа влечет малое отклонение в интегральной метрике (см. формулу (3.6)), которая используется в настоящей работе.
В работе [8] тех же авторов они немного изменили терминологию, назвав полуправильные решения правильными. Теперь уже рассматядро которого при почти всех £ удовлетворяет неравенству |С7(*, в)-<?!(*, 6 ривалась краевая задача
Au + f(x,u) = 0, xeft (0.11) ti|en = 0. (0.12)
Для нелинейности f(x,u) предполагалось выполнение одностороннего условия Липшица, т.е. u-v)(f(x,u)-f(x,v)) > -v(r)(u-v)2 (0.13) при |w|, \v\ < г, х G Q, г G R+.
Теорема существования полуправильного решения для такой задачи формулировалась в предположении ограниченности нелинейности. Далее авторы дают другое по сравнению с [7] определение корректного решения. Теперь корректным решением (0.11)-(0.12) называется такое решение щ, что для любого е > 0 существует 5 > 0, что каждая краевая задача
Au + g(x, u) — 0, х G П (0.14)
Mien = 0 (0.15) имеет по крайней мере одно полуправильное решение в е-окрестности Loo(ty решения щ, если хаусдорфово расстояние между графиками нелинейностей / и g над Q х (—J-1) меньше ô и если g(x,u) удовлетворяет одностороннему условию Липшица с той же 1м{г), что и /. Авторы указали следующую теорему существования правильных решений.
Теорема 0.0.3 Пусть f суперпозиционно измерима, ограничена и удовлетворяет одностороннему условию Липшица, и задача (0.11)-(0.12) имеет не более счетного числа классических решений. Тогда эта задача имеет по крайней мере одно корректное решение.
Обратим внимание на прямую аналогию этой теоремы со следствием 3.1.2, доказанным в главе 3, где уже не предполагается ограниченность нелинейности и выполнение для неё одностороннего условия Липшица.
Отметим также работу Покровского A.B. [31], где рассматривались абстрактные уравнения с монотонными операторами и возможные приложение к дифференциальным уравнениям с частными производными.
В работе [9] авторы явно указывают, что нелинейные звенья с однозначными или многозначными характеристиками обычно возникают как идеализация звеньев, непрерывные характеристики которых содержат участки быстрого роста по переменной щ при этом удобно считать, что непрерывные характеристики содержат малый параметр е > 0, а идеализация возникает как предел при е —> 0. В подобных ситуациях важен анализ близости множеств F(e) решений уравнений с допредельными нелинейностями и множества F(0) обобщенных решений уравнения с идеализированными разрывными характеристиками.
В данной постановке вопрос решался в работе [30], где рассматривалась нерезонансная задача с положительно определенным эллиптическим оператором, а нелинейность предполагалась ограниченной, и все её разрывы были расположены на конечном числе поверхностей, отделенных друг от друга на некоторое положительное расстояние. При этом аппроксимирующие нелинейности строились следующим образом. Фиксировалась малая окрестность каждой из поверхностей разрыва исходной нелинейности, и приближенная нелинейность полагались равной исходной вне этой окрестности. Внутри же окрестностей разрыв некоторым образом "сглаживался".
Результат работы [30] об устойчивости решений полностью перекрывается теоремой 3.2.1 данной диссертации. Более того мы расширили класс исходных нелинейностей и допустимых для них апроксима-ций, введя интегральные метрики, которые позволяют приближенным нелинейностям отклоняться на большую величину от исходной нелинейности, но только на множестве небольшой меры.
Также следует отметить, что в рамках следствия 3.2.1 формулируется новое условие, обеспечивающее коэрцитивность вариационного функционала, и это условие обобщает требования, накладываемые на нелинейность с докритическим ростом в работах других авторов (см. замечание 3.2.2).
Предположения, в рамках которых сформулированы теоремы главы 3 включают нелинейности с докритическим ростом, т.е. такие, в которых параметр г из условия (*) удовлетворяет неравенству г <-
ТЬ ■ш если п = 2, то на г не накладывается каких либо ограничений).
Данная оценка для скорости роста нелинейности появляется и в ряде других подходов и связана прежде всего с операторной постановкой исходной краевой задачи.
В четвертой главе диссертации рассмотрен два класса полулинейных краевых эллиптических задач с параметрами: задачи со спектральным параметром и задачи с распределенным параметром.
В общей операторной постановке нелинейные задачи со спектральным параметром были поставлены в [6]. В данной работе мы рассматриваем следующую задачу
В таком виде можно оформить упомянутую выше задачу Гольд-штика.
Задача (0.1б)-(0.17) рассматривались H.J. Kuiper в [42] и [43], I. Massabo в [44] и [45], I. Massabo и С.А. Stuart в [46].
Цель исследования в таких задачах — нахождения таких А > О, при которых краевая задача имеет решение (нетривиальное решение), а также выяснение различных свойств множеств решений.
Из всего ряда работ в данном направлении мы выделим работы [27], [28] и [29], результаты которых развиваются и расширяются в п + 2
Lu(x) = \go(x,u(x)), х Ви\ш = 0.
0.16) (0.17) диссертации.
Теоремы 4.1.1 и 4.1.2 являются обобщением результатов [27] и [28] на случай нелинейностей с подлинейным ростом для резонансных и нерезонансных задач, и посвящены существованию луча (Ао, Н-оо) положительных собственных значений задачи (0.16)-(0.17), где под собственным значением понимается такое А, при котором задача (0.16)-(0.17) имеет нетривиальное решение. Наличие тривиального решение этой задачи обуславливается априорным предположением
Одним из основных условий в упомянутых теоремах, так как и в соответствующих теоремах из [27] и [28], является условие существования такой функции щ(х), что верно неравенство
Мы доказываем предложение 4.1.1, содержащее необходимое и достаточное условие для существования подобной функции щ(х). Более того, в отличие от упомянутых работ мы даем оценку для величины Ао-Дополнительно к общему случаю мы доказываем теорему о существовании луча положительных собственных значений в ситуации, когда существуют конечные пределы до(х, 0) = 0 для п.в. х е Ит д0(х, а—>±оо а задача
Ьи(х) = до(х,и(х)), х еО. Ви\ш = О
0.18) (0.19) имеет нетривиальное корректное решение, где
Далее, используя результаты главы 3 мы доказываем теорему об устойчивости множества собственных функций задачи (0.16)-(0.17) по отношению к возмущению дифференциального оператора, спектрального параметра и нелинейности. Этот результат обобщает соответствующую теорему из [29], т.к., во-первых, мы рассматриваем неограниченные нелинейности, а, во-вторых, в упомянутой работе принцип выбора аппроксимирующих нелинейностей заимствован из [30] (этот принцип был описан выше).
Вторая часть четвертой главы посвящена полулинейным краевым эллиптическим задачам с распределенным параметром:
В данной постановке возмущениям вместо нелинейности до подвергается распределенный параметр Wo(x), который можно интерпретировать как управление.
Историография исследования устойчивости решений этой задачи приведена в работе D. Bors и S. Walczak [36], однако во всех упомянутых там статьях фигурируют непрерывные нелинейности. Так как самые новые результаты для проблемы устойчивости решений задач с распределенным параметром получены авторами в работах [35] и [36], то мы проведем сравнение именно с ними.
Чтобы использовать результаты главы 3 для задач с распределённым параметром мы ввели класс полукаратеодориевых функций и доказали ряд свойств, связанных с этими функциями (утверждения 4.2.1 и 4.2.2). В отличие от работ D. Bors и S. Walczak, где предполагалась непрерывность нелинейности go(x,u,w) по совокупности переменных (u, w) при фиксированном х, мы допускаем разрывы по фазовой переменной.
Второй отличительной особенностью результатов является использование более сильной топологии при описании сходимости решений,
Lu(x) + go(x,u(x),Wo(x)) = 0, х ей
Ви\дп = 0.
0.20) (0.21) что, однако, потребовало ужесточение требования на рост нелинейности по отношению к распределенному параметру (см. условие (* * 2)).
И последнее, что следует отметить — это то, что для доказательства теоремы 4.2.2 об устойчивости множеств решений мы не предполагаем коэрцитивности вариационного функционала.
Основные результаты диссертации опубликованы в [48]—[56]. В совместных работах научному руководителю В.Н. Павленко принадлежит постановка задач, диссертанту - получение конкретных результатов.
Основные результаты докладывались конференции ИНПРИМ-2000 в Новосибирске (2000г.), на Воронежских математических школах (2003г 2005г.), на XXVI Конференция молодых ученых мехмата МГУ (2004г.), на Международной конференции "Nonlinear partial differential equations" в Алуште (2003г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государственного университета.
В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору В.Н. Павленко, за постановку задачи и помощь в работе.
1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг JL Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы // М.: Ин. лит., 1962. - 205с.
2. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов // М.:Наука, 1972. 416с.
3. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. - 464с.
4. Гольдштик М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1962. - т. 147. -М. - с.1310-1313
5. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа // М.:Физматлит. 2004. - 572с.
6. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений // Гостехиздат, 1956. 392с.
7. Красносельский М.А., Покровский A.B. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями // ДАН СССР. 1976. - Т.226. - т. - с.506-509
8. Красносельский М.А., Покровский A.B. Уравнениях с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1979. - Т.248. - №5. - С.1056-1059
9. Красносельский М.А., Покровский A.B. Системы с гистерезисом // М.: Наука, 1983. 272с.
10. Красносельский М.А., Покровский A.B. Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностями // Доклады РАН, 1995. -т.342. т. - с.731-734
11. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. // М.: Наука, 1964. 540с.
12. Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. Неоднородные граничные задачи и их приложения. // М.: Мир, 1971. 371с.
13. Маршал А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и её приложения. // М.:Мир, 1983. 574с.
14. Мадженес Э. Интерполяционные пространства и уравнения в частных производных. // Успехи мат. наук, 21. вып.2 - 1966. -с.169-218
15. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. // М.:Наука, 1983. 424с.
16. Павленко В.Н. Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенциальными операторами // Дифференциальные уравнения. 1988. - т.24,№8. - с. 1397-1402
17. Павленко В.Н. О разрешимости некоторых нелинейных уравнений с разрывными операторами // Докл. АН СССР. 1972. -т.204. - №6. - с.1320-1323
18. Павленко В.Н. Полуправильные решения эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. 1991. - т.43. - №2. - с.230-235
19. Павленко В.Н. Эллиптические вариационные неравенства с разрывными полумонотонными операторами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. сер.З. Математика. Механика. - 1991. - №1. - с.29-37
20. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. сер.З. Математика. Механика. - 1994. - №1(2). - с.87-95
21. Павленко В.Н. Управление сингулярными распределенными параболическими системами с разрывными нелинейностями // Укр. математ. журнал. -1994. т.46,№6. - с.790-798
22. Павленко В.Н. Уравнения и вариационные неравенства с разрывными нелинейностями // -1995. Автореферат диссертации на соискание уч. степени доктора физ.-мат. наук. - г.Екатеринбург
23. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами. Учебное пособие // Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1997. - 75с.
24. Павленко В.Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями. // Вестник Челябинского ун-та. Математика. Механика. -1999. №2(5). - с.56-67
25. Павленко В.Н., Винокур В.В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Известия ВУЗов. Математика. - 2001. - №5. - с.45-58
26. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Сиб. мат. журн. 2001. - т.42. - №4. - с.911-919
27. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О существовании полуоси положительных собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Вест. Чел. гос. унив. сер.З. Математика. Механика. Информатика. - 2002. - №1(16). - с.114-119
28. Павленко В.Н., Потапов Д.К. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью. // Известия ВУЗов. Математика. 2005. - №4. - с.49-55
29. Павленко В.Н., Искаков P.C. Непрерывные аппроксимации разрывных нелинейностей полулинейных уравнений эллиптического типа // Укр. матем. журн. 1999. - Т.51. - №2. - с.224-233
30. Покровский A.B. Корректные решения уравнений с сильными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1984. - Т.274. - №5. -С.1037-1040
31. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. т.37. - М., 1990
32. Соболев C.J1. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. // М.:Наука, 1988
33. Шрагин И.В. Условия измеримости суперпозиций. // ДАН СССР. 1971. - т. 197, №. - с.295-298
34. Bors D., Walczak S. Nonlinear elliptic systems with variable boundary data. // Nonlinear Analysis, 52 (2003), p.1347-1364
35. Bors D., Walczak S. Stability of nonlinear elliptic systems with distributed parameters and variable boundary data. // J. of Computational and Applied Math., 164-165 (2004), p.117-130
36. Chang K.C. Variational Methods for non-differentiable functionals and their applications to partial differential equations //J. Math. Anal, and Appl. 1981. - v.80. - JVH. - p.102-129
37. Chang K.C. Free boundary problems and the set-valued mappings //J. Differential Eq. 1983. - v.49. - №. - p.102-129
38. Clark D.C. A variant of the Lusternik-Schnirelman theory // Indiana Univ. Math. J. 1972. - v.22. - p.65-74
39. Frankel L.E., Berger M.S. A global theory of steady vortex rings in an ideal fluid // Acta Math. 1974. v.132. - p.14-51.
40. Landesman E., Lazer A. Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary value problems at resonance //J. Math, and Mech. 1970. - v.19. - №. - p.609-623
41. Kuiper H.J. On positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1971. - Ser.2. - v.20. -№2-3. - p.113-138.
42. Kuiper H.J. Eigenvalue problems for noncontinuous operators associated with quasilinear elliptic equation // Arch. Rational Mech. Anal. 1974. - v.53. - №. -p.178-186.
43. Massabo I. Positive eigenvalues for elliptic equations with discontinuous nonlinearities // Boll. Unione Math. Ital. 1978. -V.15-B. - №. - p.814-827
44. Massabo I. Elliptic boundary value problems at resonance with discontinuous nonlinearities // Boll. Unione Math. Ital. ser.5. -1978. - V.17-B. - №. - p. 1302-1320
45. Massabo I., Stuart C.A. Elliuptic eigenvalue problems with discontinuous nonlinearities //J. Math and Appl. 1978. - v.66. - ДО2. - p.261-281
46. Rabinowitz P.H. Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalues problems // Indiana Univ. Math. J. 1974. - v.23. -№8. - p.729-754.
47. Лепчинский М.Г. Задача M. А. Лаврентьева об обтекании траншеи. // ИМПРИМ-2000, Fourth Siberian Congress on Industrial and Applied Mathematics. Book of abstracts. Novosibirsk. - 2000
48. Лепчинский М.Г., Павленко B.H. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // Материалы Воронежской весенней математической школы. 2003. - Воронеж. - с. 76
49. Лепчинский М.Г., Павленко В.Н. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // Вестник Челябинского универси-тета. Математика, механика, информатика, №1(7). Челябинск, 2003г. с.89-98
50. Leptchinski М., Pavlenko N. Approximation of discontinuous nonlinearities for elliptic boundary value problems at resonance. // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts. -Donetsk. 2003
51. Лепчинский М.Г. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа с разрывной правой частью. // Конкурс грантов молодыхученых Чел. обл. Сборник рефератов. Челябинск. - 2003. - с. 10
52. Лепчинский М.Г. Правильные решения краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // XXVI Конференция молодых ученых мехмата МГУ. Тезисы докладов. Москва.- 2004. с. 74
53. Лепчинский М.Г., Павленко В.Н. Аппроксимация резонансных краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // Сибирский математический журнал. т.46 №1. - Новосибирск.- 2005. с. 139-148
54. Лепчинский М.Г. Правильные решения резонансных краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // Материалы Воронежской весенней математической школы. Воронеж. - 2005. - с. 142-143
55. М. Г. Лепчинский, В. Н. Павленко. Правильные решения эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями. // Алгебра и Анализ. 2005. - т.17, номер 3. - с.124-138
