Эллиптические уравнения с разрывными нелинейностями и некоторые вопросы оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ОБОЗНАЧЕНИЯ. 2

ВВЕДЕНИЕ. *

Глава I. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ.

§ I. Основные обозначения, термины и предположения .

§ 2. Определение обобщенного решения .

§ 3. О принадлежности решения к С*(XI). 21

§ 4. Априорная оценка. 2Г

§ 5. Разрешимость сглаженной задачи . ЗУ

§ б. Вспомогательные предложения . 3<Р

§ 7. Обоснование предельного перехода . S3

§ 8. Сильная сходимость в пространстве решений сглаженных задач . &

§ 9. О разрешимости термодиффузионной задачи . 61

§ 10.Некоторые обобщения. 70

Глава П. ВОПРОСЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ. *6

§ I. Обсуждение некоторых методов доказательства теорем единственности .

§ 2. Примеры неединственности . 91

§ 3. Некоторые классы единственности . 9£

Глава Ш. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМ НЕЛИНЕЙН ОСТЯМИ./10

§ I. Существование оптимального управления . /11

§ 2. Постановка экстремальной задачи для сглаженного уравнения . //?

§ 3. Дифференцируемость по Фреше ./22.

§ 4. Необходимые условия экстремума для сглаженной задачи./2 6

Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов разрешимости смешанной краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка с разрывными нелинейностями (РН) ч

У i [ . (X, и)их + £ (л, и)] + К у{ Ци)ил. Эх ■ <1 4 -1 ■ ' ■ с (-4 с* . л (0.1)

-</ с и изучению вопросов существования решения в задачах оптимального управления для эллиптических уравнений с РН.

Термин "разрывные нелинейности", вошедший в литературу в последние годы, употребляется для подчеркивания того факта, что функции, входящие в уравнение (или в граничное условие) могут быть не только нелинейными, но и разрывными по и.

Изложение ведется в терминах вариационных равенств, соответствующих определению обобщенных решений краевых задач для уравнения (0.1) в смысле книги О.А.Ладыженской и Н.Н. Уральцевой [23].

В рамках уравнений с РН могут быть изучены многие физические процессы (процессы кристаллизации и плавления, фильтрации, широкий круг задач со свободными границами). До сих пор уравнения с РН, несмотря на их практическую важность, изучены недостаточно. Это отчасти объясняется математической сложностью таких уравнений, которая, разумеется, зависит от характера нелинейностей и разрывов, а также от того, каким образом разрывные нелинейности входят в рассматриваемое уравнение.

В большинстве работ, относящихся к эллиптическим уравнениям с РН, рассматриваются или уравнения вида где [ - линейный равномерно эллиптический оператор, т.е. уравнения, разрывная нелинейность в которых не входит под знаком дифференцирования, или квазистационарные задачи типа Стефана. В частности, краевую задачу Дирихле для уравнений вида (0.2) изучали / Цс??? а ¿о.

С. 4. 3. Г. ЫЩ.

В настоящей работе основное внимание уделяется эллиптическим уравнениям, разрывная нелинейность в которых входит под знаком дифференцирования. Такие уравнения возникают, например, при изучении процессов кристаллизации.

В литературе обычно различают две постановки задач с фазовыми переходами (задач типа Стефана) - классическую, когда неизвестная граница раздела фаз ищется в виде однозначной, достаточно гладкой поверхности, и обобщенную, в которой (в отличие от первой) допускается существование так называемой двухфазной зоны (дисперсной области), т.е. множества ненулевой меры точек пространства, где температура среды совпадает с равновесной температурой.

Имеется обширная литература, посвященная задачам с фазовыми переходами. Так задачи (типа) Стефана в классической постановке изучались, например, в работах Б.В.Базалий [2, 3] М.А.Бородин <?] , И.И.Данилюк /2] , А.М.Мейрманов[2б]^

У.Фельгенхауэр[3 4]; CaffareMt [36] , J. Frteo/ъа n, A KtHolerPQhrer [37J, 3.-F. /?oc/t( <jues [44]. Теория обобщенного решения задач Стефана для описания процессов кристаллизации развита в монографии Н.А.Авдонина [/] . В частности, в этой работе указывается, что в задачах кристаллизации при возникновении двухфазной зоны классическое решение перестает существовать, а обобщенное решение достаточно полно описывает двухфазную зону. А.М.Мейрмановым [2 7] построен пример нестационарной двухфазной задачи Стефана (с достаточно гладкой правой частью), которая имеет только обобщенное решение в смысле О.А.Олейник [2 .?] (для одномерных эллиптических уравнений, как это следует из результатов § 3 главы П, построение примеров, для которых существует лишь обобщенные решения, совсем несложно). Этим обосновывается целесообразность исследования многих физических процессов с точки зрения неклассических (обобщенных) постановок.

Вкратце остановимся на некоторых методах исследования уравнений с РН.

В литературе имеется множество работ (.например, А.Д.Ляш-ко, И.Б.Бадриев, М.М.Карчевский [2S] , В.Н.Павленко [30] ), в которых уравнения с РН изучаются методом монотонных операторов. Систематическое изложение этого метода дано в монографии М.М.Вайнберга [fo] . В частности, этим методом в [3 0] доказаны теоремы разрешимости абстрактных уравнений с разрывными операторами, которые затем применяются при изучении задачи Дирихле для уравнений вида (0.2).

К методу монотонных операторов тесно примыкает интенсивно развивающийся метод применения вариационных неравенств (Г.Дю-во и Ж.-Л .Лионе [/б-] , Ж.-Л.Лионе [2У] , Д /С/h с/е г Ре h ter p<fj).

Как показывают работы М.А.Бородина, то (основываясь на предложенной К.Байокки и Э.Мадженесом Щ идее - подходящим образом заменить неизвестную функцию), к вариационному неравенству с монотонным оператором удается свести также некоторые эллиптические краевые задачи, разрывная нелинейность в которых входит под знак дифференцирования. Так в работе [8] этим методом установлены существование и единственность решения двумерной однофазной квазистационарной задачи Стефана. Кроме того, показана также аналитичность свободной границы. Этим же методом изучена аналогичная трехмерная однофазная квазистационарная задача Стефана ЭгЕ /?о с/г ¿дик [Щ] . Здесь уместно отметить, что одним из классов задач с РН, для изучения которого методика применения вариационных неравенств разработана наиболее полно, являются краевые задачи с разрывной нелинейностью, входящей лишь в граничное условие. Вопросы регулярности решения таких краевых задач для общего квазилинейного эллиптического уравнения рассмотрены А.Домаркасом [15]

Для исследования (как теоретического, так и численного) задач (типа) Стефана применяется предложенный И.И.Данилюком и В.Е.Кашкахой [/3] вариационный метод (см.также Б.В.Базалий и В.Ю.Шелепов [9] , И.И.Данилюк [/</ , В.Е.Кашкаха [/9] ). Этот метод основан на сведении исходной задачи к задаче отыскания стационарных точек интегрального функционала с переменной областью интегрирования. Однако применение этого метода требует некоторой гладкости границы раздела фаз.

Другим методом близкие задачи с РН исследовались Е.В.Рад-кевичем[37] , Е.В.Радкевичем и А.С.Меликуловым

Разрешимость некоторых частных случаев задачи (2.4) главы I отмечена в работе О.А.Олейник [26].

Для более точного охарактеризована полученных в настоящей работе результатов разрешимости необходимо остановиться на некоторых особенностях математических моделей (в нашем случае вариационное равенство (2.4) главы I), допускающих переходные зоны ненулевой меры. Указанные особенности проиллюстрируем на краевой задаче

-Аи(х} + с Ц(х)= х(и(х))+р(х) / X £-П (0.3) и(х) ^О ; х € ¿Ц (0.4) исследованной С 4. У/о'аг/ [47] .

Ради удобства изложения предположим, что функция { е Е \ {/о} идоеет только одну точку { ~ /0 разрыва первого рода и через J ( ¿о) обозначим замкнутый интервал с концевыми точками } . Тогда переходная зона определяется как множество XI0 , состоящее из всех тех точек х области XI , при которых (/{X/ — . Если мера множества XI 0 больше нуля, то искомой, вообще говоря, является также функция X з*(и(х)) для X £ Х10. В силу этой особенности различают "однозначное" и "многозначное" решение или, соответственно, решение типа I и типа П. А именно,

0 решении типа П (на множестве Х20 ) говорят в том случае, когда априори предполагается, что множество значений (Ж) искомой функции Л-* Ж(Ц(х)) ; X £ Х2а содержится в интервале

1 ( , и о решении типа I - если кроме того, предполагается, что множество значений $ (Ж) , X € £10 состоит только из одной точки. Ясно, что любое решение типа I является также и решением типа П.

Необходимость введения решений типа П обосновывается примерами

42} , показывающими, что решение типа I существует далеко не всегда. В этой же работе приводятся условия, при выполнении которых задача (0.3)-(0.4) имеет решение и 6 Щъ

- типа I,

- типа П, но не имеет решения типа I.

Таким образом, обобщенное решение той или иной краевой задачи для столь общего уравнения - как (0.1) - следует понимать как решение типа П.

Здесь уместно отметить, что в литературе, как правило, считается, что разрывные функции, входящие в рассттриваемое уравнение или в граничное условие, имеют лишь конечное число-точек разрыва первого рода по функциональному аргументу и . Большой интерес представляют также случаи, когда исходная функция ЭС = X /У терпит разрыв на некоторой поверхности $ солт^ . В литературе уравнения с РН такого типа практически не исследованы. Однако, исследования в этом направлении могут иметь применения в задачах Стефана для термодиффузионной системы уравнений (постановка таких задач дана Н.А.Авдониным [1] ), которая в квазистационарном и упрощенном случае рассматривается в § 9 главы I.

В диссертации методом сглаживания (аппроксимации) исходных разрывных нелинейностей и осуществлением предельного перехода доказывается существование обобщенного решения (типа П) в пространстве для достаточно широкого класса смешанных краевых задач для уравнения (0.1).

Отметим, что теоремы существования классического решения для ряда двухфазных квазистационарных задач Стефана получены, например, Б.В.Базалием [2] , М.А.Бородиным [?] , В.Е.Кашка-хой ]/,?] . Теоремы существования и единственности обобщенного решения для многофазных нестационарных задач Стефана в одних из наиболее широких функциональных классов даны О.А.Олейник [2 г], и также в книге O.A.Ладыженской, В.А.Солонникова, H.H. Уральцевой [22] . Тем не менее, эти теоремы существования и единственности обобщенного решения не переносятся на соответствующие квазистационарные задачи Стефана. Трудности, которые возникают при попытке перенести указанные теоремы, в некоторой степени освещаются в § I главы П.

В литературе проблема единственности решения краевых задач для уравнения (0.1) в обобщенной постановке в сколь-нибудь общих случаях не исследована. Примеры неединственности, построенные в § 2 главы П, показывают, что класс единственности решения вариационного равенства (2.4) главы I не является столь обширным, как класс существования. Особого внимания заслуживает работа И.И.Данилюка [/2] , в которой показано возникновение неединственности решения двухфазной квазистационарной задачи Стефана, моделирующей реальный физический процесс. Однако, примеры неединственности, построенные в § 2 главы П для более простой задачи (см.также замечание 2.3 главы П), не являются следствием результатов И.И.Данилюка.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Литература упорядочена по алфавиту, сначала советские авторы, а потом - иностранные. В библиографии включены только цитированные книги и статьи.

1. Авдонин H.A. Математическое описание процессов кристаллизации. - Рига, Зинатне, 1980, 180 с.

2. Базалий Б.В. Об одной квазистационарной задаче Стефана.- ДАН Укр.ССР, 1976, сер.А, № I, с.3-5.

3. Базалий Б.В. Устойчивость гладких решений двухфазной задачи Стефана. ДАН СССР, 1982, т.262, № 2, с.265-269.

4. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. Вариационные методы в смешанной задаче теплового равновесия со свободной границей. -В кн.: Краевые задачи математической физики. Киев, Нау-кова думка, 1978, с.39-58.

5. Байокки К., Мадженес Э. 0 задачах со свободной границей, связанных с течением жидкости через пористые материалы.- УМН, 1974, т.29, вып.2(176), с.50-69.

6. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М., Наука, 1975, 480 с.

7. Бородин М.А. 0 разрешимости двухфазной квазистационарной задачи Стефана. ДАН Укр.СССР, 1982, сер.А, № 2, с.3-5.

8. Бородин М.А. Однофазная квазистационарная задача Стефана.- В кн.: Краевые задачи для уравнений в частных производных. Киев, Наукова думка, 1979, с.13-21.

9. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М., Наука, 1975, 568 с.

10. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М., Наука, 1972, 416 с.

11. Данилюк И.И. Об одной квазистационарной задаче типа Стефана. В кн.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. II. Записки научн.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1979, т.84, с. 2634.

12. Данилюк И.И. О двухфазной квазистационарной задаче Стефана. ДАН Укр.ССР, 1982, сер.А, № I, с.6-10.

13. Данилюк I.I., Кашкаха В.Ю. Про одну нелш'н<йну просто-рову задачу з вильною границею. Доп.АН УРСР. Сер.А, 1973, № 2, с.I19-123.

14. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М., ИЛ, 1962, 896 с.

15. Домаркас А. Односторонние задачи для квазилинейных эллиптических уравнений. Литовский матем.сб., 1981, № 4, с.83-96.

16. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. -М., Наука, 1980, 384 с.

17. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А., Ха Тьен Нгоан. Усреднение и G -сходимость дифференциальных операторов. -УМН, 1979, т.34, вып.5(209), с.65-133.

18. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -М., Наука, 1977, 744 с.

19. Кашкаха В.Е. О методе Ритца исследования двухфазной квазистационарной задачи типа Стефана. В кн.: Математическая физика. Киев, Наукова думка, 1975, вып.17, с.128-137.

20. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976, 544 с.

21. Костылева В.Д. Существование решения оптимальной задачиСтефана. В кн.: Математический сборник. Киев, Наукова думка, 1976, с. 86-90.

22. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. -М., Наука, 1967, 736 с.

23. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., Наука, 1973, 576 с.

24. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М., Мир, 1972 , 588 с.

25. Ляшко А.Д., Бадриев И.Б., Карчевский М.М. 0 вариационном методе для уравнений с монотонными разрывными операторами. Известия вузов. Матем., 1978, № 2, с.63-69.

26. Мейрманов A.M. 0 классическом решении многомерной задачи Стефана для квазилинейных параболических уравнений. -Матем. сб., 1980, т.112, вып.2(6), с. 170-192.

27. Павленко В.Н. Существование решений нелинейных уравнений с разрывными полумонотонными операторами. Укр. матем. ж., 1981, т.33, №4, с. 547-551.

28. Радкевич Е.В. Об условиях существования стационарной пресной линзы при наличии инфильтрации. ДАН СССР, 1982.т.263, № I, с.40-44.

29. Радкевич Е.В., Меликулов А.С. 0 разрешимости двухфазнойквазистационарной задачи кристаллизации. ДАН СССР, 1982, т.265, № I, с.58-62.

30. Райтум У.Ё. К G -сходимости почти линейных эллиптических операторов с неограниченными младшими коэффициентами. Латвийский матем.ежегодник, 1982, вып.26, с.101-113.

31. Фельгенхауэр У. Об одной однофазной нестационарной задаче Стефана. ДАН Укр.ССР, 1981, Сер.А, № I, с.30-32.

32. Barbu V. ITecessary conditions for nonconvex distributed control problems governed by elliptic variational inequalities. J.Math.Anal.and Appl., 1981, v.80, N 2, p.566-597.

33. Caffarelli L.A. Some aspects of the one-phase Stefan problem. Indiana Univ.Math.J., 1978, v.27, И 1, p.75-77.

34. Friedman A., Kinderlehrer D. A one phase Stefan problem. Indiana Univ.Math.J., 1975, v.24, N 11, p.1005-1035.

35. Kinderlehrer D. Variational inequalities and free boundary problems. Bull.Amer.Math*Soc., 1978, v.84, Ж 1, P.7-26.

36. Massabo I., Stuart C.A. Elliptic eigenvalue problems with discontinuous nonlinearities. J.Math.Anal.and Appl., 1978, v.66, N 2, p.261-281.

37. Niezgodka M. Some methods of solving optimal control problems for free boundary processes. Abh.Akad.Wiss.DDR. Abt.Math., Naturwiss.Techn., 1981, N 2Ut p.375-378.

38. Pawlow I. Parabolic Problems with free boundaries: existence and properties of solutions; optimal control problems. Abh.Akad.Wiss.DDR. Abt.Math., Naturwiss. Techn. 1981, IT 2Sf p. 221-231.

39. Rodrigues J.-P. Sur un problème à frontière libre stati-onnaire traduisant la cristallisation d'un métal. C.R. Acad.Sei.Paris, 1980, v.290(3), p.823-825.