Уравнения и вариационные неравенства с разрывными нелинейностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ . ОД

( 1,г г 'российская академия наук

| 1 ( г. Г; и О Л УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

институт математики и механики

На права! рукописи

ПАВЛЕНКО Вячеслав Николаевич »

Ф

УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА-О РАЗШВНШИ НЕЖШЕЙНОСТЯМИ

01.01.02 - даажренциалыш уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-матеыатЕчвских наук

Екатеринбург - 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа Челябинского государственного университета

Официальные оппоненты: В.И.Епагодатских,

доктор физико-математических наук, профессор,

Ю.А.Дубинский, '

доктор физико-математических наук, профессор, ' А.М.Ильин,

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук.

Вадуцая организация - Петербургское отделение Математического института РАН имени В.А.Стеклова

Защита состоится *Ц_" ОГ-т^^Л 1995 г. ЪЦ ЧВсов, на заседании специализированного совета Д 002.07.01 по ззидете диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620029, ГСП-384, г.Екатеринбург, ул.С.Ковалевской, д.16.

1

С диссертацией: ыохно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики ЛрО РАН.

Автореферат разослан #-/>¿/¿¿¿¿£-^335 г<

<7

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, Ы.И.Гусвв

старший научный сотрудник.

ОЩ№Ш>АКТЕРИСТШи РАБОТУ

Объект исследования. Предметом дашой диссертации является уравнения в вариационные неравенства о разрывными нелинэйвостями. Основные результаты диссертации относятся к проблема существования сильных и полуправильных решений сладу пцих задач:

1. Задачи Дирихле

ги<х) + б(х,и(х))-0, х«П, (I)

^(Б)и(х)=<рд.<х), О < г € т-1, (2)

в ограниченной облаати П о достаточно гладкой границей Б, где т= 2 а,(х)0* - сально эллиптический формальный дкф-

1<Ц|«2а 1

ференциальный. оператор порядка 2и с непрерывными в О коэффициентами а^, 3 - нудьтииндекс, ¿^(Б) - производные в направлении

внутренней нормали V к границе Б, функция б:0 *• иг —» к суперпозиционно измерима я для почтя всех х«0 функция в(х,.)

имеет на к разрывы только первого рода, <рг:3 —» к, 0 < г £ т-1. Предполагается, что существует V « ^(О), для которой в£(ЗШх)= Фг(х), X « Б, О < г < о-1. При этой сильным решением задачи (I)-(2) называется функция и « Я^П), удовлетворящая для почта всех

х « й уравнение (I) я храшгши условиям (2). Сильное решение и задачи (I) ->(2) называют голудравяльянн, если для почти всех х< О значение и(х) является точкой шпреринностя б<х,.).

2. Первой краевой ввдачи для полулинейных уравнений параболического типа

щ « «ч - - (Х.г)« о,, (3)

и|Г,- О, . (4)

в цилиндре Оу= П «(0,Т) -ограничения в Rn область с достаточно гладкой границей S, где I» = a/St - ^ ^d/flijfa^d.t) равношрно параболический дифференциальный.оператор, соболвЕскиэ производные a/Sx^ajjix.t)] коэффидаентов I принадлежат пространству (Qy), g:QT« к —* к суперпозиционно измерима и для почти всех (x,t) « йр функция g(x,t,.) имеет разрывы только первого рода, . .

Гт = С(х,0)| х « OHJ Б-СОД] - параболическая граница цилиндра

2.1

dj,. Сильным решением задачи (3) - (4) называется функция u«Wq

(Рт), удовлетворяющая для"почта всех (x,t) < QT уравнению (3) и. слэд которой на Гт равен нулю. Сильное решение u(x,t) задачи (3) - (4) называется подуправилышы, вопи для почти всех (x,t) « QT значение'u(x,t) является точкой непрерывности g(x,t,„). 3. Задачи о вариационных неравенствах. Пусть К выпуклое и

m

замкнутое подмножество в пространстве Wz (Q), С1 - ограниченная область в кп. Требуется найти u « К, для которого

К ^(|af,|p|)cn ^ и(х»

(V-u)(x)dx Z О \/ г < К, (5)

где -с - V {-1)l^lD^a-ofx) ifi - сильно аллиптичес-

кий формальный дифференциальный оператор порядка 2т в дивергентной форме с непрерывными в П коаффициентамн а^, функция ' g:Q * к —• к суперпозиционно измерима. Функция и < К, удовлетворяющая (5), называется сильным решением неравенства (5). Сильное решение и(х) неравенства (5) называется полуправильным, если для почти всех х « П значение и(х) является точкой непрерывности g(x,.).

- Б -

Шлуправильные реЕэния баш введены Ы.А.Красносельским и А.В.Покровским для интегральных уравнений и' уравнений эллиптического типа второго порядка с разрывными нелинейностями.

В диссертации также рассматриваются задачи оптимального управления для распределенных систем эллиптического а параболического типов о разрывными по фазовой порайонной нелинейгоотями. При этом, состояниями система при фиксированном управлении считаются решения включения, которое получается из уравнения состояния при замене нелинейности, входящей в уравнение, на ее ошпуклзвение ш фазовой переменой. Далее, они называются абобщенннми репенияыи уравнения состояния.

Актуальность темы .На необходимость разработки творил уравнений в частных производных с разрывными по фазовой переменной нелинейностями было указано еще в 1967 году в монографии О.А.Ладьк£нйкоЙ, В.А.Скшжникова и Н.Н.Уральцавой "Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа". Это продиктовано потребностями гидродинамики, ¿теплофизики и других пук, где появился ряд новых прикладных задач, математические ыоделп которых содержат разрывные нелинейности, о одной стороны, и внутренними потребностями развития теории нелинейных уравнений в част.'л' производных о другой. Так к задаче I) сводятся математическая модель М.А.Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости, математическая модель вихревнх колец в идеальной жидкости 1|.Е.Ргап]ш1, М.Б.Ве^дег, рассмотренная Н..Г.Ки1рег задача о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводность материала при перехода чареа определенные температура меняется скачком, в частности, свда включается явление "сверхпро-

водимости", к задаче 2) сводятся задачи о нагрева проводника при постоянном напряжении (нестационарный случай) и о подземной газификации угля в постановке Г.И.Баренблатта. Кроме того, К.-С.Chang для некоторых известных задач со свободной границей (задачи с препятствиями, о протекании земляной плотины, односторонней задачи Стефана) нашел эквивалентные постановки в шдэ задач I) и 2).

Среди работ по проблеме существования гпттднт решений краевых задач I) и 2) наиболее значительными представляются работы U.A.Красносельского и А.В.Покровского, H.J.Kuiper, C.A.Stuart и J.E.Toland, К.-С.Chang. Вопрос о существовании полуправильных решений задачи I) в случав ш=1 о однородным крьзвым условием узучался И.А.Красносельским иА.В.Покровским в предположении, что нелинейность g(x,u) удовлетворяет одностороннему условия Липшица по и. Последнее допускает липь "падащне" разрывы по и у функции g(x,.) (неравенство g(x,u-)i* g(x,u+) влечет g(x,u-; > g(x,ut-)). Через :, g(x.u-), . g(x,u+) обозначаются пределы слева и справа соответственно функции g(x,.) в точке и. H.J.Kuiper и К.-С.Chang доказали предложения о существовании сильных положительных решений задачи I при m»t с нулевым граничным условием предполагая, что

1) -g(x,u) = go(x,u) + g1 (x,u) - ¡¡г,(x,u), где е^х.и) - Варатео-дориева функция, g^x.u), 1=1,2, непрерывна по х при фиксированном и и неубывающая го и при фиксированном х, причем, существует конечное или счетное множества {ux, 1 i d)b JE такое,

ЧТО ДЛЯ ПОЧТИ всех х«П ИЗ gt (х,и-)^(х,и+) ИЛИ g2(X,U-)j«g^(X,U+) следует, что и»^ для некоторого 1<и;

2)функция -g(x,u) ограничена снизу положительной функцией, не зависящей от и.. Ы.А.Красносельский, А.В.Покровский и H.J.Kuiper

к исследованию задачи I) приманили теоремы о неподвижных точках в полуупорядоченнкх банаховых пространствах. В работах G.A.Stuart и J.I'.Toland существование 'сильных решений задачи I)пря m=i с нулевыми граничными условиями устанавливается в случав, когда g(x,u)sg(u) не зависит от х, юга от ограниченную вариацию на любом отрезке числовой прямой. Этими авторами задача I) изучалась. вариационным методом и методом '"верхних" и "нижних" решений Китайский математик К.-С.Chang для доказательства существования обобщенных реоений задачи I) успешно использовал теории обобщен них градиентов Ф.Кларка. Кроме того, к исследованию краевых задач для уравнений в частных производных эллиптического и параболического типов с разрывным! по фазовой переменной нелинейностями он применил теорию топологической степени для многозначных отображений. К.-С.Chang были найдены условия, при выполнении которых обобщенные решения первой краевой задачи являются сильными решениями. Суть этих ограничений для задачи I) при m=1 с нулевки! граничными условиями и дополнительном предположении, что для почти всех X« П значение g(x,u) < lg-(x,u),g+(x,u)] для любого шк,в следунщэм: I) функция g(x,u) удовлетворяет (С') -условию, то есть мнокэство D=C(x,u) < П * к| g(X,U-)?ig(X,Ut)} .является объединением не более чем счетного числа локально - поверхностей,- за исключением, быть может, множества, проекция которого на О имеет меру нуль, причем, если какие-либо две из втих поверхностей совпадают в некоторой точке, то они совпадают и в некоторой окрестности этой точки; 2) функция g(x,u) является оптимальной по отношению к (-t,g), т.е. для почти всех х«П из керавепстпр g(x,u-)Hg(x,u+) следует, что (х,и) лежит на одной из поверхностей в условии (С*) и, если V = <р(у) - локальное представление этой поверхности вблизи точки (х,и), то OT6o-T<p(x)^[g-(x,<p(x)), g+(x,<p

(Х))1,ЛИ00 1ф(х)+е(х,ф(х))=0.

Для задачи 2) условия К.-С.Chang, при выполнении которых обобщенные решения этой задачи являются сильными, формулируются аналогично: следует заменить т на Ь, х на (x,t), П на Qj. Вата тит.!, что результаты К.-O.Chang о существовании сильных ропэюй задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа с рпзрыишкл по фазовой переменной нелинейности,ти содержат соответ-ствуп^га результаты H.J.Kuiper, C.A.Stuart и J.P.Toland, но не ьхлачают теоремы существования, установленные М.¿'.Красносельским и А.В.ПокровскйМ, поскольку в них отсутствуют какие-либо ограничения на структуру шозсеотва точек разрыва нелинейностей типа (С')-условия. Однако; как уже отмечалось Еше, у М.А.Красно-сольского и А.В.Покровского нелинейность £(x.u) в задаче I) может т:зть лись "падающие" разрывы по и.

Операторная постановка задачи I) и 2) в соответствующих Функциональных пространствах приводит к уравнениям с разрывными операторами в банаховых пространствах. При етом проблема существования сильных решений задачи I) и 2) эквивалентна существовали) классического решения соответствующего уравнения, а классические решения операторного уравнения, в которых оператор краевой задачи радиально непрерывен, являются полуправильными решениями соответствующей краевой задачи. Для осмысления с единых позиций уко тлеющихся результатов по задачам I) и 2) и получения новых представляется актуальным выделение . классов уравнений с разрывными операторами в банаховых пространствах, ' включающих задачи вида I) и 2), для которых существуют классические решения (в том числе, решения, являющиеся точками радиальной непрерывности оператора уравнения).

Операторная постановка задачи 3) в пространстве

включается в проблему об отыскании сильных репений вариационных неравенств эллиптического типа с разрывными оператор?..та в рефлексивных банаховых пространствах. Актуальность рассмотрения этой проблакы диктуется внутренними потребностями развитая теории вариационных нэравонств.

В уравнении состояния распределенной системы поверхности разрыва нелинейности по фазовой пэре?генной разделяют мкеестео возмогных значений фазовой переменной на части, котором сС-ччяо соответствуют различные качественные состояния, :,!одол.фуо,\-оЛ раатьной системы. Поэтому представляют интерес поиск достаточна условий нахождения системы в каждом из состояний при значеяшях нозависимой переменной на мяокестве ненулевой меры, а так гз свойства "разделяющего •множества", образованного из значен;'-! независимой переканной, для которых значения фазовой переменкой являются точками разрыва нелинейности. Такая задача возникает, . например, при рассмотрении математической модели М.А.Гольдатика отрывных течений неснимаемой кидкости.

ГОль работы. Цель работы - заловить осноеы теории сильных и голуправилышх решений для задач I )-3) с разрывной по фазовой переменной и нелинейностью б(х,и), что позволило бы осмыслить с единых позиций Емэщяеся результаты в данном направлении и ' получить новые, в том числе," для конкретных прикладных задач.

Методы исследования. В диссертации применительно к задачам 1)-3) с разрывной по фазовой переменкой и нелинейностью к(х.и) развиты вариационный метод, метод монотонных операторов в смысла Вишика-Вайнберга-Минти-Браудера, абстршшзя схема кеro.no "верхних" и "нижних" решений, рассмотрены приложения теории топэлогн-ческой степени Ма для многозначных компактных векторных полей к исследованию уравнений с разрывными операторами в банаховых пространствах.

Клучна.ч новизна. Заложены основы т&орки скальных . и голупрзпкльных ревзний задач 1)-3), основу которой составляй? абстрактные результаты о существовании зсласспчоских ' решений уравнений и сильных решений вариационных неравенств с разрывными операторам! в банаховых пространствах, полученное в диссертации. Ь'-далош классы уравнений и вариационных 'неравенств, у которых классические решения являются точками радиальной непрерывности одораторов, входящих в ссответствущнв уравнения и вариационные перзззнсгвв. Общие теоремы позволили осмыслить с единых позиций результаты, полученные другими автораки в данном направлении, и устш:зсить новые результата для краевых задач 1)2 ?,). Проблема существования сильных и- полуправильных решений вариационного неравенства (5) с разрывной по фазовой перегонной и Еелннейностьэ 8(х,и) как и ее абстрактный аналог в работах других авторов Ев рассматривались.

Теоремы об уравнениях в частных производных шшютрирувтся различными прикладными задачами. Выводы, которые при этой получзэтся для задач об отрывных .точениях насгкмаемой гздаостп, подзо.щой газификации угля и нагрева проводника при постоянном т.трл-'зш'л, из результатов других авторов не следуют.

В диссертации даны новые постановки задач оптимального управления дм распределенных систем с рагрыЕнниа по фазовым переменным келинейностям^получаш достаточные условия существования решений отих задач.

Теоретическая значимость. Основная часть диссертации носит теоретический характер. В первую очередь к ним относятся результаты по теории классических решений уравнений и сильных решений вариационных неравенств с разрывными операторами в банаховых пространствах. Данные результаты обобщают соответствующие теоремы существования классических решений для нелинейных

уравнений в банаховых пространствах и открывают новое направление исследования задач 1)-3) с разрывной по фазовой переменной и нелинейностью е(х,и).

Следует отметать постановки задач оптимального управления распределенными системами эллиптического и параболического с разрывными по фазовой переменной нелинейностями и их абстракций аналог, обобщающие соответствующие постановки Ж.-Л. Лионе у длл распределенных систем с гладкими нелинейностями, а так;:з результаты полученные в диссертации для таких задач. Основной содержанка диссертации посвящено исследованию проблаш существования сильных и полуправильннх решений задач 1)-3). Полученные результаты составляют содержание нового направления в исследовании распределенных систем с разрывными по Фазовой переменной нелинейностями.

Практическая значимость. Результаты диссертации легли в основу трех ; специальных курсов по теории уравнений с разрывными нелинейностями, • которые были прочитаны автором ка математическом факультете Челябинского государственного университета. Они могут оказаться полезными при исследовании новых 'математических моделей распределенных систем с разрывиш.м до фазовой переменной нелинейностями.

Апробация работы, результаты диссертации были представлены на Еесенних Воронежских математических школах "Поктрлгкнские чтения" в 1593 и 1994 гг [16],[19],на 2-см Международном семинаре "Негладкие и разрнвные задачи управления и оптимизации" в 1993 г. [171, на совместных заседаниях Семинара им й.Г.Петровского и Московского математического общества в 1994 г. [18] и в 1935 г.

Эти результаты обсуядались на семинарах Ю.С.Осшгава и

- 12 -

A.Ф.Сидорова в ИШ УрО РАН, на совместном семинаре

B.М.Тихомирова, Н.И.Зэлшшна и А.В.Фурсикова в Московском государственном университете, на семинаре С.Г.Борисовича в Воронежском государственном университете, на совместном семинаре

C.И.Похохаева, И.А.Дубкыского и С.А.Ломова в ' Московском энергетическом институте, на семинаре В.И.Благодатских в Математическом институте РАН им В.А.Стеклова, на семинарах В.Д.Батухтина и Г.А.Свиридша в Челябинском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах Ш-И9].

Структура и объемы работы. Диссертация изложена на 149 страницах машинописного текста, набранного на ЭВМ. Состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, который содержит .101 наименование. Сравнительный анализ новизны полученных результатов проводится во введенра.

содтшше и основные „результаты диссертации

Во введении дается описание предмета исследования, показано его место в теории нелинейных уравнений, делается краткий обзор основных результатов, полученных другими авторами по данной тематике. Излагается основные результаты диссертации и проводится сравнительный анализ их новизны. Завершается введение благодарностями в адрес Ы.А.Красносельского, Ю. Г.Борисовича, С.Д.ЭЙдельмана, Ы.Л.Горбачука, участникам семинара. В.М.Тихомирова, М.И.Зеликина и А.В.Фурсикова, коллегам из отдела дифференциальных уравнений ШМ УрО РАН и участникам семинара академика А.Ф.Сидорова, коллег по кефэдре математического анализа (особенно Г.А.Свиридаку и В.И.Ушакову).

Первая глава содержит шесть параграфов. В первых трех параграфах излагается вариационный метод для уравнений и вариационных неравенств с -кзазипотенциальными операторами в рефлексивных банаховых пространствах.

В первом параграфе даны определения основных понятий вариационного метода и получены необходимые условия минимума квазипотенциала квазипотенциального оператора на выпуклом замкнутом множестве в вещественном банаховом пространстве.

Пусть К - выпуклое замкнутое множество в вещественном

I

банаховом пространстве Е. Пространство сопряженное с Е будем обозначать Е*, а значение функционала у«Е* на элемента х«к через (У.х).

Определение 1.1. Оператор Т:К—>Е* называется квазшотенциальным на К, если существует функционал Х:К—>й такой, что для любых

При атом функционал 1 называется квазипотенциалом оператора Т. Определение 1'.2. Говорят, что оператор Т:К—• Е* радяально непрерывный в точке х«К относительно К, если

Определение 1.3. Точка х«К называется регулярной для оператора Т:К—Е*, если найдется элемент г«К, душ которого •

Сформулируем основной результат первого параграфа. Предложение 1.1. Пусть оператор Т:К—»Е* квазипотенциалъный на К, Г-его квазипотенциал и точки разрыва оператора Т регулярны. Тогда, если х-точка условного минимума Г относительно К, то х удовлетворяет неравенству

(Тх,х-г)Ю V г«К, (1.1)

и является точкой радиальной непрерывности оператора Г относительно К.

Заметим, что если К=Е, то (I.I) равносильно уравнению Tx=Q. Указам также на достаточное условие регулярности разрыва оператора, определенного на всем пространстве, найденного автором.

Лемма I.I. Если влемент х«Е не является точкой • радиальной непрерывности оператора Т:Е—Е* и для какдого z«E существует

то х - регулярная для Т точка.

Условия Предложения I.I можно ослабить, . если в его заключении но требовать, чтобы х была точкой радиальной непрерывности оператора Т относительно К.

Определение 1.4. Элемент х«К называется точкой h-полунепрершз-ности сверху оператора Т:К—»Е*, если для любого z«K

TTB^+0(T(*+t(z-r) ,z-xK(Tx,z-x) Предложение 1.2. Пусть Т:К—Е* квазипотенциалышй оператор на К, í-ero квазитатепциал, причем, каждая точка разрыва оператора Т либо регулярная, либо является точкой h-полунепрерывности сверху дпя Т. Гох'да, если х - точка условного минимума í относительно К то х удовлетворяет неравенству (I.I).

Во втором параграфе получены вариационные припцшш для уравнений и вариационных неравенств с квазлштенциальшми операторами в рефлексивньис банаховых пространствах.' Для их обоснования используются Предложения I.I и 1.2. Приведем формулировку одного из вариационных принципов, доказанных во втором параграфе.

Теорема I.I. Пусть выполнены условия:

1) оператор 1,=Т1+Т2, где Г1:К->Е*, 1=1,2, КЕазкпотенциальныэ на К операторы, веществошое банахово пространство Е - рефлексивное;

2) отображение Т, монотонное на К, т.е.

(l^x - 1,7, х-у)50 Vx.y.K;

3) отображение Т2компактное, т.е. шокество Т2С предтсомпактное в Е* для любого ограниченного подоноаастаа в множества К;

4) для квазипотенциала Г оператора Т имеет место равенство

4) точки разрыва оператора Т регулярные.

Тогда существует х«К, для которой Г (х) => 1п Гк Г (г), и люб л г, тачая точка х удовлетворяет неравенству (1.1) и является тотсс?. радиальной непрерывности для Т относительно К. Частным случаем теоремы 1.1 является следующее утверждение. Теорема 1.2. Пусть выполнены условий теоремы 1.1 с К=Е. Тогда существует х«Е, для которого 1(х) = (г) и любое такоо :•:

удовлетворяет уравнению Та=0 и явллотса точкой радиальной непрерывности оператора Т.

В третьем параграфе варлациошшй метод развит применительно к проблема существования обобщентшх решений уравнений с квззнпо-тенцивльннмя операторам. Пусть Х,У,У1 - вещественные баппхоги пространства, причем, пространства ХД - рс-<1шэксигашв, X компактно вложено в У и У1. Обозначь,5 через . Р и Р1 оператор: влоггения X в У и соогЕотствешга. Рассматривается урошонкз вида

Т,х + Р*Т2Р,х =0, (1.2)

где Р* оператор сопряненный с Р,Т, :Х-»Х,сдбжшепр9рнпшй оператор, Т2:У1-«У* локально ограниченный. В начале парагряфз вводятся понятно секвенциального замыкания локально огргнхчентюго опораторв и изучаются его свойства.

Определешге 1.5. секвенциальным замыканием локально огртачекюпо оператора - вещэствэнкыэ о'шшховы пространства)

зазывается многозначное отобракешэ БТ из Е, в Е,, спрэдоляоу.оа следующим образом: для любого х<Е1 значаьт з КТх сошадаэ? с

сг;:.5зутоД выпуклой оболочкой мгаг.оства всех слабо предельных точек последовательностей вида (Тх^) в где последовательность (2^, }СЕ1 сильно сходится к i в Ег

Ломма 1.2. Пусть Е,, вещественные Оанаховн пространства, прпчом, Е2 - рефлексивное, оператор Т^-Ь, локально ограниченный

'1'° х = п Со^У « |г«Е1, В 2-х у £ <е> овыпукливание оператора Т (через ПсК;, Се!^, обозначается замкнутая Еыпуклая оболочка кпсгьстза С в пространстве Тогда I) БТ «* Т°; 2) БТ -слабо- . сильно зажну то, т.е. из х^х в Е1 , уп«5Тхп и у^у а £2 следует, что учБТх.

',с.:з 1.3. пусть Х.У.У, банаховы пространства, причем, пространен 20 У рефлексивное, X непрерывно вложено в У и в У.,, а Р -и Р1 операторы вложения X в У и У, соответственно. Тогда, о ели ТгУ^У* локалню ограниченный, то 3(Р*ТР1) (х) С Р*(БТ) (Р,х) V 1<х-

Приводится призер, -показывавдий, что последнее вюпочение огхет быть строгим.

Определение 1.6. Обобщенным решением уравнения (1.2) называется одэмоят х«Е, удовлетворяющий включению

- ТгГс Р*(БТг)(Р1х). (1.3)

Доказан следущпй варицконный принцип! "сорома 1.3. Предположим, что

1) аД'.У, - ваэдетвешшо банаховы пространства, причем, X, У -рс-Соохсиишо, X компактно влозкено в, У и непрерывно в У5, Р, Р1 спорзторы влогония X в У и У,' соответственно;

2) оператор Т, КЕаз;пготенциальный, монотонный п радаально кэпрорынныл па X;

3) оператор Т^У^У* огранлчозшй и отображение Р'^Р, квазипо-гекциэльно;

4) квазипотенцаал f оператора 1=3^+ P'TgP, удовлетворяет условия:

Тогда существует х«Х твкой, что ' f(x)- iníx I {"),

удовлетворящий включению (1.3).

В конце третьего параграфа обсуждается связь между субдиф-ференцивлом Ф.Клпрка квазшотенциала локально ограниченного кваашотенциального оператора и секвенциальным замыканием этого оператора.

В четвертом параграфе первой главы вергшщонные пршщпш, полученные во втором и третьем параграфе применяются к исследованию задачи I) с разрывной по фазовой переменной нелинейностью g(x,u) .в случае, когда дифференциальный оператор % -

т.е. имеет дивергентный вид,

форлвльно самосопряженный, сильно эллиптический, и его коэффициенты вдф « С (П), 1<:|а|=|Р|<с га.

Определение 1,7. Пусть Q - ограниченная область в кп и для почти

всех хчП сечение g(x,.) функции g:Q * к-ж имеет на R разрывы

' только первого рода. Говорят, что функция g удовлетворяет А -

условию (Al-условии) по отношении к дифференциальному оператору

t = £ с непрерывными в С) коэффициентами а4 , если

l¡S|3|42m 3 . 3

существует конечное или счетное семейство гиперповерхностей {S±.

i<m в кп+1, s^ {(x,u)< Rn+1/u = ф1(х), х«П>, фАс И^Ю(П), таких,

что для почти всех х«П неравенство g(x,u-)< g(x,u+) влечет

существование 1«И, для которого u^íx) и (тфЛх) + gfxj^fx) +))

(Тф±(х)+ g(x,<p±(x)-))>0 (либо (tcpt(x)+g(x,v1(x)+)).(Tcp1(x) + g(x,

<^(1) -))>0, либо "Kpt(x)+ g(X,<p1(X)))-0).

Применение теоремы 1.2 к задаче I) дает следующий результат.

Теорема 1.4. Предположим, что

1) Фушсция g:H « k-r супершзиционно .измеримая и для почти всех Х'П ео сечение g(x,.) имеет на к разрывы только первого ' рода и £U,u)«tg_(x,u), g+(x,u)] для всех и ♦ к, где g_(x,u)=1to g(x,8),

т-r- S-41

g. (х,и)=Пй g(x,s); '

2) функция g удовлетворяет по отнопенив к дифференциальному

IPI P a

оператору т- J<(a|E^y1,>a D efcipWD A - условию;

3) либо n>2ai! для некоторого 1 <p<2n/(n-2m) |g(x,u)| i a|u|p~1+ b(x) V u « к и почти всех x < О, где а - положительная константа, b « Lq(fl), q=p/(p-1), либо п < 2m и дая любого й>0 суцосгвуог функция ad< bq(fi), q>1, такая, что |g(x,u)| < ad(x) Vu « [-d,d] и почти всех х « О;

4) граничные условия (2) в задаче I) однородные, т.е. <pr(x)sO, (К г < т-1;

5) a(u,u)e 2 Jn а^а(х)1Я u(x) lP"u(x)dx > U V ' Jnl^

KjaJ = |pi<Q . UP ja|=m "

(x)J2dx Vu ( (fl), где постоянная Ы>0 не зависит от и; '

6) 2J~£g(x,s)d3 г- to2- (xJlul2-^- k^x) Vu « к и почти всех

х « Q, Q<7<2, к,« Ьз/^П), к^ Ь1 (О), причем, М-кС>0, где С -постоянная в неравенство Стоклова

;nu2(x)dx $ о ^ ;fiiiAi(x)|2dx \fu * (Q).

о

Тогда существует V < для которой Ф(у) = info Ф(Я)

1 тг(ж) „

с <i(W)-2 a(w,w)+ Jf^2 g<x,s)d3, причем, любое такое V

прштдлегит пространству (fi) и является юлуправильным решением задачи (1)-(2).

При ослаблении ограничений на точки разрнвз нелинейности

£(х,и) го фазовой переменной и (вместо выполнения А-условия

потребовать наличие А-1 условия) мояно лишь утверждать о 0_

существовании V « Й?(П), для которой Ф(т) = ^зъ Ф(»), и

что

« 2т

любая такая функция V принадлежит пространству (О) и пляетоя

сильным решением задачи (1)-(2). При этом, как показано в .шестом параграфе первой главы, задача I) монет не иметь полуправильных решений.

Вариант теоремы 1.4, который получается при замене А-условия

и на А-1 условие, доказывается по слэдулщей схеме. В начале с

о

помощью теорема 1.3 устанавливается, члэ существует у«й™(П), для

которой Ф(у)= 1пГ0 Ф(\у), причем, любая такая функция принадлежа)

жкт пространству Т?^га(0) и является обобщенным решением уравнения (I), т.е. для почти всех х<0 удовлетворяет включению' -ту(х)< ' 1б_(х,т(х)),вь(х,7(х))]. Затем показывается, что из А1-услоеия следует, что любое обобщенное решение у«№?((1) п №?;т(С]) уравнения (I), доставляющее абсолютный минимум функционалу Ф(т) на й™(0), является сильнкм решением задачи I). .

Заметим, что А-условие заведома выполняется, если для почти всех х<(1 верно неравенство ®(х,и)г б(х,ш-) да любого

и«к. в частности, А-условие выполнено для нелккейностёй,

»

удовлвтворящих одностороннему условию Лшшнца, для которых били получены результаты о существовании полуправильных рожений задачи I) о и нулевым граничишь условием в работах М.А.Красносэль-» ского и А.В.Покровского.

В конца четвертого параграфа теорема 1.4 применяотся к исследовании следухщей задачи.

Пусть, как и правде, *&= £ (-1 )!Р' юР алД(х) ЮР - фэрмаль-

ныв дифференциальный оператор порядка 2т б дивергентной форме в

к

ограниченной области Пей с достаточно гладкой границей Б, удовлетворял^ неравенству

В котором постоянная ае положительна и не зависит от ж й £, функции а^ вещественнозначны и имеют непрерывные в П частные производные до порядка |р| включительно, причем, аСф(х)=ара(г) в 0, 1 С |а|=|Р| < т. функция <р«С(П) отрицательна в О и на части границы Б. На множестве ШК задана функция в(х,и) следующим образом: онв равна нулю, если и £ ф(х), и е(х,и)=21(х,и), если и < <р(х), где (х,и)- каратеодориёва функция, положительна^ на множестве {(х,и)/и < ф(х), х«Ш. Рассматривается одиопвраметраче-ское семейство задач Дирихле -

<си(х) + е£(х,и)=0, х«0, (1.4)

й£'(з)и(х)=0, х«Б, 0 < к < , (Т.5)

• где е полокительный параметр. При каждом х«0 состояние данной . системы мокет находиться в одной нз двух фаз, определяемых условиями: и < <р(х) или и » ф(х). Для любого е >0 задача (1.4)-(1.Б) имеет полуправильное решение и(х)^0, которое целиком .-.находится в одной фазе. Изучается вопрос о существовании полуправильного решения и^х) задачи (1.4)-(1.5), для которого ^шр.лшохеств Сх«0 | и(х)< ф(х)> и {х«П | и(х)г> ф(х)) отличны от -н^^я^сВ;.зависимости от значений параметра е. Сформулированная проблади ^купочает задачу о существовании отрывных течений несхимавмвб^ршсти в зависимости от значений завихренности в математической ^модели и.А.Гольдштика, которая рассмотрена в

тостом параграфа первой главы.

Установлен следующий результат. Теорема 1.5. Предположим, что

1) для некоторого а«(0,1) и удовлэтворящего неравенству 2п(1+а)/ а > п, для сочти всех х«П

Jg^x.u)! ^ a Ju|a+b(x), если и < <р(х), где постоянная а положительная, b«Lq(n), q=(1+a)/a;

2) W2^ 'DfVl№ * ttS=J°|Dau

(x)|2dx

для любой и. f Щ(й), где постоянная M > 0 а но зависит от и. Тогда существует ео>0 такое, что для любого е > е0 задача (1.4)-(1.Б) имеет полуправнльное репенш Ug « для которого

nes(x«Q |U£(x) < <р(х)> И 0 и тез{х<П | Ug(x) > <р(х)> И 0, а граница раздала фаз Г£= (х«П / иа(х)=ф(х)> для состояния Ug(x) имеет кору нуль и замкнута относительно О.

В пятом параграфе вариационные принципы из второго параграфа применяются к исследовании задачи 3) о вариацкошшх веравзяствах в частных производных с' разрывными по фазовой переменной

нелинзйностями в случае, когда т = 2 (-1)IP' Б^ а,,п(х) О®

сильна вллиптический самосопряженный формальный дийеренциалыий

оператор, коэффициент которого а^ « c!PI (Q), 1 i|a|=|p| s; га.

Получены теоремы существования сильных и полуправилызых решений

задачи 3). Если дополнительна в задаче 3) е=1 , а шояество К

о

совпадает с одним из следующих mosecra £7« \<3(Р.) j V(x) 5 3(x)

, 2

почти всю,чу па m, CV« w®(Q) | Y(x) ^ <р(х) почти всюду на П>, СV< W£(fi) |®(х) ^ V(i) ^ <р(х) почтя всюду на Q}, та задача 3) приводится к задаче Дирихле с разрывной по фазовой переменной нелинейностью. В атом случае к изучению задачи 3) прилагаются результата четвертого параграфа. Причем, удается одновременно

доказать существование сильного решения задачи 3) и его принадлежность к пространству »^(О). Офордулируем одну из теорем, доказанных в пятом параграфе. Теорема 1.6. Предположим, что

1) в задача 3) множество К= iV« | V(x) > Ф(х)>, функция ßzlb к суперпозициошо измерима, D= i(x,v)< к114-1! V 5 ООО» х«П>, причем, для почти всех х*П сечение g(x,.) имеет на В(х)« iu | и > ©(х)} разрыва только первого рода, g(x,u)« tg_(x,u),g+.(x,u)] на D(x) и g(x,®(x))»g(x,©(x)+);

2) Функция g удовлетворяет А-условию по отношению к дафференци-ьльному оператору т;

¿) 2m > п и для любого d>0 существует функция a^ Lq(П), q>t, для которой Jg(x,T)l < Ва(х) t^v« 1Ш(х),®(х)+й1 и почти всех х<С2;

4}K|5|-l««»ifl Efw

о

для любой v« ¥ig(Cl), Н - полокательная константа;

5) для почти всех х«П

2/' g(x,s)ds £ -kv2-k1(x){V|2-1,_ir(X) V V > ffl(x),

v(x) _ '

где постоянная .К пологагельная, 0<у<2, k2«b1 (П),

•■г ■

причем, Ы - кС >0, С - постоянная в неравенстве'

fQ «P<x)dx < 0 g ,Г0|1ЯиОс)|гах <«>•

Тогда задача 3) имеет сильное решение.

В послоднем шестом параграфе первой главы результаты четвертого параграфа прилагаются к язученаю прикладных задач: об отрывных, течениях несжимаемой жидкости, о нагреве прсЕодника при постоянном напряжении (стационарный случай) и двусторонняя задача с препятствиями. Последняя задача згменяется на эквивалентную ей задачу Дирихле для уравнения эллиптического типа с разрывной налгиойностьв. Приводятся достаточные условия, при выполнении

которых эта задача Дирихле имеет сильное решение, но у нее нет полуправильного решения.

Вторая глава диссертации содержат восемь параграфов. В первом параграфе излагается схема "верхних" и "нижних" решений для уравнений с разрывными оператор ами в полуупорядоченных банаховых пространствах. Основным звеном в этой схеме является теорема существования обобщенных решений для уравнений вида

Au +• P,u » P2CU). (2.1)

где Л: D(A)CE, - вещественные банаховы пространства E1f Eg полуупорядочены, Е, - правильным конусом К,, а пространство Eg конусом Kg, оператор Р, : Е, -> Ед локально ограниченный, оператор F2 : Е, -» Ед - (К, .Kg) - монотонный,т.а. для любых x1fx¿ ¿ из неравенства Xg следует, что ?2х, « P2*¿* Теорема 2.1. Предположим, что

1) многозначное отобракениэ А + SP, из Е,в биективно, SP, -секвенциальное замыкание оператора Р,;

2) существуют u,, Ug« D(A) такие, что t^, Au, + PgU,,

Allg + PjUj» P2Ug;

3) если u,v< D(A), giSFjU , wtÇF.,1/, Au + g ¡ç Av + w, то u or. Тогда на конусном отрезке < u,,Ug > = ív^E, | u,« т £ Ug> найдется элемент u« D(A), удовлетворяхщий включению P2u - Au « SFjU.

Данная теорема дополняется набором ограничений, при выполнении которых любое обобщенное решение уравнения (2.1)

является классическим решением этого уравнения.

»

Определение 2.1. Пусть Е вещественное банахово пространство, Q:M5* нелинейный оператор, отображение А задано на линейном множестве D(A)С Е и действует в Е*. Элемент u« D(A) называется регулярной точкой для оператора Q относительно А, если существует h«E такой, что Ilm. 0(Q(u+th)-Au,ti)<Q.

Предложение 2.1. Предположи*, что Q:E-»E* монотонный в смысле Вишика-Вайнберга-Минти-Браудера оператор (Е - вещественное . банахово пространство), отображение А ведано на линейном множестве В(Л)С Е и действует в Е*, причем, каадвя точка из D(A), в которой нарушено .условие .радиальной непрерывности для оператора Q, является регулярной для Q относительно А. Тогда, если Up« D(A) удовлетворяет включению TUq« SQUq , то TUq^QUq и Up является точкой радиальной непрерывности оператора Q.

Приводятся достаточные условия выполнения . предположения 1)теоремы2.1.

Во втором и четвертом параграфах развит метод- монотонных операторов в смысле Вишика-Вайнберга-Минти-Браудера для уравнений и эллиптических вариационных неравенств с разрывными операторами. Основной результат второго параграфа следующий. Теорема 2.2. Предположим, что

1) оператор Л: Я(Л)-»Е* с линейной л плотной з Е областью определения Б (Л) радиально непрерывный на Б (А) и максимально монотонный, т.е. Л монотонный и из неравенства (Лх-z, х-у)20 для любого х«Б(Л) следует, что у«Б(Л) в z=Ay (Е ,- вещественное рефлексивное банахово пространство);

2) оператор Т:Е-»Е* полумонотонный, т.е. Т-Р+С, где Р -монотонный, а 0 - усиленно непрерывный оператор, и существует R>0 такое, что (Лх 4 Tx,x)jO, если х«В(Л) и |xg-R;

3) все точки, принадлежащие одновременно D(A) и замкнутому шару с центрам в нуле пространства радиуса R, регулярные для оператора Т относительно Л.

Тогда существует х<Б(Л) с |хв<й, удовлетворяющий уравнению Лх + Тх = 0, и любое такое х является точкой радиальной непрерывности оператора Т.

Приведем также формулировку основного результата четвертого параграфа. • Теорема 2.3. Предположим, что

1) оператор Т:Е*Е* полумонотонный и ограниченный, т.е. для любого ограниченного множества С из пространства Е множество ТС ограниченно в Е* (Е . вещественное рефлексивное банахово пространство).

2) выпуклое замкнутое множество ХСЕ содерхит нуль пространства Е и существует й>0 такое, что (Ти, и)Х) ,есля ¡иЦЖ и и«К;

3) точки разрыва оператор Т относительно К регулярные для Т .относительно К.

Тогда существует и«К такое, что (Ти, и-7)5Ю для любого и любое такое и является точкой радиальной непрерывности оператора Т относительно К.

В третьем параграфе теория топологической степени Ш применяется для доказательства существования обобщенных решений уравнений вида ^

1х + ТХ « и (2.2)

где Ь линейный оператор с областью определения В(Ь) У со значениями в У^У,^- вещественные банаховы пространства), оператор Т: локально ограниченный (возможно, разрывный).

Определение 2.2. Обобщенным решением уравнения (2.2) называется . элемент х« Б(Ь), удовлетворяющий Еклшекию

С-Ьх « ЙТх,

где БГ - секвенциальное замыкание оператора Т. Теорема 2.4. Пусть выполнены условия:

1) - вещественные банаховы пространства, причем, Т, - рефлексивное;

2) оператор Ь линейный о областью определения Ъ{Ъ)С. У со

значениями в Y, и на D(L) можно определить норму | Ц, так, что X=(D(L)i| g,) банахово пространство, компактно вложенное в Y,H L как оператор из X в Y, имеет ограниченный обратный;

3) оператор TrY-Y,- ограниченный;

4) множество АЛ=Сх<П(Ь)| существует А.« (0,1) такое, что A.í-Lx«A.

г

STxJ ограничено в Y.

Тогда уравнение (2.2) имеет обобщенное решение. В пятом параграфе общие теоремы, подученные во втором и третьем параграфах применяются к исследованию задачи 1). При втом • симметричность дифференциального оператора т не предполагается. Однако, по сравнению.с соответствующими результатами из первой главы, доказанных вариационным методом усиливаются ограничения на структуру точек разрыва нелинейности g(x,u). Определение 2.3. Говорят, что для функции g:fixR-»R (fl ограниченная область в кп) выполнено АВ(А31) условие по отношению к дифференциальному оператору т= £ а.(х)дЗ, если а) для

1ф1«и.3

почти всех х«П функция g(x,.) имеет на к разрывы только первого рода и g(x,u)« tg_(x,u),g+(x,u)J для любого u * R; С) существует конечное или счетноэ .семейство гиперповерхностей {Siflc m BEn+1 Sl-{(X,U)«Rn+1| U^d), lUJ}, Х«П>, ^¿«Wf^joo (П), такое, что для почти всех х«С1 из g(x,u-)??g(x,u+) следует существование 1«U, для которого u=9¿(x) и (i9i(x)+g(x^1(x)-)). (тф1(х)+б(х,ср:1(х)+))>0 (либо (^1(x)+g(x,<pi(x)-)).^1(x)+g(x,<pi (х)+))>0,либо (T<pi(x)+g(x,<p1(x)=0)

Существование сильных решений задачи I) доказывается в пятом параграфе в предположении, что нелинейность g(x,u) в уравнении <1) удовлетворяет АВ1 условию по отношению к дифференциальному оператору х. В случае, когда для g(x,u) выполнено Ав - условие по отношения к i устанавливается, что любое сильное решение задачи I) будет полуправильным. При этом в теоремах доказанных методом

монотонных операторов yg(z,u) по и допускаются лишь разрыш "прнгащао вверх".

В шестом параграфа методсми развитыми в порка, трзх параграфах второй гдзец изучается задача (3)-(4). Применение ст.в'.гн. "верхних" и "пшшх" регэнпй праводат к слвдущвму результату. Теорема 2.5. Нрэдгологим, что

1) функция grQ^xE-s равна разности • суперпозицясшо измеримых функций g, (x,t,u) и gp(x,t.и^коубывакзщих по u. на r для почта всех

2) существует, семейство гиперповерхностей С3±, 1« Ш в кп+2,

U^tx.t), (Xft)iOj,}r <Pi«^f;ioo(0i)» 0 конечно пли счвтео, таких, что для почтя всех (х, t)<Q.„ неравенство g, (x,t,u-)<g1(x,t,u+) влечет существование i«U, для которого u=91{x,t) я либо (I/pl(x,t)+g1(x,t,9l(x,t)-)-^(x,t,(pl(x,t)-) (З/р, (x.tj+g, (x>t,9i(x,t)+)-^(x,t,(pi(x,Jt)))>0, либо Xip±(x,t)+g(x,t^1 (x,t))=0;-

2) для почт всех (x.t)«^ верна оценка |g, (x,t,u)|£ k|u| + l)(x,t) Vu<R, где k -'гологгнтельпая кбастанта, bsI^.tQ^), 1=1,2. Тогда задача (3)-(4) тлеет сильное решение, принадлежащее пространству Т»|*1 (Qj.).

Отметим, что в отличив от результатов Х.-С. Chang по проблеме существования сильных решений задачи (3)-(4) в теорема 2.5 на делается каких-либо ограничений на "падающие" разрывы .t,u) по и. Сформулированная теорема содержит, рассмотренную в восьмом параграфе второй главы, задачу, о подземной газификации угля в постановке Г.И.Баренблатга. Однако, для точек разрыва нелинейности, входящей в уравнение состояние этой иодели, но выполняется условия К.-С.Chang существования сильных решений для задачи (3)-(4).

Применение метода монотонных операторов и теоремы 2.4 к за-

даче (3)-(4) позволяет доказать существование сильных и полуправильшх решений при ■ ослаблении ограничений на рост нелинейности gí£t,u) по сравнении с теоремой 2.5, но при этом накладывается более еэсткиз требования на характер допустимых разрывов у g^f.u) ш и. Приведем формулировку одного из таких результатов.

Следствие 2.1. Пусть выполнены условия:

1) функция giQjXSMK борелева (modo), т.е. отлична от некоторой борелевой на Q^sx функции лииь на множестве G С. CLxk, • проекция которого на Оу имеет мару нуль, и для почти всех (хД)*^ сечение g(x,t,.) имеет на к разрывы только первого рода и g(x,t,u)<tgix, . t'.uhg+íx.t.u)] для любого u<R;

2)- существует семейство гиперповерхностей ISj^, 1<Ш в Еп+г, S1=í(x,t,u)(iRn+2 lu^tx.t),(x,t)«Qj,>, (Qj,), ü- конечное или счетное множество, таких, что для почте всех (x.t)«^ неравенство g{x,t,u-)?!g{x,t,u+) Елачег существование. i«TJ, для которого U^íx.t) И (Lcp1(X,t)+g(X,t^1(X,t)-)) (bp^X.tHgd.t.Cp^ (x,t)+))>0; .

3) для некоторого-р« (1,2+4/п) и почти всех (X,t)<Qj, |g(x,t,u)|í alu|p-1+ b(x,t) Vut®, где а - положительная константа, b^L^O^), q=p/(p-1);

4) либо в условии 3 постоянная р«(1,2), либо для почти всех -(x.t^Oj:

g((x,t,u) u > 1: |ир+1ц (x.tJlup-T+l^íx.t) VmR, где 0<7<p, k - положительная константа, Ic^Lfyr(QT) ♦ Тогда задача (3)-(4) имеет сильное решение из ls|'1(CLr) и любое такое решение полуправильное.

Данное предложение в восьмом параграфе второй главы применяется к исследованию задачи о нагреве проводника при постоянном влектрпческом напряжении (нестационарный случай).

В седьмом параграфе получены теоремы существоания сальных и полуправильных решений задача. 3) о вариационных неравенствах методом монотонных операторов, вопи п<2ш, а в случае ш=1, задача 3), как и в пятом параграфе первой главы, сводится к задача Дирихле с разрывной на фазовой йаременной нелинейность», к которой прилагаются результаты пятого параграфа второй главы. В отличиэ от теорем пятого параграфа первой главы самосопряженность дифференциального оператора г в задаче 3) не предполагается.

Вторая глава завершается восьмым параграфом, где рассматривается прикладные задачи о подземной газификации угля в постановке Г.И.Варенблатта и о нагреве проводника при постоянном электрическом напряжении (нестационарный случай) в случае, когда электропроводность проводника .при переходе через определенные температуры меняется скачком. Зги задачи охватываются теоремаш шестого параграфа второй главы и получение для них выводы не следуют из результатов других авторов.

а

Третья глава диссертации содэряит три параграфа'. В первом

параграфе рассматривается ' следующая задача об управлении

нелинейной системой ,с разрывным оператором в банаховом

пространства. Уравнение состояния имеет вид

1т? + Tw = Вт, ' (3.1)

где L линейный оператор с областью определения D(I) в банаховом

пространстве Y со значениями в банаховом прстранстве У1, оператор

Т-.У-У, локально ограниченный (возможно, разрывный), BrU-Y,

линейный непрерывный оператор, О - банахово пространство

управлений. Возможные состояния исследуемой системы при

».

фиксированном^ управлении г<0 якпяются обобщенными решениями уравнения (3.1).

Определение 3.1. Обобщенным решением уравнения (3.1 ) называется и«Б(Ъ), удовлетворяющее включению

Вт-Ьет « БТя , где БТ - секвенциальное замыкание оператора Т. Пусть иа(1 - множество всех допустимых управлений для системы (3.1).

Определение 3.2. Упорядоченная пара (и,г) ' называется допустимой парой, "управление - состояние" дня системы (3.1), если и«Пвс1, а Е-обобщенное решение уравнения (3.1) при у=и.

На тожестве 0 всех допустимых пар "управление - состояние" для системы (3.1) функция стоимости Л задается равенством

+ ¿Е^Ои (3.2)

где постоянные 1,к,А положительные, банахово пространство йэЩЬ) и непрерывно вложено в У, т<0<2, В норма пространства Е.

Ставится задача об отыскании пары (и, г) «И такой, что

«Т(т,?У). (3.3)

Отметим, что достаточное условие нопустоты множества Б допустимых пар "управление - состояние" системы (3.1) .дает теорема 2.4', сфзргдулироЕавная йшиэ. Крош того, изучаются свойства обобщенного решения как функции управления (вообще говоря, многозначной) и топологические свойства множества Б. Установлено, что если У, рефлексивное пространство, оператор ТгУ^У, - ограниченный и на Б(Ь) можно определить норму | так, что Х=(П(Ь), | В,) банахово пространство, компактно вложенное в У, и Ь как оператор из X в У1 имеет ограниченный обратный,то для любой последовательности ((чп, где (тп)СО, в И, 1га- обобщенное решение уравнения

(3.1) при ч-та и последовательность (*га) ограничена з У, найдется подпоследовательность (я^) последовательности (*п) сильно

сходящаяся к некоторому обобщенному решению « уравнения (3.1) при т-и. Если дополнительно предположить, что множество допустимых

' управлений слабо вамкнуто в и, го из сформулированного результата. следует слабая аамкнутость многеотва 0 в 0x1. Существование резаная задачи оптимального управления (3.3) ■ доказано при выполнении дополнительно я перечисленным вше условиям сведущих': I) пространство . управлений СГ рефлексивно, 2) шогэство В допустимых пар "управланйа - состояние" системы

(3.1) не пустое, 3) пространство I непрерывно влогэно в пространство Я, фигурирующее в •определении функции стоимости

(3.2). Полученные в первом параграфе общие теоремы применяются затем во втором и третьем параграфах к исследованию задачи (3.3) в случае, когда уравнение (3.1) является системой эллиптического (а смысле И.Г.Петровского) пли парболичоского типов о однородными краевыми уславшая и разршшшст го фазовшл переменным нелинейности^. Сформулируем' результат об управляемых параболических системах, доказанный в третьей параграфе. Урашеше состояния пмэот еид

1, ¿=1 ** I

__(3.4)

В^т, (х.^^.кИ ,Н,

с П гранпчншж условиями яск)|г = 0, к=1,Н| (3.5)

т

где аг=Пх(0,т), П - ограниченней область в в?11 с границей Б класса С2, Гг -параболическая граница цилиндра тг(к)(х,Ш1 < к $ Н)-коорданатныв'функции вектора состояния система тт(х^), дв$ферен-

равномерно параболические и и х коэффициенты а^'(хЛ) непрерывно

дефферевдируеш в а,,, функция д(х,г,?т)=(5(1)(г^лт),...8(К)(х,1, w)). (х^)«^, я«кп, супврпозиционно нзиврана и для почта всех

(х,Ъ)« Оу ее сечение• ограниченные множества из к1'

переводит в ограниченные множества в кк, операторы В^гВ*! (йр) (и - банахово пространство управлений) линейные и ограниченные, Ч>1, 1< к « N.

Определение 3.3. Обобщенным решением задачи (3.4)-(3.5) при фиксированном управлении назнваатся функция 1 (О^) )н со Следом на Гт равным нулю пространства кк и ■ удовлетворявшая для почти всех (хД )«(&,, включению

- 1л(хД)+В7(х,1;)« где .....Цк^Цх^)). Щх^МВ^х,*),....

В^х.Ю), ¿¡¡<х,1,я)~ е% со (у|у=в(х,1;,г), !а-я|н< е> -

овнцукливашю функции ш переменной V, { |н г- евклидова

норма в ен.

Пусть и^С В - множество допустимых управлений для системы (3.4)-(3.5). Как и в вботракном случае, упорядоченных пару (V,*) . будем называть допустимый для системы (3,4)-(3,Б), еслч у«1/В(1, а V - какое лцбо обобщенное решение задачи (3.4)-(3.5),• соответст-ствувдэв управлению v. На множестве Б всех допустимых пар "управ-' ление - состояние"'для системы (3.4)-(3.5) функции стоимости J задается формулой (3.2), в которой Ъ функциональное' банахово пространство на содержащее функции из (И®*1 (С^) )ы со следом на Гт равны нулю пространства к1*. постоянные А, к, 1 • положительные, Рассматривается задача нахождения пар]

(и,2)<0, удовлетворяющей равенству (3.3). Теорема 3.1. Предположим, что

1) пространство управлений и рефлексивно, а - слабо аамкнутое подмножество В;

2)функция в:0Езкп-«п борелева (вюйо) и для почта всех (х, <;)«<!,, |б(х^,1»)|ы < а|«г|§-4 Ь(х,г) У»««11,

гдэ а - положительная постоянная, 1 < р < 2 + 4/n, b«Lq(QT), q=p/(p-1); t

3) оператор В=(В1,... .BjjJrüiKlqCQj))1* - линейный и ограниченный;

4) либо 1< р « 2, либо 2 < р < 2 + 4/п и для почти всех (x.t)«^ (g(x,t,w),w)K > k|w|£ + к, (x.t)!»^"^ к^х,t) Vw«RH, постоянная к положительная, 0<ч<р, Ц*1^/-^^)» ^«^(Qj.), (.,.)н-скалярноа произведение в

5 подпространство функций (W^'VQ-jj)11 со следом на Гт, равнтгм нулю,непрерывно вложено в Z, а Z непрерывно вложено в (Ьр (Q^,) jN (Z - банахово пространство, фигурирующее в определении функция стоимости J).

Тогда для любого v<U задача (3.4)-(3.5) пмеет обобщенное решение; прянэдлекащее (Ti^'1 (Qj) )н, и существует допустимая пара "управление - состояние" для системы (3.4)-(3.б), удовлетво^лщая равенству(З.З).

публикации* по тшз диссертации ?

а) статьи

1) Павленко В.Н. Ks линейные уравнения с разрывными операторам в банаховых пространствах. // Укр.маг. зурн. -197Э. -T.3I, Ü 5.

, -С.56Э-572. ' .

2) Павленко В.Н. Существование решений нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами. // Укр.мат. нурн. -1981 -Т.33, JS 4. -С.547-551.

3) Павленко В.Н. Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенцнальныш операторами. // Дшйвренц. уравнения. -1988. -Т.24, JS 8. -С.1397-1402.

4) Павленко В.Н. О существовании шлуправильных решений задачи Дирихле душ квазилинейных уравнений эллиптического типа. //

Укр.мат.журн. -1989. -T.41, fi 12. -C.I659-I664.

5) Павленко В.H. Полуправильные решения эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностями. // Укр.мат. цурн. -19Э1. -Т.43, J6 2. -С.230-235.

6) Павленко В.Е. О существовании, годуправилъшх решений первой краевой задачи для уравнения-параболического типа с разрывной немонотонной нелинейностью. // ДиЕференц. уравнения. -1991. -Т.27, Я 3. -0.520-526.

7) Павленко В.Н. Ыетод монотонных операторов для уравнений с • разрывными нелинейностями. // Изв. вузов. Математика. -1991.

-J6 6. -0. 38-44.

8) Павленко В.Н. Эллиптические вариационные неравенства с разрывными полумонотонными операторами. // Вестн. Челябинского ун-та. Математика, Механика. -I99I. —16 I. -С.29-37Г

9) Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений а разрывными операторами. // Сиб.мат. хурн. -1992. -Т.ЗЗ, » 3. -0.216 Деп. ВИНИТИ sa J6 277S-B9I.

10) Павленко В.Н. О разрешимости вариационных неравенств .о разрывными прлумонотоннными операторами. // Укр.мат. хурн. -1993. -Т.45, * 3- -С.443-447. ""Г •

11) Павленко В.Н. Ыетод монотонных операторов в задачах управления распределенными системами вллшштгеского типа с разрывными нелинейностями. // Изв. вузов. Математика. -1993. -Л 8 -С.49-54.

12) Павленко . В.Н. Об одном классе - задач управления распределенными системами парвболичесжого типа о разрывными аапшвйностями. // Известия РАН. Техническая кибернетике. -1994. -Л 4. -С.204-209.

13) Павленко В.Н- Вариационный катод дхв уравнений с рязрншжи операторами. // Веотя. Челябинского ун-та. Математике, liera-

ника. -1994. -J5 1(2). -С.87-95.

14) Павленко В.Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями. //Укр. мат. ¡курн. -1ЭЭ4. -Т.46, й 6.

15) Павленко В.Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями. // Диффаренц. уравнения. -1995. -* 9 (в печати). Деп. ВИНИТИ за Д 769-В95.

б) тезисы докладов

16) Павленко В.Н; Об одном классе задач управления распределенными системами с разрывными нелинейностями. //Тезисы докладов весенней Воронежской математической школы "Понтрягинскпе чтения - IV" Воронег, 1993.

17) Павленко В.Н. Об одном классе задач управления распределенными системами параболического тппа с разрывными нелинейностями. // Тезисн докладов 2^йкдународного 'семинара "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" Челябинск, 1993.

18) Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений, эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // УЫН. -1994.- -Т.49 , Л 4 -С.138. -

19) Павленко В.Н. Об одной бифуркационной задаче для уравнения эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // Тезисн докладов весенней Воронежской математической школы. "Понтря-гинские чтения - V" Вороне*, 1994.

Зак.426 от I8.C6.9br. тир.00 Ротапринт ЧОКГС