Резонансные краевые задачи и вариационные неравенства эллиптического типа с разрывными нелинейностями без условия Ландесмана-Лазера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Чиж Екатерина Александровна

УДК 517.95

РЕЗОНАНСНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА С РАЗРЫВНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ БЕЗ УСЛОВИЯ ЛАНДЕСМАНА-ЛАЗЕРА

01.01.02. — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ - 2005

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре вычислительной математики

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Павленко доктор физико-математических наук, доцент А.Р. Данилин доктор физико-математических наук, профессор М.М. Кипнис Южно-Уральский государственный университет

Защита состоится " .?."Mh^tf^.. 2005 года в ч. Qyмин. на заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу: 620083, Екатеринбург, просп. Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Автореферат разослан "ifl."..уШ^...... 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

В.Г. Пименов

19'bJL

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. Диссертация посвящена изучению резонансных уравнений и вариационных неравенств эллиптического типа с разрывными нелинейностями.

Пусть U - ограниченная область в Мт с границей öil класса С2'", 0 < р < 1,

т q

Au{x) = ~Yldx +

г,з=1 г 3

- равномерно эллиптический дифференциальный оператор на с коэффициентами atJ € СХ'М(П), аг:(х) = a_,i(:c) на il (1 < i,j < т), ао € C0,M(fi), ао (ж) > 0 на f2. Всюду в диссертации Aj- наименьшее собственное значение оператора А с граничным условием ujan = 0.

Основные результаты диссертации относятся к проблеме существования сильных и полуправильных решений следующих резонансных задач:

1. Задача Дирихле

Аи(х) - /(х, и) = h(x), х € fi (0.2)

и\оа = 0, (0.3)

где h G L9(fi), q> т, нелинейность / имеет вид:

/(х,£) = Ai£ — g(x,£) V х € Q, V £ € R. Функция g удовлетворяет

следующим ограничениям:

(gl) J : fi х R 1 борелева (mod О)1, т.е. существует бореле-ва функция g : Г2 х R —> R, которая отличается от g лишь на подмножестве I с fi х К, проекция которого на П имеет меру нуль;

(g2) для почти всех х £ fi функция д(х, •) может иметь на К разрывы только первого рода, д{х,£) 6 [c/_(x,£),5+(z,£)] € гДе

д-(х,£) = liminfö(x,77), д+(х,£) = lim sup g(:r, 77);

'Красносельский M.A., Покровский A.B. Системы с гистерезисом - М.: Наука, 1983.- 272с

ЮС. НАЦИОНАЛ ЬНАЯ !

»иБлиотекА J

СПспрвде Цл /

о» ттт/'*- *

(дЗ) существуют константа С\ > 0 и функция Съ е (д > т)

такие, что |д(х,£)1 ^ 1£1 + С2(х) V £ € К и п. в. х € П.

Сильным решением задачи (0.2)-(0.3) называется функция

о

и € ЛУд(Г1)П (П), удовлетворяющая для почти всех х € П уравнению (0.2). Сильное решение и задачи (0.2)-(0.3) называют полупра-вилъным, если для почти всех ¡с 6 П значения и(х) является точкой непрерывности сечения /(ж, •).

2. Задача о вариационном неравенстве. Пусть множество К задается следующим образом:

о

К = {v eWj (П) | v(x) > ip(x) почти всюду на Q},

где ■ф € С2(П), V|an < 0. Требуется найти функцию и€ К такую, что при любом V £ К

/ at}(x)uXt(v — u)X]dx + / (ао{х) — Ai)u(x)(v — u)(x)dx+

+ Jp(x, u){v - u)(x)dx > 0, (0.4)

n

где a,j(x) (1 < i,j < m) и ao(x) - коэффициенты равномерно эллиптического дифференциального оператора А, задаваемого равенством (0.1); нелинейность р(х, £) удовлетворяет следующим условиям:

(pi) р : D R - борелева (mod 0), где D = {(х, f) G ü х R | f > ф(х)};

(р2) для почти всех х G О функция р(х, £) может иметь на [ф(х), +оо) разрывы только первого рода, непрерывна при £ = тр(х) и

р(х,0 € ¡р-(х,0,Р+(х,0] Vi 6 [V>(x),+oo), где р~(х,0 = liminf p(x,Tj), р+ (ж,£) = limsupp(x,T?);

(рЗ) В С € L9(S2) (q > m) такал, что \р{х, £)| < С(х) для п. в. х € fi и

Vie №(*),+<*$- ^ •

Функция и £ К, удовлетворяющая (0.4) при любом v е К называется сильным решением (0.4).

Актуальность темы. В последние годы наблюдается большой интерес к исследованию краевых задач с разрывными нелинейностя-ми. Это продиктовано потребностями гидродинамики, теплофизики и других наук, где появился ряд прикладных задач, математические модели которых содержат разрывные нелинейности, с одной стороны, и внутренними потребностями развития теории нелинейных уравнений в частных производных с другой. Необходимость разработки теории краевых задач с разрывными по фазовой переменной нелинейностями была отмечена еще в 1967 г. в совместной монографии2 O.A. Ладыженской, В.А. Солонникова и H.H. Уральцевой. Интенсивное изучение таких задач началось в 70-ые годы прошлого столетия. Важные результаты о разрешимости краевых задач для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями были получены в работах М.А. Красносельского и A.B. Покровского, К.-С. Chang, С.A. Stuart и J.F. Toland, В.Н. Павленко и других авторов, при этом исследовался так называемый нерезонансный случай, когда рассматриваемая задача (0.2)-(0.3) имеет решение при любой правой части h € L9(f2). В 70-ые же годы появились первые работы, посвященные изучению задачи (0.2)-(0.3) с непрерывной по £ нелинейностью в резонансном случае. При этом под резонансом понималась ситуация, когда существует предел lim f(x, £)/£, который почти всюду на fi совпадает с Iii—с»

одним из собственных значений А* оператора А с граничным условием (0.3).

Систематическое исследование резонансных краевых задач эллиптического типа началось с основополагающей работы3 Е. Ландесмана и А. Лазера в 1970 г. В этой работе для разрешимости задачи (0.2)-(0.3) на функции / и h впервые было наложено ограничение, которое впоследствии стали называть условием Ландесмана-Лазера. В дальнейшем появилось большое число статей о существовании решений

2Ладыженская О А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа - М.: Наука, 1967. - 736с.

3Landesman Е., Lazer A. Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary value problems at resonance // J.Math, and Mech. - 1970. - V.19, N3. - P.609-623.

резонансных эллиптических краевых задач, в которых авторы накладывали на нелинейность и правую часть уравнения неравенства типа Ландесмана-Лазера или условия их обобщающие. Укажем, например, на работы P. Rabinowitz, A. Ambrosetti, G. Mancini, Н. Berestycki и D.G. de Figueiredo для уравнений с непрерывными или гладкими нелинейностями, и на работы P.J. МсКеппа, N. Basile, М. Mininni, I. Massabo, К.-С. Chang, В.Н. Павленко и В.В. Винокура для уравнений с разрывными нелинейностями. Сформулируем условия типа Ландесмана-Лазера, в предположении, что нелинейность f в уравнении (0.2) задается равенством: f{x,£) = Aif — д(х, £), где функция д удовлетворяет условиям (gl)-(g3) и существуют

д+{х) = lim д(х,£), 9~(х) = lim д(х,£).

£—f+oo (—t—oo

В этом случае условия типа Ландесмана-Лазера имеют вид: функции д и h удовлетворяют либо неравенству

I g+(x)<f(x)dx < / h(x)tp(x)dx < I g~(x)<p(x)dx, (0.5)

Jci Jn Jn

либо неравенству

/ g~(x)tp(x)dx < / h(x)ip(x)dx < / g+ (x)(p(x)dx (0.6)

Jet Jn Jn

где ip - произвольная положительная собственная функция, соответствующая Аь

Изучению некоэрцитивных вариационных неравенств с непрерывными и многозначными нелинейностями также посвящено значительное число работ. Укажем на статью S. Adly, D. Goeleven и М. Thera4, где приводится достаточно полная библиография по этой тематике. В этой же работе получены теоремы существования для некоэрцитивных вариационных неравенств в операторном виде, которые затем применяются для исследования разрешимости эллиптических уравнений и вариационных неравенств с непрерывными нелинейностями в

4Adly S., Goeleven D. and Thera M. Recession mappings and noncoercive variational inequalities // Nonlinear Anal.-1996.-V. 26, N9.-P. 1573-1603.

резонансном случае (устанавливаются результаты типа Ландесмана-Лазера).

Значительный интерес представляют резонансные краевые задачи и вариационные неравенства эллиптического типа, для которых не выполняются ни условия Ландесмана-Лазера, ни их известные обобщения. Исследованию задачи (0.2)-(0.3) в этом случае посвящены, например, работы D. G. de Figueiredo и W. М. Ni5, R. Iannacci, M.N. Nkashama и J.R. Ward6 , J.-P. Gossez и P. Omari7 и других авторов. В перечисленных работах относительно нелинейности f(x, £) в задаче (0.2)-(0.3) предполагается, что f(x, £) = Ai£ — д(х, £), где д - каратео-дориева функция (т.е. д(х, £) измерима на Q при любом фиксированном непрерывна по £ при почти всех х G П), удовлетворяющая условию (g3). Условия Ландесмана-Лазера заменяются в них следующими ограничениями:

1. либо

О V£ € К и п.в. х € П, (0.7)

либо

• £ > 0 V £ G R и п.в. X е £1; (0.8)

2. функция h удовлетворяет "условию ортогональности":

' / fupdx = 0, (0.9)

J а.

для произвольной собственной функции <f(x) дифференциального оператора А с граничным условием (0.3), соответствующей Ai. Проблема же существования сильных и полуправильных решений резонансной задачи (0.2)-(0.3) и вариационного неравенства (0.4) в ситуации, когда условия типа Ландесмана-Лазера и их обобщения не выполняются, а нелинейность разрывна по фазовой переменной мало изучена. В связи

5D.G. de Figueiredo, W.N. Ni. Perturbations of second order linear elliptic problems by nonlinearities without Landesman-Lazer condition // Nonlinear Anal. TMA -1979-V.3.-P. 629-634.

6Iannacci R., Nkashama M.N , Ward J.R. Nonlinear second order elliptic partial differential equations at resonance // Trans. Am. Math. Soc.-1989-v.311,N2-P.711-726.

7Gossez J -P , Omari P. Non-ordered lower and upper solutions in semilinear elliptic problems // Comm. P.D.E. - 1994. - v.19, N 7-8. - P. 1163-1184.

с этим получение новых условий разрешимости таких задач является актуальным.

Цель работы. Получение новых теорем существования для резонансных краевых задач и вариационных неравенств эллиптического типа с разрывными нелинейностями в ситуации, когда не выполняются ни условия Ландесмана-Лазера, ни их известные обобщения.

Методы исследования. В диссертации к рассматриваемому классу задач применяется теория топологической степени для многозначных компактных векторных полей и вариационный метод; используются методы и результаты теории уравнений с частными производными, теории функций и нелинейного функционального анализа.

Научная новизна. В работе получены новые теоремы существования сильных и полуправильных решений задачи (0.2)-(0.3) и сильных решений вариационного неравенства (0.4) с разрывными нелинейностями в резонансном случае.

По сравнению с близкими работами В.Н. Павленко и В.В. Винокура8'9 для резонансной задачи (0.2)-(0.3) с разрывной нелинейностью в диссертации не предполагается выполнение неравенств Ландесмана-Лазера и условий, обобщающих их. Кроме того, полученные в диссертации теоремы усиливают указанные результаты D. G. de Figueiredo и W. М. Ni, R. Iannacci, M.N. Nkashama и J.R. Ward, J.-P. Gossez и P. Omari в случае, когда неравенства Ландесмана-Лазера и их обобщения не выполняются, по трем направлениям :

1. непрерывность нелинейности д по фазовой переменной не предполагается;

2. не требуется выполнения "условия ортогональности"(0.9);

3. нелинейность д(х,£) не обязана менять знак при переходе через точку £ = 0 при п.в. х € Г2, как это требуется в условиях (0.7) и (0.8).

Таким образом, даже для случая непрерывной по £ нелинейности доказанные в диссертации теоремы являются новыми.

8Павленко В.Н., Винокур В.В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Известия вузов. Математика - 2001. - N 5. - С. 43-58

9Павленко В.Н., Винокур В.В. Теоремы существования для уравнений с некоэрцитивными разрывными операторами // Укр. матем журн - 2002. - т. 54 - N 3. - С. 349-363.

Для вариационного неравенства (0.4) в резонансном случае по сравнению с работами других авторов не предполагается непрерывность нелинейности по фазовой переменной, а также выполнения неравенств типа Ландесмана-Лазера.

Практическая значимость. Основные результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Полученные результаты могут быть применены для исследования известных и новых классов эллиптических резонансных краевых задач с разрывными нелинейно-стями.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались и обсуждались на XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова в Москве (2000 г.), на летних научных школах им. С.Б. Стечкина в Миассе (2000, 2001, 2003 и 2004 гг.), на VII конференции, посвященной памяти академика А.Н. Тихонова в связи с 95-летием со дня рождения в Москве (2001 г.), на XXIV Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова в Москве (2001 г.), на Всероссийских научных конференциях в Екатеринбурге(2001 г. и 2004 г.), на Международной конференции "Nonlinear partial differential equations'^ Алуште (2003 г.), на XII Саратовской зимней школе (2004 г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[14], список которых приводится в конце автореферата. В совместных работах научному руководителю В.Н. Павленко принадлежат постановки задач, диссертанту - доказательства основных результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа содержит 118 страниц, включая библиографический список из 88 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится постановка задачи, обоснование ее актуальности, сделан краткий обзор результатов, полученных другими авто-

рами в данной области. Излагаются основные результаты диссертации и приводится сравнительный анализ их новизны.

В первой главе приводятся необходимые сведения из теории топологической степени для многозначных компактных векторных полей, о вариационном методе для уравнений с разрывными операторами, напоминаются понятие секвенциального замыкания для локально ограниченного оператора и определения функциональных пространств, встречающихся в работе.

Вторая глава содержит шесть параграфов.

В первом параграфе приводятся вспомогательные леммы, в том числе, о свойствах решений задачи

Аи{х) — А\и(х) +р+(х)и+(х) — р-(х)и~(х) = 0, i S П и\дп = О,

где р±- функции из L9(Q), удовлетворяющие определенным ограничениям на рост, а м+(х) = тах{и(х),0}, и~(х) = тах{—и(х),0}. Данные леммы используются затем в пятом параграфе этой главы при доказательстве основных результатов.

Во втором параграфе приводится постановка эллиптической крае-

вой задачи (0.2)- (0.3) с разрывной нелинейностью, вводятся основные определения и обозначения.

Определение. Говорят, что нелинейность j:í]xR-+Mb уравнении (0.2) удовлетворяет сильному (А)-условию (сильному (А1)~ условию), если существует не более чем счетное семейство поверхностей {St, г е /}, 5, = {(х,0 € П х R | £ = фг(х)}, фг 6 W?floc(íl) таких, что для почти всех х £ Q неравенство д+(х,£) ф д~(х,£) влечет существование i € I, для которого точка (х, £) G 5, и

(Ьфг(х) + д- (®, фг(х)) - h(x)) (Ьфг(х) + д+(х, фг(х)) - h(x)) > 0

(либо (Ьфг(х) + д..(х,фt(x)) - К(х))(Ьфг(х) +д+(х,фг(х)) - h(x)) > 0, либо Ьфг{х) + д(х,фг{х)) — h(x) соответственно ).

Здесь Lu — Аи—Aiu, g_(a;,£) = liminf g(x, 77), 5+(а;,£) = ]imsupg(x,r¡).

T}-( г,-.?

Обозначим fii = Qi(ri) = {ж е il | d(x,dSi) < n}, &SI2 = где r\ - некоторое положительное число, a с*Л)- расстояние от точки з; до границы 9Q в Rm.

Определение. Будем говорить, что для нелинейности д и функции h в уравнении (0.2) выполнено условие (ghl) ( условие (gh2) ), если существуют числа г\ > 0 и г2 > 0 такие, что верно неравенство

/supg(x,£)tp(x)dx + / sup д(х,£)ip(x)dx < / h(x)<p(x)dx <

f<o J (<-r2 Jo.

fJi n2

< / inf g(x, £)(p(x)dx + / inf g(x, £)tp(x)dx J «>0 J i>r2

П1 Sl2

( I supg(x, £)ip(x)dx + / sup g(x, £)<p(x)dx < I h(x)ip(x)dx < V i>0 J £>r2 Jn

fii П2

< / inf g(x, £)<p{x)dx + / inf g(x,£)(p{x)dx), J i<0 J i<-r2 /

fil П2

где <p{x) - произвольная положительная собственная функция дифференциального оператора А с граничным условием и\эп = 0, соответствующая Ai.

Определение. Обобщенным решением задачи (0.2)-(0.3) будем

о

называть функцию и € W^(ft)n W* (П), удовлетворяющую для почти всех х € включению

-Аи(х) + Aiu(x) + h(x) е [д_(х,и(х)),g+(x,u(x))}.

В третьем параграфе формулируются теоремы существования для

резонансной задачи (0.2)-(0.3) с разрывной нелинейностью. Первая тебрема охватывает случай резонанса слева от Ai: Теорема 2.3.1. Предположим, что

1. функция д(х,£) удовлетворяет условиям (gl)- (g3);

2. liminf > 0 п. в. на П;

f-*±oo « ~

3. для функций g и h £ L9(Q) (q > m) выполнено условие (ghl).

Тогда задана (0.2)-(0.3) имеет обобщенное решение. Это решение является сильным (полуправильным), если дополнительно для уравнения (0.2) выполнено сильное (AI)-условие ( сильное (А)-условие).

Остальные две теоремы и следствие относятся к случаю резонанса справа от Ац. Приведем формулировку одного из этих результатов.

Теорема 2.3.2. Предположим, что

1. функция д(х,£) удовлетворяет условиям (gl)- (g3) и lim sup si&Sl < о п. в. на £2;

€-±оо 4

2. (нерезонансное условие для Х2) существуют функции Г± € L9(fi) (q > т) такие, что для п. в. х Е Q имеют место неравенства О < Г±(х) < а = А2 - Аь liminf > -Г±(х) и

I (a-T+(x))w2{x)dx + I (a-T-(x))w2(x)dx>0, Jw>0 Jw<0

где w{x) - произвольная собственная функция оператора А с граничным условием (0.3), соответствующая второму собственному значению Аг-

3. для функций g и h £ L4(fl) (q > т) выполнено условие (gh2).

Тогда задача (0.2)-(0.3) имеет обобщенное решение. Это решение является сильным (полуправильным), если дополнительно для уравнения (0.2) выполнено сильное (AI)-условие (сильное (А)-условие).

В четвертом параграфе второй главы приводится операторная по-

становка задачи (0.2)-(0.3). Для этого рассматривается Е - банахово пространство функций из C'(fi), равных нулю на д£1, фиксируется V - произвольное действительное число такое, что Ai + v не принадлежит спектру оператора А с граничным условием (0.3) и строится вспомогательное многозначное отображение неподвижные точки которого являются обобщенными решениями задачи (0.2)-(0.3). Далее, используя свойства топологической степени многозначных векторных полей показывается, что для доказательства существования

обобщенного решения задачи (0.2)-(0.3) достаточно установить равномерную по t € [0,1] ограниченность в Е решений включений

-Au(x)+Xiu(x)+(l-t)vu(x)+th(x) € t[g-{x,u(x)),g+(x,u(x))) (0.10)

для почти всех х € SI. Кроме того, в четвертом параграфе показывается, что при выполнении сильного (А1)-условия любое обобщенное решение задачи (0.2)-(0.3) является сильным решением, а при выполнении сильного (А)-условия - полуправильным.

Пятый параграф посвящен доказательству теорем 2.3.1 - 2.3.3. Доказательства проводятся методом от противного: предполагая наличие неограниченной последовательности решений семейства включений (0.10), мы приходим к противоречию с условиями теорем.

В шестом параграфе приводятся примеры резонансных эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями, иллюстрирующие отличия результатов, полученных во второй главе диссертации, от результатов типа Ландесмана-Лазера и от упомянутых работ D. G. de Figueiredo и W. М. Ni, R. Iannacci, M.N. Nkashama и J.R. Ward, J.-P. Gossez и P. Omari.

Третья глава диссертации посвящена резонансным эллиптическим вариационным неравенствам с разрывными нелинейностями. В диссертации используется следующий подход к доказательству существования сильного решения (0.4): исходное вариационное неравенство (0.4) заменяется резонансной эллиптической краевой задачей с разрывной нелинейностью, каждое сильное решение которой является решением (0.4). Такая схема сведения вариационного неравенства к краевой задаче впервые была применена К.-С. Chang10 для классической задачи с препятствием. Отметим, что для полученной при таком переходе эллиптической краевой задачи имеет место резонанс слева от Aj и, следовательно, ее разрешимость можно установить с помощью теоремы 2.3.1. Именно таким способом доказываются первые две теоремы данной главы (теоремы 3.1.1 и 3.1.2) о существовании сильного решения вариационного неравенства (0.4). Однако, непосредственное применение к полученной эллиптической краевой

10Chang К.-С. Free boundary problems and the set-valued mappings // J. Different. Equat. - 1983. - V.49. - P. 1-28.

задаче метода регуляризации в сочетании с вариационным подходом позволяет установить существование сильного решения данной задачи при более слабых ограничениях. Такой способ применяется при доказательстве теоремы 3.1.3.

В первом параграфе приводится постановка задачи (0.4) и форму-

лируются 3 теоремы о существовании ее решения, вводятся основные определения и обозначения.

Определение. Говорят, что нелинейность р : И —► К по отношению к оператору Ьи = Аи — А] и удовлетворяет сильному (А1)-условию, если существует не более чем счетное семейство поверхностей {5г, г е /}, = {(я,£) € И | £ = Фг(х)}, А € таких, что для почти всех х € П неравенство р+(х,£) ф р- (х, £) влечет существование г € /, для которого точка (х, £) € и либо

(Ьфг(х) + р-(х,фг(х)))(Ьфг(х) + р+(х,фг(х))) > 0, либо Ьфг{х) + р(х, ф,{х)) = 0.

Обозначим, как и раньше, = ^(п) = {х € П ] <1(х,дО) < гх}, а Ог = (О \ где Г1 - некоторое положительное число, а х, ¿Ю)-расстояние от точки х до границы дО. в

Пусть М\ — вир \'ф(х)\, где ф - функция, фигурирующая в опре-п

делении множества К (см. стр. 4). Заметим, что такая константа М\ существует, так как ф € С2(П). Приведем формулировку наиболее интересного из полученных в третьей главе результатов.

Теорема 3.1.3. Предположим, что

1. выполнены условия (р1)—(рЗ);

2. нелинейность р(х,£) по отношению к оператору / Ьи — Аи — Аги удовлетворяет сильному (А1)- условию;

3. существуют числа > 0 и Г2> М\ такие, что >

(a) ф(х) < 0 для любого х е Г^;

(b) выполняется неравенство

/т{р{х,£)<р{х)д,х + / т£ р(х,£)(р(х)с1х > 0, (0.11) €>о J {>Г2

П1 • п2

где <р(х)~ произвольная положительная в П собственная функция оператора А с граничным условием (0.3), соответствующая Ai.

Тогда существует сильное решение и вариационного неравенства (0-4), причем и €

Во втором параграфе вариационному неравенству (0.4) ставится в соответствие задача

Au + G(x,u) =0, х 6 П (0.12)

«|вп = 0, (0.13)

где

, [mini

Аф{х), р(х, ip(x)) - Хгф(х)}, при £ < 4>(х), О - Ы, при S > Тр(х)

и доказываются вспомогательные леммы, в том числе о том, что сильное решение задачи (0.12)-(0.13) является решением исходного неравенства.

В третьем параграфе приведены доказательства теорем 3.1.1 и 3.1.2, которые заключаются в проверке выполнения условий теоремы 2.3.1 для резонансной краевой задачи (0.12)-(0.13).

Четвертый параграф посвящен доказательству теоремы 3.1.3. Здесь с помощью непосредственного применения метода регуляризации и вариационного подхода устанавливается, что задача (0.12)-(0.13) при наложенных в теореме 3.1.3 ограничениях имеет сильное решение.

В пятом параграфе приводится пример резонансного вариацион-

ного неравенства эллиптического типа с разрывной нелинейностью, для которого не выполняется условие Ландесмана-Лазера, но верны все условия теоремы 3.1.3.

В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору В.Н. Павленко, за постановку задач и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации

[1] Павленко В.Н., Чиж Е.А. Задача Дирихле для уравнения эллиптического типа с разрывной нелинейностью без условия Лан-десмана -Лазера // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках: Тез. докл. Воронежского зимнего симпозиума, посвящ. памяти М. А. Красносельского.- Воронеж: ВГУ, 2000. - С. 170.

[2] Павленко В.Н., Чиж Е.А. Слабо нелинейные операторные уравнения с разрывными нелинейностями // Дифференциальные и интегральные уравнения: Тез. докл. Междунар. конф. - Одесса: Астропринт, 2000. - С. 213.

[3] Павленко В.Н., Чиж Е.А. Регуляризация для уравнений с разрывными операторами / / Обратные и некорректно поставленные задачи: Тез. докл. конф., посвящ. 95-летию со дня рождения А. Н. Тихонова. - Москва: МАКС Пресс, 2001. - С. 66.

[4] Павленко В.Н., Чиж Е.А. Регуляризация для уравнений с разрывными операторами // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. - Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001. - С. 50-51.

[5] Павленко В.Н., Чиж Е.А. Задача Дирихле для уравнения Лапласа с разрывной нелинейностью без условия Ландесмана -Лазера // Вестник Челяб. гос. ун-та. - Сер. 3. Математика. Механика. Информатика. - 2002. - №1(6). - С. 120-126.

[6] Павленко В.Н., Чиж Е.А. Регуляризация для уравнений с разрывными некоэрцитивными операторами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. - Сер. 3. Математика. Механика. Информатика. - 2003. -№3(9). - С. 111-123.

[7] Pavlenko V., Chizh E. Elliptic boundary value problems at strong resonance with discontinuous nonlinearities // Nonlinear partial differential equations: Abstracts of International Conference -Alushta, 2003. - P. 155 -156.

[8j Павленко B.H., Чиж E.A. Сильно резонансные эллиптические вариационные неравенства с разрывными нелинейностями // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 12-й Саратовской зимней школы - Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2004. - С. 196-197.

[9] Павленко В.Н., Чиж Е.А. О разрешимости некоэрцитивных эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностями // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. -Екатеринбург, 2004. - С. 205-206.

[10] Павленко В.Н., Чиж Е.А. Теорема существования для одного класса сильно резонансных краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. - 2005. - Т. 57, JV> 1. - С. 102-110.

[11] Чиж Е.А. Задача Дирихле для уравнения Лапласа с разрывной нелинейностью без условия Ландесмана-Лазера. - В кн.: Труды XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. - Москва: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2001. - С. 186189.

[12] Чиж Е.А. О разрешимости уравнения с разрывным некоэрцитивным оператором. - В кн.: Труды XXIV Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. - Москва: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2002. - С. 187-189.

[13] Чиж Е.А. Регуляризация для уравнений с разрывными некоэрцитивными операторами // Конкурс грантов студентов, аспирантов и молодых ученых ВУЗОВ Челябинской области: сборник рефератов научно-исследовательских работ аспирантов - Челябинск: ЮУрГУ, 2003. - С. 16.

[14] Чиж Е.А. Сильно резонансные краевые задачи эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы - Воронеж, 2005. - С. 246-247.

Подписано в печать 0& Формат 60 х 84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ п. . Бесплатно.

ГОУВПО "Челябинский государственный университет" 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

Полиграфический участок Издательского центра Челябинского государственного университета 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 576

V10509

РНБ Русский фонд

2006-4 7942

»

ВВЕДЕНИЕ

1 Предварительные сведения

1.1 Обобщенные производные. Пространства Соболева и теоремы вложения для них.

1.2 Секвенциальное замыкание локально ограниченных операторов и его свойства.

1.3 Топологическая степень для многозначных компактных векторных полей.

1.4 Вариационный метод

2 Резонансные эллиптические краевые задачи с разрывными нелинейностями без условия

Ландесмана-Лазера

2.1 Вспомогательные результаты.

2.2 Постановка задачи и основные определения.

2.3 Формулировка основных результатов.

2.3.1 Резонанс слева от Ai .'.

2.3.2 Резонанс справа от Ai

2.4 Операторная постановка задачи.

2.5 Доказательство основных результатов

2.6 Примеры

3 Эллиптические вариационные неравенства с разрывными нелинейностями в случае резонанса без условия Ландесмана-Лазера

3.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов

3.2 Вспомогательные результаты.

3.3 Доказательство теорем 3.1.1 и 3.1.

3.4 Доказательство теоремы 3.1.3.

3.5 Пример.

Предметом исследования диссертации являются резонансные уравнения и вариационные неравенства эллиптического типа с разрывными нелинейностями.

Пусть Q - ограниченная область в Шт с границей 8Q класса С2'м, О < /х < 1,

- равномерно эллиптический дифференциальный оператор на О (т.е. m существует константа х > 0 такая, что Q>ij(x)£i£j > х\€\2 i,j~ 1

V£ £ Mm, Va; € Г2) с коэффициентами а^ G C1,/Z(f2), ау(гс) = а^(а;) Vz G П (1 < г, j < m), а0 € С°''Х(П), ао(ж) > 0 на Г2. •

Основные результаты диссертации относятся к проблеме существования сильных и полуправильных решений следующих задач:

1. Задача Дирихле

Аи(х) - f(x, и) = h(x), х е Q ' (0.2) и\дп = 0, (0.3) где h Е L9(£2), q > т, а нелинейность / имеет вид:

1Ы) = >ч£-9Ы) УхеП, v^-eR,

Ai- наименьшее собственное значение оператора Л с граничным условием (0.3), функция g удовлетворяет следующим ограничениям: gl) g : Q x R —> R борелева (mod 0) [10], т.е. существует борелева функция g : П x R —> R, которая отличается от g лишь на подмножестве I С Г2 х R, проекция которого на П имеет' меру нуль; g2) для почти всех х € функция •) может иметь разрывы только первого рода и для любого £ € R где = liminf5г(ж,г7), tf+fof) = limsupp(rc, 77); g3) существуют константа Ci > 0 и функция С2 Е Lg(Q) д > т) такие, что для любого £ G R и почти всех х 6 Г2

Обобщенным решением задачи (0.2)—(0.3) будем называть функо цию и £ Wq(Q)fl W2 (Г2), удовлетворяющую для почти всех х 6 Q включению

Аи(х) + Xiu(x) + h(x) G [g~(x, u(x)),g+(x, Сильным решением задачи (0.2)-(0.3) называется функция о и € W;j(f2)n W2 (Q), удовлетворяющая для почти всех xQ.fl уравнению (0.2). Сильное решение и задачи (0.2)-(0.3) называют полуправильным, если для почти всех х G значение и{х) является точкой непрерывности д(х, •).

2. Задача о вариационном неравенстве. Пусть множество К задается следующим образом: о

К = {v EW2 (ft) I v(x) > ф{х) почти всюду на Г2}, где ф £ С2(О), ф\дп < 0. Требуется найти функцию и £ К такую, что при любом v £ К т * р у^ / aij(x)uXi(v - u)Xjdx + (ао(х) — \i)u(x)(v — u)(x)dx+ гЛ=1 fi П

0, (0.4) где ciij{x) (1 < i,j < m) и ao(^) ~ коэффициенты равномерно эллиптического дифференциального оператора Л, задаваемого равенством (0.1), Ai - наименьшее собственное значение оператора А с граничным условием и\оп = 0.'

Пусть /) = {(х,£) £ Q х R | £ > ф(х)}. Предполагается, что нелинейность р(х,£) удовлетворяет следующим условиям: pi) р : D —> R - борелева (mod 0); р2) для почти всех х £ О, функция р(х,£) может иметь на [т/>(о;),+оо) разрывы только первого рода, непрерывна при £ = ф(х) и для любого £ £ [ф(х), +оо)

P(x,0 G [р-(х,£),р+(х,£)], где p-(x,g) = liminf р(х, 77), р+(х, £) = limsupp(:r, 77);

77—>£ . рЗ) существует функция С £ L9(Q) (q > m) такая, что для почти всех х £ и любого £ £ [ф(х), +оо) р(х,0\<С(х).

Функция и £ К, удовлетворяющая (0.4) при любом v £ К называется сильным решением (0.4).

Полуправильные решения были введены М.А. Красносельским и А.В. Покровским в [8] для нелинейных интегральных уравнений и в [9] - для уравнений эллиптического типа второго порядка с разрывной нелинейностью.

Краевые задачи эллиптического типа, содержащие разрывные нелинейности, представляют значительный интерес, поскольку такие задачи возникают как в теоретических исследованиях, так и в многочисленных приложениях. Математические модели ряда задач гидродинамики, теплофизики, электрофизики, связанных с изучег , • нием процессов, меняющихся скачкообразно при некоторых значениях фазовых переменных, приводят к интегральным и дифференциальным уравнениям и вариационным неравенствам с разрывными нелинейностями. К задачам такого типа сводятся, например, математическая модель М.А. Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости [4], математическая модель вихревых колец в идеальной жидкости, рассмотренная M.S. Berger и L.E. Frankel в [59] и задача о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводимость материала при переходе через определенные температуры меняется скачком, изученная H.J. Kuiper в [64] и [65]. В [55] К.-С. Chang предложил для некоторых известных задач со свободной границей (задачи с односторонними препятствиями, о протекании земляной плотины) эквивалентные постановки в виде задачи (0.2)-(0.3). На необходимость исследования распределенных систем с разрывной нелинейностью было указано О.А. Ладыженской, Н.Н. щ Уральцевой, В.А. Солонниковым в их совместной монографии [12] в 1967г. Основы теории эллиптических и параболических краевых задач с разрывными нелинейностями были заложены в докторской диссертации В.Н. Павленко [29], где с единых позиций были осмыс лены имеющиеся на тот момент результаты других авторов в данном направлении и получены новые. Эти исследования далее были продолжены в работах его учеников О.В. Ульяновой [39], В.В. Винокура [2] и Д.К. Потапова [35]. Целью данной диссертации является дальнейшее развитие теории распределенных систем с разрывными нелинейностям, а именно, изучение эллиптических уравнений и вариационных неравенств с разрывными нелинейностями в резонансном случае, когда условия Ландесмана-Лазера [66] могут не выполняться.

Прежде, чем дать краткий обзор результатов, полученных ранее в этой области, приведем ряд замечаний.

Замечание 0.1. Оператор А задаваемый равенством (0.1) с граничным условием (0.3) порождает замкнутый линейный самосоо пряженный оператор в L2(fi) с областью определения W^f^f! W2 (Q) и дискретным спектром, состоящим из собственных значений Xk {к = 1,2,.), причем 0 < Ai < А2 < . < \k < Xk+i < • •• и lim Afc — +00 [3]. к—*+оо

Замечание 0.2. (Свойства собственных функций, соответствующих наименьшему собственному значений) Ai оператора А.) Известно [3], что подпространство решений задачи

Аи(х) = Ai и(х), х еП (0.5) и\дп = 0, (0.6) одномерно, причем, любое ненулевое решение ip этой задачи либо положительно в О, и д(р/дп\дп < 0, (д/дп - производная по внешней нормали к границе 5Q), либо оно отрицательно и д(р/дп\дп > 0.

Для определенности везде далее будем обозначать через </? положительную функцию, удовлетворяющую (0.5)-(0.6).

Всюду ниже будет удобно придерживаться следующих обозначений: запись lim обозначает не один, а два (возможно неравных

-»±оо между собою) предела. Если же мы предполагаем, что предел при —> +оо некоторой функции совпадает с пределом при £ —> — оо, то будем писать lim .

ICI—oo

Коэрцитивные краевые задачи эллиптического типа с непрерывными нелинейностями интенсивно изучались, начиная со второй половины прошлого столетия. Укажем, например, на работы Ф.Е. Браудера [51], М.М. Вайнберга [1], Ж.-Л. Лионса [14] и их учеников. Отметим также работы E.N. Dancer [57], Н. Berestycki и D.G. de Figueiredo [50], J.-P. Gossez и P. Omari [60], посвященные исследованию задачи (0.2)-(0.3) в нерезонансном случае с непрерывной по £ нелинейностью / (при этом под нерезоиансным случаем понимается ситуация, когда задача (0.2)-(0.3) имеет решение при любой правой части h Е L9(Q)). В вышеперечисленных работах были установлены следующие нерезонансные условия:

1. Коэрцитивность оператора задачи (см., например, [1], [14], [51] и другие). Операторная постановка задачи (0.2)-(0.3) приводит к уравнению

Ви + Ти = /г, (0.7)

I t в подходящем банаховом пространстве Е, где В : D(B) С Е —> Е* - линейный замкнутый оператор с плотной в Е областью определения, Т : Е —> Е* - нелинейный ограниченный, h £ Е*. Тогда говорят, что оператор Q = В + Т задачи (0.7) коэрцитивеи, если Qu, и > lim ——п-= +оо.

U&D(B),\[U[\e-*oo

Здесь и далее через < z, х > обозначается значение линейного функционала z £ Е*, на элементе х 6 Е.)

2. Так называемые классические нерезонансные условия Долъфа: (см., например, [60]). Предполагается, что одновременно выполнены следующие неравенства:

Л2 < lim inf < lim sup < Л2 (0.8)

-*±оо £ £->±оо £ почти всюду на Q и

Л! < lim inf ЩО- , lim sup < Л2 (0.9) на множестве ненулевой меры, где Ai и Л2 - первое и второе собственные значения оператора А с граничным условием (0.3).

Таким образом, из неравенства (0.8) следует, что нелинейность f(x, £)/£ асимптотически на бесконечности "лежит" между двумя последовательными собственными значениями Ai и Л2, а из неравенства (0.9), что она должна "соскочить" с них обоих на множестве ненулевой меры.

3. Иные нерезонансные условия получены в [50]: предполагается, что нелинейность / в уравнении (0.2) имеет вид. f(x,€) = — где Ak ~ произвольное собственное значение оператора А с граничным условием (0.3), a g - каратео-дориева функция (т.е. д(х,£) измерима по х на Q, при любом фиксированном £ Е R и непрерывна по £ при почти всех удовлетворяющая условию (g3). Устанавливаются следующие нерезонансные условия: a) существуют функции 7±, Г± € L°°(Q) такие, что почти всюду на Г2

-Г±(о;) < liminf ЩО- < lim sup ЩО- < -7±(я), оо £ »±оо £ и 0 < J±(x) < Г±(х) < а = (Afc+i — Л/;); b) для любого v € Ker(A — A*/) \ {0}' 7+v2dx + / 7-v2dx > 0; (0.10)

Jv>0 Jv<0 c) для любого w £ Кег(А — Л&+11) \ {0}

I (а — I + )w2dx + / (о-Г)Л>0. (0.11)

Jw>0 Jw<0

Здесь А - замкнутый линейный оператор, задаваемый равенством (0.1) и граничным условием (0.3) с плотной в L2(f2) областью определения, I - тождественный, а Кег - ядро соответствующего оператора.

В конце 60-х годов прошлого столетия возник большой интерес к краевым задачам с разрывными нелинейностями, который был продиктован потребностями гидродинамики, теплофизики и других наук, где появился ряд новых прикладных задач, математические модели которых содержали разрывные нелинейности, с одной стороны, и внутренними потребностями развития теории нелинейных уравнений в частных производных с другой. Наиболее общие результаты о разрешимости краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями в нерезонансном случае были получены М.А. Красносельским и А.В. Покровским в [9],[11], К.-С. Chang в

53]—[55], С.A. Stuart и J.F. Toland в [73], В.Н. Павленко в [15]—[26], [28], [29] и другими.

М.А. Красносельский и А.В. Покровский в [9],[11] исследовали вопрос о существовании полуправильных решений задачи (0.2)-(0.3) в нерезонансноц случае в предположении, что функция —f(x,£) удовлетворяет одностороннему условию Липшица по Последнее допускает лишь "прыгающие вверх" разрывы по £ у функции /(ж,£) (неравенство /(#,£—) ^ влечет /(гс,£—) < Через /(#,£—), /(#,£+) обозначаются пределы слева и справа функции /(ж, •) в точки £ соответственно. М.А. Красносельский, А.В. Покровский к исследованию данной задачи применили теоремы о неподвижных точках в полуупорядоченных банаховых пространствах. В [73] С.A. Stuart и J.F. Toland устанавливают'существование сильных решений задачи (0.2)-(0.3) в нерезонансном случае, когда /(#,£) =

I • (т.е. не зависит от х) и имеет ограниченную вариацию на любом отрезке числовой прямой. Этими авторами задача (0.2)-(0.3) изучалась вариационным методом и методом "верхних" и "нижних" решений. К.-С. Chang в [54] для доказательства обобщенных решений задачи (0.2)-(0.3) использовал теорию обобщенных градиентов Ф. Кларка [7]. Кроме того, в [55] к исследованию краевых задач для уравнений в частных производных эллиптического типа с разрывными по фазовой переменной нелинейностями в нерезонансном случае К.-С. Chang применил теорию топологической степени для I многозначных отображений. Им были найдены условия, при выполнении которых обобщенные решения краевой задачи являются сильными решениями. Суть этих ограничений для задачи (0.2)-(0.3) с h = 0 и при дополнительном предположении, что нелинейность / удовлетворяет условию (g2), в следующем:

1) функция /(я, £) удовлетворяет (С') - условию, то есть множество х R | f(x,£—) ^ /(#,£+)} является объединением не более чем счетного семейства поверхностей класса W2.1ос за исключением, быть может, множества, проекция которого на £2 имеет меру нуль, причем, если какие-либо две из этих поверхностей совпадают в некоторой точке, то они совпадают и в некоторой окрестности этой точки;

2) для почти всех х € Q из неравенства /(#,£—) ф /(#,£+) следует, что точка (х,£) лежит на одной из поверхностей в условии (С') и, если v = ф{х) ~ локальное представление этой поверхности вблизи точки (ж, £), то либо Аф £ [/(х:ф(х)), f+(х,гр(х))], либо Аф — /(х,ф(х)) = 0. Заметим, что результаты К.-С. Chang о существовании сильных решений для уравнений эллиптического типа с разрывными по фазовой переменной нелинейностями содержат соответствующие результаты С.A. Stuart и J.F. Toland, но не включают теоремы существования, установленные М.А. Красносельским и А.В. Покров,ским, поскольку в них отсутствуют какие-либо ограничения на структуру множества точек разрыва нелинейности типа (С') - условия. Однако, как уже отмечалось выше, у М.А. Красносельского и А.В. Покровского нелинейность f(x,£) может иметь лишь "прыгающие вверх" разрывы по

Исследованию вопроса разрешимости эллиптических краевых задач с разрывной нелинейностью в нерезонансном случае посвящен ряд работ В.Н. Павленко. В [15]—[18], [20], [22] к изучению этих задач он применил метод монотонных операторов. В этих работах с помощью доказанных общих теорем В.Н. Павленко устанав

I ( ливает существование полуправильного решения задачи (0.2)-(0.3) в предположении, что нелинейность в уравнении (0.2) измерима по х, имеет только "прыгающие вверх" разрывы по фазовой переменной и непрерывна справа по £ на М, а коэффициент ао(х) дифференциального оператора А равен нулю. Вариационному методу исследования разрешимости задачи (0.2)-(0.3) в нерезонансном случае посвящены работы [19], [21], [23], [25], [26], [30] и [31] В.Н. Павленко. В [19] и [21] устанавливаются предложения о разрешимости уравнения Тх — 0 в вещественном банаховом пространстве Е в случае, когда Т : Е —> Е* - квазипотенциальный оператор (т.е. существует функционал / : Е —> Ж. такой, что для любых х,у € Е 1 f(y) — f(x) = f (Т(( 1 — t)x + ty),y — x)dt), при этом не делается о • предположений о монотонности Т. В качестве приложений полученных общих результатов здесь же доказаны теоремы существования полуправильных решений задачи Дирихле для уравнения (0.2) при более слабых, чем в [53] и [55] ограничениях на характер разрывов нелинейности f(x,^).

В начале 70-х годов прошлого столетия появились первые работы, посвященные изучению задачи (0.2)-(0.3) с непрерывной по ^ нелинейностью в резонансном случае. При этом под резонансом по

I • нималась ситуация, когда существует предел lim , (0.12)

К1-00 <£ который почти всюду на Q совпадает с одним из собственных значений А^ оператора А с граничным условием (0.3).- Отметим, что если предел (0.12) не существует, но конечны

К Г . с1Ы) е Г /(S.Q либо liminf———, либо limsup—-—, то к резонансному случаю также относятся следующие ситуации:

1. существует такой номер к £ N, что почти всюду на ft

Xt < liminf , причем хотя бы один из этих пределов (при £ ;-» 4-оо или при —> —оо) п.в. на ft совпадает с Л^ в этой ситуации мы будем говорить о резонансе справа от А&);

2. существует к Е N такое, что почти всюду на ft

Л, > lim sup оо S причем хотя бы один из этих пределов (при £ —► +оо или при —> —оо) п.в. на ft совпадает с А& в этом случае мы будем говорить о резонансе слева от А&).

I •

Систематическое исследование резонансных краевых задач эллиптического типа началось с основополагающей работы Е. Лан-десмана и А. Лазера [G6] в 1970 г. В этой статье был рассмотрен резонанс около собственного значения А, которому соответствует одномерное подпространство собственных функций. Предполагалось, что нелинейность /(#,£) = А£ — д(£), где д - непрерывная, ограниченная на R функция, для которой существуют lim g(£) = g(±oo) и д(+оо) < g(£) < д{—оо) V £ € М. При таких допущениях было показано, что задача (0.2)-(0.3) имеет решение, если h удовлетворя

I , • ет неравенству д(+оо) J ij)(x)dx + д(—оо) J ip{x)dx < J к(х)ф{х)йх < г!>>0 П оо) J ip(x)dx + д{+оо) j (0.13) ф>0 ф<0 где произвольная собственная функция, соответствующая Л, а записи и о означают, интегрирование по множествам {х 6 Q | ± V7^) > 0} соответственно.

В дальнейшем появилось большое число статей о существовании решений резонансных эллиптических краевых задач, в которых авторы накладывали на нелинейность, входящую в уравнение, неравенства типа Дандесмана-Лазера или условия их обобщающие. Укажем, например, на работы S. Ahmad, А.С. Lazer и J.L. Paul [41], Р. Rabinowitz [72], A. Ambrosetti, G. Mancini [46],[47], Н. Berestycki и D.G. de Figueiredo [50], J.-P. Gossez и P. 0mari[60], R.Iannacci и M.N. Nkashama [61], Т. Рунета [36] для уравнений с непрерывными или гладкими нелинейностями и на работы P.J. МсКеппа [70], N. Basile, М. Mininni [49], I. Massabo [69], К.-С. Chang [54] и В.Н. Павленко, В.В. Винокура [32],[33] для уравнений с разрывными нелинейностями. Поскольку тема диссертации тесно связана с неравенствами типа Ландесмана - Лазера, остановимся подробнее на некоторых из

I * этих работ (по мнению автора наиболее интересных для сравнения с результатами диссертации):

1. Результаты типа Ландесмана-Лазера. В [50] Н. Berestycki и D.G. de Figueiredo рассмотрели задачу (0.2)-(0.3) в случае резонанса около первого собственного значения Ai. Они предполагали, что /(rc,£) = Ai£ — д(х,£), где д : Г2 х R —» R. - каратеодориева функция, удовлетворяющая условию (g3) с С2 £ L2(Q). Было показано, что если для функций д и h выполнено неравенство типа Ландесмана-Лазера g+(x)(p(x)dx < / h(x)(p{x)dx < / g~(x)cp(x)dx (0.14)

Jn Jn Jn cp - произвольная положительная собственная функция, соответствующая Ai, см. замечания 0.2, стр. 7) совместно с*нерезонансным условием (0.11) для А2, то задача (0.2)-(0.3) имеет решение. Здесь через д±{х) обозначены следующие пределы: д+{ х) = limsup д(х,£), д~(х) = ИтЫд(х^).

Резонансные краевые задачи эллиптического типа с разрывной нелинейностью рассматривались В.Н. Павленко и В.В. Винокуром в [33]. В этой работе авторы с помощью теории топологической степени для многозначных векторных полей изучают разрешимость операторного уравнения (0.7) в некоэрцитивном случае, при этом допускается, что оператор Т может быть разрывным. Затем полученные общие теоремы применяются к исследованию резонансной задачи

Ьид(х,и(х)) — h(x), х € f2 (0.15)

Bu\dn = 0, (0.16) где L-равномерно эллиптический, не обязательно самосопряженный, дифференциальный оператор на Q с достаточно гладкими коэффициентами, (0.16) - одно из основных краевых условий (либо условие Дирихле, либо условие Неймана, либо третье краевое условие), h Е (q > m), а нелинейность д(х,£) удовлетворяет условиям (gl), (g2) и существует функция с(х) £ такая, что Ф) V£ € R и п.в. ж € а (0.17)

Заметим, что под резонансом в [33] понимается ситуация, когда ядро Ker(L) оператора L с граничным условием (0.16) ненулевое, а нелинейность д ограничена по в силу оценки (0.17). В [33] устанавливаются предложения типа Ландесмана-Лазера о существовании сильных и полуправильных решений для задачи (0.15)-(0.16), при этом ограничения на точки разрыва нелинейности д являются более слабыми по сравнению с ограничениями, накладываемыми в работах [49] и [69].

I •

2. Обобщения условий Ландесмана - Лазера: В [32] В.Н. Павленко и В.В. Винокур с помощью вариационного метода исследуют вопрос существования сильных и полуправильных решений задачи (0.15)—(0.16) в резонансном случае (резонанс понимается в том же смысле, что и в [33]) с разрывной нелинейностью д. Предполагается, что L - самосопряженный, равномерно эллиптический на О, дифференциальный оператор с достаточно гладкими коэффициентами, нелинейность, как и в [33], удовлетворяет условиям (gl), (g2) и ограничена некоторой функцией с(х) Е Lq(Q) при любом £ G 1 и п.в. х е Q. Устанавливаются следующие ограничения, которые, как будет показано далее (см. замечание 0.3, стр. 18), обобщают условия Ландесмана - Лазера в случае одномерности Ker(L): либо либо где и€Кег(Ь),\\и\\—>оо с* /&1 II Gk{u) = (0Л9) u€Ker{L),\\u\\—>оо г гФ) Г

Gh(u) := dx g(x,s)ds— / h(x)u{x)dx. J n Jo JQ

Заметим, что в случае выполнения условия (0.18) В.Н. Павленко и В.В. Винокуру удается ослабить ограничения на точки разрыва нелинейности д по сравнению с требованиями в [33] и [54]. А именно, нет каких-либо дополнительных условий (кроме (g2)) на разрывы д{х,£) по для которых д{х, ) > д(х, £+) ("падающие разрывы").

Отметим также работы [41], [72], [70] и [54], в которых тоже был реализован вариационный подход к исследованию резонансных эллиптических краевых задач. В первых двух работах требуется, чтобы д{х,^) = д(£) была дифференцируема, а' в [70], [54] допускается, что д(х, £) имеет разрывы по второй переменной, однако ограничения на точки разрыва в последних двух работах более сильные, чем в [32].

Замечание 0.3. В [32] указано на связь условий Ландесмана -Лазера с ограничениями (0.18) и (0.19) в случае, когда подпространство Ker(L) одномерно (через ф будем обозначать базисную функцию Ker(L)) и для почти всех х G О. существуют lim д(х,£) = оо д±(х). Предполагается, что д удовлетворяет условиям (gl), (g2) и оценке (0.17). В этом случае условия Ландесмана - Лазера имеют вид: для функции h 6 Lq(ft) выполнено

I , • либо g~ipdx + / g+ipdx < / hipdx < / g+ipdx + / g~ipdx, Л/» о Ji>< о Jci Jrj)> о Л/ко

0.20) либо g+ipdx + / g~ipdx < / hipdx < / g~ipdx + I g+^dx.

Jij)> о Jii>< о Jn Jip>0 Jip< о

0.21)

Тогда неравенство (0.20) (неравенство (0.21)) влечет выполнение условия (0.18) (условия (0.19) соответственно). Обратное, вообще говоря, не верно (см. пример 2.6.1, стр. 77). Таким образом, в рассматриваемом случае условия (0.18) и (0.19) являются более общими, чем неравенства Ландесмана - Лазера (0.20) и (0.21).

Значительный интерес представляют резонансные краевые задачи эллиптического типа, для которых не выполняются ни условия Ландесмана - Лазера (0.20) и (0.21), ни их обобщения (0.18) и (0.19). Вопросу существования сильных и полуправильных решений таких задач с разрывными по фазовой переменной нелинейностями и посвящена вторая глава диссертации. Подобные задачи в случае непрерывной по £ нелинейности рассматривались D. G. de Figueiredo и W.-M. Ni в [58], R. Iannacci, M.N. Nkashama, J.R. Ward в [63], J.-P. Gossez и P. Otnari в [60] и другими. Приведем наиболее интересные (по мнению автора) результаты из перечисленных работ для дальнейшего сравнения с теоремами, полученными во второй главе диссертации.

В [G3] для задачи (0.2)-(0.3) исследуется-резонанс справа от Ai в предположениях, что нелинейность f(x,£) = Ai£ — д(х,£), где д - каратеодориева функция, удовлетворяющая условию (g3). В [63] получен следующий результат:

Теорема 0.1. [63] Пусть

1. для почти всех х из О и любого £ Е R

0;

0.22)

2. (нерезонансное условие для Х2) существуют функции Г± Е L9(Q) такие, что п. в. на Г2

3. функция h G L9(f2) удовлетворяет условию ортогональности: где ср- произвольная собственная функция оператора А с граничным условием (0.3), соответствующая Х\.

Тогда существует сильное решение задачи.(0.2)-(0.3).

Замечание 0.4. Если fQ h<pdx = 0 и ^lim g(x,£) = 0, то условия Ландесмана - Лазера (0.20) и (0.21) не выполняются. Тем не менее, из теоремы 0.1 следует, что решение задачи (0.2)-(0.3) существует, если д(х,£)£ <0 V £ G R и п.в. х G Q (в качестве функций Г±(х) следует взять 0) . .

J.-P. Gossez и P. Omari в [60], используя метод верхних и нижних решений, рассмотрели задачу (0.2)-(0.3) как в нерезонансном случае, так и в случае резонанса около первого собственного значения Ль Авторы предполагали, что нелинейность. f(x, £) = Ai£ — д(х, £), д - каратеодориева функция, удовлетворяющая условию (g3). Отметим, что в ситуации резонанса справа от Ai, когда неравенство Ландесмана-Лазера не выполняется, в [60] получен результат аналогичный теореме 0.1 из [63]. Кроме того, в [60] исследуется резонанс слева от Ai (в. этом случае требуется выполнение условия ортогональности (0.23), неравенство (0.22) заменяется условием д(х, £)£ > 0 V £ G R и п.в. х G П, а выполнение пункта 2) теоремы 0.1 не предполагается).

В диссертации также исследуются резонансные эллиптические вариационные неравенства с разрывной нелинейностью. Абстрактные нерезонансные вариационные неравенства эллиптического типа

0.23) в рефлексивных банаховых пространствах изучались многими авторами. Укажем, например, на монографии Ж.-Л. Лионса [14], Д. Киндерлерера и Г. Стампаккья [6], статью F. Browder , P. Hess [52]. В этих работах предполагается, что нелинейность, входящая в вариационное неравенство либо непрерывна, либо является многозначным слабо полунепрерывным сверху отображением с выпуклыми замкнутыми значениями (см., например, [52]).

Эллиптические вариационные неравенства с разрывными нелинейностями в нерезонансном случае изучались вариационным методом в [19], [21] и методом монотонных операторов в [24]. Однако применительно к неравенствам с дифференциальными операторами в последних трех работах предполагалось, что порядок 2п дифференциального оператора больше размерности пространственной переменной, и значит, исключались дифференциальные операторы

I " второго порядка. В [55] К.-С. Chang предложил для задач с препятствием эквивалентную вариационному неравенству постановку в виде эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью. Такой подход применительно к коэрцитивным эллиптическим вариационным неравенствам с дифференциальными операторами второго порядка и разрывными нелинейностями получил дальнейшее развитие в [29].

Изучению некоэрцитивных вариационных неравенств с непрерывными и многозначными нелинейностями посвящено значительное число работ. Укажем на статью S. Adly, D. Goeleven и М. Thera [40], где приводится достаточно полная библиография по этой тематике. В этой же работе получены теоремы существования для некоэрцитивных вариационных неравенств в операторном виде, которые затем применяются для исследования разрешимости эллиптических уравнений и вариационных неравенств с непрерывными нелинейностями в резонансном случае (устанавливаются результаты типа Ландесмана-Лазера). Кроме того, в [40] рассматривается приложение теории вариационных неравенств к изучению задач с препятствием, об изгибании стержней и других прикладных задач.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 88 наименований. Нумерация теорем, лемм и замечаний своя в каждом параграфе каждой главы; при этом, теорема 3.1.1 означает первую теорему в первом параграфе третьей главы. Полный объём диссертации - 118 страниц.

1. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов - М.: Наука, 1972. - 416с.

2. Винокур В.В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Авто-реф. канд. дис. - Екатеринбург. - 2001.

3. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка М.: Наука, 1989. - 464с.

4. Гольдштик М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // ДАН СССР.-1962. т. 147, N.6.-С. 1310-1313.

5. Иосида К. Функциональный анализ М.: Мир, 1967. - 642с.

6. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения М.: Мир, 1983. - 256с.

7. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ М.: Наука, 1988. - 280с.

8. Красносельский М.А., Покровский А.В. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями // ДАН СССР. -1976. Т.226, N3. - С. 506-509.

9. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом М.: Наука, 1983 - 272с.

10. Красносельский М.А., Покровский А.В. Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностями // ДАН. 1995. -Т.342, N6. - С. 731-734.

11. Ладыженёкая О.А., Солонников В.А., Уральце'ва Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М.: Наука, 1967. - 736с.

12. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа М.: Наука, 1964. - 540с.

13. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач М.: Мир, 1972. - 588с.

14. Павленко В.Н. О разрешимости некоторых нелинейных уравнений с разрывными операторами // ДАН СССР.' 1972. - т.204, N6. - С. 1320-1323.

15. Павленко В.Н. Существование решений у нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами // Вестн. Моск. гос. ун-та. Математика. Механика. 1973. - N6.'- С. 21-29.

16. Павленко В.Н. Нелинейные уравнения с разрывными операторами в банаховых пространствах // Укр. матем. журн. 1979. - т.31, N 5. - С. 569-572.

17. Павленко В.Н. Существование решений нелинейных уравнений с разрывными полумонотонными операторами // Укр. матем. жури. 1981. - т.ЗЗ, N 4. - С. 547-551.i t •

18. Павленко В.Н. Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенциальными операторами // Дифференц. Уравнения. 1988. - Т.24, N8. - С. 1397-1402.

19. Павленко В.Н. О существовании полуправильных решений задачи Дирихле для квазилинейных уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. 1989. -Т.41, N12. - С. 1659-1664!

20. Павленко В.Н. Полуправильные решения эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностями // Укр. матем. журн. 1991. - т.43, N 2. - С. 230-235.

21. Павленко В.Н. Метод монотонных операторов для уравнений с разрывными нелинейностями // Известия вузов. Математика. -1991. N 6. - С. 38-44.

22. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами. // Сиб. мат. жур. 1992. - т. 33, N 3. - С.216. Деп. ВИНИТИ за N2778-B91.» •

23. Павленко В.Н. О разрешимости вариационных неравенств с разрывными полумонотонными операторами // Укр. матем. журн.- 1993. т.45, N 3. - С. 443-447.

24. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами // Вестн. Челяб. ун-та. Математика. Механика.- 1994. N 1(2). - С. 87-95.

25. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений эллиптического типа с разрывной нелинейностью // УМН. 1994. - т. 49, N 1(2). - 138 с.

26. В.Н. Павленко. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями// Укр.'мат. журн.-1994-.-т.46,Ж-С. 729-736.

27. Павленко В.Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 1995. - Т.31, N9. - С.1586-1587. Деп. ВИНИТИ за N769-B95.

28. Павленко В.Н. Уравнения и вариационные неравенства с разрывными нелинейностями Автореф. докт. дис. - Екатеринбург. - 1995.

29. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами. Учебное пособие Челяб. гос. ун-т., 1997г. -75с.

30. Павленко В.Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Вестник Чел-ГУ. Математика. Механика. 1999. - N 2. - С. 56-67.

31. Павленко В.Н., Винокур В.В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Известия вузов. Математика. 2001. - N 5. - С. 43-58.

32. Павленко В.Н., Винокур В.В. Теоремы существования для уравнений с некоэрцитивными разрывными операторами // Укр. ма-тем. журн. 2002. - т. 54, N 3. - С. 349-363.

33. Павленко В.Н., Ульянова О.В. Метод верхних и нижних решений для уравнений параболического типа с разрывными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 2002. - т. 38, N 4. - С. 499-504.

34. Потапов Д.К. Задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями Автореф. канд. дис. - Екатеринбург. - 2002.

35. Рунет Т. Полулинейные эллиптические краевые задачи в резонансе с суперлинейными нелинейностями // Диф. ур.-1998-t.34,N9-C. 1179-1185.

36. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике 3-е изд., перераб. и доп./ Под ред. О.А. Олейник. -М.: Наука-1988. -ЗЗбс.

37. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики М.: Наука, 1966. - 724с.

38. Ульянова О.В. Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными нелинейностями Автореф. канд. дис. - Екатеринбург. - 1999.

39. Adly S., Goeleven D. and Thera M. Recession mappings and noncoercive variational inequalities //Nonlinear Anal.-1996.-V. 26, N9.-P. 1573-1603.

40. Ahmad S., Lazer A.C., Paul J.L. Elementary critical point theory and perturbations of elliptic boundary value problems at resonance // Indiana, Univ. J. 1976. V.25. - P. 933-944. .

41. Amann H. On the number of solutions of nonlinear equations in ordered Banach spaces //J. Funct. Anal. 1972. - V.ll, N 3. - P. 346-384.

42. Amann H. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces // SI AM Review. 1976. - V.18, N 4. -P. 620-709.

43. Amann H. Supersolutions, monotone iterations, and stability //J. Different. Equat. 1976. - V.21, N 2. - P. 363-377.

44. Amann H., Grandall M.G. On some existence theorems for semi-linear elliptic equations // Indiana Univ. Math. J, 1978. - V.27, N 5. - P. 779-790.

45. Ambrosetti A., Mancini G. Existence and multiplicity results for nonlinear elliptic problems with linear part at resonance. The case of simple eigenvalue // J. Different. Equat. 1978, - V.28, N 2. -P.220-245.

46. Ambrosetti A., Mancini G. Theorems of existence and multiplicity for nonlinear elliptic problems with noninvertible linear part // Annali della scuola Normale superiore de Pisa. 1978. - V.5, N 1. - P. 15-28.

47. Arcoya D., Canada A. The dual variational principle and discontinuous elliptic problems with strong resonance at infinity // Nonlin. Anal., TMA 1990. - V.15. - P. 1145-1154.

48. Basile N., Mininni M. Some solvability results for elliptic boundary value problems in resonance at the first eigenvalue withdiscontinuous nonlinearities // Boll. Union Math. Ital., ser. 5. -1980. V.17-B. - P. 1023-1033.

49. Berestycki H., de Figueiredo D.G. Double resonance in semilinear elliptic problems // Comm. Part. Diff. Eq. 1981. - V.6. - P. 91-120.

50. Browder F.E. Existence theorems for nonlinear partial differential equations // Proc. Sym. Pure Math. 1970.-V. 16. -P. 1-60.

51. Browder F.E., Hess P. Nonlinear mappings of monotone type Banach spaces // J. Function. Anal.- 1972;'- V.ll, N 3 P. 251-294.

52. Chang K.-C. The obstacle problem and partial differential equations with discontinuous nonlinearities // Comm. Pure Appl. Math. -1980. V.33, N 2. - P.117-146.

53. Chang K.-C. Variational methods for nondiffererftiable functional and their applications to partial differential equations //J. Math. Anal, and Appl. 1981. - V.80,N1 - P. 102-129.

54. Chang K.-C. Free boundary problems and the set-valued mappings // J. Different. Equat. 1983. - V.49. - P. 1-28. '

55. Clark D.C. A variant of the Lusternik-Schnirelman theory // Ind. Univ. Math. J. 1972. - V.22. - P. 65-74.

56. Dancer E.N. On the Dirichlet problem for weakly nonlinear partial differential'equations // Proc. R. Soc. Edinb. 1*977. - A76. - P. 283-300.

57. D.G. de Figueiredo, W.N. Ni. Perturbations of second order linear elliptic problems by nonlinearities without Landesman Lazer condition // Nonlinear Anal. TMA -1979-V.3.-P. Б29-634.

58. Frankel L.E., Berger M.S. A global theory of steady vortex rings in an ideal fluid // Acta Math. 1974. - V.132. - P. 14-51.

59. Gossez J.-P., Omari P. Non-ordered lower and upper solutions in semilinear elliptic problems // Comm. P.D.E. 1994. - V.19., N 7-8. - P. 1163-1184.

60. Iannacci R., Nkashama M.N. Nonlinear elliptic partial differential equations at resonance: higher eigenvalues // Nonlinear Anal., TMA 1995. - V.25,N5. - P. 455-471.

61. Iannacci R., Nkashama M.N. Nonlinear boundary value problems at resonance // Nonlinear Anal. 1987. -.V.ll. - P. 455-473.

62. Iannacci R., Nkashama M.N., Ward J.R. Nonlinear second order elliptic partial differential equations at resonance // Trans. Am. Math. Soc. 1989 - V.311,N 2 - P. 711-726.

63. Kuiper H.J. On a positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems // Rend. Circ. Mat. Palermo, Ser 2. 1971. - V.20, N 2-3. - P. 113-138.

64. Kuiper H.J. Eigenvalue problems for noncontinuous operators associated with quasilinear elliptic equation // Arch. Rational Mech. Anal. 1974. - V. 53, N 2. - P. 178-186.

65. Landesman E., Lazer A. Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary value problems at resonance // J.Math. and Mech. 1970.- V.19, N3.- P. 609-623.•- 1995 V.24,N7 - P. 1049-1059.

66. Ma T.W. Topological degree for set valued compact vector fields in locally convex spaces // Rozprawy Mat. 1972. - V.92. - R3-47.

67. Massabo I. Elliptic boundary value problems at resonance with discontinuous nonlinearities // Boll. Un. Math. Ital., ser. 5. V. 17-B, N 3. - P. 1302-1320.

68. McKenna P.J. Discontinuous perturbation of elliptic boundaryvalue problems at resonance, nonlinear equations in abstract spacesAcademic Press. 1978. - P. 378-386.i •

69. Rabinovitz P. Variational methods for nonlinear eigenvalueproblems // CIME Varenora, Rome. 1974. - P. 1-56.

70. Stuart C.A., Toland J.F. A variational method for boundary value problems with discontinuous nonlinearities // J! London Math. Soc., Ser. 2. 1980. - V.21, N 2. - P. 319-328.

71. Toland J.F. A duality principle for nonconvex optimization and the calculus of variations // Arch. Rational Mech. Anal. 1979. - V.71, N 1. - P. 41-61.

72. Павленко В.Н., Чиж Е.А. Слабо нелинейные операторные уравнения с разрывными нелинейностями // Дифференциальные и интегральные уравнения: Тез. докл. Междунар. конф. Одесса: Астропринт, 2000. - С. 213.

73. Павленко В.Н., Чиж Е.А. Регуляризация для уравнений с разрывными операторами // Обратные и некорректно поставленные задачи: Тез. докл. конф., посвящ. 95-летию со дня рождения А. Н. Тихонова. Москва: МАКС Пресс, 2001. - С. 66.

74. Павленко В.Н., Чиж Е.А. Регуляризация для уравнений с разрывными операторами // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001. - С. 50-51.

75. Павленко В.Н., Чиж Е.А. Задача Дирихле для уравнения Лапласа с разрывной нелинейностью без условия Ландесмана -Лазера // Вестник Челяб. гос. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. Информатика. - 2002. - №1(6). - С. 120-126.

76. Павленко В.Н., Чиж Е.А. Регуляризация для уравнений с разрывными кекоэрцитивными операторами //■ Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. Информатика. - 2003. - №(9). - С. 111-123.

77. Pavlenko V., Chizh Е. Elliptic boundary value problems at strong resonance with discontinuous nonlinearities // Nonlinear partial differential equations: Abstracts of International Conference -Alushta, 2003. P. 155 -156.

78. Павленко В.Н., Чиж Е.А. О разрешимости некоэрцитивных эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностями // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. -Екатеринбург, 2004. С. 205-206.

79. Павленко В.Н., Чиж Е.А. Теорема существования для одного класса сильно резонансных краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. 2005. - Т. 57, № 1. - С. 102-110.г 1 ' '

80. Чиж Е.А. Сильно резонансные краевые задачи эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Современные методы теории функций и смежные проблемы: ,Тез. докл. Воронежской зимней математической школы Воронеж, 2005. - С. 246-247.