Квазилинейные краевые задачи в случае резонанса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

. - На правах рукописи.

! 1 ] ., I

I < -

_ 3 да

НЕЧАЕВА ИННА ВАЛЕНТИНОВНА

КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ РЕЗОНАНСА

01.01.02- дифференциальные уравнення

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 1998

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Абдуллаев А.Р.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Максимов В.П.,

кандидат физико-математических наук, доцент Воронин С.М.

Ведущая организация - Тамбовски! государственный

университет им. Г.Р. Державина.

Защита диссертации состоится 27 мая 1998 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К 063.66.09 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г. Пермь, Комсомольский проспект 29а, ауд. 423.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан 22. апреля 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент В.А. Соколов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Вопрос о разрешимости квазилинейных краевых задач постоянно находится в центре внимания многих исследователей. Основные направления развития теории краевых задач для уравнений с обыкновенными производными были заложены в работах Азбелева Н.В., Беллмана Р., Булгакова А.И., Кигурадзе И.Т., Клокова Ю.И., Немьщкого В.В., Максимова В.П., Мышкиса А.Д., Рахматуллиной Л.Ф. и др.

В математических моделях многих реальных процессов возникают краевые задачи, у которых "линейная часть" не является корректно разрешимой. Самостоятельным классом таких краевых задач в теории ОДУ являются периодические задачи. В 70-е годы началось развитие общих методов исследования краевых задач, представимых в виде уравнения с необратимым линейным оператором (резонансные краевые задачи). Первый результат в этом направлении был получен в работе Ландесмана - Лазера*. Значительное развитие теория резонансных краевых задач получила в работах Бип М., Риак'а Б., Ма\уШп'а и др.

*) Landesman F., Lazer A. Non-linear perturbation of linear elliptic boundary value problems at resonance // J. Math. Mech. - 1970. V. 19. - P. 609 - 623.

Из последних результатов в этом направлении отметим работы Абдуллаева А.Р., Бурмистровой А.Б., Бойчука А.А., Вавилова С.А.

Цель работы. Получение эффективных условий разрешимости резонансных краевых задач, в том числе с нетеровым оператором отрицательного индекса. Исследование конкретных классов резонансных краевых задач.

Методика исследований. В работе использованы методы теории линейных операторов, нелинейного функционального анализа, а также теории краевых задач для функциоьально-дифференциальных уравнений.

Научная новизна.Получены новые утверждения о разрешимости квазилинейных уравнений и систем в случае резонанса. В частности, исследованы задачи с нетеровыми операторами отрицательного индекса. Получены эффективные признаки разрешимости периодических краевых задач.

Практическая значимость. Основные результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Результаты диссертации могут быть применены для исследования новых классов резонансных краевых задач. Практическая ценность исследования обуславливается применением резонансных краевых задач в теории нелинейных колебаний, в теории управления, в математических моделях различных реальных процессов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям, на Уральской региональной конференции (Пермь, 1992 г.), на втором международном семинаре "Негладкие и разрывные" задачи управления и оптимизации" (Челябинск, 1993 г.), на межгосударственной научной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация" (Минск, 1993 г.), Воронежской математической школы (1995 г.), на семинаре МВТУ им. Баумана (Москва, 1994 г.), на кафедре математического анализа Пермского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 77 страницах. Библиографический список содержит 77 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранного направления исследования, дан краткий обзор литературы по теме диссертации, приведена краткая аннотация полученных результатов.

Основным объектом исследования в диссертационной работе является система квазилинейных уравнений

Ьх =/*, (1)

1х = фх, (2)

где Ь: В —> В - линейный ограниченный оператор, .Р; Ь В -непрерывный (не обязательно линейный) оператор, I: £ -> Кт -линейный вектор-функционал, ф: I) - непрерывный вектор-

функционал, Ь и В - банаховы пространства. Систему (1) - (2) принято называть абстрактной краевой задачей*.

Краевую задачу (1) - (2) иногда удобно рассматривать как одно операторное уравнение вида

Лb:=Fx, (3)

*) Azbelev N.V., Rakhmatullina L.F. Theory of linear abstract functional differential equations and applications // Memoirs on Dif. Eq. and Math. Ph. Tbilisi, 1996.

где операторы А, Р: 1) —> ВхКт определены равенствами Лх = {Ьх, 1х], Рх ~ \/х, <рх], а Вх Ят - прямое произведение пространства В и евклидова пространства Л™.

Краевая задача (3) называется резонансной (или критической), если оператор Л не обратим.

Содержание первой части ноеггт вспомогательный характер. Здесь собраны основные определения и утвержения, используемые в основном тексте. В пункте 1.1 рассмотрены функциональные банаховы пространства, возникающие при исследовании краевых задач, как пространства решений. Пункт 1.2 посвящен необходимым вспомогательным сведениям об уравнении Ьх = / и линейной краевой задаче с нетеровым оператором Л. В частности, приведены необходимые сведения об относительном коэффициенте сюръективности. В пункте 1.3 сформулированы утверждения о монотонных по Митни.- Браудеру операторов. Здесь же приведены теоремы о существовании и единственности решения уравнения Тх -у с монотонным оператором Т: X —>X*.

Части 2 и 3 содержат основные результаты диссертации.

В пункте 2.1 приводятся необходимые в дальнейшем вспомогательные утверждения об уравнении (3).

В пункте 2.2. доказана теорема существования для квазилинейного операторного уравнения (3). Теорема 1. Пусть выполнены условия:

1) А - фредгольмов оператор;

2) (1ед(РР(ах0), 0, о°п/^0для всех Я > Я0\

3) ¡ьМа=о.

ми« ||*||

Тогда уравнение (3) имеет хотя бы одно решение.

Здесь Р - проектор на Я(Л), х0 = (х0], ..., х0п) - выбранный базис в

кегЛ, оператор Ф определяется равенством: Фх = РР'(х), - шар

в Яп, ФО, о0 п) - степень отображения (относительно О®» и

точки 0) отображения Ф.

В пункте 2.3 задача (3) рассматривается в предположении о приводимости уравнения (1), то есть при условии: существует такой линейный ограниченный вектор-функционал /0 = {101,102,..., 1^}, что краевая задача Ьх - Рх, 101х = а2, ..., 1Гмх = ап имеет единственное решение, непрерывно зависящее от а - (а1, ..., ап). Тогда существует непрерывный оператор Г: Я" X, ставящий каждому а в соответствие решение этой задачи. Представим оператор Г в виде суммы х = Ха + Ф(а), где X - такая фундаментальная матрица

краевой задачи, что 10(Х) - Е , Е - единичная матрица. В этих

условиях разрешимость задачи (3) эквивалентна разрешимости

конечномерности уравнения

ЦХа + Ф (а) ) = ф(Ха + Ф(а)).

Пусть компоненты вектор-функционала I таковы, что ¡¡(Ха) =

если г = /,..., к; ЦХа) = 0, если-г = к+1,..., п.

Теорема 2. Пусть выполнены условия

\11Ф{а)-/1(Ха + Ф{а))\ 1) 1нп —-?—;- = 0 для г = 1..... к

г/1

I «.•!-> оо lff/l

равномерно по всем aj, j * i;

2) существует число М > 0 такое, что если гаах {\ак+1\, ..., \ап|} > Л/, то ¡¡Ф(а) - ф,(Ха + Ф(а)) для некоторого / = к + ..., п.

3) существуют числа с, R > 0 такие, что если \а,\ > R, то \1,Ф(а) | < с|ог,| для / - к + /,... я;

4) существует функция y(t) - непрерывная, неотрицательная,

удовлетворяющая условию lim /(/) = + этакая, что (фк+1 (Ха +

t -> +00

Ф(а)) - фк+1(Хр+ Ф(р))(ак+,-рк+1) +...+ (фп(Ха+Ф(а)) - фп(Хр +

Ф(Р))(ап-Рп)>у(\а-та-Я

Тогда задача (3) имеет решение. Рассмотрим уравнение

Ах = F(x, и) (4)

с параметром и е U, где U - банахово пространство, в следующих предположениях:

1) кет А = {0}, indA = -codimR(A) = -m\

2) F: XxU Y- вполне непрерывный оператор.

Через Q обозначим фиксированный проектор ш R(Л), (f = I -

Q - дополнительный проектор для Q, A'j.: R(A) X - левый обратный оператор для сужения оператора А на пару (X, R(А)).

Теорема 3. Пусть существует непрерывный оператор Т: X U такой,что

1) (fF(x, Тх) = 0 для любого х еХ\

2) существуют постоянные с, d>0такие, что \\Тх\\ <с + £?||х||;

3) существуют постоянные Д у >0 такие, что \\F(x,u)\\<p + y(\\x\\ + \\u\\)-

4) 7 > ту(1 + d), где г = ЦЛ"/ ||;

Тогда задача (4) имеет хотя бы одно решение.

Третья часть содержит результаты о разрешимости конкретных классов резонансных краевых задач.

В пункте 3.1 изучается периодическая задача для уравнения Льенара, т.е. краевая задача

х (О =Г(Х(0)х 0) + я(х(1)) + Ыг), (5)

х(0)=х(Т), х(0)=х(Т), где I е [0, 77; /, к: Л ~> К - непрерывные функции. Решения задачи (5) ищутся в пространстве ТУ2[0, Т]. Теорема 4. Пусть выполнены условия:

1) существует А > 0 такое, что g(x)signx > шах Щ при |х| >А,х е Я;

/ей

2) существуют непрерывные, неотрицательные, неубывающие, вогнутые функции со], со2: [0, +°о) Л такие, что/ (х) < со1 (\х\), ¿(х) <б)2(\х\) для х е Я;

3) неравенство а (г + л + тах{Т3/2,1}т) <г / (1 + (Т/3)ш) имеет положительное решение, где со (г) - (тах{1, /¡'\гУГго/'2(тах{/, Т*/2\г) + ^Гб}2ш(тах{1, + шах \к\).

Тогда задача (5) имеет хотя бы одно решение.

В пункте 3.2 рассматривается двухточечная задача для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений

Гх^ахЮ.яо),

х(0)=х(Т),у(0)=у(Т), где I е {0,Т/; х, у: [0,Т] Д; функции /,. /2: [0,Т]хЯ2 К удовлетворяют условиям Каратеодори.

В этом параграфе сформулированы достаточные условия разрешимости (6) для случая, когда функции fh /2 имеют "подлинейный рост". Приведем одно из полученных утверждений. Теорема 5. Пусть выполнены следующие условия:

1) существуют неотрицательные постоянные сь с2, 5 и неотрицательные функции у}(т), у2(I), такие, что 0 <5 <1;

п, Г2 е Ьсо[0,Т] и т*.У)\ ¿с>(1 + |х| + \у\)6 + ф), 1 = 1,2 для 0 <г <Т,х еЯу еК\

2) существует постоянная с3 > 0 и неотрицательная функция у ¡(г) такие, что у3(1) е Ь^О, Т] и

хЛ(1,х,у) + у/2(г.х.у) >с3(1 + |х| + \у\)ш- ГзШ для 0<1<Т,хеК,уеК

3) выполнено условие (с; + с2)(1+у) < 1, где у = тах{Т1П, 1} тах{ггштах(1 + с;/с3 + у^г) /с3), угагтах(1 + с2/с3 + у3(г) /с3)}, с - \raimax (у3(1)/с3).

Тогда существует по крайней мере одно решение задачи (6). В пункте 3.3 рассматривается задача о существовании обобщенного решения задачи

¡м + ти -/(и), и(х) ~ 0 при х е дО, (7)

где L - эллиптический оператор второго порядка, /• R -непрерывная функция, Q - открытая, односвязная, ограниченная область в R".

Теорема 6. Пусть выполнены условия

1) существует константа с} > 0 и неотрицательная непрерывная функция "/¡: R R такие, что ]f(x)\ <cs|х| + /¡ft) для всех t е Д х в R-,

2) существует константа с2 > 0 и неотрицательная непрерывная фушсция у2: R R такие, что fx' - х")(f(x') - f(x")) > с2\х'- x'f -/¡(t), для всех t е R, х' х"е R\

3) (т + 1/2) с2/с0 < 7;

4) 2!/2Cj (1+2тш с,с/с2) < (1-(т+Ю)с2/с0)т. Тогда задача (7) имеет хотя бы одно решение.

Здесь постоянная с взята из известного неравенства (*, стр. 38):

*) Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: "Наука", 1983.424 с.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Нечаева И.В. О разрешимости задачи Дирихле для эллиптического уравнения в резонансном случае // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. 1995 г. С. 10-16.

2. Нечаева И.В. Об одной теореме типа Ландесмана-Лазера: Тез. докл. школы. - Воронеж, ВГУ. 1995 г. С. 169.

3. Нечаева И.В. О разрешимости резонансной краевой задачи отрицательного индекса. // Вестник ПГТУ. 1996 г. N 1. С. 23-26.

4. Нечаева И.В. Управление химическим реактором процесса катализации. // Вестник ПГТУ. 1996 г. N 3. С. 29-32.

5. Нечаева И.В. Периодические решения уравнения Льенара. // Вестник ПГУ. 1996 г. С. 28-30.

Сдано з печать 16.04.98 г. Формат 60x84/16. Обьек 1,0 п.л. Ткрза 100. Еаказ 1033. Ротапринт ПГТУ.