Периодические решения квазилинейного гиперболического уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЙЛОРУССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ТРЕТЬЯКОВА ЛАРИСА ГРИГОРЬЕВНА

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕИЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ

/Ol.Ol.Oii - дифференциальные уравнения/

Автореферат диссертации на соискание ученой степеш кандидата физико-математических наук

Цшск 1993

( vr. t

Работа выполнена на кафедре функционального анализа. Белорусского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета, г. IAihck.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор П.П.ЗАБРЕЙ1ГО Официальные оппоненты:доктор физико-математических

наук,профессор В.Н. ЛАДТИНСКИЙ. кандидат физико-математических наук, доцент А.А.КУЛЕШОВ Ведущая организация Институт математики/Академии

наук^Беларуси

Защита состоится "13" срг буО/МЯ 1993 года в 10 часов на заседании специализированного Совета К 056.03.10 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Белорусском государственном университете по адресу: 220080, г.Минск, проспект Ф.Скорины, 4, Белгосуни-верситет, главный корпус, комната 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосуниверситета

Автореферат разослан "/£" ЯН&А^Я 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, кандидат физико-математических

наук, доцент /Р*^ В.И.КОРЗЮК

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Один из классических методов исследования существования периодических решений обыкновенного дифференциального уравнения основан на построении обратного к линейной части оператора, с помощью которого далее изучается интегральное уравнение, как правило, с непрерывным оператором в соответствующем функциональном пространстве. Для уравнений гиперболического типа подобная схема почти не применялась. Основной причиной этого являются трудности, связанные с представлением обратного оператора в наиболее часто рассматриваемых пространствах, например, в пространстве непрерывных функций. В этой связи плодотворной оказалась идея скомбинировать следующих два метода построения обратного оператора для телеграфного уравнения; во-первых: начать исследования в пространстве (£2), а затем показать, что построенный обратный оператор определен и непрерывен и в пространстве С(-О-) ; во-вторых: использовать аналог формулы Даламбера. Сочетание обоих методов дало возможность в ряде случаев решить задачу о существовании и единствегности периодических и двоякопериодических решений для квазилинейного телеграфного уравнения. В силу выше сказанного, исследования существования и единственности периодических и двоякопериодических решений для квазилинейного телеграфного уравнения, проводимые в диссертации, являются актуальными. Хотя диссертация носит теоретический характер, предложенные в ней методы исследования могут быть

- 3 -

использованы при дальнейшем изучении периодических решений квазилинейного гиперболического уравнения.

Цель работы. Получить теоремы существования и единственности периодических решений квазилинейного гиперболического уравнения в пространстве непрерывных функций.

Методы исследования. При исследовании поставленной задачи использовались: функциональное исчисление от операторов в банаховом пространстве,принцип сжимающих отображений Банаха-Каччиополли и его аналоги,обобщенный метод усреднения Боголюбова.

Научная новизна.Основные результаты диссертации являются новыми.Получены теоремы существования и единственности периодических решений для краевой задачи для квазилинейных телеграфного и волнового уравнений и двояколериодичесних решений для квазилинейного телеграфного уравнения.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построение обратного оператора для задачи об обобщенных <¿3-периодических решениях квазилинейного телеграфного уравнения и для задачи об обобщенных двоякопериодичес-ких решениях этого уравнения в пространстве непрерывных функций.

2. Теоремы существования и единственности обобщенных и) -периодических решений и.двоякопериодических решений

квазилинейного телеграфного уравнения в пространстве непрерывных функций.

3. Теорема о существовании и единственности ¿-5Г-периодических решений квазилинейного волнового уравнения,если правая часть имеет малые гладкие нелинейности.

- 4 -

Практическая и теоретическая значимость. Ценность полученных в диссертации результатов определяется теоретическим значением проведенных исследований,являющихся определенным вкладом в разработку теории гиперболических уравнений.Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований существования периодических решений квазилинейного гиперболического уравнения и при чтении спецкурсов на механико-математическом факультете.

Апробации. Основные результаты диссертации докладывались на IX школе по теории операторов в функциональных пространствах (Тернополь,сентябрь 1984 г.),на конференции "Проблеет теоретической и прикладной математики"(Тарту,сентябрь 1990 г.),на Угснференции математиков Беларуси (Гродно, сентябрь 1992 г.),на семинаре по функциональному анализу Белгосуниверситета (Февраль 1991 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано б научных работ,которые перечислены в конце автореферата. В них отражено основное содержание диссертации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения,трех глав,списка литературы и включает 126 страниц машинописного текста.Список литературы содержит 76 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, обозначаются главные направления исследований,дается краткая аннотация всех разделов диссертационной работы.

В первой главе рассматривается задача об ц)-периоди-

- 5 -

ческих обобщенных решениях квазилинейного телеграфного уравнения

Чц- = к ), (1)

удовлетворяющих граничным условиям

К И, О) Ч и н, £) = О (2)

в пространствах и С(Ш , где

Л--1 / в« * *

В пространстве ^ ^Л) получены условия существования и единственности о)-периодического обобщенного решения задачи (I) - (2).Однако, в сищг свойств оператора суперпозиции

р-иИ.х) -- //7, з, иИ,*)) (3)

в этом пространстве правая часть уравнения (I) должна обладать свойством подлинейности по переменной и ,что существенно сужает область применения полученного результата.Поэтому основные исследования связаны с пространством С(П) , в котором также получены необходимые и достаточные условия существования непрерывного обратного оператора к оператору

¿с и * - +сгс (4)

Основные результаты первой главы содержатся в следующих теоремах.

Теорема I. Пусть и с £ О .Тогда линейный дифференциальный оператор ¿с имеет в пространстве С(Л) непрерывный обратный оператор в том и только в том сцучае,когда ____

с1гж'г 4 I - ^ !«<-£, г,Л).

Получены также различные оценки для нормы II Сс // .

Предположим, что функция удор.тетвсряет ус-

- б -

ловив Липшица

( I и; ) I - /, £ ),где а(1) - монотонно возрастающая неотрицательная функция.

Теорема 2. Пусть и)(ЯС)1е-№ и _

с12Гг 4 { ¿<кЧги)'1'^ пс

Пусть, кроме того уравнение

О ж

имеет на отрезке Со, (11 единственное решение ? .Тогда задача (I) - (2) имеет единственное и) -периодическое обобщенное решение, которое лежит в шаре /3 Г о, .пространства С(П) . Более того, это обобщенное и) -периодическое решение лежит в шаре /Зге?, пространства СГЛ) и является пределом последовательных приближений.

= 9С ( я-0,1, & и0'~0).

Во второй главе рассматривается задача о двоякоперио-днческих обобщенных решениях квазилинейного телеграфного уравнения (1).Для исследования этой задачи используются методы, предложенные в первой главе. Основные результаты содержатся в следующих теоремах.

Теорема 3. Пусть и!> (^ 1 е ИУ и С ¿О .Тогда линейный дифференциальный оператор ¿с имеет в пространстве С(П) непрерывный обратный оператор в том и только в том случае, когда_______

с «о/ У ^ - ^

(Здесь п - { (х) \Qitiu) > О'- я:* и1 ] ).

Получены тагосе различные оценки для нормы обратного '.""Гатора ¿у,» в пространстве СС^)

- 7 -

Предположим, что функция к) удовлетворяет

условию Липшица (5).

Теорема 4. Пусть и)ьо^ * еДу и____

(Ы'У'си]? 4 { - с #}

Пусть, кроме того, уравнение ^

ПРоН ♦ I а(1)с(р --г

+

имеет на отрезке 10,111 единственное решение 1 Тогда задача о двоякопериодических обобщенных решениях уравнения (I) имеет единственное решение, которое лежит в шаре Е>Ио, пространства С ) . Более того, это двоя-копериодическое обобщенное решение лежит в /3 Ео1 2*1 пространства С/Л ) и является пределом последовательных приближений.

(п-О, - О )

в этом пространстве.

В третьей главе рассматривается задача о -пери-

одических решениях квазилинейного волнового уравнения -- V, (6)

удовлетворяющих условиям

ч

а и, о) -- Vа, X) = о , (?).

Для решения задачи (6) - (7) не применим метод исследования, предложенный в первой главе, так как при С -О обратный к оператору ¿с оператор не существует. Поэтому будем решать задачу (6) - (7) с помощью преобразования Я.Цурцвейля и обобщенного принципа усреднения Боголюбова для частного случая, когда правая часть уравнения имеет вид

■{(¿г, х, и; ¿() - -(о И» х) + а И, г )ъ + - 8 -

* 6 ({,*)•$ + си,х)и + и) V, ) . (8)

Обозначим \Х/ - банахово пространство непрерывно-дифференцируемых по обоим аргументам функций к ((-¡х) , допускающих для любого í нечетное непрерывное

1Ж -периодическое' продожение в НС по переменной X с нормой

II и - ( / Щ (¿, ф \1/х а, г) I ) .

Основной результат главы 3 содержится в следующей теореме.

Теорема 5. Пусть выполнено условие

Ъ + Ь) - (ъ-ь> тсН-0 (¿е-1)

о

и спектр оператора С. , определенного равенством

Ж

£ V (?) -- ($. а) - с- ) №) ( & и, $> 1 не пересекается с мнимой осью. Тогда задача (б) - (7) с правой частью (81 имеет при достаточно малом § в шаре /3 (о, I ) достаточно малого радиуса Ъ единственное ¿Ж -периодическое по переменной решение

И2 /¿I ) . стремящееся к нулю р пространстве при £ ^ С

Здесь Ь+

(?.), С- , К (г, й ) - функции, определеннее через коэффициенты с 1(, X), (Ь ((г,?) с правой части уравнения (6),- имеющей вид (8).

Основное содержание диссертации опубликовано в следу- 9 -

ющих работах:

1. Забрейко П.П..Третьякова Л.Г. Периодические решения квазилинейного телеграфного уравнения. // Дифференциальные уравнения, 1991, 27, № 5, с.815-826.

2. Третьякова Л.Г. О колебаниях слабо нелинейной струны.// IX школа по теории операторов в функциональных пространствах.Тезисы докладов.Тернополь.1984,с.137-138.

3. Третьякова Л.Г. К задаче о -периодических решениях уравнения колебаний нелинейной струны.// Вестник БГУ, серия "Физика,математика,механика",19Й6,№ 3,с.49- 51.

'4. Третьякова Л.Г. Двоякопериодичеснне решения кваэи. линейного телеграфного уравнения.//Редакция журнала "Известия АН БССР,серия физ.-мат.наук".Шнек.1990.Деп. в ВИНИТИ 20.11.90 № 5834-В90.19 с.

5. Третьякова Л.Г. Построение двоякопериодических решений квазилинейного телеграфного уравнения.// Проблемы теоретической и прикладной математики. Тезисы докладов конференции.Тарту.1990,с.252-254.

6. Третьякова Л.Г. К задаче об и) -периодических

^ / /

решениях квазилинейного телеграфного уравнения.// Вестник БГУ, серия "Шизика,математика,механика", 1991, № I, с. 53 - 57..

7

-ю -