Исследование квазилинейных задач в случае несамосопряженных главных частей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА. I. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВА ТИПА БАНАХА.

§1.1. Некоторые определения и обозначения.

§1.2. Двойственность некоторых пространств к/ и в

§1.3. О компактности множеств в пространствах типа в

ГЛАВА П. ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ И ЕЕ СВЯЗЬ С СООТВЕТСТ

БУЩЕЙ БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМОЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕ

НИйГ.

§2.1. Постановка краевой задачи и определение различных решений.

§2.2. Формальный переход к бесконечной системе интегральных уравнений.

§2.3. Обоснование перехода к бесконечной системе интегро-дифференциальных уравнений.

§2.4. Некоторая корректировка постановки задачи.

ГЛАВА Ш. РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ.

§3.1. Оценка ядра бесконечной системы интегральных уравнений в случае нестабильности оператора <А.

§3.2. Оценка ядра бесконечной системы интегральных уравнений в случае стабильности оператора ^ • •

§3.3. Исследование бесконечной системы интегральных уравнений методом последовательных приближений. . -.

§3.4. Применение принципа Шаудера к исследованию бесконечной системы интегральных уравнений.

§3.5. Теоремы существования и единственности различных решений.

§3.6. Пример.

Для выполнения необходимых исследований сначала строятся некоторые пространства типа Банаха , устанавливается их связь с пространствами Соболева-Слободецкого по отношению к разложению в ряд по специальным функциям. Доказывается теорема двойственности некоторых пространств В с пространствами Соболева - Слободецкого (теорема 1.2.1). Затем при помощи нескольких теорем рассматриваемая краевая задача сводится к бесконечной системе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.

Доказывается различные теоремы разрешимости этой бесконечной системы интегральных уравнений в построенных пространствах методом последовательных приближений и топологическим методом.

В работе доказываются существование и единственность различного типа решений поставленной квазилинейной задачи (обобщенного, почти всюду и классического), как в случае стабильности, так и в случае нестабильности, дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением по х главной линейной части уравнения и периодическими граничными условиями.

К настоящему времени методом Фурье подробно изучена смешанная задача для линейных гиперболических и параболических уравнений второго порядка. Из этих исследований необходимо отметить работы В.А.Ильина /19,20/ , Ю.Ф.Коробейника [24/ , О.А.Ладыженской [21] и их учеников.

Дня некоторых линейных уравнений высшего порядка по пространственной переменной методом Фурье смешанные задачи были исследованы Н.И.Бриш и И.Н.Валешкевичем/б/. Начиная с 30-х годов методом

- 4

Фурье было начато изучение различных одномерных и многомерных смешанных задач .для квазилинейных гиперболических и параболических уравнений. В этом направлении глубокие результаты получены Г.И.Чандировым /"52, 53\] , К.И.Худавердиевым [9, 49, 50, 51] , К.К.Гасановым [8, 10, II, 12] и их учениками. Следует отметить также работы В.К.Калантарова /"25, 26 7.

К.К.Гасанов [II, 12] , К.И.Худавердиев [49, 51] , Я.Р.Бах-шалиев /з/ , Р.А.Горчу-заде [13] , З.Н. Днадилов [14] , также рассматривали квазилинейные смешанные задачи для некоторых уравнений гиперболического типа высокого порядка по X .Во всех цитированных исследованиях спектральные задачи, соответствующие главной части рассматриваемых смешанных задач, были самосопряженными.

Ими были даны определения слабо обобщенного, обобщенного, классического решения и решения почти всюду рассматриваемых квазилинейных смешанных задач, и доказаны различные теоремы существования и единственности таких решений.

Постановки корректных краевых задач для линейных уравнений, вообще говоря, неохватываемых типовыми классификациями, исследованы в работах А.А.Дезина и его учеников [15, 37/ , в которых изучаются как правильная постановка краевых задач для линейных уравнений, а также и доказывается существование и единственность решений (вообще говоря слабых) правильно поставленных задач.

Между тем известно /"32[ , что некоторые одномерные смешанные задачи можно решать методом Фурье-Биркгофа, если системы собственных функций полны. В связи с этим представляет большой интерес изучение краевых задач для квазилинейного дифференциального уравнения произвольного порядка как по X , так и по ^ , вообще говоря неохватываемого типовыми классификациями, когда главная часть задачи несамосопряженная и граничные условия по Ь ,вооб

- 5 ще говоря, нераспадающийся. Тем более, что к таким задачам, приводят многие вопросы теории колебаний /5, 16 , 28 , 307 » теории тер-мовязко-упругости [31] , физики плазмы [21, 22] .

Настоящая работа посвящена изучению некоторого масса таких задач.

Изложим краткое содержание диссертации.

Первая глава состоит из трех параграфов и носит вспомогательный характер. Б этой главе строятся необходимые для исследований пространства типа Банаха и устанавливается их связь с пространствами Соболева-Слободецкого /2, 38,397 .

В §1.1 вводятся некоторые определения и обозначения. Здесь строятся некоторые пространства Банаха о , являющиеся замыканием множества всех функциональных последовательностей с элементами из пространен) , ства \!г ((о/г) О.,, удовлетворяющих неравенству

Ф*-*™**"?'т , для целых неотрицательных ъ>о , где замыкание линейного многообразия С^^^тУ,%) функций , удовлетворяющих некоторым граничным условиям по норме пространства Соболева |а/^0,71) » где » ^ ^ ' пРйчем для любого р . (При р^о считаем, что граничные условия отсутствуют).

Наряду с построенными пространствами Банаха по отношению со

- 6 $ (б,т) рассматриваются пространства Соболева-Слободецкого МгСе,Л)(Зг) /2.38,397 , где ):0<х<2&, о<ЫТ }

- некоторые целые неотрицательные числа. В §1.2 доказывается теорема 1.2.1, устанавливающая двойственность пространств Щ, (Зт, , б?*,., и к разложению в ряд Фурье по системе функций \екр(16кх)} ¿-/Г, где означает замыкание по норме

У2(е'Л)(Згг) линейного многообразия С^'^^г функций ^(*>-£) из С " 2 (Зт) удовлетворяющих граничным условиям: где у О $ ^ 8г у 4 <£т^-целая часть тл , , комплексные числа.

Иначе говоря, доказывается, что, если у к-о

-) Считаем, что при 5-о отсутствуют граничные условия по х при - граничные условия по ^ со то ряд ^ = (-/)*[, о,/,2>. сходится в

Ж(е"г>(Ят) к некоторой функции ^ ^ ^ а если , то в

4 " ' С&г) она разлагается в ряд вида ^Г £(-¿-)ехр (¿¿«х)

К а О и коэффициенты разложения уГ (-6) образуют последовательность

6?,).

Существуют положительные числа т , такие, что

В §1.3 доказывается некоторый критерий компактности множеств М в пространствах о (о,?*) , с помощью которого в дальнейшем принципом Шаудера доказывается теорема о существовании решения бесконечной системы нелинейных интегральных уравнений.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. В этой главе дается постановка основной краевой задачи, изучению которой посвящена настоящая работа, и вводятся определения различного типа решений (определения 2.1.1,2.1.2,21.3). Обосновывается переход от основной задачи к бесконечной системе нелинейных интегро-дифферен-циальных уравнений.

В §2.1 дается постановка основной краевой задачи ((2.1.1)-(2.1.3), которая заключается в следующем: найти решение уравнения дтиш) „ / . д , ,

- 8 в : о<сх<гяг , приграничных условиях по х вида и по ^ вида / ч а и(х,о) £ д и(х,г) / где постоянные (вообще говоря, комплексные) числа, причем ,

У > г > ахЪ&Ь у функция, зависящая от независимых переменных , искомой функции и(х>^) , а также ее производных вида ^ ,где меняются в определенных пределах. Вводятся определения ( з, , )-обобщенного решения (определения (2.1.1) , решения почти всюду (определения (2.1.2);, классического, решения (определение 2.1.3) этой задачи, и доказываются леммы, устанавливающие связь между решениями различного типа (леммы 2.1.1 - 2.1.5).

В §2.2 основная задача формально сводится к бесконечной системе интегро-дифференциальных уравнений: т где а и г;

4*4)

А и) в* (9)

Л (к) ^с/е? II (и?)II777

77

ЧЮ^СО ПРИ ^ * * Г ' 1 >>

Т) при , /

У-опре делит ель Вронского функций И^ (¿>К> -алгебраическое дополнение элемента С777^) этого определителя с/е¿¡¡[^м]С«))&(*)] г /3 ,

-определитель Вандермонда чисел и>1, , а ¿^^-алгебраическое дополнение элемента (т,*) этого определителя.

В §2.3 с помощью теорем 2.3.1, 2.3.2 и следствии от них этот подход обосновывается, т.е. доказывается в некотором смысле эквивалентность поставленной задачи с полученной формальным путем бесконечной системой интегральных уравнений.

Следует отметить, что упомянутая система интегральных уравнений является Фредгольмово-Гаммерштейновой с исключением некоторых частных случаев, когда она оказывается Вольтеррово-Гаммерштей-новой, изученных в работах [8, 9, 10, 13, 14, 25, 26, 49, 50, 51, 52, 53] .

В §2.4 приводится определение стабильности оператора А , кими граничными условиями, введенными в /"37] , делаются некоторые вывода, относящиеся к рассматриваемой задаче, и уточняется постановка граничных условий по £ в случае стабильности оператора А .

В третьей главе методом последовательных приближений и топологическим методом исследуется разрешимость бесконечной системы нелинейных интегральных уравнений в пространствах типа

ВГ*'т'"'",ГП9'((о,г)>С?г, • Затем формулируются и доказываются теоремы существования и единственности различных решений оспорожденного дифференциальным выражением новной задачи.

В §3.1, 3.2 при условии нестабильности и стабильности (теоремы 3.1.1, 3.2.1) оператора / (при стабильности оператора / граничные условия по £ выбираются "правильными") изучается ядро системы интегральных уравнений и приводятся необходимые оценки для него и его производных по Ь .

Б §3.3 методом последовательных приближений при некоторых условиях на 1(х. —^,. ) и малых значениях параметра ¡Л / доказывается существование и единственность решения системы интегральных уравнений в пространствах типа &т°>77?*' '^((о*7*), (теорема 3.3.1).

В §3.4. опираясь на результаты §1.3,о помощью принципа Шау-дера [23] при более меньших ограничениях на и малых значениях \Х\Т доказывается существование решения системы интегральных уравнений в пространствах ВТ""^((о,?)^,, 0^) (теорема 3.4.1).

В §3.5 формулируются и доказываются теоремы существования и единственности ^-обобщенного решения (теорема 3.5.1), решения почти всюду (теорема 3.5.2) и классического решения (теорема 3.5.3) основной задачи.

В §3.6 приводится пример квазилинейной несамосопряженной краевой задачи, главная линейная часть уравнения которой является нетиповым дифференциальным выражением, содержащим старшие производные по второго порядка, по х третьего порядка. Опираясь на результаты предыдущих параграфов, для этого примера доказывается существование и единственность (3;2) обобщенного решения.

Результаты работы докладывались на научных семинарах академика АН Азерб.ССР, проф.М.Л.Расулова в АТУ им.С.М.Кирова, проф. Ш.А.Ахмедова в ЛПШ им.С.М.Кирова, на республиканской конференции по уравнениям с частными производными в г.Душанбе (ТГУ им. В.И.Ленина, сентябрь 1983 г.), а также на научной конференции, посвященной 50-летшо ЛШИ им.С.М.Кирова и на научной конференции молодых ученых, посвященной 65-летию образования Ленинского Комсомола в ЛШИ им.С.М.Кирова.

Кроме того результаты работы доложены у проф.А.А.Дезина (МИ АН СССР им.В.А.Стеклова).

Основное содержание диссертации отражено в работах /40-44/.

1. Агранович М.С., Вишик М.И, Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. - УМН, 1964, т.19, вып.З (117), с.53-161.

2. Бесов О.В., Никольский С.М., Ильин В.П. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Москва, "Наука", 1978,480 с.

3. Бахшалиев Я.Р. Исследование решения многомерной смешанной задачи для одного класса гиперболических уравнений с нелинейной операторной правой частью. "Ученые записки MB и CG0 Азерб. ССР", серия физ.мат.наук, 1975, № I, с.3-Ю.

4. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики, М., "Наука", 1976, 295 с.

5. Бондарь Н.Г. Некоторые автономные задачи нелинейной механики.-Киев, Наукова думка, 1969, 302 с.

6. Бриш Н.И., Валешкевич И.Н. Метод Шурье для нестационарных уравнений с общими краевыми условиями. Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, № 3, с.393-399.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М., "Наука", 1967, 436 с.

8. Гасанов К.К. 0 решении смешанных задач для квазилинейного гиперболического и параболического уравнений. Дисс.канд.физ.-мат.наук. - Баку, 1961, 78 с.

9. Гусейнов А.И., Гасанов К.К. 0 применимости метода Фурье к решению смешанной задачи для одного класса квазилинейных гиперболических уравнений.-ДАН СССР, 1963, т.148, № 4, с.761-764.

10. Гусейнов А.И.Дудавердиев К.И, 0 решении методом Щурье одномерной смешанной задачи для квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка. ДАН СССР, 1963, т.148, № 3, 496-499.

11. Гасанов К.К. О решении смешанной задачи для одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений. "Ученые записки АТУ им.С.М.Кирова", серия физ-мат.наук, 1964, № 2, с.3-11.

12. Гасанов К.К. Метод Фурье для квазилинейных дифференциальных уравнений. "Ученые записки АГУ им.С.М.Кирова", сер.физ.-мат.наук, 1965, № I, с.49-58.

13. Горчу-заде P.A. Решение смешанной задачи для одного класса квазилинейных уравнений высших порядков методом неподвижных точек. "Ученые записки АГУ им.С.М.Кирова", сер.физ.-мат. наук, 1968, № 3, с.33-40.

14. Джалилов З.Н. Решение смешанной задачи для одного класса нелинейных гиперболических уравнений. Деп. в ВИНИТИ 18 дек. 1980 г., № 5367-80, 13 с.

15. Дезин A.A. Введение в обпито теорию граничных задач. Москва, "Наука", 1980, 207 с.

16. Жданович В.Ф. Решение методом Фурье несамосопряженных смешанных задач для гиперболических систем на плоскости I.- Матем. сборник, 1959, т.47 (89), № 3, с.307-354.

17. Дданович В.Ф. Решение методом Фурье несамосопряженных смешанных задач для гиперболических систем на плоскости П.- Матем. сборник, 1959, т.48 (90), № 4, с.447-498.

18. Жданович В.Ф. Решение методом Фурье несамосопряженных смешанных задач для гиперболических систем на плоскости Ш. -Матем. сборник, 1959, т.49 (91), № 3, с.233-266.

19. Ильин В.А. К вопросу об обосновании метода Фурье для уравнения колебаний. УМН, 1957, вып.4(76), т.12, с.289-296.

20. Ильин В.А. 0 разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнения. УМН, i960, вып.2(92),т.15,с.97-154.

21. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями. -Дифференциальные уравнения, 1977, т.13, № 2, с.294-304.

22. Ионкин Н.И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. -Дифференциальные уравнения, 1979, т.15, № 7, с.1279-1283.

23. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. Москва, Гостехиздат, 1956, 392 с.

24. Коробейник Ю.Ф. Решение смешанной задачи методом Фурье для одного интегро-дифференциального уравнения. ДАН СССР,1957, т.114, № I, с.14-17.

25. Калантаров В.К. Исследование обобщенного решения смешанной задачи для систем двух квазилинейных уравнений параболического и гиперболического типов. "Ученые записки АГУ им.С.М. Крова", 1972, № 4, с.50-53.

26. Калантаров В.К. Исследование смешанной задачи для одного класса нестационарных систем. ДАН Азерб.ССР, т.30, № I, с.8-10.

27. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М., Гос.изд.техн. - теор.лит-ры, 1953, 280 с.

28. Лэмб Г. Динамическая теория звука. М.»Физматгиз, 1960,372с.

29. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения с частными производными. Москва, "Наука", 1976, 391 с.

30. Митропольский Ю.А., Кривошея С.А. Асимптотическое решение одного класса краевых задач. Укр.мат.журнал, 1980, т.32, № 6, 846-853.

31. Матвеев П.Н. К вопросу о представлении решения смешанной задачи для одного нелинейного уравнения теории вязко-упрутости.-Известия ВУЗов, 1980, № 9, с.78-81.

32. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. Москва, "Наука", 1969, 528 с.

33. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М., "Наука", 1974, 331 с.

34. Петровский И.Г. Лекции по уравнениям с частными производными.-Москва, Физматгиз, 1961, 400 с.

35. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла. Москва, "Наука", 1964, 462 с.

36. Расулов М.Л. Применение метода контурного интеграла к решению задач для параболических систем второго порядка. М., "Наука", 1975, 255 с.

37. Романко В.К. К теории операторов вида — А . Дифференциальные уравнения, 1967, т.З, № II, с.1957-1970.

38. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Издательство Ленинградского Госуниверситета, 1950, 255 с.

39. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства С.Л.Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. "Ученые записки Ленинградского госпединститута им.А.И.Герцена", 1958, том 197, с.54-112.

40. Сатторов А.Х., Мамедов Ю.А. 0 некоторых пространствах типа Банаха и их применениях. ДАН Тадж.ССР, 1981, т.24, № 10, с.597-602.

41. Сатторов А.Х., Мамедов Ю.А. Некоторые пространства типа Банаха и их применение к решению краевых задач. Извести АН Азерб.ССР, 1982, № 6, с.12-21.

42. Сатторов А.Х. Об одной краевой задаче с несамосопряженной главной частью. Тезисы докладов научной конференции молодых ученых ЛГПИ им.С.М.Кирова, посвященной 65-летию образования Ленинского комсомола, с.47-48, 1983.

43. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической фищики. М., "Наука", 1977, 736 с.

44. Халилов З.И. Об одном методе решения смешанных задач. ДАН СССР, 1952, 63, № 5, с.659-662.

45. Хермандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. М., ИЛ, 1959, 131 с.

46. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М., "Мир", 1965, 379 с.

47. Худавердиев К.И. Применение метода Фурье к решению смешанной задачи для одного класса нелинейных уравнений четвертого порядка. "Ученые записки АГУ им.С.М.Кирова", сер.физ.-мат.наук, № 4, 1961, № 4, с.17-30.

48. Худавердиев К.И., Асроров А. Исследование периодическогорешения почти всюду одномерной краевой задачи для нелинейных гиперболических уравнений второго порядка. Научные труды MB и ССО Азерб.ССР сер.физ.-мат.наук, 1979, № 2, с.48-55.

49. Худавердиев К.И., Тахиров Б.О. Исследование слабо обобщенного решения многомерной смешанной задачи с общими краевыми условиями для гиперболических уравнений с нелинейной операторной правой частью. Известия АН Азерб.ССР, 1979, № б, с.29-36.

50. Чандиров Г.И. Решение смешанной задачи методом фурье для уравнения - "Ученые записки АГУ им.С.М.Кирова", серия физ.-мат.наук, 1958, № 3, с.12-18.

51. Чандиров Г.И. Исследование слабого решения смешанной задачи для гиперболического уравнения с нелинейной частью. ДАН СССР, 1968, т.148, № I, с.51-54.