Неравенство типа Харнака для решений квазилинейных эллиптических и параболических неравенств второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРНАКА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§ X. Формулировка теоремы

§ 2. Вспомогательные утверждения

§ 3. Абстрактная лемма о возрастании.

§ 4. Возрастание в узкой области.

§ 5. Лемма о трех шарах.

§ 6. Лемма о возрастании.

§ 7. Доказательство теоремы.

§ 8. Примеры.

ГЛАВА II. ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРНАКА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Формулировка основной теоремы.

§ 2. Вспомогательные утвередения

§ 3. Возрастание в узкой области.

§ 4. Лемма о трех цилиндрах

§ 5.Лемма о возрастании.

§ 6. Доказательство теоремы

ГЛАВА III. СКОРОСТЬ ГОСТА РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО НЕРАВЕНСТВА В ГРАНИЧНОЙ ТОЧКЕ

§ I. Предельная скорость роста решения в граничной точке.

§ 2. Допустимая скорость роста решения в граничной точке

Получение неравенств типа Харнана - активно развивающаяся часть качественной теории дифференциальных уравнений второго порядна* Интерес r неравенствам такого типа обусловлен их применением при исследовании гёльдеровости решений линейных и ограниченных решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений, при исследовании поведения их на бесконечности и в граничных точках* при доказательстве теорем Лиувилля. Важные теоремы о неравенстве Харнана для решений линейных уравнений эллиптического и параболического типов получены в работах [к] > [17] , [ie], [б], [4], [12] . Результаты последних двух работ были обобщены на ограниченные решения недивергентных квазилинейных эллиптических и параболических уравнений (см., например, [20],

Основной целью этой работы является получение неравенств типа Харнана для решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений без предположения об априорной ограниченности этих решений* При этом удобнее рассматривать решения не уравнений, а квазилинейных неравенств вида оператор второго порядка недивергентного вида с младшими членами* Основные результаты работы следующие* I*' Получено обобщение неравенства Харнана для решений квазилинейных эллиптических неравенств в случае, когда где оL 0 зависит от размерности пространства и от коэффициентов оператора*

2* Получено обобщение неравенства Харнана для решений квазилинейных параболических неравенств с теми же ограничениями на об « 3* Исследован рост решения квазилинейного параболического неравенства в граничной точке в случае, когда оС - положительное, меньшее единицы число*

Ооновные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора [l3]

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Во введении мы формулируем основные результаты диссертации* Первые две главы посвящены доказательству неравенства типа Харнана для решений квазилинейных неравенств вида (0*1): соответственно первая глава - для эллиптических, вторая - для параболических неравенств* Для получения обобщения неравенства Харнака в каждой из первых двух глав доказана так называемая лемма о возрастании* В третьей главе с помощью этой леммы исследуется рост решения квазилинейного параболического неравенства в граничной точке*