Особые множества уравнений второго порядка с неотрицательной характеристикой формой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

ф

РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАГЛЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСШЕГ им.М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

ОСОБЫЕ ШОЖЕСТВА УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах руиописи

ТУВАЕВ Михаил Васильевич

УЖ 517.9

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений шхаяико-математического факультета Московского государственного университета &м.М.В.Ломоносова.

Научный, руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Е.М.Ландис.

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук, профессор Ю.А.Дубинский, кандидат физико-математических наук, доцент А.А.Космодемьянский.

Ведущая организация - Математический Институт РАН

в 16 час 05 мин. на заседании специализированного совета Д 053.05.04 пря Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 117899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этак).

им. Стек шва.

Защита диссертации совтоится

г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.05.04 при ШУ, профессор

Т.П.Лукашенко

I. ОПШ ХЛРЛК'Ш'ПОТШСЛ. РАННИ.

В последаие годы, в связи с развитием теории нелинейных уравнений появилось много новых: результатов, показывающих отличие качественных свойств решений нелинейных уравнений от известных ранее свойств решений уравнений, именцих тот же тип, но линейных. Например, было известно, что особое множество решения линейного уравнения будет устранимым при определенных условиях на размерность особенности и поведение решения в окрестности особого множества.

Только начиная с 1980 года, в работах Л.Верона, Х.Брезиса, Ж.Л.Впснеса, В.А.Кондратьева, Е.М.Лаядиса и др. были получены результаты о том, что для квазилинейных эллиптических уравнений

. л

вида и - Цг (х > и) для устранимости особого множества можно требовать только условия на размерность особенности и скорость роста младшего члена ^ по неизвестной функции Ц. . Никаких условий на поведение решения в окрестности особого множества (необходимых в линейном случае) для нелинейных уравнений не требуется.

В настоящей работе эти результаты распространяются на уравнения, младший член которых зависит не только от неизвестной функции, но и от ее градиента. Причем рассматриваются не только квазилинейные, но и вполне нелинейные уравнения. Кроме того, в диссертации впервые доказывается теорема об устранимых особенностях ненулевой размерности для параболических уравнений и так называемая "теорема о мертвой зоне" для эллиптического уравнения, вырождающегося на некотором множестве. Последний результат ак-

туален в связи с развитием теории вырождающихся уравнений',"" разработанной в статьях О.А.Ояейник, Н.С.Трудингера, Л.Нирен-берга и др.

1.2. Цель работы

Цель работы состоит в исследовании особенностей решений и ■множеств выроЕдения коэффициентов уравнений с неотрицательной характеристической формой.

1.3. Общая методика исследования

Метод исследования состоит в применении приемов из качественной теории уравнений с неотрицательной характеристической формой: подбор подходящей гфобной функции в интегральном ток-дестве для допущения нужных оценок, теоремы вложения, метод барьеров, использование слабого неравенства Харнака для слабо вырожденных эклиптических уравнений.

1.4. Научная новизна

Следувдие результаты диссертации являются существенно новыми и представляют интерес.

1. Подучены достаточные условия устранимости особых множеств для квазилинейных эллиптических уравнений с младшим членом, растущим на только по неизвестной функции, но и по ее градиенту. Причем, с помощью контр-примеров показано, что эти условия оказались близки к необходимым.

2. Получены достаточные условия для устранимости особых множеств вполне нелинейных эллиптических уравнений.

3. Доказана теорема об устранимых особых множествах нену-^ девой размерности для параболических уравнений.

4. Для слабо вырожденных эллиптических уравнений доказана теорема о "мертвой зоне".

1.5. Приложения

Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение, например, при исследовании задач гидромеханика, химии и т.д.

1.6. Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинаре В.А.Кондратьева а Е.М.Ландяс, на семинара О.А.Олейник и на Всесоюзной конференции им.Пегровсного в 1993 г.

1.7. Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, спйсок которых приведен в конце автореферата.

1.8. Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и двух частей. Первая •часть состоит из трех глав, вторая - из одной четвертой главы. Список литературы содержит 44 наименования.

2. СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность работы, проводится обзор ранее полученных результатов, дается краткой анализ, формулируются основные результаты диссертации.

В первой части излокеян новые результаты об устранимых особых множествах для эллиптических и параболических уравнений.

Б первой главе рассматриваются уравнения, определенные в области ¿2 в Я* и имевдие вид:

тле вектор-функция О, * Л х 1ЯЛ)+ и

функция В(х>1Г}у,) : (£2. < (К измеримы по х. при

фиксированных ^ , и удовлетворяют условиям:

/2-/ Л * 1 / д Ы, Ъ^ТГ^р + 1?\?) (1.3)

Здесь "2Г с^ берутся из области определения функций

Д »5 ; Л, р ? , ~ константы, удовлетворяющие

неравенствам:

Р>1, Л >0, (1.4)

//. (V) - локально ограниченная на /Л функция.

Эти условия позволяют определить понятие решения уравнения (1.1) в следувдем смысле.

Функцию (С (рс) из

Ш) А & (Л)

всюлз

в главе будем называть решением уравнения (1.1) в области -О. если для любой области С\ , компактно вложенной в -¿2. и функции V (т.) из Г\ ( выполняется

тождество:

= / 2Г В (х и, V Й: ) ^ х: ?

Мы будем предполагать, "что

А + А > />- * (1.5)

а условий на поведение решения в окрестности особого множества нет.

С формулируем основной результат главы I. Теорема I. Пусть К - компактное подмножество ограниченной области -£2. в , имеащее хаусдорфозу раз-

мерность с< (т.е. * = { ( К ) — » гДе

/I ^ - мера Хаусдорса размерности ).

Пусть и. - решение в области \ К уравнения (1.1), воэсЕфициентн которого удовлетворяют условиям (1.2)--(1.5), а размерность компакта К удовлетворяет неравенству

РА+А

о^ * < л - л + ■ (1>5)

Тогда ^ п.в. будет совпадать с донадьно-гельдеровой в функцией, являющейся решением уравнения (1.1) в области .

В главе I также показывается, что условие (1.6) нельзя ослабить.

В главе 2 рассматриваются уравнения, нелинейные по старсгм производным, заданные с помощью функции »

л - - -

где $ ^ , ^ - пространство симметрических матрия с

компонентами ; ^ из -О. ; Р из С ($ * £1 ,<

для некоторого £ £ С О; 1)

Через, Робозначается первая производная Г по переменной гг^ , а если У1х): , то через

обозначав тел ^ Предполагается, что /-" обладает следувдими свойствами. I- Равномерная эллиптичность. !

Существует ! Л > О , такое что для всех ос. из ,

! : из ^ , | из выполняется

2. Выпуклость.

Для всех ЯС из ; Ь из £0, 1} ; , КГ^ из

выполняется

(2.2)

3. Ограниченность нелинейности.

Существует константа Л/ , такая что для всех я: из £2. , из ¿/\ выполняется:

/ Р (г-- пс) - Рп СП/

* (2.3)

Рассматривается также функция ^ ( ^; г^-);

, такая что $ 6 (£1* ¡Я* ,

6

причем все вторые производные ограничены функцией, зависящей от V , 2<7 , но не зависящей от * . функция ^ , кроме того, удовлетворяет условиям:

\4 (*, °> = //сс,Мк(1 + 1. гг/)-*-^ < 1), 2 / < К /."7-1;

(2.4)

х К* + + т.

где К (у] - функция, растущая о ростом 2-г* .

Заметим, что этим условиям на функцию удовлетворяют, например, функции вида

« А

/г--/ ^ / - т г--/) ~ ^ г-- ; >^ ¿^/г ^ у ^

Кроме того, функция ^ должна удовлетворять условию ФуС^, 2<7/ ^ сС у-О , где г/ - постоянная. (2.5) Условия (2.1)-(2.5) обеспечивают существование задачи Дирихле для уравнения

/7 ич- - иIX.), и;С-к)) (2<6)

(работы Крылова).

Наряду с константой эллиптичности Л используется

Г ЪеЩ-,*)^

где шЦ- берется по области { - £ /Ц^тсб Я.^ ¡¿1 — ¿^

Заметим, что для Лаплассиаяа /л — Л. , а з общем случае /г ^ .

В г.лаве 2 доказывается следущая теорема. Теорема 2. Пусть функции /* , ^ удовлетворяют всем вышеперечисленным условиям (2.1)-(2.5), Л - компакт в ограниченной области из 1К*1 , а ^ - его размерность Маяковсвого. Пусть в области ^ X для функции ¿<? [ х из ^ ^ К ) выполняется равенство:

Р-* С*))... . (2.6) ______ *

Пусть, кроме того,

+ Л

О * Л" < - + 1--(2.7)

(Заметим, что из перечисленных условий следует, что

Тогда функции ¿¿(х] можно доопределить на /( так, что

продолженная функция и? (х) будет принадлежать классу

С-5—/ для некоторого р ? О и равенство

(2.6) будет выполняться во всей области

В главе 3 результат об устранимых особых множествах распространяется на параболические уравнения вида

(3.1)

где для всех £ из С ( ^ - ограниченная область в 1Я

= ), - из (^Т) , [Т > Р) , ? аз

выполняется неравенство

Предположим также, что

п'

(3.2/

(3.3)

Вводится слерзгщее определение.

Определение . Пусть К - компактное многообразие из . Значение £ ¡К будем называть

К , если существует Х0 £ (К*1

критическим для

что для любого £ > С в К

а,*) из /с/I

, такое,

существует окрестность , такая что для всех справедливо неравен-

ство

Н' \ В /*- *С11

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть К - компактное дифференцируемое многообразие (с краем иди без края), имещее размернооть м . Пусть число его критических значений конечно, а функция

и -к) € С^Г К) является классическим ре-

шением уравнения (ЗЛ) в Ц \ К , а для уравнения (3.1) выполняются условия (3.2), (3.3). Тотда, если

г >3

О « /к < ~ Т~Т

то существует У- из ' С1 (¿1,) , такая что и — И в Ц \ К , и ^ - классическое решение уравнения (3.1) в ¿~1у . ■

Теорема 3'. Пусть компактное множество К лежит в пересечении цилиндра и плоскости Ь — , где , Ьс£(С,Т) .а функция Си,\К')

является класоическнм решением уравнения (3.1) (для которого выполнены условия (3.2), (3.3)) в области Ц \ К' . Тогда, если о( - размерность Минковского компакта К и

г * А±к-

+ I- у-^- - п -^ГГ )

то существует функция , такая, что

ТС ~ и. в Ц \ К' .и - классическое решение

(3.1) в ¡1 .

Вторая часть состоит из одной главы 4. В ней рассматриваются аллиптические уравнения, выровдавдиеся на некотором множестве нулевой меры Лебега, имеющие вид

¿Я. = о&гг( А :-к 1 ¡АС*: = ^

(4.1)

определенные в области из К* , где р {. ,

Г ~ - ( * > Р ~ константы), Л 6*) - симметрическая матрица. Минимальное и максимальное собственные

значения , -Л-(ъ) матрицы А С*) удовлетворяют

условиям

о < ; АЬс) ^ И < ^ ' (4.2)

где И — константа. Матрица л предполагается слабо вырожденной , а именно, для нее выполняется условие

£1

. Я, , & Л.

где ± У я при р уггг иле с ^ ¿ГГ7 при —— .

Вводятся обозначения: Въ - тар в с центром е точ-

ке ^ и радиусом X , через г~!р(А } О.) ? Ир [А,

будем обозначать замыкание пространств С °°

по нормам: у ^

( $ + 1и\? 4 ( § ¡АчиУУ

( I I \ ( ^

диооиртации называется функция -- с / из / , ^ ■ I , ) >

о )

такая что для любой V(тс ) из Нр (/\ £2. ) вылол-

I > /

няется тождество:

-^ ¡Ачи !Р чи} А V гг)е£х. = $ !и/ * ь" ^п и ¿к

Доказывается следущий результат.

Теорема 4. Пусть и(рс) из ^ р ) )

решение уравнения (4.1) в шаре , а для матрицы А (я:) выполняются условия (4.2), (4.3). Тогда существует константа /¡> > О . зависящая только от л р) с(} Л И такая что если

^ {1Ы.ЫЦ: к 6 $ /3 ?

то ос (-х) = О в В.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю Е.М.Ландису за постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации.

1. Тугаев М.В. Устранимые особые множества для уравнения вида X >х = ^ч> // Мат.Заметки. 1992, т.52, £ 3, с.146-153.

2. Туваев М.В. Устранимые особые множества для нелинейных эллиптических уравнений // Вестник МГУ, 1992, Л I, с.8-13.

3. Туваев М.В. Устранимые особые мноаества для эллиптических и параболических уравнений // Диф. ур. 1990, т. 26, № 8,

с.1388-1396.

4. Туваев М.В. Теорема о "мертвой зоне" для вырондащегося эллиптического уравнения. Диф. ур. 1993, т.29,# 2, с.