Краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка с переменным направлением параболичности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БЕС! 4

Л-". 1 . 'I

С. • < 11•

На правах рукописи

Кузнецов Иван Владимирович

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМ НАПРАВЛЕНИЕМ ПАРАВОЛИЧНОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в лаборатории математического моделирования фазовых переходов Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, профессор Плотников Павел Игоревич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Панов Евгений Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент Бочаров Олег Борисович

Ведущая организация - Институт математики им. С Л. Соболева СО РАН

Защита состоится "_"_ 2005 г. в___часов на заседании диссертационного совета Д 212.174.02, Новосибирский государственный университет, 630090 г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан "_"_ 2005 г.

Ученый секретарь N1/ д.ф._м.„. Макаренко Н.И.

диссертационного совета - У'7

^liHtf ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию корректности краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка с переменным направлением параболичности. Такие уравнения возникают при математическом моделировании турбулентного теплопереноса в стратифицированном потоке, течений в пограничных слоях, а также при моделировании процессов эволюции популяции. В классической постановке краевые задачи для уравнений с переменным направлением параболичности являются некорректными. Они не вкладываются в общую теорию параболических уравнений и требуют отдельного рассмотрения. Цели работы. Обоснование корректности краевой задачи /утя модельного уравнения пограничного слоя в классе энтропийных решений. Предельный переход по малому параметру решений начально-краевой задачи с граничными условиями Неймана для псевдопараболического уравнения Баренблатта-Простокишина.

Методика исследования. Доказательства в настоящей диссертации базируются на получении априорных оценок и применении теорем компактности в пространствах Бохнера, теории Н-меры и меры Янга, теории усреднения.

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты:

- доказана корректность первой краевой задачи в классе энтропийных решений для дифференциального уравнения с переменным направлением параболичности.

- доказана теорема компактности множества решений псевдопараболического уравнения Баренблатта-Простокишина с малым параметром при старшей производной.

Неосновным результатом является существование следа в смысле L\ у энтропийного решения дифференциального уравнения с переменным направлением параболичности.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на семинаре лаборатории математического моделирования фазовых переходов ИГиЛ СО РАН под руководством академика РАН В.Н. Монахова, чл.-корр. РАН П.И. Плотникова; на семинаре кафедры дифференциальных уравнений НГУ "Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики"под руководством д.ф.-м.н., проф. A.M. Бло-хина; на XLI Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2003 г.); на IV Всероссий-

ской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1.-4., список которых приведен в конце автореферата. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 71 наименований, изложена на 98 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ "

Во введении проведен обзор литературы и сформулированы основные результаты диссертации.

Глава 1.

В первой главе исследуется корректность первой краевой задачи для дифференциального уравнения с переменным направлением параболичпо-сти:

-А(и) = Аи, (1)

и\Тт = о, и|{0}хп = и0, и}{т}хП = ит. (2)

Здесь А - произвольная функция класса С2(К), От = (0, Г) х $1,, П С Ш'1 - ограниченная область с гладкой границей класса С2, Т - произвольное положительное число, и°,ит € Ьоо(П) - заданные функции. Кроме того, относительно функции А предполагается выполненным следующее Условие А. Каждое компактное множество из К содержит не более конечного числа нулей производной функции А.

Доказывается, что при сделанных предположениях эта задача имеет единственное энтропийное решение. Показывается, что при естественных ограничениях на граничные данные энтропийное решение является предельной точкой множества решений задачи Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. Кроме того, энтропийное решение устойчиво в ¿1-метрике по отношению к возмущениям граничных данных.

Прежде чем определить понятие энтропийного решения, напомним, что пара функций (т;,д) б С2(Е)2 называется энтропийной парой, если функция г] является выпуклой, и имеет место равенство

д'(г) = А'(г)т]'(г) при 2 € Е.

В свою очередь, пара функций (Я, С}) 6 С2(К2)2 называется граничной энтропийной парой, если выполнены соотношения:

= Н(г,к)> 0, ^Н(г,к)> 0, Н{г,г) =

<Э(гг, г) = = 0 при г, Л 6 К.

ог

Энтропийное решения задачи (1)-(2) может быть определено двумя способами.

Определение 1. Функция и € Ь00(Ст) П Ь2(0, Т\ Н^ (Г2)) называется энтропийным решением краевой задачи (1)-(2), если:

1. Справедлива оценка

Мклот) < ЛГ. гдеМ = тах{||и°||/_(П),||ит||Ьто(П)}. (3)

2. Для любой энтропийной пары (т/, <?) имеет место неравенство

^д(и) - Дг,(«) + т,"(«)|У«|2 < О,

которое понимается в смысле теории распределений.

3. Для любой граничной энтропийной пары (Н, ()), любого числа к € [— М, М] и произвольной почти всюду неотрицательной функций ¡3 6 £-1 (О) существуют пределы

евзНт I (¿(и(1,х),к)Р(х)<1х, еязНт I Сд(и(1,х),к)/3(х)(1х, «-Ц-0 Jíi 1->Т- _/п

и имеют место неравенства

вввИт I (¿(и(1,х),и°(х))/3(х)с1х <0, {->+0

еввНт I (}(и(1,х),иТ(х))Р(х)<1х > 0.

Уо

Определение 2. Функция и € ¿оо(<?т) П ¿2(0, Т; //(5 (Л)) называется энтропийным решением задачи (1)-(2), если выполнен принцип максимума (3), и для любой граничной энтропийной пары произвольного к € \—М,М\ и любой неотрицательной функции 7 € С^Ю(М х Л),

А = sup A'{z) справедливо неравенство

\z\<M

- J^ (Q(u, к) + H (и, к) Д7 - |V u|2 к)7) dtdx <

Л [ (Н(и°(х), к)7(0, х) + Н{иТ(х), к)-у(Т, х)) dx. (4) Jo

В начале первой главы доказывается, что для любых и°,ит G Loo(^) эти определения эквивалентны.

Основным результатом первой главы является следующая Теорема 1. Пусть функции щ,и-2 € L0o(Gt) П ^г(0,Т; #¿(11)) являются энтропийными решениями краевой задачи (1)-(2), которые соответствуют граничным данным и®,uj е L00(Q), i = 1,2. Тогда справедлива оценка:

Них - u2\\Li{Gt) < С(|К - U,(О) + Ы ~ "Ли,(п)),

гдеС = С(П,Л).

Единственность энтропийного решения является очевидным следствием этой теоремы. Утверждение теоремы является, в свою очередь, следствием оценки устойчивости:

- [ [ |«i - «г| AÇdtdx <а[ (К - + - y%\)£dx, Jo Jo Jil

которая выполняется для любой неотрицательной функции £ 6 Cq(î2). Эта оценка доказывается с помощью метода удвоения переменных, предложенного С.Н. Кружковым. Основная сложность в доказательстве заключается в выборе функции усреднения.

Наряду с задачей (1)—(2), в диссертации рассматривается её эллиптическая регуляризация:

д д2

—А{ие) = Д ие + (5)

v>e\vt = 0, ue|{o}xt2 = u0, ue\{t)xs1 = ut. (6)

Устанавливается, что при естественных ограничениях на функции и°,ит, каждая предельная точка множества решений {ие}Е>о краевой задачи (5)-(6) является энтропийным решением задачи (1)-(2) в смысле определения 2:

Теорема 2. Пусть и0,иТ G (fi)С\Щ(П). Тогда

1■ При £ > 0 задача (5)~(6) имеет решение ие € Я^Ст) П^оо(Ст)-

2. Для п.в. (£,х) € От м£(<,х) и(Ь,х) при е —> +0, где функция и - энтропийное решение краевой задачи (1)-(2).

Прямым следствием теорем 1 и 2 является утверждение о корректности задачи (1) (2) в классе энтропийных решений.

Теорема 3 .Для любых и0 ,иТ 6 Ьоо(П) краевая задача (1) (2) имеет единственное энтропийное решение.

К доказательство опирается на следующие две леммы, которые представляют самостоятельный интерес. Первая из них гарантирует компактность множества решений регуляризованных уравнений в пространстве Ьр(От) для любых р € [1,оо). Доказательство этой леммы сходно с доказательством, предложенным в [1] для частного случая : А{г) = г2/2, <1=1. Вторая лемма показывает, что решения задачи (5)-(6) удовлетворяют приближенному энтропийному неравенству (4):

- 1а (<2(«е, *)|7 + Я(«е, *)(Д7 + - "г''

+ Н(ит{х),к)у(Т,х)) йх + 2е ^ (,'е1АН{щ,к) —7<Шх,

где (Н, <5) - произвольная граничная энтропийная пара, 7 € Со°(М х П) -неотрицательная пробная функция, к 6 К, функция задана формулой

= 1 -ехр(-пип{М,Г-*}.Д/е) при.« € (0,Т), 5 > 0,

Иш £еМ(«) = 1» Ит е£/АЦ) = 0 п.в.по* €(0,Т).

е-И-0 е-И-0 '

Из этих утверждений вытекает, что любая предельная точка множества {«е} есть этропийное решение задачи (1)-(2).

Глава 2.

Во второй главе рассматривается начально-краевая задача для нсев-допараболического уравнения с малым положительным параметром при старшей производной. Особенность этой начально-краевой задачи состоит в том, что предельное уравнение, соответствующее нулевому значению

малого параметра, является уравнением с переменным направлением па-раболичности. В диссертации исследуется поведение решения следующей начально-краевой задачи при стремлении малого параметра к нулю:

О 3

^ = + (7)

„.у(ФЫ + г|^£)1гг =0, (8)

«е|(=о = «°. (9)

Здесь Ст = (0, Т) х П, Гт = (0,Т) х ¿Ш, П С К*4 - ограниченная область с границей класса С2, Т - произвольное число, и0 € Ьоо(П) почти всюду неотрицательна. Относительно функции Ф предполагается выполненным следующее

Условие Ъ. Функция Ф : М+ —> К+, является гладкой функцией, имеющей единственную точку максимума. Кроме того, функция Ф стремится к нулю на бесконечности, Ф(0) = 0 и /0°° Ф (в)<1з < оо. Без ограничения общности будем считать, что функция Ф продолжена гладким образом на отрицательную полуось так, что Ф(в) < 0, и Ф'(я) > 0 при з < 0.

Положим Ф(а) = /? = шахФ(з) > 0. Приведем пример функции, которая »>о

удовлетворяет этому условию:

Ф(в) = -вехр(1-~), я€К+. а а

Теорема 4. При выше сделанных предположениях, задача (7)-(9) имеет неотрицательное решениеие 6 Я1 (0,оо; Я1 (П))ПС1 (0,оо; Ь^И)), такое, что для любого Т > 0 справедливы оценки

д О

+ ||«е|иов(о,г;ь1(п)) + РЫ1ите(от) < С,

где С не зависит от е.

Каждой гладкой неубывающей функции д € С1 (0, /?), д(0) = 0, сопоставим пару функций (#,<3), Я € С1 (0,0), <3 £ С^К"1") по правилу:

Я(т) = £ д(\)<1\, т 6 [0,0], Я(з) = д{Ь{г))<1г, а € [0,оо).

В силу условия Z, при s Е [0, оо)

/оо Г ОО Г оо

я(Ф(*)) dz = / (®(Ф(2))-»(0)) dz < \\д\\сцо,0) / Ф(*) dz < оо. Je Jo

Основным результатом второй главы настоящей диссертации является следующая

Теорема 5. Пусть {f£}e>o - множество решений задачи (7)-(9). Тогда найдутся подпоследовательность {vek} и функции ki, G ¿oo(Gt), и € Loo(GT)r\L2{0,T-,H1(fl)), такие, что

1. Имеет место сходимость Ф(«£(,) —> и по норме в Lp(Gt) при е* —> О, р> 1.

á. Для п. в. (t,x) € Gt выполнены соотношения:

О < Kt(t,x) < 1, «i(t,x) + K2(t,x) < 1, 0 < cj(t,x) < p.

3. Для любой вектор-функции <p 6 L2{Gx)d справедливо следующее соотношение:

J Тр - v($(veit) dtdx J Tp-Vudtdx прие^-^О.

4- Для произвольной неотрицательной функции h 6 Cq°(Gt) и произвольной пары (Н, Q) выполнено неравенство

Г 2 В

/ (^С^С^Н) «-Л - Н(ы)ДЛ + dtdx <

Т ^ = 1

- [ л(о,х)д(и°(х))йх. J(l

Здесь функции 51 : [0,(3] —> [0,а] и : (0, /3] —> [а,оо) обозначают нижнюю и, соответственно, верхнюю ветви обратной функции к функции Ф : [0, оо) -+ [0,/?].

Произвольным функциям /,д € С1 (0, /?), д(0) = 0, сопоставим пару функций Р* £ С^О,/?), <2 6 С1^"1") по правилу:

/ОО

9{Ф(z))dz,sE[0,oo).

Обозначим через F*, <3*, (РС^)*, соответственно, *-слабые пределы в пространстве Ьоо(Ст) подпоследовательностей (¡(уек), Одним из ключевых моментов доказательства теоремы 5 служит следующая теорема, утверждающая справедливость коммутационного соотношения, предложенного в [2]:

Теорема 6. Справедливо коммутационное соотношение

= прип.в.(«,х) е(7т. (Ю)

Напомним, что последовательность )} ограничена в Ь(ю(Сг), а

подпоследовательность {г>Ск} - лишь только в Ьж{0, Т; Ь] (П)). В силу теории мер Янга (см. например [3]), существуют *-слабые измеримые семейства мер {сг1,х}(1,х)еот с РгоЬМ([0,/3]) и {»1,х}(1,*)еоV С М+([0,оо)), такие, что *-слабые пределы F*, <3*, (РС?)* подпоследовательностей /(Ф(и£|,)), <3(«£к) и /($(«>£*)) Ф(«е|>) при п.в. (г, ж) е <7г имеют вид

Я'(1,х)=[ = [ ( Г д(Цг))Л2) (1и1<х(а),

J^0,oo) ./[О,оо) 4 Л '

•/[О,/?]

«/|0,оо) ^ Js '

где /,з € С^О,/?) - произвольные функции, р(0) = 0. Отметим, что функция ш, как *-слабый предел {Ф(и£|Ь)}, в почти каждой точке (4,а:) £ Сг является математическим ожиданием меры <т^х 6 РгоЬМ([0,/?]), т.е. и>((,,х) = /[ор]т<^а1,х(т)- При принятых обозначениях, коммутационное соотношение (10) принимает вид :

[ /(г) <Ь^{г) [ ( Г д(Ф(г)) с1г) */,,.(«) =

■/[0,0) ** [0,оо) V« '

/о (П>

Если мера Янга есть мера Дирака, то соответствующая этой мере последовательность сходится не только *-слабо, но и по норме в любом Ьр. Компактность множества {Ф(г)е)} в Ьу означает, что мера есть мера Дирака :

Теорема 7. Пусть меры (7, т и vlT удовлетворяют коммутационному соотношению (11). Тогда вероятностная мера € ProbAf ([О, fi]) есть мера Дирака, сосредоточенная в точке u>(t,x) G [О,/?], О < w(t,x) < fi для п.в. (t,x) € Gt, где функция и> : Gt -* [0, /3} принадлежит L^Gt)-

1. Если 0 < oj(t, х) < ¡3, то носитель меры vliX состоит не более чем из двух точек Si(u(t,x)) и где 0 < S\(u)(t,x)) < а < Si(<jj{t,x)) < оо.

2. Если oj(t, х) = 0, то носитель меры utiX состоит из единственной точки нуль.

Глава 3.

Третья глава является продолжением первой главы настоящей диссертации, в которой представлены неосновные результаты, связанные с существованием следа на границе в смысле Lx у энтропийного решения.

Теорема 8. Пусть производная функции А € С' (М) обращается в нуль лишь на счетном множестве. Тогда энтропийное решение задачи (1)-(2) имеет следы иТ'°, ит'т € Lqo(^) в смысле Ь\ .

При доказательстве применяются метод "blow-up" [4] и модификация Н-мер [5]. Заметим, что следы ит'° и ит'т могут и не совпадать с граничными данными и0 и, соответственно, ит.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю чл.-корр. РАН П.И. Плотникову за предложенную постановку задач и за своевременное обсуждение полученных результатов.

Список литературы

[1] О.Б. Бочаров, О первой краевой задаче для уравнения теплопроводности со знакопеременным коэффициентом, сб. Динамика сплошной среды, Новосибирск: ИГ, 37 (1978), 27-39.

[2] R.J. Di Perna, Measure-valued solutions to conservation laws, Arch. Rat. Mech. Anal., 88 (1985), 223-270.

[3] R J. Di Perna, A.J. Majda, Oscillations and concentrations in weak solutions of the incompressible fluid équations, Commun. Math. Phys., 108 (1987), 667-689.

i ZlA/U-t

11124

[4] A. Vasseur, Strong traces for solutions of multidimensionai scalar conservation laws, Arch. Ration. Mech. Anal., 160, No.3 (2001), 181-193.

[5] Е.Ю. Панов, О последовательности мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка, Мат. сб., 185 (1994), 87-206.

Публикации автора по теме диссертации

1. Кузнецов И.В. Сингулярные пределы решений псевдопараболического уравнения с малым параметром при старшей производной // Вестник НГУ. 2004. Т. 4, № 3, С. 45-62.

2. Кузнецов И.В. Энтропийные решения дифференциального уравнения второго порядка с переменным направлением параболичности // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, Л» 3, С. 594-619.

3. Кузнецов И.В. Сингулярные пределы решений псевдопараболического уравнения с малым параметром при старшей производной // Тезисы докладов IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям / Красноярск, 2003, с. 31.

4. Кузнецов И.В. Энтропийные решения уравнения диффузии с переменным направлением параболичности // Тезисы докладов XLI Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / НГУ. Новосибирск, 2003, с. 24.

Подписано к печати 08.08.05 Формат бумаги 60 х 84/16 Тираж 75 экз.

Ротапринт Института гидродинамики СО РАН Новосибирск-90, проспект акад. Лаврентьева, 15

Заказ JV* 158, Объем 0.75 п.л. Бесплатно

Введение.

Глава 1. Энтропийные решения модельного уравнения пограничного слоя

1.1. Основные результаты.

1.2.Доказательство предложения 1.1.5.

1.3. Доказательство теоремы 1.1.6.

1.4.Доказательство теоремы 1.1.7.

1.5. Доказательство теоремы 1.1.8.

Глава 2. Сингулярные пределы решений псевдопараболического уравнения с малым параметром при старшей производной

2.1.Основные результаты.

2.2.Доказательство теоремы 2.1.1.

2.3.Коммутационное соотношение.

2.4.Параметризованные меры.

2.5.Доказательство теоремы 2.1.2.

Глава 3. Дополнение к первой главе

3.1. Существование следа решения в смысле Li.

3.2.Доказательство предложения 3.1.3.

3.3. Доказательство теоремы 3.1.5.

3.4.Относительная компактность решений уравнения

3.3.6).

Диссертационная работа посвящена исследованию корректности краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка с переменным направлением парабол и чности. Такие уравнения возникают при математическом моделировании турбулентного теплопереноса в стратифицированном потоке, течений в пограничных слоях, а также при моделировании процессов эволюции популяции. В классической постановке краевые задачи для уравнений переменного типа параболичности являются некорректными. Они не вкладываются в общую теорию параболических уравнений и требуют отдельного рассмотрения. В исследовании краевых задач в большей мере применяются методы, развитые для гиперболических систем и уравнений. Приведенные в настоящей диссертации результаты носят исключительно теоретический характер.

Линейное уравнение переменного направления параболичности имеет вид a(t, x)ut — ихх = О, где <7 - функция неопределенного знака. При a(t,x) = x2k+1, это уравнение впервые было рассмотрено в [1], [2]. В [3] был подробно изучен случай : сг(£, х) = х. Первая краевая задача для уравнения хщ - (\их\р~2их)х = f была поставлена в [4, гл. 3, п. 2.6]; там же был сформулирован вопрос о возможной гладкости решения в окрестности особой линии х = 0. Случай cr(t, х) = х, —оо < х < оо,0 <t <Т, был рассмотрен в [5]. В случае произвольно заданной функции сг, для первой краевой задачи в [6] и [7] доказано существование и единственность слабого решения, которое принадлежит определенному пространству Гильберта. Линейные уравнения переменного типа параболичности возникают в различных областях : в гидродинамике при описании пограничного слоя [8], [9], в физике плазмы и астрофизике при изучении распространения пучка электронов через солнечную корону [10].

Отметим, что в настоящей диссертации рассматриваются только квазилинейные уравнения переменного типа парабол и чности, которые можно разделить на уравнения с неотрицательной и, соответственно, с знако-неопределенной квадратичными формами.

Типичным примером квазилинейного уравнения переменного типа парабо-личности с неотрицательной квадратичной формой есть модельное уравнение пограничного слоя в переменных Мизеса : u2)t = ихх, (1) с соответствующими краевыми условиями и|х=о = 0, n|x=i = 0, (2) u\t=o = u\t=T = ит. (3)

О.А. Олейник на одной из лекций, прочитанных в летней математической школе, см. [11, стр. 117-256], отметила важность развития теории краевых задач для квазилинейных уравнений с неотрицательной квадратичной формой. В качестве примера была рассмотрена задача (1)-(3), которая возникает в теории пограничного слоя, см. также [12]. Аналогичная краевая задача для уравнения sign(u) ut = ихх была рассмотрена в [13]. Раскроем гидродинамический смысл уравнения (1). Модельное уравнение пограничного слоя (1) получается после перехода к переменным Мизеса из уравнений Прандтля, описывающих плоское стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое. Здесь t - направление вдоль стенки, ограничивающей поток; х - функция тока; u(t, х) -горизонтальная компонента скорости. Обычно предполагается, что уравнение (1) описывает пограничный слой без отрывов, т.е. и > 0. Однако, если предположить, что уравнение (1) может быть применено к описанию явления отрыва пограничного слоя, то следует учесть, что вблизи точки отрыва появляется область с возвратным течением, и скорость и меняет знак. Таким образом, при изучении отрывных течений в пограничном слое мы имеем дело с квазилинейным уравнением второго порядка с переменным направлением параболичности. Поскольку течение стационарное, то (3) краевые условия задают профили горизонтальной скорости и0 и ит в начале и, соответственно, в конце пограничного слоя. Граничные данные (2) соответствуют предположению о прилипание жидкости к стенке.

Краевую задачу (1)-(3) можно рассматривать, как пересечение двух задач Коши для уравнений с положительным и, соответственно, с отрицательным направлениями параболичности. Согласно теории вырождающихся параболических уравнений [И, стр. 262], для непрерывно дифференцируемых граничных данных и°,ит € Cq(0, 1), удовлетворяющих условию ит < 0 < инайдутся достаточно большие t\,t2,T £ Ж.+, и существует единственное непрерывное решение и краевой задачи (1)-(3), такое, что u(t,x) = 0 при t £ (^1,^2)» 0<*1<*2<Г,а:<Е(0,1). Легко видеть, что при произвольном Т > О, решение краевой задачи (1)-(3) может и не существовать в пространстве непрерывных функций. В [11] была поставлена задача о построении классов решений, в которых эта краевая задача приобрела бы корректность.

В [14] было доказано существование ограниченного обобщенного решения уравнения (1). Опишем схему доказательства этого результата. Важнейшим методом построения слабого решения служит метод эллиптической регуляризации. Эллиптическая регуляризация задачи (1)-(3) записывается в следующем виде : u2e)t = щ,хх + £u£)tt, (4) щ\х=о = 0, u£\x=i = 0, (5) u£\t=o = и0, u£\t=t = ит. (6)

При произвольных е, Т > 0 и любых граничных данных и°,ит £ Ьоо(0,1) П Щ(0,1), задача Дирихле (4)—(6) имеет решение и£ £ L^Gt) П H1{Gt), Gt — (О,Т) х (0,1), см. [15, гл. 8], и справедливы оценки :

IMUoo(Gt) < max{||ii0||Lee(oil),||iir||Leo(o>i)}1

У^ЬеЛыОт) + \\ue,x\\b2(GT) <

T—h IWl{t + К •) - «?(«, 011(0,1)dt < Ch>

J о где С не зависит от е > О, h > 0. Исходя из этих соотношений, в работе [14] было установлено, что множество решений {^е}£>0 краевой задачи (4)-(6) относительно компактно в L\{Gt) и, соответственно, содержит подпоследовательность {г%,}, которая сходится в среднем к слабому решению уравнения (1) при £i +0.

В первой главе настоящей диссертации рассматривается первая краевая задача для уравнения с переменным направлением параболичности и с неотрицательной квадратичной формой: dtA(u) = А и, (7) и|Гг = 0, n|f=0 = u\t=T = ит, (8) при предположении на функцию A G С2(Щ, что каждое компактное множество из R содержит не более конечного числа нулей производной функции А. Здесь Gt = (0, Т) х Г2, Гт — (0, Т) х д£1, Q С M.d - ограниченная область с гладкой границей класса С2, Т - произвольное положительное число, и°,ит G Loo(^) ~ граничные данные. Помимо задачи (7)-(8), в первой главе рассматривается эллиптическая регуляризация : dtA(ue) = Аие + £ue>tu щ\гт = 0, W£|f=0 = «Л Ue\t=T = иТ, при естественных ограничениях на граничные данные: it0, ит G L^Q) fl#o(fi).

В первой главе настоящей диссертации показано, что ие стремится в L\ к энтропийному решению задачи (7)-(8). Более того, именно в классе энтропийных решений краевая задача (7)-(8) однозначно разрешима.

Исторически, понятие энтропийных решений возникло в процессе изучения квазилинейных уравнений первого порядка и построения единственных решений в целом по времени : dtu + di vF(u) = 0, (9) где F G C2(R)d - произвольная гладкая вектор-функция. Энтропийное решение уравнения (9) удовлетворяет в смысле распределений следующему неравенству: дгф{и) + divН{и) < О, (10) для любой выпуклой функции ф и соответствующего энтропийного потока Н, Н' = ф'Р'. Для квазилинейных уравнений первого порядка существование и единственность энтропийных решений задачи Коши были доказаны в [16-19] при налагаемых условиях на начальные данные и функцию F. Корректность начально-краевых задач в классе энтропийных решений установлена в [20-25]. Особенность начально-краевых задач для (9) заключается в том, что если граничные и начальные данные из BV, то существует единственное энтропийное решение ограниченной вариации, см. [20], удовлетворяющее краевым условиям в следующем смысле sign(u - uD) и(х) • (F(it) - F(k)) >0, Vfc G (min(u,uD), max(«,uD)). (11)

В работах [24, 25] доказывается, что, если начальные и граничные данные из Looj то существует единственное ограниченное энтропийное решение, удовлетворяющее краевым условиям в смысле Ф. Отто, которые задаются граничными энтропийными парами (см. [25]). Поскольку энтропийное решение (7)-(8) является всего лишь ограниченным, то при доказательстве единственности энтропийного решения задачи (7)-(8) применяются методы, развитые в [16, 24-25].

Пусть функция F G C3(R)d удовлетворяет условию сильной нелинейности :

V(r,C)GMxRd, |т| + |С| ф 0, mes({£ G R : г + С • F'(£) = 0}) = 0.

В работе [34] доказывается, что при условии сильной нелинейности энтропийное решение уравнения (9) имеет след на границе в смысле L\. Тогда всего лишь ограниченные решения (10) удовлетворяют не только краевым условиям в смысле Ф. Отто, но и в форме (11).

У энтропийного решения существует эквивалентная кинетическая формулировка. Вводится новая переменная £ G (—L, L), изменяющаяся в области значения функции it, тогда справедливо представление функции и в виде где т - неотрицательная мера - kinetic defect measure. Эта формулировка была введена в работе [26] и изучалась во многих работал, как, например: [27-29]. Компактность решений этого уравнения установлена и изучена в полной мере в [30-33]. В [34] применяется метод blow-up к кинетической формулировке энтропийного решения уравнения (9) для обоснования существования следа у энтропийного решения в смысле L\. Применение метода blow-up к энтропийным решениям было впервые предложен в [35] для доказательства гладкости обобщенных решений одной гиперболической системы двух уравнений.

Отметим, что в работе [36] изучаются энтропийные решения уравнений параболического типа. Кинетическая формулировка энтропийных решений рассматривается в работе [37].

При условии сильной нелинейности на коэффициенты уравнения, компактность кинетических решений установлена в [38] для более узкого класса уравнений - ультрапараболических уравнений Гратца-Нуссельта. Результат компактности был установлен с помощью теории iif-мер, предложенной в [39] и развитой в [18], и теории сингулярных операторов [40]. Более того, эти результаты компактности можно распространить на более широкий класс уравнений переменного направления параболичности.

Вышеупомянутые методы применяются при обосновании существования следа энтропийного решения задачи (7) -(8) при более слабых условиях на функцию А : невырожденность производной функции А почти всюду: Этому результату посвящена третья глава.

Перейдем к рассмотрению квазилинейных уравнений переменного типа с знаконеопределенной квадратичной формой. В работах [41-45] были построены

X / /--9 — - J Л • '

Тогда неравенство (10) сводится к транспортному уравнению мерозначные решения для уравнения где функция (р £ С1^4*) удовлетворяет условиям:

Л|Л- 1)+ < <р(А) < Л|Л|1<5 + 1, |Vcp(A)| < Л|А\5 для всех A eRd, 5 е [0,1].

В работах [46-49] исследованы уравнения переменного направления параболичности, содержащие оператор гистерезиса : dt{v + w)-Av = f, где v и w связаны между собой соотношением : и = a(w) := w(w2 — 1), либо

-оо, а2] w = —1, ((ai - a2)w + ai + а2) -1<w<1, ai, oo) w = 1.

В работах [50-52] было показано, что уравнение

Щ - (г>3 - v)i и

Е a(w) = < xx имеет бесконечно много ограниченных слабых решений. Отметим, что в работах [53-55] построен класс энтропийных решений для этого уравнения, являющийся более узким классом, чем класс мерозначных решений. Энтропийные решения этого уравнения строятся, как предельные точки начально-краевой задачи с граничными условиями Дирихле : dtv£ = (ye -ve + edtve)xx, vz£ - v£ + edtv£) |xe0,«=i = 0, t>e|t=0 =

В [55] было показано, что множество — v£}£>0 относительно компактно в L2.

Во второй главе настоящей диссертации изучается следующее уравнение с переменным направлением параболичности dtv = ДФ(г>). (12)

Функция Ф : Ж+ —> Ж+ не монотонна и имеет на интервале единственную точку максимума; стремится к нулю на бесконечности; обращается в нуле в нуль; кроме того, эта функция интегрируема на положительной полуоси. Поясним гидродинамический смысл этого уравнения. Уравнение (12) является уравнением теплопроводности для положительных градиентов температуры по вертикали в сдвиговом по горизонтали потоке жидкости и возникает при моделировании процессов турбулентного теплопереноса в океанологии. Пусть х -вертикальное направление (ось х - направлена вверх), в - температура, t - время, v = дхв ~ градиент температуры. В общем случае, абсолютная величина теплового потока зависит от многих факторов. Но в некоторых моделях океанологии, в предположениях относительной устойчивости погоды и отсутствия интенсивных течений, турбулентный поток тепла Ф, в основном, зависит от вертикального градиента температуры, т.е. v. Такой случай типичен для центральной части Черного моря и северной части Японского моря. При наличии сильного гравитационного поля и линейной зависимости плотности жидкости от температуры, положительность градиента температуры по вертикали является следствием уменьшения плотности жидкости по х. Устойчивое распределение плотности по вертикали приводит к тому, что любая турбулентность гасится, и при достаточно больших градиентах температуры турбулентный тепловой поток мал. Начиная с некоторого критического значения v, тепловой поток Ф(г>) убывает. Малый параметр е - время релаксации теплового потока относительно малой вариации градиента температуры. Учитывая е в уравнении теплопроводности (12), тепловой поток Ф принимает форму:

Ф(и(* - £, х)) » Ф(г;(£, х)) + £dt^(v{t, х)), где Ф = Ф(г) - ограниченная непрерывная монотонно возрастающая функция. В этих предположениях, процесс теплопереноса описывается начально-краевой задачей с граничными условиями Дирихле для псевдопараболического уравнения с малым параметром при старшей производной: = + (13) v\x=o,x=i = 0, (14)

4=о = (15)

Эта математическая модель была предложена в работе [56].

Следующая начально-краевая задача с граничными условиями Неймана

ФЫ + фе)в, (16)

Ф(|7в) + edtv£)x\x^x=1 = 0, (17) ve|t=0 = А (18) была рассмотрена в работах [57, 58] при описании процессов динамики популяции. Перечислим одинаковые свойства решений задач (13)—(15) и (16)—(18). Для любых положительных начальных данных v0 Е Loo(0,1), при любом значении положительного малого параметра е, при любом Т > 0, у краевых задач (13)—(15) и (16)-(18) существуют положительные почти всюду решения в Cl(0,T] Loo(0,l)), которые стремятся асимптотически по времени к функции q G Ьоо(0,1)- Если Ф'(г;°(ж)) > 0 при всех х 6 (0,1), то решение принадлежит пространству Сг(0, оо; BV(0,1)), и функция q равна почти всюду нулю. Если Ф'(г7°) < 0, то решение принадлежит С1(0, оо; Lqo(0,1)), и функция q является только почти всюду неотрицательной. Вопросы, касающиеся предельных точек по малому параметру е множеств решений задач (13)—(15) и (16)—(18), остаются все ещё не до конца изученными.

Во второй главе настоящей диссертации исследованы предельные точки множества решений начально-краевой задачи Неймана для псевдопараболического уравнения с малым положительным параметром при старшей производной: dtv£ = Д(Ф(г;£)+ед<г;£), v • У(Ф(ие) + edtv£) \дпх(о,т) = 0, 12 где v° G ^оо(П) - почти всюду неотрицательные начальные данные. Доказано, что множество {Ф(г>е)}е>о относительно компактно в L2. При обосновании компактности используются методы, развитые в [55].

1. М. Gevrey, Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique, J. Math. Pures Appl., 6 (1913), 305-475.

2. M. Gevrey, Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique (suite), J. Math. Pures Appl., 6 (1914), 105-148.

3. M.S. Baouendi,P. Grisvard, Sur une equation devolution changegeant de type, J. Funct. Anal. 2 (1968), 352-367.

4. Ж.-JI. Лионе, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, пер. с фр., под ред. и предисловием О.А. Олейник, М.: Едиториал УРСС, (2002).

5. J.A. Franklin, E.R. Rodemich, Numerical analysis of an elliptic-parabolic partial differential equation, SIAM J. Numer. Anal., 5 (1968), 680-716.

6. H. Lu, Forward-backward heat equations and analysis of iterative methods, PhD thesis, Department of Mathematics, University of Nijmegen, The Netherlands, (1995).

7. H. Lu,Z.-Y. Wen, Solution of a forward-backward heat equation. In Alefeld G., Mahrenholtz O. Mennicken R. eds. ICIAM/GAMM 95, Numerical Analysis, Scientific Computing, Computer. ZAMM Z.angew.Math.Mech., 76 (1996), 457-458. 21.

8. K. Stewartson, Multistructural boundary layers on at plates and related bodies, Adv. Appl. Mech., 14 (1974), 145-239.

9. K. Stewartson, D'Alembert's paradox, SIAM Rev., 23 (1981), 308-343.

10. Н.А. Ларькип,В.А. Новиков,Н.Н. Яненко, Нелинейные уравнения переменного типа. Н.: Наука, (1983).

11. J.-P. Guiraud, A propos de la separation d'une couche limite laminaire, C. R. Acad. Sci., Paris, Ser, A 268 (1969), 239-241.

12. О.Б. Бочаров, О первой краевой задаче для уравнения теплопроводности со знакопеременным коэффициентом, сб.гДинамика сплошной среды, Новосибирск: ИГ, 37 (1978), 27-39.

13. О.А. Ладыженская,Н.Н. Уралъцева, Линейные и квазилинейные эллиптические уравнения, М.: Наука, (1973).

14. С.Н. Кружков, Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнений первого порядка, ДАН, 187, №1 (1969), 29-32.

15. С.Н. Кружков, Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными, Мат. сб., 81, №2 (1970), 228-255.

16. Е.Ю. Панов, О последовательности мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка, Мат. сб., 185 (1970), 87-206.

17. G.-Q. Chen,M. Rascle, Initial layers and uniqueness of weak entropy solutions to hyperbolic conservation laws, Arch. Rational Mech. Anal., 153 (2000), 205-220.

18. C. Bardos, A.Y. Leroux, J.C. Nedelec, First order quasilinear equations with boundary conditions, Comm. Part. Dif. Eq., 4 (1979), 1017 -1034.

19. F. Dubois, P. Le Floch, Boundary conditions for nonlinear hyperbolic systems of conservation laws, J. Differ. Equ., 71, No.l (1988), 93-122.

20. A. Nouri, A. Omrane, J.P. Vila, Boundary conditions for scalar conservation laws from a kinetic point of view, J. Statist. Phys., 94 (1999), 779-804.

21. A. Szepessy, Measure-valued solutions of scalar conservation laws with boundary conditions, Arch. Rational Mech. Anal., 107 (1989), 181-193.

22. F. Otto, First oder equations with boundary conditions. Sonderforchurnbereich, 256 (1992),(Preprints 234).

23. F. Otto, Initial-boundary value problem for a scalar conservation law, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 322 (1996), 729-734.

24. P.-L. Lions, B. Perthame, E. Tadmor, A kinetic formulation of multidimensional scalar conservation laws and related equations, J. Amer. Math. Soc, 7 (1994), 169-191.

25. B. Perthame, Lecture notes on kinetic formulation of conservation laws, Studies in Advanced Mathematics, 15 (2000), 111-139.

26. B. Perthame, Kinetic formulations of conservation laws, Oxford Univ. Press: Oxford 2002.

27. C. De Lellis, F. Otto, M. Westdickenberg, Structure of entropy solutions for multi-dimensional scalar conservation laws, Arch. Ration. Mech. Anal., 170, No.2 (2003), 137-184.

28. V.I. Agoshkov, Spaces of functions with differential-difference characteristics and the smoothness of solutions of the transport equation, Dokl. Akad. Nauk USSR, 276 (1984), 1289-1293.

29. R. J. DiPema, P.-L. Lions, Y. Meyer, Lp regularity of velocity averages, Ann. Inst. H. Poincare Non Lineaire, 8 (1991), 271-287.

30. B. Perthame, P.E. Souganidis, A limiting case for velocity averaging, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 31, No.l (1998), 591-598.

31. F. Bouchut, L. Desvillettes, Averaging lemmas without time Fourier transform and application to discretized kinetic equations, Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 129, No.l (1999), 19-36.

32. A. Vasseur, Strong traces for solutions of multidimensional scalar conservation laws, Arch. Ration. Mech. Anal., 160, No.3 (2001), 181-193.

33. A. Vasseur, Time regularity for the system of isentropic gas dynamics with 7 = 3, Commun. Partial Differ. Equations, 24, No. 11-12 (1999), 1987-1997.

34. G.-Q. Chen, E. DiBenedetto, Stability of entropy solutions to the Cauchy problem for a class of nonlinear hyperbolic-parabolic equations, SIAM J. Math. Anal., 33, No.4 (2001), 751-762.

35. Chen G.-Q., Perthame В., Well-posedness for non-isotropic degenerate parabolic-hyperbolic equations, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Nonlin£aire, 20 (2003), 645-668.

36. Саженков С. А., Сильно нелинейные ультра-параболические уравнения Гратца-Нюссельта, Сибирский математический журнал, принята в печать.

37. Tartar L. Я-measures, a new approach for studying homogenisation oscillations and concentration effects in partial differential equations // Proc. R. Soc. Edinb. 1990. V. 115A. P. 193-230.

38. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир. 1973.

39. М. Slemrod, Measure valued solutions to a backward-forward heat equation, Nolinear Evolution Equations that change type: IMA Vol. in Math and its Appl, 27 (1990), 232-242.

40. M. Slemrod, Dynamis of measure valued solutions to a backward-forward heat equation, J. Dyn. Differ . Equatons, 3, No.3 (1991), 1-28.

41. D. Kinderlehrer,P. Pedregal, Weak convergence of integrands and the Young measure representation, SIAM J. Math. Anal., 23, No.l (1992), 1-19.

42. K.-H. Hoffmann, T. Roubicek, Optimal control of a fine structure, Appl., Math, Optimization, 30, No.2 (1994), 113-126.

43. J. Yin, С. Wang, Young measure solutions of a class of forward-bacward equations, J. Math. Anal. Appl., 279, No.2 (2003), 659-683.

44. A. Visintin, Differential Model of Hysteresis: Springer (1994).

45. A. Visintin, Forward-backward parabolic equations and hysteresis, Calc. Var., 15 (2002), 115-132.

46. A. Visintin, Quasilinear P.D.E.s with memory operators, Birkhauser, Prog. Nonlinear Differ. Equ. Appl., 55 (2003), 415-423.

47. M. Brokate, J. Sprekels, Hysteresis and Phase Transitions, Springer: Berlin (1996).

48. K. Hoellig, Existence of infinitely many solutions for a forward backward heat equation, Trans. Am. Math. Soc., 278 (1983), 299-316.

49. R.R. Akhmerov On structure of a set of solutions of Dirichlet boundary value problem for stationary one-dimensional forward-backward parabolic equation, Nonlinear Anal, Theory Meth. and Appl., 11, No.ll (1987), 1303-1316.

50. R.R. Akhmerov, On the set of solutions to forward backward parabolic equation, Russ. J. Numer. Anal. Model., 8, No.6 (1993), 453-459.

51. P.L Plotnikov, Forward-backward parabolic equations and hysteresis, RAS. Sibirian Division, Novosibirsk, (1996)(Preprint;N 1-96).

52. П.И. Плотников, ДАН, 330, №6 (1993).

53. П.И. Плотников, Предельный переход по вязкости в уравнении с переменным направлением параболичности, Дифференциальные уравнения, 30, № 4 (1994), 665-674.

54. G.I. Barenblatt,M. Bertch,R. Dal Passo,V.M. Prostokishin,M. Ughi, A mathematical model of turbulent heat and mass transfer in stably stratified shear flow, J.Fluid Mech., 253 (1993), 341-358.

55. V. Padron, Sobolev regularization of some nonlinear ill-posed problems. Thesis, Department of Mathematics, University of Minnesota, (1990).

56. V. Padron, Effect of aggregation on population recovery modeled by a forward-backward pseudoparabolic equation, Trans. Am. Math. Soc., 356, No.7 (2004), 2739-2756.

57. A. Novick-Cohen, R.L. Pego, Stable patterns in a viscous diffusion equation, Trans. Am. Math. Soc., 324, No 1 (1991), 331-351.

58. Dieudonne, Foundations of modern analysis, Academic Press, New York, (1969).

59. R.J. Di Perna,A.J. Majda, Oscillations and concentrations in weak solutions of the incompressible fluid equations, Commun. Math. Phys., 108 (1987), 667-689.

60. R.J. Di Perna, Measure-valued solutions to conservation laws, Arch. Rat. Mech. Anal., 88 (1985), 223-270.

61. J. Simon, Compact sets in the space Lp(0,T; B), Ann. Mat. Рига Appl., 146 (1987), 65-96.

62. Ю.А. Дубипский, Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнений, Мат. сб., 67, №4 (1965).

63. J. Simon, Compact sets in the space Lp(0,T; B), Ann. Mat. Рига Appl., 146 (1987), 65-96.

64. E. Malek, J. Necas, N. Rokyta, M. Ruzicka, Weak and measure-valued solutions to evolutionary partial differential equation systems, London-Weinheim New-York - Melbourn - Madras: Chapman and Hall, (1997).

65. Isakov K, Inverse problems for partial differential equations, Springer-Verlag (1998).

66. Кузнецов И. В., Сингулярные пределы решений псевдопараболического уравнения с малым параметром при старшей производной // Вестник НГУ. 2004. Т. 4, JVa 3, С. 45-62.

67. Кузнецов И. В., Энтропийные решения дифференциального уравнения второго порядка с переменным направлением параболичности j j Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 3, С. 594-619.

68. Кузнецов И. В., Энтропийные решения уравнения диффузии с переменным направлением параболичности // Тезисы докладов XLI Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / НГУ. Новосибирск, 2003, с. 24.