Начально-граничные задачи на сопряжение для уравнений параболического типа с переменным направлением времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Пулькин Игорь Сергеевич

НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ НА СОПРЯЖЕНИЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ПЕРЕМЕННЫМ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Стсрлитамак - 2006

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Государственного университета по землеустройству, г. Москва

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор | Н. В. Кислов |

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор К. Б. Сабитов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор И. А. Калиев кандидат физико-математических наук, доцент А. А. Андреев

Ведущая организация: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Защита состоится " 29 " сентября 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К-212.315.01 в Стерлитамакской государственной педагогической академии но адресу: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии

Автореферат разослан __ 2006 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Кризский В.Н.

доктор физ.-мат. наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящей диссертации рассматриваются различные виды граничных задач на сопряжение для уравнения

в ограниченном прямоугольнике Q = (а,Ь) х (О,Т), причем функция А(х, t) меняет знак в П, а функция В(х, t) положительна.

Впервые задача для параболического уравнения в области, где коэффициент при щ меняет знак, была рассмотрена в работе M. Jevrey "Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique" (J. Math. Appl., 1913), поэтому подобные задачи принято называть задачами Жевре. В литературе распространен также термин "параболические уравнения с переменным временем".

Задачи такого типа с различными граничными и начальными условиями исследовали как российские, так и зарубежные математики: С. D. Pagani, G. Talenti, В. H. Врагов, В. К. Романко, А. М. Нахушев и другие. Для изучения указанных задач в этих работах применялись классические методы, такие как различные аналоги функции Грина, теория потенциала, интегральные уравнения и так далее. Важным этапом, фактически подведшим итог исследованиям с помощью классических методов, стала монография С. А. Терсенова "Параболические уравнения с меняющимся направлением времени"(Новосибирск, 1985 г., 105 е.).

В дальнейшем, однако, стало ясно, что параболические уравнения с переменным направлением времени следует рассматривать как частный случай очень широкого класса дифференциальных уравнений с частны-

ми производными уравнений, тип которых меняется при переходе через какие-либо линии или гиперповерхности, либо на границе области.

Важнейшим примером таких уравнений являются уравнения смешанного типа. Систематическое исследование их началось с работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. Вскоре в результате исследований С. А. Чаплыгина и Ф. И. Франкля выяснилось, что уравнения смешанного типа имеют важные практические применения при расчете течения газа при около- и сверхзвуковых скоростях. Множество важных практических применений, таких как реактивная авиация и космонавтика, ракетостроение, газодинамические лазеры, вызвало лавинообразный рост исследований в области краевых задач для уравнений смешанного типа, как чисто математических, так и имеющих прикладной характер.

В первую очередь здесь следует упомянуть работы М. А. Лаврентьева, М. В. Келдыша, А. В. Бицадзе, И. Н. Векуа, Л. В. Овсянникова, В. П. Ильина, Е. И. Моисеева, С. П. Пулькина, В. Ф. Волкодавова, К. Б. Сабитова, В. Н. Монахова, Т. И. Зеленяка, А. П. Солдатова, Т. Ш. Кальмсно-ва, И. М. Петрушко, Н. В. Кислова, В. И. Жегалова, Ю. М. Крикунова, М. М. Смирнова, В. П. Дидснко и их научных школ.

Появление такого большого количества работ не могло не вызвать появления новых идей и методов исследований. Как оказалось, некоторые из этих новых методов применимы не только к краевым задачам с уравнениями смешанного типа, но и к другим краевым задачам, в частности, к задачам Жевре.

Так, например, исследовалось дифференциально-операторное урав-

нение

Ли(г) + = /(<),

где В — положительно определенный оператор, а А ~ знакопеременный (в общем случае знаконеонределенный) операторный коэффициент. В работах Н. В, Кислова была доказана обобщенная разрешимость краевых задач для этого уравнения, если А — дифференциальный оператор первого или второго порядка. Кроме того, им была сформулирована и доказана проекционная теорема, являющаяся обобщением теоремы Лакса-Мильграма для случая неограниченного билинейного функционала. Эти общие результаты применимы к широкому классу краевых задач, в частности к задачам Жевре, к краевым задачам для уравнений Лаврентьева-Бицадзе и Чаплыгина. Кроме Н. В. Кислова, большой вклад в исследование краевых задач для подобных дифференциально-операторных уравнений внесли также С. Г. Пятков, А. И. Кожанов, И. Е. Егоров, А. А. Керефов и другие.

В последнее время интерес к задачам Жевре возрос в связи с возможностью применения результатов для этих задач к исследованию нелинейных уравнений со сменой направления параболичности, важных для некоторых практических задач, в частности, для теории пограничного слоя. Так, например, в уравнении

ищ = ихх,

которое названо в монографии Н. А. Ларькина, В. А. Новикова, Н. Н. Янен-ко "Нелинейные уравнения переменного типа" (Новосибирск, 1983 г., 290 с.) модельным уравнением пограничного слоя, смена направления парабо-

личности происходит при изменении знака решения и(х, В этом направлении также получены важные результаты в работах В. Н. Монахова, О. Б. Бочарова, Т. И. Зеленяка, П. И. Плотникова, А. X. Исянгиль-дина.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена исследованию вопроса о существовании и единственности решения уравнения с переменным направлением времени в ограниченном прямоугольнике. При этом рассматриваются как обобщенные, так и классические решения.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, линейной алгебры, теории функций и функционального анализа.

Научная новизна и практическая ценность.

1). Для уравнений параболического типа с переменным направлением времени впервые рассмотрены обобщенные условия сопряжения на линии смены направления нараболичности.

2). Определены функциональные пространства, в которых доказано существование и единственность решения краевой задачи.

3). Построен базис из собственных функций и доказана равномерная сходимость ряда по этим функциям к классическому решению краевой задачи.

Основными областями применения полученных результатов являются краевые задачи для уравнений смешанного типа и краевые задачи для параболических уравнений с переменным направлением времени. Развитые в диссертации методы могут быть применены к задачам теории пограничного слоя, к задачам о диффузии и взаимодействии реагирую-

щих потоков. Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач теории уравнений смешанного типа.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на семинаре по дифференциальным уравнениям в Московском энергетическом институте под руководством профессора Ю. А. Дубинского, на семинаре по уравнениям в частных производных в Государственном университете по землеустройству под руководством профессора Н. В. Кисло-ва, на семинаре механико-математического факультета Московского государственного университета по уравнениям в частных производных под руководством профессора В. А. Кондратьева, на международной конференции по дифференциальным уравнениям в Самаре, на 54-й Научно-технической конференции Московского института радиотехники, электроники и автоматики, на семинаре по Владимирском педагогическом институте под руководством профессора В. В. Жикова, на семинаре по теории дифференциальных уравнений в Стерлитамакской государственной педагогической академии под руководством профессоров К. Б. Сабитова и И. А. Калиева.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приведен в конце автореферата. Работы [1] и [3] выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежит постановка изученных задач.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 94 наименования. Объем диссертации составляет 76 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе исследуется краевая задача для уравнения

дЬ дх2

в области П = (-1,1) х (О, Г).

Ищется решение ы(х, £) уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям

«(-1,4) = «(1,0 = 0,0 < I < Т, и(х,0) = 0,0 < х < 1, (2)

и(х,Т) = 0,-1 < х < 0 и условиями сопряжения на линии 1 = 0

и(0+,0 = «(0-,0. |«(0+,4) = -и(0-,0.

или < (3)

«х(О-М) = -и,(0-,0 [«*(0-М) = «х(0-,0-

Рассмотрим множество пар функций (Л_,/г+) таких, что

€ СХ(Ш), А+ € СХ(ТЦ),П- = (-1,0) х (0,Г),П+ = (0,1) х (0,Г).

причем удовлетворяются граничные условия

л_(-1,г) = о, л_(х,т) = о, л+(1,о = о, ь+(х,о) = о,

а также условия сопряжения (штрихом обозначена производная но переменной х)

л+(о,о = Л-(0, г),

л+(о,о = -МО, г).

Пополнение линейного пространегва таких пар функций по норме

11411 = // (л' + (

dxdt

h(x, t) =

<dtJ ' \дхJ обозначим через W^. Здесь обозначено

h-(x,t), х < О, h+(x,t), х > 0.

Утверждение 1 (Априорная оценка для оператора L). Существует такая положительная константа К, что для любого элемента и € Wl справедлива оценка

\Lu\ > К || « ||£ . (4)

Оператор L*, сопряженный к оператору L, определяется следующим образом:

L'v — —sgnx • Vt — vrr на пространстве Wi- с граничными условиями

г

o(-l,t) = o(l,t)=0,

v(x, 0) = 0,-1 < х < 0,

v(x,T) = 0,0 < х < 1, и условиями сопряжения на линии х = 0

v(0+,t) = -и(0—, £)• если для L выполнено первое из условий (3), или

г

e(0+,i) = w(0-,i), tfe(0+,t) = -t;*(0-,t), 9

если для L выполнено второе из условий (3). В частности, справедлива оценка (4), откуда немедленно вытекает единственность решения сопряженной задачи.

Теорема 1. (Существование и единственность решения задачи). Пусть f(x,t) € Тогда в пространстве Wl решение задачи (1)

— (3) существует и единственно. Кроме того, если {фк} ~ система линейно независимых функций, полная в Wi (базис Рисса), то последовательные приближения

построенные с помощью метода наименьших квадратов, сходятся к единственному решению ио в норме пространства И7^.

Доказательство этой теоремы состоит из доказательств следующих четырех лемм.

Лемма 1. На каждом шаге метода наименьших квадратов соответствующее приближение ип однозначно определено.

Обозначим через фк образы базисных элементов <рк, т. е. фк = Лемма 2. Система функций полна в пространстве Лемма 3. Последовательность приближений и„ слабо сходится в пространстве И^ к некоторому элементу ио-Лемма 4. и„ —► но сильно в XVц.

Во второй главе с помощью метода разделения переменных исследуется вопрос о существовании классического решения задачи:

ч

du{x,t)

at

-щпх • =0,Cr,0 G

CTX"

u(-l,t) = u(l,t) = 0,0 < t < T;

— sgnx •

(5)

(6)

и(х,0) = ио(х),х 6 [0,1],и(х,Г) = иг(х),х € [-1,01; (7)

и(0+, I) = и(0—, 4). «) = —их(0—, 0,0 < * < Т. (8) Решение ищется в виде ряда по собственным функциям вида

'«"»М«*1), КО,

«ь *»(!-«) - N. 0

sil Xk ' ^ U

для положительных собственных значений ц = Л| и

{вшЛ^г-П) 0

sinA* •

х > О

для отрицательных собственных значений ц = — А|, где А* определяются как корни уравнения

tg Л = th А. Этот ряд при х < 0 имеет вид

t) - £ + +

shA¿ sinAt /

(9)

а при х > 0 —

«(х.О - £ Ue-^'SÍnA<(r 1} + B^^ahMx -Dx + С(1 _х),

^ V sm Ajt sh Ал /

(10)

причем коэффициенты Вк и С в обоих равенствах одинаковы. Далее исследуется вопрос о нахождении этих коэффициентов. Теорема 2. Существует такое То > 0, что при любом Т > То для любых функций «о, ыг € ¿2(0,1) существуют единственные наборы

il

коэффициентов Аь, В к 6 h такие, что ряды (9) и (10) сходятся соответственно в ¿2(íí_) ы £г(П+) и выполняются в среднем граничные условия (7). Если дополнительно функции щ,ит 6 О,1], то ряды (9) « (10) абсолютно и равномерно сходятся соответственно на замкнутых прямоугольниках íí_ и Q+. При этом сумма и(х, t) рядов (9) и (10) дважды непрерывно дифференцируема на U Г2+ и на этом множестве удовлетворяет уравнению (5), а на границах этого множества — условиям (6) и (8).

Для доказательства ряды (9) и (10) приводятся к виду

«м+Мй - ад - £ к+«j+,„)

где переменная у € [0,1], а функции vq и vt выражаются через известные функции иоииг следующим образом:

г>о(у) = «о(а0 = «о(1 - у), vr(y) = иТ(х) = ит(у - 1).

Данная система представляет собой разложение известных функций rio системам функций

Далее доказывается существование биортогональных систем фк и u¡t, к = 1,2,..., к системам функций a/t(y) и Рк(у), то есть таких систем

функций, что выполняются равенства о

0

Умножив обе части уравнения (11) на а обе части (12) — на Шк и проинтегрировав от 0 до 1, мы получим систему из двух уравнений относительно неизвестных коэффициентов Аь и Вк-

Доказательство существования биортогональных систем состоит из нескольких лемм.

Лемма 5. Существует значение То такое, что для любого Т > Т0 для систем функций сц и 0к существуют биортогоналъные системы. Лемма 6. Системы векторов

I втА/ь бИА*; J

|

1 К ЫпА^ вИА* ) ортогональны и полны в пространстве ^(0,1).

Лемма 7. Для систем функций, определяемых равенствами (13) — (14), биортогоналъные системы единственны.

Лемма 8. Пусть функции щ, и? 6 Сц[0,1]. Тогда наборы коэффициентов Ак и В к € ¿1-

Из леммы 8 и признака Вейерштрасса следует равномерная сходимость функциональных рядов (9) и (10) в замкнутых прямоугольниках и Для окончания доказательства теоремы 2 теперь достаточно

установить равномерную сходимость производных первого порядка по г и второго порядка по х во всех внутренних точках областей и Выберем два значения и так, чтобы О С ¿1 < ¿2 <Т. Тогда равномерная сходимость производных ряда (9) на замкнутом множестве вида [¿1, ¿2] х [—1,0] следует из того что эти ряды из производных мажорируются сходящимся числовым рядом

оо . -

Аналогичная оценка справедлива для ряда (10). В силу произвольности выбора £ 1 и ¿2 ряды из производных равномерно сходятся на любом замкнутом подмножестве и П+.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кислое Н. В. Краевая задача с обобщенными условиями склейки для уравнения параболического типа / Кислое Н. В., Пулъкин И. С. // Вестник МЭИ, 2000, №6, С. 51 - 59.

2. Пулъкин И. С. О разрешимости краевой задачи с обобщенными условиями склейки для уравнения параболического типа / Пулъкин И. С. // Тезисы докладов международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара, 2002, С. 274 — 278.

3. Кислое Н. В. О существовании и единственности слабого решения задачи Жевре с обобщенными условиями склейки / Кислое Н. В., Пулъкин И. С. // Вестник МЭИ, 2002, №6, С. 88 » 92.

4. Пулъкин И. С. О разрешимости краевой задачи с обобщенными условиями склейки для уравнения параболического типа // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XIII". Воронеж, 2002, С. 127 - 128.

5. Пулъкин И. С. О существовании классического решения задачи Жевре в ограниченном прямоугольнике / Пулъкин И. С. // Сборник трудов 54 научно-технической конференции МИРЭА. Москва, 2005, С. 31 - 35.

6. Пулъкин И. С, О существовании классического решения задачи Жевре в ограниченном прямоугольнике / Пулъкин И. С. // Тезисы докладов всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения

и их приложения". Самара, 2005, С. 62 — 63.

7. Pulkin I. S. Gevrey problem for parabolic equations with changing time direction / Pulkin /. S. // Electronic Journal of Differential Equations. 2006, V. 2006, №50, P. 1 - 9.

Подписано в печать Формат 60x 34/16 Гарнитура "Times" Печать оперативная Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ Л* f'ZZ

Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии: 453103, г. Стерлитаыак, up. Левина, 49.

Введение

Глава 1. Существование и единственность обобщенного решения

§1.1. Постановка задачи

§1.2. Определение и свойства пространства И^

§1.3. Априорная оценка нормы \Ьи\

§1.4. Сопряженный оператор и единственность решения.

§1.5. Доказательство существования обобщенного решения

Глава 2. Существование и единственность классического решения

§2.1. Постановка задачи с неоднородными граничными условиями

§2.2. Определение и свойства оператора Ьх

§2.3. Собственные функции и собственные значения оператора Ьх

§2.4. Формулировка теоремы существования и единственности классического решения.

§2.5. Существование биортогональных систем.

§2.6. Доказательство теоремы существования и единственности классического решения.

В настоящей диссертации рассматриваются различные виды краевых задач для уравнения в ограниченном прямоугольнике (а, 6) х (О, Т), причем функция А(х, £) меняет знак в этом прямоугольнике, а функция В(х, £) положительна.

По-видимому, первой рассмотренной задачей такого типа была следующая: найти решение и(х, £) дифференциального уравнения ди д2и в полосе

П = Ех (0,Т), удовлетворяющее граничным условиям:

М) = „(*),*> о,

Т) = ит{х), аг < 0.

Данная задача была впервые рассмотрена в работе Леугеу [85], поэтому задачи на параболические уравнения в области, где коэффициент при щ меняет знак, принято называть задачами Жевре. В литературе распространен также термин "параболические уравнения с переменным временем". В этом случае переменную t обычно называют "временной", а переменную х — "пространственной" переменной. В иностранной англоязычной литературе, кроме того, встречается название "forward-backward differential equation", что можно перевести как "дифференциальное уравнение в прямом и обратном направлении".

В последние годы получил также довольно широкое распространение термин "дифференциальное уравнение параболического типа со сменой направления параболичности" [15].

При переходе от неограниченной полосы к ограниченному прямоугольнику добавляются условия на левой и правой границах, и тогда задача может быть поставлена следующим образом: найти решение и{х, t) дифференциального уравнения ди д2и в прямоугольнике (—1,1) х (О,Т), удовлетворяющее граничным условиям

-1, t) = /(f), 0 < t < Т, tx(l, t) = /+(i), 0 < t < T, u(x, 0) = uq(x), 0 < x < 1, u(x, T) = ит(х), — 1 < x < 0.

При такой постановке задачи условия при t = 0 и t = Т принято называть начальными условиями, а при х = — 1 и х = 1 — граничными.

Задачи такого типа с различными граничными и начальными условиями исследовали как российские, так и зарубежные исследователи: С. Б. Pagani, в. Та1епй [91], С. А. Терсенов [75], В. К. Роман-ко [69], А. А. Керефов [29], С. Г. Пятков [66] и другие исследователи. Для исследования указанных задач в этих работах применялись классические методы, такие как различные аналоги функции Грина, интегральные уравнения, теория потенциала, теория уравнений Фред-гольма. Важным этапом, фактически подведшим итог исследованиям с помощью классических методов, стала монография С. А. Терсенова [76]. Основным методом исследования в ней стала теория сингулярных уравнений.

В дальнейшем, однако, стало ясно, что параболические уравнения с переменным временем следует рассматривать как частный случай очень широкого класса дифференциальных уравнений с частными производными — уравнений, тип которых меняется при переходе через какие-либо линии или гиперповерхности, либо при достижении границы области.

Наибольшее количество работ о таких уравнениях посвящено уравнениям смешанного типа. Первые исследования их начались с работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. Вскоре в результате исследований С. А. Чаплыгина и Ф. И. Франкля выяснилось, что уравнения смешанного типа имеют важные практические применения при расчете течения газа при около- и сверхзвуковых скоростях. Множество важных практических применений, таких как реактивная авиация и космонавтика, ракетостроение, газодинамические лазеры, вызвало лавинообразный рост исследований в области краевых задач для уравнений смешанного типа, как чисто математических, так и имеющих более выраженный прикладной характер.

В первую очередь здесь следует упомянуть работы М. А. Лаврентьева, М. В. Келдыша, А. В. Бицадзе, И. Н. Векуа, Л. В. Овсянникова, В. П. Ильина, Е. И. Моисеева, С. П. Пулькина, В. Ф. Волкодавова, К. Б. Сабитова, В. Н. Монахова, Т. И. Зеленяка, А. П. Солдатова, Т. Ш. Кальмеиова, Ю. А. Дубинского, И. М. Петрушко, А. М. Наху-шева, Н. В. Кислова, В. И. Жегалова, Ю. М. Крикунова, М. М. Смирнова, В. П. Диденко и их научных школ.

Появление такого большого количества работ не могло не вызвать появления новых идей и методов исследований. Как оказалось, некоторые из этих новых методов применимы не только к краевым задачам с уравнениями смешанного типа, но и к другим краевым задачам, в частности, к задачам Жевре.

Так, например, исследовалось дифференциально-операторное уравнение

Аи(г) + Ви(г) = /(г), где В — положительно определенный оператор, а А — знакопеременный (в общем случае знаконеопределенный) операторный коэффициент. В работах Н. В. Кислова [34], [36], [37] была доказана обобщенная разрешимость краевых задач для этого уравнения, если А — дифференциальный оператор первого или второго порядка. Кроме того, им была сформулирована и доказана проекционная теорема, являющаяся обобщением теоремы Лакса-Мильграма для случая неограниченного билинейного функционала. Эти общие результаты применимы к широкому классу краевых задач, в частности к задачам Жевре, к краевым задачам для уравнений Лаврентьева-Бицадзе и Чаплыгина.

Большой вклад в исследование краевых задач для подобных дифференциально-операторных уравнений внесли также С. Г. Пятков [66], А. И. Кожанов [42], И. Е. Егоров [12], А. А. Керефов [29] и другие.

В последнее время интерес к задачам Жевре возрос в связи с возможностью применения результатов для этих задач к исследованию нелинейных уравнений со сменой направления параболичности, важных для некоторых практических задач, в частности, для теории пограничного слоя. Так, например, в уравнении ищ = «хх, 7 которое названо в книге [46] модельным уравнением пограничного слоя, смена направления параболичности происходит при изменении знака решения и(х, В этом направлении также полуены важные результаты в работах таких исследователей, как В. Н. Монахов [53], О. Б. Бочаров [4], Т. И. Зеленяк [16], П. И. Плотников [59], А. X. Исян-гильдин [22].

В настоящей диссертации рассматриваются краевые задачи только для линейных уравнений, что, однако, не исключает практического применения ее результатов и методов. В качестве возможных приложений в первую очередь следует указать задачи расчета теплообменников, в которых используется принцип противотока. Действительно, в таких ситуациях, когда теплообмен происходит через разграничительную стенку, исключающую перемешивание жидкостей, могут возникать задачи со скачком температуры на границе раздела, аналогичные рассматриваемым в настоящей диссертации задачам с обобщенными условиями сопряжения.

Диссертация состоит из двух глав.

В первой главе доказывается существование и единственность обобщенного решения. В ней исследуется краевая задача для неоднородного уравнения

1и = 8ёпх-^-^ = Дх, г) (0.1) 8 в области

П = (-1,1)х(0 ,Т) с начально-граничными условиями и(-1, t) = «(1, t) = 0, 0 < t < Т, и(х, 0) = 0, 0 < ж < 1,

0.2) и(х,Т) = 0, -1 < х < О, и условиями сопряжения на линии х = 0 и+ = и,

U+ = —U-,

0.3) или и', = —и'

Здесь обозначено и+ = lim u(x,t), 0 < t < Т, и- = lim u(x,t), 0 <t<T, u', = lim uJx.t), 0 <t<T, u'= lim uJx.t), 0 < t < T.

Строится гильбертово пространство Wl, в котором решение задачи (0.1) — (0.3) существует и единственно. В явном виде выписывается сопряженный оператор и на основании априорных оценок доказывается следующая

Теорема 1. Пусть f{x,t) G It2(ti). Тогда в пространстве Wl решение задачи (0.1) — (0.3) существует и единственно. Кроме того, если {у?*} — система линейно независимых функций, полная в базис Рисса), то последовательные приближения п иТ к=1 построенные с помощью метода наименьших квадратов, сходятся к единственному решению ио в норме пространства IVь.

Во второй главе с помощью метода разделения переменных исследуется вопрос о существовании классического решения задачи с неоднородными начальными условиями, а именно ищется решение и(х, ¿) уравнения ди д2и п Ьи =- Б^Х - — — = О т дх2 с граничными условиями г и(-м) = и(1,г) = oo<t<т, и(х, 0) = щ(х), 0 < х < 1, и(х,Т) = ит(х), -1 < х < 0, и условиями сопряжения на линии х = 0 и+ =

0.4)

0.5)

0.6) и'+ = —и'.

Решение ищется в виде ряда по собственным функциям вида

Ьтйг1. *<<>,

I аЬЛ*(1-*) вЬАк 10

X > 0 для положительных собственных значений /х = А| и зЬЛ|Ь(х+1) п вЬАь > Х<и> бшА* ' Х > " для отрицательных собственных значений ц = —А|, где А* определяются как корни уравнения tgA = thA.

При х < 0 решение ищется в виде ряда

Вке-*Г-^аХк{* + 1)) + С(х + 1), (0.7)

Б1П Лк / а при х > 0 — в виде ряда о

Вке-™-^-х))+С(х-1), (0.8) причем коэффициенты АВ/, и С в обоих равенствах одинаковы. Эти коэффициенты могут быть найдены из бесконечной системы алгебраических уравнений.

Далее в этой главе решается задача о нахождении коэффициентов Ак и Вк.

Обозначим = (-1,0) х (0, Т); = (0,1) х (0,Т). и

Теорема 2. Существует такое То > 0, что при любом Т > Tq для любых функций щ,ит G ^(0,1) существуют единственные наборы коэффициентов Ak, Bk € h такие, что ряды (2.18) и (2.19) сходятся соответственно в 2/2 (íí) « 2^(0+) и выполняются в среднем граничные условия (2.2). Если дополнительно функции щ,ит G Cq[0, 1], mo ряды (2.18) и (2.19) абсолютно и равномерно сходятся соответственно на замкнутых прямоугольниках Í2 и Í2+. При этом сумма u(x,t) рядов (2.18) и (2.19) дважды непрерывно дифференцируема на Í2 U Q+ и на этом множестве удовлетворяет уравнению (2.1), а на границах этого множества — условиям (2.3) и (2.4).

Для доказательства ряды (0.7) и (0.8) приводятся к виду о.) k=1 (0.10) к=1 где переменная у G [0,1],у = 1 — х, если х G [0,1] и у = 1 + х, если х G [—1,0], а функции vo и vt выражаются через известные функции lío и «у следующим образом: vo (у) = ио(я) = wo(l ~ У), vT(y) = иТ(х) = ит(у - 1).

Данная система представляет собой разложение известных функций по системам функций а и БШЛ^ БПА* / бЬ Ал /

0.12)

Далее во второй главе доказывается существование биортогональных систем фк иц, Л: = 1,2,. к системам функций и то есть таких систем функций, что выполняются равенства 1

Для любого натурального числа к, умножив обе части уравнения (0.9) на ф^ а обе части (0.10) — на щ и проинтегрировав от 0 до 1, мы получим легко решаемую систему из двух уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ак и Вк.

Доказательство существования биортогональных систем состоит из нескольких лемм.

Лемма 1. Пусть для системы функций п = 1,2,., существует биортогоналышя система {/гп}} п = 1,2,., ограниченная в совокупности. Тогда для системы функций {сг„ + гп}, п = 1,2,., о 1 о также существует биортогональная система, если выполняются условия со

Упем ^к^й,,)!<^<1,

1 00 1т*1 < к=1

Лемма 2. Существует значение То такое, что для любого Т > То для систем функций а^ и существуют биортогональные системы.

Лемма 3. Системы векторов х~ = Б[пХкУ Ё^) к = 1 2 ортогональны и полны в пространстве ¿2(0,1).

Лемма 4. Для систем функций, определяемых равенствами (0.11) — (0.12), биортогональные системы единственны.

Лемма 5. Пусть функции щ,ит (Е Со [0,1]. Тогда наборы коэффициентов {Л*} и {В/.} € /ь

Из леммы 5 и признака Вейерштрасса следует равномерная сходимость функциональных рядов (2.18) — (2.19) в замкнутых прямоугольниках = [-1,0] х [0,Т] и П+ = [0,1] х [О,Т].

Для окончания доказательства теоремы 2 теперь достаточно установить равномерную сходимость производных первого порядка по £ и второго порядка по х во всех внутренних точках областей и Выберем два значения ¿1 и £2 так, чтобы 0 < £1 < ¿2 < Т. Тогда равномерная сходимость производных ряда (2.18) на замкнутом множестве вида [¿1, ¿2] X [—1,0] следует из того что эти ряды из производных мажорируются сходящимся числовым рядом с» 1 1

Аналогичная оценка справедлива для ряда (2.19). В силу произвольности выбора ¿1 и ¿2 ряды из производных равномерно сходятся на любом замкнутом подмножестве и О.+.

Таким образом, диссертационная работа посвящена исследованию вопроса о существовании и единственности решения уравнения с переменным направлением времени в ограниченном прямоугольнике. При этом рассматриваются как обобщенные, так и классические решения.

На защиту выносятся следующие результаты:

1). Для уравнений параболического типа с переменным направлением времени впервые рассмотрены обобщенные условия сопряжения на линии смены направления параболичности.

2). Определены функциональные пространства, в которых доказано существование и единственность решения краевой задачи.

3). Построен базис из собственных функций и доказана равномерная сходимость ряда по этим функциям к классическому решению краевой задачи.

Основными областями применения полученных результатов являются краевые задачи для уравнений смешанного типа и краевые задачи для параболических уравнений с переменным направлением времени. Развитые в диссертации методы могут быть применены к задачам теории пограничного слоя, к задачам о диффузии и взаимодействии реагирующих потоков. Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач теории уравнений смешанного типа.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [40], [41], [61] — [64] и [92]. Работы [40] и [41] выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежит постановка изученных задач.

1. Бесов O.B. Интегральные представления функций и теоремы вложения / Бесов O.B., Ильин В.П., Никольский С.М. — М.: Наука, 1975 - 480 с.

2. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа / Бицадзе A.B. — М.: Изд-во АН СССР, 1959 164 с.

3. Бицадзе A.B. К теории уравнений смешанного типа в многомерных областях / Бицадзе A.B., Нахушев A.M. // Дифференц. уравнения, 1974, Т. 10, С. 2184-2191.

4. Бочаров О. Б. О первой краевой задаче для уравнения теплопроводности со знакопеременным коэффициентом / Бочаров О. Б. // В кн.: Динамика сплошной среды — Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1979, Вып. 37, С. 27-39.

5. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / Вишик М.И. // Математический сборник, 1954, Т. 35 (77), С. 513-568.

6. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / Владимиров B.C., Жаринов В.В. — М.: Физматлит, 1971 — 400 с.

7. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / Врагов В.Н. — Новосибирск: Изд-во Ново-сиб. ун-та, 1983 84 с.

8. Врагов В.Н. О корректных задачах для некоторых уравнений переменного типа / Врагов В.Н., Подгаев А.Г. // Докл. АН СССР, 1981, Т. 260, т, С. 277-280.

9. Гасенко В.Г. Усиление ударной волны в жидкости с пузырьками газа / Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. // Докл. АН СССР, 1960, Т. 34, С. 19-22.

10. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач / Дезин A.A. М.: Наука, 1980 - 207 с.

11. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов / Джураев Т.Д. — Ташкент: ФАН, 1979.

12. Егоров И.Е. О первой краевой задаче для одного параболического уравнения / Егоров И.Е. // Сибирский мат. журнал, 1977, Т. 18, М, С. 220-224.

13. Егоров И.Е. Нелокальные краевые задачи для дифференциальнооператорного уравнения смешанного типа / Егоров И.Е. // Ученые записки ЯГУ, сер. матем. физ., 1994, С. 18—24.

14. Егоров И.Е. Неклассические уравнения математической физикивысокого порядка / Егоров И.Е., Федоров В.Е. — Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995 133 с.

15. Егоров И.Е. Неклассические дифференциально- операторные уравнения / Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов C.B. — Новосибирск: Наука, 2000 336 с.

16. Зеленяк Т.Н. Об одном уравнении со знакопеременным коэффициентом диффузии / Зелепяк Т. И. // Математические проблемы химии — Новосибирск, 1975, Вып. 1, С. 111—115.

17. Зелепяк Т.Н. О свойствах решений нелинейных уравнений переменного типа / Зеленяк Т.Н., Новиков В.А., Япенко Н.Н. // Численные методы в механике сплошной среды — Новосибирск: Ин-т теоретич. и прикладной механики СО АН СССР, 1974, Т. 5, №4, С. 35-47.

18. Ильин A.M. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения / Ильин A.M. !I Математический сборник, 1960, Т. 50 (92), Ш, С. 443-498.

19. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных векторов дифференциальных операторов второго порядка / Ильин В.А. // Докл. АН СССР, 1983, Т. 273, №5, С. 1048-1053.

20. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рис-са корневых векторов разрывных операторов второго порядка / Ильин В.А. // Дифференц. уравнения, 1986, Т. 22, №12, С. 20592071.

21. Иосида К. Функциональный анализ / Иосида К. — М.: Мир, 1967 624 с.

22. Исянгильдин А.Х. Задача Трикоми с нелокальными условиями сопряжения для обобщенного уравнения Трикоми / Исянгильдин А.Х. // Дифференц. уравнения, 1996, Т. 32, №3, С. 1501-1504.

23. Калиее И. А. Математические модели фазовых переходов / Калиев НА. Новосибирск: НВИ, 2002 - 166 с.

24. Кальменов Т.Ш. О регулярных самосопряженных краевых задачах для многомерного уравнения смешанного типа / Кальменов Т.Ш. // Дифференц. уравнения, 1986, Т. 22, №10, С. 1745-1753.

25. Карапратоклиев Г.Д. Об одном классе уравнений смешанного типа в многомерных областях / Карапрагпоклиев Г.Д. // Докл. АН СССР, 1976, Т. 230, №4, С. 769-772.

26. Карапратоклиева М.Г. К теории уравнений смешанного типа с разрывными коэффициентами / Карапратоклиева М.Г. // Дифференц. уравнения, 1987, Т. 23, №1, С. 102-113.

27. Качмаж С. Теория ортогональных рядов / Качмаж С., Штейп-гауз Г. М.: Мир, 1958 - 507 с.

28. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / Келдыш М.В. // Докл. АН СССР, 1951, Т. 77, №2, С. 181-183.

29. Керефов A.A. Задача Жевре для одного смешанно- параболического уравнения / Керефов A.A. // Дифференц. уравнения, 1977, Т. 13, №1, С. 76-83.

30. Керефов A.A. Об одной краевой задаче Жевре для параболического уравнения со знакопеременным разрывом первого рода у коэффициента при производной по времени / Керефов A.A. // Дифференц. уравнения, 1974, Т. 10, №1, С. 69-77.

31. Кислое Н.В. К вопросу о спектре задачи Жевре для одного уравнения смешанного типа / Кислое Н.В. // Труды МЭИ, 1972, Вып. 566, С. 33-38.

32. Кислое Н.В. Корректные краевые задачи для уравнения смешанного типа в прямоугольной области / Кислое Н.В. // В сб. Неклассические задачи для уравнений математической физики — Новосибирск, 1982, С. 93-95.

33. Кислое Н.В. Краевая задача для одного уравнения смешанноготипа / Кислое Н.В. // Труды МЭИ, 1979, Вып. 412, С. 135-138.

34. Кислое Н.В. Краевые задачи для дифференциально- операторных уравнений смешанного типа / Кислое Н.В. // Дифференц. уравнения, 1983, Т. 19, № 8, С. 1427-1436.

35. Кислое Н.В. Краевые задачи для уравнения смешанного типа в прямоугольной области / Кислое Н.В. // Докл. АН СССР, 1980, Т. 255, Ж, С. 26-30.

36. Кислое Н.В. Неоднородная краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка / Кислое Н.В. // Докл. АН СССР, 1985, Т. 280, № 5, С. 1055-1058.

37. Кислое Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения смешанного типа и их приложения / Кислое Н.В. // Матем. сб., 1984, Т. 125, Вып. 1, С. 19-37.

38. Кислое Н.В. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях смешанного типа / Кислое Н.В. // Труды МЭИ, 1972, Вып. 146, С. 60-69.

39. Кислое Н.В. Проекционная теорема и ее приложение к неоднородным граничным задачам / Кислое Н.В. // Докл. АН СССР, 1982, Т. 265, №1, С. 31-34.

40. Кислое H.B. Краевая задача с обобщенными услоиями склейки для уравнения параболического типа / Кислое Н.В., Пулькин И. С. // Вестник МЭИ, 2000, №6, С. 51-59.

41. Кислое Н.В. О существовании и единственности слабого решения задачи Жевре с обобщенными условиями склейки / Кислое Н.В., Пулькин И.О. // Вестник МЭИ, 2002, М, С. 88-92.

42. Кожанов А.И. Смешанная задача для одного класса уравнений неклассического типа / Кожанов А.И. // Дифференц. уравнения, 1979, Т. 15, №, С. 272-280.

43. Кожанов А.И. Об одной регуляризации уравнений переменного типа / Кожанов А.И., Ларькин H.A., Янеико H.H. // Докл. АН СССР, 1980, Т. 252, М, С. 522-527.

44. Ладыженская O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / Ладыженская O.A., Солонников В.А., Ураль-цева H.H. — М.: Наука, 1967 — 736 с.

45. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. — М., Наука, 1986 736 с.

46. Ларькин H.A. Нелинейные уравнения переменного типа / Ларькин H.A., Новиков В.А., Яненко H.H. — Новосибирск: Наука, 1983 — 269 с.

47. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Лионе Ж.-Л. М.: Мир, 1972 - 588 с.

48. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Лионе Ж.-Л., Мадженее Э. — М.: Мир, 1978 — 400 с.

49. Михлин С.Г. Курс математической физики / Михлин С.Г. — М.: Наука, 1968 575 с.

50. Моисеев Е.И. О собственных функциях одной краевой задачи / Моисеев Е.И. // Докл. АН СССР, 1976, Т. 230, №5, С. 1035-1038.

51. Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов / Моисеев Е.И. // Докл. АН СССР, 1984, Т. 275, №4, С. 794-798.

52. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Моисеев Е.И. М.: МГУ, 1988 - 150 с.

53. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений / Монахов В.Н. — Новосибирск: Наука, 1977.

54. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / Най-марк М.А. — М.: Наука, 1969 — 526 с.

55. Никольский С.М. О граничных свойствах дифференцируемых функций многих переменных / Никольский С.М. // Докл. АН СССР,1962, Т. 146, №3, С. 542-545.

56. Олейпик O.A. О некоторых нелинейных задачах теории дифференциальных уравнений с частными производными / Олейник O.A. //В кн.: Первая летняя математическая школа, Ч. 2 — Киев: На-укова думка, 1964, С. 117—256.

57. Петрушко И.М. Краевые задачи для уравнений смешанного типа / Петрушко И.М. // Тр. матем. ин-та им. Стеклова, 1968, Т. 103, С. 181-200.

58. Петрушко И.М. О начально-краевой задаче для уравнения с меняющимся направлением времени / Петрушко И.М., Черных Е.В. // Вестник МЭИ, 2000, М, С. 60-70.

59. Плотников П.И. Предельный переход по малому параметру в уравнении Кана-Хилларда / Плотников П.И. // Сибирский математический журнал, 1997, Т. 38, №3, С. 638-656.

60. Подгаев А.Г. О некоторых корректных задачах для уравнений переменного типа / Подгаев А.Г. //В кн.: Динамика сплошной среды, Вып. 54 — Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1982, С. 30-42.

61. Пулькин И.С. О разрешимости краевой задачи с обобщеннымиусловиями склейки для уравнения параболического типа / Пулькии И.С. // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения — XIIF' — Воронеж, 2002, С. 127— 128.

62. Пулькин И.С. О разрешимости краевой задачи с обобщенными услоиями склейки для уравнения параболического типа / Пуль-кип И. С. // Тезисы докладов международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" — Самара, 2002, С. 274-278.

63. Пулькин И.С. О существовании классического решения задачи Жевре в ограниченном прямоугольнике / Пулькин И.С. // Сборник трудов 54-й Научно-технической конференции МИРЭА — Москва, 2005, С. 31-35.

64. Пулькин И.С. О существовании классического решения задачи Жевре в ограниченном прямоугольнике / Пулькин И.С. // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" — Самара, 2005, С. 62—63.

65. Пятков С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов линейных самосопряженных пучков / Пятков С.Г. // Матем. сб., 1994, Т. 185, Вып. 3, С. 93-116.

66. Пятков С.Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени / Пятков С.Г. // Докл. АН СССР, 1985, Т. 285, № 6, С. 1322-1327.

67. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / Ректорис К. — М.: Мир, 1985 — 589 с.

68. Рид М. Методы современной математической физики, Т. 1 / Рид М., Саймон Б. М.: Мир, 1977 - 357 с.

69. Романко В.К. Однозначная разрешимость граничных задач для некоторых дифференциально-операторных уравнений / Романко В.К. // Дифференц. уравнения, 1977, Т. 13, №2, С. 324-335.

70. Романко В.К. О собственных значениях краевых задач для некоторых уравнений, меняющих тип / Романко В.К. // Дифференц. уравнения, 1983, Т. 19, №10, С. 1759-1764.

71. Сабельников В.А. Теоретическое и численное исследование распределения вероятностей концентрации в свободных турбулентных течениях / Сабельников В.А. // Физика горения и взрыва, 1982, Т. 18, №2, С. 77-78.

72. Сабитов КВ. К теории уравнений параболо-гипербсшического типа со спектральным параметром / Сабитов К. Б. // Дифференц. уравнения, 1989, Т. 25, М, С. 117-126.

73. Сабитов К. Б. Уравнения математической физики / Сабитов К. Б. — М.: Высшая школа, 2003 — 255 с.

74. Сабитов К. Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения / Сабитов К.Б. — М.: Высшая школа, 2005 — 671 с.

75. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени / Терсенов С.А. — Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1982 168 с.

76. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени / Терсенов С.А. — Новосибирск, 1985 — 105 с.

77. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа / Трикоми Ф. M.-JL: ОГИЗ Гостехиздат, 1947 - 192 с.

78. Фикера Г. (Fichera G.) К единой теории краевых задач для эллип-тико-параболических уравнений второго порядка / Фикера Г. (Fichera G.) // В кн.: Математика, 1963, Т. 6, №6, С. 99-120.

79. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Шлихтинг Г. — М.: Наука, 1969 742 с.

80. Яненко H.H. Об уравнениях со знакопеременным коэффициентом диффузии / Яненко H.H. //В кн.: Вычислительные методы в математической физике, геофизике и оптимальном управлении — Новосибирск: Наука, 1978, С. 29—33.

81. Arena 0. On a singular parabolic equation related to axially symmetries heat potentials / Arena 0. // Ann mat pura ed appl., 1975, V. 105, №4, P. 347-393.

82. Baouendi M.S. Sur une equation d'évolution changeante de type / Baouendi M.S., Grisvard P. // J. Funct. Anal., 1968, V. 2, №3, P. 352-367.

83. Beals R. An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and scattering / Beals R. // J. Funct. Anal., 1979, V. 34, M, P. 1-20.

84. Friedrichs K.O. On the identity of weak and strong extensions of differential operators / Friedrichs K.O. // Trans. Amer. Math. Soc., 1944, V. 55, P. 132-151.

85. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique / Gevrey M. // J. Math. Appl., 1913, T. 9, Sec. 6., P. 305-475.

86. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique / Gevrey M. // J. Math. Appl., 1914, Ch. 4, P. 105-137.

87. Hopf E. The Partial differential equation ut + uux = ßuxx / Hopf E. // Comm. on pure and appl. math., 1950, V. 343, №3, P. 201-230.

88. Libby P.A. Countergradient Diffusion in Premixed Turbulent Flames / Libby P.A., Bray K.N.C. // AIAA J., 1981, V. 19, J02, P. 205-213.

89. Lax P.D. Parabolic equations. Contributions to the theory of partial differential equations / Lax P.D., Milgram N. // Ann. Math. Studies, 1954, V. 33, P. 167-190.

90. Pagani C.D. On an initial boundary value problem for the equation wt = wxx — xwx / Pagani C.D. // Ann. Scuola Norm. Super. — Pisa: 1975, Ser. 4, V. 2, №, P. 219-263.

91. Pagani C.D. On a forward-backward differential equation / Pagani C.D., Talenti G. // Annali di Matematica pura et Applicata, 1971, V. 90, M, P. 1-58.

92. Pulkin I. S. Gevrey problem for parabolic equations with changing time direction / Pulkin I. S. // Electronic Journal of Differential Equations, 2006, Vol 2006, №50, P. 1-9.

93. Slemrod M. Dynamics of measure valued solutions to a backward-forward heat equation / Slemrod M. // J. Dynam. Differential Equations, 1991, V. 3, M, P. 1-28.

94. Vragov V.N. On the theory of nonclassical equations of mathematical physics / Vragov V.N., Kozhanov A.I., Pyatkov S.G., Glazatov S.N. // Conditionally well-posed problems — Moscow-Utrecht: TVP/TSP, 1993, P. 299-321.