Решение методом интегральных уравнений контактных задач для параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1ВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ )ЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

механико-математический факультет

на правах рукописи УДК 517.956.4

ШЕВЕЛЕВА ВИКТОРИЯ НИКОЛАЕВНА

РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

(01.01.02 - дифференциальные уравнения )

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994 г.

те о

г з шйз(

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического' факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель- доктор физико-математических наук Е А. Бадерко.

Официальные оппонент- доктор физико-математических наук профессор

Е.И. Моисеев

• доктор физико-математических наук профессор Е.В. Радкевич

Ведущая организация- Институт математического моделирования

Российской "Академии Наук

Защита диссертации состоится " " СЬ^С^рСс^Сс^_1994 г. в

16 часов 05 минут на заседании специализированного Совета Д.053.05.04 при Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан ■ /ЗГ" АМЯ^ГГГШ. 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета Д.053.05.04 при МГУ

доктор физико-математических наук Т.П. Лукашенко

Общая характеристика диссертации

Пусть Э:=1!пх(0, ^ точки которого будем обозначать

одной буквой Р=(х,Ь). В работе мы будем рассматривать анизотропные пространства Гельдера функций, допускающих экспоненциальный рост по "временной" переменной 1:. Для любой

,о, а

'а

пространство функций f: ft—>R , для которых конечна величина

области OsD, ае(0,1) и aiO через С°'а(0) обозначаем линейное

Гп ï |f(x,t)|

II f;Q l£°'a):= sup , . +

а (*,t)ей expiâtJ

|f(x,t+At)-f(x,t)|

+ sup ' - +

<»,!>, |At|a/z[exp(at)+exp(a(t+At))] ( x,i♦дt >eft bt^O

|f(x+ûx,t)-fU,t)|

+ sup -

u,t), | &x| °exp(at)

(»♦ii.tiefl

Дх*0

Через С*'"(О) обозначаем линейное пространство функций Г:Q—>R

EL

имеющих в Q производные 3 Ï (1=1,п), для которых конечна

* i

величина

( к,t)€ft

11^ := sup +

+ sup -- + III3 f;nlt°'e).

(x,t >, I At I [exp(at)+exp(a(t+At))] i.i \ 3

( «,tleft

Д t*0

Через C°(0), обозначаем линейное пространство функций

Ъл

- А -

f:Q—Л, непрерывных в Í), для которых конечна величина:

lí(P)l

llf;«H a :=SUP expiât) "

р ■ ( * , i leo .

При Т<+® или а=0 введенные пространства совпадают с анизотропными пространствами Гельдера Ск,° (см.[1]). Кроме того, рассматриваем подпространства

Ck'a(Q):=^feC*'a (0)| f(x

,о)=о| .

о а ] а

В настоящей диссертации методом теории . потенциала доказывается однозначная разрешимость (в классическом смысле) в классе с''" контактной задачи для многомерного (по

о

пространственным переменным) параболического уравнения второго порядка или, другими словами, граничной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами- При этом поверхности, на которых задаются контактные и граничные условия, являются, вообще говоря, нецилиндрическими и негладкими (по t).

Теории контактных задач уделялось много внимания. В своих работах их изучали Самарский A.A. [2], Олейник O.A. [3,4],

1. Эйвелълан С. Д. Парайолические уравнения "Итоги науки и техники", сер.совр.проа. лам., Фунд.нстр. , ВИНИТИ, т.63, 1990 г.

2. Самарский A.A. Уравнения параболического типа, с разрыбншш коэффициентами. ДАН СССР т.121, N2, 1958 г., стр. 225-228.

3. Олейник O.A. Решение основных краевых задач для уравнений второго порядка с разрывными коэффициентатt. ДАН СССР т.124, N6, 1959 г., стр. 1219-1222. ,

4. Олейник O.A. Краевые задачи Оля линейных уравнений эллиптического и параболического пита с разрывными -коэффициентами. Изв. АН СССР сер.лат., m.25,.Nl, . 1961 г.,

стр. 3-20.

Ладыженская 0»А. [5]. Ривкинд В.Я. и Уральцева H.H. [6], Камынин Л.И. [7-9], Бадерко Е.А. [10], Житарвшу Н.В. [11], Дринь М.М. [12] и другие авторы. Исследования проводились как для одной ([2], [7], [10]), так и для многих пространственных переменных ([3,4], [5,6], [8,9], [11],[12]).

Известно, что одним из методов решения контактных задач для параболических уравнений служит метод, в котором в качестве инструмента решения таких задач используется потенциал простого-слоя, порожденный фундаментальным решением уравнения. При помощи потенциала простого слоя впервые в работе Самарского A.A. [2], а затем - Камынина Л.И. [7], Бадерко Е.А- [10] детально изучается

5. Лавиженская O.A. 0 решении общей задачи дифракции. ДАН СССР т.96. N3, 1954 г., стр. 433-436.

6. Ладыженская O.A.. Ривкинд В.Я., Уральцева H.H. 0 классической разрешимости задач дифракции. Труды мам. института им.В.А.Стеклова АН СССР, т.92, 1966 г., стр. 116-146.

7. Калинин Л.И. 0 существовании решения краевых задач для параболического уравнения с разрывными коэффициентами. Изв. АН СССР сер.мат., т.2В, N4, 1964 г., стр. 721-744.

8. Камынин Л.И. Об одной задаче биофизики.. ДАН СССР m.169, N4, 1966 г., стр. 761-764.

9. Камынин Л.И. Приложение параболических потенциалов Панъи к краевым задачам математической физики. Дифф. уравнения, т.26, N5, 1990 г.. стр. 487-496.

10. Бадерко Е.А. Применение метода параболических потенциалов и решению одной краевой задачи контактной теплопроводности. Дифф. уравнения, т.6, N12. 1970 г.. стр. 2200-2213.

11. Хитарашу Н.В. Шаудеровские оценки и разрешимость общих краевых задач для общих параболических систем с разрывными коэффициентами. ДАН СССР т.169, N3, 1966 г., стр. 511-514.

12. Дринь U.U. Операторы Грина параболических задач сопряжения. Канд. дис.-. Киев 1985 г..

решение параболического уравнения с разрывными коэффициентами в случае одной пространственной переменной (п=1).

Настоящая диссертация посвящена исследованию возможности использования потенциала простого слоя в решении контактных задач общего вида для многомерного (по х ) параболического уравнения (пг2).

Заметим, что рассмотренные в настоящей диссертации условия на гладкость данных задачи а также допускаемая нами возможность Т=+ш, не позволяют непосредственно обратиться к методам датированных выше известных исследований контактных задач в многомерном случае (п22).

Цель работы. 1) Установление гладкости в пространствах Гельдера основных параболических потенциалов: типа Пуассона, объемных масс и простого слоя в бесконечной (по времени) области.

2) Решение систем интегральных уравнений, к которым, посредством потенциала простого слоя, редуцируются контактные задачи.

3) Установление существования и единственности решения контактных задач в классе С^.

Общая методика исследования. В диссертации используется метод граничных интегральных уравнений с применением потенциала простого слоя (порожденного фундаментальным решением уравнения).

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Перечислим их: 1) Установлена гладкость в пространствах Гельдера основных параболических потенциалов в бесконечной (по времени) области.

2) Доказана (Однозначная разрешимость систем интегральных уравнений типа Вольтерра, к которым редуцируются контактные задачи в случае многих пространственных переменных.

3) Доказана однозначная разрешимость в классах Гельдера контактных задач и дано интегральное представление решения в виде суммы параболических потенциалов.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях различных задач для параболических уравнений и систем. Она может служить теоретической основой для численых исследований задач тепло- и массопереноса методами граничных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на . семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа механико-математического факультета, на факультете ВМиК, а также на Всесоюзной конференции по краевым задачам для дифференциальных уравнений (Алма-ата, 1991 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, заключающих в себе 7 параграфов. Общий объем диссертации 169 стр..Список литературы содержит 47 названий.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ.

Во введении диссертации изложена рассматриваемая в ней проблематика и дан обзор результатов, связанных с темой диссертации.

В первой главе "Параболические потенциалы типа Пуассона, объемных масс и простого слоя" устанавливается гладкость в

классах Гельдвра потенциалов, указанных в заголовке, для случая

бесконечной (по времени) области.

В X) рассматриваем область Я, у которой Эй=0о11 Е<0>, где

область 0 с{?" на плоскости t=0, область О сЕп на плоскости о г

£(0'-п-мервая поверхность (с краем). Сечение £<°>} для любых те[0,Т] является (п-1)-мерной поверхностью которая в каждой своей точке имеет (п-1)■-мерную касательную плоскость, лежащую в п-мерной плоскости t=т. Ес0' может быть несвязной. В каждой точке Р поверхности £<0) существует вектор Я<0'(Р), который является ортом внутренней (по отношению к О) нормали в точке Р к поверхности 1, лежащей в плоскости t=т.

Пусть точка Р°=(х°,1;0) принадлежит поверхности £(0> и пусть

(е^Р0).....еп(Р°),еп+1 (Р°)) - ортонормированный базис в Е"*1 с

началом в точке (х°,0), в котором е (Р°)=Ш<0> (Р°),0) и е -

п п+1

орт % положительного направления оси 0t. Систему координат (у.«•••»У >Ю в этом базисе называем Р° - системой координат в

1 п

К"*1. Для любой точки Р° поверхности £(0> и любого (1>0 через В(Р°,с1) обозначим открытый шар (или часть открытого шара) в пространстве переменных (у',1) вида:

В(Р0,е):=|(у',1;)бКп-гх(0;Т)| | (у' 11<й|.

Е(0) - называем поверхностью класса Гельдера С1'" и пишем Е<0)еС,,в, если существует <1 , 0«3^+«>, такое, что каждая точка Р°е£ имеет в окрестность 0(Р°) со свойством:

210>ПО(Р0)=|ре5:(у',1;)е1(Р0,й);уп=е(у',г;Р0)| (в Р°- координатах),

где функция g( •;Р°):В(Р°,а)—»К принадлежит пространству С1 ,а(В(Р°,(1), и конечна величина

||£<0)||<,-«,:= аир || е(-;Р°);В(Р°,а)||м'в,>

Рассматрим параболическое уравнение второго порядка Ьи=0, где оператор

Ь:=аг Е а (Р)ЭЭ - £ а (Р)Э -а0, г„а»1 1-г

где Э =3 (1=1,п), ' N

коэффициенты которого удовлетворяют условиям:

■ г

(35 >0) (УРеО,УоеК") а(Р)агб Ы2, I о о1 1

(1)

В §1 гл.1 устанавливается оценка для фундаментального решения Г(-Р;0) параболического уравнения 1.и=0 при Т=+юг (3 С>0, ЗОО, ЗагО)

£ -С.

( П+-С > 1 ^

ехр -с-^

(2)

В § 2,3 рассмагриваютя потенциалы: - объемных масс

71(Р):=]Г(Р;0)Г(0)(10

=¡2; Р,<ЗеВ).

1 j

(3)

- типа Пуассона

К"

- простого слоя

Г

(4)

(5)

где £ - "боковая" повериюсть области О. Интеграл {5) понимаем

как повторный:

1 - м -

£ о £ Доказывается следующая

Георема 1. Пусть для коэффициентов оператора Ь выполнены условия (1), и пусть &г>а, где а -постоянная из оценки (2) для фундаментального решения. Тогда операторы

V: С» (С) —> (5),

2 2

' V : С1'м (Ип)—♦ с1,а(С), ° 2

заданные формулами (3) и (4), * соответственно, являются

ограниченными операторами.

Если поверхность ЕеС1'", то оператор

и: С°'°(Е) —» С1'""(О),

0 2 0 2

заданный формулой (5). является ограниченным оператором.

Теорема 1 представляет собой новый результат в случае Т=+ш. Во второй главе "Система интегральных уравнений" доказывается однозначная разрешимость в гельдеровских классах функций системы интегральных уравнений типа Вольтерра, к которой редуцируется контактная задача.

В области О выделяется внутренняя область 0(исй,

с "боковой" границей 2'1'¿0. Предполагается, что £<о>/"\£11>=0. и

1 'еС1 '** (1=0,1), (6) Пусть область

- 11 -й<2,.-=о\3"\

В каждой из областей 0<к'задан соответствующий параболический оператор второго порядка

Ь(к):=Э-£ а/к'(Р)Э а - X а(к>(Р)31-а(к>, (к=1,2), (7)

Предполагается, что вещественнозвачные коэффициенты операторов Iе(к=1,2)- определенны в Б и удовлетворяют условиям:

. ( к ) I

(8)

(3бо>0) (VPeD.VoeR") о(к'(Р)ог5о|о|2,

,И . „ч „(к) „(к) _ С к 1 _ Л,0,а

(Vi,j=1.....n) afj , a. ,ag e CQ' (D).

Рассмотрим В и В (з,к=1,2)- линейные дифференциальные

О s к

операторы порядка .г и rek (Osr0s1; Osr^sl s,k=1,2), соответственно. А именно, пусть г иг фиксированные целые

О в к

числа, Osr s1; Osr s1, и пусть о в к

г =гоах г

в з к

к. 1 , 2

Тогда действие операторов Во на функции и'21,определенные в 5(г>, и операторов Bsk на функции utk), определенные в R(kl, задается формулами

Вои(2)(Р):=

Ъ (Р)и(2>(Р), если г =0,

I b (Р)Э utz'(PHli (P)u<2>(P), если г =1,(РеЕС0>); L i-i '

В u,k)(P):= » к

Ь (Р)и(1с>СР), если г =0, 8 к *

Е ь тэ и<к>(р)+ь (р)и'уЧР)»

. I • к, 1 I ©к

( I Ь2, ,(Р)+Ьг, (Р)*0), если г =1, (РеЕ(1>). " в 1 , 1 8 2,11 в I * 1

Предполагается,что коэффициенты оператора В удовлетворяют

условиям:

дополнительности (см.[1]);

Ъ еС1 "го'°(2<0>) ,11 еС0'" (£<0>), о о о о

(9)

а коэффициенты операторов В^^ (а,к=1,2)- условиям:

"совместного накрывания" (см. [11])

1 ~г- '°(Е111),1х еС° ' а{ 1' ).

Ь еС . —

як О «кО

Рассматриваем систему интегральных уравнений

2

I к « 1

(10)

(11)

I В и« (Р)+В ,и»„№)=» (Р), РеЕ(1>, (а=1,2),

а I к к »200 5

где ио и ик (к=1,2)- потенциалы простого слоя, заданные формулами:

и0?о(Р):= | Г(г)(Р;0)<ро(С!)<1аа

(12)

Л о)

о Ш:= Г Г(к>(Р;0)р ((Ша . (к=1,2), (13)

к к л к О

Г(к> - фундаментальное решение уравнения Ь(к1и(к* =0 (к=1,2).

К. системе вида (11) редуцируется контактная задача,

изучаемая в главе 3.

Установлена следующая

I

Теорема 2. Пусть для коэффициентов уравнения (7) выполнены условия (8), для оператора Во -условия (9) и для операторов В (а,к=1,2) - условия (10), а для поверхностей 11 (1=1,2)

з.к -- - — - -

условия (б), и пусть а2>а фиксированное число, где а=тах(ас1},а'2'}, а(к) - постоянная из оценки (2) для фундаментального решения Гс к'. Тогда для любых

Фоес1 "го'0'), ^ес1;'.-"^'""), (3=1,2)

о г * о г

существует единственное решение

9 еС°:а(Е,0)), *> еС°'а(£(1)), (а=1.2). ° о аг . * о аг

системы интегральных• уравнений (11), при этом справедлива оценка:

г к ■ 1 г

2 к-1 2 с постоянной С>0, не зависящей от (к=0,1,2).

В одномерном случае п=1 при Т<+® утверждение теоремы 2

вытекает из работ Камынина Л.И. [7], Вадерко Е.А.. [10].

Теорема 2 представляет собой новый результат:

1) в одномерном случае п=1, если Т=+-ю,

2) в многомерном случае пг2 для любого Т*+со.

В третьей главе "Контактные задачи" решается следующая контактная задача:

найти пару функций {и(1>,и'2'}, являющихся решениями соответствующих уравнений:

Х{к»и(к)=?(к> в й(к) (к=1,2) с начальными условиями

а(1)=1г1к> в 1 к '("\{1;=0}, граничными условиями на "внешней" граница:

Вои<г>^о на £10>, и двумя условиями сопряжения на границе "раздела сред":

(15)

(16)

В и( 1 '-В и'21^ , 11 12 1

В иС1'-В и<2)=у, на 1<и. 2 1 22 г

(1Т)

При атом накладываются естественные условия согласования:

11<гЧ на £1"'ли=0) о т о 11

<0),

(18)

£ В Ь!к>=|р на Е(1>пП=0}, (а=1,2).

к ж 1 °к 3

Замечание. Всюду в работе речь идет о регулярных решениях

уравнения

Ь(к,и(к>=Г<к> в 0е"', т.е. функциях, которые непрерывны вместе со своими производными д , Э , а2 а,¿=Т7п) в й<к>, и удовлетворяют уравнению в

I X XV

1 I J

этой области.

Пусть потенциалы V'*' и (э=1,2) - потенциалы объемных

масс (3) и типа Пуассона (4), порожденные фундаментальным

решением Г(,)(Р;СП уравнения (7)- Потенциалы С/о и (к=1,2)

потенциалы простого слоя, заданные формулами (12) и (13) соответственно.

Доказана следующая

Теорема 3- В условиях теоремы 2 для любых f'k'еС°'°(D),

2

hck'еС1'a(Rn), v,0eCg"r° ,a( ^' ° ' ) K|PkeC'-rk'"(E(n), (k=1,2),

г г

удовлетворяющих условию согласования (18):

1) Решением {u(1',utz)) задачи (14)-(17) являются функции: u(1>(P)=V(11f(1 l(F)+v'"hn)(P)+U ^(Р),

/ (19)

u<2> (?)=Vlz'f(21(P)+v'2>li(2>(P)+Uoiio(P)+C72lp2(P),

где {<р k=0,1,2} - решение системы интегральных уравнений Bo[ropo(P)+BoU2»>2(P)=-Bo(V(2)i (z)+V^2>ii!z))(P)+<P0(P), Ре£(0\

■BUp (РНВ (U 9 +U ф )(Р) =

8 t 1М s 2 0У0 . 2 2

=- V В (V(k)f(k,+VCk Vkl)(PHt{> (Р), РеЕ(,\ (s=1, 2) -k»i sk 0

2) Функции (19) являются регулярными решениями соответствующих

параболических уравнений и принадлежат пространствам

uik,eC''a(Q(k)) (k=1,2), (20)

2

причем

2 2

+ IK;£(,>||trr*'"))+||v,£i0)irrr°'o)] (21) 2 2

с достоянной C>0, не зависящей от I( k ', hik), Фк (k=1,2) ,tpo.

Утверждение сформулированной выше теоремы 3 известно: 1) в одномерном случае п=1, если Т<+<» (см. работы Камынина Л.И. [71, Бадерко Е.А.. [10]);

2) в многомерном случае пг2, если ТО® факт существования и единственности решения в классе С1'" в виде потенциала Паньи был доказан Камыниным Л.И. [9] для задачи, когда порядок граничного оператора Во равен гц = 1, а порядки операторов В>к (а,1с=1,2) из условия сопряжения равны: гвк=1' если а=1с, и г3 к=0 если з*к, при этом поверхности £(0> и £11) - компактные.

Таким образом, утверждение теоремы составило новый результат:

1) в одномерном случае п=1, если Т=+ю;

2) в многомерном случае пг2 для любого (кроме случая, описанного выше).

Если повысить требования на данные задачи: на коэффициенты операторов Бо, В8к (з,к=1,2), начальные функции Ъ1*' (а=1,2) и поверхности 1<0), £(1>, а именно, потребовать, чтобы Ь . Г0'а(Е10)), ъ Ч)кеС^"гк'а(Е(1)), начальная функция

И1*'еС2,а(й^*') (8=1,2), а поверхности £(1>бС2'а (1=0,1) , то существование и единственность решения задачи (14)-(17) в классе и(*>еС^'°(Й1'') (8=1,2), а также его интегральное представление, порожденное матрицами Грина соответсвующих задач, доказаны в случае конечного Т<+® в кандидатской диссертации Дринь Ы.М. [12].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук Вадерко Елене Александровне за предложенную тему и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме дисссертации

1. Шевелева В.Н. Об одной задаче контактной теплопроводности. Дифф. уравнения, т.27, N1, 1991 г., стр.172-174.

2. Шевелева В.Н. Об одной задаче для параболического уравнения с разрывными коэффициентами. В кн.: Тезисы докл. конф. "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" Алма-Ата. 1991 г., стр. 1043- Шевелева В.Н. Контактная теплопроводность с условиями сопряжения на элементарной поверхности. Деп. ВИНИТИ, 28.01.92., N 272-В92.

4. Шевелева В.Н. Об одной задаче контактной теплопроводности 2. Дифф. уравнения, т.28, N4, 1992 г., стр. 729-730.