Классы корректности краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§1.1 Введение

§1.2 Вспомогательные сведения к главе 2.

§1.3 Вспомогательные сведения к главе 3.

1.3.1 Гельдеровские пространства

1.3.2 Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений

§1.4 Постановка контактных задач математической физики

1.4.1 Погранслойное приближение в диффузионных уравнениях

1.4.2 Пограничный слой Прандтля

1.4.3 Стационарная фильтрация двухфазной жидкости

1.4.4 Ортогональные преобразования.

1.4.5 Сопряжение потоков

1.4.6 Встречные потоки.

1.4.7 Противоположные спутные потоки.

1.4.8 Односторонние спутные потоки.

1.4.9 Ортогональные потоки.

1.4.10 Косое соударение

1.4.11 Задачи типа дифракции.

2. ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§2.1 Введение

§2.2 Краевые задачи для уравнений нечетного порядка.

2.2.1 Сильная разрешимость краевой задачи для уравнений первого порядка

2.2.2 Гладкость решений

2.2.3 Некоторые уточнения.

2.2.4 Уравнения произвольного нечетного порядка.

2.2.5 Гладкость решений

2.2.6 Гладкость решений одной краевой задачи.

§2.3 Уравнения четного порядка

§2.4 Краевые задачи для уравнений общего вида.'

2.4.1 Сильная разрешимость.

2.4.2 Гладкость решений

§2.5 Применение общей теории.

2.5.1 Уравнения с меняющимся направлением эволюции

2.5.2 Уравнение третьего порядка

ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ

§3.1 Введение

§3.2 Уравнения высокого порядка.

§3.3 Уравнения второго порядка

3.3.1 Сингулярные параболические уравнения.

3.3.2 Параболические уравнения общего вида.

3.3.3 Уравнения со сдвигом.

§3.4 Итерированные уравнения теплопроводности.

3.4.1 Локальные краевые задачи

3.4.2 Нелокальные краевые задачи.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ

§4.1 Введение

§4.2 Постановка задачи.

§4.3 Предположения, вспомогательная задача.

§4.4 Оценки градиента решений слабо вырождающихся параболических уравнений.

§4.5 Весовые оценки градиента решений сильно вырождающихся параболических уравнений.

§4.6 Примеры образования встречных потоков.

4.6.1 Уравнение Прандтля-Мизеса.

4.6.2 Система теплового пограничного слоя.

Теория краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени в последние годы привлекают внимание многих специалистов по теории дифференциальных уравнений в частных производных. Имеется целый ряд работ отечественных и зарубежных авторов, в которых поставлены и исследованы краевые задачи для такого вида уравнений. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы М.Жевре [83].

Новым этапом в развитии этой теории явились работы, связанные с операторно-дифференциальными уравнениями вида = ¿е[о,т], (0.1.1) где I/, В - самосопряженные операторы, определенные в гильбертовом пространстве Н. В случае И (В) С D{L) подобные уравнения обычно называются уравнениями типа Соболева. Для уравнений типа Соболева часто корректна обычная задача Коши или задача близкая к ней. Иная ситуация, в случае если уравнение не является уравнением типа Соболева и спектр оператора В содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуоси.

Даже в этот простейший класс уравнений входит значительное количество задач, возникающих в математической физике. Для уравнений типа Соболева это задачи гидро и газовой динамики, теории упругости и некоторые другие [15, 273, 66, 181, 250, 300, 119, 132, 116]. Для уравнений не типа Соболева входят так называемые кинетические уравнения [54, 115, 21, 39], описывающие диффузионные процессы, броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике [102]-[101], [20]-[23], [262]. Значительное количество примеров приведено в работе [54]. Можно отметить также монографии и статьи [93, 94], [97, 254, 255, 257, 260], где также возникали подобные задачи.

Полное исследование уравнения (0.1.1) для случая, когда Ь, В — постоянные (т х п)-матрицы, проведено в классических работах Л.Кронекера и К.Вейерштрасса. Здесь были рассмотрены вопросы о построении канонических цепочек собственных и присоединенных элементов соответствующей спектральной задачи, о построении общего решения, о существовании решений задачи Кош и и ряд других. Изложение этих результатов имеется в книге [58]. Для случая, когда В матрицы дополнительно зависящие от параметра вопрос о построении общего решения уравнения (0.1.1) рассматривался в работах В.Ф. Чистякова и некоторых других авторов (см., например, [301]). Для уравнений соболевского типа или близким к ним, а также и для некоторых уравнений, не принадлежащих соболевскому типу достаточно подробно исследован вопрос о существовании решений задачи Коши. В этой связи можно указать работы [132, 87, 88, 123, 109, 159, 246, 238, 256, 161, 274, 275]. Соответствующая теория полугрупп для уравнений вида (0.1.1) соболевского типа в случае необратимого оператора В была построена в работах Свиридю-ка Г.А. и его учеников. Ими также были получены аналоги теоремы Хилле-Иосиды для этого случая и ряд теорем о разрешимости задачи Коши [250, 251, 252, 253].

Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением времени. Простейшей моделью является уравнение д(х)щ + Ьи = /, д(х) = 8§п ж, (0.1.2) где Ь — эллиптический оператор второго порядка. Это уравнение при х ф 0 является параболическим, однако для него задача Коши с данными при Ь — 0 не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С.А.Терсенова [270, 271, 272], А.М.Нахушева [174], И.Е.Егорова [75]-[77], А.А.Керефова [110], Н.В.Кислова [112]-[114], С.Г.Пяткова [223]—[234], В.В. Катышева [108], Х.Х.Ахметова [10], М.С.Боуенди, П.Гривара [14], К.Д.Па-гани, Г.Таленти [182]—[184], О.Арены [9] и других авторов. Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в классах типа И^1 решение существует и единственно. Но более гладкие решения существуют только при условиях выполнения конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Отметим, что С.А.Терсенов изучал эти задачи с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций, разрешимость сводил к разрешимости сингулярного интегрального уравнения и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде. При этом предполагалось, что условия склеивания на линии раздела должны быть непрерывными включая первую производную. Отметим также работы Н.В.Кислова об обобщенной разрешимости краевых задач для уравнения (0.1.2) в случае п = 1,2, где исследования проводились с помощью "проекционной теоремы", обобщающей соответствующий результат М.С.Боуенди и П.Гривара.

С.Г.Пятков исследовал аналогичные задачи для операторно-дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка с помощью ряда свойств собственных функций соответствующей спектральной задачи. Им были обобщены ряд результатов Кислова Н.В. об обобщенной разрешимости поставленных краевых задач, рассмотрены вопросы о гладкости решений.

Дальнейшее развитие теории краевых задач для общих уравнений вида (0.1.2) получила в работах Г.Фикеры, О.А.Олейник. В.Н.Враговым и рядом авторов построена общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа. Эти исследования были продолжены в работах Г.Д.Каратопраклие-ва, Г.Кузьмина, Д.М.Расьяса, Н.А.Ларькина, Б.А.Бубнова, И.Е.Егорова [75]-[77], А.И.Кожанова [116]-[118], С.Г.Пяткова [233, 234] и других.

В уравнениях с неявным изменением эволюции (нелинейный случай) возможности еще более разнообразны, сама постановка задачи зависит от входных данных. Так, в модельном уравнении пограничного слоя ищ — ихх = 0 смена направления параболичности происходит там, где решение и{х^) меняет знак. О.Б.Бочаров [34] показал разрешимость задачи Дирихле для этого уравнения, когда начальные данные разных знаков задаются при £ = 0, £ = Т. Проблеме существования развитого пограничного слоя с возвратным течением в рамках модели Прандтля и изучению структуры этого течения за точкой отрыва для уравнения sgnищ — л/\и\ихх = посвящены работы В.Н.Монахова [166, 167].

Интерес к нелинейным уравнениям переменного типа был инициирован статьей Н.Н.Яненко, В.А.Новикова [304], где они пришли к выводу, что эти уравнения должны быть основой построения строгой модели автоколебательных и турбулентных течений. Изучению этих уравнений посвящены работы многих авторов: Т.И.Зеленяка [85, 86], Белоно-сова B.C. [16], Плотникова П.И. [191], Подгаева А.И. [192, 193] , Пяткова С.Г. [232, 233], Ахмерова Х.Х. [11], Лаврентьева М.М.(мл.) [128]—[131], В.Н.Гребенева [53] и других. Подробная библиография и ряд результатов содержится в книге [144].

Работа посвящена исследованию корректности краевых задач для опе-раторно-дифференциальных уравнений высокого порядка и их приложений к теории параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции. Рассмотрены вопросы гладкости решений в случае произвольного порядка по п. Полученные результаты также могут послужить основой при постановке и исследовании новых краевых задач.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и заключения. Формулы нумеруются тремя цифрами, первая из них — это номер соответствующей главы, второй — номер параграфа, третий — порядковый номер внутри параграфа. При ссылках внутри главы и между главами используются именно эти номера. Определения, леммы, теоремы, утверждения, следствия и т.д. нумеруются двумя цифрами, первая из них — это номер соответствующей главы, вторая — порядковый номер внутри главы.

Основные результаты, которые выносятся на защиту:

1. Исследован вопрос о существовании, единственности и гладкости решений краевых задач смешанного типа для операторно-дифференциальных уравнений как в случае уравнений нечетного порядка, так и в случае уравнений четного порядка.

2. Рассмотренные операторно-дифференциальные уравнения при определенных условиях эквивалентны нестабильному уравнению, для которого поставлены корректные краевые задачи.

3. Поставлены и исследованы основные краевые задачи в гельдеров-ских пространствах для общих параболических уравнений высокого порядка с меняющимся направлением эволюции. Указаны условия однозначной разрешимости этих краевых задач.

4. Для линейных параболических уравнений второго порядка с меняющимся направлением времени исследованы общие условия сопряжения (включая условия со сдвигом) и для них найдена зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций сопряжения.

5. Предложен единообразный подход к построению моделей сопряжения различных физических процессов таких, как распространение тепла в неоднородных средах (задачи типа дифракции), взаимодействия фильтрационных и каналовых потоков жидкости (фильтрация в скважину), возвратные течения в пограничном слое за точкой его отрыва и другие.

6. Указаны постановки краевых 'задач о встречных потоках, соответствующих развитому пограничному слою с возвратным течением в рамках модели Прандтля.

7. Для широкого класса задач о всречных потоках для нелинейных уравнений получена граничная оценка градиента решений, а также обоснован принцип максимума для градиента решений, как в случае слабого вырождения, так и в случае сильного вырождения на решении.

8. Построены примеры образования встречных потоков решений уравнения Прандтля-Мизеса в изотермическом, случае, а также в случае стационарного теплового пограничного слоя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена теории краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции. Анализ результатов главы 2.

К операторно-дифференциальным уравнениям, рассмотренным в этой главе

Ви^ + Ьи = /(£)> *е[0,Т], (5.0.11) где Ь, В — самосопряженные операторы, определенные в гильбертовом пространстве Н, примыкает теория линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой, которое берет свое начало с работ Л.С. Понтрягина 50-х годов [195]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах М.Г. Крейна, И.С. Иохвидова, В.П. Потапова, Ю.П. Гинзбурга, Э. Песонена, Р. Филлипса, Г.Л. Лангера, М.А. Наймарка, Ю.Л. Шмулья-на, Ж. Богнара, С.Г.Пяткова [61, 65, 122, 6, 140, 141, 142, 172], [223]-[237] и многих других математиков. Отметим исследования, связанные со спектральными задачами уравнений (5.0.И) вида

Ьи = ХВи. (5.0.12)

В работах С.Г.Пяткова полностью исследован вопрос о базисности по Риссу (безусловной базисности) собственных и присоединенных элементов спектральной задачи (5.0.12) в гильбертовом пространстве Но с нормой

1Мк = РГ/а»1к.

Найдены также необходимые и достаточные условия в терминах теории интерполяции и приведены простые, легко проверяемые достаточные условия, гарантирующие безусловную базисность. Пространства такого типа возникают в приложениях, как правило, либо это пространство £2(0) (^ С К") с весом, либо пространство Соболева с весом. Вопросы полноты и базисности собственных и присоединенных элементов полиномиальных операторных пучков рассматривались в многочисленных работах: Келдыша М.В., Костюченко А.Г., Крейна М.Г., Оразова М.Б., Радзиевского Г.В., Маркуса A.C., Лангера Г.К., Шкаликова A.A. [32, 154, 303], [120]—[123] и многих других авторов. Простейшим примером задачи вида (5.0.12) является задача

Ьи = Хд(х)и, х G Q С R", (5.0.13)

BjU|г = 0, j = ТТр, (5.0.14) где L - самосопряженный в L2(Q) и полуограниченный снизу дифференциальный оператор порядка 2ш, определенный в области О С Л™ с границей Г, Bj — дифференциальные операторы, определенные на Г, а д(х) — измеримая по Лебегу функция меняющая знак в области Q. В частности в качестве оператора L можно взять эллиптический или вырождающийся эллиптический оператор. Незнакоопределенность функции д{х) индуцирует естественное разложение где Q+H = {х е Q д(х) > 0 (д(х) < 0)}. Пусть L2,g(Q* U есть пространство измеримых в U функций и(х) таких, что и\д\1!2 G L2)g(S}+{jQ,~). Аналогично можно также определить пространства L2ig(Q+) L2,g(Q~). С.Г.Пятковым подробно исследованым спектральные задачи (5.0.13), (5.0.14) (в вариационной формулировке).

Результаты, полученные при исследовании задачи (5.0.12) применимы не только для исследования спектральной задачи (5.0.13), (5.0.14), но и для исследования краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа первого и второго порядка, наиболее часто возникающих в приложениях. С.Г.Пятковым были обобщены результаты Н.В. Кислова [112]-[114] об обобщенной разрешимости поставленных краевых задач для уравнения (5.0.11") в случае п = 1,2, рассмотрены вопросы гладкости решений.

Глава 2 является обобщением указанных выше результатов С.Г.Пят-кова об обобщенной разрешимости и гладкости поставленных нелокальных краевых задач для уравнения (5.0.11) в случае, когда п — произвольное натуральное числа (теоремы 2.1—2.17). Отметим, что здесь также исследуются не рассмотренные ранее краевые задачи, приведены примеры (теоремы 2.17-2.19).

Опишем основные области применения полученных результатов. Прежде всего — это краевые задачи для уравнений смешанного типа, теория которых разрабатывается достаточно давно в связи с многочисленными приложениями в гидродинамике, газовой динамике, физике. Количество работ посвященных этой теме огромно. Мы можем сослаться, например, на известные монографии А.В.Бицадзе [30], М.М.Смирнова [259], Т.Д.Джураева [71], М.С. Салахитдинова [248] и других авторов. В частности, в класс исследованных в диссертации уравнений входят хорошо известные уравнения Трикоми, Лаврентьева-Бицадзе и некоторые другие. В этой связи, касаясь спектральных задач непосредственно для уравнений смешанного типа, можно сослаться на цикл работ Моисеева

Е.И. [163], изложенный в его недавно вышедшей книге, на работы Т.Ш. Кальменова [96] и ряд других. Другая область приложений — краевые задачи для параболических уравнений с меняющимся направлением времени (глава 3), в класс которых входят так называемые кинетические уравнения описывающих диффузионные процессы, броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике.

Анализ результатов главы 3.

Данная глава посвящена изучению линейных уравнений с меняющимся направлением эволюции, исследуются вопросы, которые не вытекают из соответствующих результатов главы 2. Простейшей моделью является уравнение д(х)щ + Ьи = {) g(x) = sgnx, (5.0.15) где Ь — эллиптический оператор 2п-го порядка.

Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений, как отмечалось, была построена в работах С.А.Терсенова, А.М.Нахушева, Т.Д.Джураева, И.Ё.Егорова, А.А.Керефова, Катышева, Х.Х.Ахметова, М.С.Боуенди, П.Гривара, К.Д.Пагани, Г.Таленти, О.Арены [270, 271, 272, 174, 110, 108, 10, 9], [75]-[77], [112]-[114], [223]—[234], [182]—[184] и других авторов.

Центральное место в данной главе занимает исследование вопроса о разрешимости краевых задач для уравнения (5.0.15) в классах Гельде-ра Нр, Найдены необходимые и достаточные условия в терминах интегральных операторов от входных данных (теорема 3.1). При доказательстве теоремы 3.1 существенно используются элементарые решения

Б.Пини, Л.Каттабрига, выписанные в 1958-1.962 годах [187, 105]. При этом отметим на обращение в нуль интеграла о где ак + гЬк (ак > 0, Ь^ > 0) — корни уравнения г2п = (—1)".

В случае уравнений второго порядка исследование соответствующих новым. В этих работах предполагалось, что р = 2/ + 7, 0 < 7 < 1/2 и решения на линии раздела должны быть непрерывными, включая первую производную.

В теореме 3.2 для сингулярного уравнения второго порядка (с оператором Бесселя) рассмотрены общие условия склеивания на линии раздела. При этом, оказалось, что количество условий разрешимости исходной задачи зависит от индекса я соответствующего сингулярного интегрального уравнения. В теоремах 3.3, 3.4 дан ответ на не решенный ранее вопрос, в случае 1/2 < 7 < 1. В этих теоремах показано, что гладкость входных данных, вообще говоря, не влечет увеличения гладкости решения исходной задачи. Более того, в случае 7=1/2 решение задачи будет из пространства Я^'^2, где р = 21 + 1/2 — 2е, е > 0 — достаточно малое.

Далее исследованы краевые задачи для общих параболических уравнений второго порядка с меняющимся направлением эволюции (теоремы 3.5, 3.6), а также для итерированных уравнений высокого порядка (теоремы 3.7, 3.8). При этом были рассмотрены краевые задачи с условиями склеивания, имитирующими наличие непроницаемой перегородки с термическим сопротивлением р, а также с условиями сопряжения со сдвиоо краевых задач в пространствах Гельдера Нх1 проводились С.А.Терсер,р/2 гом. Характерно, что разрешимость краевой задачи в первом случае сразу редуцируется к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода, во втором — к сингулярным интегральным уравнениям со сдвигом.

Отметим, что ряд результатов автора по данной теме не были изложены в диссертации. Некоторые из них приведены в главе 1 (теоремы 1.9, 1.10).

Анализ результатов главы 4.

В главе 4 исследуются нелинейные параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции.

В работе В.Н.Монахова [167] предлагается математическая модель процесса образования встречных потоков некоторой физической величины, например, температуры, концентрации вещества, скорости движения жид кости. Описывающие этот процесс нелинейные вырождающиеся параболические уравнения меняют направление эволюции в зависимости от знака их решения. Для таких уравнений в случае уравнения Прандтля-Мизеса, им были изучены задачи о встречных потоках, в которой в начальный и конечный моменты времени задаются значения искомой функции, согласованные с направлением эволюции уравнения. Применялся метод эллиптической регуляризации параболического уравнения, были устанавлены априорные оценки решений эллиптической задачи, не зависящие от параметра регуляризации, и, позволившие осуществить предельный переход по этому параметру.

Здесь рассмотрены общие нелинейные параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции. В теоремах 4.1,4.2 получены граничная оценка градиента решений, а также обоснован принцип максимума для градиента решений, как в случае слабого вырождения, так и в случае сильного вырождения на решении. Теоремы 4.3 и 4.4 являются обоснованием примеров образования встречных потоков решения уравнения Прандтля-Мизеса в изотермическом случае, а также в случае стационарного теплового пограничного слоя.

1. Abasheeva N.L., Pvatkov S.G. Counterexamples in indefinite Sturm-Liouville problems // Siberian Adv. Math. 1997. V.7, №4. P. 1-8.

2. Agmon S. Lectures on elliptic boundary value problems. Princeton: Van Nostrancl, N.J., 1965.

3. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Comm. Pure and Appl. Math. 1962. V.15. P.119-147.

4. Agmon S., Douglis A., and Nirenberg L. Estimates near the boundary for the solutions of elliptic differential equations satisfying general boundary values //I, Comm. Pure and Appl. Math. 1959. V.12. P.623-727; II, 1964. V.17. P.35-92.

5. Агранович M.C., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи мат. наук. 1964. Т.19, №3. С.53-161.

6. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986.

7. Антонов Ю.С. Численные алгоритмы для некоторых уравнений неклассического типа. Дисс. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Якутск, 1996.

8. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей: Новосибирск: Наука, 1983, 316 с.

9. Arena О. On a degenerate elliptic-parabolic equation // Communications Part, Equat. 1978. V.3,№11. P. 1007-1040.

10. Ахмедов X.X. О некоторых краевых задачах для уравнений параболического типа с меняющимся направлнием времени: Дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1989. 98 с.