Корректность краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Туласынов Михаил Станиславович КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003450377

2 ЗОНТ 2т

Якутск-2008

Работа выполнена на кафедре математического анализа Института математики и информатики ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова»

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Попов Сергей Вячеславович Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук,

Защита состоится 12 ноября 2008 года в 16 часов на заседании диссертационного совета К.212.306.05 при ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К Аммосова» по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Кулаковского 48, КФЕН ЯГУ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета имени М.К Аммосова Автореферат разослан $ октября 2008 г.

Ученый секретарь

профессор Кожанов Александр Иванович, Институт математики им. С Л. Соболева СО РАН (г Новосибирск), кандидат физико-математических наук, доцент Цыбиков Баир Номоевич, Югорский государственный университет (г. Ханты-Мансийск)

Ведущая организация- Сибирский Федеральный Университет

(г. Красноярск)

диссертационного совета

В.Е. Федоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных давно. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы французского математика М. Жевре в 1913-1914 гг. К ним относится также ряд эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения.

В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии (поверхности) или при достижении граничных точек. Это прежде всего линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля. Последним были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Это, в частности, стало причиной возникновения широкого фронта исследований в этом направле-нии, образования больших научных групп.

В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы A.B. Бицадзе, И.Н. Векуа, В.Н. Монахова, С.А. Терсенова, Т.И. Зеленяка, А.П. Солдатова, Т.Ш. Кальменова, М.М. Смирнова и их научных школ. Общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа была предметом исследований В.Н. Врагова, Г.Д. Каратопраклиева, А.Г. Кузьмина, А.И. Кожанова, С.Г. Пяткова, И.Е. Егорова, А.Г. Подшева и других авторов.

Большое число работ посвящено изучению линейных сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции. Простейшей моделью является уравнение

ut sgax + Lu = /(*), (1)

где L - эллиптический оператор второго порядка с оператором Бесселя Вк = Данное уравнение при хф О является параболическим, причем

(7л> X ОХ

на прямой х = 0 коэффициент при производной по х имеет особенность. Для него задача Коши с данными при t = 0 не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных уравнений такого вида была построена в работах С.А. Терсенова, И.Е. Егорова, СТ. Пяткова, Н.В. Кислова, И.М. Петрушко, C.B. Попова и других авторов. Качественные свойства этих уравнений оказались

такими, что в классах типа JFj решение существует и единственно. Но более

гладкие решения существуют только при выполнении конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Отметим, что С.А. Терсенов изучал эти задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций, сводил их разрешимость к разрешимости сингулярного интегрального уравнения, и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде. При этом предполагалось, что условия склеивания на линии раздела должны заключаться в непрерывности решения и ее первой производной по х.

В представляемой работе рассматривается случай условий склеивания с полной матрицей с постоянными или переменными коэффициентами, более того, находится зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания.

Цель работы. Целью диссертации является исследование корректности краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции в случае условий склеивания с полной матрицей, включая условия с переменными коэффициентами.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению некоторых интегральных уравнений.

Отметим в этом отношении монографии Н.Ф. Гахова (1963), П.И. Мусхелшпвили (1962), а также В.Н. Монахова (1977), С.А. Терсенова (1985).

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

- исследованы вопросы корректности постановки и гладкости решений краевых задач для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с постоянными коэффициентами;

- исследованы вопросы корректности постановки и гладкости решения краевой задачи для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с переменными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в данной работе, основываются на строгих математических доказательствах, и в частных случаях из них следуют известные результаты.

Область применения полученных результатов - краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Полученные результаты также могут послужить основой при постановке и исследовании новых краевых задач.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и неоднократно обсуждались на семинарах «Уравнения с меняющимся направлением эволюции» (ИМИ ЯГУ, руководитель профессор C.B. Попов), «Неклассические задачи математической физики» (ИМ СО РАН, Новосибирск, руководитель профессор А.И. Кожанов), на Всероссийской конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (Якутск: 2003, 2005), на Лавренгьевских чтениях Республики Саха (Якутия) (Якутск: 2002-2008), на Республиканской конференции «Математика. Информатика.

Образование.», посвященной 25-летию матевдатическиго факультета ЯГУ (Якутск, 2002), на Всероссийской школе-семинаре для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка" (Якутск: 2004-2008), на IV-V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск: 2004, 2007), на Всероссийской научной конференция с международным участием «Математические моделирование и краевые задачи» (Самара, 2008) и на Международной научной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий - 2008» (Красноярск, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях в научных журналах и сборниках, а также отражены в тезисах 8 докладов на научных конференциях.

Работа частично поддержана конкурсом грантов по фундаменгалышм исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе «Университеты России»: в 2002-03 г.г. (УР.04.01.048), в 2004 г. (УР.04.01.047), ведомственной научной программой «Развитие научного потенциала высшей школы»: раздел 2. «Университеты России» (№ 2047-05); раздел 3.3 (проект 8427) в 2005 г.

Работа поддержана Федеральным агентством по науке и инновациям программой "Проведение научных исследований молодыми учеными" (2006-РИ-19.0/001/711, IV очередь) за 2006 г. стажировкой в Институт математики имени С.Л. Соболева СО РАН (Новосибирск).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 99 страниц. Список цитируемой литературы содержит 113 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны краткие исторические сведения по теме диссертации, обосновывается актуальность работы, формулируются цели исследования, в кратком виде приводится содержание работы.

Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из трех параграфов. В §1.1 даются основные определения и некоторые свойства гельдеровских пространств, в §1.2 приведены некоторые важные сведения из теории интегральных уравнений, в §1.3 даны некоторые интегро-дифференциальные тождества, которые в дальнейшем используются во второй и третьей главах.

Вторая глава посвящена исследованию краевых задач для сингулярного параболического уравнений с полной матрицей условий склеивания с постоянными коэффициентами. В §2.1 в области <2 = (0<|х|<со)х(0, Т) рассмотрено сингулярное параболическое уравнение с меняющимся направлением эволюции

Ищется ограниченное решение уравнения (2) из пространства Гёльдера

к

и, ихх + —их,

(2)

где|£|<1.

21+у

Нк ' 2 (0 (/ = М, уе (О, 1)), которое удовлетворяет начальным условиям и(х, 0)= 0>,(х), х>0, и(х, Т)= д>2(х), х<0

(3)

и условиям склеивания

(4)

где а - заданные действительные постоянные, = Ы1' —, П' = , если " дх

д = 2я и = еслид = 2л + 1.

Результатом настоящего параграфа является явное описание 2/ условий разрешимости краевой задачи (2)—(4). При этом показано, что разрешимость краевой задачи (2)-(4) при о^ н 0 сводится к разрешимости сингулярного интегрального уравнения, иначе - к разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

Если полученные условия разрешимости обозначить в следующем

виде:

L.(fpv и) = 0, 5 = 1,2, ..., 2/, (5)

где Ls - вполне определенные линейные интегральные операторы относительно <рх и (р2, то основной результат данного параграфа формулируется в виде следующих теорем: Теорема 2.1. Пусть

1. я(х) = ЯГЧО, +00) и <p2(x)=H¡hr(rco, 0) (le N, Ге (0,1));

2. выполнены условия ап Ф(), апа22 + апа,а > 0, апа21< 0, ai2a22< 0 и ана22 " а12«21 9® 0 ■

Тогда при выполнении 21 условий вида (5) существует единственное

2í+r. /+-,

решение краевой задачи (2)—(4) из пространства 2 ( Q),

Теорема 2.2. Пусть

1. ñ(x)€ Iill*y(fi,+oo) и í»2(x)e оо, 0) (le N,0</<1);

ш

2. т - наименьшее целое положительное число такое, что: <9+йг~ — + 1>0,

т „ п п . . „ л 1 a.cos/zor — <я,,

--в>0, р = min(2-m + 26>, т-2а-20)>О, 6> = — arcíg-^-

2 Оц singar

Аг+1 йг = -

2

3. выполнены условия «l2 = 0, <зпй22 > 0, яп«21 ^ 0, апа22 Ф 0, 0 < у < ¡5.

Тогда при выполнении 21 условий вида (5) существует единственное

21+у, 1+1 . .

решение краевой задачи (2)-(4)153 пространства Нк 2\Я)

Замечание 2.1 Найденное в теореме 2.2 решение краевой задачи (2)-(4) будет принадлежать пространству

р,

1. Нк 1 (¡3),если 0<г<и

21+у-2е, 1+%-е

2. Нк 2 (0 (е - сколь угодно малая положительная постоянная), если ¡3 = у.

В §2.2 в области 2 = (0 < |х| < оо)х (О, Т) рассмотрена безусловная разрешимость краевой задачи (2)—(4). Параграф разбит на дае части. Решение

уравнения (2) в первой части ищется из пространства Нк 2 (<2)П С% '(<2), во

у г

второй части при к=0 -из более широкого пространства #0 2(б)ПС2,1(0, 0<у<1.

Результаты данного параграфа сформулированы в виде следующих теорем:

Теорема 2.3. Пусть ь^вН^ф, со) и^йбЯ^ко) (0<г<1); 2. даа22 + апа21 > аиаг\ - О, апап - 0 и аиа22 - а12а21 Ф 0. Тогда при выполнении двух условий вида (5) существует единственное

решение краевой задачи (2)-(4) из пространства Нк ' 2 (<2)П С2, '((>). Теорема 2.4. Пусть

1. й(*) = С[0, +®)пГ(0> +00), <р2(х)= С(-оо, 0]пГ/(-оо, 0), ч =

® 2-7

2. выполнены условия а12=0, апа22 > 0, аиа21 < 0, ЯцО^^О и 0 <у<р,

/? = 1шп(20,1-2(9) и6» = -яг<%-^-;

ж ап

3. при ап Ф О выполнены условия аиа22 + ааа21 > 0, аиа21 < О, апа22 <, 0, апа22-а12а2,*().

Тогда существует единственное решение краевой задачи (2)-{4) ш

пространства Я0"'2 (0) ПС2'1 (б).

Замечание 2.2. Если а12 = 0 и /?< 1, то найденное в теореме 2.4 решение краевой задачи (2)—(4) будет принадлежать пространству

Я0 2 (<2)ПС где £■ - сколь угодно малая положительная

постоянная.

В §2.3 в ограниченной области () = (0 < < Г)х (О, Г) рассмотрено уравнение (2). Решение уравнения (2) ищется из пространства Гёльдера 2Й-/,/+—

Н^ 2 (0, которое удовлетворяет начально-краевым условиям и(х, 0) = д\{х), х > 0, и(х, Т) = <р2(х), х< 0,

м(1, 0=м(-и 0=0 ^

и условиям склеивания (4).

Основным результатом данного параграфа являются следующие теоремы: Теорема 2.5. Пусть

1. Ю(х)=Я"+г(0, 1), <р2(х)=Н2к'+г(-\, 0) (/еМ, ге(0,1)) и вьшолнены условия согласования 0*^(1) = В^/р2(-1) = 0 (я = 0, 1, ..., 1);

2. вьшолнены условия ап ф 0, аиагг + а12а21 > 0, аиап < 0, апап <, 0 и а11а22 ~ ЧЛг * 0 ■

Тогда при выполнении 21 условий вида (5) существует единственное

2Й-М+-/

решение (2), (4), (6) из пространства Яд. (б) • Теорема 2.6. Пусть 1. Я^СО,+ 00), ^г<Х)е я42'+г(-00, 0) (/е М,0< 1) и вьшолнены

условия согласования 1)2;У1(1) = £>2у2(-1)= О (•? = 0, 1, • ■••, /);

та

2. тп - наименьшее целое положительное число такое, что: в +а--+ 1>0,

2

т л л п ■ Л _ - 1 а,, совжг-д,, --<9>0, /3 = тт(2-т + 2в, т-2а-26>)>0, <9 = —-^

2 7с Оц втли

Аг+1

а =-;

2

3. выполнены условия <я12 = О, апа22 > О, апа21 ^ 0, хагг Ф0, 0< у </?. Тогда при выполнении 21 условий вида (5) существует единственное

решение (2), (4), (6) из пространства Нк 2 (б).

Замечание 2.3. Найденное в теореме 2.6 решение краевой задачи (2), (4), (6) будет принадлежать пространству

21+0,

1. Нк 2(0,если р<у<\\

2. Нк 2 (у) (б - сколь угодно малая положительная постоянная), если у = 0.

Третья глава посвящена исследованию краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с переменивши коэффициентами. В §3.1 в области (9 = (0 < |х| < со) х (О, Т) рассмотрено модельное параболическое уравнение с меняющимся направлением эволюции

и,5%ах=ихх. (7)

Ищется ограниченное решение уравнения (7) из пространства Гёльдера

21+уМ-

Я0 2 (О) (/= М, уе(0, 1)), которое удовлетворяет начальным условиям

и(х, 0) = <р(х), х> 0, и(х, Т) = <р(х), х<0 (8)

и условиям склеивания

/ «(- о, ол

их(-о, о

Г«ц(0 «12(0

[ри® «22(0,

и(+0, о 1

' А1о<Г<Г, (9)

иД+О, /) )

где a (Í) - заданные гладкие функции, причем А =

«12(0' va21(í) an(t)

невырожденная матрица Vie [О, Г].

Основной результат данного параграфа формулируется в виде следующей теоремы:

Теорема 3.1. Пусть

1. яООеЯГ(0, +«) И^Е/СС-сю, 0) (/е N, ре (О, 1)):

2. при O!2(i) = 0, Vie [О, Г] выполнены условия an(f)an(f)> О, an{t)an{t)<, О, 4,(0^(0+VW)* О, a11(í)«22(0's0, 0<у</?,

Р = min(l -70, W) и в = -arctg;

яг aM(f)

3. при а,2(í)*6 О Víe[0, Г] выполнены условия a11(í>a22(í) + a12(í)a21(í) > О,

at

«n^KXO-^OVO^O. Тогда при вьшолнении 2/ условий вида (5) существует единственное

21+у, 1+1 .

решение краевой задачи (7)-(9) из пространства Н0 2(<2) ■

Замечание 3.1 Найденное в теореме 3.1 решение краевой задачи (7)-(9) при 0 будет принадлежать пространству

21+в, 1+Í

1. Я0 2(0,если р<у<\\

li+y-le. /+—'—£■

2. #0 2 (g) (е - сколь угодно малая положительная постоянная), если Y-Р ■

Работы автора по теме диссертации:

[1]. Туласынов, М.С. Краевая задача для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением времени с полной матрицей условий склеивания / М.С. Туласынов // Вестник Самарского университета. - Самара, 2007. - Серия: естественнонаучная, №6 (56). - С. 281-290.

[2]. Туласынов, М.С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // VI Лаврентьевские чтения : научн. конф. студентов и молодых ученых : сб. ст. - Якутск, 2002. - С. 37-38.

[3]. Туласынов, М.С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // IV Международная конференция по математическому моделированию : тез. докл. [отв. ред. И.Е. Егоров] - Якутск, 2004. - С. 40-41.

[4]. Туласынов, М.С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка: тез. докл. II Всерос. школы-семинара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова; - Якутск, 2004. - С. 49-51.

[5]. Туласынов, М.С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // Мат. заметки ЯГУ. - 2004. - Т. 11, № 1. - С. 107-115.

[6]. Туласынов, М.С. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания /М.С. Туласынов // Сборник научных трудов аспирантов ЯГУ им. М.К. Аммосова / М-во

образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; - Якутск, 2004.-С. 149-154.

[7]. Туласьшов, М.С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласьшов // VIII Лаврентъевские чтения с участием молодых ученых и специалистов ДФО : научн. конф. студентов и молодых ученых : сб. ст. - Якутск, 2005. - Т. 1, секция: Математика, механика и физика. -С. 55-61.

[8]. Туласьшов, М.С. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласьшов // Студент и научно-технический прогресс: Математика : материалы XLIII междунар. конф. / М-во образования Рос. Федерации, СО РАН, Новосиб. гос. ун-т; [редкол.: A.C. Морозов и др.] - Новосибирск, 2005. - С. 51-52.

[9]. Туласьшов, М.С. Корректность краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции / М.С. Туласьшов // Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка: тез. докл. III Всерос. школы-семинара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; - Якутск, 2005. - С. 45.

[10]. Туласьшов, М.С. Краевая задача для уравнения sgn ум, = и^ + (к/ у) м_ с общими условиями склеивания / М.С. Туласьшов //

Информационные технологии в науке, образовании и экономике : тез. докл. Всерос. научн конф. / М-во науки и проф. образования РС(Я), Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова; - Якутск, 2005. -Ч. 1. - С. 87-88.

[11]. Туласынов, М.С. Полная матрица условий сопряжения в контактных сингулярных параболических задачах / М.С. Туласьшов // Мат. заметки ЯГУ. -2006,- Т. 13,№ 1.-С. 135-141.

[12]. Туласьшов, М.С. Безусловная разрешимость краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени

с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // V Международная конференция по математическому моделированию, посвященная 75-ю со дня рожд академика В.Н. Монахова : тез. докл. [отв. ред. И.Е. Егоров] - Якутск, 2007. - С. 43-44

[13]. Туласынов, М.С. Краевая задача для уравнения sgnxut = ихх с полной матрицей условий склеивания / М.С. Туласынов // Мат заметки ЯГУ. -2007,- Т. 14, № 1.-С. 89-103.

[14]. Туласынов, М.С. Безусловная разрешимость краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени / М.С. Туласынов // Мат. Заметки ЯГУ. - 2007 Т. 14, №2. - С. 57-69.

[15]. Туласынов, М.С. Безусловная разрешимость краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени / М.С. Туласынов // Математическое моделирование развития Северных территорий РФ: тез докл. V-й Всероссийской школы-семинара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования и науки Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; Якутск, 2007 - С. 65-66.

[16]. Туласынов, М.С. О корректности краевых задач для параболичес-ких уравнений с меняющимся направлением эволюции / М.С Туласынов, C.B. Потапова, C.B. Попов // Математическое.моделирование развития Северных территорий РФ : тез докл. Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования и науки Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. M К. Аммосова ; Якутск, 2008. - С. 67-68.

[17]. Туласынов, М.С. О корректности краевых задач для смешанных уравнений переменного типа / C.B. Попов, М.С. Туласынов // Математи-ческое моделирование и краевые задачи : труды пятой Всерос. научн. конф. с межд. участием / Федеральное агенство по образованию, М-во образования и науки Самарской области ; [редкол.: В.П. Радченко и др ] - Самара, 2008. - Ч 3. - С. 142-143.

КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ

автореферат

ТУЛАСЬШОВ Михаил Станиславович

Подписано в печать 03 10 2008 г Формат 60 х 84/16 Печл 1,0Уч-изд л 1,25 Тираж!00экз Заказ 16

Отпечатано в филиале издательства .ЯГУ, Инсттут математики и информатики ЯГУ. Адрес" г Якутск, ул Кулаковского, 48 Тел • (4112)496833

ВВЕДЕНИЕ.

I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§1.1 Пространства Гельдера.

§1.2 Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений.

§1.3 Некоторые интегро-дифференциальные формулы.

II. КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЯ СКЛЕИВАНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОМПОНЕНТАМИ

§2.1 Краевая задача для уравнения ut sgnx = и^ + —их с произвольной в бесконечной полосе.

2.1.1. Единственность решения задачи 1.

2.1.2. Существование решения задачи 1.

§2.2 Безусловная разрешимость.

§2.3 Краевая задача в ограниченной области.

2.3.1. Существование решения задачи 2.

III. КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ С ПОЛНОЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЯМИ СКЛЕИВАНИЯ С

ПЕРЕМЕННЫМИ КОМПОНЕНТАМИ

3.1. Единственность решения задачи 3.

3.2. Существование решения задачи 3.

Краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных давно. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы французского математика М. Жевре ([24, 25]) в 1913-1914 гг. К ним относится также ряд эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения. j

В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии(поверхности) или при достижении граничных точек. Это, прежде всего, линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля. Последним были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Это, в частности, стало причиной возникновения широкого фронта исследований в этом направлении, образования больших научных групп.

В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы А.В. Бицадзе [7], И.Н. Векуа [10], В.Н. Монахова [49], С.А. Терсенова [87-91], Т.Н. Зеленяка [6, 26, 27] , А.П. Солдатова [84-85], Т.Ш. Кальменова [28] и их научных школ. Общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа была предметом исследования В.Н. Врагова [11— 14], Г. Д. Каратопраклиева [29, 30], А.Г. Кузьмина [41], А.И. Кожанова [14, 39, 40], С.Г. Пяткова [14, 80-83], И.Е. Егорова [16-23], А.Г. Подгаева [62-64] и других авторов.

Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением эволюции. Простейшей моделью является уравнение utsgnx + Lu = f(x), (0.1.1) где L - эллиптический оператор второго порядка. Данное уравнение при х ^ О является параболическим, однако для него задача Коши с данными при t = 0 не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных модельных уравнений такого вида построена в работах С.А. Терсенова [87-91], С.В. Попова [65-79], И.Е. Егорова [16-23], А.А. Керефова [32-33], Н.В. Кислова [35-38], С.Г. Пяткова [14, 80-83], В.В. Катышева [31], Х.Х. Ахмедова [3], М.С. Боуенди, П. Грисварда [4], К.Д. Пагани, Г. Таленти [54-57], О. Арены [1,2] и других авторов. Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в классах типа W^ решение существует и единственно. Но более гладкие решения существуют только при условиях выполнения конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Отметим, что С.А. Терсенов изучал эти задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций, сводил их разрешимость к разрешимости сингулярного интегрального уравнения и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде.

В представляемой работе рассматривается случай, когда L З2 к д эллиптическии оператор второго порядка с оператором Бесселя Вк = —г- н---. дх х дх

Данное уравнение (0.1.1) при х^О является параболическим, причем на прямой х = 0 коэффициент при производной по х имеет особенность. Рассматривается случай условий склеивания с полной матрицей с постоянными или переменными коэффициентами, более того, находится зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания.

В уравнениях с неявным изменением эволюции (нелинейный случай) возможности еще более разнообразны, сама постановка задачи зависит от входных данных. Так, в модельном уравнении типа Хопфа utu — иа = 0 смена направления параболичности происходит там, где решение и{х, t) меняет знак. О.Б. Бочаров [9] показал разрешимость задачи Дирихле для этого уравнения, когда начальные данные разных знаков задаются при t = 0,t-T. Проблеме существования развитого пограничного слоя с возвратным течением в рамках модели Прандтля и изучению структуры этого течения за точкой отрыва для уравнения ut sgnх - л/Нмхг = /(*> 0 посвящены последние работы ^ В.Н.

Монахова и С.Г. Пяткова [80-83].

Интерес к нелинейным уравнениям с меняющимся направлением эволюции был инициирован статьями Н.Н. Яненко, В.А. Новикова [92-94], Т.И. Зеленяка [26, 27], где они пришли к выводу, что эти уравнения должны быть основой построения строгой модели автоколебательных и турбулентных течений. Изучению этих уравнений посвящены работы многих авторов: B.C. Белоносова [6], П.И. Плотникова [61], А.И. Подгаева[63, 64], С.Г. Пяткова [8083], М.М. Лаврентьева [42-45] и других. Подробная библиография и ряд результатов содержится книге Н.А. Ларькина, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [94].

Опишем основные области применения полученных результатов. Прежде всего - это краевые задачи для уравнений смешанного типа. Другая область приложений — краевые задачи с меняющимся направлением времени, в класс которых входят так называемые кинетические уравнения, описывающие диффузионные процессы, хаотичное броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике. Полученные результаты также могут послужить основой при постановке и исследовании новых краевых задач.

Данная работа посвящена исследованию корректности краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции. В соответствии с этим в работе были поставлены следующие основные задачи - исследование качественных свойств решений краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции в случае условий склеивания с полной матрицей, включая условия с переменными коэффициентами.

В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению некоторых интегральных уравнений. Отметим в этом отношении монографии Н.Ф. Гахова (1963), Н.И. Мусхелишвили (1962), а также В.Н. Монахова (1977), С.А. Терсенова (1985).

Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из трех параграфов. В §1.1 даны определения и некоторые свойствам гельдеровских пространств. В §1.2 приводятся некоторые важные сведения из теории интегральных уравнений. В §1.3 приводятся некоторые интегро-дифференциальные тождества, которые в дальнейшем используются во второй главе.

Вторая глава посвящена исследованию краевых задач для сингулярных параболических уравнений с произвольной матрицей условия склеивания с постоянными компонентами. В §2.1 в области Q = (0 < |х| < оо) х (О, Г) рассмотрено сингулярное параболическое уравнение с меняющимся направлением эволюции

Ищется ограниченное решение уравнения (0.1.2) из пространства

2 !+г,1+

Гёльдера Нк 2 (Q) ( / е N, у е (0, 1)), которое удовлетворяет начальным условиям к ut sgnХ = иях+-их,

0.1.2) X где < 1. и(х, 0) = срх{х), х > 0, и{х, Т) = (р2{х), х < 0,

0.1.3) и условиям склеивания

0.1.4)

Предполагается что матрица А = \

11 "12

4^21 ^22 У является невырожденной, т.е.

6zua22 - а12я21 Ф 0. (0.1.5)

В противном случае поставленная задача распадется на две независимые подзадачи. Действительно, вырожденность матрицы А влечет за собой существование связи между и(-0, t) и ux(-0,t), и тогда в области

Q~ = (-оо, 0) х (О, Т) возникает независимая подзадача.

Результатом настоящего параграфа является явное описание 21 условий разрешимости краевой задачи (0.1.2)—(0.1.4). При этом показано, что разрешимость краевой задачи (0.1.2)—(0.1.4) при ап = 0 сводится к разрешимости сингулярного интегрального уравнения, иначе — к разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма.

Если полученные условия разрешимости обозначить в следующем виде:

LX&, <р2) = 0, 5 = 1, 2, .,2/, (0.1.6) где Ls - вполне определенные линейные интегральные операторы относительно начальных данных (рх и ср2, то основной 'результат данного параграфа формулируется в виде следующих теорем: Теорема 2.1. Пусть

1. 0, +оо) и (р2{х)^Н2к!+г(-оо, 0) (/ е N, Ге(0, 1));

2. выполнены условия а12 Ф 0, апа22+апа21> 0, аиа21< 0, а12а22< 0 и апа22 ~ а\га2\ ф 0 •

Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.6) существует единственное

2/+/, ( . решение краевой задачи (0.1.2)-(0.1.4) из пространства Нк 2 (<2). Теорема 2.2. Пусть

1. (Р\(х) е Нк1+Г(0, + со) и (p2(x)eH2kl+r(-cx>, 0) (7eN,0<^<l);

2. in — наименьшее целое положительное число такое, что:

171 yyl в + а~ — +1>0, —~в>0, J3 = min(2-т + 2в, т-2а-2в)>0, л 1 а,, cos 7WC — а99 Аг + 1 и = —arctg—-—, а =-; л" afnsin^a 2

3. выполнены условия я12 =0, <яп<я22 > а\\аг\ — 0 > aua22 ^ ®' ® < У < Р • Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.6) существует единственное

21+у, 1+- , ч решение краевой задачи (0.1.2)—(0.1.4) из пространства Нк 2 (Q).

Замечание 2.1. Найденное в теореме 2.2 решение краевой задачи (0.1.2) -(0.1.4) будет принадлежать пространству

21+Р, лД

1. Нк 2(0, если р<у< 1;

21+Р-2е, lJ--e.

2. Нк 2 (Q) (s - сколь угодно малая положительная постоянная), если у — Р.

В §2.2 в области Q = (0 < |х| < оо)х (0, Т) рассмотрено сингулярное параболическое уравнение с меняющимся направлением эволюции (0.1.2). параграф разбит на две части. В первой части решение уравнения (0.1.2) данного параграфа ищется из пространства Нк ' 2 (Q) Г) С2'1 (Q), 0 < у < 1, во г, второй части — из более широкого пространства Нк' 2 (<2) П С2'1 (<2), 0 < у < 1, которые удовлетворяют условиям (0.1.3) и (0.1.4). В первом случае даются два необходимых и достаточных условия разрешимости задачи (0.1.2)-(0.1.4). Во втором случае при к = 0 показана безусловная разрешимость краевой задачи (0.1.2)—(0.1.4).

Доказаны следующие теоремы: Теорема 2.3. Пусть

1. + оо) и <р2{х)еН^(-00, 0) (0<г<1);

2. аиа22 + апа2Х > 0, ахха2х < 0, аХ2а22 < 0 и апа22 — аХ2а2Х Ф 0.

Тогда при выполнении двух условий (0.1.6) существует единственное решение краевой задачи (0.1.2)-(0.1.4) из пространства Нк 2 (0)Г\С21 (Q). Теорема 2.4. Пусть

1. ^(х)еС[0, + оо;пЖ2(0, + оо) и ^2(х)еС[-оо50;пЖ2(0, + оо), q = 2

2-у

2. выполнены условия ап=0, апа22> 0, апа2Х< 0, апа22Ф 0 и 0 <у</3,

1 а,

Р = min(2<9, 1 - 20) и в = -arctg л- а22

3. при а12^0 выполнены условия аиа22 + а12а21 > 0, апа21< 0, апа22< 0, Тогда существует единственное решение краевой задачи (0.1.2)-(0.1.4) из у I пространства Н0'2 (Q) П С2'1 (Q).

Замечание 2.2. Если я12 =0 и @<у<\, то найденное в теореме 2.4 решение краевой задачи (0.1.2)-(0.1.4) будет принадлежать пространству

Hq 2 (Q) П С2'1 (Q), где £ - сколь угодно малая положительная постоянная.

В §2.3 в конечной области Q = (0 < |х| < 1)х (0,Г) рассмотрено уравнение (0.1.2). Решение уравнения (0.1.2) ищется из пространства Гёльдера

21+у, /+—

Нк 2 (Q), которое удовлетворяет начальным условиям и{х, 0) = (рх (х), х > 0, и(х, Т) = (р2 (х), х<0, (0 17) и{ 1, t) = u{-\, 0 = 0, и условиям склеивания (0.1.4).

Основными результатами данного параграфа являются следующие теоремы:

Теорема 2.5. Пусть

1. функции <px(t) б 0, оо), (p2{t) е tff+'(-00, 0) (/ е N, г е (О, 1)) и выполнены условия согласования .0^,(1) = D].s(p2{-\)- 0 (s = 0, 1, ., /);

2. выполнены условия аХ2Ф 0, ахха22+ах2а2х> 0, апа21<0, а12я22<0 и

Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.6) существует единственное решение (0.1.2), (0.1.4), (0.1.7) из пространства Нк 2 (Q). Теорема 2.6. Пусть

1. (рх(*) е Н2к!+Г(0, + оо), срг(х) е Hl1+r(-00, 0) (/ g N, 0 < у < 1) и выполнены условия согласования D2stpx(l) = D2s(p2(-l) - 0 (s = 0, 1, ., /);

2. т - наименьшее целое положительное число такое, что:

6 + а- — +1>0, — ~6>0, (5 = min(2 -т + 26, т-2а- 26) > 0,

1 ап cos па —а^ к + 1

6 = —arctg—-:-—, а =-; п ах j sin па 2

3. выполнены условия ап =0, ахха22 > 0, ахха2х < 0, ахха22 Ф 0, 0 <у < (5. Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.6) существует единственное

21+г, / ч решение (0.1.2), (0.1.4), (0.1.7) из пространства Нк 2 (Q).

Замечание 2.3. Найденное в теореме 2.6 решение (0.1.2), (0.1.4), (0.1.7) будет принадлежать пространству

21+р, 1+Р

1. Нк 2 (Q), если J3<r< 1;

2l+p-2e, l+£--e

2. Hk 2 (Q) (s — сколь угодно малая положительная постоянная), если у = р.

Третья глава посвящена исследованию краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции с полной i матрицей условия склеивания с переменными компонентами. В области

Q = (0 < |x| < со) x (О, Т) рассмотрено модельное параболическое уравнение с меняющимся направлением эволюции utsgnx = uxx. (0.1.8)

Ищется ограниченное решение уравнения (0.1.8) из пространства

Гёльдера Н0 2 (Q) ( / eN, у е (0, 1)), которое удовлетворяет начальным условиям и(х, 0) = <р(х), х > 0, и(х, Т) = <р(х), х < 0 (0.1.9) и условиям склеивания f и{-о, о ^ f яц(о «i2(0Y м(+0' о N

Dxu(—0, t)

21 (0 «22 (О,

0<t<T,

0.1.10) где ац - заданные непрерывно дифференцируемые функции до / — 1 порядка включительно.

Предполагается что матрица А =

1 1 (0 «12 (0 является невырожденной

21 (0 «22(0, при любом значении t из промежутка [0, Г], т.е.

11 (0*22 (0 - «12 (0«21 (0*0. (0.1.11) Результатом настоящего параграфа является явное описание 21 условий разрешимости краевой задачи (0.1.8)—(0.1.10). При этом показано, как и во второй главе, что разрешимость краевой задачи (0.1.8)-(0.1.10) ап = 0 сводится к разрешимости сингулярного интегрального уравнения, иначе - к разрешимости неоднород-ного уравнения Фредгольма.

Основной результат данного параграфа формулируется в виде следующей теоремы:

Теорема 3.1. Пусть 1. ^(х)бЯ02/^(0, +оо) и ср2{х) е Н1'+у{—со, 0) (/eN, Ге(0, 1));

2. при al2(t) = 0, V/e[0, T] выполнены условия au(t)a22(t) > О, an{t)a2X{t)< О, a'n{t)a22{t) +an{t)a'22{t)<Q, an{t)a22(t) Ф 0, 0<y<fi,

Р = min(l-20, 20), где 0 = п a22(t)

3. при al2(t)^ 0 V7e[0, Т] выполнены условия ! 22 (О + «12(0a2i(0 >

О + ^КЛО)^0- и at au(t)a22(t)-an(t)a21(t)*0.

Тогда при выполнении 21 условий (0.1.6) существует единственное решение

21+у, I. . краевой задачи (0.1.8)-(0.1.10) из пространства Н0 2 (Q).

Замечание 3.1 Найденное в вышеуказанной теореме 3.1 решение краевой задачи (0.1.8) - (0.1.10) при an(t) = 0 будет принадлежать пространству

1. H0'+/3'!+2(Q),QCrh Р<у< 1;

2l+y-2s, 1+--S

2. Н0 2 (Q) (s — сколь угодно малая положительная постоянная), если у = min(l - 20, 20).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и неоднократно обсуждались на семинарах «Уравнения с меняющимся направлением эволюции» (ИМИ ЯГУ, Якутск, руководитель профессор С.В. Попов), «Неклассические задачи математической физики» (ИМ СО РАН, Новосибирск, руководитель профессор А.И. Кожанов), на Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (Якутск: 2003, 2005), на Лаврентьевских чтениях Республики Саха (Якутия) (Якутск, 2002—2008), на Республиканской научной конференции «Математика. Информатика. Образование.», посвященной 25-летию математическиго факультета ЯГУ (Якутск, ноябрь 2002), на Всероссийской школе-семинаре для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка» (Якутск: 2004-2008), на IV-V Международной конференции по математическому моделированию (Якутск: 2004, 2007), на Всероссийской научной конференция с международным участием «Математические моделирование и краевые задачи» (Самара, май 2008 г.) и на Международной научной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий — 2008» (Красноярск, август 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах, 9 статьях в научных журналах и сборниках, а также отражены в 10 тезисах докладов [95-113].

Работа частично поддержана конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе «Университеты России»: в 2002-03 г.г. (УР.04.01.048), в 2004 г. (УР.04.01.047), ведомственной научной программой «Развитие научного потенциала высшей школы»: раздел 2. «Университеты России» (№ 2047-05); раздел 3.3 (проект 8427) в 2005 г.

Работа поддержана Федеральным агентством по науке и инновациям программой "Проведение научных исследований молодыми учеными" (2006-РИ-19.0/001/711, IV очередь) за 2006 г. стажировкой в Институт математики имени C.JI. Соболева СО РАН (Новосибирск).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 99 страниц. Список цитируемой литературы содержит 113 наименований. Формулы в главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - на номер параграфа, третье — на номер формулы.

Основные результаты, которые выносятся на защиту:

- исследованы вопросы корректности постановки и гладкости решений краевых задач для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с постоянными коэффициентами;

- исследованы вопросы корректности постановки и гладкости решения краевой задачи для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с переменными коэффициентами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная диссертация посвящена теории краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции с и условиями склеивания. Простейшей моделью является уравнение g{x)ut +Lu = f, (4.1) где g-(x) меняет знак при переходе через точку х = 0, a L - строго эллиптический оператор или эллиптический оператор с операторам Бесселя.

Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений, как отмечалось, была построена в работах С.А. Терсенова, И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, Н.В. Кислова, И.М. Петрушко, С.В. Попова, М.С. Боуенди, П. Грисварда, К.Д. Таленти, О. Арены и других авторов.

Главной задачей данной работы является исследование разрешимости rP.Z для уравнения (4.1) в классах Гельдера Нк 2. Найдены необходимые и достаточные условия в терминах интегральных операторов от входных начальных данных (теоремы 2.1-2.6 и 3.1).

Анализ результатов.

В главе II исследуются линейные сингулярные параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции вида (4.1) в бесконечной полосе Q - (-со, со) х (О, Т) и конечной области Q = {~ 1, 1)х(0, Г) с полной матрицей условий склеивания с постоянными компонентами на х = 0. Эти условия склеивания заданы при помощи матрицы А = Ч а2\ а22 J

Найдены достаточные условия единственности решения при выполнении условий аиа22 + апа21 > 0, апа21 < 0, а12а22 < 0.

Для всех поставленных краевых задач этой главы, показано, что характерную роль играет компонента аи матрицы А. При <я12 = О, разрешимость этих краевых задач сводятся к разрешимости интегральных сингулярных уравнений, а при а12 ^ О к разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

Выписаны условия ортогональности (разрешимости) для решений поставленных краевых задач из пространства Нк 2 в явном виде.

В главе III исследуются линейные параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции вида (4.1) в бесконечной полосе Q = (-оо, оо) х (О, Т) и конечной полосе Q = (— 1, 1)х(0, Т) с условиями склеивания на л; = 0. Эти общие условия склеивания заданы при помощи ( an(t) я^Л матрицы А —

V«2l(0 а22 (0)

Для поставленной краевой задачи данной главы, показано, что характерную роль также играет компонента ап (t) матрицы А. При а12 (t) = О разрешимость этих краевых задач сводится к разрешимости интегральных сингулярных уравнений, иначе - к разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

1. Arena О. On a degenerate elliptic-parabolic equation // Communications Part. Equat. 1978. V.3, №11. P.l007-1040.

2. Arena O. On a singular parabolic equation related to axially symmetric heat potentials // Ann. mat. Рига ed appl. 1975. V.105, №4. P.347-393.

3. Ахмедов X.X. О некоторых краевых задачах для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени: Дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1989. 98 с.

4. Baouendi M.S., Grisvard P. Sur equation d'evolution changeante de type // J. Funct. Anal. 1968. №3. P. 352-367.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.2. Преобразование Бесселя. Интегралы специальных функций М.: «Наука», 1970. 327 с.

6. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: изд-во НГУ, 1975. 156 с.

7. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

8. Bothe W. Die Streneabsorption der electdonenstrahlen // Z. Phys., 1929. V.5. P.101-178.

9. Бочаров О.Б. О первой краевой задаче для уравнения теплопроводности со знакопеременным коэффициентом // Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр. / СО РАН СССР. Ин-т гидродинамики, 1978. Вып. 37. С.27-39.

10. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.:«Наука», 1968.380 с.

11. Врагов В.Н. К теории краевых задач для уравнкений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, № 6, С.1098-1105.

12. Врагов В.Н. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешанно-составного типа высокого порядка // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978, С.5-13.

13. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Новосибирский госуниверситет. 1983. 84 с.

14. Vragov V.N., Kozhanov A.I., Pyatkov S.G. and Glazatov S.N. On the theory of nonclassical equations of mathematical physics // Conditionally well-posed problems. Moscow. Utrecht: TVP/TSP, 1993. P.229-321.

15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. M.: «Наука», 1977. 640 с.

16. Егоров И. Е. Об одной краевой задаче для системы сингулярных параболических уравнений // Динамика сплошной среды / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1973. вып. 14. С.100-105.

17. Егоров И. Е. О первой краевой задаче для одного параболического уравнения // Сиб. мат. журнал. 1977. Т. 18, №1. С.220-224.

18. Егоров И.Е. Краевые задачи для уравнений высокого порядка и с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1988. Т.303, № 6. С.1301—1304.

19. Егоров И.Е. Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995. 133 с.

20. Егоров И.Е. Нелокальные краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения смешанного типа // Ученые записки ЯГУ, 1994. Сер.: матем., физ. С.18-24.

21. Egorov I.E. On smoothness of solution to a nonlocal boundary value problem for an operator-differential equation with variable time direction // Мат. заметки ЯГУ. 1995. T.2, №1. C.98-104.

22. Egorov I.E. On one boundary value problem for an equation with varying time direction // Мат. заметки ЯГУ. 1998, T.5, №2. C.77-84.

23. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. DeMath., 1913. V.10, №6. P. 105-148.

24. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. Math. Appl., 1914. Ch.4. P. 105-137.

25. Зеленяк Т.И. Об одном уравнении со знакопеременным коэффициентом диффузии // Матем. проблемы химии. Новосибирск, 1975, 4.1. С.111-115.

26. Зеленяк Т.И., Новиков В.А., Яненко Н.Н. О свойствах решений нелинейных уравнений с меняющимся направлением эволюции // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. Т.5, №4. С.35-47.

27. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе //Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, №8. С.1418-1425.

28. Каратопраклиева М. Г. К теории уравнений смешанного типа с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23, №1. С.102-113.

29. Karatoprakliev G.D. A nonlocal boundary-value problem for equation of mixed type in unbounded domain // Докл. Болг. АН, 2000. T.53, №5. С.9-10.

30. Катышев В.В. Об одном уравнении эллиптико-параболического типа // Краевые задачи для нелинейного уравнений. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1982. С.130-133.

31. Керефов А.А. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №1. С.74-78.

32. Керефов А.А. К задачам к континуальной производной в граничных условиях для параболического уравнения // Укр. мат. Журнал. 1999. Т.51, С.305-313.

33. Киприянов И. А., Катрахов В. В., Ляпин В. М., О краевых задачах в областях общего вида для сингулярных параболических систем уравнений //Докл. АН СССР. 1976. Т.230, № 6. С.1271-1274.

34. Кислов Н.В., Пулькин И.С. Краевая задача с обобщенными условиями склейки // Вестник МЭИ. 2000. №6. С.77-89.

35. Кислов Н.В., Пулькин И.С. О существовании и единственности слабого решения задачи Жевре с обобщенными условиями склейки // Вестник МЭИ. 2002. №6. С.88-92.

36. Кислов Н.В. Червяков А.В. Краевая задача с меняющимся направлением времени // Вестник МЭИ. 2002. №6. С.62-67.

37. Кислов Н.В. Червяков А.В. Об одной краевой задаче с меняющимся направлением времени // Вестник МЭИ. 2002. №6. С.67-74.

38. Кожанов А.И., Ларькин Н.А. О разрешимости краевых задач для волнового уравнения с нелинейной диссипацией в нецилиндрических областях // Сиб. мат. журнал. 2001. Т.42, №6. С.1278-1299.

39. Кожанов А.И. Существование регулярных решений первой краевой задачи для одного класса уравнений соболевского типа переменного направления // Мат. заметки ЯГУ. 1997. Т.4, №2. С.39-48.

40. Кузьмин А.Г. Уравнения второго порядка с эллиптическим оператором по пространственным переменным // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23, №1. С. 102-113.

41. Лаврентьев М.М.(мл.) Априорная гладкость решений ряда уравнений с меняющимся направлением эволюции // Матем. модел. 1990. Т.2, №9. С. 145-153.

42. Лаврентьев М.М.(мл.) Оценки решений одного уравнения с меняющимся направлением эволюции //Матем. модел. 1989. Т.1, №11. С.132—138.

43. Лаврентьев М.М.(мл.) О разрешимости краевых задач для некоторых параболических уравнений с вырождениями // Сиб. мат. журнал. 1987. Т.28, №2. С.79-95.

44. Лаврентьев М.М.(мл.) О свойствах приближенных решений нелинейных уравнений с меняющимся направлением эволюции // Сиб. мат. журнал. 1980. Т.21, №6. С.176—185.

45. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уравльцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

46. Ладыженская О.А. О решении нестационарных уравнений операторных уравнений // Мат. сб. 1956. Т.39, №4. С.491-524.

47. Ладыженская О.А. О единственности задачи Коши для линейного параболического уравнения // Мат. сб. 1950. Т.27, №2. С. 175-184.

48. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1968. 512 с.

49. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

50. Олейник О.А., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Физматлит, 1977. 512 с.

51. Олейник О.А. О системе уравнений пограничного слоя // Журнал выч. мат. и мат. физики. 1963. Т.З, №3. С.489-507.

52. Олейник О.А., Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнение второго порядка со многими независимыми переменными // Успехи мат. Наук. 1961. Т.16, вып. 5. С.115-155.

53. Pagani С. D., Talenti G. On a forward-backward parabolic equation // Ann. mat. pura ed appl. 1971. T.90, №4. P. 1-58.

54. Pagani C. D. On the parabolic equation and relation one // Ann. mat. pura ed appl. 1974. T.99, №4. P.333-399.

55. Pagani C. D. On an initial boundary value problem for the equation Wt = Wxx xWy II Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. 1975. V.4, №2. P.219-263.

56. Pagani C.D. Studio di alcune questioni concerneneti l'equazione generalizzata di Fokker-Planck // Boll. Un. Math Ital. 1970. V.3, №6. P.961-986.

57. Пинигина H.P. О гладкости решений краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т.9, №1. С.71-82.

58. Пинигина Н.Р. О гладкости решений краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени с условием склеивания, содержащими производные первого и второго порядков // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, №1. С.43-54.

59. Пинигина Н.Р., Попов С.В. О параболических уравнения с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими разные производные до второго порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т.11, №1. С. 72-83.

60. Подгаев А.Г. О граничных задачах для некоторых квазилинейных параболических уравнений с неклассическими вырождениями // Сиб. мат. Журнал. 1987. Т.28, №2. С. 129-139.

61. Подгаев А.Г. О разрешимости некоторых неоднородных задач протекания для обобщенных уравнениях Прандля и уравнений Эйлера // Мат. заметки ЯГУ. 1995. Т.2, №1. С.32-59.

62. Попов С.В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени высокого порядка / Ред. журн. "Сиб. мат. журнал". Новосибирск, 1988. 56 с. Деп. в ВИНИТИ 07.12.88, № 8646-Б88.

63. Попов С.В. О разрешимости краевой задачи для одного уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Дифференциальные уравнения и их приложения. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1989. С39-А1.

64. Попов С.В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1991. вып. 102. С. 100-113.

65. Popov S.V. Smoothness of solutions to the boundary value problems for a high-order operator differential equations // Мат. заметки ЯГУ. 1988. T.5, №1. С.106-112.

66. Popov S.V. Nonlocal boundary value problems for operator differential equations of even oder // Мат. заметки ЯГУ. 1999. Т.6, №1. С.90-103.

67. Попов С.В. О встречных потоках теплового пограничного слоя сжимаемой жидкости // Мат. заметки ЯГУ. 1999. Т.6, №2. С. 130-133.

68. Попов С.В. Об одной краевой задаче со сдвигом для параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции // Динамики сплошной среды. Новосибирск, 2000. вып. 116. С.83-94.

69. Пятков С.Г. Индефинитные эллиптические спектральные задачи // Сиб. мат. Журнал. 1998. Т.39, №2. С.409-426.

70. Pyatkov S.G. Inerpolation of some function spaces and indefinite Sturm-Liouville problems // Opertor Theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag Basel-Switzerland. 1998. V.102. P.179-200.

71. Солдатов А.П. Эллиптические задачи на плоскости // Вестн. НГУ. Сер: естеств. и техн. Науки. 1995. №1. СЛ19—123.

72. Солдатов А.П. Задача Пуанкаре для уравнения смешанного типа. // Докл. РАН. 2001. Т.377, №4. С.447-451.

73. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида//Тр. мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1965. Т.83. С.3-163.

74. Терсенов Ар.С. О разрешимости некоторых краевых задач для одного класса квазилинейных параболических уравнений // Сиб. мат. журнал. 1999. Т.40, №5. С.1147-1156.

75. Терсенов С.А, Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Сиб. отд-ние АН СССР, Ин-т математики, 1982. 168 с.

76. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985. 105 с.

77. Терсенов С.А. Об основных краевых задачах для одного ультрапараболического уравнения // Сиб. мат. журнал. 2001. Т.42, №6. С. 14131430.

78. Терсенов С.А. О первой краевой задаче для одного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. РАН. 1996. Т.248, № 1. С.27-29.

79. Яненко Н.Н., Новиков В.А. Об одной модели жидкости мо знакопеременным коэффициентом вязкости // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1973. Т.4, №2. С. 142-147.

80. Яненко Н.Н., Новиков В.А. Об одном новом классе уравнений с меняющимся направлением эволюции // Успехи мат. Наук. 1980. Т.35, №4. С. 156.

81. Туласынов М.С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания // Мат. заметки ЯГУ. Т. 11, №1. 2004. С. 107-115.

82. Туласынов М.С. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания // Сборник научных трудов аспирантов ЯГУ имени М.К. Аммосова. Якутск: изд-во ЯГУ, 2004. С. 149-154.

83. Туласынов М. С. Полная матрица условий сопряжения в контактных сингулярных параболических задачах // Мат. заметки ЯГУ. Т. 13, №1. 2006. С.135-141.

84. Туласынов М. С. Краевая задача для уравнения sgn хм, =ихх с полнойматрицей условий склеивания // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, №1 С. 89-103.

85. Туласынов М. С. Безусловная разрешимость краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, №2. С.57-69.