Гладкость решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Пинигина, Нюргуяна Романовна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Якутск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
ПИНИГИНА Нюргуяна Романовна
ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ
01 01 02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
1 2 ИЮЛ 2007
Якутск - 2007
003064080
Работа выполнена на кафедре математического анализа Института математики и информатики ГОУ ВПО "Якутский государственный университет имени М К Аммосова"
Научный руководитель доктор физико-математических наук,
профессор Попов Сергей Вячеславович
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,
профессор Кожанов Александр Иванович, Институт математики им С Л Соболева СО РАН (г Новосибирск), кандидат физико-математических наук, доцент Бускарова Оксана Федотовна, Якутский государственный университет им М К Аммосова
Ведущая организация Институт гидродинамики
им М А Лаврентьева СО РАН
Защита состоится 24 июля 2007 года в 16 00 часов на заседании диссертационного совета К 212 306 05 при ГОУ ВПО "Якутский государственный университет имени М К Аммосова" по адресу 677000, г Якутск, ул Ку-лаковского, 48, ауд 324
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета имени М К Аммосова Автореферат разослан июня 2007 г
Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физикоматемати-
ческих наук, доцент В Е Федоров
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных давно Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы М Жеврея Имеется целый ряд работ отечественных и зарубежных авторов, в которых поставлены и исследованы краевые задачи для такого вида уравнений В класс параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции входят, так называемые, кинетические уравнения, описывающие диффузионные процессы, броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы физики и механики К ним относится также ряд эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения
Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением эволюции Простейшей моделью является уравнение
д(х)щ + Ьи = /, д(х) = ^^п ж, (1)
где Ь — эллиптический оператор второго порядка Это уравнение при х ф О является параболическим, однако для него задача Коши с данными при ± — 0 не корректна Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С А Терсенова, А М Нахушева, И Е Егорова, А А Керефова, Н В Кислова, И М Петруш-ко, С Г Пяткова, С Г Подгаева, Т Д Джураева, В В Катышева, X X Ах-медова, М С Боуенди, П Грисварда, К Д Пагани, Г Таленти, О Арены и других авторов Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в классах типа решение существует и единственно Но более гладкие решения существуют только при условии выполнения конечного числа связей интегрального характера между входными данными Отметим, что С А Терсенов изучал эти задачи с меняющимся направлением
эволюции в гельдеровских классах функций, разрешимость их сводил к разрешимости сингулярного интегрального уравнения и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде При этом предполагалось, что условия склеивания на линии раздела должны быть непрерывными, включая первую производную В представляемой диссертационной работе рассматриваются общие условия склеивания (включая условия с разными производными), более того, находится зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания
С В Попов рассматривал классы корректности краевых задач для 2п параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции с непрерывными условиями склеивания Им также исследовался вопрос о гладкости полученных решений
Цель работы — исследование качественных свойств решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции с общими условиями склеивания (включая условия с разными производными)
Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к исследованию сингулярных интегральных уравнений Отметим монографии Н Ф Гахова (1963), Н И Му-схелишвили (1962), а также В Н Монахова (1977), С А Терсенова (1985)
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты
— поставлены и исследованы основные краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений второго порядка с меняющимся направлением эволюции с общими условиями склеивания, указаны условия однозначной разрешимости этих краевых задач, и для них найдена зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций
склеивания,
— исследованы качественные свойства решений как в конечной, так и в бесконечной областях, а также соответствующие краевые задачи с нелокальными начальными данными
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер Все результаты диссертации являются новыми Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах, и в частных случаях из них следуют известные результаты
Область приложений полученных результатов — краевые задачи для параболических уравнений переменного типа Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач для уравнений с меняющимся направлением эволюции
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и неоднократно обсуждались на семинаре "Уравнения переменного типа'1 профессора Попова С В (НИИ математики при ЯГУ), на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" профессора Ко-жанова А И (Институт математики им С Л Соболева СО РАН), на ХЬ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс' (Новосибирск, 2002), на Всероссийской конференции ' Космо- и геофизические явления и их математические модели", посвященной 80-летию профессора А И Кузьмина (Якутск, 2002) на научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" (Якутск, 2003, 2004, 2005), на научно - практической конференции "Фундаментальные и прикладные аспекты естественных наук в изучении, освоении и промышленном развитии северных регионов России" (Москва, 2003), на Всероссийской научной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2003, 2005), на IV Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2004), на Всероссийской школе-
семинаре "Математическое моделирование развития северных территорий" (Якутск, 2005, 2006), на межвузовской научно-практической конференции "Университет XXI века достижения, перспективы, стратегия развития", посвященной 50-летию ЯГУ им М К Аммосова (Якутск, 2006)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах (тезисы 12 докладов и 7 статей), список которых приведен в конце автореферата
Работа частично поддержана конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе "Университеты России" в 2002—03 г г (УР 04 01 048), в 2004 г (УР 04 01 047) ведомственной научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" раздел 2 "Университеты России" (№2047-05), раздел 3 3 (проект 8427) в 2005 г
Работа поддержана Федеральной целевой программой "Интеграция науки и высшего образования России" за 2002 г — стажировка в Институт математики им С Л Соболева СО РАН, за 2004 г — стажировка в Институт гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН , Федеральной целевой научно-технической программой за 2005 г — стажировка в Институт математики им С Л Соболева СО РАН (Новосибирск)
Работа также поддержана стипендией Президента Российской Федерации для аспирантов ГОУ ВПО, подведомственных Минобразованию России (пр №2558, от 31 05 04)
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы Общий объем составляет 105 страниц Первая глава состоит из двух параграфов, вторая — из шести параграфов Список цитируемой литературы содержит 147 наименований Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе — номер параграфа, третье — номер формулы в параграфе
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении даны краткие исторические сведения по теме диссертации, обосновывается актуальность работы, формулируются цели исследования, в кратком виде приводится содержание работы
Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из двух параграфов
В § 1 1 даются определения и некоторые свойства гельдеровских пространств В § 1 2 приведены некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся двумерные параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции
Вторая глава состоит из шести параграфов В этой главе устанавливается разрешимость краевых задач для некоторых классов уравнений, простейшее из которых имеет вид
где д(х) = А при х > 0 и д(х) = —В при х < 0, как в бесконечных, так и в конечных областях Это уравнение при х > 0 является прямым, а при х < 0 обратным уравнением параболического типа, те параболическим уравнением второго порядка с меняющимся направлением времени
В § 2 1 ищется решение уравнения (2) в бесконечной полосе С} = О, х (О, Г), О = Е из пространства Гельдера Я?|,/2(<5±), р = 21 + 7, 0 < 7 < 1, которое удовлетворяет следующим начальным условиям
д(х)щ - итх = О,
(2)
и(х,0) = х > 0, и(х,Т) = <р%(х), х < О,
(3)
и условиям склеивания
«(—О, *) - «(+0,0, (-0- 0 = (+0,0
(4)
где I > 1 — целое число
Основным методом здесь является метод параболических потенциалов, с помощью которых краевая задача сводится к решению некоторых интегральных уравнений Этот метод, развитый в работах Е Е Леви, Е Хольм-грена, М Жеврея, Г М Мюнтца, А Н Тихонова, В П Михайлова, Б Пини, Л Каттабрига, О А Ладыженской, В А Солонникова и других, является одним из эффективных средств доказательства теоремы существования решения для параболических уравнений В этом параграфе решение поставленной задачи ищется в виде параболических потенциалов двойного слоя с неизвестными плотностями о-, /?, построенных при помощи фундаментального решения, которые удовлетворяют начальным условиям (3) Согласно общей теории, нужно найти плотности а(£) и /?(£) из пространства #^2(0.Т), причем
Л^(0)=/?«(:Г) = 0 (5 = 0, ,0 (5)
Удовлетворив условиям склеивания (4), для определения плотностей получим интегральное уравнение с оператором Абеля, которое при помощи формул обращения эквивалентно редуцируется к сингулярному уравнению нормального типа Далее выписываются необходимые и достаточные условия на начальные данные , ^ для выполнения условий (5) и для принадлежности плотностей искомым пространствам Они будут иметь вид
и{ч> 1^2) = о (? = 0, ,21) (6)
где Ьч — конкретные линейные интегральные операторы, выписываемые в явной форме Тогда при их выполнении существует единственное решение задачи (2), (3), (4) из пространства Таким образом, основной
результат данного параграфа формулируется в виде следующей теоремы Теорема 2.1. Пусть (р1,<р2 € Н>\ р = 21 + 7 Тогда при выполнении 21 условий (6) существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям (3), (4), из пространства 1) НЦ'2, если 0 < 7 < тхп{2в, 1 - 2(9},
2) Н™/2, д = 21 + тт{2в, 1 - 20}, если гшп{20,1 - 20} < 7 < 1,
3) Н1~£ , если 7 = тт{29,1 — 2в}, где г — сколь угодно малая положительная постоянная
Далее рассматриваются разрывные условия склеивания
«(-О,«) = «(+0,4), и^-О,*) = -«,(+0,4), (7)
и доказывается
Теорема 2.2. Пусть <ри<р2 € р = 2£ 4- 7 Тогда при выполнении 2^ + 1 условий вида (6) существует хотя бы одно решение уравнения (2) из пространства Н1^2, удовлетворяющее условиям (3), (7)
Замечание 2.1. В теореме 2 1 показано, что при р — [р] > \ гладкость решения не повышается с увеличением гладкости входных данных, а в случае теоремы 2 2 — происходит увеличение гладкости, но при выполнении 21 + 1 условий на данные задачи Таким образом, гладкость решения существенно зависит от условий склеивания при х = 0
В § 2 2 рассмотрено уравнение (2) в ограниченной области С2 — (—1,1) х (0,Т) Решение уравнения также ищется из пространства Гельдера Н^2, р — 21 + 0<7< 1, при следующих начально-краевых условиях
м(т,0) = 9?!(ж), 0 < х < 1, у(х,Т) = ср2(х), -1 < х < 0. «(1Д)=0, и(-1Л)= 0, 0 <*<Т
и условиях склеивания (4)
Справедлива следующая теорема
Теорема 2.3. Пусть £ Нр, р = 21 + гу, и выполнены условия
согласования
^)(1) = (-1)>Г)(-1)=0 (5 = 0, ,1) (9)
Тогда при выполнении 21 условий вида (6) существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям (8), (4), из пространства 1) Я1Р/2, если 0 < 7 < хпш{20, 1 - 20}
2) #П/2, д = 21 + тт{2<9,1 - 26»}, если тш{20,1 - 20} < 7 < 1,
3) если 7 = тт{26>,1 — 2(9}, где е — сколь угодно малая положительная постоянная
В § 2 3 исследуется гладкость решения в бесконечной полосе СЦ — £1 у. (0,Т) для уравнения (2), где д(х) = в случае нелокальных началь-
ных данных Решение уравнения ищется из того же пространства Гельдера \ 1 при следующих нелокальных начальных данных
ы(х,0) + кх(х)и(х,Т) =<?!(». т>0, г/(ж, Т) + к2(т)у(х, 0) = <р2{х), х < 0, \к,\ < 1
и условиях склеивания (4)
Основным результатом этого параграфа является
Теорема 2.4 Пусть <рг,кг € Нр, г — 1, 2, р = 2/ + 7 Тогда при выполнении 21 условий вида
= 0 (з=1, ,20 (И)
существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям (10), (4), из пространства
1) если 0 < 7 < ¿,
2) д = 21 + если ± < 7 < 1,
3) Н* е\ч если 7=|, где е — сколь угодно малая положительная постоянная
При условиях склеивания (7) доказана
Теорема 2.5. Пусть (р1Л1 = 1,2, р = 21 + 7 Тогда при выпол-
нении 2? +1 условий вида (6) существует хотя бы одно решение уравнения (2) из пространства Щ^2, удовлетворяющее условиям (10), (7)
В § 2 4 явно представляются условия разрешимости для уравнения (2) ,где д(т) — А при х > 0 и д(х) = ~В при г, < 0, когда условия склеивания содержат производные первого и второго порядков
Решение уравнения ищется из пространства Гельдера при на-
чальных условиях (3) и условиях склеивания
Из.(-0,0 = мг(+(и), «1Г(-0,0 =«за.(+0,*) 0<4<Т (12)
В данном параграфе доказана
Теорема 2.6. Пусть (ри<р2 € Нр, р — 21+у, I > 2 Тогда при выполнении 21 условий вида (6) существует единственное решение уравнения (2) из пространства Щ'^2, удовлетворяющее условиям (3), (12)
Далее рассмотрены условия склеивания вида
м,(-о,«) = ^(+0,0. (-о,«) + «гг(+о,г) = о о<?-<т, (13)
и доказана следующая
Теорема 2 7. Пусть € Нр, р = 2/-И/, I > 2 Тогда при выполнении
21 — 1 условий вида (6) существует хотя бы одно решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям (3), (13), из пространства
1) Я?£/2, если 0 < 7 < тт{20,1 - 2(9},
2) Я^ ^2, ? = + тт{20,1-20}, если тт{20,1 - 20} < 7 < 1,
3) если ^ = тт{20Л — 20}, где е — сколь угодно малая положительная постоянная
Затем устанавливается регулярная разрешимость для этого же уравнения, с теми же начальными данными (3) и условиями склеивания (12) или (13) Решения поставленных задач ищутся из пространства Гельдера Нрр{2, р = 2 4- 7, и доказаны теоремы для обоих случаев условий склеивания соответственно
Теорема 2.8. Пусть € Нр, р = 2 + 7 Тогда при выполнении
трех условий вида (6) существует единственное решение уравнения (2) из пространства Нр/^2, удовлетворяющее условиям (3), (12)
Замечание 2.2 При выполнении одного условия решение, найденное в теореме 2 8, будет принадлежать пространству Щ'^2, д = 2 + тт{20, 1 — 2в}, где 0 =
Теорема 2.9. Пусть ¡Р1,<Р2 € Нр, р = 2 + 7 Тогда при выполнении двух условий вида (6) существует хотя бы одно решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям (3), (13), из пространства
1) Нр//2, если 0 < 7 < тт{20,1 - 20},
2) Н™/2, <? = 21 + ппп{20,1-20}, если тт{20.1 - 20} < 7 < 1,
3) если 7 = гшп{20,1 — 20}, где е — сколь угодно малая положительная постоянная
В § 2 5 рассмотрены краевые задачи для уравнения (2), где д(х) = А при х > 0 и д(х) = —В при х < 0 Результатом этого параграфа является явное представление условий разрешимости для указанного уравнения, когда условия склеивания (сопряжения) содержат разные производные до второго порядка Также показало, что гельдеровские классы решений параболических уравнений переменного типа существенно зависят от нецелого показателя Гельдера, а также формы условий склеивания
В пространстве Гельдера р = 21 + 7, 0 < 7 < 1, ищется реше-
ние уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям (3) и условиям склеивания
«(-О,/) = иа.(+0Л) иг(-0,0 = «„(+Си) 0 <4<Т, (14)
где I > 2 — целое число
В силу метода исследования решение уравнения разыскивается в виде параболических потенциалов двойного и простого слоев, и доказывается
Теорема 2.10. Пусть € Н", р = 21 + 7 Тогда при выполне-
нии 21 условий вида (6), существует единственное решение уравнения из Яу-1 удовлетворяющее условиям (3), (14)
Замечание 2.3 При выполнении 21 — 2 условий вида (6), решение, найденное в теореме 2 10, будет принадлежать пространству Н^.4/2, д = 21-2 + тш{20,1 - 20}, где 0 = А агс^ -у/|
Замечание 2.4. Если предположим, что (ру(х) € Нр, ^(т) € Нр+1, то при выполнении 21 условий решение задачи (2), (3) (14) будет принадле-
жать пространству
1) Нрх р/2, если 0 < 7 < 1шп{20,1-2(9},
2) Н";4/2, д=21 + тт{20, 1 - 2в}, если тт{26>, 1 - 2(9} < 7 < 1,
3) г если 7 = тт{26|, 1 — 2$}, где е — сколь угодно малая положительная постоянная
При условиях склеивания вида
и(-О^) = «,(+0,0, гй(-0,«) + итг(+0,*) = 0 0<1!<Т, (15) доказывается
Теорема 2.11. Пусть <Р1,<Р2 € Н1', р = 21 + 7 Тогда при выполнении 2^ — 1 условий вида (6), существует хотя бы одно решение уравнения из Н'' удовлетворяющее условиям (3), (15)
Замечание 2.5. Если предположим, что (рх(х) € Нр, <рг(т) € Яр+1, то как и в теореме 2 10, при выполнении 22 условий решение задачи (2), (3), (15) будет принадлежать пространству Нргр/2
В предыдущих параграфах устанавливалось разрешимость краевых задач в гельдеровских пространствах для уравнений вида (2) с границей раздела, имитирующей противоположные спутные потоки В § 2 6 рассматривается общий случай границы раздела двух сред, в который, в частности, включаются также и ортогональные потоки, и косое соударение и т д Как и в параграфах 2 1—2 3, решение поставленной задачи разыскивается в виде параболических потенциалов двойного слоя с неизвестными плотностями а, Р
В бесконечной области <5 = Г2х(0,Г),0 = К рассматривается уравнение (2), где д(х) = sgn х, с начальными условиями (3) и условиями склеивания
м(-0,0 =м(+0,4). ^ щ(-ОЛ) =«Г(+0,г). (16)
где г = г ехр (гф) — комплексное число
Основной результат этого параграфа формулируется в виде
Теорема 2.12. Пусть <pi,ip2 € Hv, р = 21 + 7, и |rsm<£>| < 1 при ip G (—5, §), |r sm<^| > 1 при <ç G (—0) U тг) Тогда при выполнении 2/ условий (6) существует хотя бы одно решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям (3), (16) из пространства
1) Я! I'2, если 0 < 7 < тт{2в, 1 - 29},
2) Hfl'2, q — 2l + mm{26», 1 - 26»}, если mm{2<9,1 - 20} < 7 < 1,
3) HqT £ j9 если 7 = mm{2(9,1 — 2в}, где e — сколь угодно малая положительная постоянная
Справедлива
Теорема 2.13. Пусть <pi.(p2 G H1', р = 21 + 7 и пусть при |rsm</?| < 1, <р G (-тг.-f) U (f 7г), при |г sm ç?| > 1, ср G (—тг. — |) U (0, f ) Тогда при выполнении 21 + 1 условий вида (6) существует хотя бы одно решение уравнения (2) из пространства H^f2, удовлетворяющее условиям (3), (16)
Замечание 2.6. Случаи ср = 0 и ср = ж были рассмотрены в § 2 1 При Ф — очевидно, мы находимся в условиях теоремы, аналогичной 2 13
Работа автора по теме диссертации
[1] Пинигина, Н.Р Гельдеровская гладкость решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции / Н.Р Пинигина, С В. Попов // Вестник Самарского университета. — Самара, 2007. — Серия: естественнонаучная, №2 (52). — С. 67-79.
[2] Пинигина, H Р О гладкости решений краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени / H Р Пинигина // Студент и научно - технический прогресс Математика материалы XL междунар конф /' М-во образования Рос Федерации, СО РАН, Новосиб гос ун-т , [редкол А С Морозов и др ] — Новосибирск, 2002 — С 38-40
[3] Пинигина, H Р Разрешимость краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции / H Р Пинигина, С В Попов // Космо- и геофизические явления и их математические модели
тез докл Всерос науч конф / М-во образования Рос Федерации, Якут гос ун-т им M К Аммосова, [редкол Ю M Григорьев и др ] — Якутск, 2002 - С 66-67
[4] Пинигина, H Р О гладкости решения краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени в ограниченной области / H Р Пинигина // Математика Информатика Образование тез докл респ науч-практ конф / М-во науки и проф образования PC (Я), Якут гос ун-т им M К Аммосова , [науч ред M С Троева] — Якутск, 2002 - С 12-13
[5] Пинигина, H Р Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени / H Р Пинигина, С В Попов // Мат заметки ЯГУ - 2002 - Т 9, №1 - С 71-82
[6] Пинигина, H Р Разрешимость краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции / H Р Пинигина //Материалы научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной 45-летию ЯГУ им M К Аммосова / М-во образования Рос Федерации, Якут гос ун-т им M К Аммосова , [редкол В Ю Фридов-ский и др ] — Якутск, 2003 -43 Физико-математические, технические науки и науки о Земле — С 27-28
[7] Пинигина, H Р Гладкость параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением эволюции / H Р Пинигина, С В Попов // Информационные технологии в науке, образовании и экономике тез докл 2-й респ научн -практ конф / М-во науки и проф образования PC (Я), Якут гос ун-т им M К Аммосова , [редкол В И Васильев и др ] - Якутск, 2003 - С 51-53
[8] Пинигина, H Р Гладкость решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими производные первого и второго порядков / H Р Пинигина, С В Попов // Мат заметки ЯГУ - 2003 - Т 10, №1 - С 43-54
[9] Пинигина, H Р О гладкости решения краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени в ограниченной области / H Р Пинигина // VII Лаврентьевские чтения научн конф студентов и молодых ученых сб ст — Якутск, 2003 — Т 1, секция Математика, механика и физика — С 111-121
[10] Пинигина, H Р О параболических уравнениях с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими разные производные до второго порядка / H Р Пинигина // Студент и научно - технический прогресс Математика материалы XLII междунар конф / М-во образования Рос Федерации, СО РАН, Новосиб гос ун-т, [редкол А С Морозов и др] — Новосибирск, 2004 — С 45-47
[11] Пинигина, HP О параболических уравнениях с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими производные второго порядка / H Р Пинигина, С В Попов //IV международная конференция по математическому моделированию тез докл [отв ред И Е Егоров] - Якутск, 2004 - С 30-31
[12] Пинигина, H Р О параболических уравнениях с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими производные второго порядка / H Р Пинигина, С В Попов // Мат заметки ЯГУ — 2004 - Т И, №1 - С 72-83
[13] Пинигина, H Р Контактные параболические краевые задачи в гель-деровских пространствах / H Р Пинигина, С В Попов // Мат заметки ЯГУ - 2005 - Т 12, №1 - С 95-105
[14] Пинигина, H Р Безусловная разрешимость краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции / H Р Пинигина // Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка тез докл III Всерос школы-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования Рос Федерации, Якут гос ун-т им M К Аммосова , — Якутск, 2005 — С 42-43
[15] Пинигина, H Р Регулярная разрешимость краевых задач для уравнения параболического типа с меняющимся направлением времени, содержащем производные первого и второго порядка / H Р Пинигина, С В Попов // Информационные технологии в науке, образовании и экономике тез докл Всерос науч конф / М-во науки и проф образования PC (Я), Якут гос ун-т им M К Аммосова , — Якутск, 2005 — Ч 1 — С 72-73
[16] Пинигина, H Р Регулярная разрешимость краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени / H Р Пинигина, С В Попов // Мат заметки ЯГУ - 2005 - Т 12, №2 - С 52-59
[17] Пинигина, H Р Контактные параболические краевые задачи в гель-деровских пространствах / H Р Пинигина, С В Попов // XXX Дальневосточная математическая школа-семинар им Е В Золотова тез докл — Хабаровск, 2005 - С 42-43
[18] Пинигина, H Р Краевое задачи для общих параболических уравнений переменного типа / H Р Пинигина // Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка тез докл IV Всерос школы-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования Рос Федерации, Якут гос ун-т им M К Аммосова , — Якутск, 2006 - С 46-47
[19] Пинигина, H Р О гельдеровской гладкости решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции / H Р Пинигина // Дифференциальные уравнения, теория функций и ипри-ложения тез докл Межд конф , посвященной 100-летию со дня рождения академика И H Векуа / Новосиб гос ун-т, СО РАН , — Новосибирск, 2007 - С 248-249
ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ
автореферат
ПИНИГИНА Нюргуяна Романовна
Пописано в печать 20 06 2007 г Формат 60x84/16 Печ л 1,0 Уч-изд л 1 25 Тираж 100 экз Заказ 6
Отпечатано в филиале издательства ЯГУ, Институт математики и информатики ЯГУ Адрес г Якутск, ул Кулаковского, 48 Тел (4112)496833
ВВЕДЕНИЕ
1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§1.1 Гельдеровские пространства.
§1.2 Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений
2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ
§2.1 Разрешимость краевых задач для уравнения с меняющимся направлением времени.
2.1.1 Непрерывные условия склеивания
2.1.2 Разрывные условия склеивания.
§2.2 Краевые задачи в ограниченной области
§2.3 Краевые задачи с нелокальными начальными данными.
2.3.1 Непрерывные условия склеивания
2.3.2 Разрывные условия склеивания.
§2.4 Склеивание производных первого и второго порядков.
2.4.1 Непрерывное склеивание производных.
2.4.2 Разрывное склеивание производных.
2.4.3 Регулярная разрешимость.
§2.5 Склеивание с разными производными до второго порядка
2.5.1 Непрерывность разных производных.
2.5.2 Разрывность разных производных.
§2.6 Контактные параболические краевые задачи в гельдеровских пространствах.
Актуальность темы. Краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных давно. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы М. Жеврея [25]. К ним относится также ряд эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения.
В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии или поверхности или при достижении граничных точек. Это, прежде всего, линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф.Трикоми, С.Геллерстедта, Ф.И.Франкля. Последним были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Это, в частности, стало причиной возникновения широкого фронта исследований в этом направлении, образования больших научных групп.
В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе [9], М.В. Келдыша, А.В. Овсянникова, И.Н. Векуа [13], С.А. Чаплыгина, В.П. Ильина, Е.И. Моисеева, В.Н. Монахова [62], [63], С.А. Терсенова [114], Т.И. Зеленяка [27], А.П. Сол-датова [105], [106], Т.Ш. Кальменова [29], И.М. Петрушко [75], М.М. Смирнова [104], В.П. Диденко, С.М. Пономарева и их научных школ. Общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа была предметом исследований
B.Н. Врагова [14]-[17], Г.Д. Каратопраклиева [31], [32], А.Г. Кузьмина [44], Д.М. Расьянса, Н.А. Ларькина [55], А.И. Кожанова [41]—[43], Б.А. Бубнова,
C.Г. Пяткова [100], И.Е. Егорова [23], А.Г. Подгаева [79] и других.
Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением времени. Простейшей моделью является уравнение вида д(х)щ + Lu = /, д(х) = sgna;, (0.1.1) где L — эллиптический оператор второго порядка. Это уравнение при х ф 0 является параболическим, однако, для него задача Коши с данными при t = 0 не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С.А. Терсенова [115], A.M. Нахушева [68], И.Е. Егорова [21], А.А. Керефова [36], Н.В. Кислова [37]—[40], С.Г. Пяткова [98], В.В. Катышева [35], Х.Х. Ахмедова [2] , М.С. Боу-енди [4], П. Грисварда, К.Д. Пагани [73]—[74], Г. Таленти, О. Арены [1] и других авторов. Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в классах типа решение существует и единственно, но более гладкие решения существуют только при условии выполнения конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Отметим, что С.А. Терсенов [114] изучал эти задачи с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций, разрешимость их сводил к разрешимости сингулярного интегрального уравнения и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде. При этом предполагалось, что условия склеивания на линии раздела должны быть непрерывными, включая первую производную. В представляемой диссертационной работе рассматриваются общие условия склеивания (включая условия с разными производными), более того, находится зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания.
В уравнениях с неявным изменением эволюции (нелинейный случай) возможности еще более разнообразны, сама постановка задачи зависит от входных данных. Так, в модельном уравнении типа Хопфа ищ — ихх = 0 смена направления параболичности происходит там, где решение u{x,t) меняет знак. О.Б. Бочаров [11] показал разрешимость задачи Дирихле для этого уравнения, когда начальные данные разных знаков задаются при t = 0, t — Т. Проблеме существования развитого пограничного слоя с возвратным течением в рамках модели Прандтля и изучению структуры этого течения за точкой отрыва для уравнения sgnищ — у/\й\ихх = f{x,t) посвящены работы В.Н. Монахова [64], [65], Н.Н. Матвеевой [57]-[60] и С.Г. Пяткова [101].
Интерес к нелинейным уравнениям переменного типа был инициирован статьями Н.Н. Яненко, В.А. Новикова, Т.И. Зеленяка [28], где они пришли к выводу, что эти уравнения должны быть основой построения строгой модели автоколебательных и турбулентных течений. Изучению этих уравнений посвящены работы многих авторов: B.C. Белоносова [6], П.И. Плотникова [78], А.Г. Подгаева [81], С.Г. Пяткова [98], П.П. Ахмерова [3], М.М. Лаврентьева (мл.) [45]—[48], В.Н. Гребенева [19] и других. Подробная библиография и ряд результатов содержится в книге Н.А. Ларькина, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [55].
Дальнейшим развитием этой теории явились исследования, связанные с операторно-дифференциальными уравнениями вида
Bu{n) + Lu = f(t), t <= [О, T], (0.1.2)
L,B — самосопряженные операторы, определнные в гильбертовом пространстве Н. Задача Коши или задача, близкая к ней, для уравнения типа Соболева часто корректна. Ситуация меняется, если спектр оператора В содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуоси.
В работах Н.В. Кислова исследована обобщенная разрешимость краевых задач для уравнений (0.1.2) в случае п = 1,2. В частности, им изучались неоднородные граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений и была сформулирована и доказана проекционная теорема, являющаяся обобщением известной теоремы Лакса-Мильграма для случая билинейного функционала, неограниченного в пространстве, порождаемого соответствующим квадратичным функционалом. Н.В. Кисловым также введены понятия сильного и слабого решений неоднородной краевой задачи, позволяющие описывать пространства решений краевых задач для уравнения Av№ + Bu(t) = f(t), t 6 (0, Т), где А, В — суть симметричные операторы в гильбертовом пространстве Я, причем В — положительный оператор, а А — знаконеопределенный операторный коэффициент, наличие которого позволяет рассматривать не только уравнения фиксированного типа, но также и уравнения смешанного типа, в частности, уравнения Жевре, уравнения Чаплыгина, уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Для того же уравнения было доказано, что сильные решения неоднородных краевых задач обладают гладкостью, достаточной для существования следов решений в соответствующих пространствах.
С.Г. Пятковым были исследованы аналогичные задачи для операторно-дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка с помощью ряда свойств собственных функций соответствующей спектральной задачи. Им были развиты результаты Н.В. Кислова об обобщенной разрешимости поставленных краевых задач и рассмотрены вопросы гладкости решений.
С.В. Попов рассматривал классы корректности краевых задач для 2п— параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции с непрерывными условиями склеивания. Им также исследовался вопрос о гладкости полученных решений.
Цель работы — исследование качественных свойств решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции с общими условиями склеивания, включая условия с разными производными.
Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых изучение краевых задач сводится к исследованию сингулярных интегральных уравнений. Отметим монографии Н.Ф. Гахова [18], Н.И. Мусхе-лишвили [67], а также В.Н. Монахова [62], С.А. Терсенова [115].
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: поставлены и исследованы основные краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений второго порядка с меняющимся направлением эволюции с общими условиями склеивания; указаны условия однозначной разрешимости этих краевых задач, и для них найдена зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания; исследованы качественные свойства решений как в конечной, так и в бесконечной областях, а также соответствующие краевые задачи с нелокальными начальными данными.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах, и в частных случаях из них следуют известные результаты.
Область приложений полученных результатов — краевые задачи для параболических уравнений переменного типа. Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач для уравнений с меняющимся направлением эволюции.
Перейдем к изложению результатов диссертации.
Первая глава носит вспомогательный характери состоит из двух параграфов.
В § 1.1 даются определения и некоторые свойства гельдеровских пространств (определения 1.1-1.3). Изложение в основном соответствует книге [67]. В § 1.2 приведены некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся двумерные параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции.
Вторая глава состоит из шести параграфов. В этой главе устанавливается разрешимость краевых задач для некоторых классов уравнений, простейшее из которых имеет вид д(х)щ - ихх = 0, (0.1.3) где д(х) = А при х > 0 и д{х) = —В при х < 0, как в бесконечных, так и в конечных областях. Это уравнение при х > 0 является прямым, а при х < 0 обратным уравнением параболического типа, т.е. параболическим уравнением второго порядка с меняющимся направлением времени.
В § 2.1 ищется решение уравнения (0.1.3) в бесконечной полосе Q = Q х (0,Т), Q = R из пространства Гельдера р — 21 + 7, 0 < 7 < 1, которое удовлетворяет следующим начальным условиям и(ж,0) = (pi(x), х>0, и(х,Т) = <Р2(х), X < 0, (0.1.4) и условиям склеивания и(-0, t) = и(+0, t), их(~ 0, t) = их(+0, t), (0.1.5) где I > 1 — целое число.
Основным методом здесь является метод параболических потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению некоторых интегральных уравнений. Этот метод, развитый в работах Е.Е. Леви, Е. Хольм-грена, М. Жеврея, Г.М. Мюнтца, А.Н. Тихонова, В.П. Михайлова, Б. Пини, JL Каттабрига, О.А. Ладыженской, В.А. Солонникова и других, является одним из эффективных средств доказательства теоремы существования решения для параболических уравнений. В этом параграфе решение поставленной задачи ищется в виде параболических потенциалов двойного слоя с неизвестными плотностями а, (3, построенных при помощи фундаментального решения, которые удовлетворяют начальным условиям (0.1.4). Согласно [50], нужно найти плотности a(t) и (3(t) из пространства Нр/2(0,Т), причем ttW(0) = р№(Т) = 0 (s - 0,., I). (0.1.6)
Удовлетворив условиям склеивания (0.1.5), для определения плотностей получим интегральное уравнение с оператором Абеля, которое при помощи формул обращения эквивалентно редуцируется к сингулярному уравнению нормального типа. Далее выписываются необходимые и достаточные условия на начальные данные (pi,ip2 для выполнения условий (0.1.6) и для принадлежности плотностей искомым пространствам. Они будут иметь вид
Ls(<ph<p2) = 0 (5 = 0,., 2/). (0.1.7) где Ls — конкретные линейные интегральные операторы, выписываемые в явной форме. Тогда при их выполнении существует единственное решение задачи (0.1.3), (0.1.4), (0.1.5) из пространства H^2(Q). Таким образом, основной результат данного параграфа формулируется в виде следующей теоремы.
Теорема 2.1. Пусть £ Нр> Р — 2/ + 7. Тогда при выполнении 21 условий (0.1.7) существует единственное решение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.5), из пространства:
1) Нр//\ если 0 < 7 < min{20,1 - 20};
2) Hqxf\ q = 2l + min{20,1 - 20}, если min{20,1 - 20} < 7 < 1;
3) если 7 = min{20,1 — 20}, где £ — сколь угодно малая положительная постоянная.
Далее рассматриваются разрывные условия склеивания и(-0, t) = «(+0, t), их(-0, t) = -их(+0, t), (0.1.8) и доказывается
Теорема 2.2. Пусть <pi,<p2 G Нр, р — 21 + 7- Тогда при выполнении 21 + 1 условий вида (0.1.7) существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3) из пространства Н^2, удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.8).
Замечание 2.1. В теореме 2.1 показано, что при р — \р] > \ гладкость решения не повышается с увеличением гладкости входных данных, а в случае теоремы 2.2 — происходит увеличение гладкости, но при выполнении 21 + 1 условий на данные задачи. Таким образом, гладкость решения существенно зависит от условий склеивания при х = 0.
В § 2.2 рассмотрено уравнение (0.1.3) в ограниченной области Q = (—1,1) X (0, Т). Решение уравнения также ищется из пространства Гельдера НVX,VJ2, р = 21 + 7, 0<7< 1, при следующих начально-краевых условиях и(х,0) = (pi(x), 0 < х < 1, и(х,Т) = (р2(х), -1 < х < 0, (0 19) u(l,t) = 0, u{-l,t) = 0, 0 <t<T и условиях склеивания (0.1.5). Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3. Пусть ipi, <р2 £ Нр> р = 21 + у и выполнены условия согласования (-l)vf1'(-1) = 0 (s = 0,.,/). (0.1.10)
Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.7) существует единственное pell шение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее условиям (0.1.9), (0.1.5), из пространства:
1) Hp/tf2, если 0 < 7 < min{20,1 - 20}
2) Н™/2, q = 2l + min{20, 1 - 29}, если min{29,1 - 26} < 7 < 1;
3) Hqx~sM~e)l2, если 7 = min{20,1 — 29}, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.
В § 2.3 исследуется гладкость решения в бесконечной полосе Q для уравнения (0.1.3), когда д(х) = sgnrz;, в случае нелокальных начальных данных. Решение уравнения ищется из того же пространства Гельдера Н^2, р = 21 + 7, 0 < 7 < 1 при следующих нелокальных начальных данных и(х,0) + ki(x)u(x,Т) = <pi(x), х > 0, ^ и(х, Т) + к2(х)и(х, 0) = W, х < 0, \к(\ < 1 и условиях склеивания (0.1.5).
Основным результатом этого параграфа является
Теорема 2.4. Пусть </?,-, к{ Е Нр, г = 1,2, р = 21-{-/у. Тогда при выполнении 21 условий вида
LM,<p2,khk2) = 0 (s = l,. ,20 (0.1.12) существует единственное решение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее условиям (0.1.11), (0.1.5), из пространства:
1) Hpx'f, если 0 < 7 < \]
2) Hqx>f, q = 2l + \, если \ < 7 < 1;
3) Hl~£,(f~£^2, если 7 = где е — сколь угодно малая положительная постоянная.
При условиях склеивания (0.1.8) доказана
Теорема 2.5. Пусть щ, к{ Е Нр, г = 1,2, р = 2Z+/y. Тогда при выполнении 2/ + 1 условия вида (2.6.5) существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3) из пространства Н^2, удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.8).
В § 2.4 явно представляются условия разрешимости для уравнения (0.1.3), где д(х) = А при х > 0 и д(х) = —В при х < 0, когда условия склеивания содержат производные первого и второго порядков.
Решение уравнения ищется из пространства Гельдера H^2(Q), р = 21+j, 0 < 7 < 1 при начальных условиях (0.1.4) и условиях склеивания ux(-0,t) = ux(+0,t), uxx(-0,t) = uIX(+(M) 0 < t < T, (0.1.13) где I >2 — целое число. В отличии от предыдущих параграфов, решение этой задачи разыскивается в виде параболических потенциалов простого слоя с неизвестными плотностями а, которые удовлетворяют начальным условиям (0.1.4). Согласно [50] плотности a(i), /3(t) нужно найти из пространства #(р-1)/2(0, Т), такие, что выполняются условия (0.1.6). Таким образом, в данном параграфе доказана
Теорема 2.6. Пусть (pi,(p2E Нр, р = 21 + у,1 > 2. Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.7) существует единственное решение уравнения (0.1.3) из пространства Я^2, удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.13).
Далее рассмотрены условия склеивания вида ux(-0,t) = ux(+Q,t), uxx(-0,t) + uxx{+0,t) = 0 0 <<<Т, (0.1.14) и доказана следующая
Теорема 2.7. Пусть G Нр, р = 21 + 7,1 > 2. Тогда при выполнении 21—1 условий вида (0.1.7) существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.14), из пространства:
1) Hpxpt/2, если 0 < 7 < min{20,1 - 20};
2) Hqxi\ q = 2l-l + min{20,1-20}, если min{20, 1 - 20} < 7 < 1;
3) если 7 = min{20,1 — 20}, где e — сколь угодно малая положительная постоянная.
Затем устанавливается регулярная разрешимость для уравнения вида (0.1.3) с теми же начальными данными (0.1.4) и условиями склеивания (0.1.13) или (0.1.14). Решения поставленных задач ищутся из пространства Гельдера Hpf{2, р = 2 + 7» и доказаны две теоремы для обоих случаев условий склеивания соответственно.
Теорема 2.8. Пусть <£1,^2 £ Нр, р = 2 + 7. Тогда при выполнении трех условий вида (0.1.7) существует единственное решение уравнения (0.1.3) из пространства удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.13).
Замечание 2.2. При выполнении одного условия решение, найденное в теореме 2.8, будет принадлежать пространству HxqJ2, q = 2+min{20,1 — 20}, где 0 = ^ arctg ^/f.
Теорема 2.9. Пусть (pi,<f2 £ Яр, р = 2 + 7. Тогда при выполнении двух условий вида (0.1.7) существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.14), из пространства:
1) Нр'р/\ если 0 < 7 < min{20,1 - 20};
2) Я™/2, q = 1 + min{20,1 - 20}, если min{20,1 - 20} < 7 < 1;
3) если 7 = min{20,1 - 20}, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.
В § 2.5 рассмотрены краевые задачи для уравнения (0.1.3), где д{х) — А при х > 0 и д{х) = —В при х < 0. Результатом этого параграфа является явное представление условий разрешимости для указанного уравнения, когда условия склеивания (сопряжения) содержат разные производные до второго порядка. Показано, что гельдеровские классы решений параболических уравнений переменного типа существенно зависят от нецелого показателя Гель-дера, а также формы условий склеивания.
В пространстве Гельдера HPJ)J2{Q]) ищется решение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее начальным условиям (0.1.4) и условиям склеивания и(-0, t) = %(+0, t), их(-0, t) = ихх(+0, t) 0 <t<T, (0.1.15) где I > 2 — целое число.
В силу метода исследования решение уравнения разыскивается в виде параболических потенциалов двойного и простого слоев, и доказывается
Теорема 2.10. Пусть i, </?2 G р = 2^+7,1 > 2. Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.7), существует единственное решение уравнения (0.1.3) из удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.15).
Замечание 2.3. При выполнении 21 — 2 условий вида (0.1.7) решение, найденное в теореме 2.10, будет принадлежать пространству H^f2, q = 21 —
Замечание 2.4. Если предположим, что ipi(x) € (р2(я) Е Нр+1, то при выполнении 21 условий решение задачи (0.1.3), (0.1.4), (0.1.15) будет принадлежать пространству:
1) если 0 < 7 < min{2<9,1 - 29};
2) Hqx'qJ2, q = 1 + min{20,1 - 29}, если min{20,1 - 20} < 7 < 1;
3) Hl~£,[q~£^2, если 7 = min{2#, 1 — 29}, где e — сколь угодно малая положительная постоянная.
При условиях склеивания вида u(-0,t) = их(+0, t), ux(-0,t) + uxx{+0,t) = 0 0 < t < Т, (0.1.16) доказывается
Теорема 2.11. Пусть (pi, <^2 £ Нр, р = 2/ + 7. Тогда при выполнении 2/ — 1 условий вида (0.1.7), существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3) из НГТ1)/2, удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.16).
Замечание 2.5. Если предположим, что <pi(x) € Нр, £ Нр+1, то как и в теореме 2.10, при выполнении 21 условий решение задачи (0.1.3), (0.1.4), (0.1.16) будет принадлежать пространству HXVJ2.
В предыдущих параграфах устанавливалось разрешимость краевых задач в гельдеровских пространствах для уравнения (0.1.3) с границей раздела, имитирующей противоположные спутные потоки. В § 2.6 рассматривается общий случай границы раздела двух сред, в который, в частности, включаются также и ортогональные потоки, и косое соударение и т.д. Как и в параграфах 2.1-2.3, решение поставленной задачи разыскивается в виде параболических потенциалов двойного слоя с неизвестными плотностями а, /3.
В бесконечной области Q = О, X (0,Т), Г2 = Ж рассматривается уравнение (0.1.3), где д(х) = sgnx, с начальными условиями (0.1.4) и условиями склеивания и(-0, t) = и(+0, t), z - их{-О, t) = их(+0, t), (0.1.17) где z — т • ехр (г<р) — комплексное число.
Основной результат этого параграфа формулируется в виде:
Теорема 2.12. Пусть cpi,<p2 G Нр, р = 21 + 7, и |rsiny?| < 1 при <р £ (-f;f), |rsin^| > 1при<^ G (-§; 0)U(|; 7г). Тогда при выполнении 21 условий (0.1.7) существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.17), из пространства:
1) Нр/'\ если 0 < 7 < min{20,1 - 29};
2) Hqx'qt/2, q = 2l + min{20,1 - 20}, если min{20,1 - 20} < 7 < 1;
3) если 7 = min{20,1 — 20}, где e — сколь угодно малая положительная постоянная.
Справедлива
Теорема 2.13. Пусть <£>1,^2 £ Нр, р = 21 + 7 и пусть при |rsin^| < 1, Ip е (-тг;-|) и (|; 7г), при |r sin^| > 1, ip G (—тг; -|) U (0;§). Тогда при выполнении 21 + 1 условий вида (0.1.7) существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3) из пространства Нр'р^2, удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.17).
Замечание 2.6. Случаи ip = 0 и <р = 7г были рассмотрены в § 2.1. При ip = ±|, очевидно, мы находимся в условиях теоремы, аналогичной 2.13.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и неоднократно обсуждались на семинаре "Уравнения переменного типа" профессора Попова С.В. (НИИ математики при ЯГУ), на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" профессора Кожанова А.И. (Институт математики им. C.J1. Соболева СО РАН), на XL Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2002), на Всероссийской конференции "Космо- и геофизические явления и их математические модели", посвященной 80-летию профессора А.И. Кузьмина (Якутск, 2002), на научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" (Якутск, 2003, 2004, 2005), на научно - практической конференции "Фундаментальные и прикладные аспекты естественных наук в изучении, освоении и промышленном развитии северных регионов России" (Москва, 2003), на Всероссийской научной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2003, 2005), на IV Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2004), на Всероссийской школе-семинаре "Математическое моделирование развития северных территорий" (Якутск, 2005, 2006), на межвузовской научно-практической конференции "Университет XXI века: достижения, перспективы, стратегия развития", посвященной 50-летию ЯГУ им. М.К. Аммосова (Якутск, 2006)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах (тезисы 12 докладов и 7 статей) [129]-[147]
Работа частично поддержана конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе "Университеты России": в 2002 - 03 г.г. (УР.04.01.048), в 2004 г. (УР.04.01.047), ведомственной научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы": Раздел 2."Университеты России" (№2047-05), раздел 3.3 (проект 8427) в 2005 г.
Работа поддержана Федеральной целевой программой "Интеграция науки и высшего образования России": за 2002 г. — стажировка в Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН, за 2004 г. — стажировка в Институт гидродинамики им М.А. Лаврентьева СО РАН , Федеральной целевой научно-технической программой за 2005 г. — стажировка в Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Новосибирск).
Работа также поддержана стипендией Президента Российской Федерации для аспирантов ГОУ ВПО, подведомственных Минобразованию России (пр. №2558, от 31.05.04).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 105 страниц. Первая глава состоит из двух параграфов, вторая — из шести параграфов. Список цитируемой литературы на 147 наименований. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер формулы в параграфе.
Основные результаты, которые выносятся на защиту: поставлены и исследованы основные краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений второго порядка с меняющимся направлением эволюции с общими условиями склеивания; указаны условия однозначной разрешимости этих краевых задач, и для них найдена зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания; исследованы качественные свойства решений как в конечной, так и в бесконечной областях, а также соответствующие краевые задачи с нелокальными начальными данными.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Диссертация посвящена теории краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции. Опишем основные области применения полученных результатов. Прежде всего — это краевые задачи для уравнений смешанного типа, теория которых разрабатывается достаточно давно в связи с многочисленными приложениями в гидродинамике, газовой динамике, физике. Количество работ посвященных этой теме огромно. Мы можем сослаться, например, на известные монографии А.В. Бицад-зе [9], М.М. Смирнова [104], М.С. Салахитдинова [103] и других авторов. В частности, в класс исследованных в диссертации уравнений входят хорошо известные уравнения Трикоми, Лаврентьева-Бицадзе и некоторые другие. Другая область приложений — краевые задачи для параболических уравнений с меняющимся направлением времени, в класс которых входят так называемые кинетические уравнения описывающих диффузионные процессы, броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике.
Диссертация посвящена изучению линейных уравнений с меняющимся направлением эволюции, простейшей моделью является уравнение д(х)щ + Lu = /, д(х) = sgn z, (3.0.29) где L — эллиптический оператор 2-го порядка.
Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений, как отмечалось, была построена в работах С.А. Терсенова, A.M. Нахушева, Т.Д. Джураева, И.Е. Егорова, А.А. Керефова, В.В. Катышева,
Х.Х. Ахметова, М.С. Боуенди, П. Грисварда, К.Д. Пагани, Г. Таленти, О. Арены [114, 115, 117, 68, 36, 35, 2, 1], [26] [21]-[24], [37]-[40j, [98]-[101], [73]-[74] и других авторов.
Центральное место в данной главе занимает исследование вопроса о разрешимости краевых задач для уравнения (3.0.29) в классах Гельдера H^'f2. Найдены необходимые и достаточные условия входных данных при различных случаях условий склеивания на линии х — 0.
1. Arena О. On a degenerate elliptic-parabolic equation // Communications Part. Equat. 1978. V. 3, № 11. P. 1007-1040.
2. Ахмедов X.X. О некоторых краевых задачах для уравнений параболического типа с меняющимся направлнием времени: Дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1989. 98 с.
3. Baouendi M.S., Grisvard P. Sur une equation d'evolution changeante de type // J. Funct. Anal. 1968. V. 2, № 3. P. 352-367.
4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций М.: Наука, 1970. 327 с.
5. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1975. 156 с.
6. Beals R. Indefinite Sturm Liouville problems and half- range complete-ness//J. Differential Equations. 1985. V. 56, № 3. P. 391-408.
7. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.
8. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.
9. Bothe W. Die Streneabsorption der Electronenstrahlen. Z. Phys. 1929. V. 5. P. 101-178.
10. Бочаров О.Б. О первой краевой задаче для уравнения теплопроводности со знакопременным коэффициентом // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. / СО АН СССР. Ин-т гидродинамики. 1978. № 37. С. 27-39.
11. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1968. 380 с.
12. Врагов В.Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 6. С. 1098-1105.
13. Врагов В.Н. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешанно-составного типа высокого порядка // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978. С. 513.
14. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Новосиб. гос.ун-т. 1983. 84 с.
15. Vragov V.N., Kozhanov A.I., Pyatkov S.G. and Glazatov S.N. On the theory of nonclassical equations of mathematical physics // Conditionally well-posed problems. Moscow, Utrecht: TVP / TSP. 1993. P. 299-321.
16. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. M.: Наука, 1977. 640 с.
17. Гребенев В.Н. Об одной системе вырождающихся параболических уравнений, возникающей в гидродинамике // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 4. С. 753-767.
18. Гурса Э. Курс математического анализа, 4.2. М.—Л., ОНТИ, 1934.
19. Егоров И.Е. Краевые задачи для уравнений высокого порядка и с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР, 1988. Т. 303, № 6. С. 1301-1304.
20. Егоров И.Е., Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995. 133 с.
21. Егоров И.Е. Нелокальные краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения смешанного типа // Уч. зап. Якутск, ун-та., 1994. Сер.: матем., физ. С. 18-24.
22. Egorov I.E. On one boundary value problem for an equation with varying time direction // Math. Zametki YaGU, 1998. V. 5, № 2. P. 77-84.
23. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. de Math., 1913. V. 10, № 6. P. 105-148.
24. Жураев Б.Б. Задача Жевре для 2п-смешанно-параболического уравнения // Изв. АН Уз. ССР, 1990. Серия физ.-мат. наук, № 1. С. 8-14.
25. Зеленяк Т.И. Об одном уравнении со знакопеременным коэффициентом диффузии // Матем. проблемы химии. Новосибирск, 1975. 4.1. С. 111115.
26. Зеленяк Т.И., Новиков В.А., Яненко Н.Н. О свойствах решений нелинейных уравнений переменного типа // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. Т. 5, № 4. С. 3547.
27. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 8. С. 1418-1425.
28. Кантарович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
29. Каратопраклиева М.Г. К теории уравнений смешанного типа с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 1. С. 102-113.
30. Karatoprakliev G.D. A nonlocal boundary-value problem for equation of mixed type in unbounded domain // Докл. Болг.АН. 2000. Т. 53, 5. С. 9-10.
31. Cattabriga L. Problemi al contorno per equazioni paraboliche di ordine 2n // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1958. V. 28, № 2. P. 376-401.
32. Cattabriga L. Equazioni paraboliche in due variabili. I // Rend. sem. fac. sc. Univ. Cagliari. 1961. V. 31, № 1-2. P. 48-79; II // Rend. sem. fac. sc. Univ. Cagliari. 1962. V. 32, № 3-4. P. 254-267.
33. Катышев В.В. Об одном уравнении эллиптико-параболического типа // Краевые задачи для нелинейных уравнений. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1982. С. 130-133.
34. Керефов А.А. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 74-78.
35. Кислов Н.В., Пулькин И.С. Краевая задача с обобщенными условиями склейки для уравнения параболического типа // Вестн. МЭИ, 2000. № 6. С. 77-89.
36. Кислов Н.В., Пулькин И.С. О существовании и единственности слабого решения задачи Жевре с обобщенными условиями склейки // Вестн. МЭИ, 2002. № 6. С. 88-92.
37. Кислов Н.В., Червяков А.В. Краевая задача с меняющимся направлением времени // Вестн. МЭИ, 2002 № 6 С. 62-67.
38. Кислов Н.В., Червяков А.В. Об одной краевой задаче с меняющимся направлением времени // Вестн. МЭИ. 2001 № 6 С. 67-74.
39. Кожанов А.И., Ларькин Н.А. О разрешимости краевых задач для волнового уравнения с нелинейной диссипацией в нецилиндрических облостях // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 6. С. 1278-1299.
40. Кожанов А.И. Существование регулярных решений первой краевой задачи для одного класса уравнений соболевского типа переменного направления // Мат. заметки ЯГУ, 1997. Т. 4, № 2. С. 39-48.
41. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 1. С. 86-92.
42. Кузьмин А.Г. Уравнения второго порядка с эллиптическим оператором ио пространственным переменным // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 1. С. 102-113.
43. Лаврентьев М.М.(мл.) Априорная гладкость решений ряда уравнений переменного типа // Матем. модел. 1990. Т. 2, № 9. С. 145-153.
44. Лаврентьев М.М.(мл.) Оценки решений одного уравнения переменного типа // Матем. модел. 1989. Т. 1, № И. С. 132-138.
45. Лаврентьев М.М.(мл.) О разрешимости краевых задач для некоторых параболических уравнений с вырождениями // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, № 2. С. 79-95.
46. Лаврентьев М.М.(мл.) О свойствах приближенных решений нелинейных уравнений переменного типа // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, № 6. С. 176-185.
47. Lagnuese J.E. Singular differential equations in Hilbert space // SIAM J. Math. Anal. 1973. V. 4, № 4. P. 623-637.
48. Ладыженская O.A., Солонников B.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
49. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
50. Ладыженская О.А. О решении нестационарных операторных уравнений // Мат. сб. 1956. Т. 39(81), № 4. С. 491-524.
51. Ладыженская О.А. О единственности задачи Коши для линейного параболического уравнения // Мат. сб. 1950. Т. 27, № 2. С. 175-184.
52. Лаптев Г.И. Слабые решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностью // Мат. сб. 1997. Т. 188, № 9. С. 83-112.
53. Ларькин Н.А., Новиков В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983. 170 с.
54. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач: Пер. с фр. / Под ред. О.А. Олейник. М.: Едиториал УРСС, 2002. 588 с.
55. Матвеева Н.Н., Монахов В.Н., Попов С.В. Оценка модуля пространственной производной решения задачи о встречных потоках для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Динамика сплошной среды. 1998. Т. 113. С. 103-106.
56. Матвеева Н.Н., Монахов В.Н. Встречные потоки решений квазилинейных параболических уравнений с вырождением при производной по времени // Мат. заметки ЯГУ, 1998. Т. 5, № 2. С. 37-45.
57. Матвеева Н.Н., Попов С.В. Нелинейные вырождающиеся параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции // Мат. заметки ЯГУ, 2000. Т. 7, № 2. С. 82-92.
58. Мельник М.И. Исключительный случай краевой задачи Римана // Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН Груз. ССР. 1957. Т. 24. С. 149-162.
59. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. 424 с.
60. Монахов В.Н., Хуснутдинова Н.В. О сопряжении каналовых и фильтрационных течений вязкой несжимаемой жидкости // Журнал прикладной механики и теоретической физики. 1995. № 1. С. 95-99.
61. Монахов В.Н. Возвратные течения в пограничном слое // Динамика сплошной среды. 1998. № ИЗ. С. 107-113.
62. Монахов В.Н., Попов С.В. Весовые оценки градиента решений сильно вырождающихся параболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ, 1998. Т. 5, № 2. С. 46-51.
63. Монахов В.Н., Попов С.В. Контактные задачи математической физики // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр./ Ин-т гидродинамики СО РАН. 2000. № 115. С. 62-72.
64. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.
65. Нахушев A.M. О правильной постановке краевых задач для параболических уравнений со знакопеременной характеристической формой // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, № 1. С. 130-135.
66. Олейник О.А., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Физматлит, 1997. 512 с.
67. Олейник О.А. О системе уравнений пограничного слоя // Журн. выч. мат. и мат. физики. 1963. Т. 3, № 3. С. 489-507.
68. Олейник О.А., Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными // Успехи мат. наук. 1961. Т. 16, Ж 5(101). С. 115-155
69. Орлова С.А. О первой краевой задаче для прямо и обратно ультрапараболического уравнения // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31, № 6. С. 211-214
70. Pagani C.D. Studio di alcune questioni concernenti l'equazione generalizzata di Fokker-Planck // Boll. Un. Math. Ital. 1970. V. 3, № 6. P. 961-986.
71. Pagani C.D., Talenti G. On a forward-backward parabolic equation // Ann. Mat. Рига ed Appl. 1971, V. 90. P. 1-58.
72. Петрушко И.М. Краевые задачи для уравнений смешанного типа // Труды Мат. ин-та им. Стеклова. 1968. Т. 103. С. 181-200.
73. Pini В. Sul probleme fondamentale di valori contorno per una classe di equazioni paraboliche lineari // Ann. mat. pura ed appl. 1957. V. 43. P. 261297.
74. Pini B. Su una equazione paraboliche non lineare del quarto ordine // Rend, sem. fac. sc. Univ. Cagliari. 1957. V. 27. № 3-4. P. 136-168.
75. Плотников П.И. Уравнения с переменным направлением времени и эффект гистерезиса // Докл. РАН. 1993. Т. 330, № 6. С. 691-693.
76. Подгаев А.Г. О некоторых корректных задачах для уравнений переменного типа // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982. Л2 55. С. 143-153.
77. Подгаев А.Г. О граничных задачах для некоторых квазилинейных параболических уравнений с неклассическими вырождениями // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, № 2. С. 129-139.
78. Подгаев А.Г. О разрешимости некоторых неоднородных задач протекания для обобщенных уравнениях Прандля и уравнений Эйлера. / Мат. заметки ЯГУ. 1995. Т. 2, № 1. С. 32-59
79. Попов С. В. Безусловная разрешимость первой краевой задачи для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. С. 153-156.
80. Попов С. В. Контактная задача для итерированного уравнения теплопроводности // Уч. зап. Якутск, ун-та. 1994. Сер.: матем., физ. С. 24-31.
81. Попов С.В. Разрешимость краевых задач для уравнения щ = uxxsgnx при произвольном склеивании // Математический анализ и дифференц. уравнения. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1992. С. 34-41.
82. Попов С.В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени высокого порядка / Ред. журн. "Сиб. мат. журнал". Новосибирск, 1988. 56 с. Деп. в ВИНИТИ 07.12.88, № 8646-Б88.
83. Попов С.В. О разрешимости краевой задачи для одного уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Дифференциальные уравнения и их приложения. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1989. С. 39-47.
84. Попов С.В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1991. № 102. С. 100-113.
85. Popov S.V. On a boundary value problem for a singular parabolic eguation with changing time direction // Mat. Zametki YaGU, 1994. V. 1, 1. P. 113-128.
86. Попов С.В. Нелокальные краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка // Сибирская конф. по неклассическим уравнениям: тез. докл. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1995. С. 78.
87. Попов С.В. О краевых задачах для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка // Материалы международной конференции "Современные проблемы математики", посвященные 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева. М.: МГУ, 1996. Т. 2. С. 292-296.
88. Popov S.V. Nonlocal boundary value problems for a high-order operator-differential eguation // Mat. Zametki YaGU, 1996. V. 3, № 1. P. 95-106.
89. Попов C.B., Шахурдин К.А. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ, 1997. Т. 4, № 2. С. 49-56.
90. Popov S.V. Smoothness of solutions to the boundary value problems for a high-order operator differential equations // Mat. Zametki YaGU, 1998. V. 5, № 1. P. 106-112.
91. Popov S.V. Nonlocal boundary value problems for operator differential equations of even oder // Mat. Zametki YaGU, 1999. V. 6, № 1. P. 90103.
92. Попов С.В. О встречных потоках теплового пограничного слоя сжимаемой жидкости // Мат. заметки ЯГУ, 1999. Т. 6, № 2. С.130-133.
93. Попов С.В. Об одной краевой задаче со сдвигом для параболического уравнения переменного типа // Динамика сплошной среды. 2000. № 116. С. 83-94.
94. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Наука. 1979. 496 с.
95. Пятков С.Г. О разрешимости краевых задач для линейных и нелинейных параболических уравнений с меняющимся направлением времени // Дифференциальные и интегральные уравнения: тез. докл. г.Челябинск, 4-8 февр. 2002. С. 84-85.
96. Пятков С.Г. Краевая задача для некоторых классов сингулярных параболических уравнений // Мат. труды. 2003. Т. 6. № 2. С. 144-208.
97. Пятков С.Г. Индефинитные эллиптические спектральные задачи. Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2. С. 409-426.
98. Pyatkov S.G. Interpolation of some function spaces and indefinite Sturm-Liouville problems. Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag Basel-Switzerland. 1998. V. 102. P. 179-200.
99. Richardson R.G.D. Contributions to the study of oscillation properties of the solutions of linear differential equations of the second order // Amer. J. Math. 1918. V. 40, № 1. P. 283-316.
100. Салахитдинов M.C. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: Фан, 1974.
101. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. Учебное пособие для вузов. М.: ВШ. 1985. 304 с.
102. Солдатов А.П. Эллиптические задачи на плоскости // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. 1995. Сер.: Естеств. и Техн. Науки, № 1. С. 119-123.
103. Солдатов А.П. Задача Пуанкаре для уравнения смешанного типа. // Докл. РАН. 2001. Т. 377, № 4. С. 447-451
104. Сукачева Т. Г. Задача Коши для полулинейного нестационарного уравнения типа Соболева // Успехи мат. наук. 1995. Т. 50, № 4. С. 143.
105. Sobolev V.V. Light scattering in planetary atmospheres. Oxford: Pergamon Press, 1975.
106. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.
107. Spigler В. Boundary layer theory in Kramers-Smoluchovski limit for the Fokker-Planck equation on a half-spaces // Boll. Unione Mat. Ital. 1987, Ser. VII. V. 1-B, Ш 3. P. 917-938.
108. Curgus В., Najman B. A Krein space approach to elliptic eigenvalue problems with indefinite weights // Diff. and Integ. Equations. 1994. V. 7, № 5/6. P. 1241-1252.
109. Curgus В., Najman B. The operator sgnx-fgz is similar to a selfadjoint operator in Ь2(Щ // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V. 123. P. 1125-1128.
110. ИЗ. Терсенов Ар.С. О разрешимости некоторых краевых задач для одного класса квазилинейных параболических уравнений // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 5. С. 1147-1156.
111. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Сиб. отд-ние АН СССР. Ин-т математики. 1982. 168 с.
112. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985. 105 с.
113. Терсенов С.А. Об основных краевых задачах для одного ультрапараболического уравнения // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. № 6. С. 1413-1430
114. Терсенов С.А. О первой краевой задаче для одного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. РАН, 1996. Т. 348, № 1. С. 27-29.
115. Faierman М. Elliptic problems involving an indefinite weight // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. V. 320, № 1. P. 253-279.
116. Faierman M. Nonselfadjoint elliptic problems involving an indefinite weight // Comm. Part. Differential equation. 1990. V. 15, № 7. P. 939-982.
117. Fleige A. A counterexample to completeness properties for indefinite Sturm-Liouville problems // Math. Nach. 1998. V. 190. P. 123-128.
118. Fleige A. Spectral theory of indefinite Krein-Feller differential operators. Mathematical Research 98. Berlin: Akademie Verlag, 1996.
119. Fleige A., Najman B. Nonsingularity of critical points of some differential and difference operators // Operator theory. Advances and Applications. V. 102. Birkhauser: Verlag Basel/Switzeland, 1998.
120. Hess P. On the relative completeness of the generalised eigenvectors of elliptic eigenvalue problems with indefinite weight function // Math. Ann. 1985. V. 270, № 3. P. 467-475.
121. Hess P., Kato T. On some linear and nonlinear eigenvalue problems with an indefinite weight function. Comm. Part. Diff. Equations. 1980. V. 5. P. 9991030.
122. Черных E.B. Петрушко И.М. О начально-краевой задаче для уравнения с меняющимся направлением времени // Вестн. МЭИ, 2000. № 16. С. 6070.
123. Черных Е.В. О поведении решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени вблизи границы прямоугольной области. Моск. энерг. ин-т. Москва, 2001. 43 с.
124. Яненко Н.Н., Новиков В.А. Об одной модели жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. Т. 4, № 2. С. 142-147.
125. Яненко Н.Н., Новиков В.А. Об одном новом классе уравнений переменного типа // Успехи Мат. Наук, 1980. Т. 35, Ж 4. С. 156.
126. Пинигина Н.Р. О гладкости решений краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Материалы XL международной конференции "Студент и научно технический прогресс": Математика. — Новосибирск, 2002. С. 38-40.
127. Пинигина Н.Р. Попов С.В. Разрешимость краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени / Мат. заметки ЯГУ, 2002. Т. 9, № 1. С. 71-82.
128. Пинигина Н.Р. Разрешимость краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Материалы научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной 45-летию ЯГУ им.М.К.Аммосова. Якутск, 2003. С. 27-28.
129. Пинигина Н.Р. Попов С.В. Гладкость решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени с условиями склеивания,содержащими производные первого и второго порядков / Мат. заметки ЯГУ, 2003. Т. 10, № 1. С. 43-54.
130. Пинигина Н.Р., Попов С.В. О параболических уравнениях с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими производные второго порядка / Мат. заметки ЯГУ, 2004. Т. И, № 1. С. 7283.
131. Пинигина Н.Р., Попов С.В. Контактные параболические краевые задачи в гельдеровских пространствах / Мат. заметки ЯГУ, 2005. Т. 12, № 1. С. 95-105.
132. Пинигина Н.Р., Попов С.В. Регулярная разрешимость краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени / Мат. заметки ЯГУ, 2005. Т. 12, № 2. С. 52-59.
133. Пинигина Н.Р., Попов С.В. Контактные параболические краевые задачи в гельдеровских пространствах // XXX Дальневосточная математическая школа-семинар им. Е.В. Золотова: тез. докл. — Хабаровск, 2005. С. 42-43.
134. Пинигина Н.Р. Попов С.В. Гельдеровская гладкость решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции / Вестник Самарского университета: естественнонаучная серия. 2007. № 2(52). С. 67-79.
