Решение задачи Коши и некоторых краевых задач для параболического уравнения с оператором Бесселя тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Решение задачи Коши и краевой задачи в четверти пространства для параболического уравнения с оператором Бесселя

§1. Принципы максимума для ограниченной области и полуполосы

§2. Решение задачи Коши для ^-параболического уравнения методом интегрального преобразования Фурье-Бесселя

§3. Решение краевой задачи для четверти пространства методом интеграла Фурье-Ханкеля.

Глава 2. Решение первой краевой задачи для Б-параболичес-кого уравнения методом потенциалов

§1. Постановка первой краевой задачи и теорема единственности

§2. Аналоги тепловых потенциалов типа простого и двойного слоев

§3. Сведение первой краевой задачи к интегральному уравнению второго рода

Глава 3. Решение первой краевой задачи для параболического уравнения с оператором Бесселя методом Фурье

§1. Постановка первой краевой задачи и теорема единственности

§2. Решение первой краевой задачи для полуцилиндра

§3. Решение первой краевой задачи для цилиндра.

§4. Решение первой краевой задачи для полушара.

Уравнения параболического типа встречаются во многих разделах математики и математической физики. В литературе по дифференциальным уравнениям в частных производных посвящены многочисленные исследования параболическим уравнениям или системам таких уравнений и, в частности, уравнению теплопроводности с начальным и граничными условиями, например, [17], [18], [32], [33], [51].

В теории дифференциальных уравнений в частных производных значительный интерес вызывают вырождающиеся и сингулярные уравнения, в том числе и уравнения, содержащие дифференциальный оператор Бесселя

Д, = —+ -—, к> 0. кд ду2 у ду'

Указанные уравнения часто встречаются в приложениях, например, в задачах с осевой симметрией в механике сплошной среды. Интерес к задачам, связанным с оператором Бесселя известен и со стороны других разделов физики.

Надо отметить, в задачах общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, содержащих по одной или нескольким переменным оператор Бесселя, основным аппаратом исследования является соответствующее многомерное интегральное преобразование Фурье-Бесселя.

Как известно, есть много параллелей между эллиптическими и параболическими уравнениями. В теории параболических уравнений, по одной из переменных которых действует сингулярный оператор Бесселя (0.1) также можно найти много общего с теорией эллиптических уравнений, по одной из переменных которых действует сингулярный оператор Бесселя

Ави = 0. (0.2)

Уравнения (0.1) и (0.2) И.А. Куприяновым [20] были названы соответственно 5-параболическими и В-эллиптическими уравнениями, когда на характеристической части границы задано условие типа четности, т.е. граничное условие

97/ 0. дсср хр=0

Здесь А в — Ах/ + Дгр, Ах> - оператор Лапласа, х' — (х\ ВХр - оператор Бесселя.

Впервые фундаментальные решения уравнения (0.2) при к = 1 и р — 2 были построены Е. Beltrami [52]. А. Вайнштейном (А. Weinstein) [53] этот результат был распространен на любое значение к > 0, а И.А. Куприяновым и В.И. Кононенко [21], [22] - на общие линейные Б-эллиптические уравнения. В этих работах фундаментальные решения с особенностью в произвольной точке построены с помощью оператора обобщенного сдвига [34] . Такие фундаментальные решения применялись к исследованию краевых задач с условием типа четности на характеристической части границы.

В дальнейшем теорию эллиптических уравнений, по одной из переменных которых действует сингулярный оператор Бесселя, развивали Н. Раджабов [43], Ф.Г. Мухлисов [39], P.M. Асхатов [1] и др.

В работе Я.И. Житомирского [16] была изучена задача Коши для параболической системы линейных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными х и t, содержащих оператор Бесселя.

Найдены классы корректности задачи Коши. Для решения этих вопросов им был использован метод интегрального преобразования Фурье-Бесселя по переменной х.

Фундаментальные матрицы решений параболических систем, содержащих оператор Бесселя, использовались в работах В.В. Крехивско-го, М.И. Матийчука [29], [30], и М.И. Матийчука [36], [37] для установления априорных оценок решений краевых задач по норме.

С.А. Терсеневым [48] были построены потенциалы для одного параболического уравнения с оператором Бесселя и для этих потенциалов установлены оценки в различных функциональных пространствах.

В работе И.А. Киприянова, В.В. Катрахова, В.М. Ляпина [23] изучаются краевые задачи для параболических систем общего вида, в которых по одной из пространственных переменных действует сингулярный оператор Бесселя, в цилиндрической области, основанием которой является область, прилегающая к гиперплоскости, где сосредоточены особенности. Указанные краевые задачи рассматриваются в классах Гельдера и в весовых функциональных пространствах.

Связь теории сингулярных уравнений с теорией вырождающихся уравнений позволяет применить к ней методы, разработанные для последних. Вырождающиеся уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными смешанного типа и число опубликованных работ по этой тематике весьма значительно. Так, в работах К.Б. Сабитова [44], [45] исследованы краевые задачи для уравнения смешанного типа и выяснены их корректность.

Задача Коши и краевые задачи для параболических уравнений с оператором Бесселя изучены сравнительно мало. В этом направлении в основном исследования проводились методами функционального анализа. В прикладных задачах важное значение имеют классические методы решения краевых задач и задачи Коши для параболического уравнения с оператором Бесселя, с помощью которых решения этих задач представляется в виде ряда, интеграла или эти задачи сводятся к более простым задачам - интегральным уравнениям, решения которых могут быть найдены с любой степенью точности методом последовательного приближения.

В данной работе задача Коши для однородного и неоднородного ^-параболического уравнения решается методом интегрального преобразования Фурье-Бесселя. Краевая задача в четверти пространства для параболического уравнения с оператором Бесселя с нулевым граничным условием на характеристической части границы решается методом интеграла Фурье-Ханкеля. Решения данных задач строятся в явном виде. Первая краевая задача для ¿^-параболического уравнения в произвольной области с гладкой границей решается методом потенциала. Строятся аналоги тепловых потенциалов и с помощью их первая краевая задача для этого уравнения сводится к интегральному уравнению второго рода. Также первые краевые задачи для параболических уравнений с оператором Бесселя в цилиндре, полуцилиндре, полушаре решаются методом Фурье. Решение представляется в виде рядов по тригонометрическим функциям, бесселевым функциям, многочленам Якоби(Гегенбауэра) или весовым сферическим функциям.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Асхатов P.M. Принцип экстремума и задача Дирихле для одного сингулярного эллиптического уравнения в многомерном случае / Казанский гос. пед. университет. - Казань, 1999. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, N 3525-В99.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1973. т. 1. - 294 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1974. т. 2. - 295 с.

4. Берс JL, Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. - 352 с.

5. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. — 4.1. М.: ИЛ, 1949. -798 с.

6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — 4-е изд. -М.: Наука, 1981. 512 с.

7. Гарипов И. Б. О задаче Коши для одного В-параболического уравнения // Труды математич. центра им. Н.И. Лобачевского (Материалы Междунар. науч. конф. (Казань, 1.10-3.10.2000)). Т. 5. - Казань.: УНИПРЕСС, 2000. - С. 65-66.

8. Гарипов И. Б. Краевая задача для одного Б-параболического уравнения / Казанский гос. пед. университет. — Казань, 2000. 13 с. -Деп. в ВИНИТИ 17.11.00, N 2930 - В00.

9. Гарипов И.Б. О задаче Коши для одного вырождающегося параболического уравнения // Труды математич. центра им. Н.И. Лобачевского (Материалы межвуз. науч. конф. (Казань, 22.10-24.10.2001)).- Т. И. Казань.: УНИПРЕСС, 2001. - С. 65-67.

10. Гарипов И. Б. Решение краевой задачи для Б-параболического уравнения методом Фурье в прямоугольнике // Труды 12-й науч. межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". — Ч. 3.- СамГТУ, ИАР. Самара, 2002. - С. 27-29.

11. Гарипов И. Б. Решение первой краевой задачи для Б-параболичес-кого уравнения методом потенциалов // Изв. вузов. Математика. -2002. N9(484). - С. 60-63.

12. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963. 1100 е., илл.

13. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя // Матем. сб. 1955. - т. 36(78). - вып. 2. - С. 299-310.

14. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук.- 1962. т. 17. - N 3(105). - С. 3-146.

15. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи матем. наук. 1960. - т. 15. - N 2. - С. 97-154.

16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматгиз, 1961. - 703 с.

17. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. — М.: Наука. Физматлит, 1997. 208 с.

18. Киприянов И. А., Кононенко В. И. О фундаментальных решениях уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя // ДАН СССР. 1966. - т. 170. - N 2. - С. 261-264.

19. Киприянов И. А., Кононенко В. И. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений // Дифференц. уравнения. 1967. - т. 3- N 1,- С. 114-129.

20. Киприянов И. А., Катрахов В. В., Ляпин В. М. О краевых задачах в областях общего вида для сингулярных параболических систем уравнений // ДАН СССР. 1976. - т. 230. - N 6. - С. 1271-1274.

21. Киприянов И. А., Ключанцев М. И. О функциях Грина для задач с дифференциальным оператором Бесселя // ДАН СССР. 1968. - т. 183. - N 5. - С. 1005-1007.

22. Киприянов И. А., Ключанцев М. И. О ядрах Пуассона для краевых задач с дифференциальным оператором Бесселя // Дифференциальные уравнения с частными производными. М., 1970. - С. 119134.

23. Ключанцев М. И. Формула представления решений неоднородной краевой задачи с оператором Бесселя // Дифференц. уравнения.1969. т. 5 - N 12 - С. 2237-2244.

24. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. 712 е., илл.

25. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. 304 с.

26. Крехивский В. В., Матийчук М. И. Фундаментальные решения и задача Коши для линейных параболических систем с оператором Бесселя // ДАН СССР. 1968. - т. 181. - N 6. - С. 1320-1323.

27. Крехивский В. В., Матийчук М. И. О краевых задачах для параболических систем с оператором Бесселя // ДАН СССР. 1971. - т. 199. - N 4. - С. 773-775.

28. Крикунов Ю. М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. — Казань: Изд-во Казанского унив-та,1970. 209 с.

29. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейнные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. 736 с.

30. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. — М.: Наука, 1971. 288 е., илл.

31. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи матем. наук. 1951. - т. 6. - N 2. - С. 102-143.

32. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и сингулярные псевдодифференциальные операторы // Дифференц. уравнения. 1985. -т. 21. - N 6. - С. 1020-1032.

33. Матийчук М.И. Фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применения к краевым задачам. II // Диференц. уравнения. 1975. - т. И. - N 7. - С. 1293-1303.

34. Матийчук М.И. Фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и их применения к краевым задачам. III // Диференц. уравнения. 1978. - т. 14. - N 2. - С. 291-303.

35. Михлин С. Г. Курс математической физики. — М.: Наука, 1968. -576 е., илл.

36. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений. Дисс.док. физ.-мат. наук. — Казань, 1993.- 324 с.

37. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Л.-М.: ГТТИ, 1934. - т. 1. -330 с.

38. Панич О. И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка // Матем. сб. 1960. - т. 50. - вып. 3. - С. 335-368.

39. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными.М.: Физматгиз, 1961. 400 с.

40. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. — Ч.З. Душанбе, 1982. - 171 с.

41. Сабитов К. Б. О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго рода на границе бесконечной области // Сиб. мат. ж. 1980. - т/ 21. - N 4. - С. 146-150.

42. Сабитов К. Б. Задача типа Трикоми для уравнения смешанного типа с сильным характеристическим вырождением // Дифференц. уравнения. 1984. - т. 20. - N 2. - С. 333-337.

43. Смирнов В.И. Курс высшей математики. — M.-JL: ГИТТЛ, 1950.- т.З. 672 с.

44. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1979. - 416 с.

45. Терсенев С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. — Новосибирск: Наука, 1985. - 105 с.

46. Тихонов А. Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных. — Бюлл. Моск. унив. 1938 - т. 1. - сер.А - N 9. - 45 с.

47. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1972. 736 е., илл.

48. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. - 427 с.

49. Beltrami Е. Sulla teoria delle funzioni potenziali symmetriche // Rend. Accad. sei. di bologna. 1881. - vol. 2. - P. 461-505.

50. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. - V.63. - P. 342-354.