Полное преобразование Фурье-Бесселя и сингулярные дифференциальные уравнения с DB-оператором Бесселя тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

р

УДК 517.518.23

На правах рукописи

484¿а

РАЙХЕЛЬГАУЗ ЛЕОНИД БОРИСОВИЧ

ПОЛНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ

И СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ С Ив -ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 7 ЯНЗ 2011

Воронеж — 2011

4842915

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ляхов Лев Николаевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Алхутов Юрий Александрович,

доктор физико-математических наук, доцент Глушко Андрей Владимирович.

Ведущая организация: Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена

Защита состоится 18 января 2011 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ••¿Г- декабря 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физико-математических наук, профессор

Актуальность темы диссертации.

Задачи для дифференциальных уравнений с особенностью в коэффициентах давно и хорошо известны. Однако методы их решения не являются стандартными и, как правило, зависят от характера особенностей уравнения. Один из подходов, развитый И. А. Киприяновым и его научной школой (Л.А. Иванов, В.В. Катрахов, М.И. Ключанцев, Л.Н. Ляхов и др.), заключается в использовании интегральных преобразований, приспособленных именно к данной особенности. В диссетрацпи исследуются уравнения с -Од-оператором Бесселя, появление которого можно проследить даже в классических задачах. Например, применение интегрального преобразования Фурье-Бесселя для определения фундаментального решения £т,п,-у полигармонического уравнения Дш/ == 0 в Пп приводит к следующей задаче Коши с весовыми начальными условиями, определяемыми младшими Дв-производными:

уравнение - В^^^г) = ¿„_ь где -В„-1 = + ^ $ ;

/ Нтг^0гм£)|т-1б:т,п,7(г)=ш^т, ц=п- 1, начальные условия — < :" 1йн™Л

[ 1нпг_,о г»йкв£т<па{г)= 0, к= 0,1,... , 2т - 2,

где ^(гг)! — площадь единичной сферы в Пп , а

к = 21 + 1

пк _ I -Вд , к-21,

в ) а г>(к-1)/2 , . , ' ' - х' А ••• •

Как видим, даже при исследовании классических задач приходится иметь дело с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя •Од порядка к ■ Этот оператор появляется и совсем в простых задачах, например, В(и у) = Ви V + 2и'у' + и Ви, но здесь первые производные это и есть оператор (первого порядка). Уравнения с -оператором Бесселя естественно исследовать, используя специальное „полное" смешанное преобразование Фурье-Бесселя (введено И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым), поскольку в его образах этот оператор имеет весьма обычный символ — (г£)к ■ Ясно, что соответствующая методика оказывается общей и может применяться к более широкому классу операторов, например, к оператору с особенностью на координатных

п

гиперплоскостях: Д+ ^ , где Д — оператор Лапласа в Пп ,

¿=1

г—-\/х1+ ... , Щ—О, 1, а кг — действительные числа. Конечно, и сама методика нахождения фундаментального решения, и возможности ее применения к новым сингулярным уравнениям открывают новые перспективы в теории сингулярных дифференциальных уравнений, поэтому ее разработка представляется актуальной. Интерес вызывает и другая проблема: как решать (в рамках полного преобразования Фурье-Бесселя) задачи для наиболее общих дифференциальных уравнений и систем с Ид -оператором Бесселя. В 50-х годах исследование систем дифференциальных уравнений в рамках теории обобщенных функций (распределений), с применением интегрального преобразования Фурье, было инициировано И.М.Гельфандом, Г.И. Шиловым. В.М. Борок применила теорию мультипликаторов для построения интегральных представлений решений таких систем. Известен подход В.М. Борок, развитый Я.И. Житомирским еще в 1955 году к системам с оператором Бесселя одного индекса (изотропная сингулярность), когда роль преобразования Фурье выполнило преобразование Фурье-Бесселя. Гц -мультипликаторы (смешанного преобразования Фурье-Бесселя) введены в 1997 году И.А.Киприяновым, Л.Н. Ляховым. Распространение подхода Гельфанда-Шилова-Борок для исследования систем уравнений с -оператором Бесселя, используя при этом теорию Рд -

мультипликаторов, является актуальной задачей для современной теории дифференциальных и сингулярных дифференциальных уравнений. Кроме того, актуальной задачей для математического анализа представляется изучение и приложения „полного" преобразования Фурье-Бесселя, введенного ранее И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым.

Цель работы. 1) Разработать методику применения полного преобразования Фурье-Бесселя к исследованию операционным методом задач Коши для обыкновенных сингулярных уравнений с -оператором Бесселя и весовыми начальными условиями. Найти фундаментальное решение оператора с особенностью типа ^ на координатной гиперплоскости. 2) Исследовать нормальные системы дифференциальных уравнений с £>"/ -операторами Бесселя разного индекса по разным направлениям (анизотропная сингулярность). Доказать соответствующие теоремы о существовании и единственности решения. 3) Примененить вариант критерия - мультипликатора для

вектор-функции к исследованию решений систем линейных сингулярных дифференциальных уравнений. 4) Получить интегральную форму решений нормальных систем линейных сингулярных уравнений и сингулярных параболических уравнений с -оператором Бесселя.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах И.А. Киприянова и его учеников при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Найдено фундаментальное решение сингулярного

( 2 \ТП

х1 случая, когда 7> —

действительные числа, удовлетворяющие условию > 1. В случае,

если все числа ^ > 0, этот оператор называется В-полигармоническим. Дано интегральное представление фундаментального решения

П ш

более общего оператора Дв+ ^ 'хг ' , где А и — оператор

1=1 ' '

Лапласа-Бесселя в Дп , г= + ... , = 0, 1 при условии

П+ Ы + >

2. Доказана теорема о представлении фундаментального решения обыкновенного сингулярного уравнения с постоянными коэффициентами, сингулярность которого порождена соответствующими степенями Дв -оператора Бесселя.

3. Доказаны теоремы существования и единственности решения систем сингулярных уравнений с -Од -операторами Бесселя разных индексов по некоторым переменным.

4. Получена интегральная форма решений систем сингулярных параболических систем уравнений с Бд -операторами Бесселя разных индексов по некоторым переменным.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное описание математических объектов. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, в теории сингулярных дифференциальных уравнений и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль в 2008 г., в 2010 г., на научной конференции "Герценовские чтения" в г. С.-Петербурге в 2009—2010 гг., на международной конференции "Современные проблемы математики и их приложений" в г. Москве, в 2009 г., на международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" в г. Воронеже в 2009—2010 гг., на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" в г. Минске, Беларусь в 2009 г., в Российской Школе-конференции с международным участием "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании" в Российском университете дружбы народов, Москва 2009 г., в Воронежской зимней математической школе в 2010 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [1] — [11] . Из совместных публикаций [1],[2],[5],[9],[11] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [11] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3-х глав и списка цитируемой литературы, включающего 42 наименования. Общий объем диссертации 110 стр.

Краткое содержание диссертации.

Перейдем к изложению содержания диссертации. При этом мы сохраним нумерацию основного текста диссертации.

В главе 1 приводятся определение и необходимые свойства полного прямого и обратного преобразования Фурье-Бесселя. Ядром этих преобразований являются функции Л^ = (з:£) т г]-_<±± (х(), где

' 2 7~г1 2

Эч ~ .ЬФУНКЦИЯ Бесселя, связанная с функцией Бесселя первого рода формулой = . Для функций, определенных в П\ , по

определению полагаем

— оо

оо

2 ' —ОО

Весовое пространство функций Лебега порождается весовой

линейной формой (и, у)1 — / и(х) ь(х) х7 (1х . Имеет место следующий вариант теоремы Ганеля об обращении.

Теорема 1.2.1. Пусть 7 > 0 и / € Ь^ . Тогда имеют место следующие взаимно обратные формулы

т = Г» Щ**) я*) . /<*> = ^ г» л7- ю По (е^ч,

которые нужно понимать следующим образом:

1) V/ е ^(-оо,оо) функция Ш = 1^пА7(х01(х)(х2Г/Чх также принадлежит классу ^(—00,00) при п > 0 и последовательность {/п(0} сходится в среднеквадратичном с весом (х2)7/2 при п —* оо . Предельная функция /(£) = Л+(х£) /(х) (х2)7/2 ¿х принадлежит весовому функциональному пространству Ь2(0,00) ;

2) имеет место равенство Парсеваля

По 1Л012 = 27Г2 (^1) /0°° |/(х)|2 (х^Чх;

3,) справедлива обратная формула

/(*) = Пт^ос /_"„ /(0 (£2)7/Ч •

Через Б — 3(Лу) будем обозначать пространство основных функций Л. Шварца, а через — его подпространство, состоящее из функций четных по каждой из переменных ,Т|, ..., х„ .

Из теоремы 1.2.1 вытекает, что для любой функции / € ^¿Ч-Ы/]] = /; ^в^1!/]] - /• Для функций ср 6 5е„ эти формулы обращения известны еще с 50-х годов прошлого столетия. Ее доказательство можно найти в одной из работ И.А. Киприянова 1967 года. В диссертации ипользована схема этого доказательства для распространения его на полное преобразование Фурье-Бесселя.

Дифференциальные операции с оператором Бесселя. Пусть / = /(х) — четная по х функция, принадлежащая пространству Шварца основных функций. Тогда для целого числа т

ЫвтМ) = {Ч?тЫМ)-, т = М)2т+1Гв{М)-

Следует особо подчеркнуть, что эти формулы справедливы только для четных функций. Поэтому и решения соответствующих уравнений

с Db -оператором Бесселя ищутся только в классах четных функций. И это несмотря на то, что обращение Тв -преобразования справедливо для произвольных функций из основного пространства Л.Шварца.

Пусть L{DB) = Y,a<2ma<*DB> гДе а<>- — постоянные коэффициенты и оператор D'f¡ задается равенством

f Вт/2 а = 2т

Щ = | лв(т-1)/2 а _ 2т + 1 т = °> 2, тогда в образах полного

преобразования Фурье-Бесселя действие этого оператора примет вид: ГвЩОвШО = L(iOFB{№).

Тв -преобразование и обобщенная свертка четных функций. Четное преобразование Фурье-Бесселя порождает обобщенный сдвиг Т* : /—>Ту=С(7) f(\/x2+y2 —2ху cosa) sin7-1 a da по формуле FB(uv)={FB[u] * Fb[d])7 , где (и * v)7= /0+°° u(y) T*v(y) y<. Однако полное преобразование Фурье-Бесселя не порождает обобщенного сдвига в том смысле, в котором он определен Б.М.Левитаном в созданной им теории обобщенного сдвига. Этот факт принципиально отличает Тв -преобразование и от преобразования Фурье, и от четного преобразования Фурье-Бесселя Jrev=FB и создает трудности принципиального характера при применении Тв -преобразования к дифференциальным уравнениям.

Глава 2 посвящена обыкновенным дифференциальным уравнениям с DB -оператором Бесселя.

Введем основные пространство функций, типа пространств П.И. Лизоркина основных функций.

Определение 2.1.1. Обозначим через Ф7=Ф7(/?^) основное пространство функций, построенное следующим образом: пусть

Ф7(Д+) = {ф : ф £ , (Bkip)(0) = 0, |*| = 0,1,2,...}

— пространство функций, исчезающих в начале координат вместе со всеми В-производными В^ = (-щ + • Тогда

Ф7(Д+) = : у? =

Лемма 2.1.1. Пусть Р(х) — произвольный многочлен с постоянными коэффициентами. Класс Ф7 состоит из тех и только тех функций, которые ортогональны четным многочленам Р(х2).

Далее рассматриваем функцию гЛ как элемент сопряженного пространства Ф^ В этом случае существует ее (одномерное) преобразование Фурье-Бесселя.

Теорема 2.1.1. Четное преобразование Фуръе-Бесселя , отвечающее индексу 7 функции ¿Л = 1-1 , понимаемое в смысле обобщенных функций Ф'д , вычисляется по формуле

{¿«-7-1, а ^ 7 + 1 + 2/г, аф —2к, к = 0,1,2,... ¿«-т-Чп!, а =7 +1 + 2 к, к= 0,1,2,...

а = -2к, £ = 0,1,2,...

(2.1.6)

где 5у -функционал Киприянова, а множитель ша>7 равен:

-1 2 а^7+1 + 2к, а^-2к, к = 0,1,2,...

С-Г')! ' а = Ч + 1 + 2к> к = 0,1,2,... •

1, а = -2к, к = 0,1,2,...

Если г = |х| расстояние до начала координат в Дп и п > 2, то формула для ^в[гА] известна — И.А. Киприянов, В.И. Кононенко получили ее в 1969 г. для смешанного преобразования Фурье-Бесселя, и в анизотропном случае (по разным направлениям действуют преобразованитя Бесселя разных индексов), при том же условии п > 2, она получена Л.Н. Ляховым.

Формула (2.1.6) использована в диссертации для вычисления фундаментального решения оператора

д - V э2, | а к+-1 7г>0 к~-\ 7*<0

Х4 0, 74<0 4 0, 7<>0 -

При условии и = ^ к^ — > 1 ~ п • Фундаментальным решением

оператора Дд±7 ( т — 1,2, ...) является функция

¿"т,п,1/(г) = Шп,„,т г2™-"-1', = -( ^ ^("з" В ЧаСТНОМ

22т-1ж^Г- Г(гта) г(-г^)

случае из нее вытекают формулы фундаментальных решений для

оператора Лапласа (то = 1, к* = 0), полигармонического оператора

( к* — 0) и В -полигармонического оператора (= 0 ).

Теорема 2.5.1. Пусть регулярная весовая обобщенная функция

/ принадлежит пространству медленно растущих распределений Б',

а функция цщ является мультипликатором этого пространства. Тогда весовая обобщенная функция и(х) = [^¿Щ^] (х) является решением уравнения L(Db)u = /.

Теорема 2.5.2. Пусть регулярная весовая обобщенная функция / принадлежит пространству медленно растущих распределений S', а функция -ццу является мультипликатором этого пространства. Тогда решение уравнения L(Dg)u = / имеет следующее представление в виде весовой обобщенной свертки

Ф) = У^ЛЫШу) т* [гш]) (2/) У1 *У>

где Тх — обобщенный сдвиг.

Фундаментальным решением оператора L(Dß) называется весовое распределение £, удовлетворяющее уравнению L(Db)S = 5.

Лемма 2.6.1. Для того, чтобы обобщенная функция и = £ £ S'ev была фундаментальным решением оператора L(DB), необходимо и достаточно, чтобы ее четное преобразование Фурье-Бесселя удовлетворяло уравнению iß [£](£) = 1, где L(£) =

Теорема 2.6.1. Фундаментальное решение оператора L(Db) представляется в виде Е{х) = 0{х) Z(x), где 0(2;) — функция Хевисайда, а четная функция Z(x) является решением в Ri однородного уравнения L(Db)Z{x) — 0, удовлетворяющего весовым начальным условиям

lim х< Z(x) = ... = lim х~> D^Zfx) = 0, lim хi £-Bm-lZ(x) = 1;

x—»+0 4 J x—»0 B W ' x-,0 dx V '

и условию ограниченности lim x1 DßZ{x)<oo, Va<2ra.

X—»oo

Глава 3 посвящена задаче Коши для систем сингулярных дифференциальных уравнений с Db -оператором Бесселя (и параболических систем). Доказаны теоремы существования и единственности решения этой задачи Коши в соответствующем классе обобщенных вектор-функций.

Пусть Л^=Л+хЛдг_„, Л+ = {х:Х1>0, ... ,хп>0} и пусть а=(а',а") — целочисленный мультииндекс длины |q|=qi + ... + а^ . Используем обозначения {Db)"' = , • • •, ) > гДе

0^=2 к, щ=2к + 1,

к=0,1,2, ... , В-=

з Ох* Xj Охj >

> 0 и = (£>х , • • •, ) — дифференциальный вектор из

обычных производных Ох. = I .

Рассмотрим следующую систему линейных сингулярных дифференциальных уравнений в частных производных

здесь = (и\(х,Ь),..., ит(х, <)) — искомая вектор-функция с

т компонентами, зависящая от времени Ь € Я*, < > 0 и от пространственных переменных х — (х',х"), х' € /?,+ , .т" 6 Лдг_п, четная по каждой из переменных гех,..., хп ; оператор Р ((Оц)х^ (П)хи) представляет собой т х т матрицу, элементами которой являются полиномы от -производных по переменным х' и обычных производных по переменным х" с коэффициентами, непрерывно зависящими от времени í .

Задача Коши ставится следующим образом: найти решение матричного уравнения (3.3.1), удовлетворяющее начальному условию

где ио(х) — заданная вектор-функция.

Уравнение (3.3.1) истолковывается как уравнение относительно соответствующей обобщенной вектор-функции, принадлежащей по переменной х некоторому фиксированному пространству регулярных обобщенных вектор-функций Ф'(Д^).

Применение к (3.3.1-2) смешанного полного преобразования Фурье-Бесселя дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(3.3.1)

и(ж,0) = и0(х),

(3.3.2)

(3.3.3)

с начальным условием

v(^0) = v0(O=щ(O■

(3.3.4)

Существует матрица нормальной фундаментальной системы решений (3.3.3) (для общности полагаем, что начальное условие поставлено в произвольной точке ¿0) элементы которой

представляют собой аналитические функции от £ = (£ъ ... ,£лг) •

Формально решение задачи (3.3.1-2) получается применением обратного четного преобразования Фурье-Бесселя в следующем виде:

и(х,10,1) = [ } (х,г).

Для обоснования этой формулы введем подмножества множества > имеющего одновременно и четное и нечетное бесконечно дифференцируемое продолжение по весовым переменным х\, I = 1,2...,п на все Т1п. Это подмножество состоит из функций, вырождающихся на сингулярной гиперплоскости оператора Бесселя вместе со всеми производными и В-производными любого порядка:

Ф7(д+) = : ф(х) 6 ((£>в)а' О-:) ^ = о|, где

а! и а" — произвольные целочисленные мультииндексы размерности п , N — 71 соответственно и

Ф7(Д+) = {^: <р = Рв[ф}}.

П.И. Лизоркин в ряде работ рассматривает аналогичные основные пространства функций, исчезающих в начале координат, а также основные пространства функций, исчезающих на координатных гиперплоскостях. Основное пространство функций, исчезающих на сингулярной гиперплоскости оператора Бесселя, введено Л.Н. Ляховым. Введенное выше пространство Ф7(Лд,) является его обобщением, т.к. здесь вместо оператора Бесселя применен -операгр Бесселя.

Имеет место следующий вариант теоремы Гельфанда-Шилова о свертывателе.

(Теорема об обобщенном свертывателе). Если регулярное весовое распределение д является мультипликатором в пространстве Ф'(Д]у), то весовое распределение / = — обобщенный свертыватель

в пространстве распределений Ф'(Д^) = и для любого

распределения Д 6 Ф(Д^) имеет место равенство ^в[(/ * /1)7] =

ад] ад^-

Теорема 3.5.1. Если в пространстве Ф7(Д^) = основных функций (следовательно, и в пространстве весовых

распределений Ф!y(R%) ) элементы матрицы Q(^,t0,t) являются мультипликаторами при любом t > 0, причем собственные значения являются различными и отрицательными, то система (3.3.3) имеет решение при любой начальной весовой обобщенной вектор-функции «о(£) G Ф'<т>(Д&): v{Ç,t) = Û{Ç,t) = Q(Î,0,i)wa(O, причем это решение непрерывно зависит от начальной вектор-функции Vo(Ç) в смысле непрерывности, установленной для пространства распределений Ф•

Теорема 3.5.2. Если в пространстве Ф7(Д^) основных функций •ф (следовательно, в весовом пространстве распределений Ф'^ ) элементы матрицы Q(Ç,to,t) являются мультипликаторами при любых t, 0 < t < ¿0) причем собственные значения являются различными и отрицательными, то система (3.3.3-4) может иметь лишь единственное решение в классе Ф.

Решение задачи Коши (3.3.1-2) при выполнении условий теоремы 3.5.1 можно получить на основании теоремы о свертывателе. Однако, теорема 3.5.1 накладывает ограничения на рост матриц Q(£,0,t) (£ = а + гт) при о —► оо. И действительно, согласно критерию F в ~ мультипликатора, чтобы матрица 0, t) была мультипликатором в пространстве Ф7 основных функций, достаточно, чтобы она и все ее производные (и Dg -производные по х' ) росли на вещественной оси не быстрее некоторого полинома:

\(DB)i,DÏ„Q{<7At)\ < С( 1 + \а\2)\ (3.5.6)

к > 0 — фиксировано, а целочисленный мультииндекс q = ((/, q") — произвольный.

Системы, для которых выполняется условие (3.5.6) будем называть регулярными. Итак, для регулярных систем (3.3.1) матрица •^"г?1 [<3(£i ^о,t)] является свертывателем в пространстве Ф'(1?,д.) = Rx), и имеет место формула свертки (с интегрированием в Яд,, на что указывает знак у скобки, обозначающий весовое скалярное произведение):

u(x,t) = F-1 [„(£,t)] = Fв1 m,0,t) «„(£)] = (Fg1 №,0,t)] * «о(®))л+>7 -

и(х, 4) = 1 [ЭД, о, 0] * Мх))а+Ыл • (3-5.7)

Формула (3.5.7) дает вид решения задачи Коши (3.3.1-2) для произвольных регулярных систем вида (3.3.1).

Следующие две теоремы, определяют класс начальных данных, в котором решение задачи Коши (3.3.1-2) существует и единственно.

Теорема 3.5.3 Если вектор-функция щ(х) удовлетворяет неравенству

¡щ(х)1 <С1(1 + х2)к, (3.5.8)

где к > 0 — произвольное целое число, то решение задачи Коши (3.3.1-2) существует в классе обощенных вектор-функций и(х,1), которые при каждом £ > 0 принадлежат пространству Ф1ДЛд,).

Теорема 3.5.4. Если вектор-функция щ(х) удовлетворяет неравенству (3.5.8), то решение задачи Коши всегда единственно в классе обобщенных вектор-функций ФЦД^}).

Публикации автора по теме диссертации

1. Райхельгауз Л.Б. Решение системы линейных сингулярных дифференциальных уравнений в образах полного преобразования Фурье-Бесселя / Л.Н. Ляхов, Л.Б. Райхельгауз // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам.— Тезисы докладов.— Суздаль: Математический институт им. В. А. Стеклова, Владимирский государственный университет, Владимирский государственный гуманитарный университет, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,— 2008.— С. 166 - 168.

2. Райхельгауз Л.Б. О применении полного преобразования Ганкеля к исследованию дифференциальных уравнений / Л.Б. Райхельгауз // Международная конференция "Современные проблемы математики и их приложений",— Тезисы докладов.— Москва: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.— 2009.— С. 195.

3. Райхельгауз Л.Б. Задача Коши для сингулярного дифференциального уравнения с весовым начальным условием / Л.Н. Ляхов, Л.Б. Райхельгауз // Герценовские чтения "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования 2009.— Материалы научной конференции,— Санкт-

Петербург: Российский гос. педагогический университет им. А.И. Герцена.— 2009.- С. 89 - 94.

4. Райхельгауз Л.Б. О применении полного преобразования Ганкеля к исследованию задачи Коши для сингулярного дифференциального уравнения с весовым начальным условием / Л.Б. Райхельгауз // Международная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики".— Сборник трудов международной конференции,— Воронеж: Воронежский государственный университет.-2009.- С. 146 - 149.

5. Райхельгауз Л.Б. Четное и нечетное преобразование Фурье-Бесселя и некоторые сингулярные дифференциальные уравнения / Л.Н. Ляхов, Л.Б. Райхельгауз // Международная конференция "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений".— Тезисы докладов.— Минск: Беларусь. Белорусский государственный университет, институт математики НАЛ Беларуси.— 2009.— С. 102 - 103.

6. Райхельгауз Л.Б. О задаче Коши для сингулярного дифференциального уравнения нечетного порядка / Л.Б. Райхельгауз / / Российская Школа-конференция с международным участием "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании".— Тезисы докладов.— Москва: Российский университет дружбы народов.— 2009.- С. 63 - 65.

7. Райхельгауз Л.Б. Пространство функций Лизоркина, исчезающих на сингулярной гиперплоскости оператора / Л.Б. Райхельгауз // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна - 2010.— Тезисы докладов.— Воронеж: Воронежский государственный университет, 2010, С. 164 - 167.

8. Райхельгауз Л.Б. Фундаментальное решение одного класса сингулярных параболических задач / Л.Б. Райхельгауз // Герценовские чтения "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования 2010.— Материалы научной конференции. Санкт-Петербург: Российский гос. педагогический университет им. А.И. Герцена - 2009. С.- 76 - 79.

9. Райхельгауз Л.Б. Фундаментальное решение сингулярного дифференциального уравнения с Б в - оператором Бесселя / Л.Н. Ляхов, Л.Б. Райхельгауз // Международная конференция

по дифференциальным уравнениям и динамическим системам.— Тезисы докладов.— Суздаль: Математический институт им. В.А. Стеклова, Владимирский государственный университет, Владимирский государственный гуманитарный университет, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.— 2010.— С. 119 -

10. Райхельгауз Л.Б. О применении полного преобразования Фурье-Бесселя к поиску фундаментального решения сингулярного дифференциального уравнения с оператором Бесселя./ Л.Б. Райхельгауз // Международная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики". —Сборник трудов международной конференции.— Воронеж: Воронежский государственный университет,- 2010 — С. 312 - 314.

11. Райхельгауз Л.Б. Задача Коши для параболических систем дифференциальных уравнений с D¡$ -оператором Бесселя. / Л.Н. Ляхов, Л.Б. Райхельгауз. // Вестник Воронежского государственного университета.— Серия физика и математика.— вып.2/2010,— С. 193 - 198.

Работа [11] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК

РФ.

Подписано в печать 08.12.10. Формат 60*84 '/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 80 экз. Заказ 1551.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

121.

Введение.

Часть 1. Полное преобразование Фурье-Бесселя, обратимость, свертки.

1. Введение.

1.1 Формулы обращения.

1.2 Полное преобразование Фурье-Бесселя и дифференциальные операции.

1.3 Свертки и псевдосвертки, порождаемые полным преобразованием Фурье-Бесселя.'.

Часть 2. О решениях сингулярных обыкновенных

В-дифференциальных уравнений с весовыми начальными условиями.

2. Введение.

2.1 Преобразование Фурье-Бесселя функции гл

2.2 Пример задачи Коши для обыкновенного сингулярного дифференциального уравнения с весовыми граничными условиями

2.3 Полигармоническое уравнение.

2.4. Полигармоническое уравнение с дробным индексом размерности пространства и В-полигармоническое уравнение.

2.5. Обыкновенные дифференциальные уравнения с оператором Бесселя.

2.6 Фундаментальное решение обыкновенного сингулярного дифференциального уравнения.

2.7 В-производные от функций с конечным весовым скачком

2.8 Пример — весовая задача Коши для сингулярного уравнения Бесселя.

Часть 3. Задача Коши для систем дифференциальных уравнений с Ив-оператором Бесселя

3. Введение.

3.1.Фундаментальные решения сингулярного оператора теплопроводности

3.2. Фундаментальные решения сингулярного оператора теплопроводности с особенностью на координатной гиперплоскости.

3.3 Системы дифференциальных уравнений с Дв-оператором Бесселя.

3.4 О теоремах Гельфапда-Шилова о мультипликаторах и свертывателях.

3.5 Общие формулы решения задачи Коши

3.6 Параболические системы.

Актуальность темы диссертации.

Задачи для дифференциальных уравнений с особенностью в коэффициентах давно и хорошо известны. Однако, методы их решения не являются стандартными и, как правило, зависят от характера особенностей уравнения. Один из подходов, развитый И.А. Куприяновым и его научной школой (Л.А. Иванов, В.В. Катрахов, М.И. Ключанцев, Л.Н. Ляхов и др.), заключается в использовании интегральных преобразований, приспособленных именно к данной особенности. В диссертации исследуются уравнения с ¿^-оператором Бесселя, появление которого можно проследить даже в классических задачах. Например, применение интегрального преобразования Фурье-Бесселя для определения фундаментального решения £т,п,7 полигармонического уравнения Дт/ = 0 в Лп приводит к следующей задаче Коши с весовыми начальными условиями, определяемыми младшими ¿^-производными: с12 , П-1 (1 . уравнение — = ¿пь где 1 = ^ + — 1

171,71,7 4' )— |51(П)|

Итго г» Б2™ 1^т1п>7(г)=1с-^, М=п- 1 начальные условия .

Нт^о к=О,1,. , 2т - 2, где | (гг) | — площадь единичной сферы в а

О* - I В»2' к = 21> I- 12

Как видим, даже при исследовании классических задач приходится иметь дело с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя Ив порядка к. Этот оператор появляется и совсем в простых задачах, например, В{иу) = Виу + 2и'у' + иВу, но здесь первые производные это и есть оператор ¿^ (первого порядка). Уравнения с ¿^-оператором Бесселя естественно исследовать, используя специальное „полное" смешанное преобразование Фурье-Бесселя (введено И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым), поскольку в его образах этот оператор имеет весьма обычный символ — Ясно, что соответствующая методика оказывается общей и может применяться к более широкому классу операторов, например, к оператору с особенностью на координатных

71 V гиперплоскостях: А+ !„г дх ' ^ оператор Лапласа в -Кп, 1 г=у/х\+. , сл=0, 1, а кг — действительные числа. Конечно, и сама методика нахождения фундаментального решения, и возможности ее применения к новым сингулярным уравнениям открывают новые перспективы в теории сингулярных дифференциальных уравнений, поэтому ее разработка представляется актуальной. Интерес вызывает и другая проблема: как решать (в рамках полного преобразования Фурье-Бесселя) задачи для наиболее общих дифференциальных уравнений и систем с £>^-оператором Бесселя. В 50-х годах исследование систем дифференциальных уравнений в рамках теории обобщенных функций (распределений), с применением интегрального преобразования Фурье, было инициировано И.М.Гельфандом, Г.И. Шиловым. В.М. Борок применила теорию мультипликаторов для построения интегральных представлений решений таких систем. Известен подход В.М. Борок, развитый Я.И. Житомирским еще в 1955 году к системам с оператором Бесселя одного индекса (изотропная сингулярность), когда роль преобразования Фурье выполнило преобразование Фурье-Бесселя. Ев-мультипликаторы (смешанного преобразования Фурье-Бесселя) введены в 1997 году И.А.Куприяновым, Л.Н. Ляховым. Распространение подхода Гельфанда-Шилова-Борок для исследования систем уравнений с -оператором Бесселя, используя при этом теорию Рв-мультипликаторов, является актуальной задачей для современной теории дифференциальных и сингулярных дифференциальных уравнений. Кроме того, актуальной задачей для математического анализа представляется изучение и приложения „полного" преобразования Фурье-Бесссля, введенного ранее И. А. Килрияновым и В.В. Катраховым.

Цель работы. 1) Разработать методику применения полного преобразования Фурье-Бесселя к исследованию операционным методом задач Коши для обыкновенных сингулярных уравнений с -О^-оператором Бесселя и весовыми начальными условиями. Найти фундаментальное решение оператора с особенностью типа — на координатной гиперплоскости. 2) Исследовать нормальные системы дифференциальных уравнений с .О -операторами Бесселя разного индекса по разным направлениям (анизотропная сингулярность). Доказать соответствующие теоремы о существовании и единственности решения. 3) Применить вариант критерия Рв~ мультипликатора для вектор-функций к исследованию решений систем линейных сингулярных дифференциальных уравнений. 4) Получить интегральную форму решений нормальных систем линейных сингулярных уравнений и сингулярных параболических уравнений с -оператором Бесселя.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах И.А. Киприяпова и его учеников при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Найдено фундаментальное решение сингулярного

2 о \ т дифференциального оператора (+ ^ ) для случая, когда ^ — действительные числа, удовлетворяющие условию п + ^7г > 1. В случае, если все числа 7г > О, этот оператор называется В-полигармоническим. Дано интегральное представление фундаментального решения более п общего оператора Ав+ X) к<х- ' э!"7' где — оператор Лапласаг=1

Бесселя в . , — 0, 1 при условии п+ ¡7| + ^ ^г > 1

2. Доказана теорема о представлении фундаментального решения обыкновенного сингулярного уравнения с постоянными коэффициентами, сингулярность которого порождена соответствующими степенями Ив-оператора Бесселя.

3. Доказаны теоремы существования и единственности решения систем сингулярных уравнений с ¿^-операторами Бесселя разных индексов по некоторым переменным.

4. Получена интегральная форма решений систем сингулярных параболических систем уравнений с .О^-операторами Бесселя разных индексов по некоторым переменным.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное описание математических объектов. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, в теории сингулярных дифференциальных уравнений и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль в 2008 г., в 2010 г., на научной конференции "Герценовские чтения" в г. С.-Петербурге в 2009—2010 гг., на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений" в г. Москве, в 2009 г., па международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" в г. Воронеже в 2009—2010 гг, на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" в г. Минске, Беларусь в 2009 г., в Российской Школе-конференции с международным участием "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании" в Российском университете дружбы народов, Москва в 2009 г., в Воронежской зимней математической школе в 2010 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [1] — [11] . Из совместных публикаций [1],[2],[5],[9],[11] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [11] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3-х глав и списка цитируемой литературы, включающего 42 наименования. Общий объем диссертации 110 стр.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1,2. М.: Наука. 1973. 294 с.

2. Борок В.М. Решение задачи Коши для некоторых типов систем линейных уравнений в частных производных. // Математ. сборник. 1955. Т.36 (78). № 2. С. 281-310.

3. Бохнер Лекции об интегралах Фурье. М.: ГИФМЛ. 1962.С. 360

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. С.512.

5. Гельфанд, И.М. Шилов Г.Е. Преобразование Фурье быстро растущих распределений и вопросы единственности решения задачи Коши // Успехи математ. наук. 1953. Т. VIII, вып. 6 (58). С.3-54.

6. Гельфанд, И.М. Шилов Г.Е. Обобщенные функции вып.1. Обобщенные функции и действия над ними / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. — М.: ГИФМЛ, 1959. — 470 с.

7. Гельфанд, И.М. Шилов Г.Е. Обобщенные функции вып.З. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: ГИФМЛ. 1958. С.275

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. "Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений"

9. Житомирский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений с оператором Бесселя. // Математ. сборник. 1955 Т. 36(78),№ 2. С.299-310.1(5), март 2007 г., с.121-130.

10. Киприянов И.А., Преобразование Фурье Бесселя и теоремы вложения для весовых классов . Труды матем. ин-та им В.А. Стеклова АН ССР, т.89 (2),(1967).

11. Киприянов И А. Сингулярные эллиптические краевые задачи.М.: Наука 1997. С. 200.

12. Киприянов И.А., Кононенко В.И. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных. // Дифференд. уравнен. 1969. Т. V/ № 8. С. 1470-1483.

13. Киприянов, И.А. Об ограниченности одного класса сингулярных интегральных операторов / И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // ДАН. 1969.— Т. 186. — N 6.— С. 740-743.

14. Киприянов И.А., Катрахов В.В., Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов. Математ. сборн.,104, № 1, (1977).

15. P.A. Krutitskii "The 2-D Neumann problem in a domain with cuts Rendiconti di Matematica, Serie VII, Volume 19, Roma (1999), 65-68

16. Левитан Б.M.Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя. // УМН, 1951, Т. 6, i 2, С. 102-143.

17. Левитан Б.М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. М.: ГИФМЛ. 1962, С. 323.

18. Лизоркин, П.И. Теоремы вложения для функций из пространства Lp(En) / П.И. Лизоркин // ДАН. 1962. — Т. 143. - N 5. - С. 1042-1045.

19. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом. Воронеж, ВГТА. 1997. 145 с.

20. Ляхов Л.Н. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию пространств Киприянова дробной B-гладкости и интегральным уравнениям с В-потенциальными ялрами. Издательство ЛГПУ, г. Липецк, 2007, 234 с.

21. Ляхов Л.Н. О свертывателях и мультипликаторах классов функций, связанных с преобразованием Фурье-Бесселя. ДАН. 1998. Т. 360, № 1. С.16-19.

22. Ляхов JI.H., Рыжков А.В. О решениях В-полигармонического уравнения // Дифференц. уравнен. 2000. Т.86. № 10. С. 1263-1269.

23. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитичности функций. // Бюллетень МГУ, секция А, выпуск 7. 1938.

24. Самко С.Г. Об основных функциях, исчезающих на заданном множестве, и о делении на функции. // Мат. заметки 1977,т. 21, № 667-689.

25. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

26. Hormander L. Pseudo-differential operators/ // Commun/Pure Apflied/ Math., 1965, 18. C. 501-517.

27. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные утравнения // Издательство МИР, Москва 1970.

28. Чечик В.А. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью // Труды Московского математического общества, 1959. Т.8, - С.151-198.

29. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука. 1964. С.442.

30. Райхельгауз Л.Б. Задача Коши для параболических систем дифференциальных уравнений с .Ов-оператором Бесселя. / Л.Н. Ляхов, Л.Б. Райхельгауз. // Вестник Воронежского государственного университета. Серия физика и математика. № 2/2010.— С. 193 198.