Краевые задачи для нелинейных уравнений переменного тока тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

государственный комитет российской федерации

по высшему образованию Хабаровский государственный технический университет

' ; ° ОНа правах рукописи

ПОДГАЕВ АЛЕКСАНДР ГРИГОРЬЕВИЧ

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ ПЕРЕМЕННОГО ТИПА

01.01.02 дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Хабаровск - 1995

Работа выполнена в Хабаровском государственном техническом университете

Официальные оппоненты: академик РАН М.М. Лаврентьев

Ведущее учреждение - Институт математического моделирования РАН

на заседании диссертационного совета д 064.62.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Хабаровском государственном техническом университете (680035, г. Хабаровск, Тихоокеанское шоссе, 136)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского государственного технического университета.

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Катрахов доктор физико-математических наук, профессор Е.И. Моисеев

• Защита состоится

Автореферат разослан

января 1996 г.

Ученый секретарь диссертационног совета, д.ф.-м.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Состояние вопроса и актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию корректности краевых задач для некоторых эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения. Такие уравнения, очевидно, обязаны быть нелинейными с нелинейностью в главной части. По аналогии с подклассом таких уравнений, вырождающимися уравнениями, такие уравнения можно назвать уравнениями с неявной сменой типа.

В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заранее заданные линии или поверхности или при достижении граничных точек. Это, прежде всего, линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля. Последним обнаружены важные приложения задач Трикоми и родственных задач к газовой динамике. Получив жизнь, этот новый объект стал обнаруживаемым и во многих других областях, ставя задачи совершенно нового типа. Это стало причиной возникновения широкого фронта исследований и больших научных групп.

В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы М.А. Лаврентьева, A.B. Бицадзе, М.В. Келдыша, A.B. Овсянникова, И.Н. Векуа, С.А. Чаплыгина, В. П. Ильина, Е.И. Моисеева, А. П. Солдатова, Т.Ш. Кальменова, И.М. Петрушко, М.М. Смирнова, В.П. Диденко, С.М. Пономарева и их научных школ. В.Н. Враговым и рядом авторов построена общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа. Эти исследо-

вания были продолжены в работах Г. Д. Каратопраклиева, А. Г. Кузьмина, Д.М. Расьяса, H.A. Ларькина, С.Г. Пяткова, И.Е. Егорова и других. Отметим, что некоторые ранние работы автора также посвящены (нелинейным) уравнениям смешанного типа.

К классу уравнений с изменением типа относятся и вырождающиеся уравнения, к настоящему времени из неклассических уравнений, видимо, наиболее изученные. Ввиду большого объема работ в этом направлении укажем только, что наиболее близкие нашим интересам исследования проведены в работах отечественных ученых: С.М. Никольского, П.И. Лизоркина, С. Г. Крейна, В.П. Глушко, П.Е. Соболевского, O.A. Олейник, Е.В. Радкевича,

B. В. Катрахова, А.И. Кожанова, Н.В. Кислова, С.А. Терсенова, A.M. Нахушева, Хе Кан Чера, И.М. Петрушко, Б.А. Бубнова, Ю.М. Крикунова, Ю.М. Березанского и многих других.

Единственный класс уравнений с неявным изменением типа, который поддался исследованию сравнительно давно, это нелинейные уравнения с вырождением на решении. Библиография этих исследований уже очень богата. Некоторые особые случаи таких уравнений рассмотрены и в диссертации. Первые результаты по таким уравнениям получены в работах O.A. Олейник, A.C. Калашникова, Чжоу Юй-Линь в 1958 году. Среди авторов, внесших существенный вклад в этой области, предложивших новые подходы и методы построения единой теории, отметим Л.А. Пелетье, S.-Л. Лионса, Ф.Е. Браудера, X. Брезиса, X. Трибе ля, Г.И. Баренблатта, Д.Г. Аронсона, Л. Каффарелли, М.И. Вишика, Р. Темама, Ю.А. Дубинского, П.А. Равьяра, A.A. Самарского, А.П. Михайлова, Т.И. Зеленяка, М.М. Лаврентьева-мл.,

C.Н. Кружкова, С. П. Курдюмова, О.А.Ладыженскую, С. И. Похожае-ва, H.H. Яненко, Х.Л. Васкеса, В.А. Галактионова, С.Н. Антон-

цева, В. Штраусса, Ю.Я. Белова, Р. Кершнера, Л.К. Эванса, 2.И. Диза и других. Особенно большое внимание уделено свойствам неотрицательных решений уравнений пористой среды, то есть решениям уравнений вида ut = др(и) + ^(и.ц,), где (p(s) = |s|"sign s. Соответствующую библиографию и многие результаты можно найти в монографии A.A. Самарского, В.А. Галак-тионова, С.П. Курдюмова и А.П. Михайлова "Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений". М.:Наука. 1987.

Кроме уравнений с неявным вырождением фактически единственным классом с переменой типа на решении, для которого удалось обосновать корректность краевых задач, является класс уравнений, меняющих направление параболичности на решении. Такие уравнения и рассматриваются в диссертации. Их линейным аналогом является класс неклассических уравнений - уравнения с переменным направлением времени. Простейшей моделью является уравнение а(х)1ц = u^,, где ха(х) > о при х*о и а(о) = о или га. Это уравнение при х * 0 является параболическим, однако для него задача Коши с данными при t = 0 не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С.А. Терсенова, A.M. Нахушева, Н.В. Кислова, И.Е. Егорова, С. Г. Пяткова, М.С. Бауэнди, С. Д. Пагани, Г. Таленти и других. Качественные свойства этих уравнений оказались довольно необычными. Так, если рассматривать краевые задачи с данными частично при t = 0 и частично при t = т , то в классах типа wj решение существует и единственно. Но более гладкие решения существуют только при условиях выполнения конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Если же решать задачу Коши при t > 0 с

данными при t = о в случае а(х)»-1, то, как известно, начальная функция не может быть произвольной, а обязана быть, по крайней мере, аналитической, и задача не корректна в классах конечной гладкости. С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, W.L. Miranker (1961 г.) нашел пространство аналитических функций, в котором эта задача в смысле Адамара корректно поставлена. А Т.Н. Зеленяком и М.М. Лаврентьевым-мл. приведен пример уравнения ut = kitju^, с коэффициентом k(t) = (1 + i-t)sin t, меняющим знак, имеющего (явно выписанное) бесконечно дифференцируемое решение первой краевой задачи с произвольной начальной функцией Uo(x) из ьг.

В уравнениях с неявным изменением возможности еще более разнообразны,сама постановка задачи зависит от входных данных.

"Так, в модельном уравнении погранслоя = Uyy смена направления параболичности происходит там, где решение и(х,у) меняет знак. Очевидно, что для этого уравнения можно поставить краевые задачи с неотрицательными данными при х = 0 и найти неотрицательные решения при х > 0. О.Б. Бочаровым (1979) показано, что для этого уравнения может оказаться разрешимой и задача Дирихле, когда данные разных знаков задаются на всей границе прямоугольника (0,1)х(0,а). Аналогичная ситуация имеет место и для уравнения вида »»(ujut = u^ (О.Б. Бочаров, 1982).

Интерес к этим уравнениям инициировал H.H. Яненко в 70-х годах, когда, накопив определенный теоретический и численный материал, он пришел к выводу, что эти уравнения должны быть основой • построения строгой модели турбулентности. (См. ЛарькинН.А., Новиков В. А., Яненко H.H. Нелинейные уравнения переменного типа. М.: Наука, 1983.)

Изучение этих уравнений оказалось весьма непростой задачей. В качестве первой модели в 1973 г. в работах H.H. Яненко

и В. А. Новикова было предложено уравнение Бюргерса

и* = и' (uju^ + UU* , (1)

с функцией w'(p). положительной только при больших |р| и имеющей интервал отрицательных значений. Свою уверенность в том, что для этого уравнения должна быть корректна задача с данными при t = 0 Н.Н. Яненко объяснял следующими эвристическими соображениями: как только у решения градиент, и,, попадает в плохую зону, где ь>' (и,) < о и нет устойчивости, происходит разболтка решения, резкий рост градиента и он "выскакивает" в хорошую область, где ы'(их)>о. Им же был предложен термин "уравнения переменного типа" для подобных уравнений. Другую встречающуюся терминологию мы уже упоминали по ходу изложения: уравнения смешанного типа, уравнения с переменным направлением времени (или параболичности), уравнение диффузии с немонотонной функцией состояния, уравнения со знакопеременным коэффициентом при старшей производной. За рубежом часто используется также термин forward-backward heat equation.

Разработке методов исследования и обоснованию корректности различных краевых задач для подобных уравнений, их регулярйзаций и систем посвящена данная диссертация.

Цель работы состоит в разработке методов обоснования корректности краевых задач в нелинейных уравнениях переменного типа, поиске новых корректных задач для этих уравнений, доказательств теорем существования решений.

Методика исследований. В диссертации используются методы линейного и нелинейного функционального анализа, теория обобщенных функций и распределений, теория операторов, методы теории уравнений с частными производными: метод регуляризации, Фаэдо-Галеркина и его модификации, метод дискретизации, методы

компактности, монотонности, сравнения, используется техника, основанная на получении и применении априорных оценок.

Научная новизна и практическая ценность. Исследования, изложенные в диссертации, проводились в соответствии с темами НИР Института теоретической и прикладной механики СО РАН, Института прикладной математики ДВО РАН и Хабаровского государственного технического университета. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Получены результаты об относительной компактности абстрактных функций со значениями в банаховых пространствах и их шкалах. Их применение возможно при доказательствах теорем разрешимости в широком классе нестационарных задачах для уравнений со сложными нелинейностями.

2. Обоснована разрешимость краевых задач в классах с неограниченным градиентом для вырождающихся (на решении) уравнений, имеющих экспоненциально растущий по градиенту коэффициент при старшей производной, либо коэффициент, обращающийся в бесконечность.

3. Исследована аппроксимирующая модель уравнения переменного типа. Предложена новая корректная краевая задача для уравнения Кортвега-де Вриза. Доказаны теоремы существования слабых и сильных решений уравнения Кортвега-де Вриза-Вюр-герса с немонотонной функцией состояния конкретного вида.

4. Для однородного уравнения диффузии с произвольной не монотонной функцией состояния построены сильно колеблющиеся решения первой краевой задачи, выделен класс единственности, обоснован принцип максимума для градиента решений.

5. Для широкого класса неоднородных диффузионных уравнений с немонотонной функцией состояния и начальной функцией с

суммируемым градиентом показано, что априорных оценок, справедливых для решений этих уравнений, достаточно для обоснования предельного перехода.

6. Рассмотрены новые двухточечные неклассические задачи для двух видов уравнений, меняющих направление параболичности на решении. Их корректность предложено обосновывать используя факт конечной скорости распространения возмущений.

7. Обоснована корректность краевой и начально - краевой задачи для системы обобщенных уравнений Прандтля, содержащей уравнения переменного типа. В стационарном случае представлены достаточные условия разрешимости. В нестационарном случае задача безусловно разрешима.

8. Исследована задача Стефана для нелинейного уравнения теплопроводности с вырождением на решении. Доказана разрешимость нового типа краевых задач с неизвестной границей.

9. Для уравнений переменного типа предложена новая постановка задачи с неизвестной границей (являющейся линией смены типа) и с неизвестным коэффицинтом в условии Стефана.

Все результаты диссертации являются новыми. Исследованные уравнения взяты из той или другой области механики, математической физики. В диссертации, в основном, рассмотрены уравнения с одной пространственной переменной. Это следствие новизны темы. Но разработанная методика может быть применена и при исследовании многомерных уравнений и уравнений других типов и порядков.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по неклассическим уравнениям математической физики в институте математики СО РАН (1979 - 1995 гг) (рук. акад. АТН, проф. В.Н. Врагов), на семинарах кафедры теории функций НГУ

(рук. проф. С.А. Терсенов), на семинарах отдела вычислительной физики ИТПМ СО РАН (рук. акад. H.H. Яненко), на семинаре по некорректным задачам маттематической физики в ИМ СО РАН (рук. акад. U.U. Лаврентьев), на семинарах Института прикладной математики ДВО РАН (рук. чл.-корр. Н.В.Кузнецов), на семинаре лаборатории ОПМА ИПЫ ДВО РАН (рук. проф. В.Д.Степанов), на семинаре математ. факультета Красноярского госуниверситета (рук. проф. Ю.Я.Белов), на семинарах "Функциональный анализ" (рук. проф. В. Д. Степанов) и "Дифференциальные уравнения" (рук. проф. А. Г. Зарубин) в Хабаровском государственном техническом университете, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными в ИМ СО РАН (рук. проф. Т. И. Зеленяк) , на семинаре "Математические модели механики сплошных сред" (рук. чл.-корр. РАН П.И.Плотников) в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, в Московском энергетическом институте на семинаре под рук. проф. Ю.А. Дубинского, в Московском государственном университете на семинаре кафедры общей математики (рук. проф. Е.И. Моисеев).

Основные положения докладывались на Всесоюзных школах-семинарах по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1980, 1981, 1989 гг.), на Всесоюзном семинаре "Некорректные задачи математической физики и анализа" (Новосибирск, 1982), на Международной конференции по дифференциальным »

уравнениям с частными производными, посвященной 75- летию акад. С.Л.Соболева (Новосибирск, 1983)! на Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными (Улан-Удэ, 1985), на Всесоюзной школе-семинаре, посвященной H.H. Лузину (Кемерово, 1983). на Всесоюзной школе-семинаре по некорректным задачам (Самарканд, 1983), на Советско-Чехословацком совещании по

дифференциальным уравнениям и функциональному анализу, на 16 и 17 Дальневосточной математической школе-семинаре (Находка, 1986, 1988), на Всесоюзной конференции по условно-корректным задачам математической физики и анализа (Новосибирск, 1992), на Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1994) , на Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1995), на Международной конференции "Современные проблемы прикладной и вычислительной математики" ШСА-95, посвященной 70-летнему юбилею акад. Г.И. Марчука (Новосибирск, 1995) и др.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах, список которых приведен в конце автореферата. Результаты работы [10] получены совместно с С. Г. Пятковым. Из совместной работы [2] с В.Н. Враговым в диссертацию включены результаты, непосредственно полученные автором.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 280 страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 218 наименований.

Рассмотрим ряд имеющихся результатов. Основополагающие работы этого направления выполнены H.H. Яненко, Т.И. Зеленяком и В.А. Новиковым. Начиная с 1974 г. с помощью техники, связанной с рассмотрением функционалов Ляпунова, развитой в работах Т. И. Зеленяка без использования предположения об их положительной определенности, для краевых задач с данными при t = 0 получены для уравнений типа (I) априорные оценки вида

IMLj + Ио'(и,)чЛ^ + sup(|u| + Kl) < с.

Доказаны теоремы существования для уравнений с регуляризатора-

ми вида cD4u, cDjDtu, теоремы существования вспомогательных задач и оценки для многомерного аналога уравнения (I). Цикл исследований уравнений переменного типа с регуляризаторами вида cDtAu имеется в работах А.И. Кожанова и H.A. Ларькина. В работах В.А. Новикова, H.H. Масловой, К. Ногеля и других эти задачи исследовались численными методами. Стационарным вариантам уравнений типа (I) посвящены работы P.P. Ахмерова. Об интересных результатах О.Б. Бочарова сказано при описании необычности постановок задач для уравнений с изменением типа. Большой цикл работ М.М. Лаврентьева-мл. посвящен изучению качественных свойств точных, а также приближенных решений уравнений переменного типа. Им в частности с помощью предложенной техники построения немонотонных функционалов Ляпунова второго порядка выведены очень сильные, весьма неожиданные, поскольку уравнение (I) вырождающееся, априорные оценки как с конвективным членом, так и без него. В частности, получена априорная оценка ц, в норме «¿(Qt-c) через входные данные. Чаще всего такая оценка, вместе с уже известной оценкой в l^Qt) , дает возможность обосновать теорему существования. В этом ее существенное преимущество по сравнению с ранее известными оценками. Однако в случае уравнений с неявным изменением типа самой априорной оценки может оказаться мало. Оценки же на приближенных

решениях не такие сильные и дают только слабую компактность,

г

не позволяющую перейти к пределу в главном нелинейном члене.

д

В 1983 г. К. Хеллиг для уравнения u. = — (i>(uj) с кусо-

ох

чно-линейной немонотонной функцией <р установил локальную по времени теорему существования (континуума) решений второй краевой задачи. В работах К. Хеллига, I.A. Ногеля и A.B. Лаира (1983-1985) исследованы вопросы единственности решений краевых

задач для уравнения и, = (?(их))г с немонотонной функцией р. удовлетворящей неравенству рЫв > овг. Вопреки результату К. Хеллига о континууме решений ими установлена единственность решений второй краевой задачи с и, € с1 и поставлен вопрос о выделении оптимального класса единственности.

М. Слемродом в 1989 "г. изучается многомерный вариант уравнения диффузии с немонотонной функцией состояния. В духе работ Л. Тартара и Ди Перна (1979-1985) его подход состоит в аппроксимации уравнением с членом сд^ и использованием т.н. мерозначных решений, получающихся предельным переходом из не имеющих достаточно сильных оценок приближенных решений. Этот подход во многих случаях полезен для изучения сходимости к равновесным состояниям, однако для предельных по с решений не удается показать, что предельное уравнение удовлетворяется почти всюду или хотя бы в смысле распределений.

Для уравнения и, = Др(и) с немонотонной <р, возникающего в теории фазовых переходов, новые понятия решения вводятся в работах П. И. Плотникова 1993-1995 гг. Используя регуляризацию вида сди, и подход М. Слемрода, в его работах показано, что слабые пределы решений служат решением введенной им двухтемпе-ратурной задачи Стефана, описывающей эффект гистерезиса.

Попытка перенести постановку задачи с заданной линией смены типа на уравнения у которых ее смена происходит на неизвестном решении, и тем самым на неизвестной линии, предпринималась в работах В.Н. Врагова, автора, М.М. Лаврентьева-мл. Впервые эта идея высказана в работах В.Н. Врагова 1978 и 1981 годов. Для доказательства корректности в работах [2-3] предложено использовать факт локализации возмущений, наблюдающийся в широком классе вырождающихся уравнений. Развитию этих идей

посвящены некоторые работы В.А.Новикова и В.Н. Гребенева.

Другая методика, не использующая факт локализации, но использующая свойство вырождения уравнения, позволила М.М. Лаврентьеву-мл. установить для аналогичной двухточечной задачи, но с произвольной заданной линией смены типа теоремы разрешимости и факт неединственности решений второй краевой задачи для некоторых классов уравнений вида и, = ы' (и,)и«.

Наконец, в последних исследованиях автора предложены новые двухточечные задачи, позволяющие находить неизвестную линию смены типа и носящие характер обратных задач с неизвестным коэффициентом в условии типа Стефана.

. Для нестационарных уравнений математической физики априорные оценки, как правило, имеют вид

|ul = Hlp(0,T;B2) + HLpi{0,TiB,) * где обычно вг = н8г(п), в, = Hs4n), в2 s в,. Одним из мощных методов доказательства разрешимости в нелинейных уравнениях является метод компактности. К.П. Обэном (1963) показано, что найдется промежуточное пространство в0 = н8°(п), где s0 определяется лишь тем условием, чтобы HSl компактно вкладывалось в Hs», при котором пространство, определяемое нормой |и|. компактно вкладывается в Lp(o,T;Hs°). Теоремы подобного типа разрабатывались Ж.Л. Лионсом и Ж.П. Обэном. Показано, что оценку производной Uf можно заменить оценкой производной дробного порядка. В работах Ж.Л. Лионса и других показана эффективность использования таких утверждений. В то же время обнаружилась и их недостаточность для случаев уравнений с нелинейностями в главной части. Продвижение в этом направлении произошло благодаря работам Ю.А. Дубинского, который обобщил эти результаты на случай, когда первое слагаемое в |и( заменено на выражение

Т 1/р

{ |мр(и)<1г } , вообще говоря не являющееся нормой, где м :

о

в2—> 5+, является однородной функцией, м(и)=о о и = о, и множество {у: м(у) < 1 } относительно компактно в некотором пространстве В0, вложенном в в,. Это позволило получить теоремы существования для уравнений типа фильтрации и других.

К.Х. Солтановым обобщены результаты Ю.А. Дубинского на случай пространств Орлича и квазинормированных множеств.

В гл. I показано как полностью отказаться от каких-либо условий на функцию ы(и), оставив лишь естественное во всех случаях предположение, о компактности в в0 множеств вида {у: м(у) < с }, с < ю. При этом, однако, делается дополнительное предположение об оценке норм ^^(о.т^о) • естественное во многих нестационарных задачах. Кроме того, оценка и1 заменена более слабым предположением. Имея в виду применение к уравнениям в нецилиндрических областях, здесь же получены абстрактные теоремы компактности, когда значения и(г) при разных г принадлежат различным пространствам в1, упорядоченным по включению в соответствии с величиной ъ.

§ 5 гл. I посвящен приложениям доказанных теорем компактности при обосновании корректности задач для двух уравнений с неявным вырождением, которые не попадают в рамки известной теории параболических уравнений. В первом уравнении коэффициент при второй производной, зависящий от градиента, обращается в бесконечность. Рассматриваемая модель возникает при описании процесса опреснения вод. Необходимость изучения уравнений с такими вырождениями возникает и в связи с задачами подземной гидродинамики. Недавно в работе С. Г. Пяткова для аналогичного уравнения, но с однородной нелинейностью другими методами и при

другого типа предположениях также доказана теорема разрешимости. Там же указано на приложения таких уравнений к обратным задачам. Вторая рассматриваемая в этом параграфе задача относится к известной проблеме неравномерно параболических уравнений, когда рост по градиенту коэффициента при второй производной не ограничивается полиномиальным, и в то же время решения рассматриваются в классах с неограниченным градиентом, в частности, уже на начальных данных.

Одно из естественных желаний при подходах к изучению уравнений переменного типа - это попытка изучить их регуляризации уравнениями более высокого порядка. H.H. Яненко, Т.И. Зеленя-ком и В. А. Новиковым были рассмотрены регуляризации с регуля-ризаторами diu, d,dJu, А.И. Кожановым и H.A. Ларькиным,- с Б,Ди. В более поздних работах уравнением с регуляризатором четвертого порядка вида и, + и'(их)идх + еи„„ = о занимались Н. Аликакос, П. Бейтс и Г. Фуско (1991), а само уравнение получило по фамилиям авторов, предложивших его для описания процесса разделения фаз в бинарном расплаве, название уравнения Кана-Хилларда. H.H. Яненко поставил задачу изучить регуляризацию уравнением 3-го порядка вида

u, + uu, + сш' (ux)u„ + vu„x = о, (2)

то есть с учетом влияния дисперсии. В гл. 2 для случая функции и' меняющей знак предлагается постановка краевой задачи для (2) и доказывается ее разрешимость для всех t > о, если а > о и локально (или при малых начальных данных), если а = о. В последнем случае (2) является уравнением Кортвега-де Вриза. Широкие классы краевых задач в ограниченных областях для этого уравнения хорошо изучены начиная с работ Б.А. Бубнова и В. В. Хаблова (1979-1980), однако рассматриваемая задача не

входит ни в один из этих классов.

Изучению краевых задач для обобщенных уравнений Прандтля (ОУП) посвящены работы В.М. Солопенко. Его исследования связаны с проблемой предельного перехода от уравнений Навье-Стокса (Н-С) по исчезающей "продольной" вязкости к ОУП. В случае прямоугольной области им предложены краевые задачи протекания с однородными, а затем с полуоднородными или периодическими краевыми условиями в стационарном и нестационарном случаях одинаково корректных как для уравнений Н-С, так и для ОУП. Близким задачам о предельном переходе от Н-С, но уже к уравнениям Эйлера, посвящены некоторые исследования Г. В. Алексеева. В 4 гл. обоснована разрешимость некоторых стационарных и нестационарных задач в произвольной негладкой односвязной области с неоднородными краевыми условиями, допускающих решения, на которых в уравнениях происходит смена направления параболичности. В зависимости от геометрии области или (и) условий протекания, предложенная краевая задача для ОУП может совпасть с задачей, рассмотренной Г.В.Алексеевым для системы Н-С. Следовательно, для этой задачи обоснован предельный переход по "продольной" вязкости от уравнений Н-С к ОУП.

В пятой главе, содержащей 9 параграфов, предлагаются новые краевые задачи вначале для вырождающегося сильно нелинейного уравнения диффузии, а затем и для уравнения переменного типа со сменой направления параболичности на решении и с неизвестной границей, являющейся линией смены типа. Задачи могут рассматриваться как обратные с неизвестным коэффициентом в условии Стефана или как задачи управления величиной протаива-ния. Управляющим коэффициентом выступает скрытая удельная теплота плавления или плотность вещества.

Содержание диссертации

Введение включает в себя описание состояния вопроса, краткий исторический и библиографический обзор. Излагаются цели диссертации, в сжатом виде приводится ее содержание.

ГЛАВА I состоит из 5 параграфов, пятый разбит на ю пунктов и содержит два небольших дополнения. Введем обозначения.

в, в, - линейные нормированные пространства, в s в„ в -банахово; s - некоторое множество в в, снабженное функцией

м: s —► Обозначим sc = {v б S: M(v) < о}. Предполагается, что sc относительно компактно в в для любого с < <». Обозначим

т

F, =. { u(t) е lco(0>TjВ): |u|L (0)Т;В) + Jm(u) dt < с, }, (1.1)

00 о

где с, - общая постоянная для всех и из F,. Далее, пусть

F = {u6Fi: HLpi(0>T;Bi)< с„ р, > 1 }. (1.2)

В § I установлены следующие теоремы. Teopeual.I. Если в, полно, и вложение в б в, компактно, то при указанных предположениях множество F относительно компактно в lp(o,t;b) для любого 1<р<ео. При этом, предельные элементы соответствующих сходящихся в ьр(о,Т;В) последовательностей принадлежат Iq,(o,T;b).

Теорема 1.2. Пусть вместо (1.2) выполнено условие:

|u(t + Ь) - u(t)|Bj < с (h) -» О (1.2')

равномерно по и из F, и t 6 [о,т] при h—»о. Тогда верно утверждение теоремы I.I. Полнота в, не предполагается.

Эта теорема полезна для уравнений, которые могут не иметь априорных оценок и, в L,(o,T;H) ни при каком н. Пример такой ситуации для уравнения погранслоя обсуждается во введении.

Следующая теорема также относится к случаю, когда (1.2)

может оказаться не выполненым.

Теорема 1.3. Пусть для множества F, выполнены условия (1.1). Если множество F, относительно компактно в пространстве Lp (о, Т; в,), то оно относительно компактно и в lp(o,T;B).

Параграф 2 посвящен обобщениям теорем компактности на случай шкалы банаховых пространств. Пусть для всех t £ [о, т] в1 и BÎ - линейные нормированные пространства, в' - сепарабельны, в1 - банаховы. и вложения непрерывны. Пусть при любых

t, < t, имеют место вложения в4 с в4, в*'s в*2 , причем для последнего существует константа р„ такая, что для любых элементов uGB*1 и t, < t, выполнено неравенство Ju(t,) |ta <

Bi

<Pi (t,) И t,. Аналогично, для всех t б [о,т] |u(t)| t< Bi Bi

9> Вu<-t) К . Далее предполагается, что V t s1 - некоторое мно-i в _

жество в в\ на котором определена функция н, : s1 —> я+, причем s'1 ç s4 при t, > t,, а функция fft такова, что при t, > t, яч(и) < p.(t„ t,) яч(и), Vu€ s1', где ç> - ограниченная на [о,г]2, не зависящая от и функция. Предположим, что при каждом t и каждом а < ю множество s*={ ves1 : Ht(v) < а } относительно компактно в пространстве в1. Обозначим

F, = {и: и(t)6В', vrai nax|u(t) |g( + ÎM,(u(t))dt < о, }

Предположим равностепенную непрерывность норм в в' по параметру t на подмножестве F,: 3 -л(•,•): Vu,v е F, V t, < t,

|¡u(t1)-v(t,)|Btl - |u(t,)-v(t,) |вЧ| « T|(t„ ta) -> О

при t,-t, —> о. Далее, пусть либо

F = {u: ueF,: и - В, ИЗМерИМЫ И J |u' (t) |B<dt<c3, p,> где в| - банаховы пространства, либо

F = {u: u(t)eF„ sup |u(t+h)-u(t)|B» < H(h) }, (1.3) здесь h > о, H(h) —» о при h —» о и h - общая для всех u из F

и всех г €. [о,т]. а полнота и сепарабельность в', не предполагаются. Под и'Ш понимается элемент пространства в*, являющийся для всех г < * пределом по норме в* разностного отноше-

и(4 + Ь) - и(£)

НИЯ - При Ь —* О, V < 4 + Ь.

ь

Теорема 1.4. Пусть в кохпаюпно вкладывается б в, и выполнены приведенные выше условия. Тогда для любого конечного р > 1 лножество г относительно компактно в пространстве с норлой

ИМИ" = Пи(«|»

— — V

0 В

В § з интервал [о,т] заменяется на произвольное компактное множество к из R", и: к —> в. Установлены теоремы:

Теорема 1.5. Если пространство в компактно вкладывается в пространство в,, к - кохпат в Rn, а лножество F из теорем

2.2 и выполнено (1.3), то F относительно компактно в L (К;в).

р

Теорема 1.6. Если для всех и е г и каждого измеримого А с к с конечной мерой существует постоянная с (л) < со такая, что я[ íu(t)dt] « с (л) и выполнено условие (1.3), то F относительно компактно в l (К;В) для любого »€ [1,т]. р

§4 посвящен определению интегралов по параметру шкалы и обоснованию свойств, используемых при доказательстве теоремы 1.4. Содержит теорему 1.7, лемму 1.5 и доказательство формулы интегрирования по частям для интегралов по параметру шкалы.

В § 5, содержащем три теоремы и четыре леммы, рассматривается уравнение

д

и, = — ш(о,) + í(и), В Qr = (а, Ь)х(0,Т) (1.4)

ох

с краевыми условиями u(a,t) = u(b, t) = О, u(x, О) = ц,(х) € W|(a, b), или (1.5) u(u«)lx«.=u(b,t) = 0, u(x, 0) = ц,(х) € w;(a,b)nwj(a,a+e) (1.6) в предположениях, ЧТО f GC\ f'(u) «О, f(0) =0; ц,(Ь) = о.

Теорека1.8. Пусть ш(их) =1--, п = о, 1,

(1 + и,)ь*м

Ь л

2..... и выполнены условия: и„ > - 1, $ ("+ц—уз < гЗе а >

2п + 1 для задачи (1.5). и а = га, п * о для задачи (1.6) (при

ь

этол, Ли«, - ¿п(1+и»г) |<1х < со для п = о). Тогда обе задачи

а

имеют решения и 6 и1«1г)Л1со(о,Т;и1), такие, что и(их) е ь,, и

д

— о(их) € ь2, а уравнения удовлетворяются почти всюду.

Эх

В теореме 1.9 отмечается, что в задаче (1.6) имеет место единственность, а в задаче (1.5) она имеется, если а > 4п + 2. Теорема 1.10. Пусть иЫх) = ехр (их), и, б и!, сществует

ь

а > 1, что $ ехр (оси,,,) <1х < ю. Тогда задача (1.5) илеет

а

решение из того же класса , что в теореме 1.8. Если ехр (гО € ьа(а,ъ) с некоторых а > г, то илеет лесто единственность. Результаты, изложенные в главе I,опубликованы в работах [6,7,9, 11,13,15,17].

В главе 2 в 9 параграфах изучается уравнение Кортвега-де Вриза-Бюргерса с коэффициентом вязкости, меняющим знак:

иг + иих + "иххх " а(их + михх " 1)ихх = " > (2'1) Изучается краевая задача

и(х,о) =и0(х), цДо,г) = и(1,г) = и^О.г) + ри^.г) = 0,(2.2)

где Цз е И*(0, 1), ио(1) = и^(О) = О; ЛИбО ц, € Т^, ио(1) = О.

Определение 2.1. Функцию и е ь2(о,Т;»ф П ь09(о,Т; и^), для

которой осихихх, осих е Ьг(Ч), В3и е ьр, (0,1; И"г(0,Т)), и, €

ьр, (О, Т;*£'(0, 1)), (где р = 2, если ос = о и р = 4, если а > О;

1/р + 1/р' = 1 ) будел называть слабым решением задачи, если

начальное условие и краевые условия и(1,г) = их(о,г) = о

удовлетворяются в смысле следов и имеет место тождество

5 [и& + »>и„£х + а(их + цихх - - иих8]сИЗ =

О

= vP JTu,(1.t)g(1,t)dt (2.8)

о

для любой функции g 6 W^iQ), Q = (0,T) X (0,1), равной нулю при t = О, t = Т U при х = о.

Определение 2.2. Функцию u е l2(o,T;w|) n Lra(o,t;w|) для которой аи^и^. цаи^и^.. «шуцууу. йи^ € l2(q), ut € lp, (q) будел называть регулярны* решениел задачи, если краевые и начальные условия выполняются в смысле следов, а уравнение (2.1) выполнено в смысле распределений и почт всюду в q.

Теореыа2.1. Для любой функции ц,(х) GWgio, 1), удовлетворяющей условию и,(1) = и„(0) = о, при любом а > О и ц> о на любом отрезке [о.т] существует регулярное решение задачи

Р

(2. 1}-(2. 2), если выполнены условия 3/ЗЮ2а, 2 + <3 > I , Щ3<2.

Теорема 2.2. Яри а = о для любой функции цДх) G w^io,1), удовлетворяющей условию ц,(1) = и„(о) = о, найдется отрезок [о,t*], на котором существует регулярное решение задачи (2.1)-

(2.2) для уравнения Кортвега-де Вриза, если выполнены условия р

3pi> >о, 2 + ¡з > I . При зтих же условиях для любого отрезка [о,т] найдется класс начальных данных и«,(х), для которых на [о,т] существует регулярное решение задачи. Величина t* тем

' рх

больше, чем меньше величина $ I \£xdx.

о

Явно выписана оценка на величину t* через v, pv Теорема 2.3. Пусть ц = о, а > о и выполнены условия эр» > 2а; 2 + р > Тогда для любой функции и,(х) € w}(o, 1), удовлетворяющей условию ц,(1) =о, на любом отрезке [о,т] существует слабое решение задачи (2.1)-(2.2).

Теорема 2.4. Пусть а = о, v > о, и выполнены условия /з>о, 2 + <з > ¿Р. Тогда для любой функции ц,(х) € wJ(o, 1) такой, что ц,(1) = о локально при t < t*. или на [о,т] при малых значени-

sa величины í u^dx в смысле теоремы 2.2, существует слабое

о

решение задачи (2.1)-(2.2) для уравнения Кортвега-де Вриза.

Теорема 2.5 устанавливает, что в условиях теоремы 2.2 справедлив результат о единственности решения. Содержание второй главы отражено в работах [5,8,11].

В § I гл. 3 рассматриваются неклассические краевые задачи в полосе п = (-00, +со)х(о,т) для уравнений переменного типа вида LU 2 - U, + gjdvU") - e,(t)|u - f <t) | = h(t), (3.1)

v, = ) - c,(t)|v| . (3.2)

Здесь c„(t) - непрерывная функция, причем c„ = min c0(t) > o.

Уравнения соответственно дополняются условиями

u(x, О) = u„(x), x<L; -v v(x, O) = v„(x), x<L;

l (3.3) 1(3.4)

u(x, T) = щ(х), x»L. J v(x, T) = vr(x), x»L. j

В (3-1) h(t) и u(x,t) подлежат определению, и рассмотрено два

случая: 1) p(t) = u|x=L и неизвестна вместе с решением, 2)

<p(t) - заданная функция с условиями согласования <р(о) = u,(L) ,

<р (т) = u^íL). Вводятся 8 параметров: - ю < Lt < ¿t < L - h, < L

< l + h, < l. < L. < со. В (3.3) считаем, что u¿(x) = v0(x),

u£(x) = vT(x), причем v, € C( [-oo, L]), v0 > O, v„(í+) > О и 3 ¡3

6 (ot-1, a), что производная dvj/dx ограничена. Аналогично

вводятся Uj(х) и vT(x) такие, что vT(x) = u((x), vT(£_) < о.

Предполагается, что v„(x) = о при х: ít < l - h, < х < l и при

х « L+; vT(x) = О при х: L < х < L + h, < Í. И При х > L_.

Обозначим через М, = maxv0(x), мг = max | vT(x) |, и пусть 2

" > -—— и выполнены условия

(се— 1)

. _ „«-i цд(цд-1) Г L - гл"«-2-"

minc,(t) > М2 -1 -J ,

, i Ь,

(3.5)

a-i / L -.ыа-г-и

minc,(t) > М, сда(ца-1) ]

Ы h'

ТеоремаЗ.1. При предположениях на v„(x), vT(x), указанных выше, и при условиях (3.5). неотрицательное при х < L и неположительное при х > L, решение задачи (3.2), (3.4) существует и единственно.

Для решения уравнения (3.1) показывается существование линий х = l,(t), х = L2(t), начиная с которых соответственно слева от L,(t) и справа от L2(t) ц, е о.

Определение 3.2. Ограниченная функция u(x, t) с производной ux G c*"iJ(n), функция h(t), функция <p(t) б с*1 и кривые x = L,(t), х = L2(t) казывахтся решениел первой задачи для

уравнения (3.1). если выполнены условия (3.2) и условия

L2(t)

u|*-l = p(t)' J u(x't} dx = °>

L,(t)

ux > О при x < L, ux < О при x > L.

Определение3.3. Пусть в определении 3.2 p(t) - заданная

функция из съ , но убрано условие задания средней температуры

на интервале непостоянства [l,,l2], то есть условие ц<о

J и(х, t)dx = о. Тогда функцию u(x,t) будем называть реше-

LjCt)

кием второй задачи для уравнения (з.1).

Заметим, что при <р = о имеем h(t) = о. В § 2 гл. 3 для уравнения переменного типа

du a

--- (ы(и)) = о, (3.4) исследуется краевая задача

at дх *

и(х,0) = и0(х), х е (0,1), (3.5)

и(0, t) = u(1, t) = О, t G 0,T), (3.6)

Функция и обладает свойствами: существуют J, * 1г такие, что

а

u(j,) = и(.1г) = т. <■>(€) € c'(R\(lvlz)); - («(с)) > О для

ае

С S [i„ i2b отображения «: [i2, e>]-»[7. «) Иш(е):(-оо, i,]—»

(-00, 7] имеет непрерывные обратные^ Пусть зк(£,, ¿,) - множест-

о

во функций и(х) из 1^(0, 1)пс [о, 1], производные которых являются кусочно непрерывными функциями, имеющими левые и правые пределы,, с числом разрывов не превышающим к и таких, что «их < * МЛ Для любого интервала I с (0,1).

и1(-) - мера Лебега на К1. Определим ы,: ы,(е) = е ?

(1„ 12); со,(е) = т. с € 0„ 1,).

Теорема3.4. Предположил, что и0(х) 6 зк(1и12) и что мДО,« и„< .1,}) = о, а функция ы(с) удовлетворяет указан-ныл выше условиях. Тогда существует решение задачи (3.4)-(3.6) такое, что и{ € М<?); ЫЮ = € ¿га(<?) п

1г(о, Г;^(о, 1)); их е ¿т(<?); причел уравнение (3.4) удовлетворяется в обобщенном смысле и почт всюду. Кроле того, выполнен принцип максимума для их в виде:

|ы(их) I < аах|и(и0х) |.

Для некоторых указанных функций ы выполнено неравенство

I «ж I < шах I и0х I •

Для доказательства предлагается погрузить задачу в конечно-разностную по г аппроксимирующую модель:

- ип"1 а

-г--а7И,(Л) = <з-7)

и°(х) = и0(х), п = 1.2,..., Н; ип(0) = ип(1) = 0. и получить для ее решений свойства, необходимые для использования результатов компактности главы I.

Теорема3.5. Для любой функции и0(х) 6 5к(1,, 12) задача (3.7) имеет решение ип(х), п = 1,2,.., N. для которого с некоторой константой с, не зависящей ст. п и х справедливы оценки

К! +! г ¡2- б>,(ип*)!2 +

Х Ь(0,1) дх 1г(0, 1)

l* S (-=-)2dx < o; (3.8)

П=1 о

|ü),(unx)l < KiOl » n = 1,2,... ,n.

ljo, 1) ljo, 1)

Доказательства разбиты на этапы шестью леммами. Леммы 3.1 и 3.5 устанавливают некоторые важные свойства и", лемма 3.2 -принцип максимума и оценки. В лемму 3.3 выделен один простой результат о вложении в класс Гельдера, используемый и в 4-й главе. В леммы 3.4 и 3.6 помещены утверждения о компактности, необходимые для обоснования предельного перехода.

§3 главы 3 посвящен вопросам выделения класса единственности, а также проблеме существования решений при произвольной начальной функции.

Леша 3.6. Для решения u(x, t), построенного в теореме 3.4, существует множество s0 е [0,т] , m,(s0) = т, такое, что для всех t € s0 ц,({х: 1, < ux(x, t) < 1г}) = о.

A.B. Лаиром установлена единственность в классах гладких решений. Но, как видно из леммы 3.6, построенные решения обязательно имеют разрывы градиента, если и„ не лежит по одну сторону от I,. В классах таких решений, как замечено К. Хелли-гом и С. Г. Пятковым, различных решений континуум. Поэтому необходимы дополнительные ограничения, дающие единственность, но не выводящие решения из класса существования. Зафиксируем у.

Определение3.1. Решение задачи (3.4)-(3.6), обладающее свойством ц2({1, < их < ¿¡}) - о и принадлежащее классу, указанному в теореме 3.4, назовем (¿¡, 1г) - решением.

Единственность (¿„¿г) - решений вполне очевидна.

Из теоремы 3.4 следует, что для любой функции ц, е

о,

»¿(0,1) можно построить решение задачи (3.4)-(3.6), принимающее в норме са начальные условия сколь угодно близкие к Uq. Их

может быть бесконечное число, но в классе (¿,, ¿2) - решений сохраняется единственность.

Пусть х = Н2«ип1та(о,Т;йо!,(о, 1)) а у — банахово пространство такое, что вложение х в У компактно.

Определение 3.2. Функция и € х такая, что и(х, о) = ио(х) называется слабыл (¿„ ¿,) - решением, задачи (3.4)-(3.6), если существует последовательность ип(х,г) (1„1г) -решений задачи (3-4)-(3.6) таких, что

и*(х,0) = К " ио1ь2(0,1) — Iй" - и*у —

Теорема 3.7. Для любой ио(х) е №¿(0,1) существует, и притом единственное, слабое (11г1г) - решение задачи (3.4-6).

В §4 главы3 рассмотрен случай неоднородного уравнения переменного типа. Рассматриваются решения, для которых и, может быть не ограничен.

Пусть ио б 1); |ы(С)| « о(1 + кГ1), где и, < ш; р с

|ы(£)сЦ; > 1'|р|ш - с, V > О; функция и(£) = | |ы' (т)) |<1т) Имеет

е. _ е,

непрерывную обратную и оценку |ы(?) | < с(1 + |£|т), а и„ таковы, что - ш(и£) = гп, ип(х,о) = и*(х), ип(о,г) = ип(1,г) = о. Считаем, что нормы 1^п1Ьг(0) и |иох1^(0,1) рав" номерно по п ограничены. Пусть ип(х, X) таковы, что существуют постоянные о, и с„ не зависящие от п, такие, что для любого п

справедливо неравенство

д д

I- Ь>,(и*)| « С| |- Ы(и")| + с„

дх дх х

где имеет непрерывную обратную. Это условие будет вы-

полнено, например, если известно, что и^ суммируемые функции. Кроме того, будем предполагать, что € Ьщ;(Ч), не предпо-

лагая равномерную по п ограниченность в этой норме.

ТеоремаЗ.8. Если tn —> t слабо 6 l2(q), u? —* u<, сильно в l2(o, 1), no существует решение задачи

"Ж---35 u(V = f> u(x«0) = u(o,t) = uO,t) = o,

причел, ut G L2(Q), u^ G LJO.T; LB(0,1)), -J^ «(u^) G L2(Q). Доказательство основано на результатах гл. I. Результаты этой главы опубликованы в работах [2,3,10,11].

В главе 4 рассматривается стационарная и нестационарная (U'V)U + Vp = vUyy + F, div U = О, v#0. (4.0)

U, + (U-V)U + VP = ^ + F , divU = 0, (4.1)

системы .обобщенных уравнений Прандтля. Соответственно, в одно-связной области D с Е2 и в Q = Dx(o,T). Граница г = 3D состоит из кусков г, G с2 с внутренними углами меньшими я. F=(f„f,) € L^O.T;»^1), rot F G C(0,T;L2). Пусть S = T ДЛЯ (4.0) И s = rx(o,т) для (4.1). На s зададим условие протекания

(u,n)|s = g, (4.3)

где $ gdr = О Vt G [0,Т]; g = , G G C(0,T;W*(D)) (либо р on I р

g G с (о, Т; w2^z(r)), если г G с2). Обозначим через s" участок втекания (там, где g < о), a s„ = г„х(о,т), г„ = {(х,у) G г: п,(х,у) * о}. Зададим условие

^"Is'usy = f'' где = Cl(x,y,t)ls-us„ ' а (4'4) С, 6 C(0,T;Wi(D)), р = 4 ИЛИ р = и и tu - i'C.yy е C(0,T;L,). Для нестационарной задачи дополнительно рассмотрим один из двух видов начальных условий

и|t=o = Uo G w^(D), где divU0 = о, либо (4.5)

rotUU.o = ^о(х>У) 6 L2(D)- (4'5,)

Теорема 4.1 Система (4.1) (к > о) при указанных условиях на входные данные имеет решение из класса rotUG Ьсо(о,Т;Ь,), rotu, G MQ), U G Ью(0, T;Wj(D) ),Ut G Lp(0,T;W"^(D)), pG[1,»],

удовлетворяхщее системе и краевым условиям (4.3), (4.4),(4.5) или (4.5') б смысле следов (если s'csy). При этом и е С(0, Tj W-^), р(х, у, t) GLj(Q), сес(0,т;х'), где X=W*(D)nwJ(D).

Теорема 4.2. При i'-OylVfJ^ > о и указанных условиях система (4.0) имеет решение и б wJ(d), если г G с1 и и 6 L2(D)nw2(Dk), где D* - любая часть 5 класса с2, а р, -соответственно из l2(d) tau lziloe(d), удовлетворяющее условиям (4.3), (4.4) в смысле следов (если г~с г^).

Константа су пропорциональна ширине d в направлении oy.

В лемме 4.3 приведен результат о возможности предельного перехода в квадратичной нелинейности при локальных оценках. В работах [14,16,18] опубликовано содержание четвертой главы.

Пятая глава содержит 9 параграфов. В § 1-4 в области Q, = {(х,t) : о < х < s(t), t б (о,т)> рассматривается уравнение

u, = MV«, m » О, (5.1)

Корректная запись правой части: ^ luTu^-mM""'11^ •

Пусть для начала s(t) - такая заданная функция, что s(t) € wj(0, T), s (t) > О, s (О) = 1, s (T) = t, (5.2) где T > о и l > 1 - заданные числа. Дополним (5.1) условиями: u(x, О) = ц,(х) е и;(0, 1),

1 д (5-3) ——(|иГи)|х=0 = О, u(s(t),t) = О т+1 ох

Теорема 5.1. Пусть m > 3 или m = о. Для любой заданной функции s(t), удовлетворяющей, (5.2), и любой заданной функции и. € w2(o, 1) такой, что ц,(1) = о существует решение u(x, t) задачи (5.3), для которого справедливы оценки

TS(t) S(t>

lu] 1/4 _ + SS ЫЫГ'щ + |u|muXJ)dxdt+i uxdx < с, C1/4(Q,) оо о

^ГНиГиГ + |uj ]dt « о, (5'4)

oL wl(o,s(t))nw2(o,s(t)) z L2(0, s (t) ) J

где с зависит только out |u,|2

»»¿(0,1)

При обосновании теоремы используются результаты гл. I. о компактности функций из шкалы банаховых пространств. В §§ 5 и 6 для решений из класса (5.4) и для s(t) £ ц, > о в случае нецилиндрических областей обсуждаются вопросы, связанные с принципом максимума, со следами производных на части х = s(t) и их свойствами. Предлагается новая однофазная краевая задача с неизвестным параметром в условии Стефана.

Постановка задачи. Найти функцию u(x, t) из класса (5.4), константу к > о (скрытая удельная теплота плавления или плотность вещества) и монотонную функцию s(t) так, чтобы

ks(t) 6 wUo.T), s(0) = 1, s(T) = г > 1, -£-Os(t)) > о, (5-5)

at

где т>6 и г > 1 - заданные числа; функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (5.1) в QJf условиям (5.3) и условию Стефана:

¿Т £ ("и>Ми)1^со = - (5.6)

Теорема 5.2. Пусть i^ew^o, 1) - заданная функция такая, что Uo(x)»0, ц,(1) = О; т*з или ю = 0; Т > О, 1> 1 - заданные величины. Тогда найдется константа к > о и неубывающая функция s(t), для которой s(0) = 1, в(т)=г, ks(t) €Иг(0,Т), и найдется неотрицательная функция u(x, t) € c1/4(Q„), являю-

о

щаяся решением уравнения (5.1) и удовлетворяющая условиям (5.4), (5.3) и условию Стефана (5.6) в смысле (5.65).

Для доказательства предлагается использовать итерационный процесс . Г. В. Ивенса. Для обоснования предельного перехода устанавливаются следующие утверждения компактности типа гл. I.

Определим множество

w„(x), X < s"

V„(x) е cv(0,l): v„ = '

Gc =

0, x > в", Где

г л

- S

О < s" < ¿, s" —» s, + v^Jdx < c, í w*„dx < с

o o

Леша 5.1. Для любого о < со множество gc относительно

компактно в w^ (о, I) для всех q0: 1 < q, < г.

Определим множество

f

Wn(x,t): Wn=

" wn, х < sn(t) . О, x > sn(t),

s"(t) —► s(t) для всех te [о,т], |w„I < c.

n ^(O.TsW'CO.Í))

TSn(t)

|Wj < C, JJ wLdxdt < с L2(Q¿) oo

и измеримые множества полной меры

sn = {t € [о.Ti: |Sn(x,t)|w,(0i¿) < с < »,

|wnxx|L2(0,s"(t)) < 00 }• S = USn .

Лемма 5.2. Для любого с > о найдется с (с) такое, что для всех t € s и для всех натуральных п и m выполнено неравенство:

q s"(t>

|wn(-.t) -Wm(-,t)|w! (0>¿) < 1 + JiC(x.t)dx +

40 o

S"(tl

Jwi„(x, t)dx ] + c(e) . o

Лемма 5.3 Множество функций f относительно компактно в пространстве ьа (о, T; w' (о, I)).

Чо Яо

Задача Отефана. Рассмотрим обычную задачу Стефана, то есть считаем к > о заданной величиной и не требуем выполнения условия s(T) =I.

Теорема 5.3. При условиях на входные данные из теоремы 5.2 для всех t > о существует решение задачи Стефана, то есть пара u(x,t), s(t) из того же класса, что и в теореме 5.1. При

этол s(t) GW^(0,T) VT<co.

§ 9 посвящен основной цели гл. 5 - постановке и обоснованию корректности новой задачи для уравнений переменного типа, в которой, как и в задаче Стефана, вместе с решением определяется и неизвестная граница, являющаяся линией смены типа уравнения.

Постановка задачи. В Q = (о, £)х(о,т) найти функцию u(x,t), константу к»о и неубывающую функцию s(t) такие, что

ks(t) G Wl(0,T), s (О) = г„ s(T) = г„ — (ks(t)) > о,

dt

u > О В Q+, u < О В Q7 где т > о и г„ 1г, I - заданные числа, о < < I, < I; Q+ =

{(x,t): 0 < х < s(t), О < t < Т }, Q" = {(x,t): s(t) < x < I, о < t < т u(x, t) € wJ(q) (] c'^Q) и удовлетворяет условиям

u, = -J- -ft (|u|-+1) - mlul'-'ui, (x, t) e QtUQl, (5.7) m+1 ox

u(x,0) = Ц)(x), 0 < x < г„ u(x, T) = uj(x), 1г < x « I,

¿¡i (|ur)U = o, t€ (O.T),

— — (lu|-M)lx,2 = 0, t 6 (0,T),

1 a_ m+1 ax

ul = о

Х—Я(t)

где Цд(х), и^(х) - заданные функции из ¿,) и и\(1„1) соответственно с условиями согласования и0(£1)=о, ^(¿¡>=0.

(^"(М"*')] и (¿<|иГ)] - предельные значения слева и

справа —(|и|_+1), а и <з - заданные положительные постоянные. ах

Предполагается, что ц,(х) > о, ^(х) < о.

Для обосновании предельного перехода в этой задаче используются леммы 5.4 и 5.5 аналогичные леммам 5.2 и 5.3.

Teopeua 5.4. Пусть m > з, либо и = о и выполнены указанные условия на Uq» u,. Тогда при любых заданных положительных т, а, (3, 1„ 1г, I, (o<£,<£,<£) найдется константа к>0, найдется неубывающая функция s(t), для которой s(o) = 1„ s(T) =l„ ks(t) eWj(o,T), и, наконец, неотрицательная при x<s(t) и неположительная при х > s(t) функция u(x, t) € c1/4(Qi), являющаяся решением поставленной задачи из класса, аналогичного классу теоремы 5.1.

Результаты гл.5 опубликованы в работах [19,20].

Работы автора по теме диссертации

1. Новиков В. А., ПодгаевА.Г. 0 разрешимости первой краевой задачи для квазилинейного параболического уравнения со знакопеременным коэффициентом вязкости. Препринт №13. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. 1980. 13 с.

2. Врагов В. Н., ПодгаевА.Г. 0 корректных задачах для некоторых уравнений переменного типа // Докл. АН СССР. 1981. Т. 250, №2.

3. ПодгаевА.Г. 0 некоторых корректных задачах для уравнений переменного типа // Динамика сплошной среды. Новосибирск: 1982, вып. 55. С. 143-153.

4. ПодгаевА.Г. 0 свойстве компактности нелинейных множеств и одно его применение // В кн.: Неклассические задачи уравнений математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1982. С. 134-138.

5. ПодгаевА.Г. 0 новой краевой задаче для уравнения Кортвега-де Вриза // Всесоюзная школа по теории функций, посвященная Н.Н.Лузину: Тезисы докладов. Кемерово, 1983.

6. ПодгаевА.Г. Компактность некоторых нелинейных множеств //

Докл. АН СССР. 1985. Т. 285, J6 5. С. 1064-1066.

7. ПодгаевА.Г. Об условиях компактности множеств в пространствах интегрируемых по Бохнеру функций // В сб. : Уравнения неклассического типа. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1986. СЛП-ПЗ.

8. ПодгаевА.Г. О краевой задаче для уравнения Кортвега-де Вриза-Бюргерса со знакопеременным коэффициентом вязкости. // В сб.: Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск. ИМ СО АН СССР, 1986. С. 97-107.

9. ПодгаевА.Г. О граничных задачах для некоторых квазилинейных параболических уравнений с неклассическими вырождениями // Сибирский матем. журнал. 1987. Т. 28, №2. С. 129-139.

10.ПятковС.Г., ПодгаевА.Г. О разрешимости граничной задачи для нелинейного параболического уравнения с изменяющимся направлением времени // Сибирский матем. журнал. 1987. Т. 28, JÉ 3. С. 184-192.

11.ПодгаевА.Г. Краевые задачи для квазилинейных уравнений с меняющимся направлением времени и неклассическими вырождениями // В сб. : Применение функциональных методов и методов теории функций к задачам математической физики. Стара Тура, ЧССР. 1988.

12.ПодгаевА.Г. Некоторые условия сильной сходимости абстрактных функций, связанных с нестационарными нелинейными уравнениями // Всесоюзная конференция "Условно корректные задачи математической физики и анализа": Тезисы докладов. Новосибирск, 1992. С. 209-210.

13.ПодгаевА.Г. Некоторые условия сильной сходимости абстрактных функций, связанных с нестационарными нелинейными уравнениями // Математический анализ и дифференциальные уравне-

ния. Межвузовский сборник научных трудов. Новосибирск: НГУ, 1992. С. 16-20.

14.ПодгаевА.Г. 0 разрешимости некоторых неоднородных задач для параболизованных уравнений Навье-Стокса // Препринт #5. ИПМ ДВО РАН. Хабаровск.1992 г. 35 с.

15.Подгаев А. Г. Об относительной компактности множества абстрактных функций из шкалы нормированных пространств // Сибирский матем. журнал. 1993. Т.- 34. № 2. С. 135-145.

16. Podgaev A. G. On solvability of some non-homogenious boundary value problems for paraboliced Navier-Stokes equations // Международная конференция по математическому моделированию. Тезисы докладов. Якутск, 1994. С. 5-6.

17.Podgaev A. G. On relative compactness set of abstract functions from scale of the Banach spaces. Functional Analysis, Approximation Theory and Numerical Analysis, Ad. J. Rassias, World Scientific Publishing Co., London-Singa-pure, 1994, pp. 219-236.

18.Подгаев А.Г. 0 разрешимости некоторых неоднородных задач протекания для обобщенных уравнений Прандтля и уравнений Эйлера // Математические заметки ЯГУ. Якутск. Т. 2, Jí I, 1995. С. 32-59.

19.ПодгаевА.Г. Задача определения скрытой удельной теплоты плавления по величине зоны протаивания // Принято в Доклады РАН, 1995 г, 5 с.

20. Podgaev A. G. New parabolic problem with a free boundary for a non-linear forward backward heat equation // International conference AMCA-95. Novosibirsk. 1995. Abstracts, pp. 266-267.

Подгаев Александр Григорьевич

Лицензия на издательскую деятельность ЛР 020526 от 23.04.92

Подписано в печать Формат 60x84 I/ 16

Бумага писчая. Офсетная печать Усл. печ. л. 1,86 Уч.-изд. л. 1,7. Заказ

Издательство Хабаровского государственного технического университета. 680035 Хабаровск, Тихоокеанская, 136.