Нелокальные краевые задачи для уравнений математической физики с меняющимся направлением времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЛЬВОВ Антон Павлович

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск 2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Егоров И. Е.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор Подгаев А. Г.

кандидат физико-математических наук Попова Т. С.

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 20 апреля 2006 года в 16.00 часов на -заседании диссертационного совета К 212.306.05 при Якутском государственном университете имени М.К. Аммосова по адресу: г. Якутск, ул. Кулаковского, 48, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова.

Автореферат разослан " /У" марта 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физике математических наук, доцент В.Е, Федоров

200GA

S3G5"

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория нелокальных краевых задач важна сама но себе как раздел общей теории краевых задач для уравнений с частными производными и как раздел математики, имеющий многочисленные приложения в механике, физике, биологии и других естественно научных дисциплинах. Нелокальными краевыми задачами принято называть задачи, в которых вместо задания значений решения или его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со лишениями тех же функций на иных внутренних или граничных многообразиях.

Предметом наших исследований являются нелокальные краевые задачи для уравнения

2»+х

Lus *•(*> + Ми = f{x, t), (1)

i-i

где Ми = (-l)m Y, D%(<*ad{x)D%u) + Oa(a-)u сильно эллиптический М.1Э1-™

оператор, в цилиндрической области Q = Пх(0,Т), Sj- = S х (О, Г), fielt" ограниченная область с гладкой границей S. Уравнение (1) является уравнением математической физики неклассического типа нечетного порядка по времени. На знак коэффициента перед старшей производной по времени внутри области никаких ограничений не налагается, поэтому в класс уравнений вида (1) входят эллиптико параболические уравнения, уравнения с меняющимся направлением времени и другие уравнения.

Интерес к уравнениям с меняющимся направлением времени достаточно высок. Это вызвано, в частности, их приложениями в гидродинамике изучением движения жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости. К уравнениям такого типа приводят задачи, возникающие в газовой динамике. Также в этот класс входят уравнения, описывающие дяфф>-зиоиные процессы, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике.

Начало исследований краевых задач для уравнений такого типа было положено в работах Жеврея, опубликованных в 1913 1914 годах. В работах Г. Фикеры, O.A. Олейяик. С.А. Терсенова были предложены новые подходы и методы построения единой теории краевых задач для эллиптико параболических уравнений.

Краевые задачи для линейных иеклассических уравнений математической физики с переменным направлением времени рассматривались в работах O.A. Олейник , Г. Фикеры, С.А. Терсенова, A.M. Нахушева. И.Е. Егорова, В.Е. Федорова. С.Г. Пяткова. А.Г. Поделена , С,В. Попова, Н.В.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ , БИБЛИОТЕКА C.I

оа

4БЛИОТЕКА [

Кислова. Ф.М. Федорова, А.И. Кожлнова. С.Н. Глазатова, Н.Л. Абагаее-вой, A.D. Чуешева, М.С. Боуенди, Г. Гривара, К.Д. Пагани. О. Арены и других авторов.

В работе И.Б. Егорова, В.Б. Федорова (1995), в частности, рассматривается локальная краевая задача для уравнения высокого порядка (1). Краевые условия при t = 0 и t = Т задаются в зависимости от знака функции При выполнении определенных условий на старшие коэффициенты при производных по t и функцию Оо(гс) с помощью функциональных методов, метода "s регуляризации" и метода Галеркина были докачены ■KojK'Mhi о существовании и еденственноети решения в W/iJ!"I-î*+1(Q).

Исследованию нелинейных уравнений посвящены работы H.A. Ларьки-на, В.А. Новикова, H.H. Янеико, Т.Н. Зеленяка, В.Н. Монахова, П.И. Плотникова, М.М. Лаврситьева(мл.), C.B. Попова, А.Г. Подгаева, С.Г. Пяткова,

B.Н. Гробенева, С.Н. Глазатова, Н.Л. Абашеевой, A.B. Чуешева.

В частности, A.B. Чуешев (2003) исследовал разрешимость локальной краевой задачи для дифференциального уравнения вид»

Au + Bu + g(x,t,u) = f(x,t), (2)

где А - обыкновенный дифференциальный оператор нечетного порядка по переменной t, а оператор В является равномерно эллиптическим оператором порядка 2т по переменным т, и функция g(x,t,u) есть нелинейное слагаемое уравнения (2). С помощью метода продолжения по параметру, теорем вложения и теоремы Шаудера была доказана теорема о существовании решения поставленной краевой задачи.

Впервые нелокальные краевые условия для получения разрешимых расширений некоторых типов неклассических операторов предложил A.A. Де-зин. Также нелокальные краевые задачи для неклассических уравнений в своих работах исследовали В.Н. Врагов. С.А Терсенов. И Е. Егоров. С.Г. Пятков, А.И. Кожанов, Каратопраклиев Г.Д., А.Н. Терехов, С.Н. Глазатов,

C.B. Попов. A.A. Керефов, А.Г. Кузьмин. Наиболее полная библиография по работам, посвященным исследованию нелокальных краевых задач, приведена в работе С.Н. Глазатова (1998).

Цель работы. Перед автором диссертации стояла задача исследовать разрешимость нелокальных краевых задач для линейных и нелинейных уравнений нечетного порядка по времени. Рассматривались краевые задачи с постоянным и переменным коэффициентами в краевых условиях д 1я линейных уравнений нечетного порядка по времени (1), краевые задачи с условиями периодичности по времени для уравнения вида (2).

Методы исследования. Для исследования вышеуказанных задач используются метод н£ регуляризации" и метод Галеркина, фупкциональ-

иый метод, метод продолжения по параметру, теоремы вложения и теорема Шаудера.

Научная новизна. В основном ранг*: нелокальные краевые задачи рассматривались для уравнений первого и второго порядков. Поэтому новизна работы заключается в том, что здесь такие задачи рассматриваются для уравнения более высокого порядка. В работе получены следующие результаты:

установлены существование единственного регулярного решения для нелокальной краевой задачи с постоянным коэффициентом в краевом условии. а в случае с переменным коэффициентом - существование решения в юсовом пространстве, для линейного уравнения первого порядка;

- аналогичные результаты, за исключением существования единственного регулярного решения, получены в случае линейного уравнения третьего порядка;

доказаны теоремы о существовании слабых и обобщенных решений нелокальных краевых задач с постоянным и переменным коэффициентами в краевых условиях для линейных уравнений высокого порядка по времени с меняющимся направлением времени:

доказана теорема о существовании решения нелокальной краевой задачи с переменным коэффициентом в краевых условиях в весовом пространстве для линейных уравнений высокого порядка по времени с меняющимся направлением времени ;

доказаны теоремы о существовании хотя бы одного решения для краевых задач с условиями периодичности по времени для нелинейных уравнений третьего и высокого порядков по времени.

Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты данной работы носят чисто теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития теории краевых задач для неклассических уравнений математической физики. Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что они показывают применимость методики исследований, разработанной в работах И.Е. Егорова. В.Е. Федорова, A.B. Чуешева и других исследователей, к нелокальным краевым задачам.

Апробация работы.Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" профессора И.Е. Егорова (НИИ математики при ЯГУ), на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" профессора А.И. Кожанова в 2005 г. (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН), на конференции "Неклассические уравнения математической физи-

ки'\ посвященной 60-летию профессора В.Н. Врагова (2005 г.. г. Новосибирск), на научной конференции "Лаврентье вскис чтения РС(Я)" в 2000. 2001, 2002, 2003, 2004. 2005 г.г., на научной конференции молодых ученых и аспирантов, посвященной 45-летию ЯГУ в 2003 г.. на IV Международной конференции по математическому моделированию (2004 г., г. Якутск).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем составляет 91 страницу. Библиография содержит 136 наименований. Первая и вторая главы состоят из пунктов и подпунктов, которые нумеруются натуральными числами. Третья глава имеет два пункта. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными чиелами, первое из которых указывает на номер главы, второе номер пункта, третье itoiuep формулы в пункте.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны краткие исторические сведения по теме диссертации, обосновывается актуальность работы, с^юрмулиронаны цели исследования. в кратком виде приводится «¡держание работы, а также дай краткий обзор использованной литературы.

В первой главе рассматриваются краевые задачи с постоянным ц и переменными аг(х) и (í{x) коэффициентами в нелокальных условиях для уравнений первого и третьего порядков.

В первом пункте главы в цилиндрической области Q — Пх(0,Т). Sj = S х (0,Т), где ПсК" - ограниченная область с гладкой границей S, рассматривается уравнение

Lu=k{x, í)«t - Аи + С(х)и = f(x, t), (jr, I.) с- Q, (3)

где k(x,t) е C°-X(Q)> с(х) е С°(П). Пусть (и, и) = /uvdQ для функций

Q

Т

и, v из L2(Q). i|«||3 = (щи) = f(u,u)0dt; (u,v)(l = f tPdsr для и(з) e

o h

¿¡¡(П). W^^Q) пространство Соболева функций из £j(<?) с обобщенными производными по переменной ж до второго порядка, по переменной t первого порядка из Ln{Q).

Краевые задачи с постоянным коэффициентом. Задача 1. Найти решение уравнения (3) в области Q, такое, что

«1* = °, (4)

гф_о = 11и\г-т при к(х,0) > 0, к(х,Т) > О, х е П, (5)

где (I - вещественное число.

Задача 2. Найти р^яиение уравнения (3) в области такое, чго

м|5г = 0, (6)

= Н<-о ПРИ < ¿(2-, Т) < 0, гей, (7)

где (1 вещественное число.

С помощью метода регуляризации" и метода Галеркииа доказаны теорема о существовании единственного регулярного решения для краевых задач (3) - (5), (3), (6) - (7) из пространства Соболева И'^{Я) нри выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (3) и на коэффициент ц в краевых условиях.

Теорема 1. Пусть коэффициент С(х) > Со > 0, 2С

Аг(аг, 0) > 0, Цх.Т) > О, |/t| < mm{min

mill Ит.Т) Q '

. mm

тшк(х,0)' n

kt\ ^ S > 0.

max k(.r, 0)

min k{x,T) Я

Тогда для любой функции / ш , такой, что ц/(г,Т)~ / (ж, 0) = 0,

существует, и притом единственное, решение краевой -задачи ($) - (5) u(xJ:)eW^(Q).

Теорема 2. Пусть коэффициент С(х) ^ С0 > 0, 2С - \kt\ ^ 5 > 0. к(х, 0) < 0, к{х,Т) < 0, и |/i| < min{

Л

miiiHar.O) О '

щ&хк(х,ТУ

\

max к{х, Т)

mm к(х, 0)

}. Тогда

для любой функции / из ^'^(С]). такой, что /(т, Т) - /гЦх.О) = 0, существует, и притом единственное, ретениг краевой задачи (3), (б) - (7) «ОМ) е \\fiQ).

Краевая задача с переменным коэффициентом. Найти решение уравнения (3) в области ф. такое, что

«к = 0. (8) и(х, 0) = а(х)и{х. Т) при к(х, 0) > 0, к(х, Т) > 0, х е П, (9)

где «(а;) непрерывная функция в П.

Применением метода ^е регуляризации" и метода Галеркииа докача-на теорема о существовании решения краевой задачи (3), (8) (9) из

#£.(<?) П^^). где ДсК?) = {« : ^и^.у^Д« е 1г{0),

г = 1,п) - гильбертово пространство с нормой ||«||д = /[и2 + +

а »-1

п

фи% + и1с. + Ф(^)2]^, и = <»(Т - г)2 есть весовая функция.

Теорема 3. Пусть коэффициент С(х) > О достаточно вольтой.

пйпк(х,Т)

2C-\h\>S> 0, А{т.О) > 0, к(х,Т) > 0, и |а(.г)| < а0 < . п ,,-

Д тшк[х, и)

Тогда для любой функции f из L2(Q), такой, что \/H>ft е L-j(Q), существует решение краевой задачи (3), (8) ~ (9) u{x,t) е #£,«?) П W 2 °(Q)-

В этой главе вторым пунктом рассматривается уравнение третьего порядка по переменной t вида

з

Lus ki{x, t)DfU -йи+ С(ф = /(ж, t). (10)

Краевая задача с постоянным коэффициентом. Найти решение уравнения (10) в области Q, такое, что

«|б-о = «It-Т = о, (12)

«t|t-o = №t\t-r, (13)

где /1 вещественное число. Определим Ci как класс гладких функций, удовлетворяющих условиям (И) (13) Пусть #i пространство, полу-

п

чекное замыканием Ci по норме ||w||fli = /(«2 + + £ w? )dQ- Пусть

Q -i

° 11 /

WV (Qt) - замыкание множества финитных бесконечно дифференциру-

п

емых функций по норме ЦиЦ?! = /[«2 + и? + ^l(Q) = {« :

Q ¡-t _

и, Ut, uXt, ^fâluu, sfâtfitxs s/oïku, \/04iktx., у^Дм € L2(Q). i=l,n} гиль-

R «

бсртово пространство С нормой ||«||нх = "îi+<JlWtt+Cr2 Y!

Q »-1 »-1

+ <T4(( д«)а + ê «L,)]dQ, где <7Д{) = j = T4 весовые

функции.

Используя метод "е- регуляризации" и метод Галеркина, доказаны теорема о существовании решения краевой задачи (10) - (13) внутри области

Q в пространстве Hi(Q) и теорема о существовании решения краевой зада° 11

чи (10) (13) u(x,t) из Hi{Qt)HW2' (Qt) при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (10) и на коэффициент ß-

Теорема 4. Пусть коэффициент С(ж) > О достаточно большой,

-М*,0) > о- -h(x,T) > о, -[** -§**,] > ä > о, И <

^

minfc3(r, Т)

mxx.kt(x, 0)'

~kt ~ —jp > h > 0. Тогда для любой функции / из Lz[Q), ft £ L2{Q), существует решение краевой задачи (10) (13) u(x,t) из #i(Q), такое, что и,,Щ, € Я,(<дч), где Qn = Пx(t/,T - j?), 0 < rj < Т.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4■ Тогда для любой функции f ш Li(Q), такой, что /( е bi(Q), существует решение краевой задачи (10) - (13) u{x,t) из HL{Q)rw\*(Q)-

Краевая задача с переменным коэффициентом. Найти решение уравнения (10) в области Q, если выполнены следующие краевые условия:

«Ist = (14)

«!«-0 = И|«-Г = О, (15)

ut(x, 0) -- а{г)щ(х,Т) при - к3{х, 0) > 0, -к(т.Т)3 > 0, т «= П. (16)

где а{х) непрерывная функция в П. Определим С^ как класс гладких функций, удовлетворяющих условиям (14) (16). Доказаны теоремы о существовании решения краевой задачи (10), (14) - (16) внутри области Q как

о и

в пространстве Ну (Q), так и в #i(Qx)rw2 (От) при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (10) и на коэффициент а(х).

Теорема в. Пусть коэффициент С{т) > 0 дм-таточно большой. -кз(х,0)>0, -къ{х,Т)>0, |а(1)|^сц,<

Л

тш(-*»(*,Г))

а

-кз~ Тогда для любой функции / «а 1>г(0), такой что Д 6

1ч(0), существует решение краевой задачи (10), (14) - (16) ь(х,{) из 1к{Я), такое, что ««,««£ #1 (<?„), где. = Пх(»/,Т - г]), 0 < ?/ < Т.

Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 6. Тогда для любой функции / из 1ч(0), такой, что /4 е Х^(<3), существует решение краевой задачи (10), (Ц) - (16)и(хА) из #1(Ог)П№'^(<Зг).

Во второй главе рассматриваются краевые задачи с теми же кочф-фициентами в краевых условиях, как и в первой главе, но для уравнения

высокого порядка. 0\а = —, ££ - ^^, |а| = ? Будем прод-

полагать, что коэффициенты уравнения (1) бесконечно дифференцируемы вЗ, и выполнены условия ат) = а£ аар£а(;в > {/¡С!2™ ДОя любых

Щ.Щ-т

£ € К", V > 0. Через п = (п1;...,п„.щ) обозначим вектор внутренней нормами к дС}. пространство Соболева: множество функций из

Ь2(С}), имеющих обобщенные производные из ¿^(ф) по х до порядка т и по 1 до порядка а включительно. замыкание множества финитных

бесконечно дифференцируемых функций по норме пространства

IV™''((¡>). В анизотропном пространстве Соболева №™'*(<2) в,м.дем скаляр ное произведение

(и, «)„,,, = У[ ^^ + «'^(<3),

причем (и.«)оо= (ил,') = /игЖ) для функций и, г из и

«3

г

¡¡и||2 = (и, м) = /(и, «)о|й. И'2 т,~* негативное пространство Лаке»: мно-о

жество функций из с конечной нормой

\\fWwr-\Q) = •

«е№Г*(0Г "и?"«?)

Краевая задача с постоянным коэффициентом. Найти решение уравнения (1) в области такое, что

= о- ¿-о^Т, (17)

= 0, ^ = 0,в — 1. (18)

= (19)

где (I вещественное число. Пусть С/, класс бесконечно дифференцируемых функций в удовлетворяющих условиям (17) (19). Пусть оператор, слпряжениый по Лагранжу к Ь. При этом сопряженные условия имеют вид

= »=5^1, (17*)

= O, j = 0,5-1, (18*)

Ci- класс: бесконечно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям (17*) (19*). W™'*+1(Q) подпространство, полученное замыканием Cl> но норме пространствя Wj™' (Q). Обсггиачям: Ри= ¿Г k¡(x,t)D¡u.

i-i

Для любых иеСь, г>е<?£« имеют место равенства

(Lu,v) = (u,L* v),

l(u,v)=(Pu,v) = (-1)'+,(ДЧ k2t+lDt+lv)+

+(~mih. - (S + m.+u}D¡u, D»v) + £ '¿(btJD}u, jytv),

¿—i j—o

где btJ известные гладкие функции, зависящие от ^(т. f), г = 1.2,5- + 1.

Определение 1. Слабым решением краевой задачи (I), (17) (19) )«we-<?£Л4 функцию ueL2(Q) такую, что интегральное тождество

(», £,•*) = (/,*), feL2(Q),

выполняется Оля любой v € Cj>.

Теорема 8. Пусть выполнены следующие условия: коэффициент <"/о(а") > О достаточно большой, (—1 )*¿aH-i(:r,0) > 0, (— IJ'fc^+i (ас, Т) > 0. (-1)*[&2,-

--r^fcs.+i.i] > 6 > 0, < \ т^т^м- Тогда для Аюбой Фу»™,™ / е

у »гж+н®»«)

¿г(<2) существует слабое решение и е b¿(Q) краевой задачи (17) (19).

Определение 2. Функция u(x,t) eW^ÍQ) позывается обобщенным решением краевой задачи (1), (17) (19), если выполнено тождества

а(и, v) = l(u, v) + (Mu, v) = (/, v), fe W~m-'(Q). для любой функции v €l$r!jv+1(Q).

Теорема 9. Пусть выполнены следующие условия: коэффициент ао(а-) > 0 достаточно большой, (-1)4^1 (г.0) > 0, (-^"^^.¡(г, Т) > 0, (- l)*[fcj,-

> 6 > 0, Щ < Тогда для любой функции f е

у «й+П^О)

H'2~m|~'(Q) существует обобщенное решение u(x,l) e\V ™'"{Q) краевой задачи (1). (17) - (19).

Краевые задачи с переменным коэффициентом. Краевая задача 1. Найти решение уравнения (1) в области С}. такое, что

а*«, _

—1^ = 0, » = 0,т — 1, (20)

= (21)

п('и(х, 0) = а{т)Ци(х, Т), хе^- (22)

Щи(х,Т) = Р(х)Ци(х,0). хё5^., (23) где а(х], в(х) - непрерывные функции в П.

= {{т, 0): хеП, 0) £ 0}

^ = {(*,:Г):хеП, (-1)'*2,+1(з:,:г)§0}

и = = для всех х из П.

При этом сопряженные краевые условия имеют вид

= г = (24)

^«ик = 0, з = О, в - 1, (25)

= (26)

{27)

Функции а(х). Д(х) такие, что: а{х)0{т) = 1 при ж е х е З^пЗ^.

Чс1>ез (Сг,.) обозначим класс бесконечно дифференцируемых функций в <3. удовлетворяющих краевым условиям (20) (23) ((24) (2?)).

И/£1'"+1(<2) _ подпространство, полученное замыканием Сх,. по норме пространства С помощью функционального метода и теорем вложения доказаны теоремы о существовании слабого решения в и обоб-щепного решения в пространстве Соболева IV "'''(Я) краевой задачи (1). (20) - (23) при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (1) и на коэффициенты о(х), /3(х).

Определение 3. Слабым решением краевой задачи (1), (20) (23) Рйю-вем функцию и€.Ь2(ф) такую, что интегральное тождество

(и, Гг.) = (/,<;).

выполняется для любой функции V 6 Сх*.

Теорема 10. Пусть коэффициент оп(х) > 0 достаточно большой,

при X € оа ,

|/?(х)| < ./Ьфй при х С . Тогда для любой функции f<=T^(Q) у I }

существует слабое решение и е ¡^¡(Я) краевой задачи (1), (20) (23).

Определение 4. Функция и(х,1) еИ-' неишаетс.я обобщенным

решением щшвой тдачи (1), (20) (2Я), рш вшшлмеив тождество

«{«,«) г /(«,«) + (Ми. о) = Ц». / е И^"»-''($).

<кя любой функции ад №г™'*+1(<3).

Теорема 11. Пусть ао(а;) > 0 достаточно большой,

{-ть. ' 'фЬиыА > 3 > 0. Ж1 < «Р« X € 30+.

Их)1 < при X 6 5-, Тогда дм любой функции

у «^ц*! *;

о

существует обобщенное решение и е И'' 2" ' (Ф) краевой задачи (1). (20) (Щ.

Краевая задача 2. Найти решение уравнения (1) в такое, что ¿р., ' _

—1^ = 0, г =07пг-Т (28)

= 0, ; = (29)

ОДм> = «(зОД'и^т при (-1)'**м-1(*.0) > 0, (-1)'^1{л-.Г) > 0, х € П. (30)

Пусть О, - класс гладких функций, удо&петворяющих условиям (28) (30).

Применяя метод "е-регуляритации" и метод Галеркина. а также используя теоремы о вложениях, доказаны теортмы о существовании обобщенного решения краевой задачи (1). (28) (30) внутри области О как в пространстве #1(0, полученного замыканием Сх но норме \\и\\ц1 —

/{(Д'«}2+ £ (ОД2К>. так и в где Н^Я) = {« .

£>ГЧ у/а^Ми, е |а| « га, 1 <

_/ в + 1, 1 < г < 28-1-1} есть гильбертово пространство с нормой ЦиЩ^ =

•+1 . . *+1

/{«*+ Е (Щи)* +£ФГЧ12 +£<% £ (ЩЩи)? +<тм{Ми)Ч

<3 М<т 7-2 |<»Кт

х: <х,(Д*+1'*1)и)а}<Й?, и (Ту(4) - - - весовые функции, где

1-1 _

] = 1.2« + 2, при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (1) и на коэффициент а(х).

Теорема 12. Преть «о(ж) > 0 достаточно большой, (—О) >

о, (-1 )**Ь+х(«.Г) > 0, (-1)'[*Ь + ^Зг^ЬпиА > 6 > о " \Ф)\« «в <

тт((-1)'к2,+1(х,Т))

. Тогда для любой функции / из Ь2(<3), /, е ¿з(<?).

юах((-1)^21+1(аг,0))

N

существует решение краевой задачи (1), (28) (30) и(х, <) ш Н^С}). такое, что Щ+1и е Я1((?ч), где <3, = {1х(г],Т - г)), 0 <г) < Т.

Теорема 13. Пусть выполнены, условия теоремы 12. Тогда для любой функции / из 1>2(0), /< € ¿г(Ф),- существует решение краевой задачи (1),

(28) - до; «ОМ) «з ЯьШп^ГШ.

В третьей главе исследуется разрешимость нелокальных краевых задач с условиями периодичности по времени для нелинейных уравнений. В первом пункте главы рассматриваются уравнения

Ьи^Ьои + д(х,1,и) = /(х,<). (31)

Ь0и = Л(х, 0, (32)

з

где £ и / е /^(«Э), Л € ¿г((?). Коэффициен-

»-I

ты уравнения (32) достаточно гладкие и кз(х, 0) = кз(т,Т). Ищем решение уравнения (31). для которого выполняются следующие краевые условия:

и(5г = (33)

«|{_о = и|(_г, (34)

= (35)

кции\м = ЬЫь-т- (36)

Определим О, как класс гладких функций, удовлетворяющих условиям (33) - (36).

Определение 5. Функция «(.г, t) е па-шваетея обобщенным ре-

шением краевой задачи (32) (36). если выполнено интегральное тождество

J[-ЬзЩ<т + - fo,t)iwi + kiUfT) - Ащ + C{x)wj]dQ = (ft, rj) Q

для любой функции г) € Wj'!(Q) , такой, что j;|[=o = 4\t-i ■

0(гредслим гильбертово пространство W[{Q) как замыкание класса Ci по норме

MU = Hb.2 + il|(M«)||.

Теорема 14. Пусть коэффициент С(х) > 0 достаточно большой. Ых,И)=Ых,Т), к^{хЛ)=кп(х.Т), h(x,0)=kz(x,T). -h+lku^Sy0 и

кя

—Тогда для любой функции h из L2{Q). существует, и притом единственное, решение краевой задачи (32) (36) u{r.t) из W/(Q). Определим условия на функцию g(x, t, u):

1) найдется постоянная А/0 > 0, такая, «по для любой функции u(r,t), для которой |«| ^ Mq. и для любой точки (зг,/) е имеет место неравенство ди > 0 ;

2) для любой постоянной М > 0 д е L»(Q, [—Л/, Л/]) и непрерывна по u е R для почти всех (г, f) € Q.

3) Ы < C\\uf + С„. где ß > 1, Г) > 0 и С2 > 0. причем при пф Iß удовлетворяет неравенству 1 < 0 < j^f.

Теорема 1S. Пусть выполнены условия теоремы Ц, и для д(тЛ,и) выполняются условия 1) - 3). Тогда для любой функции / ш Li{Q) существует хотя бы одно решение краевой задачи (31), (33) (36) и(т.1) е WUQ).

Во втором пункте третьей главы рассматриваются уравнения

LusiLou + g(x,t.u) = f{x,i), {3?)

Lo« = h(x,t), (38)

2в+1

где Lous £ l\(x,t)D]u + Ми, и / € Li{Q), h e L2(Q).

¿-I

Краевая задача. Найти в области Q решение нелинейного уравнения (37). для которого выполняются следующие краевые условия:

Dtu\*-o = Dt«|í_T, j = 0,2s - 1, (40)

= (41)

Определим как класс гладких функций, удовлетворяющих условиям (39) - (41).

Определение в. Функция u(x,t) е- W^^'iQ) наливается обобщенным решением краевой задачи (38) (41), если выполнено интегральное тождество

{-Ь^Прщ, + [(** - k2s+1_t)Dfu+J2 + = (М)

Q

для любой функции t] € W^ÍQ), такой, что =

Определим гильбертово пространство как замыкание класса C¿

по норме

Теорема 16. Пусть коэффициент С(х) > 0 достаточно большой, Щк3{:r,0) = irtkj(x,T) при i = 8 + 1,28 + 1, i = 0J-S- I, и

(~Щк2. - > S > 0 и (-1 )•%. - >8г> 0. Тогда

для любой функции h из L¡¡(Q). существует, и притом единственное, решение краевой задачи (38) (41) u(x,t) из U¿(Q).

Далее исследуются свойства нелинейной функции g(x.t.u). Из полученных результатов с помощью метода продолжения ио параметру, теорем вложения и теоремы Шаудера доказывается теорема о суще« воваиии хотя бы одного решения уравнения (37) с краевыми условиями (39) (41). Приведем условии на функцию g = g(x. t, и):

1) Найдется постоянная А/о > 0 такая, что для любой функции и, для которой ¡«I ^ Л/о, и для любой ючки (х, t) и < Q имеет место неравенство

ди> о.

2) Для любой постоянной М > 0 д € LX(Q х [—М, Щ) и непрерывна по и б R для почти всех (т., t) е Q.

TIS '

3) Если m <-, тогда

2s — 1

IpKCjM' + Cí,

где ß > 1, а Сз, положительные постоянные, причем в случае

na а , а JM + rn(2á + l)

m <-, величина р удовлетворяет неравенству 1<в<-;-

2s - 1 ns- m(2s - 1)

Теорема 17. Пусть выполнены условия теоремы 16 и.? € N, функция д = д(х, t. и) удовлетворяет условиям 1) 3), / € ^(Q). Тогда существует хотя бы одно решение из пространства Wi(Q) задачи (37), (39) - (41)-

Работы автора по теме диссертации

|1| Егоров И.Е.; Львов А.П. Разрешимость нелокальной краевой задачи для неклассических уравнений с меняющимся направлением времени //Неклассические уравнения математической физики: Труды семинара, посвященного 60 летию профессора В.Н.Врагова. Новосибирск: Изд-во Инта математики. 2005. С. 109 119

(2] Львов А. П. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени '/ Тезисы докладов: Лаврентьевские чтения Республики Саха (Якутия). - Якутск, 2000. С. 40-41

[3| Львов А. П. Об априорной оценке одной краевой задачи для параболических уравнений с меняющимся направлением времени // Тезисы докладов: Лаврентьевские чтения Республики Саха (Якутия). Якутск. 2001. С. 28 29

[4| Lvov А. P. On solvability of a nonlocal boundary value problem for an equation with varying time direction /' Математические заметки ЯГУ, 2001. Т. 8. выпуск 2. С. 103-111

}5] Львов А. П. Разрешимость нелокальной краевой задачи для неклассического уравнения с меняющимся направлением времени // Лаврентьев-ские чтения Республики Саха (Якутия): Научная конференция студентов и молодых ученых РС(Я)' Тез. докл. - Якутск. 2002. С. 15 18

|6] Львов А. П. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени <7 Математические заметки ЯГУ. 2002 Т. 9. в. 2. С. 91 95

|7| Львов А. П. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи с меняющимся направлением времени Мат-лы науч.конф. мол. ученых, посвящ. 45 летию ЯГУ. Ч. 3. Якутск: Изд-во ЯГУ, 2003. С. 17 18.

[8] Львов А. П. Разрешимость нелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка по времени с меняющимся направлением эволюции -'/ VII Лаврентьевские чтения: Научная конференция студентов и молодых ученых. Секция - Математика, механика и физика/ Сборник статей. Том 1. Якутск, 2003. С. 87-92

[9] Львов А. П. О разрешимости нелокальных краевых задач для уравнений высокого порядка с меняющим« направлением времени // IV Международная конференция по математическому моделированию: Тезисы до-

кладов / Под ред. И.Е. Егорова. - Якутск: Изд-во ГУ РОНПО. 2004. С. 25-26

Львов А. П. О гладкости решения нелокальных краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени / / Маг тематические заметки ЯГУ, 2004. Т.11, в.2, С. 51 56

|11| Львов А. П. Разрешимость нелокальных краевых задач для нелинейных уравнений нечетного порядка по времени с меняющимся направлением времени /' IX Лаврентьевские чтения, посвященные Международному году физики: Научная конференция студентов и молодых ученых Секция Математика, механика и физика: Сборник статей. Том 1. Якутск' Изд-во ГУ РОНПО, 2005, С. 51 63

I

i i

ïboG fi S3QS

- 5 9 6 5

Введение

1 Нелокальные краевые задачи для уравнений I и III порядка с меняющимся направлением времени

1.1 Краевые задачи для уравнения параболического типа с меняющимся направлением времени.

1.1.1 Краевая задача с постоянным коэффициентом.

1.1.2 Краевая задача с переменным коэффициентом.

1.2 Краевые задачи для уравнения III порядка с меняющимся направлением времени.

1.2.1 Краевая задача с постоянным коэффициентом.

1.2.2 Краевая задача с переменным коэффициентом.

2 Нелокальные краевые задачи для неклассических уравнений высокого порядка с меняющимся направлением времени

2.1 Краевая задача с постоянным коэффициентом.

2.1.1 Постановка краевой задачи и вывод априорной оценки

2.1.2 Существование слабого решения.

2.1.3 Существование обобщенного решения.

2.2 Краевые задачи с переменным коэффициентом.

2.2.1 Краевая задача 1.

2.2.2 Краевая задача 2.

3 Разрешимость нелокальных краевых задач для нелинейных уравнений с меняющимся направлением времени

3.1 Разрешимость краевой задачи для уравнения третьего порядка

3.2 Разрешимость краевой задачи для уравнения высокого порядка

Актуальность темы. Теория нелокальных краевых задач важна сама по себе как раздел общей теории краевых задач для уравнений с частными производными и как раздел математики, имеющий многочисленные приложения в механике, физике, биологии и других естественно-научных дисциплинах. Нелокальными краевыми задачами принято называть задачи, в которых вместо задания значений решения или его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же функций на иных внутренних или граничных многообразиях.

Предметом наших исследований являются нелокальные краевые задачи для уравнения где Ми = (—1)т Вх{аар(х)0%и) + ао(х)и - сильно эллиптический а\М=т оператор, в цилиндрической области С} = £7х(0, Т), = 5 х (О, Т), Г2сЖп - ограниченная область с гладкой границей

Уравнение (1) является уравнением математической физики неклассического типа нечетного порядка. На знак функции перед старшей производной по времени не сделано никаких предположений, поэтому в класс уравнений вида (1) входят эллиптико - параболические уравнения, уравнения с меняющимся направлением времени [95] и другие уравнения.

Начало исследований краевых задач для уравнений такого типа было положено в работах Жеврея [116, 117], опубликованных в 1913-1914 годах. В 20-е - 30-е годы XX века в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа на плоскости. В работах М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, И.Н. Векуа, С. А. Христиановича, С.А. Чаплыгина, Л.Г. Гудер-лея и других была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в магнитогидродинамических течениях с переходом через скорость звука и скорость Альфена, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмомент

2в+1

0.0.1) ной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах механики.

Новым этапом в развитии теории краевых задач для неклассических уравнений явились работы Г. Фикеры [99], O.A. Олейник [75], С.А. Терсенова [93, 95]. В их работах были предложены новые подходы и методы построения единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений. В.Н. Враговым [12, 13, 14] и рядом авторов было начато построение общей теории краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка с произвольным многообразием изменения типа, в частности, для гиперболо-параболических уравнений. Интерес к уравнениям с меняющимся направлением времени высок. Это вызвано, в частности, их приложениями в гидродинамике - изучением движения жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости.

Краевые задачи для линейных неклассических уравнений математической физики рассматривались в работах O.A. Олейник , Г. Фикеры, С.А. Терсенова [92, 93, 94, 95], A.M. Нахушева [73], И.Е. Егорова [25, 26, 27, 121, 122], И.Е. Егорова, В.Е. Федорова [29], И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, C.B. Попова [30], В.В. Катрахова [37, 38], Н.В. Кислова[40, 41, 42], С.Г. Пяткова [83, 84, 85, 86, 87, 133], C.B. Попова [80, 81, 82, 123, 124, 125], И.М. Петруш-ко, Е.В. Черных [77], В.Е. Федорова [97], Ф.М. Федорова [98], Х.Х. Ахмедова [3], В.В. Катышева [34], А.И. Кожанова [45, 47], С.Н. Глазатова [17], Н.Л. Абашеевой [1], A.B. Чуешева [100, 101], М.С. Боуенди, Г. Гривара [108], К.Д. Пагани [130, 131], К.Д. Пагани, Г. Таленти [132], О. Арены [103] и других авторов.

В работе И.Е. Егорова, В.Е. Федорова [29], в частности, рассматривается краевая задача для уравнения высокого порядка (1). Краевые условия задаются при í = 0hí = Tb зависимости от знака функции k2S+i(x,t). При выполнении определенных условий на старшие коэффициенты при производных по t и функцию ао(ж) с помощью функциональных методов, метода п£-регуляризации"и метода Галеркина были доказаны теоремы о существовании и единственности решения в W%m'2s+1 (Q).

Исследованию нелинейных уравнений посвящены работы H.A. Ларькина, В.А. Новикова, H.H. Яненко [58], Т.И. Зеленяка, В.А. Новикова, H.H. Яненко [32], Т.И. Зеленяка [33], B.C. Белоносова, Т.И. Зеленяка [5], В.Н. Монахова [69, 70], В.Н. Монахова, C.B. Попова [71, 72], А.Г. Подгаева [78, 79], С.Г. Пяткова, А.Г. Подгаева [88], С.Г. Пяткова [86], М.М. Лаврентьева(мл.) [51, 52, 53, 54], В.Н. Гребенева [21], С.Н. Глазатова [18], Н.Л. Абашеевой [2], A.B. Чуешева [102].

В частности, A.B. Чуешев в [102] исследовал разрешимость локальной краевой задачи для дифференциального уравнения вида

Аи +Ви +g{x,t,u) = f(x,t), (2) где А - обыкновенный дифференциальный оператор нечетного порядка по переменной t, а оператор В является равномерно эллиптическим оператором порядка 2m по переменным х, и функция д(х, t, и) есть нелинейное слагаемое уравнения (2). С помощью метода продолжения по параметру, теорем вложения и теоремы Шаудера была доказана теорема о существовании решения поставленной краевой задачи.

Впервые нелокальные краевые условия для получения разрешимых расширений некоторых типов неклассических операторов предложил A.A. Дезин [22, 23]. Также нелокальные краевые задачи для неклассических уравнений в своих работах исследовали В.Н. Врагов [11], С.А. Терсенов [95], И.Е. Егоров [121,122], С.Г. Пятков [133], А.И. Кожанов [44], Каратопраклиев Г.Д. [35, 36], А.Н. Терехов [91], С.Н. Глазатов [15, 16, 17, 20, 18, 19], C.B. Попов [123], A.A. Керефов [39], А.Г. Кузьмин [49]. Наиболее полная библиография по работам., посвященным исследованию нелокальных краевых задач, приведена в [118].

Так, в работе A.A. Керефова [39] для уравнения теплопроводности t^XX — l^t и смешанно-параболического уравнения со знакопеременным разрывом первого рода у коэффициента при производной по времени иХх — sgnxut в односвязной области О, = {{x,t) : 0 < х < 1,0 < t < Т;/,Т = const} и D = {(x,t) : —I < х < 1,0 < t < Т} соответственно изучены корректные нелокальные краевые задачи, когда, кроме краевых условий, известен закон, связывающий значения u(x,t) на характеристиках t = 0 и t = Т вышеприведенных уравнений. Доказаны принципы экстремума, гарантирующие единственность решений поставленных нелокальных задач, а методами интегральных уравнений установлено существование решений этих задач.

Цель работы. Перед автором диссертации стояла задача исследовать разрешимость нелокальных краевых задач для линейных и нелинейных уравнений нечетного порядка по времени. Рассматривались краевые задачи с постоянным и переменным коэффициентами в краевых условиях для линейных уравнений нечетного порядка по времени (1), краевые задачи с условиями периодичности по времени для уравнения вида (2).

Методы исследования. Для исследования вышеуказанных задач используются метод "е - регуляризации" и метод Галеркина, функциональный метод, метод продолжения по параметру, теоремы вложения и теорема Ша-удера.

Научная новизна. В основном ранее нелокальные краевые задачи рассматривались для уравнений первого и второго порядков. Поэтому новизна работы заключается в том, что здесь такие задачи рассматриваются для уравнений более высокого порядка. В работе получены следующие результаты:

- установлены существование единственного регулярного решения для нелокальной краевой задачи с постоянным коэффициентом в краевом условии, а в случае с переменным коэффициентом - существование решения в весовом пространстве, для линейного уравнения первого порядка;

- аналогичные результаты, за исключением существования единственного регулярного решения, получены в случае линейного уравнения третьего порядка;

- доказаны теоремы о существовании слабых и обобщенных решений нелокальных краевых задач с постоянным и переменным коэффициентами в краевых условиях для линейных уравнений высокого порядка по времени с меняющимся направлением времени;

- доказана теорема о существовании решения нелокальной краевой задачи с переменным коэффициентом в краевых условиях в весовом пространстве для линейных уравнений высокого порядка по времени с меняющимся направлением времени ;

- доказаны теоремы о существовании хотя бы одного решения для краевых задач с условиями периодичности по времени для нелинейных уравнений третьего и высокого порядков по времени.

Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты данной работы носят чисто теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития теории краевых задач для неклассических уравнений математической физики. Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что они показывают применимость методики исследований, разработанной в работах И.Е. Егорова, В.Е. Федорова, A.B. Чуешева и других исследователей, к нелокальным краевым задачам.

В первой главе рассматриваются краевые задачи с постоянным /л и переменными а (х) и ß(x) коэффициентами в нелокальных условиях для уравнений первого и третьего порядков.

В первом пункте главы в цилиндрической области Q = Г2х(0,Т), St = S х (0,Т), где Г2сМп - ограниченная область с гладкой границей 5, рассматривается уравнение

Ьи=к{х,г)щ- Аи + с(х)и = (х,г)е(2. (з)

Краевые задачи с постоянным коэффициентом Задача 1. Найти решение уравнения (3) в области ф, такое, что 0, (4) и\ь=о = ум\ь=т при 0) > 0, к(х,Т) >0, х 6 Г2, (5) где д - вещественное число.

Задача 2. Найти решение уравнения (3) в области ф, такое, что и\Бт = 0, (6) о = /Н«=г при 4х 1 < °> КХ1т) < х е (7) где /л - вещественное число.

Используя метод "е-регуляризации" и метод Галеркина, доказаны теорема о существовании единственного регулярного решения для краевых задач (3)

2 X

- (5), (3), (6) - (7) в пространстве Соболева И^' (Я) при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (3) и на коэффициент ц в краевых условиях.

Краевая задача с переменным коэффициентом. Найти решение уравнения (3) в области Я, такое, что к- = о, (8) и(ж,0) = а(х)и(х,Т) при к(х, 0) > 0, к(х,Т) > 0, х е О, (9) где а(х) - непрерывная функция в

Применяя метод "е-регуляризации" и метод Галеркина, доказана теорема о

0 1 о существовании решения краевой задачи (3), (8) - (9) в Нь{Я) П УУ2 (Ф)» гДе Нь{Я) = {и : и,иХо у/фщ, у/грЩхц € ^(Ф), г = 1,п} - гильбертово п п пространство с нормой \\и\\% = /[и2 + X) и* + фи2 + ^ X) +

С} г=1 1 г=1 и = ¿2(Т — ¿)2 есть весовая функция.

В этой главе вторым пунктом рассматривается уравнение третьего порядка по переменной £ вида з

1м= г)В\и ~ Аи + С(х)и = f(x' (10) г=1

Краевая задача с постоянным коэффициентом. Найти решение уравнения (10) в области Я, такое, что и^т = 0, (И)

4=о = «|«=т = о, (12) щ\г=о = №\г=т, (13) где д - вещественное число.

Используя метод "е-регуляризации" и метод Галеркина, доказаны теорема о существовании решения краевой задачи (10) - (13) внутри области С} в пространстве Н\(0) и теорема о существовании решения краевой задачи (10)

0 11

- (13) и(х,Ь) из Нь{0)ГШ'2 {Я) ПРИ выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (11) и на коэффициент ц.

При этом Н\[0) - пространство, полученное замыканием Сь по норме п и\\нх = /(и2 + и\ + X] - класс гладких функций, удовлетворяюд 1=1 11 щих условиям (11) - (13), Ш 2 (Ф) ~ замыкание множества финитных бескоп нечно дифференцируемых функций по норме И? 1 = /1У2 + ^ + ]Г) и1.]с1С2,

Я ¿=1

Нь{Я) = {и : и, ии иХ{, у/а1ии, у/ёзщи, л/а1иих{, у/о^Аи Е Ь2{0), г = 1, п} - гильбертово пространство с нормой

3 г=1 г=1 г=1 и а^) = — ^ = 1,4, - весовые функции.

Краевая задача с переменным коэффициентом. Найти решение уравнения (10) в области С}, если выполнены следующие краевые условия: и\8т = 0, (14) и\г=о = у\г=т = 0, (15) щ(х, 0) = а(х)щ(х,Т) при - кг(х, 0) > 0, -к(х,Т)3 >0, х £ О, (16) где а{х) - непрерывная функция в

Доказаны теоремы о существовании решения краевой задачи (10), (14) - (16) внутри области ф как в пространстве Н\{0) с нормой

П о . .

ЦиЦях = /(и2 + и2 + так и в Нь(Я) П У/2 №) ПРИ выполнении

О ¿=1 определенных условий на коэффициенты уравнения (10) и на коэффициент а{х).

Во второй главе рассматриваются краевые задачи с теми же коэффициентами в краевых условиях, как и в первой главе, но для уравнения высокого порядка.

Краевая задача с постоянным коэффициентом. Найти решение уравнения (1) в области С}, такое, что д1и1

7|5т = 0, г = 0, га — 1, (17)

П1и\^о,1=т = о, j = 0,8-1, (18)

АН=о = ^¡и\г=т, (19) где ¡1 - вещественное число.

С помощью функционального метода и теорем вложения доказаны теоремы о существовании слабого и обобщенного решений краевой задачи (1), (17) -(19).

Краевые задачи с переменным коэффициентом

Краевая задача 1. Найти решение уравнения (1) в области ф, такое, что д{и дп

И5г = 0, г = 0, т — 1, (20)

Я?«|*=(М=г = 0, j = (21)

В1и(х, 0) = а{х)И1и{х, Т), хёЕ^-, (22)

01и(х, Т) = /3(х)В$и(х, 0), гсе^о , (23) где а(х), Р(х) - непрерывные функции в О,,

Я? = {(я;, 0) : хеП, -к2з+1(х, 0) ^ 0}, {{х, Т) : яеО, Г) ^ 0}, и 50" = , = Зу для всех ж из О,.

С помощью функционального метода и теорем вложения доказаны теоремы о существовании слабого решения в Ь2{0) и обобщенного решения в проо странстве Соболева ТУ^'ЧФ) краевой задачи (1), (20) - (23) при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (1) и на коэффициенты а(х), (3(х). Доказательство теорем аналогично доказательству теорем из [29].

Краевая задача 2. Найти решение уравнения (1) в С}, такое, что

94 ап71*г = 0> г = 0, т — 1, (24) 0, з = 0^1, (25)

Н*=о = а{х)В1и\1=т при (-1)^+1 (я, 0) > 0, (-1)^+1 Т) > 0, я: € П. (26)

Применяя метод "е-регуляризации" и метод Галеркина, а также используя теоремы вложения [7], доказаны теоремы о существовании решения краевой задачи (1), (24) - (26) внутри области ф как в пространстве Н\(С}) с нормой |М|Я1 = ЖОД2 + £ (D%u)2}dQ, так и в HL(Q) П W?8(Q),

Q |a|^m где Hl{Q) = {и : D«u,Dr\^D{(D«u),^^2Mu, ^¡Dst+mU £ L2(Q), l^j^s + 1, + 1} есть гильбертово пространство с

S+l . , S + l нормой = /{u2+ Е (ВД2+£(ДГЧ)2+1>23- Е {D't(D«u)f +

Q |a|^m j=2 j'=l |a|^m

2S+1 . r;+ll a2s+2(Mu)2 + £ <ti{Dt 2 u)2}dQ, и aj(t) = t1+i(T - t)1+i - весовые функг=1 ции, где j = 1,2s + 2, при выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (1) и на коэффициент а(х).

В третьей главе исследуется разрешимость нелокальных краевых задач с условиями периодичности по времени для нелинейного уравнения вида

Lu=L0u +g{x,t,u) = f(x,t), (27)

L0u = h(x,t), (28)

2s+l где L0u= £ ki(x,t)D\u + Ми, и f £ L2(Q), h £ L2(Q), i=l

Mu = (—l)m D^(aap(x)D^.u) + C(:r)w - равномерно эллиптический оператор в Q.

Краевая задача. Найти в области Q решение нелинейного уравнения (27), для которого выполняются следующие краевые условия: д{и дп г|5т = 0, г = 0, m — 1, (29)

D}u\t=0 = D{u\t=T, j = 0,2s - 1, (30) k2s+iD2su\t=0 = k2s+1D2su\t=T• (31)

Сначала в весовом пространстве Соболева доказывается теорема о существовании и единственности решения краевой задачи (28) - (31). Далее, аналогично работе A.B. Чуешева [102], исследуются свойства нелинейной функции g(x,t,u). Из полученных результатов с помощью метода продолжения по параметру, теорем вложения и теоремы Шаудера, как и в [102], доказывается теорема о существовании хотя бы одного решения уравнения (27) с краевыми условиями (29) - (31).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" профессора И.Е. Егорова (НИИ математики при ЯГУ), на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" профессора А.И. Кожанова в 2005 г. (Институт математики им. C.J1. Соболева СО РАН), на конференции "Неклассические уравнения математической физики", посвященной 60-летию профессора В.Н. Врагова (2005 г., г. Новосибирск), на научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" в 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 г.г., на научной конференции молодых ученых и аспирантов, посвященной 45-летию ЯГУ в 2003 г., на IV Международной конференции по математическому моделированию (2004 г., г. Якутск). Работа поддержана грантом №8425 Вневедомственной научной программы "Развитие научного потенциала высшей школы" на 2005 год.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Первая и вторая главы состоят из пунктов и подпунктов, которые нумеруются натуральными числами. Третья глава имеет два пункта. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер пункта, третье - номер формулы в пункте.

1. Абашеева H.J1. Разрешимость краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000. 60 с. (Препринт №9).

2. Ахмедов Х.Х. О некоторых краевых задачах для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени: Дисс. .канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1989. 98 с.

3. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах // Прикл. математика и механика. 1960. - Т.24, №5. - С. 58-73.

4. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: НГУ, 1975. 156 с.

5. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка. 1965. 802 с.

6. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.:Наука, 1975. 480 с.

7. Берс. JL, Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Изд. АН СССР, 1959. 164 с.

8. Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения. // Математический сборник. 1956. Т.39, М. С. 51-148.

9. Вишик М.И., Грушин В.В. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений высших порядков // Математический сборник, 1969. Т.79, №1. С. 3-136.

10. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1983. 84 с.

11. Врагов В.Н. Смешанная задача для одного класса гиперболо-параболических уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения, 1976. Т.12, т. С. 24-31.

12. Врагов В.Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения, 1977. Т.13, №6. С. 1098-1105.

13. Врагов В.Н. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешанно-составного типа // Матем. анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978. С. 5-13.

14. Глазатов С.Н. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольнике // Сиб. мат. журн., 1985. Т.26, №6. С. 162-164.

15. Глазатов С.Н. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа // дисс. к.ф.-м.н. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1986.

16. Глазатов С.Н. Гладкие решения нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа // Актуальные проблемы современной математики. Новосибирск: НИИ МИОО НГУ, 1997. Т. 3. С. 46-52.

17. Глазатов С.Н. О разрешимости начально-краевых задач для нелинейного уравнения переменного типа // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, №6. С. 1293-1303.

18. Глазатов С.Н. Некоторые неклассические краевые задачи для линейных уравнений смешанного типа // Сиб. мат. журн., 2003. Т.44, №1. С. 44-51.

19. Гребенев В.Н. Об одной системе вырождающихся параболических уравнений, возникающей в гидродинамике // Сиб. мат. журн., 1994. Т.35, №4. С. 753-767.

20. Зеленяк Т.И., Новиков В.А., Яненко H.H. О свойствах решений нелинейных уравнений переменного типа // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. Т.5, №4. С. 35-47.

21. Зеленяк Т.И. Об одном уравнении со знакопеременным коэффициентом диффузии // Матем. проблемы химии. Новосибирск, 1975. Ч. 1. С. 111-115.

22. Катышев В.В. Об одном уравнении эллиптико параболического типа //Краевые задачи для нелинейных уравнений. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО АН СССР, 1982, С. 130-132.

23. Каратопраклиев Г.Д. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения, 1987. Т. 23, № 1. С. 78-84.

24. Каратопраклиев Г.Д. Об одной нелокальной краевой задаче для эллиптико-параболических уравнений // Дифференц. уравнения, 1993. Т. 29, № 5. С. 902-904.9

25. Катрахов В.В. Спектральная функция некоторых сингулярных дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, № 7. С. 1256-1266.

26. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Матем.сб., 1980. Т. 77, № 3. С. 354-379.

27. Керефов A.A. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения, 1979. Т.15, №1. С. 74-78.

28. Кислов Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения смешанного типа и их приложения // Мат.сб., 1984. Т.125, вып.1. С.19-37.

29. Кислов Н.В. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения, 1983. Т.19, №8. С. 1427-1436.

30. Кислов Н.В. Краевые задачи для уравнения смешанного типа в прямоугольной области //Докл. АН СССР, 1980. Т.255, №1. С.26-30.

31. Кожанов А.И. Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка // Матем. сб., 1980. Т.118, №4. С.504-522.

32. Кожанов А.И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. математики, 2004. Т.7, М. С. 51-60.

33. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1990. 132 с.

34. Кожанов А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной. // Сиб. мат. журнал, 1994. Т.35, №2. С. 359-376.

35. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка // Диффер. уравн., 1980. Т.16, №1. С. 86-92.

36. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

37. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990.

38. Кусаинова Л.К. Теоремы интерполяции в весовых пространствах Соболева // Тез. докл. Междунар. конф. "Функциональные пространства. Теория приближений. Нелинейный анализ." М., 1995. С.168-169.

39. Лаврентьев М.М.(мл.) Априорная гладкость решений ряда уравнений переменного типа // Матем. модел., 1990. Т.2, №9. С. 145-153.

40. Лаврентьев М.М.(мл.) Оценки решений одного уравнения переменного типа // Матем. модел., 1989. Т.1, №11. С. 132-138.

41. Лаврентьев М.М.(мл.) О разрешимости краевых задач для некоторых параболических уравнений с вырождениями // Сиб. мат. журн., 1987. Т. 28, №2. С. 79-95.

42. Лаврентьев М.М.(мл.) О свойствах приближенных решений нелинейных уравнений переменного типа // Сиб. мат. журн., 1980. Т. 21, №6. С. 176-185.

43. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.:Наука, 1973. 408 с.

44. Ладыженская O.A. О нестационарных операторных уравнениях и их приложениях к линейным задачам математической физики // Мат. сб., 1958. Т. 45(87), №2, С. 123-158.

45. Ладыженская O.A., Уральцева В.П. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.гНаука, 1973.

46. Ларькин H.A., Новиков В.А., Яненко H.H. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983. 170 с.

47. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1978. 400 с.

48. Львов А. П. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Тезисы докладов: Лаврентьевские чтения Республики Саха (Якутия). Якутск, 2000. С. 40-41

49. Львов А. П. Об априорной оценке одной краевой задачи для параболических уравнений с меняющимся направлением времени. // Тезисы докладов: Лаврентьевские чтения Республики Саха (Якутия). Якутск, 2001. С. 28-29

50. Львов А. П. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Математические заметки ЯГУ, Якутск 2002, Т.9, в.2, С.91-95

51. Львов А. П. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи с меняющимся направлением времени // Мат-лы науч.конф. мол. ученых, посвящ. 45-летию ЯГУ. Ч. 3. Якутск: Изд-во ЯГУ, 2003. С. 17-18.

52. Львов А. П. О гладкости решения нелокальных краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Математические заметки ЯГУ, 2004. Т.11, в.2, С.51-56

53. Монахов В.Н. Встречные потоки решений вырождающихся параболических уравнений // Мат. моделирование, 2000. Т. 12, №11, С. 77-90.

54. Монахов В.Н. Возвратные течения в пограничном слое // Динамика сплошной среды, 1998. Вып. 113. С. 107-113.

55. Монахов В.Н., Попов С.В. Весовые оценки градиента решений сильно вырождающихся параболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 1998. Т.5, вып.2. С.46-51.

56. Монахов В.Н., Попов С.В. Контактные краевые задачи математической физики // Динамика сплошной среды, 2000. Вып. 116. С. 58-73.

57. Нахушев A.M. О правильной постановке краевых задач для параболических уравнений со знакопеременной характеристической формой // Дифференц. уравнения, 1973. Т.9, №1. С.130-135.

58. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Об аналитичности решений линейных уравнений с частными производными // Матем. сб., 1971 Т.90, №4. С. 592-606.

59. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки. Матем. анализ. -М.: ВИНИТИ, 1971. С. 7-252.

60. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. матем. инта АН СССР, 1988. № 179. С.126-164.

61. Петрушко И.М., Черных Е.В. О начально-краевой задаче для уравнения с меняющимся направлением времени // Вестник МЭИ, 2000. №6. С. 60-70.

62. Подгаев А.Г. О некоторых корректных задачах для уравнений переменного типа // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982. Вып.55. С. 143-153.

63. Подгаев А.Г. О граничных задачах для некоторых квазилинейных параболических уравнений с неклассическими вырождениями // Сиб. мат. журн., 1987. Т. 28, №2. С. 129-139.

64. Попов C.B. Безусловная разрешимость первой краевой задачи для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск-ИМ СО АН СССР, 1989. С.153-156.

65. Попов C.B. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1991. Вып.102. С. 100-113.

66. Попов C.B. Об одной краевой задаче со сдвигом для параболического уравнения переменного типа // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2000. Вып.116. С. 83-94.

67. Пятков С.Г. О свойствах собственных функций одной спектральной задачи и их приложения // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1984. С. 115-130.

68. Пятков С.Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени //Докл. АН СССР, 1985. Т.285, №6. С.1322-1327.

69. Пятков С.Г. Разрешимость начально-краевых задач для одного нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск, 1987. 30 с. (Препринт АН СССР. Сиб. отделение. Ин-т математики; №16).

70. Пятков С.Г. О некоторых свойствах решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени // Сиб. мат. журн., 1986. Т.26, т. С.184-192.

71. Пятков С.Г., Подгаев А.Г. О разрешимости одной краевой задачи для нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Сиб. мат. журн., 1987. Т.28, №3. С.184-192.

72. Свиридюк Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязко-упругой несжимаемой жидкости // Изв. вузов. Матем., 1990. № 12. С. 65-70.

73. Терехов А.Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики: Сб. науч. тр./ АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т математики. Новосибирск, 1979. С. 128-137.

74. Терехов А.Н. Нелокальные краевые задачи для уравнений переменного типа //Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1985. С. 148-158.

75. Терсенов С. А. О первой краевой задаче для одного прямо-обратно параболического уравнения //Докл. АН СССР, 1991. Т.317, №3. С.584-588.

76. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений параболического типа с ' меняющимся направлением времени. Новосибирск: Сиб. отд-ние АНСССР. Ин-т математики, 1982. 168 с.

77. Терсенов С.А. Об аналитичности решений одного класса дифференциальных уравнений, вырождающихся на границе //Докл. АН СССР, 1976. Т.228, Ш. С.1294-1297.

78. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985. 107 с.

79. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

80. Федоров В.Е. Нелокальная краевая задача для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Актуальные проблемы современной математики: сборник научных трудов. T.I. Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ, 1995. С. 153-156.

81. Федоров Ф.М. Решение одной задачи с переменным направлением времени граничным методом // Мат. заметки ЯГУ, 1996. Т.З., вып.2. С.62-71.

82. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка //Математика. Сб.перев. 1963. Т.7. №6. С.99-121

83. Чуешев A.B. Краевая задача для линейного уравнения смешанного типа высокого порядка //Неклассические уравнения математической физики: ИНПРИМ 2000. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 2000, С. 56-60.

84. Чуешев A.B. Об одном линейном уравнении смешанного типа высокого порядка // Сиб. мат. журн., 2002. Т.43, №2. С. 454-471.

85. Чуешев А.В. Об одном нелинейном уравнении смешанного типа нечетного порядка // Сиб. мат. журн., 2003. Т.45, №2. С. 354-472.

86. Arena О. On a degenerate elliptic-parabolic equation // Communications Part. Equat., 1978. V.3, N 11. P. 1007-1040.

87. Abasheeva N.L., Pyatkov S.G. Countereexamples in indefinite Sturm-Liouville problems // Siberian Adv. Math., 1977. V. 7, N 4. P. 1-8.

88. Agmon S. Lectures on elliptic boundary value problems. Princeton: Van Nostrand, 1965.

89. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Comm. Pure and Appl., Math. 1962. V. 15. P. 119-147

90. Agmon S., Doughs A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for the solutions of elliptic differential equations satisfying general boundary values // Comm. Pure and Appl. Math., I, 1959. V. 12. P. 623-727; II, 1964. V. 17. P. 35-92.

91. Baouendi M.S., Grisvard P. Sur une equation ¿'evolution changeante de type // J. Funct. Anal., 1968. V.2, N 3. P. 565-584.

92. Beals R. On an equation of mixed type from electron scattering //J. Math. Anal. Appl., 1977. V. 58, N 1. P. 32-45.

93. Beals R. Indefinite Sturm-Liouville problems and half-range completeness // J. Differential Equations, 1985. V. 56, N 3. P. 391-408.

94. Beals R. Partial-range completeness and existence of solutions to two-way diffusion equation // J. Math. Phys., 1981. V. 22, N 5. P. 954-960.

95. Beals R., Protopopescu V. Half-range completeness for the Fokker-Planck equation // J. Statist. Phys., 1983. V. 32, N 3. P. 565-584.

96. Beals R. An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and scattering // J. Funct. Anal., 1979. V. 34,N 1. P. 1-20.

97. Coleman B.D., Diffin R.J., Mizel V.J. Instability, unigueness and nonexistence theorems for the equation щ = uxx — uxxt on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal., 1965. V. 19. P. 100-116.

98. Chen P.J., Gurvfin M.E. On the theory of heat conduction involving two temperatures // Z. Angew. Math. Phys., 1968. V. 19. P. 614-627.

99. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique //J.Math. AppL, 1913. V.9, №6. P.305-475.

100. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique //J.Math. Appl., 1914. V.4, №6. P.105-137.

101. S.N. Glazatov. Nonlocal boundary value problems for linear and nonlinear equations for variable type Новосибирск, 1998. 26 с. - (Препринт/ РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики: №46).

102. Greenberg W., Van der Мее C.V.M., Zweifel P.F. Generalized kinetic eguations // Integral Equation. Operator Theory., 1984. V. 7, N 1. P. 60-95.

103. Curgus В., Langer H. a Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weight function //J. Differential Equations, 1989. V. 79, N 1. P. 31-61.

104. Egorov I.E. On strong solvability of a nonlocal boundary value problem for an equation with variable time direction // Math. Zametki YaGU. 1994. V.l, №. P.70-74.

105. Egorov I.E. On smoothness a solution to a nonlocal boundary value problem for an operator-differential equation with variable time direction // Math. Zametki YaGU, 1995. V.2, №2. P.98-104.

106. Popov S.V. Nonlocal boundary value problems for operator-differential equations of even order // Math. Zametki YaGU, 1999. V.6, №1. P.90-103.

107. Popov S.V. On a boundary value problem for a singular parabolic equation with changing time direction // Math. Zametki YaGU, 1994. V.l, №1. P.113-128.

108. Popov S.V. Smoothness of solutions to the boundary value problems for a high-order operator differential equations // Math. Zametki YaGU, 1998. V.5, №1. P.106-112.

109. Lagnuese J.E. Singular differential equations in Hilbert space // SIAM J.Math.Anal., 1973. V.4, №4. P.623-637.

110. Lvov A. P. On solvability of a nonlocal boundary value problem for an equation with varying time direction // Математические заметки ЯГУ,2001. T.8, выпуск 2. С. 103-111

111. Kaper H.G., Kwong М.К., Lekkerkerker C.G., Zettl A. Full and partial-range eigen-function expansions for Sturm-Liouville problems withindefinite weights // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1984. V.A 98, N 1-2. P. 69-88.

112. Kaper H.G., Lekkerkerker C.G., Heitmanek J. Spectral methods in linear transport theory. Basel: Birkhauser Verlag, 1982. 345 p.

113. Pagani C.D. Studio di alcune questioni concernenti Z'equazone generalizzata di Fokker-Planck // Boll. Un. Math. Ital., 1970. V.3, N 6. P. 961-986.

114. Pagani C.D. On the parabolic equation sgn(x)\x\puy—uxx = 0 and a related one // Ann. Mat. Pura ed Appl., 1974. V. 99. P. 333-399.

115. Pagani C.D., Talenti G. On a forward-backward parabolic equation // Ann. Mat. Pura ed Appl., 1971. V. 90. P. 1-58.

116. Pyatkov S.G. On the solvability of a nonlocal boundary value problem for a parabolic equation with changing time direction // Sov. Math. Dokl., 1985. V.32, N 3. P. 895-897.

117. Pyatkov S.G. Some properties or eigenfunctiuns of linear pencils and applications to mixed type operator-differential equations // Partial Diff. Equations. Warszawa: Banach center publications, 1992. V.27. Pt 2. P. 373-382.

118. Klaus M., Van der Mee C.V.M., Protopopescu V. Half-range solutions of indefinite Sturm-Liouville problems // J. Funct. Anal., 1987. V. 70,N 2. P. 254-288.

119. Van der Mee C.V.M. Semigroups and factorization methods in transport theory. Amsterdam: Math. Centre Tract., 1981. N 146.