Нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений и некоторые их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. БЕРБЕКОВА

На правах рукописи

Абрегов Мухад Хасанбиевич

УДК 517.946.9

Нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений и некоторые их приложения

Специальность: 01.01.03 - "Математическая физика"

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук, профессор М.Х. Шхануков-Лафишев

Нальчик - 1998

-2-

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................4

ГЛАВА 1. НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА

ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ...................................................................15

§ 1. Теорема сравнения................................................................................. 15

§ 2. Первая краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля

с неклассическими краевыми условиями............................................20

§ 3. Первая краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля

с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского...................26

§ 4. Третья краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля

с неклассическими краевыми условиями...........................................32

§ 5. Третья краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля

с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского...................37

§ 6. Вторая краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля

с неклассическими краевыми условиями...........................................41

§ 7. Вторая краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля

с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского...................46

ГЛАВА 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ.................50

§ 1. Разностная схема для оператора Штурма-Лиувилля

1

с нелокальным условием 1) = /?|и(х)сЬс...........................................50

о

§ 2. Разностная схема для оператора Штурма-Лиувилля

1

с нелокальным условием-%2и0) = Р .........................54

о

§ 3. Решение плохо обусловленной задачи Коши методом редукции

к нелокальной задаче............................................................................57

ГЛАВА 3. НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА .65

§ 1. Нелокальная краевая задача типа Бицадзе-Самарского

для уравнения третьего порядка.........................................................65

§ 2. Третья краевая задача с нелокальным условием типа Бицадзе-

Самарского для уравнения третьего порядка......................................72

§ 3. Разностные схемы для нелокальных задач

типа Бицадзе-Самарского....................................................................78

§ 4. Определение контактной температуры при правке абразивных

кругов алмазным инструментом.........................................................83

ЛИТЕРАТУРА.......................................................................................................91

-4-ВВЕДЕНИЕ

Многие задачи механики сплошных сред, в частности фильтрации жидкости в пористых средах, влагопереноса в почвогрунтах приводят к нелокальным (неклассическим) задачам для дифференциальных уравнений математической физики [1], [2].

Нелокальные задачи возникают при математическом моделировании технологического процесса очистки кремниевых плит от примеси [3]. Нелокальные условия возникают также при описании процесса диффузии частиц в турбулентной плазме [4]. К первым работам по нелокальным задачам относятся работы Камынина Л.И. [5]-[6]. Различные типы нелокальных задач изучались в работах Ионкина Н.И.[7], Самарского A.A. [8], Ионкина Н.И., Моисеева Е.И. [9], Шополова H.H. [10], Ильина В.А., Моисеева Е.И. [11]-[12], Нахушева A.M. [13], Шханукова М.Х. [22]-[25], Ионкина H.H. [14]-[15] и многих других.

Приведем пример нелокальной задачи из теории влагопереноса в почвогрунтах. Почвенная влага движется под действием объемных сил, поверхностные и граничные эффекты здесь не играют роли [1]. Поэтому движение влаги в почве под действием силы тяжести и капиллярного давления описывается диффузионной моделью

dW _ д dt ' дх

ОХ

(0.1)

где /^-влажность в долях единицы, х-глубина, /-время, В(1¥)-коэффициент диффузивности. Диффузионная модель предполагает, что если в начальный момент задано неравномерное распределение влажности, то должен возникнуть поток влаги из более влажных в менее влажные слои. Однако, прямые, достаточно убедительные опыты показывают, что имеет место и обратный поток влаги от слоев с малым содержанием влаги к слоям с большим содержанием влаги [16],[18]. Эти факты входят в противоречие с

законом Дарси, лежащим в основе диффузионной модели (0.1). Как выяснилось позже [17], правильное истолкование того, когда и при каких условиях происходит движение влаги в прямом и обратном направлении, возможно на основе новой модели - модифицированного уравнения диффузии Аллера дЖ д

дг дх

дТУ ЩЖ)—

дх

+ (0.2)

где А - варьируемый коэффициент Аллера.

Решению уравнения (0.2) при различных краевых условиях посвящены работы [19]-[21], [22]-[25], [26].

Сформулируем неклассическую постановку задачи для уравнения (0.2). Требуется найти распределение влаги IV в слое 0<х<£ для всех / е[0,г], если известно:

1. Глубинный ход влажности в начальный момент ^ = 0 Щх,0) = <р(х), 0<х<£.

2. Изоляция в смысле обмена влагой между верхним слоем и нижними слоями, то есть

т в-

= 0.

дх 0 х=£

3. Расход влаги

о

д

Нелокальное условие 3 можно заменить условием

е

о

то есть задано содержание влаги в слое 0 < х < £.

В работе [29] Чудновский А.Ф. обратил внимание на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий.

Они, как правило, представляют собой условия 1-го, 2-го или 3-го

рода.

По мнению Чудновского А.Ф., задание временного хода влажности на верхней границе почвы не выдерживает никакой критики.

В отличие от температурного хода по времени на поверхности, никто никогда не сумел измерить влажность нулевого уровня почвы; о влажности почвы можно говорить только отнеся ее к некоторому слою. Последний может быть достаточно тонким, но не бесконечно тонким.

В этой работе предлагается в качестве граничного условия на верхнем слое почвы следующее условие:

а

= \WixJ) сЬс (0.3)

т

дх х=0 О

В условии (0.3) влажность является интегральной величиной для всего активного слоя почвы [0,а]. Активным слоем почвы [0,а] называют ее верхний слой, который участвует в водоснабжении корневой системы.

Другой класс нелокальных задач возникает при изучении популяционных моделей. Пусть и(х,плотность численности популяции возраста х в момент времени Тогда, как показано в работе [30], м(х,/) удовлетворяет уравнению

и(+их-к{х^), 0<х<£, t>0

с дополнительными условиями

и(х,0)= (р{х),

\ (0.4)

и{ 0,?)= \с(х^)и{х^)ск

о

Условие (0.4) называется законом рождаемости, с(х,1)-коэффициент рождаемости.

Нелокальные условия вида (0.4) возникают также при математическом моделировании технологических процессов внешнего гетерирования при

Л

очистке кремниевых плит от примеси [3], а также в теории солепереноса в почве при интенсивном испарении.

В работах [5]-[6] изучена краевая задача для параболического уравнения с общего вида с нелокальными (неклассическими) условиями типа

*i(0

\g(x,t)u(x,t)dx = E(t), 0<t<T (0.5)

х](0

где Xj(t), 7 = 1,2; g(x,t), £(i)-H3BecTHbie функции.

Неклассические задачи типа (0.5) возникают при изучении передачи тепла в тонком нагретом стержне, если считать заданным общее количество тепла части стержня, примыкающей к одному из концов. В работе [6] доказывается теорема существования и единственности краевой задачи для общего параболического уравнения с нелокальным условием вида (0.5). В работе [7] методом Фурье доказаны существование и единственность решения нелокальной задачи:

ut-a ихх, х е(0,£), t> 0

u(Q,t)=u{l,t), Mx(0,O=g(O, (0.6)

w(x,0)= UQ(X).

Идея метода решения задачи (0.6) основывается на возможности разложения и0(х) в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций несамосопряженного оператора исходной задачи (0.6).

В работе [8] Самарский A.A. поставил для параболических уравнений задачу с нелокальными условиями вида

ах (t)u(0, t)+а2 (t)u{i,t) + а3 (t )их (0, t) + аА их (£, t) = (рх (t)

К результатам работы [8] примыкают результаты Шополова H.H. [10]. В работе [11] для уравнения

Ьи

ах

/ ч

К{х)— ах

-#(х)и= -/(х), 0<х< 1, (0.7)

изучена нелокальная задача с условиями

т

и(0) = 0, и(1)=2>*и(&),

к=1

где ^-фиксированные точки интервала (ОД) такие, что

В работе [12] для уравнения (0.7) рассмотрена задача с нелокальным условием вида

т

Щ1)=2>*п(&),

к=1

где П(х) = -к— - поток через сечение х. с!х

В этих работах получены априорные оценки для решения указанных

1 2

задач в нормах С, Ж2, .

В работах [14]-[15] построены равномерно сходящиеся разностные схемы для нелокальных задач вида

ди с^и

+ g(x,t), 0<х<1, ¿>0,

дг дх1

и{0,0 = 0, их(0,0 = и*(1,0. 0</<г, и(х,0) = ^(х), 0 < х < 1.

Гордезиани Д.Г. в работах [30]-[32] для решения нелокальных задач использовал иной подход: он сводил нелокальную задачу к локальной задаче с помощью итерационного метода. При этом дается оценка скорости сходимости итерационного процесса. В работе [33] показана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями: нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского для уравнения Лапласа и теплопроводности сводятся к локальным задачам для нагруженных дифференциальных уравнений. Этот

факт можно использовать для приближенного решения нелокальных задач [34].

В работах [35]-[37] изучены нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского для параболических уравнений, где установлены теоремы единственности и существования.

В диссертации исследуются нелокальные задачи для обыкновенных и с частными производными третьего порядка дифференциальных уравнений вида (0.2), (0.7). Так как нелокальные задачи порождают несамосопряженную задачу, а соответствующие операторы не являются знакоопределенными, то построение устойчивых и экономичных алгоритмов для них является весьма актуальным.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Для широкого класса новых нелокальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений доказаны теоремы существования и единственности и на основе теоремы сравнения получены априорные оценки

"у

в нормах С и Ж2 .

2. Для некоторых классов нелокальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений построены разностные схемы второго порядка точности и доказана их сходимость со скоростью О (к2) в равномерной метрике.

3. Предложен способ численного решения плохо обусловленной задачи Коши с помощью метода редукции к нелокальным задачам.

4. Для некоторых классов нелокальных краевых задач для модифицированного уравнения влагопереноса доказаны теоремы существования и единственности. Построены разностные схемы второго

порядка точности и доказана их сходимость со скоростью 0(к2 + т2), где к и г - шаги сетки по пространственной и временной координатам.

Полученные в диссертации результаты являются новыми и находят непосредственное приложение в теории тепломассопереноса, в частности, они применены к решению практически важной задачи определения контактной температуры при правке абразивных кругов алмазным инструментом.

Перейдем теперь к более подробному изложению диссертации, состоящей из трех взаимосвязанных глав.

Глава 1.

В области (0,1) рассмотрим нелокальную краевую задачу

Lu={ku')'-g{x)^u=-f{x\ 0<х< 1 (0.8) 1

и{0) = а\и{х)ск, (0.9)

0

1

и(\) = ¡3\и{х)сЬс, (0.10)

о

где а и Р - постоянные числа, удовлетворяющие одному из условий:

1. а<0, /3<0\2.а<0, 0<^<1+-^; 3. /3<0, 0<а<\ + —;

с2 с2

4. а>0, /?>0, а+/3< 1+ —. (0.11)

с2

Имеет место следующая

Теорема 1.1. Пусть к(х) еС^ОД], /(х)^(х) еС°[0Д], ^(х)>0, 0<с1<к(х)<с2 всюду на [0,1]. Тогда для решения задачи (0.8)-(.0.11) справедлива априорная оценка

При этом решение задачи существует и единственно в классе С2 [ОД].

Ы 1 < М-... ,, \rWwii0,1] - У \\ь1{0,1]'

При доказательстве теоремы 1.1. мы существенно пользовались оценкой значений искомого решения в точках х = 0 и х = 1 через £2~ноРмУ правой части уравнения (0.8), полученных в параграфе 1 диссертации с помощью аналога теоремы сравнения для оператора Штурма-Лиувилля.

В той же области для уравнения (0.8) рассмотрим нелокальную задачу

т

и{0)=^аки{4к)+Мъ (0.12)

к= 1

т

«(1)=Е4«07;)+Я2> (0.13)

7=1

где к = \,2,...,т, у = 1,2,...,п - фиксированные точки интервала

(0,1) такие, что 0< ^ < <• • •< < Л\ <•••< Лп- Коэффициенты ак и -постоянные числа, удовлетворяющие условию

Х^+Е/?,^, (0.14)

+к +7

где символ означает суммирование по г, для которых у(г)> 0.

Имеет место

Теорема 1.2. Пусть к{х) еС^ОД], /(х), еС[0Д], £(х)>0, 0< с] < к(х)<с2 всюду на [0,1].

Тогда для решения дифференциальной задачи (0.8), (0.12)-(0.14) справедлива априорная оценка

При этом решение задачи (0.8), (0.12)—(0.14) существует и единственно.

В диссертации приводится пример неединственности решения задачи в случае нарушения условия (0.14).

Аналогичные результаты имеют место и в случае нелокальных краевых задач третьего рода.

Глава 2.

В области (0,1) рассмотрим нелокальную задачу

Lu = (ки'У - g(x)-u = -f(x), 0 < х < 1 (0.15)

w(0) = 0, (0.16) 1

и{\) = f3\u(x)dx, (0.17) о

где ад g С3[0,1], f{x), g(x) еС2[0,1], g(x)>0, 0 <c1<k(x)<c2 всюду на [0,1], a f3 удовлетворяет условию

+ (0.18)

с2

Показано, что решение задачи (0.15)-(0.18) существует, единственно, принадлежит классу С4 [0,1] и справедлива априорная оценка

Мж22[0,1] ^ M-\f\

Введем на отрезке [0,1] равномерную сетку сон = = г/г, г = 1,7У-1|,

к = 1/К. На этой сетке дифференциальную задачу (0.15)-(0.18) аппроксимируем разностной схемой

Л{,у = (ау-)х-<1у = -(р, (0.19)

N

Уо = 0, ум=Р^Пу, (0.20)

/=о

где а( = к{х1 - к/2), ¿/,. = §{х1), (р1 = /(*,.).

Доказано, что при выполнении указанных условий на к(х), g(x) и

/(х) разностная схема (0.19)-(0.20) сходится к решению задачи (0.15)-(0.18)

со скоростью к при к<к0.

Аналогичный результат получен и в случае нелокальной краевой задачи для уравнения (0.15) с условиями

-131

£(0К(0)-да(0)= 0, к{\)и'{\)~Р\и{х)сЬс.

о

В качестве приложения нелокальных краевых задач предложен метод численного решения плохо обусловленной задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с помощью редукции к нелокальным краевым задачам. Глава 3.

В области 0={(х,у): 0<х<£, О</<Г} рассмотрим нелокальную краевую задачу

Ьи = [к{х^)их +7](х^)их(^х +г(х^)и( + q(x,t)u = -/(х,/), (0.21)

т

и(£, 0 = 0-^(0> (0-23)

к=1

м(*,0)=м0(х), (0.24)

где 4-фиксированные точки интервала (ОД) такие, что 0 < ^ < <• • -4т < ^ > а удовлетворяют условию

(0.25)

+к

Будем предполагать, что

Д, , м, ^ е С1 [0,Г], "о (*) е С2 [0,, Л, кх, г,, цх, г, д, / е Сф),

к>сх>0, 7]>с2>0, г< 0. (0.26)

С помощью метода функции Римана доказаны существование и единственность решения нелокальной задачи (0.21)—(0.25). Для уравнения (0.21) с условиями

П(0,О = Д(О«(0,О-^1(О, (0.27)

т

-П(40= (0.28)

к=1

где П(х,/)= к{х,1)их + т]{х^)их(, доказана однозначная и безусловная разрешимость.

Для задачи (0.21), (0.27), (0.28), (0.24) построена разностная схема, доказана ее сходимость к решению дифференциальной задачи со скоростью

Из полученных в главе 3 результатов непосредственно следует однозначная разрешимость нелокальных задач для модифицированного уравнения влагопереноса Алл ера (0.2).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [50]-[58].

-15-

ГЛАВА 1. НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

§ 1. Теорема сравнения.

Для исследования разрешимости нелокальных краевых задач для оператора Штурма-Лиувилля в последующих параграфах нам потребуются некоторые свойства решений локальных краевых задач для указанного оператора.

При изучении этих свойств будем использовать одну теорему сравнения, доказательству которой посвящен данный параграф. Вначале приведем необходимые сведения из [1].

1. Пусть ¿7(7,и)- некоторая непрерывная на плоском (7,и)-множестве функция. Под максимальным решением и= м0^) задачи Коши

= и(?0) = г/0 (1.1)

будем понимать такое ее решение на максимальном интервале существования, что если и(7) любое решение задачи (1.1), то имеет место

неравенство Ц7) < м°(7) для всех г, принадлежащих их общему интервалу

существования. Имеет место

Теорема 1.1. Пусть 11^, и)- непрерывна в открытом (7,и)-множестее Ей и = и){{^-максимальное решение задачи Коши (1.1).

Пусть функция непрерывна на Е и удовлетворяет условию

Пусть V = у(7) является решением задачи Коши

на некотором отрезке Тогда справа от точки на любом общем

интервале существования v(t} и и0 (7) справедливо неравенство

Рассмотрим однородное и неоднородное уравнения

Ср(Ф')' + 4(Ои = 0, (1.2)

+ = (1.3)

2. Если eJ, где ./-некоторый /-интервал, и ^¿-произвольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения (1.3)

40 = ^0, = (1.4)

имеет единственное решение, существующее при всех ? е У.

3. В частном случае (1.2) уравнения (1.3) и при и0 = г^ = 0 соответствующим единственным решением служит функция и{У) = 0.

4. Если и у(0 - решения уравнения (1.2), а сх и с2 - постоянные, то функция с\и{1:)+с2^{1:) является решением уравнения (1.2). Если ™0(О-решение уравнения (1.3), то функция м?^) также является решением уравнения (1.3) тогда и только тогда, когда функция и = удовлетворяет уравнению (1.2).

5. Если и(0, - решения уравнения (1.2), то существует постоянная с, зависящая от м(/) и v(t) и такая, что для их вронскиана = выполняется тождество

6. Для пары уравнений

(ри')' + ди = /, + ^ = (1.6)

где /(?) и g{t) - непрерывные на У функции имеет место тождество Лагранжа

t

[p(uv'-u'v)] — gu—fv. (1.7)

Его интегральная форма fi

[p(uv'-u'vj\Pa = \(gu-fv)ds, (1.8)

a

где [a,P]c J, есть формула Грина.

7. В частности, из (5) следует, что u(t) и v(i) - линейно независимые

решения уравнения (1.2) тогда и только тогда, когда в (1.5) с^О. В этом случае всякое решение уравнения (1.2) является линейной комбинацией cxu(t)+ c2v(t) функций u{t) и v(i) с постоянными коэффициентами.

8. Преобразование Прюфера. В