Исследование существования и единственности положительных решений краевой задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка

§1.1 Предварительные сведения и объект исследования.

§1.2 Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного функционально - дифференциального уравнения второго порядка.

§1.3 Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.,,'.

§ 1.4 Априорные оценки положительных решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.

Глава 2. Существование и единственность положительного решения краевых задач для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом

§2.1 Существование единственного положительного решения краевой задачи для некоторого дифференциального уравнения второго порядка с линейным запаздывающим аргументом.

§2.2 Существование единственного радиально-симметричного решения краевой задачи для одного уравнения в частных производных с линейным запаздывающим аргументом.

§2.3 Существование положительного решения краевой задачи для некоторого дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.

§2.4 Построение приближенного положительного решения.

Глава 3. Существование и единственность положительного решения краевой задачи с краевыми условиями общего вида для нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка

§3.1 Существование и единственность положительного решения краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка.

§3.2 Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного сингулярного функциональнодифференциального уравнения второго порядка.

§3.3 Примеры.

Известно небольшое число работ, в которых классическими методами изучаются задачи, связанные специально с положительными решениями различных нелинейных уравнений. Отметим здесь статью П. С. Урысона [49], посвященную рассмотрению одного класса нелинейных интегральных уравнений. Эта статья ряд лет была малоизвестна; после переиздания ее в 1949 г. она привлекла внимание и послужила отправным пунктом для многич исследований.

Естественным орудием исследования положительных решений являются методы функционального анализа, основанные на использовании полуупорядоченных пространств, теория которых связана с именами Ф. Рисса, М. Г. Крейна, J1. В. Канторовича, Г. Фрейденталя, Г. Биркгофа и т. д.

В диссертации использована теория полуупорядоченных пространств, с вполне непрерывными операторами в той геометрической трактовке пространств с конусами (см. определение в параграфе 1 главы 1), которая была развита М. Г. Крейном и его учениками.

Отметим, что первые результаты, относящиеся к вполне непрерывным операторам, оставляющим инвариантным конус, были получены М. А. Рут-маном [45].

Условия полной непрерывности линейных интегральных операторов для различных функциональных пространств приводятся в общих курсах функционального анализа [9], [31], [19] и др. Необходимые и достаточные условия полной непрерывности линейного интегрального оператора в пространстве С найдены Радоном [44]. Условия полной непрерывности линейных интегральных операторов в пространствах Орлича см. в книге М. А. Красносельского и я. Б. Рутицкого [26]. Специальный анализ интегральных операторов типа потенциала проведен С. JI. Соболевым [48]. Важные условия полной непрерывности линейных интегральных операторов были найдены JI. В. Канторовичем [19]. Некоторые новые теоремы указаны М. А. Красносельским и Е. Н. Путыльником [25].

Условия полной непрерывности нелинейных интегральных операторов устанавливались многоми авторами, начиная с В. В. Немыцкого [40-41]. Наиболее общие условия полной непрерывности нелинейных интегральных операторов в пространстве С были указаны JI. А. Ладыженским [28-29]. Условия полной непрерывности нелинейных интегральных операторов в пространствах Орлича найдены М. А. Красносельским и Я. Б. Рутицким [26].

Ряд теорем о положительных решениях интегральных уравнений с вогнутыми нелинейностями установил Урысон [49]. Метод Урысона был применен и развит рядом авторов; отметим в связи с этим работы Н. А. Бахтина [10], А. Н. Гусейнова [16], А. Н. Гусейнова и Я. Д. Мамедова [17], Я. Д. Мамедова [34-38] Для некоторых весьма специальных нелинейных интегральных уравнений теоремы существования положительных решений методами теории конусов доказал М. А. Рутман [45]. Положительные решения нелинейных интегральных уравнений изучались М. А. Красносельским [20 ,22], Л. А. Ладыженским [28], Н. А. Бахтиным [10] и др.

В части относящейся к общей теории дифференциальных уравнений, в литературе приведены лишь хорошо известные факты, изложенные многими авторами (см., например, Ф. Р. Гантмахер [14], Дж. Самсон [46]).

Основоположная работа по изучению положительных решений двухточечной краевой задачи принадлежит С. Н. Бернштейну [12]. Эта работа послужила отправным пунктом для многих исследований; многие результаты подытожены в книге Дж. Самсона [46]. Методы функционального анализа при исследовании положительных решений двухточечной краевой задачи применялись М. А. Красносельским [21], А. И. Перовым [42-43], М. П. Семеновым [47], Ю. В. Гудковым, Ю. А. Клоковым, А. Я. Лепиным, В. А. Пономаревым [15] и др.

Перейдем к рассмотрению работ последних лет, посвященных вопросам существования и единственности положительных решений краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

X. Квинг и И. Чун [51] доказали существование положительного решения задачи х" + ха +1 = 0, 0<t<l, сс> О, х(0) = х'(1) = 0.

JI. Санчез [55] получил ряд утверждений о существовании положительных решений двухточечной краевой задачи для уравнения вида x"+f(t,x) = 0, 0<t<T. (1)

Например, если f(t,x) = g(x)-h(t), g(0) >h(t), 0<t<T и существуют числа b> а> 0 такие, что Т h c<4(b-a), g(x)<h при xe(a,b), где g(x) - непрерывная и неубывающая функция, h(t) - измеримая и неотрицательная почти всюду на [0,Т] функция, I Т h = — jhftjdt, h(t) = h(t)-h,

Т о то уравнение (1) имеет решение x(t )> 0, удовлетворяющее условиям х(0) = х(Т), х'(0) = х'(Т).

О. Донал [54] установил существование положительного решения задачи Дирихле

-j- (p(t)x')' + juq(t)g(t, x(t)) = 0, 0<t<l, P(0 x(0) = b>0, x(l) = 0, где p(t) и q(t) - неотрицательные измеримые на [0,1] функции, ju -положительная константа, g(t,x) удовлетворяет условию Каратеодори [27], причем g(t,x)>0 почти всюду в области [0,1 ] х (0, со J.

В [7] доказано существование и единственность положительного решения задачи x"+atmxn =0, 0<t<l, х(0) = х(1) = 0, где т , п, а - положительные постоянные, причем п > 1.

Кроме того, предложен неитерационный численный метод нахождения положительного решения данной задачи.

Положительные решения двухточечных краевых задач изучались также и для нелинейных сингулярных функционально - дифференциальных уравнений второго порядка.

В [56] получены необходимые и достаточные условия существования положительного решения краевой задачи g(x'))' = -k(t)f(xЛ 0<t<l, х(0) = х(1) = 0, где g(s)-\s\p 2s, р>1, функция f(x) такая, что f(x)>0, непрерывна справа и не возрастает в (0,+со), f (0+) = +со, функция k(t) измерима в [0,1] и k(t)> 0 почти всюду на [0,1].

С. Гомесом и Ю. Спрекелсом [50] установлены условия существования положительного решения нелинейной краевой задачи

-x"+p(t)x'+g(t)x = k(t)x-a(x')а, 0<t<l, ах(О) + bx'(0) = 0, сх(1) + 0(х'(1)) = 0, где а, b, с - некоторые действительные числа, а > 0, сг>0, p(t), g(t), k(t) - измеримые на [ 0,1 ] функции, причем k(t)>0 почти всюду на [0,1 ].

В [57] исследуется существование и единственность положительного решения уравнения вида x"+(n-l)t~Ix,+f(t,x) = 0, n>\, с краевыми условиями x'(0) = 0, x(l) = h>0 или x'(0) = 0, x(l) + kx'(l) = h, k>0, где функция f (t,x) удовлетворяет условию Каратеодори, причем f (t,x)>О почти всюду в области [0,1] х (0, со),

Среди работ, относящихся к вопросам разрешимости краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом можно выделить работы [18], [32], [33]. Наиболее исчерпывающее представление о развитии теории краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом приводится в книге [8].

Перейдем к изложению содержания представленной диссертации. В ней исследованы вопросы существования и единственности положительных решений краевых задач для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих тривиальное решение.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Абдурагимов Г. Э. О положительных решениях краевой задачи для одного нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянным запаздыванием. Труды молодых ученых. Махачкала, 1996. - с. 40 - 41.

2. Абдурагимов Г. Э. О положительных решениях краевой задачи для одного нелинейного функционально дифференциального уравнения 2-го порядка. Вестник ДГУ. Естественные науки. Выпуск IV. Махачкала, 1997. -с. 121-123.

3. Абдурагимов Г. Э. О ненулевых неподвижных точках нелинейного интегрального оператора. Межвузовский научно тематический сборник «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения». Выпуск 3, Махачкала, 1997. - с. 18-22.

4. Абдурагимов Г. Э. О существовании положительных решений краевой задачи для одного нелинейного функционально дифференциального уравнения второго порядка. Тезисы Четвертой Северо - Кавказской региональной конференции. Махачкала. 1997 г. - с. 3.

5. Абдурагимов Г. Э. О единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Математические чтения, посвященные Мухтарову X. Ш. Махачкала, 1999. с.З.

6. Абдурагимов Э. И. Единственность положительного решения одной нелинейной двухточечной краевой задачи и численный метод его нахождения. //Известия вузов. Математика. 1998, №11. с. 3 - 7.

7. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально дифференциальных уравнений - М.: Наука, 1991. - 279 с.

8. Банах С. Курс функционального анализа. Киев, 1948.

9. Бахтин И. А. О положительных решениях нелинейных уравнений с вогнутыми операторами. Воронеж, 1958.

10. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. -М.:Мир, 1968.- 183 с.

11. Бернштейн С. Н. Об уравнениях вариационного исчисления. УМН 8, 1941.

12. Воронина Н. В., Маланин В. В., Рекка Р. А. Осциллирующие функции и некоторые приложения. Свердловск. Издательство Уральского университета. 1990.

13. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Гостехиздат, 1953.

14. Гудков Ю. В., Клоков Ю. А., Лепин А. Я., Пономарев В. А. Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига, «Зинатие», 1973, 135 с.

15. Гусейнов А. И. Исследование положительных решений оператора Урысона, ядро которого зависит от параметра. Ученые записки АТУ, №12,1956.

16. Гусейнов А. И., Мамедов Я. Д. О положительных решениях нелинейных интегральных уравнений. Труды III Всесоюзного съезда математиков 2, 1956.

17. Жуковский Е. С., Шиндянип А. И. К вопросу об исследовании разрешимости краевых задач методом априорных неравенств. // Краевые задачи. Пермь, 1983. - с. 24-28.

18. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., 1959.

19. Красносельский М. А. Исследования по нелинейному функциональному анализу. Диссертация, Киев, 1950.

20. Красносельский М. А. Об одной краевой задаче. ИАН, сер. матем. 20, 1956.

21. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М., 1956.

22. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М., 1962.

23. Красносельский М. А., Вайникко Г. М, Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. -М.: Наука, 1969. -455 с.

24. Красносельский М. А., Пустыльник Е. И. О признаках полной непрерывности линейных и нелинейных интегральных операторов. ДАН 143, №1,1962.

25. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М., 1958.

26. Крейн С. Г. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972. - 544 с.

27. Ладыженский Л. А. Об одном классе нелинейных уравнений. Кандидатская диссертация, Казань, 1954.

28. Ладыженский Л. А. Общие условия полной непрерывности оператора П. С. Урысона, действующего в пространстве непрерывных функций. ДАН 96, №5, 1954.

29. Ладыженская О. А., Уралъцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. - 540 с.

30. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М. -Л., 1951.

31. Максимов В. П. Априорные неравенства и разрешимость нелинейных краевых задач для функционально дифференциальных уравнений.//Дифференциальные уравнения. 1981. - т. 17, №4. - с. 750 - 752.

32. Максимов В. П. О некоторых нелинейных краевых задачах. //Дифференциальные уравнения. 1983. - т. 19, №3. - с. 396 - 414.

33. Мамедов Я. Д. О положительных решениях нелинейных интегральных уравнений Урысона. ДАН Азерб. ССР, XI, №9, 1955.

34. Мамедов Я. Д. О положительных решениях уравнения Урысона, ядро которого нелинейно относительно параметра. ДАН Азерб. ССР, XII, №9,1956.

35. Мамедов Я. Д. О положительных решениях нелинейных интегральных уравнений Урысона, ядро которых аналитично относительно параметра. Ученые записки АГУ, №3, 1957.

36. Мамедов Я. Д. О положительных решениях одного класса нелинейных уравнений в функциональном пространстве. Ученые записки АГУ, №3,1957.

37. Мамедов Я. Д. К задаче о продольном изгибе стержня переменной жесткости. ДАН 118, №1,1958.

38. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. -М.: Мир, 1982.-294 с.

39. Немыцкий В. В. Теоремы существования и единственности для нелинейных интегральных уравнений. Матем. сб. 41, №3, 1934.

40. Немыцкий В. В. Общее нелинейное интегральное уравнение. ДАН 15, 1937.

41. Перов А. И. Некоторые вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Кандидатская диссертация, Воронеж, 1959.

42. Перов А. И. О двухточечной краевой задаче. ДАН 122, №6,1958.

43. Радон И. О линейных функциональных преобразованиях и функциональных уравнениях. Работа 1919 г., русский перевод в УМИ, выпуск 1, 1936.

44. Рутман М. А. Об одном специальном классе вполне непрерывных линейных операторов. ДАН 18, 1938.

45. Самсоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. ИЛ, 1953.

46. Семенов М. 77. Односторонние оценки в условиях существования нелинейных краевых задач. Доклады Высшей школы, №5, 1959.

47. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Издание Ленинградского университета, 1950.

48. Уръгсон П. С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений. Матем. сб. 31, 1924.

49. Gomes S., Sprekels J. Krasnoselskii's theorem on operators compressing a cone: application to some singular boundary value problems //J. Math. Anal, and Appl. 1990 - 153, №2 - c. 443 - 459. - Англ.

50. He Q., Ji. C. The existence of solution of a class of two order quasilinear boun - dary value problem // Appl. Math.and Mech. - 1992. - 13, №10. - c. 983 - 986. - Англ.

51. Kim J. Y. On the existence of positive solutions of boundary value problems for a semilinear ordinary differential equations of the second order //Cyxak = Math. 1991. - №3, c. 2 - 5. - Кор.; рез. Англ.

52. Li F., Wang X. Positive solutions of a nonlinear two point boundary value problem //Shanxi daxue xulbao. Ziran kexue ban = J. Shanxy Univ. Natur. Sci. Ed. 1994. -17, №4. - c. 363 - 368. - Кит.: рез. Англ.

53. О 'Regan D. Existence of nonnegative solutions for a class of semi positive problems //Dyn. Syst. and Appl. - 1997. - 6, №2 - c. 217-230 - Англ.

54. Sanchez L. Positive solutions for a class of semilinear two point boundary value problems //Bull. Austral. Math. Soc. - 1992. - 45, №3. - c. 439 - 451. -Англ.97

55. Wang J., Gao W. A singular boundary value problem for the one dimensional p - Laplacian //J. Math. Anal, and Appl. - 1996. - 201, №3 - c. 851 - 866 -Англ.

56. Wang J., Zheng D. Positive solutions of a class of singular and nonsingular boundary value problems //Dongbei shuxue = Northeast. Math. J. 1994. -10, №1 - c. 104 - 108. - Англ.