Краевые задачи теории аналитических функций и функциональные уравнения со сдвигом в область тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА МАРКУШЕВИЧА

ДЛЯ КОЛЬЦА И ЛИНЕЙНОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СО СДВИГОМ В ОБЛАСТЬ

§ I. Сведение краевой задачи к функциональному уравнению.II

§ 2. Решение линейного функционального уравнения

§ 3. Применение функционального уравнения к решению краевой задачи.

§ 4. Применение метода неполной факторизации

§ 5. Еще один частный случай решения краевой задачи.

ГЛАВА П. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА МАРКУШЕВИЧА ДЛЯ

КРУГОВЫХ ОБЛАСТЕЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С НЕСКОЛЬКИМИ СДВИГАМИ

§ 6. Краевая задача для контуров первого вща

§ 7. Некоторые частные случаи краевой задачи для контуров первого вида.

§ 8. Краевая задача для концентрических окружностей.

§ 9. Краевая задача для контуров второго вида

§ 10. Система функциональных уравнений в классе аналитических функций

ГЛАВА Ш. ОБОБЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КРУГОВЫХ ОБЛАСТЕЙ

§ II. Смешанная краевая задача для полуплоскости с круговыми разрезами

§ 12. Линейное функциональное уравнение со сдвигом в область, имеющим неподвижную точку на границе

§ 13. Некоторые обобщенные краевые задачи

§ 14. Нелинейное функциональное уравнение со сдвигом в область, имеющим неподвижную точку на границе

§ 15. Нелинейное функционально-операторное уравнение

§ 16. Решение одной плоской задачи теории упругости

Краевая задача линейного сопряжения об отыскании кусочно-аналитической функции , удовлетворяющей краевому условию с гёльдеровскими коэффициентами a(-t), в(-Ь),С(-Ь) и контуром Ляпунова Г исследовалась многими авторами. Для этой задачи была построена теория Нётера, вычислен индекс, найдены точные оценки дефектных чисел. Наиболее полные результаты относительно разрена полное качественное исследование задачи (0.1), её решение в явном виде неизвестно. Выделены только отдельные частные случаи, когда решение краевой задачи выписывается в замкнутой форме. В основном, эти случаи касаются односвязных областей. Поэтому решение краевой задачи Маркушевича для многосвязных областей и более сложных конфигураций хотя бы в частных случаях представляет интерес.

Краевая задача (0.1) имеет приложения в различных разделах механики сплошных сред. Например, в плоской теории фильтрации в случае установившегося движения для несжимаемой жидкости условие (0.1) означает непрерывность давления и функции тока при переходе границы раздела каких-либо двух зон [4, 30].

Л.Г.Михайловым было установлено, что если на контуре Г

Для этого краевого условия существует несколько названий: задача Маркушевича, общая или обобщенная краевая задача (см., например, [7, 14, 24] . Мы будем придерживаться первого названия. r(-t)=a,c-t)f-<:-y + 6(t;f(t) + G(-t), p

0.1) шимости этой задачи изложены в монографиях

Несмотря выполнено условие |cU-t)| = |$(-fc)[ , то задача (0.1) сводится к краевой задаче Гильберта. Следовательно, имеется возможность получить решение задачи (0.1) в замкнутой форме даже для некоторых многосвязных областей [2, 9]. А.А.Патрушев [2б] рассмотрел аналогичный случай для окружности.

Н.В.Ламбин [13] методом симметрии решил несколько частных задач (0.1) для круговых областей и областей, ограниченных аналитическими кривыми. Л.И.Чибрикова и Л.Г.Салехов [31, зз], применяя метод симметрии, решили задачу (0.1) с рациональными коэффициентами для замкнутой алгебраической кривой как в обычной постановке, так и для автоморфных функций. В работе [32] тем же методом решена задача (0.1) для совокупности параллельных прямых при аналогичных предположениях на коэффициенты. Имеется ряд работ (см., например, [4, 9, 29, 30, 34^ , в которых решаются конкретные задачи вида (0.1), возникающие в различных разделах механики сплошных сред.

Для того, чтобы осветить еще один результат, запишем условие (0.1) в развернутом виде, когда контур Г представляет собой две концентрические окружности с центром в точке г=0 радиусов Z и i соответственно, if«H0 = a,L-h)+ С-Ь)+ с, (-ь), =

0.2)

Ч\(*) = о*.C-t)fit)^(-t;fj-ь)+ са(ч0, i-ын.

Более подробная постановка этой задачи будет дана в § I. В случае, когда функции (-t), аналитически продолжимы в единичный круг, а функции a^-fc), - во внешность круга < X , причем функции а{ (г), (Х^г) не обращаются в нуль в соответству-щих областях аналитичности, однородная задача (0.2) решена Н.И.

- б

Жуковой [7].

В предлагаемой работе решаются краевые задачи вида (0.1) для круговых областей. При этом основную роль играют так называемые функциональные уравнения в классе аналитических функций. Под функциональным уравнением понимается следующая задача:

Найти функцию (г) , аналитическую в единичном круге, по соотношению

0.3) заданному в области <4 . Коэффициенты (Кг) и ^.te) меромор-фны в единичном круге и имеют там конечное число полюсов. Сдвиг |(z) удовлетворяет следующим условиям:

1.Функция аналитична в единичном круге

2.Уравнение = при \ъ\< ] имеет единственное решение 2=0 , причем 0 < \ (О) | < -I.

В такой постановке функциональное уравнение (0.3) будем называть "глобальным". Если же уравнение (0.3) задано в некоторой окрестности нуля, а функция ^>(2) ищется аналитической в нуле, то такое уравнение будем называть локальным.

Функциональное уравнение (0.3) и более общие уравнения изучались М.Кучмой, В.Смайдором, Я.Матковским, П.Мирбергом и многими другими авторами [37, 38]. В случае = г"™", габ/Д/, локальное уравнение (0.3) исследовал М.Кучма [39]. На функцию cj-(z) были наложены такие ограничения, что уравнение оказалось неразрешимым. Исходя из этого факта, последующие авторы не рассматривали случай особенности в неподвижной точке. П.Мирберг [38] решил локальное уравнение (0.3) при условии (j(O) * 0 . Л.С.Дарбинян [б] по сути дела повторил его результат. Я.Матковский исследовал глобальное уравнение (0.3) на разрешимость в классе мероморфных функций [40-42]. Попрежнему предполагалась аналитичность коэффициента Gfe) в нуле. В работе [1б] было показано, что общий сдвиг сводится к линейному. Если при постановке задачи (0.3) единичный круг заменить, например, на круг |г-ч! <\ , то получим функциональное уравнение со сдвигом, имеющим неподвижную точку на границе области аналитичности. Такие функциональные уравнения мало изучены. Отметим работы [28, 35, 50], касающиеся разрешимости уравнения. Г.П.Пелюх и А.Н. Шарковский в монографии [27] и других работах рассмотрели дифференциально-функциональные уравнения вида f(S2)= к (г, f'(*)). (0.4)

В. Смайдор [43-49] исследовал на разрешимость локальные вектор-но-матричные уравнения вида

Ч>(г)=Н (г; (0.5)

В.Смайдор установил достаточные условия существования единственного решения общего уравнения (0.5) и разрешимость некоторых частных случаев этого уравнения.

Охарактеризуем кратко результаты предлагаемой работы, посвященной краевой задаче Маркушевича для круговых областей и связанным с ней функциональным уравнениям.

В § I - § 3 первой главы решается краевая задача (0.2) при условии аналитической продолжимости некоторых комбинаций коэффициентов в определенные области сведением к глобальному функциональному уравнению (0.3) с линейным сдвигом. Решение функционального уравнения получено в виде рядов. Полностью установлена разрешимость функционального уравнения (0.3) в случае, когда функция имеет полюс в точке г = О . Применяя метод неполной факторизации и условия разрешимости

Re - О г неоднородной задачи (0.1) при <$1гс1 а(Ь) < О , в § 4 - § 5 удается выделить еще несколько случаев, когда задача (0.1) сводится к функциональному уравнению (0.3). Результаты этой главы обобщают результаты статьи [7] и результаты некоторых других вышеперечисленных работ по функциональным уравнениям и устраняют неточности работы [в]. Краевая задача для кольца рассматривается отдельно, так как она изучена наиболее полно. И далеко не все результаты по задаче для кольца удалось перенести на задачи для произвольных круговых областей, которым посвящена вторая глава. При некоторых условиях аналитической продолжимости коэффициентов a(-t) и £ (-Ь) задача (0.1) для круговых областей сводится к векторно-матричному глобальному функциональному уравнению г)= G-, (*) ^ & (г)] + Gr, (г) f [I (?) f 0.6) сдвиги которого f<(?) , 4?-* • • •»-fp te) не обязательно имеют совпадающие неподвижные точки. Последнее условие на сдвиги отличает функциональное уравнение (0.6) от ранее изученных [37, 38^[ (не говоря уже о глобальной постановке задачи (0.6)). В § 6 функциональное уравнение (0.6) сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений и уравнению со сжимающим оператором типа Вольтерра. Таким образом, может идти речь о довольно простом способе нахождения приближенного решения краевой задачи.

Далее, во второй главе разбираются отдельные частные случаи, когда уравнение (0.6) и, следовательно, краевая задача решаются в явном виде. Результаты второй главы обобщают некоторые краевые задачи, решенные в работах [4, 13]. Отметим, что в этих работах не используются функциональные уравнения, так как они вырождаются в уравнения вида fW» . + АцрГ^Й] + со сжимающим оператором в левой части. Легко видеть, что последнее уравнение имеет единственное решение

Хо - А,,)"' когда \0 = g-C^)2 const . Здесь ^lXic|<*i • В монографиях [4, по сути дела угадываются решения таких простейших функциональных уравнений.

В третьей главе рассмотрены некоторые смешанные краевые задачи, когда на части контура имеется условие Маркушевича, а на остальной части - условие Гильберта. Такие задачи сводятся к функциональным уравнениям вида (0.3) со сдвигом, имеющим неподвижную точку на границе области аналитичности искомой функции. При некоторых условиях на поведение коэффициентов уравнения в окрестности неподвижной точки получено решение таких уравнений. Далее, рассматриваются обобщенные краевые задачи tf+(-t)=a(-t)if-(-t)+ (R.4>~)(t); ief, (0.7) где R, - некоторый нелинейный оператор. Задачи вида (0.7) для круговых областей при некоторых условиях на коэффициент a(t) и оператор R, сводятся к функционально-операторным уравнениям вида f(S2)= (Fvf)Cz),

0.8) обобщающих уравнение ^(0.4). § 14 и § 15 посвящены разрешимости и нахождению решения уравнения (0.8). Исследование проводится при помощи теоремы Гробмана-Хартмана [25]. Отметим, что методы нелинейного анализа [l2] малоэффективны при решении уравнений вида *£0.8).

В заключительном параграфе решается конкретная краевая задача плоской теории упругости сведением к функциональному уравнению. Ранее такие задачи решались лишь в частных случаях, либо решались приближенно(51, 53].

1. Бархин Г.С. 0 жесткости кусочно регулярной поверхности положительной кривизны с краевым условием. - Уч.зап. Ка-бардино-Балк. ун-та, 1963, № 19, с.121-125.

2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 644 с.

3. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. - 295 с.

4. Голубев Г.В., Тумашев Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. Казань, Изд. Казан, ун-та, 1972. - 195 с.

5. Городжа Л.В., Емец Ю.Г., Жукова Н.И., Зверович Э.И. О применении обобщенной краевой задачи Римана к рассчету электрических полей. ДАН БССР, т. 23, № 2, с. I18-120.

6. Дарбинян Л.С. Решение некоторых функциональных уравнений. -Уч. зап. Ереван, ун-та. Ест. науки, 1982, № 3, с. 13-19.

7. Жукова Н.И. О задаче Маркушевича для кольца. Вест. БГУ, Сер. I, физ., мат. и мех., 1979, № 3, с. 72-74.

8. Жукова Н.И. Построение основных функционалов некоторых ри-мановых поверхностей сгриложениями к краевым задачам. Дис. . канд. физ.-мат. наук. - Минск, 1980, - 120 с.

9. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровских классах на римановых поверхностях. УМН, 1971, т. 26, № I, с. II3-I79.

10. Комяк И.И., Митюшев В.В. О решении краевой задачи линейного сопряжения для кольца. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук., 1983, № 3, с. 25-33.

11. Красносельский М.А. и др. Приближение решения операторных уравнений. М.: Наука, 1969. - 456 с.

12. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 511 с.

13. Ламбин Н.В. Метод симметрии и его применение к решению краевых задач. Минск, Изд. БГУ, I960. - 45 с.

14. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. - 448.

15. Митюшев В.В. Решение линейного функционального уравнения со сдвигом внутрь области. Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. н., 1983, № 5, с. 117 (полностью статья депонирована в ВИНИТИ, per. № 2278-83).

16. Митюшев В.В. О решении общей задачи краевой линейного сопряжения для нескольких концентрических окружностей. -Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. н., 1983, № 6, с. 104 (полностью статья депонирована в ВИНИТИ, оег. № 2279-83).

17. Митюшев В.В. Об одном применении метода неполной факторизации. ДАН БССР (в печати).

18. Митюшев В.В. Функциональное уравнение со сдвигом в область, имеющим неподвижную точку на границе. Вестник БГУ, сер. I, физ., мат. и мех. (в печати).

19. Митюшев В.В. О разрешимости функционального уравнения- (Fв классе аналитических функций. Вестник БГУ, сер. I, физ., мат. и мех. (в печати).

20. Митюшев В.В. О решении краевой задачи Маркушевича для полуплоскости с круговыми разрезами. Вестник БГУ, сер. I, физ., мат. и мех. (в печати).

21. Митюшев В.В. О решении краевой задачи Маркушевича для круговых областей. Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. н. (в печати).

22. Митюшев В.В. Решение краевой задачи Маркушевича для кольца в одном частном случае. Изв. ВУЗов. Матем. (в печати).

23. Митюшев В.В. Общее функциональное уравнение с особенностью в неподвижной точке. Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. н. (в печати).

24. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям. Душанбе: АН Тадж. ССР, 1963. - 183 с.

25. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. - 304 с.

26. Патрушев А.А. К задаче Маркушевича для односвязной области. Тр. сем. по кр. зад., Казан, ун-т, 1980, вып. 17, с. 110—123.

27. Пелюх Г.П., Шарковский А.Н. Введение в теорию функциональных уравнений. Киев: Ин-т мат. АН УССР, 1974, - П9с.

28. Песчанский А.И., Шевчик В.В. О площадной задаче со сдвигом. Мат. методы и физ.-мех. поля, Киев, 1982, № 15,с. 39-43.

29. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения подземных вод. -М.: Наука, 1977. 664 с.

30. Радыгин А.С., Голубева О.В. Применение теории функций комплексного переменного в задачах физики и техники. М.: Высш. шк., 1983. - 160 с.

31. Салехов Л.Г. К решению одной граничной задачи. ТФКП и кр. зад., Чебоксары, 1974, вып. 2, с. 126-140.

32. Чибрикова Л.И., Салехов Л.Г. Применение метода симметрии при решении одной задачи линейного сопряжения. Изв. ВУЗов. Матем., 1968, № 9, с. 94-105.- 106

33. Чибрикова JI.И., Салехов Л.Г. К решению одной общей задачи линейного сопряжения аналитических функций в случае алгебраических контуров. Тр. сем. по кр. зад., Казан, унт, 1968, вып. 5, с. 224-249.

34. Чибрикова Л.И. 0 методе симметрии в теории упругости. -Изв. ВУЗов. Матем., 1967, № 10, с. I02-II2.

35. Шевчик В.В. Функциональное уравнение со сдвигом в пространствах аналитических функций в полуплоскости. ДАН СССР, 1981, т. 256, I №, с. 53-54; УМЖ, 1982, т. 34, № 5, с. 661-666.

36. Cowen С.С. Iteration and solution of functional equations for analytic functions in the unit disk.- Trans. Amer. Soc. I,lath., 1981, v.236, IT p.69-95.37* Ghermanescu Li. Ecuatii functionalle.- Bucuresti: RAIT, I960. 670 p.

37. Kuczma M. Functional equations in a single variable.-YJarszawz: PAN, 1968.- 383 p.39» Kuczma M. On a functional equation with divergent solutions.- Ann. pol. math., 1970, v.22, IT 3, p.303-311.

38. Llatkowski J. On meromorphic solutions of a functional equation.- Ann. pol. math., 1970, v.22, IT 3, p.173-178.

39. Llatkowski J. On meromorphic solutions of a functional equation. II.- Ann. pol. math., 1971, v.24, IT 3, p.318-321.

40. Matkowski J. On mfromorfic solutions ox a functional equation.- Zesz. nauk UJ Pr. math., 1970, IT 14, p.53-54-.- 107

41. Smajdor W. On the existence and. uniquess of ananytic solutions of the functional equation = ^-fife).).- Ann. pol. math., 1967, v.19, N 1, p.37-4-5.

42. Smajdor W. Analitic solutions of the equationwith right side contracting.- Aequat. math.,1968, v .2, N 1, p.30-38.

43. Smajdor W. Local analytic solytions of the functional equation = fu i-n multidimensional spaces. Aequat. math., 1968, N 1-2, v.1, p.20-36.

44. Smajdor W. Formal solutions of a functional equation.-Zesz. nauk UJ Pr. math., 1969, К 13, p.71-78.

45. Smajdor W. Local analytic solutions of a functional equation Ф(г)= H(z> - Ann. pol. math., 1970, v.24, N 1, p.39-43.

46. Smajdor W. Local analytic solutions of the functional equation к fc, ^ СрФ. in multidimensional spaces.- Zesz. nauk UJ Pr. math., 1970, N 14, p.43.

47. Smagdor W. Solutions of Schroder equation.- Ann. pol. math., 1972, v.27, N 1, p.61-65.

48. Shapiro J.H., Taylor P.D. Compact, nuclear and Hilhert--Schmidt compositions in H2 •- Indiana Univ. Math. J., 1973, v.23, N 6, p.471-496.

49. Амензаде Ю.А. Плоская задача теории упругости. Баку: изд-во АГУ, 1975. - 200 с.

50. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральное уравнение теории упругости. М.: Наука, 1977. - 312 с.

51. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. - 688 с.