Уравнения плавного перехода и некоторые их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛАВНОГО ПЕРЕХОДА

§ I. Краевая задача Карлемана для полосы ос^дтк<р

§ 2. Уравнение плавного перехода в пространствах обобщенных функций

§ 3. Интегральное уравнение плавного перехода в пространстве 1 сх, ^ ^

§ 4. Некоторые вопросы устойчивости и приближенного решения

Одним из важных классов интегральных уравнений являются уравнения типа свертки. Интерес к ним вызван многочисленными приложениями в краевых задачах математической физики, теории упругости, теории волноводов [8, 5, 41, 15].

Ю.И. Черский ввел и рассмотрел [57] уравнение плавного перехода i „ u(t) - Jtt) +

-<х» e-t{u(t)+^<jli2it-s)u(s)as - git)} = 0,-<*,<-t < <*> (I)

-co в предположении, что , k2(t) £ L1 (0O, 6 L2(ifO . Уравнение (I) является уравнением типа свертки с переменными коэффициентами, наиболее близким к парному уравнению. В отличие от уравнений Винера-Хопфа, парного интегрального уравнения [29, 8, II] уравнение (I) не имеет явно выраженной точки раздела двух условий. С помощью преобразования Фурье Ю.И.Черский свел уравнение (I) к краевой задаче Карлемана для полосы, которая с помощью специальной склеивающей функции приводится к краевой задаче Римана на полуоси. При выполнении условий нормальной разрешимости оо

1 -t Ф 0, Kj.(х) =r ^toe^cil, j= 1,г (2) в число решений и условий разрешимости уравнения (I) находится по формулам

I = тах(0,эе) , р = max (0,-эе) ? (3) где = ¿Htl+ Kt(x)]J" - ~ Hfl+ К,(х>]£ , а решение (I) строится в квадратурах. Условия нормальной разрешимости (I) получены Л.С. Раковщиком [46]. Следуя методу Ю.И. Черского, Фан Танг Да [52] рассмотрел ряд других уравнений типа плавного перехода, которые приводятся к задачам Кар-лемана или, к так называемым, площадным задачам со сдвигом. Аналогичная задача исследуется в работе Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко [20] и применяется к интегральным уравнениям с однородными ядрами. Спектральные свойства оператора, отвечающего площадной задаче Карлемана, исследовал В.В. Шевчик [64]. Решение уравнений типа плавного перехода или соответствующих им задач Карлемана нашло применение в ряде задач математической физики для клиновидных областей. К одной задаче теплопроводности эти применения были даны Л.Я Тихоненко [51], к контактным задачам теории упругости - Г.Я. Поповым, Л.Я Тихоненко [431, Б.М. Нуллером [42]. В монографии Ф.Д. Гахова, Ю.И. Черского [8], имеющей основополагающее значение, выделен класс задач математической физики, содержащих экспоненту в краевом условии, которые приводят к решению задачи Карлемана. Даны примеры приближенного решения этих задач. Ряд задач математической физики, сводящихся к обобщенному функциональному уравнению Карлемана со сдвигом во внутрь области аналитичности, исследуется в работах Н.Л. Василевского, A.A. Карелина, П.В. Керекеши, Г.С. Литвинчука [3, 4], A.A. Карелина, П.В. Кереке-ши [21] сведением к сингулярным интегральным уравнениям со сдвигом, находятся условия нетеровости и формула для индекса. Современное состояние развития теории сингулярных уравнений со сдвигом отражено в монографии Г.С. Литвинчука [33],там же содержится подробная библиография.

Ряд проблем, относящихся к уравнению плавного перехода (I), оставались нерешенными. В частности, они включают в себя вопросы изучения уравнения (I) в шкалах пространств обычных и обобщенных функций, в классах функций показательного роста. Разработка методов точного и приближенного решения уравнения в важных для практики случаях. А также изучение уравнений типа плавного перехода. Этим вопросам и посвящена данная работа.

Настоящая диссертация состоит из двух глав. В первой главе изучаются уравнения плавного перехода (I) в шкале пространств в пространствах функций показательного роста {а, и находятся приближенные решения. На основе изученной задачи Карлемана для полосы и уравнения (I) во второй главе исследуются дифференциально-разностные уравнения типа плавного перехода, краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторые вопросы обобщенной задачи Карлемана со сдвигом внутрь области.

Первая глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе переносятся результаты Ю.И. Черского [57] по задаче Карлемана для полосы 1 для случая задачи Карлемана Зтг з^)

А(ас)с!>(Х+гЛ) + С(х)Ф(х+1/Ь)«&(ж), зс е Щ . (4)

Здесь К. - вещественная ось, АСхОт^О , 0 непрерывные функции из \Л/(Ю - класса Винера, 6(х)е С помощью сведения к задаче Римана (Теорема 1.4) доказываются теоремы Нетера, решение находится в квадратурах (Теорема 1.5).

При дополнительных ограничениях на коэффициенты задачи (4) в пп. 1.3, 1.4 решение строится методом факторизации. В этом же параграфе рассматривается схема Ю.И. Черского решения интегрального уравнения плавного перехода (I) (Теорема 1.6),

- 6 исследуется союзное уравнение в L2(R).

Во втором параграфе уравнение (I) рассматривается в пространствах основных функций К ^^ » которые не только п раз дифференцируемы, но и достаточно быстро убывают на бесконечности, с нормой а также в пространстве обобщенных функций построенных наWJJdW. Основным является результат о том, что число решений и условий разрешимости подсчитываются по формулам (3) и не зависят от чисел n ,т , в отличие от соответствующих выводов для парного интегрального уравнения 18]. Рассматриваются также случаи нецелых чисел п , m .

В третьем параграфе уравнение (I) рассматривается в классах функций показательного роста {а, . Исследование опирается на теорию уравнений типа свертки в {а, б} , изложенную в работе Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского [8], где также дана история вопроса (см. также [15], [56]). В зависимости от взаимного расположения полос аналитичности преобразований Фурье от ядер и свободного члена возникают различные краевые задачи типа Карлемана, в тон числе и односторонние [16]. В этом параграфе рассмотрено несколько частных, но характерных случаев. Здесь разрешимость и число решений уже зависят от взаимного расположения нулей функций l + Kj(Z) , j= (Теорема 3.1, п. 3.4). Некоторые вопросы устойчивости и приближенного решения уравнения (I) рассматриваются в четвертом параграфе. Используя решение уравнения (I), удается построить решение уравнения плавного перехода вида

- 7

00 00

Ос при более слабых ограничениях на ядра

0<С <1 м^(эс)|< С <оо , $ = , где И^-Сх) есть преобразование Фурье ядер п^ (*) , свертки понимаются как в работе Ю.И. Черского [61], а е ЦДАО , ц(0 е Ц, (1Ю .в этом же параграфе рассматривается один исключительный случай уравнения (5), когда

К (эОУх^+Т Ф 0, йт К(эс)Уос2+1 =1, 1пс£ [ К(ос)Уас«+Т] = 0,

М2ООИ>о, где

К(оО = М^ИМ^*)]"1 , М2(ос)= 1+ К2(ос) , р

В этом случае стоится приближенное решение методом факторизации.

Вторая глава состоит из трех параграфов. В пятом параграфе рассмотрено дифференциально-разностное уравнение типа плавного перехода п т ггСакр + вкре-ПГ^-Ькр)«^«), ^ ец - (6) к=0 р=1 в нормальном (Теорема 5.1) и исключительном случае (Теорема 5.3). Исследуется также союзное (6) уравнение. Устанавливается связь уравнения (6) с другими, в частности с изученным Ю.И. Черским [58] уравнением, обобщающим гипергеометрическое. Решение (6) строится в квадратурах.

Ранний период теории дифференциально-разностных уравнений отражен в монографии [I]. Разрешимость дифференциально-разностных операторов с частными производными исследуется в работе B.C. Рабиновича [45]. Нормальный случай (6) рассмотрен в совместной с Ю.И. Черским работе [62]. Близкие уравнения исследовались в работе П,В. Керекеши, М.А. Отилио [27].

Опираясь на предложенный Ю.И. Черским [60] метод поэтапного разделения переменных, в шестом параграфе рассмотрена краевая задача для уравнения эллиптического типа с граничными условиями, приводящими к задаче Карлем&на. При этом используются найденные интегральные представления для функции Llix.O) и производной lUj(эс,о) (Теорема 6Л).

В седьмом параграфе результаты первого и четвертого параграфа применяются к обобщенной краевой задаче Карлемана со сдвигом в области

2 Ак(х)9(х+1ак) = Сг(эс) ,Х6Я. к=0

Приводятся эквивалентные сингулярные интегральные уравнения (Теорема 7.1), случаи точного решения для трехэлементной задачи, строится также приближенное решение. В симметричном случае теория Нетера таких уравнений построена в работах [3, 4].

Основные результаты опубликовались в работах [35-38, 62] и докладывались на 1У Всесоюзной конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом (Киев, 1975 г.), на И и Ш Республиканских симпозиумах по дифференциальным и интегральным уравнениям (Одесса, 1978 г., 1982 г.), на школе молодых ученых Западного центра АН УССР (Львов, 1978 г.), на семинаре Одесского государственного университета им. И.И. Мечникова по приближенным методам (руководитель - Тихоненко Н.Я.) (Одесса, 1981 г.), на УП-ХП научных конференциях профессорско-преподавательского состава СГУ (Симферополь, 1978-1983 гг.), на Всесоюзной научной школе "Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках" (Симферополь, 1983 г.).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю -профессору Юрию Иосифовичу Черскому за постоянное внимание и помощь в работе.

1. Беллман Р., Кук K.J1. Дифференциально-разностные уравнения. М., Мир, 1967.

2. Березанский Ю.М. Пространства с негативной нормой.- Укр. матем. ж., т. 18, № I, 1963, с. 63-96.

3. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости, М., Наука, 1974.

4. Габдулхаев Б.Г. Некоторые вопросы теории приблиежнных методов. I. Казань: Изв. вузов, математика, № 9, 1968,с. 16-28.

5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., Наука, 1977.

6. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М., Наука, 1978, с. 296.

7. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними (Обобщенные функции,, вып. 2), 2-е изд., М., Физ-матгиз, 1958.

8. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных- 136 сингулярных операторов. Кишинев, Штиинца, 1973.

9. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М., Наука, 1971.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, суш, рядов и произведений. М., Наука, 1963.

11. Даугавет П.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: йздат. Ленинградок, ун-та, 1977, с. 184.

12. Дудучава Р.В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики. Тбилиси, Мицниереба, 1979.

13. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения. СМБ, М., Наука, 1968, с. 448.

14. Зверович Э.И., Литвинчук Г.С. Односторонние краевые задачи теории аналитических функций. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 28, № 5, 1964, с. 1003-1036.

15. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев, Наукова думка, 1968.

16. Кальдерон А.П. Промежуточные пространства и интерполяция, комплексный метод. Сб. переводов Математика, 9: 3 (1965), с. 56-129.

17. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., Наука, 1977.

18. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Об одной краевой задаче теории аналитических функций со смещением. Изв. вузов, математика, № II (126), 1972, с. 18-22.

19. Карелин А.А., Керекеша П.В. К теории задачи Карлемана для полосы с аналитическим сдвигом в область. ДАН УССР, сер. А, 1975, №2.- 137

20. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г. О сингулярном интегральном операторе с некарлемановскими сдвигами на разомкнутом контуре. ДАН СССР, т. 236, № 4, 1977, с. 792-795.

21. Карташева Л.В. Сингулярные интегральные уравнения в классе основных и обобщенных функций на разомкнутом контуре.-Изв. вузов, математика, №11, 1975, с. 89-92.

22. Карташева Л.В. Интегральные уравнения со сдвигом в пространстве обобщенных функций на разомкнутом контуре.- В сб. Математич. анализ и его применения, Ростов-на-Дону, т. 5, 1974, с. 20-27.

23. Квеселава Д.А. Решение одной граничной задачи Т.Карлема-на.- ДАН СССР, т. 55, № 8, 1947, с. 683-686.

24. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций.-Труды матем. ин-та АН Груз. ССР, т. 16, 1948, с, 39-80.

25. Керекеша П.В., Отилио М.А. Об одном классе линейных дифференциальных уравнений конечного и бесконечного порядка со специальными переменными коэффициентами.- Дифференциальные уравнения, т. 18, № 10, 1982, с. 1822-1824.

26. Кравченко В.Г. 0 сингулярном интегральном операторе со сдвигом.- ДАН АН СССР, т. 215, № 6, 1974, с. 1301-1304.

27. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов.- УМН, 13,5 (83), 1958, с. 3-120.

28. Крейн С.Г., Петунин Ю.И. Шкалы банаховых пространств.-УМН, 21: 2, 1966, с. 89-169.

29. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов.- М., Наука, 1978, с. 400.

30. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.- М., Мир, 1971.

31. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные- 138 уравнения со сдвигом,- М., Наука, 1977.

32. Лукьяненко В.А. Исключительный случай уравнения плавного перехода: Тез. докл. П республ. симпозиума по дифференциальным и интегральным уравнениям. Одесса, 1978, с. 8990.

33. Лукьяненко В.А. Исключительный случай уравнения плавного перехода.- В сб.: Взаимодействие в механике конструкций.-Киев-Одесса, Вища школа, 1980, с. 38-44.

34. Лукьяненко В.А. Уравнение плавного перехода в пространстве медленно растущих функций.- ДАН УССР, № 9, 1980,с. 19-22.

35. Лукьяненко В.А. Некоторые приложения уравнения плавного перехода: Тез. докл. Ш республ. симпозиума по дифференциальным и интегральным уравнениям. Одесса, ОГУ, 1982, с. 184-185.

36. Лукьяненко В.А. Уравнение плавного перехода в одном классе обобщенных функций.- Динамические системы, 1983, вып. 2, с. 89-94.

37. Моткин A.C. Сингулярные интегральные уравнения по бесконечному контуру.- Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, № 4, 1967, с. 72-77.

38. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов, М., Мир, 1974.

39. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.

40. Цуллер Б.М. Деформация упругого клина, подкрепленного балкой.- ПММ, т. 38, вып. 5, 1974, с. 876-882.

41. Попов Г.Я., Тихоненко Л.Я. Плоская задача о контакте полубесконечной балки с упругим клином.- ПММ, т. 38, вып. 2, 1974, с. 312-320.- 139

42. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений.- М., Мир, 1979.

43. Рабинович B.C. О разрешимости дифференциально-разностных уравнений на R.K ив полупространстве.- ДАН СССР, 1978, т. 243, № 5, с. II34-II37.

44. Раковщик Л.С. К теории уравнений типа свертки. УМН, 18, вып. 4, 1963, с. I7I-I77.

45. Рогожин B.C. Общая схема решения краевых задач в пространствах обобщенных функций, ДАН СССР, 164, № 2, 1965, с. 277-280.

46. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье.- ГосТех-издат, М., 1956.

47. Тихоненко Н.Я. К приближенному решению исключительного случая задачи Римана теории аналитических функций.- Теория функций. Функциональный анализ и их приложение, 1970, вып. 10, с. 27-35.

48. Тихоненко Н.Я. О методе приближенной факторизации.- Изв. вузов, математика, № 4, 1976, с. 74-86.

49. Тихоненко Л.Я. Плоская смешанная задача теплопроводности . для клина. Дифференциальные уравнения, т. 9, № 10, 1973.

50. Фан Танг Да. Об одном интегральном уравнении типа плавного перехода.- Дифференциальные уравнения, т. 8, № 6 (1972), с. I052-1067.

51. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения.- Тр. Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР, 23, 1957, с. 3-158.

52. Черский Ю.И. Две теоремы об оценке погрешности и некоторые их приложения.- ДАН СССР, т. 150, № 2, 1963, с. 271274.- 140

53. Черский Ю.И. Теорема об оценке погрешности: Тез. научной конференции, посвященной 100-летию ОГУ, 1965, с. 21-22.

54. Черский Ю.И. Уравнения типа свертки.- Изв. АН СССР, сер. матем., 22, № 3, 1958, с. 361-378.

55. Черский Ю.И. Нормально разрешимое уравнение плавного перехода.- ДАН СССР, 190, I, 1970, с. 57-60.

56. Черский Ю.И. Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным теориям анализа.- Трибили, 1971, т. 2,

57. Черский Ю.И. К решению краевой задачи Римана в классе обобщенных функций.- ДАН СССР, 125, 3(1959), с. 500-503.

58. Черский Ю.И. Метод поэтапного разделения переменных.-Матем. методы и физ.-мех. поля, 1980, вып. 12, с. 10-14.

59. Черский Ю.И. Интегральные уравнения в свертках с переменными коэффициентами.- Укр. матем. ж., 33, № б', 1981, с. 793-799.

60. Шевчик В.В. Интегральные уравнения типа свертки в семействе пространств обобщенных функций, непрерывно зависящем от параметра.- Дифференциальные уравнения, т. 14,II, 1978, с. 2060-2064.

61. Шевчик В.В. Функциональное уравнение со сдвигом в пространствах аналитических функций в полуплоскости.- ДАН СССР, т. 256, 1981, с. 51-53.

62. Prosser R.T- О. double scale of weighted. L? spaces. -Bulletin of American mathematical society, vol.&1, Vs 3 I9?S, p.615-6ie.