Ветвление и асимптотика решений нелинейных уравнений волновых движений жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

юля а*.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ ИМ. М.А.ЛАВРЕНТЬЕВА

УДК 517.958

На правах рукописи

Макаренко Николай Иванович

'ЧУ/

ОШСх^..

ВЕТВЛЕНИЕ И АСИМПТОТИКА

РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ ЖИДКОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

* ские от" " 19 йв?, №

IX уди а ученую степень ДОКТОРА;:

;< аЬлУЗ - /77 :

м--/-в--Новосибирск-

|| Начальник управления ВАК России

Н__

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ..........................................................5

Глава 1. Предварительные сведения..........................20

§1. Постановка основных краевых задач ...........................20

1. Уравнения движения (20). 2. Задача Коши-Пуассона (22). 3. Задача Коши на свободной границе (23). 4. Плоские стационарные течения двухслойной жидкости (25). 5. Переменные Мизеса (26). §2. Шкалы банаховых пространств аналитических функций.......28

1. Абстрактная форма теоремы Коши-Ковалевской (28). 2. Равномерно аналитические функции (30). 3. Интегралы Гильберта и Пуассона в шкале В (32). 4. Обобщенные классы Харди (33). 5. Оценки первообразных (37).

3. Ветвление решений инвариантных вариационных уравнений. . .41 1. Фредгольмовы уравнения с симметриями (41). 2. Алгебра Ли инфи-нитезимальных операторов (43). 3. Вариационная формулировка (46 ). 4. Теорема о редукции (47). 5. Пример полной редукции (49). 6. Пример

частичной редукции (53).

Глава 2. Плавный бор в двухслойной жидкости.............58

§4. Законы сохранения и дисперсионные свойства бора............58

1. Исходные уравнения (58). 2. Условия согласования данных на бесконечности (60). 3. Дисперсионное соотношение (63). 4. Свойства амплитудных кривых (67). 5. Формулировка бифуркационной задачи (72).

§5. Асимптотическое представление решений типа бора...........75

1. Уравнения для коэффициентов ряда возмущений (75). 2. Структура решения (78). 3. Асимметрия бора (80). 4. Условия разрешимости для старших приближений (83).

§6. Смешанная краевая задача для уравнения Пуассона

в двойной полосе...................................................86

1. Постановка задачи (86). 2. Представление решения (88). 3. Свойства

дисперсионной функции (90). 4. Свойства функций Грина (92). 5. Оценка

решения (94).

§7. Теорема существования.........................................99

1. Формулировка результата (99). 2. Оценки нелинейных отображений

(101). 3. Операторное уравнение (104). 4. Оценка оператора Грина (108). 5. Проекции Ляпунова-Шмидта (110). 6. Уравнение разветвления (114). Глава 3. Длинноволновая асимптотика нестационарных поверхностных волн ..............................................118

§7. Второе длинноволновое приближение в задаче Коши-Пуассона. 118 1. Исходные уравнения (118). 2. Преобразование к уравнениям на границе (119). 3. Уравнения Серра-Су-Гарднера (120). 4. Уравнения Буссинеска (123).

§9. Оценки оператора "нормальная производная" .................126

1. Граничное интегральное уравнение (126). 2. Оценки тригонометрических интегралов (128). 3. Оценки операторов с сингулярными ядрами (130). 4. Оценки операторов с ядрами Пуассона (133). 5. Основная лемма (135).

§10. Асимптотика оператора "нормальная производная" ..........137

1. Формулировка результата и схема доказательства (137). 2. Асимптотика операторов А~ и L~ (138). 3. Асимптотика операторов А+ и L+ (139). 4. Тождества для коэффициентов (142). §11. Оценка остатка в длинноволновой асимптотике решения задачи

Коши-Пуассона....................................................145

1. Существование и оценка точного решения (145). 2. Оценка приближенного решения (146). 3. Оценка погрешности (148). 4. Оценка для системы Буссинеска (150).

Глава 4. Дипольная асимптотика в задаче о генерации нелинейных волн .....................................................152

§11. Неустановившиеся поверхностные волны при наличии

погруженного цилиндра...........................................152

1. Постановка задачи (152). 2. Инверсия поля скоростей (153). 3. Ди-польное приближение (155). 4. Редукция к.уравнениям на границе (156). 5. Аппроксимации интегрального уравнения (158).

§13. Предельный переход по радиусу цилиндра ...................161

1. Операторы с суперпозициями ядер Пуассона (161). 2. Оценки скорости на границе (164). 3. Существование и оценка решения (165). 4. Оценка остатка (167).

Литература ....................................................169

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации исследуются качественные свойства решений нелинейных дифференциальных уравнений волновой гидродинамики. Здесь рассматриваются два круга математических вопросов, возникающих в теории плоских потенциальных движений жидкости со свободными и контактными границами. Первый из них связан с задачей описания стационарных волновых конфигураций в стратифицированных течениях. В предлагаемой работе методами теории ветвления доказывается существование и исследуется асимптотика точных решений уравнений Эйлера типа плавного бора — гладкой уступообразной волны повышения или понижения уровня поверхности раздела двух жидкостей.

Второй круг постановок относится к проблеме обоснования приближенных моделей неустановившихся поверхностных волн. На основе теорем существования и единственности, доказанных в диссертации, даются асимптотические оценки для разности решений нелинейной задачи Коши-Пуассона и некоторых известных ее аппроксимаций - системы уравнений Буссинеска, уравнений Серра-Су-Гарднера (модель второго приближения теории длинных волн), дипольного приближения в задаче о генерации волн погруженным препятствием.

Основополагающие результаты точной теории стационарных поверхностных волн получены в 20-х - 50-х годах в работах А.И.Некрасова [60], Т.Леви-Чивита [140], Д.Стройка [168], М.А.Лаврентьева [37], К.О.Фридрихса и Д.Г.Хайерса [122]. В [60] и независимо в [140, 168] установлено существование периодических решений двумерной задачи, а в [37] (см. также [38]) и затем в [122] доказано существование

/

уединенных волн. Задача о стационарных волнах при надлежащей переформулировке сводится к отысканию ненулевых решений опера-

торного уравнения вида

и = ХАи + f(u, А).

Тривиальному решению и == 0 соответствует равномерное течение слоя жидкости глубины Н со скоростью U, а бифуркационным параметром является величина X = F2 =. U2/gH - квадрат числа Фру-да. В периодической задаче спектр линейного оператора А дискретен, и ветвление малых решений происходит согласно классической схеме Ляпунова-Шмидта. В апериодическом случае уединенные волны ответвляются от безволнового режима в граничной точке А = 1 непрерывного спектра, причем волна в первом приближении имеет вид солитона Кортевега-де Фриза. Как показано в [105], эта схема укладывается в рамки обобщенной конструкции Ляпунова-Шмидта, согласно которой главный член длинноволновой асимптотики решения принадлежит бесконечномерному ядру вырожденной предельной задачи.

Глобальное поведение ветвей решений изучалось в работах [35, 100, 101, 137, 175] с привлечением топологических теорем о неподвижных точках положительных операторов [34, 117, 176]. Логический итог данных исследований - доказательство справедливости известной гипотезы Стокса о существовании заостренной предельной волны [75, 102] с углом 120° на ее гребне. Структура множества решений вблизи экстремальных значений параметров и связанные с этим вопросы единственности исследовались в работах [3, 4, 76, 125]. В [76] доказана неединственность уединенных волн, причина которой в немонотонной зависимости амплитуды волны от числа Фруда. Приближенному аналитическому представлению периодических и уединенных волн конечной амплитуды в виде рядов теории возмущений посвящены работы [32, 71, 154, 155, 142, 182, 180].

В настоящее время теорема существования точного решения имеется также для ряда постановок задачи о стационарных волновых следах за локализованными препятствиями. Это задача о возникновении периодической волны Некрасова в д'окритическом течении при обтекании неровности дна [55] или заглубленного точечного вихря [49, 50], а также при локализованном воздействии атмосферного давления на свободную поверхность [106]. К этой же тематике близка работа [57], в которой рассматривалась задача о волнообразовании за точкой контакта свободной и заданной границ при истечении жидкости из-под жесткой стенки.

Пространственная задача о стационарных волнах принципиально отличается от двумерной. Так, в периодическом случае вместо дискретного имеется непрерывный спектр, причем бифуркации происходят в его внутренних точках. Существование точных решений типа двоякопериодических волн доказано в [74] для точек спектра, удовлетворяющих условиям отсутствия малых знаменателей. В трехмерной задаче естественным регуляризатором является капиллярное давление на свободной границе. При ненулевом коэффициенте поверхностного натяжения спектр дискретен, но размерность ядра сильно зависит от внешних параметров — в специальных случаях оно может быть шестнадцатимерным. Возникающие в этой ситуации пространственные периодические волновые структуры изучались в [40] с привлечением методов теоретико-групповой редукции уравнений разветвления, а также в [161].

В двумерной задаче существование капиллярных периодических волн доказано в [79] и [185]. Относительно недавно было обнаружено, что учет поверхностного натяжения в непериодическом случае приводит к резонансным явлениям, порождающим сложные волновые конфигу-

рации. Так, благодаря наложению мод длинных и коротких волн для капиллярных чисел Бонда, близких к 1/3, существуют решения типа уединенных волн с осциллирующими хвостами мелкой ряби на бесконечности [106, 170] и условно-периодические решения [11, 12, 13]. Резонанс групповой и фазовой скоростей в этой же волновой системе влечет существование точных решений в виде стационарных солито-нов огибающей [130]. В работах последних лет по капиллярным волнам (за исключением [106], где использовался модифицированный подход Ляпунова-Шмидта) широкое применение получил предложенный в статье [138] метод редукции эллиптических краевых задач в полосе на конечномерное центральное многообразие. В качестве уравнений разветвления при таком подходе выступает динамическая система обыкновенных дифференциальных уравнений с неявными функциями в правых частях; роль времени в ней играет продольная пространственная переменная х. Качественное описание волновых структур, близких к положению равновесия, получается путем разрешения особых точек системы на центральном многообразии. Развитию и обобщению данного подхода применительно к задачам теории волн посвящены работы [27, 112, ИЗ, 128, 145, 146].

С точки зрения приложений большой интерес представляют волновые движения жидкости, неоднородной по плотности. Существование периодических волн на поверхности раздела двух жидкостей с разными плотностями доказано Н.Е.Кочиным [33]. Периодические внутренние волны в непрерывно стратифицированной жидкости изучались М.Дюбрей-Жакотэн [119], уединенные волны - А.М.Тер-Кри-коровым [173]. Локальная теорема существования уединенных волн в двухслойной жидкости получена в [93, 111], а ветви немалых решений исследовались топологическими методами в [103] и вариационными в

[110]. Результаты теории поверхностных волн являются здесь хорошим ориентиром, однако стационарные волны в стратифицированной жидкости имеют ряд особенностей, отличающих их от однотипных поверхностных волн. Так, уединенные внутренние волны могут иметь форму не только возвышения, но и впадины, что невозможно для однородной жидкости. Это свойство, впервые обнаруженное в [141, 156] в приближении длинных волн, справедливо и для точных решений уравнений Эйлера.

Предельное поведение внутренних волн также имеет свою специфику. Как показано в [103], для ветви уединенных волн в двухслойной жидкости существуют предельные точки в пространстве параметров, при приближении к которым для решения возможна альтернатива: либо неограниченно возрастает масса жидкости между волновым профилем и равновесным уровнем границы раздела, либо на профиле появляется точка с вертикальной касательной. Численные эксперименты указывают на то, что, по-видимому, реализуются обе эти возможности. В частности, в расчетах [157] обнаруживались грибообразные профили волн, однако вопрос о существовании соответствующих точных решений пока открыт. Неограниченное увеличение массы жидкости численно отслеживалось [177] в солитонах с уплощенной вершиной, по форме напоминающих плато с очень широкой подошвой волны. Фронт такой волны локализован. в узкой области и в пределе вырождается в плавный бор - волновой режим, которому нет прямого аналога в однородном случае.

Бор в стратифицированной жидкости приближенно описывается стационарным решением в виде гиперболического тангенса для модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза с кубической нелинейностью [123, 131, 148]. Для уединенных волн аналогичные асимптоти-

ки изучались в [85, 149, 156]. В указанных работах рассматривались стратифицированные течения, близкие к постоянному. Для движений с поверхностями скачка плотности, моделирующими узкий пикноклин, помимо обычного волнообразного искривления границы контакта однородных слоев характерно их скольжение друг относительно друга. Л.В.Овсянниковым в [70, 72] предложена модель второго приближения теории длинных волн в двухслойной жидкости, свободная от условий малости скачка касательной скорости на границе раздела. Согласно этой модели бор возможен без каких-либо существенных ограничений на толщины слоев и плотности жидкости. Такое течение с профилем волны, неподвижным в лабораторной системе отсчета, удалось реализовать в эксперименте [16] для двухжидкостной системы с проточными слоями обеих жидкостей. Приближенные решения типа бора в многослойной жидкости получались А.Ю.Якимовым и Ю.Л.Якимовым [97].

Существование стационарных решений уравнений Эйлера в виде плавного бора доказано Ч.Эмиком, Р.Тернером [104], автором [144] и А.Мильке [147]. В [104] с помощью техники редукции на центральное многообразие исследована задача о волновых режимах, слабо возмущающих равномерное бессдвиговое течение двухслойной жидкости. В случае общего положения реализуются периодические и уединенные волны, а при специальном соотношении между плотностями и глубинами на центральном многообразии имеется гетероклиническая траектория, соединяющая две особые точки - это и есть бор. Построение точной теории плавного внутреннего бора в двухслойной жидкости с конечным сдвигом скорости между слоями является одной из основных целей данной диссертации. Изложение базируется на работах автора [144, 45]. А.Мильке [147] также рассматривал задачу со скольжением слоев; им же строго обоснована возможность предельного вырожде-

ния уединенных волн типа плато в бор. Для параболических уравнений реакции-диффузии ветвление решений типа перехода изучалось В.А.Треногиным [87].

Вторую половину диссертации - главы 3 и 4 - занимает анализ асимптотических свойств решений уравнений нестационарной волновой гидродинамики. Важная роль методов возмущений, которую они играют в теории волн, объясняется трудностями анализа ее нелинейных начально-краевых задач с граничными условиями на искомых свободных поверхностях и границах раздела. Большинство известных [82, 84] приближенных моделей базируется на уравнениях, возникающих в результате разложения по подходящему малому параметру. Так, уравнения линейной теории получаются в качестве первого приближения по амплитудному параметру. Уже упоминавшаяся выше нелинейная теория длинных волн (или теория мелкой воды) описывает движения жидкости, средняя глубина которой мала по сравнению с характерной длиной волны. Наряду с этими двумя доминирующими приближенными теориями существует ряд моделей, использующих малость других характерных параметров. Сюда относятся вариационный метод усреднения Уизема [89], коротковолновые асимптотики и основанная на них лучевая теория волн [21], теория нелинейной модуляции волновых пакетов [24, 96] и связанные с ней модели резонансного взаимодействия волн [90].

Проблема строгого обоснования приближенных моделей волн на воде в четкой форме впервые обозначена в монографии Дж.Дж.Стокера [84], который подчеркивал актуальность ее решения для уравнений теории мелкой воды. Под обоснованием понимается доказательство теоремы существования и единственности решения в подходящем классе функций при всех значениях участвующего в моделировании параме-

тра (включая и предельное) и получение оценки близости для разности точного и приближенного решений. В математической литературе по теории волн эти вопросы стали рассматриваться с начала 70-х годов. Методической основой для их решения служат результаты о корректности задачи Коши-Пуассона. Модельные постановки, прояснившие нелокальный характер этой задачи, рассматривались в [64], а однозначная разрешимость в точной нелинейной постановке в аналитических классах и в классах Жеврея установлена в работах [52, 53].

В связи с рассматриваемой проблематикой Л.В.Овсянниковым [63, 65] была разработана