Конечномерные разрешающие системы в задачах теории ветвления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Наследственная симметрия разрешаюших систем для нелинейных уравнений с фредгольмовыми операторами

1.1 Основные понятия.

1.2 Конструкция разрешающих систем.

1.2.1 Нестационарный случай

1.2.2 Стационарный случай.

1.3 Использование сплетающих операторов.

1.4 Линейные задачи

1.4.1 Задача Коши для линейного дифференциального уравнения.

1.4.2 Задача о возмущении линейного уравнения малым линейным слагаемым [11].

1.5 Теорема Гробмана-Хартмана для уравнений с вырожденным оператором при производной.

1.5.1 Теорема Гробмана-Хартмана при (В) =

1.5.2 Об одном случае о\{В) ф 0.

1.5.3 Вариант теоремы Гробмана-Хартмана для отображений

1.6 Бифуркация Андронова-Хопфа в условиях косимметрии

1.7 Редукция укорочения УР в условиях групповой симметрии

1.7.1 Инвариантная редукция и частичная потенциальность УР

1.7.2 Итерационная процедура определения многопараметрических семейств решений.

2 Прикладные задачи математической физики

2.1 Симметрия области и асимптотика разветвляющихся решений нелинейно возмущенного уравнения Гельмгольца

2.1.1 А. (П- круг).

2.1.2 В. (12 - квадрат).

2.1.3 С. Случаи высоких вырождений (12 - квадрат)

2.2 Периодические решения для нелинейно возмущенного уравнения Гельмгольца.

2.2.1 Прямоугольная решетка периодичности.

2.2.2 Квадратная решетка периодичности.

2.2.3 Гексагональная решетка периодичности.

2.2.4 Ромбическая решетка периодичности.

2.3 Решения, инвариантные относительно нормальных делителей

2.3.1 Решения, инвариантные относительно нормальных делителей Ре в случае гексагональной решетки периодичности.

2.3.2 Решения, инвариантные относительно нормальных делителей для квадратной решетки периодичности

2.3.3 Решения, инвариантные относительно нормальных делителей для прямоугольной решетки периодичности

2.3.4 Решения, инвариантные относительно треугольной решетки периодичности.

2.4 Косоугольная решетка периодичности в задаче о капиллярно-гравитационных волнах

Теория ветвления решений нелинейных уравнений возникла на рубеже 19-20 столетий в работах A.M. Ляпунова [61], А. Пуанкаре [75] и Э. Шмидта [139], посвященных соответственно знаменитой задаче теории фигур небесных тел и общей теории интегральных уравнений. Уже в их работах был главным "принцип конечномерности"-сведения задачи в функциональных пространствах к эквивалентной конечномерной системе неявных функций (уравнению разветвления=УР). Варианты этого сведения были впоследствии названы методом Ляпунова-Шмидта. В первой половине 20-го столетия теория ветвления развивалась в работах А.И. Некрасова [67, 68], Т. Леви- Чивита [114], Д. Стройка [140] (волны на поверхности жидкости), Л. Лихтенштейна [115] (теория фигур небесных тел), Н.Н. Назарова [64, 65], (нелинейные уравнения типа Гаммерштейна) и Дж. Кронин [105] (абстрактная теория ветвления).

Начиная со второй половины 20-го века происходит резкий скачок в развитии этой теории. Появляются работы В.В. Немыцкого [69], М.М. Вайнберга [8], М.А. Красносельского [27], В. А. Треногина [10]. Была доказана теорема существования бифуркации от нечетнократно-го изолированного собственного значения линеаризованного оператора и соотвествующий результат в вариационном случае. Обзор результатов по 1970 год содержится в работах [9, 10, 11].

Для работ В.А. Треногина характерно систематическое использование абстрактного варианта леммы Шмидта, которую поэтому следовало бы назвать леммой Шмидта-Треногина. Впоследствии её применение дало не только более эффективный метод построения уравнения разветвления, но и оказалось полезным при регуляризации задач теории ветвления [85, 96] и симметризации операторов в случае потенциальности системы разветвления.

УР в одномерном случае полностью исследуется методом диаграммы Ньютона [11]. Впервые этот метод был применен к системам неявных функций в работах В.Д. Макмиллана [132]. Они остались незамеченными и первенство в применении метода диаграммы Ньютона было приписано Л.М. Грэйвз [108] и А.Э. Стапану [89]. Многомерное ветвление служит предметом исследований многих авторов вплоть до наших дней. Среди аналитических методов определения асимптотики решений УР наиболее перспективным является метод многогранников Ньютона (А.Д. Брюно [7]). Популярным, хотя и менее перспективным на наш взгляд, методом является применение теории особенностей гладких отображений (М. Голубицкий и Д. Шеффер [106, 107]).

В многомерном ветвлении наиболее эффективно сочетание аналитических, топологических (теория вращения векторных полей, степень отображения) и теоретико-групповых методов, дающих возможность исследовать вопросы существования и построения асимптотики семейств решений, зависящих от малых параметров.

В работе [96] согласно идее В.А. Треногина теория вращения конечномерных векторных полей (степень отображения) была впервые применена непосредственно к УР в соответствии с "принципом конечномерности" (см. также [85]). Была доказана теорема существования бифуркации в самом общем случае достаточно гладких нелинейных оператор-функций спектрального параметра. Основой этих результатов послужил аппарат обобщенных жордановых цепочек фредгольмо-вых оператор-функций [11]. Позднее топологические методы для исследования УР применялись также в работах Дж. Изэ [112], Л. Ниренберга [70], Р.М. Магнуса [130].

Возможности применения метода Ляпунова-Шмидта в динамическом ветвлении - бифуркации рождения цикла, качественной теории дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными, восходящие к подстановке А. Пуанкаре [62], были впервые применены в работах В.И. Юдовича [73, 102]. Соответствующие результаты в абстрактном случае были получены В.А. Треногиным [95].

Задачи многомерного ветвления нередко имеют семейства малых решений, зависящих от одного или нескольких параметров, имеющих групповой смысл. Бели группа симметрии (инвариантности) обладает интранзитивной подгруппой, то это позволяет существенно упростить общую задачу построения многопараметрических семейств решений. Первые результаты использования групповой симметрии в теории ветвления содержатся в работах В.И. Юдовича [73, 101, 102] (задачи о свободной конвекции в жидкости и о вторичных стационарных течениях жидкости между вращающимися цилиндрами). Это направление развивалось в работах его сотрудников [4, 5, 17, 18, 73, 90, 91, 92].

Далее теория ветвления в условиях групповой симметрии получила свое развитие в работах Б.В. Логинова и В.А. Треногина [55, 56], где был предложен метод группового расслоения и дан анализ возможностей редукции УР (понижения порядка) [36]. Была доказана теорема о наследовании УР групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи, что позволило решать задачу построения УР по допускаемой им группе (см. обзорные работы [36, 44]).

Первые применения построения общего вида УР по допускаемой группе содержатся в работах [35, 49], посвященных задаче о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла. Это одна из задач о нарушении симметрии. Основное уравнение допускает группу движений пространства IR3, а при переходе бифуркационного параметра (температуры) через критическое значение рождаются семейства решений инвариантные относительно кристаллографических групп [32] (укладки К3 однотипными ячейками, телами Платона). В менее общей ситуации теорема о наследовании была доказана в [137, 138, 142] и с ее помощью в развитие результатов [45, 104, 117] в работах [135, 137] была детально исследована задача о конвекции в жидкости.

Методы группового анализа дифференциальных уравнений (теории инвариантных многообразий по С. Ли-JI.B. Овсянникову [71, 72]) позволили дать полное и эффективное решение задачи построения общего вида УР по допускаемой им группе симметрии. Особенно яркое их применение относится к задачам о нарушении симметрии [1, 2, 14, 45, 47, 49, 59, 98, 104]. Общая теория применения методов группового анализа в теории бифуркаций содержится в [42, 45, 48, 49, 116, 117]. На ее основе было дано [49] более полное по сравнению с [35] решение задачи о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла и решение ряда задач теории капиллярно-гравитационных поверхностных волн [1, 2, 14, 45, 58, 59, 98, 125].

Похожая ситуация наблюдается и в нестационарном ветвлении -бифуркации Андронова-Хопфа. В [106, 107] здесь применяются методы теории особенностей, а в [38, 39, 40, 43, 48, 118, 128, 129] методы группового анализа дифференциальных уравнений. Отметим здесь также работу В.И. Юдовича и И.В. Моршневой [63] о гидродинамических приложениях бифуркации Андронова-Хопфа в условиях групповой симметрии по пространственным переменным.

Для работ математиков СНГ характерно эффективное использование аппарата обобщенных жордановых цепочек [11, 50, 80, 81, 85]. Его привлечение позволило решить вопросы устойчивости разветвляющихся решений в задаче о точках бифуркации [37, 126] и привело к понятию уравнения разветвления в корневом подпространстве [41, 119, 126], а также и более общему понятию "разрешающей системы" в задачах теории ветвления [120, 121, 124].

Во второй половине XX века начинаются исследования дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным фред-гольмовым оператором при производной (Н.А. Сидоров с сотрудниками [79, 85, 99], Б.В. Логинов с сотрудниками [31, 37, 48, 126], Г.А. Сви-ридюк с сотрудниками [82, 83, 84], создавший теорию полугрупп операторов с ядрами), вызванные приложениями к теории упругости при ползучести и к теории движения неньютоновских жидкостей. Толчком к появлению этих работ и первым их приложением послужила задача С.Л. Соболева [88].

Обобщением групповой симметрии является понятие сплетения, сплетающих операторов [66]. Его применение в теории ветвления содержится в работах [45, 86, 87, 120, 121].

В задачах теории ветвления оно впервые встретилось в работах [28, 37, 126]. На основе этого понятия в [86, 87] были предложены итеративные методы построения семейств разветвляющихся решений. Настоящая диссертация возникла в процессе работы по теме гранта РФФИ 0101-00019 "Сингулярные дифференциальные уравнения: стационарные и периодические решения, разрешающие системы, симметрия, устойчивость" в 2001 году, направленной на исследование разрешающих систем в условиях групповой симметрии нелинейных задач и построение асимптотики решений, инвариантных относительно подгрупп. Поэтому результаты статей, опубликованных совместно соискателем и научным руководителем, принадлежат авторам в равной мере.

В первой главе (параграфы 1.1, 1.2) вводится понятие разрешающей системы (РС) для дифференциального уравнения в банаховых пространствах с фредгольмовым оператором при производной. Это -конечномерная система дифференциально-алгебраических уравнений (становящаяся чисто алгебраической, если Л-жордановы цепочки линеаризованной нелинейности имеют единичные длины) в нестационарном случае и уравнение разветвления в корневом подпространстве (УРК)-в стационарном.

В параграфе 1.2 проведено детальное сравнение вариантов A.M. Ляпунова и Э. Шмидта уравнений разветвления в корневом подпространстве. Приведены эквивалентные преобразования, сводящие одно УРК к другому.

В параграфе 1.3 исследована роль сплетающих операторов как в стационарном, так и в нестационарном случае, и доказана теорема о наследовании разрешающими системами свойств сплетения (негрупповой симметрии) нелинейного уравнения. В случае групповой симметрии УРК показана возможность его редукции по жордановым цепочкам.

В параграфе 1.4 строятся разрешающие системы для линейных задач теории ветвления: задачи Коши для линейного уравнения с фредгольмовым оператором при производной и задачи о возмущении линейного уравнения малым линейным слагаемым. Для первой задачи в монографии [85] построены уравнения разветвления в виде системы дифференциальных уравнений бесконечного порядка и системы интегральных уравнений Вольтерра. Вторая задача рассматривалась в монографии [11] (для простоты изложения) в случае одного возмущающего оператора с замечанием по поводу обобщения на оператор-функцию малого параметра. Относительно более ранних журнальных публикаций см. [85] и [11]. Аналогичные результаты для задачи о возмущении с оператор-функцией нескольких малых параметров и теорией обобщенных жордановых цепочек по направлениям были получены Д.Г.

Рахимовым [76, 77]. В параграфе 1.4 результаты [11, 85] усилены на основе теории разрешающих систем с использованием ОЖН сопряженной оператор-функции.

В параграфе 1.5 дано приложение разрешающих систем к доказательству различных вариантов теоремы Гробмана-Хартмана для уравнений с вырожденным оператором при производной. Эти результаты являются основой дальнейшего развития темы гранта в направлении применения методов группового анализа к построению и исследованию разрешающих систем как аналогов уравнения разветвления (УР).

В параграфе 1.6 методы теории ветвления применены для динамической задачи при бифуркации Андронова-Хопфа в условиях косиммет-рии.

С самого начала применения теоретико-групповых методов в задачах стационарной теории ветвления возникла проблема о возможностях одновременной редукции УР по числу неизвестных и по числу уравнений - редукции укорочения (РУ). В параграфе 1.7 получены необходимые и достаточные условия такой редукции, связанные со свойствами сплетения нелинейного оператора проекторами (условия III и III7), как для варианта A.M. Ляпунова, так и для варианта Э. Шмидта построения УР. Даны их приложения к задаче о кристаллизации в физике фазовых переходов и теории капиллярно-гравитационных поверхностных волн. Особое внимание уделено вариационному случаю. В пункте 1.7.3 в достаточно общем (наиболее часто встречающемся ) случае расположения отрезков диаграммы Ньютона в условиях групповой симметрии предложен итеративный метод построения семейств разветвляющихся решений.

Основные результаты диссертации

1. Введено понятие эквивалентных разрешающих систем (РС) для полулинейных дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной, являющихся дифференциально-алгебраическими системами. Для соответствующих стационарных задач РС представляют собой уравнения разветвления в корневых подпространствах (УРК). Установлена эквивалентность УРК Ляпунова и Шмидта.

2. Доказаны теоремы о наследовании РС групповой и негрупповой симметрии (сплетения) исходной задачи.

3. Для сингулярных дифференциальных уравнений доказаны два варианта теоремы Гробмана-Хартмана, представляющие собой введение в теорию центрального многообразия.

4. Исследованы возможности редукции УРК по жордановым цепочкам полной длины; инвариантной редукции уравнения разветвления (УР) и ее связи с частичной потенциальностью. Получены необходимые и достаточные условия одновременной редукции УР по числу уравнений и неизвестных (редукции укорочения).

5. Определен общий вид УР с симметрией БН(2), Н(2) гиперболических вращений как пример потенциальных УР с симметрией псевдоортогональных групп.

6. В условиях редукции укорочения предложен итерационный процесс вычисления многопараметрических семейств разветвляющихся решений, не зависящий от групповых параметров.

7. Рассмотрены задачи о нарушении симметрии. Для нелинейно возмущенного уравнения Гельмгольца найдены решения с симметрией плоских кристаллографических групп, в том числе решения, инвариантные относительно нормальных делителей дискретной группы симетрии. В задачах о капиллярно-гравитационных поверхностных волнах доказано отсутствие решений с элементарной ячейкой периодичности в виде любого параллелограмма для косоугольной решетки симметрии, соответствующих 4-х мерному вырождению линеаризованного оператора. Здесь возможно только двумерное вырождение.

Выполненная работа дает возможность развития теории центрального многообразия для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при производной.

Использование разрешающих систем оказывается эффективным при исследовании устойчивости стационарных и периодических разветвляющихся решений этих уравнений.

В перспективе предполагается исследовать связь УРК бифуркации Андронова-Хопфа с теорией РС.

Естественно возникают проблемы построения РС для неявно заданных дифференциальных уравнений, когда ядро сингулярного линеаризованного оператора не является инвариантным относительно группы симметрии.

Заключение

1. Абдуллаева Ф.Д. Ветвление и устойчивость периодических решений задачи определения свободной поверхности магнитной жидкости: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. - Ташкент, 1993. - 18 с.

2. Абдуллаева Ф.Д., Кузнецов А.О., Логинов Б.В. Определение порядка вырождения задачи о свободной поверхности ферромагнитной жидкости в магнитном поле/ / Тез. докл. 28 науч.-техн.конф. Ульяновск: УлГПИ, 1994. - С. 58-59.

3. Агранович М.С. Эллиптические сингулярные интегро-дифференциальные операторы// Успехи мат. наук. -1965.-Т.20, 5.-С. 3-120.

4. Бабский В. Г. О ветвлении решений уравнения А и + Хи = и2 на сфере// Вестник Харьк. ун-та. 1970. -Вып. 34. - С. 124-129.

5. Бабский В.Г., Скловская И,Л. О возникновении конвекции в самогравитирующем жидком шаре, нагреваемом изнутри// Прикладная математика и механика. 1971. - Т. 35, 6. - С. 1000-1014.

6. Бобенко А.И. Собственные функции краевых задач Дирихле и Неймана на прямоугольнике для эллиптического уравнения синус-Гордон// Записки науч. семинаров

7. ЛОМИ. Мат. вопросы теории распространения волн. -Л., 1989. 179. - С. 32-35.

8. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1979. -255 с.

9. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: ГИТТЛ, 1956. - 344 с.

10. Вайнберг М.М., Айзенгендлер П.Г. Методы исследования в теории разветвления решений// Итоги науки. Мат. анализ. М., 1966. - С. 7-70.

11. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие// Успехи мат. наук. 1962. - 17(2). - С. 13-75.

12. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 524 с.

13. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965. - 588 с.

14. Владимиров С.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения с дискретной группой симметрии// Дифференциальные уравнения. 1975. - Т. 12, 7. - С. 11801189.

15. Гришина С.А. Ветвление решений системы дифференциальных уравнений,определяющей свободную поверхность флотирующей жидкости: Дис. канд. физ.- мат. наук. Ульяновск.: УлГПУ, 1999. - 114 с.

16. Демиденко Г.В., Успенский C.B. Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной. -Новосибирск, 1998. 350 с.

17. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. - 280 с.

18. Изаксон В.Х. Тепловая конвекция в слое жидкости со свободной верхней границей: Автореф. дис. канд. физ.- мат. наук.- Ростов-н/Д, 1976. 12 с.

19. Изаксон В.Х., Юдович В.И. О возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей// Изв. АН СССР. Сер.: Механика жидкости и газа. 1968.- 4. -С. 23-28.

20. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. - 792 с.

21. Коноплева И.В. Примеры ромбической симметрии в бифуркационных задачах// Математическое моделирование, статистика, информатика: Тр. междунар. конф. -Самара: СГЭА, 2001. С. 190-192.

22. Коноплева И.В. Обобщенная жорданова структура и теорема Гробмана-Хартмана для дифференциальных уравнений с фредгольмовыми операторами// Вестник

23. Ульян, гос. техн. ун-та. Сер.: Естеств. науки. 2001. -3. - С. 21-28.

24. Коноплева И.В. Симметрия, сплетение и редукция уравнения разветвления//Механика и процессы управления. Сб. науч. тр. Ульяновск: УлГТУ. - 2002. - С. 29-35.

25. Коноплева И.В., Логинов Б.В. Инвариантная редукция уравнения разветвления//Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Тр. 5 Казан, между нар. летней школы-конф. Казань: КГУ, 2001. - Т. 8. - С. 249-250.

26. Коноплева И.В., Логинов Б.В. Теорема Гробмана-Хартмана для дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производ-ной//Современные проблемы математики: Материалы науч. конф. Казань: КГПУ, 2001. - Т. 11. - С. 152-156.

27. Коноплева И.В., Логинов Б.В. Обобщенная жорданова структура и симметрия разрешающих систем в теории ветвления//Вестник Самар. гос. ун-та. 2001. - 4(22). - С. 56-84.

28. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиз-дат, 1956. - 392 с.

29. Крейн С.Г., Чернышов Н.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Новосибирск, 1978. - 18 с. (Препринт / Ин-т математики СО РАН; 1)

30. Логинов Б.В. О ветвлении решений дифференциального уравнения А и + \и = /(и) на сфере//Дифференциальные уравнения. 1972. - Т.8, 10. -С. 1816-1824.

31. Логинов Б.В. Об одном случае разветвляющихся решений для нелинейных уравнений// Граничные задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 1974. - 4- - С. 129-136.

32. Логинов Б.В. О ветвлении решений задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 1975. - Т. 11, 8. - С. 1518-1521.

33. Логинов Б.В. Задачи теории ветвления, инвариантные относительно группы движений №// Изв. АН УзССР. Физ.-мат. сер. 1978.- 3. - С. 20-23.

34. Логинов Б.В. Об инвариантных решениях в теории ветвления// Доклады АН СССР. 1979. - Т. 246, 5. -С. 1048-1054.

35. Логинов Б.В. Вариационные методы в теории ветвления/ / Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15, 9. - С. 1724-1726.

36. Логинов Б.В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. -Ташкент: Фан, 1985. 184 с.

37. Логинов Б.В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при производной// Известия АН УзССР. Физ.-мат.сер. 1988. - 1. - С. 28-32.

38. Логинов Б.В. Общий подход к бифуркации рождения цикла в условиях групповой симметрии// Известия АН УзССР. Физ,- мат. сер. 1990. - 6. - С. 16-18.

39. Логинов Б.В. Об определении уравнения разветвления его группой симметрии// Доклады РАН. 1993. -Т.331, 6. - С. 677-680.

40. Логинов Б.В. Об определении уравнения разветвления в нестационарном ветвлении его групповой симметрии/ / Совр.групповой анализ и задачи мат. моделирования: Труды XI Рос. коллоквиума. Самара: Самар. гос. унт, 1993. - С. 112-124.

41. Логинов Б.В. Уравнение разветвления в корневом подпространстве: групповая симметрия и потенциальность// Функциональный анализ. Ульяновск: УлГПУ, 1994. - 35. - С. 16-28.

42. Логинов Б.В. Групповой анализ в задачах теории ветвления с нарушением симметрии//Дифференциальные уравнения и их приложения: Тр. междунар. конф. Саранск, 1995. - С. 103-119.

43. Логинов Б.В. Уравнение разветвления нестационарного ветвления с симметрией по пространственным переменным// Узбекский мат. журнал. Ташкент, 1995. -1. - С. 58-67.

44. Логинов Б.В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия// Вестник Самар. гос. унта. 1998. - 4(10). - С. 15-70.

45. Логинов Б.В. Бифуркация и симметрия в задачах о капиллярно-гравитационных волнах// Сиб. мат. журн. 2001. - Т.42, 4. - С. 868-887.

46. Логинов Б.В., Коноплева И.В. О ветвлении решений уравнения Аи + Л2 sinh и = 0 в двумерной области/Дифференциальные уравнения и их приложения: Тр. междунар. конф. Саранск, 1999. - Т.2, 1. - С. 93-95.

47. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. Задачи о нарушении симметрии при бифуркации Андронова-Хопфа// Вестник Самар. ун-та. 2000. - 2(16). - С. 54-58.

48. Логинов Б.В., Рахматова Х.Р., Юлдашев H.H. О построении уравнения разветвления по его группе симметрии (кристаллографические группы) // Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. -Ташкент: Фан, 1987. С. 183-195.

49. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления// Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частныхпроизводных и их приложения. (Ред.: Н. С. Салахит-динов, Т. Д. Джураев). Ташкент: Фан, 1978. - С. 113148.

50. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Полные жордановы наборы в линейных задачах теории ветвления с групповой симметрией //Дифференциальные уравнения и их применения в механике. Ташкент: Фан, 1985. - С. 136-153.

51. Логинов Б.В.,Сидоров H.A. Общий метод построения уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и некоторые способы его исследования// Неклассические задачи математической физики. Ташкент: Фан, 1985. - С. 113-145.

52. Логинов Б.В., Сидоров H.A. Групповая симметрия уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и итерационные методы в задаче о точке бифуркации// Мат. сб. -1991.-Т. 182, 5. С. 681-691.

53. Логинов Б.В., Треногин В.А. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений// Мат. сб. -1971. Т. 85. - С. 440-454.

54. Логинов Б.В., Треногин В.А. О применении непрерывных групп в теории ветвления// Доклады АН СССР. -1971. Т. 197, 1. - С. 36-39.

55. Логинов Б.В., Треногин В.А. Использование групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений// Мат. сб. -1971. Т. 85, 3. - С. 440-454.

56. Логинов Б.В., Треногин В. А. Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления// Дифференциальные уравнения. 1975. - Т. 11, 8. - С. 1518-1521.

57. Логинов Б.В., Трофимов Е.В. Вычисление капиллярно-гравитационных волн на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины// Дифференциальные уравнения мат. физики и их применение. Ташкент, 1989. - С. 57-66. <

58. Логинов Б.В., Эргабашев Т.Д. Многомерное ветвление и задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра//Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1993. - С. 89-100.

59. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. М.: ГИТТЛ, 1958. - 356 с.

60. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - Т. 74. - 645 с.

61. Моисеев H.H. Асимптотичесие методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. - 380 с.

62. Моршнева И.В., Юдович В.И. О ветвлении циклов из положений равновесия систем с инверсионной и вращательной симметрией// Сиб. мат. журн. 1985. - Т. 26, 1. - С. 124-133.

63. Назаров H.H. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна// Труды Ср.- Азиат, ун-та. 1941.- Сер. 5: Математика. Вып. 33.- С. 1-79.

64. Назаров H.H. Точки ветвления решений нелинейных интегральных уравнений// Тр. ин-та мат. АН УзССР.- 1948. Вып. 4. - С. 59-65.

65. Наймарк М.А. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976. - 560 с.

66. Некрасов А.И. О волнах установившегося вида// Изв. Ивановского политехи, ин-та. 1922. - Т. 6. - С. 155171.

67. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1951. - 96 с.

68. Немыцкий В.В. Структура спектра нелинейных вполне непрерывных операторов// Мат. сб. 1953. - 33(75), 3.- С. 545-558; 33(77), 1.- С. 174.

69. Ниренберг JI. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. - 232 с.

70. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 400 с.

71. Овсянников JI.B. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966. - 131 с.

72. Овчинникова С., Юдович В.И. Расчет вторичного стационарного течения между вращающимися цилиндрами// Прикл. мат. и механика. 1968. - Т. 32, 5. - С. 858-868.

73. О существовании ромбической решетки периодичности капиллярно-гравитационных волн/А.В. Каленов, И.В. Коноплева, Б.В. Логинов, A.B. Чефранов. Тез. докл. 34 науч.-тех. конф. Ульяновск: УлГТУ, 2001. - С. 34.

74. Пуанкаре А. Избранные труды. Новые методы небесной механики. М.: Изд-во АН СССР, 1971. - Т. 1. - 771 с.

75. Рахимов Д.Г. О возмущении линейного уравнения в случае нескольких параметров//Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 1974. - 4. - С. 137-143.

76. Рахимов Д.Г. Аналитическая теория возмущений в задачах на собственные значения: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Ташкент: Ин-т математики АН УзССР, 1979. -140 с.

77. Романова O.A. Жордановы наборы и псевдообратные операторы в теории некоторых классов вырожденных дифференциальных уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1983. - 120 с.

78. Русак Ю. Б. Некоторые соотношения между жорда-новыми наборами оператор-функций и сопряженных к ним// Изв. АН УзССР. физ,- мат. сер. - 1978.- 5, С. 15-19.

79. Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Ташкент: Ин-т математики АН УзССР, 1979. - 126 с.

80. Свиридюк Г. А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секто-риальным оператором// Алгебра и анализ. 1994. - Т. 6, 5.- С. 252-272.

81. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов// Успехи мат. наук. 1994. - Т. 49, Вып. 41298.- С. 47-74.

82. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева// Дифференциальные уравнения. -1990. Т. 26, 2. - С. 250-258.

83. Сидоров H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. Иркутск, 1982. - 314 с.

84. Сидоров H.A., Абдуллин В.Р. Сплетающие уравнения разветвления в теории нелинейных уравнений. Иркутск, 1999. - 36 с. (Препринт/ Акад. нелинейных наук, Иркутское отделение, 1)

85. Сидоров H.A., Абдуллин В.Р. Сплетающие уравнения в теории ветвления// Докл. РАН. 2001. - 377(3). - С. 583-587.

86. Соболев C.JI. Об одной новой задаче математической физики// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. - Т. 18. -С. 3-50.

87. Стапан А.Э. Разветвление решений нелинейных уравнений/ / Ученые записки Риж. пед. ин-та. Рига, 1957.- Т. 4. С. 31-43.

88. Тер-Григорьянц Г.К. О возникновении двоякопериоди-ческой конвекции в горизонтальном слое// Прикл. мат. и механика. 1973. - Т.35, . 1. - С. 177-184.

89. Тер-Григорьянц Г.К. Об одном случае ветвления стационарных режимов конвекции в слое// Изв. Сев.

90. Кавк. науч. центра высш. школы. Естеств. науки. -1975. Вып 4. - С. 39-43.

91. Тер-Григорьянц Г.К. Об устойчивости стационарных двоякопериодических конвекционных потоков в слое / / Изв. Сев. Кавк. науч. центра высш. школы. Естеств. науки. - 1973. - Вып 4. - С. 79-83.

92. Тихонов А.И., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 736 с.

93. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 495 с.

94. Треногин В.А. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, встречающиеся в синергетике//Дифференциальные уравнения и их приложения III: Тр. междун. конгресса. Руссе, Болгария. - 1985. - Т. 1. - С. 421-428.

95. Треногин В.А., Сидоров H.A. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений нелинейных уравнений// Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск, 1972. - 1. - С. 216-247.

96. Треногин В.А.,Сидоров H.A. Уравнение разветвления, условия потенциальности и точки бифуркации нелинейных операторов// Узб. Мат. Журнал. 1992. - 2. - С. 40-49.

97. Трофимов Е.В. Ветвление решений нелинейной задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей: Автореф. дис. . канд. физ.- мат. наук. Ташкент, 1993. - 18 с.

98. Фалалеев M.B. Фундаментальные оператор-функции симметричных дифференциальных операторов в банаховом пространстве// Сиб. мат. журн. 2000. - Т. 41, 5. - С. 1168-1182.

99. Эдварде Г. Последняя теорема Ферма. М.: Мир, 1980.- 484 с.

100. Юдович В.И. Вторичные течения и неустойчивость жидкости между вращающимися цилиндрами/ / Прикл. мат. и механика. 1966. - Т. 30, 4. - С. 688-693.

101. Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвле-ние//Прикл. мат. и механика. 1967. - Т. 31, 1.- С. 101-111.

102. Юдович В.И. О бифуркации рождения нового цикла из семейства равновесий динамической системы и ее затягивания/ /Прикл. мат. и механика. 1998. - Т. 62, 1. -С. 22-34.

103. Построение уравнения разветвления с кристаллографической группой симметрии/ H.H. Юлдашев; Ред. ж. Изв. АН УзСССР. Сер. физ. -мат. наук. Ташкент, 1989. - 85 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.01.89, 627-В89.

104. Cronin J. Branch point of solutions of equations in Banach space// Trans. Amer. Soc. 1950. - V. 69. - P. 208-231.

105. Golubitsky M., Schaeffer D. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Appl. Math. Sei. Springer Verlag. -1984.-V. 51, 1.- 463 p.

106. Golubitsky M., Stewart I., Schaeffer D. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Appl. Math. Sei. Springer Verlag. - 1985. - V. 69, 2. - 534 p.

107. Graves L.M. Remarks on singular points of functional equations// Trans. Amer. Soc. 1955. - V. 79, 1. - P. 150-157.

108. Hale J. Introduction to dynamic bifurcation// Lecture Notes in Mathematics. Springer Verlag, 1984. - 1057. -P. 106-151.

109. Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Springer Verlag, 1981. - 840 p.

110. Iooss G., Adelmeyer M. Topics in Bifurcation Theory and Applications.- Adv. ser. in Nonl. Dyn.: World Sei., 1998. Vol.3. - 186 p.

111. Ize J. Bifurcation theory for the Fredholm operators. -Memoirs of AMS, 1976. 176 p.

112. Kochendorfer R. Uber treue irreducible Darstellungen endlicher Gruppen. Berlin: Mathematische Nachrichten, 1949. - Bd.l. - 259 p.

113. Levi-Civita T. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie// Math. Ann. 1925. - V. 93. - P. 264-324.

114. Lichtenstein L. Vorlesungen über einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integrodifferentialgleichungen nebst Anwendungen. -Berlin, 1931. -252 p.

115. Loginov B.V. On the construction of the general form of branching equation by its group symmetry// EquaDiff-YII, Enlarged Abstracts. Praha, 1989. - P. 48-50.

116. Loginov B.Y. Group analysis methods for construction and investigation of the bifurcation equation// Applications of Mathematics. 1992. - V. 37, 4. - P. 241-248.

117. Loginov B.V. Determination of the bifurcation equation by its group symmetry Andronov-Hopf bifurcation// Nonlinear Analysis. TMA. - 1997. - V. 28, 12. - P. 20332047.

118. Loginov B.V. Branching equation in the root subspace// Nonlinear Analysis. TMA. 1998. - V. 32, 3. - P. 439-448.

119. Loginov B., Konopleva I. Symmetry of resolving systems in degenerated functional equations//Symmetry and Differential Equations: Proc. of Int. Conf. Krasnoyarsk: ICM Siberian Branch RAN, 2000. - P. 145-148.

120. Loginov B.V., Konopleva I.V. Symmetry of resolving system for the differential equation with Fredholm operator at the derivative//MOGRAN-2000 VIII: Proc. of Int. Conf. Ufa: USATU. - 2000. - P. 116-119.

121. Loginov B.V., Konopleva I.V. Branching equation with hexagonal symmetry//Proc. of Int. Conf. CAIM-2001. -Bui. St. Mat. Inform., Univ. Pitesti, V. 7, 2002. - P. 156-162.

122. Loginov B.V., Konopleva I.V. Discrete group symmetry in bifurcational symmetry breaking problems//Mathematics Models and Methods of its Investigation: Proc. of Int. Conf. Krasnoyarsk: ICM Siberian Branch RAN. - 2001. - V. 2. - P. 66-69.

123. Loginov B.V., Konopleva I.V. Bifurcational system in the root-subspace, this relation and symmetry//Function

124. Spaces VI: Proc. of Int. Conf. Wroclaw, 2001. - P. 33.

125. Loginov B.V., Kuznetsov A.O. Capillary-gravity waves over a flat surface// Eur. J. Mec., B. Fluids. 1996.- V. 15, 2. - P. 259-280.

126. Loginov B.V., Rousak Ju.B. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions// Nonlinear Analysis. TMA. 1991. - V. 17, 3. - P. 219-232.

127. LoginovB., Sidorov N., Trenogin V. Existense of bifucation at the presense of Jordan chain of ann odd lenghth// Uzbek. Math. J. 1993. - 5. - P. 64-68.

128. Loginov B.V., Trenogin V.A. Group symmetry of bifurcation equation in dinamic branching// ZAMM. -1996. suppl. 2, 76. - P. 237-241.

129. Loginov B.Y., Trenogin V.A. Branching equation of Andronov-Hopf bifurcation under group symmetry conditions// CHAOS. Amer. Inst. Phys. 1997. - V. 7(2). - P. 229-238.

130. Magnus R.T. Generalization of multiplicity and the problem of bifurcation// Proc. London Math. Soc. -London, 1976. V. 3, 32. - P. 251-278.

131. McDonald B.E. Numerical Calculation Nonunique Solutions of a Two-Dimentional Sinh-Poisson Equation// J. Comp. Ph. 1974. - V. 16, 4. - P. 360-374.

132. McMillan W.D. A method for determination the solutions of a system of analytical functions in the neighborhoad of a branch point// Math. Ann. 1912. - Bd 72. - P. 180-202.

133. Montgomery D., Joyce G. Statistical mechanics of "negative temperature" states// The Physics of Fluids. -1974. V. 17, 6. - P. 1139-1145.

134. Rybakowsky K. The Homotiphy Index and Partial Differential Equations. Springer Verlag, 1987. - 208 p.

135. Sattinger D. H. Group representation theory and branch points of nonlinear equations//SIAM J. Math. Anal. -1977. V. 8, 2. - P. 179-201.

136. Sattinger D. H. Group representation theory,bifurcation theory and pattern formation// J. Funct. Anal. 1978. -V. 28, 1. - P. 58-101.

137. Sattinger D. H. Group theoretic methods in bifurcation theory.- Lecture Notes in Math., 1979. 762. - 240 p.

138. Sattinger D. H. Bifurcation from rotationally invariant atates// J. Math. Ph. 1978. - V. 19, 8. - P. 1720-1732.

139. Schmidt E. Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3.Uber die Auflosungen der nichtlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Losungen// Math. Ann. 1908. - V. 65. - P. 370-399.

140. Struik D.J. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles periodiques// Math. Ann. 1926. -V. 95. - P. 595-634.

141. Vanderbauwhede A. Local Bifurcation and Symmetry. Res.Notes Math. Boston: Pitman, 1982. - V. 75. - 3501. P

142. Wente H.C. Counterexample to a conjecture of H.Hopf// Pacific Journ. Math. 1986. - V. 121, 1. - P. 193-244.