Методы и конструкции в теории ветвления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Сшшт-Пегербургский государственный университет

На правах ру кописи

Жуков Игорь Борисович

Методы и конструкции в теории ветвления

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2008

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры н теории чисел матемапжо-«?>:»1шче> кого факультета, СаикЫЬзтербургекого государственного университета

Научный консультант доктор фкзшсо-шгяалашческих наук

профессор Востоков Сергей Владимирович

Официальные оппоненты; доктор фвзшш-шасешз.'шчеашх иаух,

профессор Кузьмин Леонцд Викторович

доктор фкзико^.атемжшческих наук, профессор Паршин Алексой Николаевич

доктор фвзшщ-матс Длгаейирс наук Смирнов Александр Леонндознч

Ведущая органвзация: Самарский государственный университет

2008,, в л

Защита состоится '.....: .^./.гУ...... 2008 г. в '(. час. на заседмпга дисссртащюшп/го

совета-Д 212.232.29 до защите диссертаций на соискание у ченой степени доктора наук яри Саккт-Потербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Уш1ж>реитегский др., д.28

С диссертацией можно ознакомиться в Научвой библиотеке им. М. Горького Санкт-Штербургского государственного университета по адресу. 19101.1, Университетскаа наб., д.7/9.

Зашей, будет ¡проходить в Петербургском отделении Математического института, имени В. А. Стеклова РАН по адресу: Сашст^Петербург, наб. реки Фонтанки, 27.

Автореферат разослан „....." г г. / 2008 г.

Ученый секретарь дассерищиовного совет» Д 212.232.29 доктор физше.о-иагемаияческлх наук, профессор

ВЖ-Н-жияскш!

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Пюбая монография или учебник по локальной теории полой классов содержит i таву, посвященную теории ветвления В со основе «слит сущеслвованис некоторой базовой сие 1емы инвариантов дая загнанного коночного расширения локальных полей В качестве таковой мояшо взять, в частности, порядки ircu,ipynn вшвлевия (в нижней нумерации) Все друшс классические инварианты ветвления дашкя'о расширения (а также любого ею подраепшрения) могут быть через них выражены На этой основе строится элегантная н практически завершенная теория, включающая такие классические результаты, как теорема Хассс-Арфа или хеорема Серра о существовании представления Артина

Теория вмвления представляет собой удобный инструмент для изучения многих вопросов, касающихся конечных расширений локальных и глобальных полей Наличие фильтрации ветвления на rpvmie Галуа позволяет свесхи изучение заданною конечною расширения к изучению просто устроенных подрасширений Далее, регулярное поведение инвариантов ветвления при переходе к подрасширониям делает теорию вехвленжя применимой также и для изучения бесконечных расширений Наиболее ярким примером этого служит теория полей норм, развитая Фонтоном п Винтенберже

Инварианты ветвления, ассоциированные с морфизмом ьладких проекливных кривых или с конехру ктнвным пучком Fj-моду ieii в этальной годолопш на гакой кривой, входя! в качестве локальных членов в важные формулы ал1 ебрапческой геометрии — формулу Ркмана-Гурвица и формула Гроишдика-Oi га-Шафарсвича соошетсдвешю

С современной точки зрения классическая теория чисел, изучающая глобальные и локальные поля, представляет собой одномерный сличай арифмешческой геометрии, предметом которой с 1ужат схемы конечног'о типа над Z Мноше классические понятия, теоремы и гипотезы переносятся на эту более общую "n-мсрную ситуацию" Однако, пока не существует прием,чемого n-мерного обобщения теории ветвления

Красота и сила классической теории вечвления сохранятотся при переходе oi локальных полей (с конечным полем вычетов) к полным дискретно нормированным полем с произвольным совершенным по. юм вычетов Однако о i регулярного поведения шгаариантов ветвления и всей основанной на нем теории практически ннчасо не остается, если мы дотекаем возможность несспарабельных расширений полей вычетов (Расширения такою imia с неизбежностью возникают при рабою с n-мерными задачами, где n > 1)

Отсу гствие "многомерной" теории ветв юная стало остро ч.увс1вова1ься в течение последних ¿0 лет, посте работ А Н Паршина 1975 г и К Като 1978-79 гг, положивших начало высшей теории имей классов В 80-ые и 90-ые юды был опубликован еще ряд работ в этом направленна Так, А. Н Паршиным была построена высшая юкальная теория полей классов для n-мерныч локальных полей простой характеристики на основе явной формулы отображения взаимности К Като доказал основные локальные георемы без явных конструкций, явная формула в случае характеристики 0 принадлежит С В Воетокову Используя ли явные формулы, И Б Фесенко предложил новый вариаш посхроеняя высшей TOKüibnoü полей массив л.а основе метода Пойкирха и рас пространна

результаты со случая конечного на случай совершенного последнего поля вычетов В работах А Н Паршина и К Като - Ш Саито напучен ряд результатов, относящихся к различным версиям высшей глобальной теории полей классов

Соответственно, в течение этою периода предпринимались ракообразные попытки построения теории ветвления для таких нашей которая была бы совместима, с высшей теорией полей классов и органично дополняла се Теория полей классов позволила ввести инварианты ветвления на основе филы рации в п-й. Й"-груяпе Милкора «-мерного /шкального ноля Эю бьшо сдагано в работах Ломадзе, Хиодо, Фесенко Эти инварианты служа! аналогом "верхней" фи.гьтрации ветвления, однако при попытках соотнести их с обычной "нижней" фильтрацией обнаруживаются различного рода нерегулярности

Важным шагом в этом же направлении стало построение К Като версии кондукторов Суона д,тя произвольных (абезевых) характеров группы Г&луа полных дискретно нормированных полей с несовершенным полем вычетов (или, более общо для произвольных эгалышх пучков ранга 1 на широком классе схем) Эта конструкция фактически совместима с названной в предыдущем абзаце, но использует не теорию полей классов, а более общую когомолог нческуто двойственность И вновь ока млея открытым аналогичный вопрос — вопрос о соотнесении кондуктора с "наивными" инвариантами ветвления, а также о его обобщении на случай характеров (или пучков) ранга больше 1, т е на неабелев случай Одно на таких обобщений с урезанным набором свойств было получено Болтье, Крамом и Снейгом Другое определение кондуктора, основанное на вложениях данного поля в поля с совершенным паяем вычетов, принадлежит Дж Боргеру Очень г иубокая теория, основанная на применении жесткой аналитической теометрии, построена в яовейттшх работах А АббесапТ Саито Их конструкция совместима с теорией конду ктора Като, однажо дальнейшие ее свойства еще предстоит изучить

В ситуации отсутствия конструкций, содержащих полную информацию о ветв гении морфизма п-мерных многообразий или стальных ггу чков на шком мног ообразгш, выбывает большой интерес задача обобщения на «-мерный случай конкретных локально-гтобальных форму т — Римана—Гурвгща и Гротендцка-Огга-Шафаревича В конце 70-х г одов Делинь в письме Грдаенднку описал свое видение того, как можно было бы обобщать форму чу Гротендика-Огга-Шафаревпча на двумерный случай, пеподьзуя щ чки кривых на поверхности Эта программа была реашзована Г Ломоном, который получил формула для характеристики Эйлера-Пуанкаре конструктивных этальных пучков на гладкой поверхности, однако при важном ограничения рассматриваются только пучки, отвечающие морфизмам поверхностей без свирепого ветвления Последнее условие означает, что все морфизмьг, индуцированные на кривых, должны быть сепарабсяьными Другой вариант формульг для того же класса морфизмов получил Ш Саиго Като получил вариант формулы Грогенднка-Огга-Шафаревггча д, гя ггу чков ранга 1 Наконец, Аббес в с татье 2000 года вывел аналог формулы ГротендшсагОггаЛНафаревича для относительной ситуации — для кривых над дискретно нормированными кольцами, и вновь в предположении отсутствия свирепого ветвления

Что касается двумерных аналогов формулы Римана-Гурвица две таких формулы

(для эйлеровых характеристик проективных регулярных поверхностей и для эйлеровых харакхеристик структурных п\ чков Зарисско! о на таких поверхностях) бьши получены еще в 1970 году Иверсоном, однако только в нулевой характеристике Холъцапфель исс гедовал случай нормальных поверхностей, но также в нулевой характеристике Таким образом, для поверхностей над полем простой характеристики аналогичные вопросы остаются открытыми

Инварианты ветвления возникают в разтичных комбинациях также в теории пересечений Следует отметить, что инварнанхы ветвления встречающиеся в разных формулах, в размерности 2 и более весьма разнообразны (так, существует по крайней мере 4 несовпадающих определения дифференты), и связь межд> этими инвариашами еше предстой! прояснить

Цель работы. Основной цешыо является разработка новых конструкций в теории вехвленля в размерности более 1, коюрые предоставляют как можно полную информацию о локальном устройстве морфшмов и пучков и воспроизводя! ряд особенностей классической (одномерной) теории

Методы исследований При работе с многомерными локальными полями исиолыуЕогся явные формулы теории полей классов Для из\ чения кривых на peí ударных поверхностях применяется метод разложений Гамбургера^Нетсра Глобальные инварианты поверхностей исследую гея при помощи метода пучков кривых

Научная новизна, В ддссерхаони получены следующие новые научные рез>льгагы

• усиленно теоремы ЭшгаЛономарева об устранении высшего ветвления,

• конструкция фильтрации со специальным индексным множеством I, обладающей полным набором функгориальных свойств, на i руине Галуа конечно! о расширения полного дискретно нормированного пата с несовершенным naieM вычетов F, для коюрою [F Fp] = р = charF,

• теорема о строении группы К для n-мсрного лока*1ьного паля К,

• cor ысованноегь отображения. взаимности с фильтрациями для равнохарактеристнчсских дву мерных локальных полей,

• описание поведения скачка ветвления на пространство струй кривых, если морфизм поверхностей в регулярной точке соответствие! циклическому расширению полей простой степени,

• оценки изменения инвариантов особенностей кривых при подъеме для класса стандартных люрфизмов простой степени,

• аналог формуты Риыана-Гурвпца для произвольных морфизмов падких поверхностей

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер Введенные в ней понятия, развихые методы и полученные результаты применимы в да гьнейшем изу чении дискретно нормированных полей, а также морфизмов многообразий над полями произвольной характеристики

Апробация работы Результаты, латученные в представляемой рабою, докладывались на следующих конференциях и шминарах

• Международная <ып ебраическая конференция, посвященная 100-лстшо Д К Фаддеева (Санкг-Пехербург, 2007),

• конференция "Арифметическая геометрия" в рамках Международною магемаигческого конхресса, посвященною 300-летито Л Эйлера (Санкт-Петербург 2007),

» workshop on higher axieleb (Берлин, 2005),

• workshop on 3-foldb (Уорвих, 2002),

• Augsburg Kumbei Theory Day (2000),

• workshop on highei local fields (Мюнстер, 1999)

• конференция "Теория ветвления" (Люмини, 1999),

• Международная а. п ебраическая конференция, посвященная 90-летию Д К Фаддеева (Саша>Пех'орбург, 1997),

• научные семинары в Математическом инспго те им В \ Стеклова РАН (2002) институте им Макса Планка в Бонне (1999, 2005), утагверсигегах Всрлшш (1995, 2004, 2005), Мюнстера (2005) Билеф&яьда (2005), Ногхиш^ма (1998, 2002, 2003) Саухтемшхжа (2002) Бордо (1999, 2001) Безансона (2001) Дарема (2003), Эксетера (1998), Лондона (1998),

• Санкг-Пехербургский алюбраический семинар Д К Фаддеева (неоднократно)

Публикации. Все результаты, полученные в диссертации, оц/бдикованы в работах [1]-[12] В [1] соавтору нринадлежи1 только параграф 4 (критерии сходимости рядов) В [3] автору диссертации принадлежит иара!раф 1, содержащий резульхахы о ветвлении в нормальных р-расширениях, соавторам статьи — остальные рез/ньтаты В [5] соавтор^ принадлежат юлько утверждения пунктов 2 1 и 2 2 В [6J авхору диссертации принадлежах результаты параграфов 3 (о свойсхвах независимо разветвленных расширений) и 8 (о композитах почти максимально разветвленных расширений), соавторам сгахъи — остальные резульхагы

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, раздела определений, семи глав и списка литературы, насчитывающего 84 наименования Общий объем работы составляет 227 страниц текста

Содержание диссертации

Во Введении подробно из тожсна постановка общей задачи "распространить классическую (одномерную) теорию ветвления на двумерный (а затем и многомерный) случай" Для -этого описываются основные результаты классической теории ветвления, отсутствующие в двумерной сит\ашш, и природа тх>удностей, возникающих при попытке их переноса на двумерный случай

Введем некоторые обозначения Для любого конечного расширения Галуа В/Р потных дискретно нормированных полей с группой Гатуа б подгруппы ветвлонггя й (в нижней нумерации) определяются формулой

Сг = {ст € СаЦЕ/Р) |гс(<х) = ш£ уЕ{а(а) - а) > г + 1}, (1)

а^Ов

» > —1, г £ О, где ье — нормирование на Е, а Ое — соответствующее кольцо нормирования К числу важнейших результатов классической теории относятся следу тощие Пусть К представляет собой полное дискретно нормированное поле с совершенным полом вычетов

Теорема Эрбрана Пусть Ь/К — конечное расширение Галуа с группой Галуа й Тогда функция Хассе-Эрбрана <р [—1,оо) —► [—1,оо) представляет собой кусочно-линейное возрастающее отображение заданное форму той

*(и) = Г (СГЩ

Теорема Эрбрана утверждает что, ест М — подпоте в Ь/К, фиксируемое норма гьной подгруппой Я, то для любых у,и таких, что V = ¡рь/м(и)> выполнено (?„Я/Я = (С/Я),,

Если ввести верхнюю нумерацию подгрупп ветвления С'ь/агМ = (7„ лдя всех ращюнальных и > — 1, мы получим следующий вариант теоремы Эрбрана (С?/Я)" = СН/Н (Это означает, что на самом деле верхняя фильтрация подгрупп ветвления определена на уровне бесконечных групп Галуа)

С другой стороны, Ни = (?,ПЯ идя дабой подгруппы Я непосредственно в силу определения нижних подгрупп ветвления Таким образом, имеем свойство совместимости (*) Фильтрация ветвления на группе С? определяет фильгращш ветвления на ее поде р\ плах и факторгруппах

Хорошие свойства фильтрации ветвления. Верхняя фильтрация ветвления удовлетворяет также свойству^ Хассе-Арфа скачки фильтрации являются целочисленными, если и только если данное вполне разветвленное расширение абелево Кроме того, она совместима с теорией полей к 1ассов в случае конечного поля вычетов образ фильтрации под действием отображения вз&имчосги совпадает со стандартной фильтрацией па К*

Свойство Хассе-Арфа можно интерпретировать каь. ограничение на расположение подi руин G, в G дня абаяевой G Но и для неабелевой G имеются некоторые (более слабые) 01раничения, вытекающие из сравнений Сена если g S Go и gp" ф 1 то

га(дрП ') = га(др") modp"

Существование представлений Артина и Суона В онисанной ситуации введем центра1ьные функции Артина и Суона o.q, swq G —> Ж с поыошыо форм} i

аа(сг) -iWQ(a) =

1де f = [L К] га как в (1), и

-J га(с), аф^, /Ет/1 «gM, 17 = 1 -/ 'g(O-), ff/l,

(7 = 1

sg((7) = ml «¿(1 — a-(x)7 ) — <

xeL (адИ, cr^Go

Тогда <iq и ««g представляют собой харакхеры комплексных представлений группы G, называемых представлениями Артина и Суона Более того, swq — харакюр единственно! о проскшвного Z;[G]-moдуля SWg, гак называемого модуля Суона расширения L/K Дчя нормальной подгруппы H iрунцы G из теоремы Эрбрана следует, что

SWg/H = SWG ®z,[G] Z, [G/H] (2)

Наконец, дчя любот о F; [GJ-модуля M конечного Fj-ранга определен его кондуктор Стона

Sw M = dimF^Hom^p^SWcjjM))

Аналшичным образом определяются кондукторы Аршна и Суона комплексных представлений G Oimctiim, что можно восстановить филы рацию на G, зная кондукторы Аршна всех ее неприводимых представлений

Глобальные формулы. Пусть X — тадкая лроекшвная кривая над ал! ебраи чески замкнутым полем, L[K — конечное расширение ее поля частных а У — нормализация X в L Формула Римана-Гурвица связывает род той и другой кривой

2ду - 2 = [L К](2дх - 2) + £>«(%/х),

Q

где Q предает замкнутые гочки У

Пусть U — шю1н0с охкрыюе подмножество в X, fj — i еометрическая общая ючка X, з7 — «окально постоянный пучок Р;-мод^лей конечноi о ранга на u& Tojда i еомотрический общий слой M = Ту представляет собой конечномерное Рг-представлсние группы Gal(k(X))1 оно пропускается через Gal(L/fc(A')), 1де L/k(X) — конечное расширение Г&иуа

Для замкнутой точки Р 6 X кондуктор Суона Этур^7 определяется как кондуктор Суона М, рассмахрхшаемого как модуль над х руиной Галуа расширения пополненных налей Са1(Ь-ш/к(Х)ь), где нормирование V соохветствует Р, ш — ,цобое продатжение V на Ь Независимость 01 £ следует из (2) Тсяда формула. Гротсндшса-Огга-Шафаревича для Т имеет следующий вид

Полнота, Для данного конечного расширения Галуа полных дискретно нормированных полей Ь/К имеется ряд инварианхов ветвления, которые встречаются в различных формулах индекс ветвления е(Ь/К) порядок дифференты 3Ь/К), и С для всех г > 0, Sw М для различных ^¡[С^-моцулей М, где С = ва1 (Ь/К) Однако имеется достающая система инварианюв ветвления, а именно, шишал фильхрация ветвления, которая описывает ветвление полностью" все инварианты ветвления (включая локальные члены классических хлобальных формул) мо1ут быть через нее выражены (Верхняя фкяъхрацяя вехвлеяия такясе предстааггяот собой достаточную сисхему инвариантов То же справедливо для кондукторов Артина всех комплексных представлений (3 ) Например,

Двумерный случай Какая часхь классической хеорпп вехвлеяия, обзор кохорой мы привели выше, сохрах^яет сипу для поверхностей'' Охвет таков практически все утверждения иерестшо1 выполняться (при р > 0) Причина состоит в том, что мы не умеем определять набор яквархинх'ов ветвления, который бы эффективно работал во всех ситуациях Существует лишь различные частичные теории, некоторые из них очень хл>бокие однако на настоящий момеш. шх одна из них не даех полной картины "ветвления в размерности 2"

Первое отличие от классичесжох о слу чая соетош в следующем Если X — поверхность, а V — норлхированае на К = к(Х), соответствующее простому дивизору У, хо К® представляех собой йодное дискретно нормированное ноте с несовершенным нолем вычетов В эхом сяу чао теорема Эрбрана не выполняется Более того, по хшяшей фильхрации всхв юния на группе вообще нельзя однозначно определить фильтрацию ветвления на факторх руппс (Таким образом, но имеет смысла пытаться построить верхнюю фильтрацию ветвления путем присвоения новых номеров подгруппам из нижней фильтрации) Выпатняется, по хривиадьным причинам, только совместимость с фильтрациями ветвления на хюдгру ппах

С другой стороны, можно попытаться построить верхтою фильтрацию ветвления, ислодл Ио "фллыраинп нормирования" на К2{К) или на группе Браузра и применяя

Хс{и,Т) = Хс{и,Щ) гапк.Г- £ Svyp^

Рех\и

е(Ь/К) = |С0|,

оо

= £ -1'

высшую теорию палей классов или когомототичсскуто двойственность Это дает определение фильтрации на Gal(L/K) в случае абелева L/K Такая фильтрация обладает свойством "совместимости с факторгруппами" Однако эта фтчьграция не сравнима с нижней фильтрацией и свойство совместимости с подгруппами для нее не выполняется

Ни нижняя, ни верхняя фильтрации ветвления но позвогяют опредешть даже такой простой инвариант ветвления, как геном расширения, т с ответ на вопрос, какие из промежуточных расширении будут вполне разветвлены Более того, ни та, ни другая фильтрация не позвагяет вычислить порядок дифференты Т&кое "иррегулярное" поведешге инвариантов ветвления в случае несовершенного поля вычетов наблюдается уже при рассмотрении композита двух расширений Артина-Шрсйера.

Да тес, существующие аналоги формулы Гротседика-Опа-Шафаревича в размерности 2 указывают на то, что недостаточно приписывать те туш иные инварианты простым дивизорам на X, т е , точкам X коразмерности 1, должны существовать дополнительные инварианты, которые определены па уровне коразмерности 2

Опишем один из таких инвариантов Д.гя дв} мерного гензелева локального кольца А над гекзелсвым кольцом дискретного нормирования О н конструктивного пучка F¡-модулей на (ЭресЛ)®, определено пространство исчезающих циклов V = -ff¿(Spec(j4 ^J.^IspecAeof), ГДР F обозначает поле частных О Это V представляет собой конечномерное Жг-предсшздение группы GalF Важным инвариантом служит тотальная ра змерность V которая определяется т«ик dt V = dimjf, V+Sw V Этот инвариант возникает как локальный член корадаерности 2 в форм} не Делгшя-Ломона для характеристики Эйлера—П\ анкаре, однако, вообще г оворя, мы не располагаем способом явног о вычисления dtV

Перспективная цель В качестве такой цели можно было бы рассматривать построение теории ветвления для поверхностей, которая сохраняла бы максимально возможное число черт одномерной теории В частности, для каждой пары {X, L/K) (или (X, /), или (Х,Т)) необходимо достроить систему инвариантов Е(Х, L/K, Р) (Р е X), которая содержала бьг полную информацию о ветвлении (X,L/K) Это подразумевает следующие требования

(1) "Наивные" инварианты ветвления (индекс вегв гения, порядок дифференты, геном подгр\ггпьг в яияшей нумерации) в Р до.гжньг выражаться через ~S(X,L/K,P) (Можно надеяться однако, что "истинная" теория вегв. гения позволит вычислять и более с южные инварианты, введенные разными исследователями Также представляется желательным жигучить интерпретацию »ой системы инвариантов с точки зрения высшей теории полей классов)

(2) Ветвление промежуточных расширений (т е T,(y,L/M,Q) с Q над Р гг И(Х,М/К,Р), где К С М С I/, У — нормализация X в М) дагжно выражаться через ЩХ,Ь/К,Р)

(3) Локальные члены глобальных форт л (например, тотальная размерность пространства исчезающих циклов) должны выражаться через Y,(X, L/K, Р)

Наконец, требуется, чтобы Л(Х,Ь/К,Р) представляла собой рмешю систему

инвариантов ветвления, т е нетривиальные -значения инвариантов должны быть в конечном числе точек Р (размерности 1 или 0), в каждой hj которых L/K разветвлено

Да и?е во введении кратко описываются существующие подходы к построению теории ветвления, упомянутые выше в пункте "Актуальность темы"

В раздаю "Определения, обозначения, классические результаты" вводятся важнейшие понятия теории ветвления К их числу относятся группы и скачки ветвления (включая фильтрации Барга до Смита), дифферента и глубина ветвления, юкус и дивизор ветвления (ramification locub/diviaor), днекримпнантный токус и дивизор (branch locus/divisor), под дискрнминантньш дивизором морфизма h мы понимаем щшмой образ дивизора ветвтения относительно h Приведем, как наименее 1гзвостное, определение 1лубины

Пусть L — конечное расширение К, M/L — коночное сепарабельное расширение Тогда i тубина ветвления M/L (но отношению к нормированию в К) по определению равна

dK{M/L) = mí{vK{TvM/L{v)/v) I уеМ'} Нужно отмстить, что для промежуточного поля N

dK(M/L) = dK(M/N) + dK(N/L),

а для слабо разветвленного L/K справедливо d(L¡K) = 0

Связь ьчубины ветвления и показателя дифференты выражается формулой

dK(M/L) = i>at(»m/l) - Ь>к{ъь) ~ vk{km))

В случае циклического расширения L/K степени р = charftT имеем d¡í(L/K) = (р — 1 )h(L/K)/eL/K, скачок ветвления k(L/K) определяется как so(<r), 1де <г — нееднничный i 1емен1 G = Ga\(L/K)

Через А всюду обозначается пополнение локальною кольца А

Глава 1. Полные дискретно нормированные поля с несовершенным полем вычетов

Пусть L/K — произвольное коночное расширение Галуа полных дискретно нормированных полей с несовершенным нолем вычетов характеристики р > 0, и пусть к — i н подполе констант, то есть максимальное полное подполе К с совершенным полем вычетов (Если char К = 0, то 1акос поддаю определено однозначно ) Теорема об устранении высшею ветвления, доказанная Эппом (неточность в доказательстве была исправлена Пономаревым), утверждает, что найдется конечное расширение к!¡к, для которого k'L/k'K слабо неразвствлено, i е е(к'L/k'К) = 1 Мы доказываем ряд уточненных версий -этой теоремы

В Р 1 классифицируются циклические расширения степени р, вычисляю 1Ся их скачки и г 1убина ветвления

В §12 вводятся основные дпя дальнейшего поюгтня почти константного и инфернальною расширения Под почти константным понимается расширение, которое можно вложить в композит из неразветвленнот о и константною (i е получаемою присоединением элементов, алгебраичных над F), а под инфернальным — расширение, не имеющее нетривиальных почти константных подраанирений При лом произвольное расширение L/K разбивается в башню из почти константою и инфернальною нодрасширенкй Вводится также понятие стандартного поля — так мы называем поля с ек/к = 1 (Д 1я разнохарактеристических га-мерных лока..1Ьных полей это условие означает, что поле представляется в виде &{{fi}} {{ín-i}} )

Будем говорить, что (бесконечное) расширение 1/к глубоко разветвлено, если степень инерции |¡ к| конечна и выполнено хотя бы одно пз следующих двух, условий

1) 1/к об.гадает конечными соиарабо&ьньши пецрагширониями стать \годно большой глубины ветвления, т е множество {d^k'/k) | к с к' с I, к'/к сепарабельное} не является oí раниченным

2) [£ к] гпэер ~ со

(Нетрудно видеть, что в случае, кохда L/K сенарабелько, мы имеем в хочносхи обычное поняхие хлубоко разветвленного расширения введенное Коутсом и Гринберюм и изучавшееся в работе Фесенко В частности, гяубоко разветв.лсны круговые р-рашшрения я вообще „гобые арифметически проконечные расширения )

Да iee явным образом вводятс я некоторые фп. щтрацпн на ад дитивной группе К в случае char К = р н на К* в случае char if = 0, проверяется ряд свойств згих фильтраций Эха свойства щрают ключевую рахь при доказательстве в §1 3 следующею ценхралънохо утверждения

Конечное расширение L/K называется свирепо разветвленным, если выполнено равенство [L К] = [L K]1IU5cp

Теорема 1 Пусть К — полное дискретно нормированное поге, к — его по&поле констант С /к — некоторое глубоко разветвленное расширение Тогда для любого инфернального расширения L/K существует конечное подрасширение к'/к в С/к такое, что k'L/k'K свирепо разветвлено

Эх*а i сорома интересна сама по себе, так как обеспечивает очень большую свобод}' выбора расширения к'/к в гсорсмс ЭшхаЛономарева Также показано с помощью примера, чхо требование хлубокой разветвленное™ в теореме существенно

В качестве следствия мы получаем такое усиление теоремы Эппа

Теорема 2 Пусть L/K — любое конечное разрешимое расширение полных дискретно нормированные полей, к — подполе констант поля, К Тогда существует ь,опечное разрешимое расширение к'/к та%ое, что k'L/k'K слабо перазветвлепо, то есть e(k'L/k'K) = 1

Пусть е^ = ph et¡ где (р, et) = 1 Тогда найдется искомое к'/к, являющееся композитом циклического расширения и расширения степени не превосходя/щей {р — l)A+l[L К]ек

В i;l 4 исследуется вопрос о том, насколько простой вид можно придать расширению к'/к, если измешиь подполе консташ («о возможно в случае, ко1да К имеет простую характеристику) Доказывается, что в случае несовершенного поля вычетов любое вполне разветвленное р-раеширение можно превратить в инфернальное при подходящем выборе подноля констант (и при пои заданное подполе превратить в сгандаршое) Отсюда може! быть выведено

Предложение 3. Пусть L/K — произвольное конечное расширение Галуа и [L К] = prt, где (s,p) = 1 Предположим что Q € К Существует базовое подполе В ь К и циклическое константное (относительно В) расширение К'/К с e(LK'/K') = 1

Следствие 3 1 Пусть L/K — сепарабельпое расширение являющееся пофасгиирекием нормального V/К Пусть [V К] = prs где (s,p) = 1 Если Q 6 К, то существует базовое подполе В в К и циклическое константное (относительно В) расширение К'/К такие что e(LK'/К') = 1

Следствие 3.2 Если L/K — р-расшщкнис Галуа, то щщеетв'ует базовое подполе В в К и циклическое константное (относительно В) расширение К'/К с e(LK'/К') = 1

Из следствия 3 1 непосредственно вытекает

Теорема 4 Пусть С К для всех 9, взаимно простых с р Дм произвольного сспарабельпого расширения L/K существует базовое подполе В в К и циклическое константное (относительно В) расширение К'/К такие, что e(LK'/K') ~ 1

В §1 5 в качестве еще одною следствия юоремы об устранении высшего ветвления мы пол\часм два варианта чеоремы о вчожении произвольного полного дискрехно нормированного ноля в стандартное, т е в неражетвленное над своим подполсм констант Положим e(K/k) — ph et, 1де (р, et) = 1

Теорема 5 Существует константное расширение L/K такое, что L/K — стандартное поле При этом можно считать L = L1L2 где Ь\/К — циклическое р-расширепие, и \Ь2 К] делит {р - l)h+1e(K/k) Кроме того люж-но считать L\ = IK, где l/k — конечное подраеширепие заданного коисташтюго Zp-pacmtipemm С/k, не являющегося неразветеленны.и

Назовем почти стандартным поле, некоторое неразветвленнос расширение которого является стандартным

Теорема 6. Пусть к — подполе констант К С ¡к — глубоко разветвленное расширение к Тогда существует конечное подрасширение l/k ь С/k такое что 1К — почти стандартное

В последних двух параграфах 1 славы мы рассматриваем класс полей К с \К A^] = р (Это условие выполнено, в частности, для двз мерных локальных полей и для потных дискретно нормированных нотой у которых тюте вычеюв автяется почем функций на

кривой над полем простой характеристики) В случае Charit = р мы предполагаем, что зафиксировало подполе констант к Для расширения Галуа L/K в б мы вводим новую нижнюю фильтрацию на Gal (L/K), проиндексирована} ю специальным гинейно упорядоченным множеством I А именно,

I = {-1,0} U {(с,г)|г € Q, г > 0} U {(с,оо)} U {(l, г)\г € Q, г > 0} U {ос}

(Выбор символов с и 1 указывает на связь с (почти) %<тстаптиьш,и и инфернальными расширениями соответственно) Множество 1 будет рассматриваться как линейно упорядоченное след} ющим образом

—1 < 0 < (с, г) < (l,}) < <х> при любых г, j, (с, г) < (c,j) при любых г < j, (i, г) < (i, j) при любых г < j

В основе конструкции лежит разбиение расширения в бащшо из почти константною и инфернального расширений и применение теоремы об устралеюш высшего ветвления При этом выполнен аналог теоремы Эрбрана и можно определить фу нкшпо Ха< се-Эрбрана ®ь/к I —> I со всеми обычными свойствами Это, в свою очередь, позвогяст построить верхнюю нумерацию подгрупп ветвления и теорию ветвления д,гя бесконечных расширений Приведем точное определенно фильтрации ветвления Пусть К — полное дискретно нормированное поле произвольной характеристики с полем вычетов К характеристики р > 0 Мы предполагаем, что {К W] = р

Пусть L/K — конечное расширение Гатуа, G = Gal (L/K) Jia каждою a S I мы определим в G подгруппу Ga

Положим G-i = G и обозначим через Gо яодт р\ ппу инерции в G, т е

Go = {д € G)g(a) -а е Шь при всех a е ÖL}

Обозначим через Кс/К максимальное почти константное подрасширснис в L/K Чтобы ввести подгруппы G(cl) = £?с,г, рассмотрим сперва случай, когда К^/К константное и не содержит нетривиального неразветвтенкою подрасшпренпя Тогда Кс = 1К, и мы раагомгасм естественной проекцией

pr Gal(L/if) G&l(KJK) = Gal(l/k) = Gal(Z/fc)o,

1де Ink — подполя констант в L п К соответственно Тогда полагаем Gc>i = pr_1(Gal(i/&)!) В общем случае возьмем неразветвленное расширение К'/К такое, что K'L/K' но содержит нетривиального неразветвленное о подрасшпреншг и максимальное почти константное додраеширение в K'L/К' (г с, К'КС/К') является константным Положим Gc>1 = Gel(K'L/K')Ci Легко видеть, что выбор К' не играет никакой роли Далее,

Gc со — Gal(L/A"c) — Gcm

л/гя достаточно больших т

Дтя определения G^ = G't г, г > 0, предположим сперва, что Кс стандартное, и Ь/Кс свирепо разветвлено Пусть t £ Ох,, По определению

Gll={ge Gal(i/A-C)|«0(g(i) - t) > 1}

для всех г > 0,1де «о — ittnopMwvnjoeaiMoe продотженпо vk на L Легко вндетъ, что Gv не зависит от выбора t

В общем ату чае выберем конечное расширенно V/I такое что 1'КС стандартное, и e(l'L/l'KQ) = 1, см теоремы 2 и 5 Toi да ясно, что Gal(l'L/l'Кс) = G&l(L/Kc) Далее, l'L/1'Ke инфернальное, откуда следует, что в l'L/l'Kc нет нетривиального неразвствленно1о подрасширения Поскольку e(l'L/l'Kc) = 1, это значит, что l'L/1'Kс свирепо разветвленное Полагаем по определению

G,, = Gai (l'L/l'Kc\, = Gai (l'L/ÏK)u

для вссх. г > О

Наконец, по южим G«, = {е}

Если рассматривать абелевы расшпрсния экспонен1ы р, то фи.п>траиия ветвления определяет двойственную фильтрацию на аддитивной (соответственно мультипликативной) траппе поля К при помощи двойственности АртпнаЛЛрейера (соответственно Куммера) В §1 7 приведено явное описание этой двойственной фильтрации в случае ек/к = 1

Глава 2 Почти максимально разветвленные расширения

В данной 1лаве подробно изучается довольно специальный класс расширений, j которых скачки вет&юниа принимают значения, близкие к максимально возможным (Результаты данной главы основаны на совместной работе с С В Воетоковым )

Формальным условием, задающим этот класс расширений, является условие делимости порядка дифференты расширения на степень расширения

\l k\\vl/k (3)

Такие расширение мы назвали почти максимально разветвленными (ПМР) В работах С В Востокова были полностью 01шсаны ПМР расширения для обычных локальных полей, здесь изучается гот же вопрос для произвольных полных дискретно нормированных полей смешанной характеристики Актуальность условия (3) определяется тем, что оно возникает при описание структуры аддитивных моду юй Гачу а

В §2 1 доказывается ряд технических результатов про расширения степени р В ^2 2 вводится и подробно изучается пошиие независимо разветвленных расширений Конечные сспарабельные расширения полных дискретно нормированных нолей Li/К, ,ЬГ/К б> дем называть немвисиморазветвленными, если <1k(Li Lr/K) = d[<(Li/K)+ + di({Lr/K) Отметим, что в "классическом случае" (ко1да пате вычетов К совершенно) произвольные два расширения не мотут быть независимо разветвлены, исключая случай., когда одно из них ручное

В §2 3 изучаются общие свойства ПМР расширений В этом параграфе сЬагА" = О, Кп/К — расширение Ралуа, \Кп К] = рп Обозначим р3 = е(Кп/К) В сну час п — 1 полную картину дает следующее

Предложение 7. Пусть Ь/К — циклическое расширение степени р, к(Ь/К) — скачок ветвления

1 Пусть Ь/К дикое € К В ,том случае Ь/К ПМР, еыи и только если

,г{Ь/К)>^-1

0 Пусть Ь/К дикое (р К В этом случае Ь/К ПМР, если и только если

3 Пусть Ь/К свирепое В этом случае Ь/К ПМР, если и только если Во «ем ыучаях Ь/К ПМР, если и только если <1к(Ь/К) > е —

Определим хаа^же максимально разветвленные (МР) расширения, как расширения Ь/К такие, что \Ь К\ = р' и с1к(Ь/К) = ?е

Замечание. Расширения типа 3 мог\ 1 сущеивовать, то ¿ько если К((р)/К нераяветвлено Следовательно если е(К((р)/К) ф 1, у К не существует МР расширений Отменим что для свирепых ¡расширений понятия почти максимальной разветвленноеш и максимальной разветвленнос.ш совпадают

Теорема 8 Пусть р ~ 1|е Расширение Кп/К — ПМР, если и только если существует нормальное подрасширепие Ь/К степени р1, 0 <1 <п, со следующими свойства.ми

1 Ь/К дикое циклическое, и

й^К./К^) = р - 1/р-1 + 1/р\ г = 1, ,I,

где Кг/К обозначает подрасширепие Ь/К степени р1

2 Кп/Ь — МР

В §2 4 полностью исследуется случай цикдичсско!о расширения Кп/К Основной доказанный здес ь результат

Теорема 9 Следующие условия равносильны

1 Кп/ К является ПМР

2 К]/К3~1 являются ПМР, 7 = 1, ,»

3 К\/К является ПМР

§2 5 посвящен абелсвым ПМР расширениям с условием р— 1\е Основной результат

Теорема 10 Пусть p-i\e ипустьЕ/К — абслево р-расшпрение Обозначим через Е\/К максимальное по&расширепие Е/К экспоненты р Тогда следующие условия жвшалептпы

1 Е/К — ЛМР

2 Ei/К — ПМР

3 Е = MN, где М/К и N/K независимо разветвлены, М/К — циклическое ПМР расширение, N/K — МР расширение

В классическом случае (котда по хя вычехов совершенные), ПМР расширение всегда циклическое В общем случае в работе построено нециклическое ПМР, и Даже МР, расширение

§2 6 посвящен абедевым ПМР расширениям с условием р— 1 \ е В эюм случае получена следующая класс афикашш ПМР расширений

Теорема 11 Предположим, чтор — 1 f е Пусть Ь/К—абелево р-расширение Запишем L б виде К1 Кт где К1 /К — линейно разделенные циклические г = 1, ,т Тогда L/K — ПМР сели и только если выполнены следующие 3 i/словия

1 Подрасширеиие степени р в К'/К является ПМР для всех г = 1, , т

& Подрасширения степени р в Кг/К независимо ра~1ветвлепы, г = 1, ,т,

3 Имеем

Наконец, в ^2 7 описано ветвление композита независимо разветвленных ПМР расширений

Глава 3 Высшие локальные поля

Эха 1лава ноепт ваюмогательный характер в ней приведены основные определения, относящиеся к многомерным локальным полям При зтом включена также проверка инвариантности определения топологии мноюмерното локатьного поля, которая в сичае п-мерного токальното поля характеристики 0 с первым полем вычехов характеристики р принадлежит автору и является довольно нетривиальной

Глава 4 Строение топологических К-грунп для высших локальных полей

Первая се часть (§§4 1-1 5) посвящается единообразному изложению известных результатов К-теории многомерных юкальных полей (с производным совершенным нолем вычетов) и некоторых несложных следствий этих результатов Первые четыре параграфа содержал акк\ ратные определения и детачьное изложение базовых результатов о топо готических К-гручшах для п-мерното локального шмя К с произвольным совершенным паяем вычехов характеристики р > 0 Сформулируем некоторые из тхих результатов

где

рг' = [Къ К], г = 1, ,т, r = max(r1, ,гт),

Пусть К — n-мерное локальное поле Зафиксируем простое число р и предположим, что последнее поло вычетов ноля К имеет характеристику 0 или р В такой ситуации мы будем применять следующие обозначения

• К первое поле вычетов поля К,

• v — — ,-г/")) К —» Z™ нормирование ранга п на цате К,

• F = ёк = ,ef) ~ '"Kip), если п= 1, мы пишем eg вместо

• а класс вычетов в К -элемента о g К с (а) > О,

• Ojy кольцо нормтфования (ранта п) на К,

• = 2Я = { а е Од- и(а) > 0 } единственный максимальный идеал этою кочьца,

• Рк(г) = {а е К ?/n>(o) > г},

• Т1к подгруппа в К*, состоящая из представителей всех ненулевых элементов последнего иола вычетов, она является канонической, если char К = р,

• [в\ элемент Т1к, представляющий 0 из последнего поля вычетов поля К,

• Uк = 0*к (хрупна едиштц),

• У к = 1 ■+ (группа главных единиц),

• Uk{t) = 1 + рк(г) дая любого натуральною г

Теперь рассмотрим т-ю К-гругпгу Милнора К^К, где m > 0 Мы будем обозначать ее просто Обозначим через UKmK (соотв через VKmK, U(r)KmK) подгруппу

КтК, порожденную всеми {и, аг, ,flm}, где и е i7jr (соотв и € Ук, и 6 Vk(t)) Наконец, обозначим через DmK по ц руину всех делимых элементов в VKmK, т е DmK = Пг>1 IVKmK

Гомоморфизм д = dVn КтК —» Кт-\К фактически определяется условием 9{ai, , am_i, х} = -!)<">(r){oI, при ?/n>(ai) = = v^^m-i) = О

Пусть 7г — фиксированный простой атомент К по отношению к Тогда существует единственный гомоморфизм s KmK КгпК что s({ai, ,am}) —{й1,

где a, = ir^^Ui для г = 1, , п

Д/тя любой (аддитивно записываемой.) абелевой группы Л обозначим А' = A/f]t>llA Основными объектами изучения являются группы К'пК (в случае квазпконечного последнего поля вычетов) и: VK'nK (в общем случае) из-за их роли в теории полей классов

Предложение 12. Пусть nooiednee поле вычетов поля К кеазжонечно Выберем локальные параметры t\, ,tn а К

1 Существует разложение

К'тК= ф Z{t4, лт}® ф {{вЛг, Лт ЛвеЛкУФУКк

п< <1т Ч< <гт-1

« © ® vk'mk

2 Пусть последнее поле вычетов поля К конечно Тогда, более того, КтК= ф Z {¿г1, ф {{¿>,t4, ,ttn_l}\8enK}®VKmK

П< <гт гх< <гт_х

« z(m) ® J е уктк

Замечание Первая (соотв вторая) прямая сумма берется по множеству всех т-элементных (cooib (т — 1)-эцементных) подмножеств {1, ,n} которое, очевидно, пусто при т > п (cooib т> п + 1)

С этого места мы сосредоточимся на подгруппе VKmK Пусть п > 1 Тогда д КтК —► Кт-\К п 5 КтК ~> КтК очевидно дают при ограничении сюр ьективные г омоморфщмы

д VKmK VKm-{K, s VKmK - VKmK При m > 1 ecib известная точная последовательность

о u(l)kmk vkmk 9ле vkm-{k ® vkmk -> о

Факторизашгя гомоморфизмов (4) даст д VK'mK —> VK^jK к s VK'mK —> VK'mT{

Отсюда при char К = 0 получаем такие следствия

(i) Ее ш п > 1 то д ф ? VK'mK = VK'm_{K © VK'mK д гя всех т > 2

(и) Если п = 1, то VK'mK = 0 для всех т > 1

Это позволяет далее свести изучение к случаю chai К = р Чтобы определять в этом случае топологию на vkmk дтя начала pai смотрим К* и vk Ф {К* ¡Vk) с прои ¡ведением дискретной топологии на (К*/\д-) и канонической топологии на V¡c Эта топология, очевидно, корректно определена Теперь рассмотрим все топологии на vkmk такие что i) каноническое отображение vk х (к*)т~1 —> vkmk секвенциально непрерывно, и) операции в vkmk секвенциально непрерывны

Сильнейшая топология с этими свойствами берется в качестве канонической топологии на vkmk И Б Фесенко доказал, что пересечение всех окрестностей тля в vkmi< — делимая группа, совпадающая с dmk (Мы приводим по-гное доказательство это результата в §42 и §4 3 ) Топология vkmk определяет отделимою тополо1шо на vk'mk Группа vk'mk вмес те с этой гоподогпей будет обозначаться VK^PK Далее мы изу чаем именно эту гру ппу В случае char if = р эга группа не имесч кручения и для нее можно построить явный гополошчеекий базис (как Жр-модуля) Соответствующий результат, принадлежащий Паршину, приведен в параграфе §4 2 В случае же char К = 0 мы имеем лишь явну ю систему образующих для vkm"k, и мы получаем единственность этого раз южения "с точностью до u(1)k%>k»

В §4 5 мы обсуждаем свойства обобщенною символа Востокова и вычисляем VK^K В оставшейся части главы изучаются VK^K п Gaí(Kf,/K) для случая разнохаракгерисшческот о n-мерного полного поля К Фактически для этою достаточно изучать подгруппу U(1 )К^РК, как видно из §§4 1-4 2

В §4 6 проводится наиболее нетривигыьная часть в доказательстве основного результата этой главы — построение большого числа атементов кру чения в vk„pk

§4 7 носит вспомогательный характер В нем изучается вопрос о том, может ли данное циклическое расширение fcW/й сгепенир быть вложено в расширение кг/к с Gal (кг/к) = Zp, где к обозначает любое полное дискретно нормированное поле характеристики 0 с совершенным полем вычетов характеристики р > О

В §4 8 мы изучаем модуль и(1)К%®К/Тк, где Тк обозначает замыкание подгруппы кру чения Два основных результата

Теорема 13 Пусть К = £{{'1}} {{?п-1}} — разнохарактеристичесъое стандартное п-мерное полное поле сЪагК > 2 Пусть В — топологический базш Ър-модулл {/^ (по модулю кр1/чепия) Тогда обладает топологччес ним базисом вида

В = {{и,1, ,^}\иеВ]

Замечание Если последнее поле вычетов поля К конечно, го В конечен, и можно опустить слово "х'опоюхический" в обоих местах

Далее предположим, чм последнее поло вычетов поля К конечно

Теорема 14. (г) и(1)К(°рК/Тк

— конечно порожденный Ър-модуль, ранга не меньше, челе, [к <0>р], где к — подполе констант пом! К

(и) Если К = ¿¡{{¿х}} {{¿п-л}}, то этот модуль — свободный ранга [А: (¡2,,]

В качссхве следствия доказывается, что норменная подгруппа композита всех Ър-раепшрений и абелевых расширений взаимно простой с р степени совпадает с Тк Наконец доказывается

Следствие 14 1 Пусть К = ¿{{¿х}} {{¿п-1>} ^ « теореме, С = Са1 (К*ь/к*-ъК£>) Тогда подгруппа элементов кручения в С? плотна в С

В [¡4 9 и §4 10 показывается, как тем же методом можно получить описание всей и(1)КпРК в простых случаях В частности, в §410 мы даем описание

п,!1я

абсодюхно неразвгавлсяно! о К

Пусть К — абсолютно неразветвленное ралнохарактеристическос п^мерное локальное поло К Известно, что в зхом случае К = &{{41}} {{¿11-1}}; еде к — иоле частных И'(.Р), Р — пос 1еднес поле вычетов поля К Предположим что р > 2

Шбор мультшшдексов I С Хп будем называть допустимым, если для любых г(я+!) (1 < г < п) найдется целое число г такое, чю из условий г € I, = =

г(!+1) сдрдур! г(0 > г (В частности, применение этого определения к случаю I = п дает ох раничонноехь I снизу )

Теорема 15 Пусть В — базис F над Тогда любой мемемт

может быть

разложен как

где Сгв ё = {г \ ър(сг в) < ? для некоторого в} представляет собой допустимый

набор при любом ч, и для данных г € м«>0 лишь конечное число с?,в не делится р" Далее, если г / (0, , 0), то определены однозначно по .модулю р^М + 1 ас^ д, $ определены однозначно

Имеется иная формулировка этой хеоремы, бсо упоминания тополопш УК^'К

Следствие 15 1 Отображение

A UK(1) -> U(l)K%">K

и Н-> {и, 11, , fn_l }

— еюръсктитшй гомоморфизм Его ядро топологически порождается элементами (1 + [0]íj(1) tn-l^ P)Vp^+1 гдег ф {0, , 0) и О пробегает произвольный базис F над ¥р □

Глава 5. Теория ветвления для двумерных локальных полей

В этой гчавс происходит дальнейшее развитие подхода из гчавы 2 применительно к двумерным, локальным нолям Теперь мы рассматриваем случай ютда поле К снабжено дискретным нормированием ранга 2

Прежде вссто, в í¡5 1 вводится новое индексное множество Я2 э Я и строятся более тонкие нижняя и верхняя филырации на сруппах Гал\а pat,широкий К Яг отличается от Я тем, что в "инфернальной" част используются значения нормирования ранга, 2, то есть

I2 = lU{(íbí2)|íllí2eQ,í2>0},

причем

(мг) < (гь«2) < {А,п) < (м2)

при всех Ii < г2, г\ < г'х

Отмесим, что с "инфернальной." частью вводимом '.десь фильтрашш íecBO связаны инварианты ветвления для двумерных полей введенные К Каю в статье "Vanishing cj-cleb, ramification of valuation and class held Ihcorv" (Duke Math J 55 (1987), 629-659)

В оставшейся чаети главы из}чается случай. равнохарактерпотичесього двумерною локального поля К с конечным последним полем вычетов Мы конструктивно (без обращения к теории полей классов) вводам некоторую фильтрацию на ípynne К^К, отличную от филырации, индуцированной нормированием Наша фильтрация проиндексирована множеством 12 и веде1 себя лучше по отношению к отображению нормы, чем обычная фильтрация А именно, в случае абелева расширения L/K отображение нормы на группе преобразует фильтрацию но закону, задаваемом.} функцией Хассе-Эрбрана (теорема 5 5 5) Наконец, мы доказываем, что отображение взаимности двумерной локальной теории полей классов отождествляет эч} фильтрацию с фильтрацией вечвления из §5 1 (теорема 5 5 6)

Предложенный здесь подход к теории вствтения в работах В А Абранпшна быт распространен на n-мсрные локальные поля Это дало возможность сформулировать и доказать для высших юкальных полей аналог анабелевой гипотезы Гротендика

Глава 6. Метод струй

Пусть L/K — конечное расширение Г&гуа поля функций связной нормальной гг-мерной схемы X, и пусть / У —> X представляет собой нормализацию X в L Мы описываем

первые шаги в направлении построения базовой системы инвариантов ветвления (X, L/K) о чем шла речь выше Мы предлагаем следу тощий подход к достижению а той цели

Пусть С — кривая на X, не тежашая це. шком на R, a D — любая кривая на У, лежащая над С Тогда у естественною морфизма D —» С имеется обычный набор инвариантов ветвления, а именно фильтрации ветвления во всех точках, в которых С пересекает В Идея состоит в том, чтобы собрать эти инварианты для всех регулярных кривых С и всю совокупность данных, полученных таким образом, рассматривать как систему инвариантов (X, L/K)

Некоторые свойства ¿тих инвариантов шуч&тись в работе J-L Biylniski, Théorie da corps de classes de Kato et rcvHements abéhens de surfaces, Arm Inst Fouaer, Gienoble 33 (1983), 23-38 Однако мы изучаем кривые С, не только трансверсалытые к локусу ветвления, но и касательные к нему — примеры доказывают, что при этом сохраняется важная информация о ветвлении

В данной главе мы полностью изучаем поведение этих инвариантов в простейшем случае, когда X = Spec Л, А — регулярное 2-мерное локальное кольцо характеристики р > 0 с ая1 ебраичес ки замкнутым полем вычетов, LJK — циклическое расширение степени р Тогда вышеупомянутые инварианты сводятся к набору чисел hp(L/K), где р пробегает множество простых идеалов катьца А таких, что А/р представляет собой 1-морное регулярное локальное копыто a LjK неразветвлеао в р Здесь hp(L/K) обозначает единственный скачок ветвления расширения потей вычетов, соответствующих р, если это расширение нетривиально, в гтротнвном случае считаем hv(L/K) — О

Теоремы, формулируемые в §6 2 и доказываемые в §6 3, описывают поведение hp(L/K) при изменении р А. именно, мы доказываем, что величина hp(L/K) зависит только от струи определенного порядка, которой принадлежит алгеброидиая кривая С, соответствующая идеалу р Порядок этой струи оценивается линейной функцией от индекса пересечения г кривой С с компонентами В Далее, для каждого г на пространствах струй соответс твующеш порядка можно ввести структуру аффинното пространства Мы доказываем, что величины hp(L/K) ведут себя как полунепрерывные функции на этих пространствах, причем максимальное значение этой функции hr(L/K) доститается на некотором открытом по Зарпсекому множестве Наконец, при дополнительном предположошш что А является G-кольцом, мы доказываем, что существует продол (hr(L/K)/r)T Приведем точные формулировки

Для иобых двух различных простых дивизоров Fp, Fp определим tlx кратность пересечения с помощью формулы

no линейности это определение распространяется на любые два дивизора С, С без общих компонент

Пусть L/K — циклическое расширение степени р, и пусть В — целое замыкание А в L Пусть pi, ,рй 6 SpecA — те простые идеалы высоты 1, по отношению к которым L/K разветвлено Мы будем считать, что дискримияантный дивизор представляет собой

дивизор со (строго) нормальными пересечениями тс d < 2, A/pi, A/pd регулярны, если d = 2, 10 (FPl FPa) — 1 Мы не будем рассматривать неразвотвленные расширения поэтому мы считаем d > 1 Нормирования на К ассоциированные с простыми дивизорами ^Рп Fp<i будут обозначаться wi, ,Vd Далее, положим

и А = {р 6 Spec А\ht р = 1, Д/р регу тарно рфрх, , р<г}

Пусть р 6 uа Рассмотрим подгруппу разложения в Gal(L//i) в точке q, где q — простой пдеат кольца В над р Поскольку L/K не разветв юно в р, имеем D4 = Gal(i/(q)/AT(p)), где К(р) — иоле частных кольца А/р, a L(q) — поле частных кольца В/ц Кольцо А/р представляет собой дискретно нормированное кольцо с полем вычетов к, ж мы получаем (нижнюю) фильтрацию ветвления на группе Gal(L(q)/A"(p)) Фильтрация ветвления будет обозначаться Gip, г > -1 Положим

/max{i|p=|G,p|}, e(L(q)/ir(p))=p, h,f(L/K) = <

10, в противном случае

Легко видеть, что hp(L/K) корректно определено Для р е Uа множество

Jn(p) = {р'6 ¡WP< П) > П +1} называют струей р порядка п Введем также обозначения

\{peUA\{FpFn) = r}, d = l,

т =

'{ре UA\(FV FPl) = г, (Fp = 1}, d = 2, Tr,n = {Jn(p)|p eTr}

Теорема 16. (существование однородного достаточного порядка струи) Для каждого г > 1 существует s такое, что если р р' еТг и (Fp Fp<) > s +1 то hp(L[K) = hp¡(L/K) Пусть sui T(L¡К) — минимальное такое s Тогда cywtecmeyem N > 1 такое, что sщг(Ь/К) < Nr для любого г

Нгобьг (форму лировать следующие теоремы мы должны ввести структуру аффинного прос транства на Тг Если d = 2, обозначим через Т и U любые образующие идеалов pi и рг соответственно Если d = 1 обозначим через (Т U) цобую систему рог у лярньгх локальных параметров в А такую, что Т — образующая идеала pi Тогда А можно отождествить с k[\T, U}} Отображение к = A/m —> А будем называть сечением уровня N, если диаграмма

k[[T,U]]/(T,U)N -А/mN

комму татявка.

Зафиксируем натуральное число п и ссчоние Л А/т —* А уровня п Сперва рассмотрим случай г = 1, (I = 1

Пусть р 6 71 (1 е это цдеат рос-тка кривой, трансверсадъной к -РР1) Тотда р = (f), 1де / ф О то(1 (Г, У2), и можно считать / = —и то<1 (Г, 6г2) В силу подютовительной теоремы Вейерштрасса найдется единственное е € (А)* такое, что /г = ~и+ 1 осгТг при некоторых аг е к, г = 1,2, Возьмем го ё такое что го = е то<1 (Т, и)п+1 Заменяя / на /ео, мы можем без потери общности считать, что

¡ = -и + \{оч)Т+ +А ЮТ" тоё<^ге+1,

где ах, ,ап€к однозначно определены идеалом р Таким образом, можно оюждеывить Т\ п со мноя^еетвом замкну гых точек при помощи отображения

(од, ,ап)^Зп({-и + \(а1)Т+ + Х(ап)1п))

Отметим, что 0:1,0-2, не зависят от выбора Ли» Фактически они представляют собой коэффициенты в разложении

и = од 4 + аг42 + ,

где 4 и г/ — образы Г и ¡7 в ¿/р £ &[[(]]

Далее, пусть „щбо г > 2, либо й = 2, г = 1 Ее ш р £ Тт, имеем р = (/),

/ = -Т + Л(/?г)г/Г + + К,вп)ип тос! ¿еёп-4 1,

где Д., к однозначно определены идеалом р, и (5Г ф 0 Получаем биекцщо

(А, , Аг) >- 7П((-Г + \(рг)ит + + А(/Зге)С/"))

Здесь (А^+1~Г)3;0?'о представляет собой множество замкнутых точек А£+1~"г с отличной от нуля первой координатой Как и в предыдущем случае, Д-, Д.+1, не jaвиcят от выбора Л и га

Теорема 17 (долунепрерывность ст^ачка) Пусть п > 5щг(Ь/К) Тогда для любого з > О множество

{А(р)|р 6 Тг, Ь/К) < ь} представляет собой замкнутое подмполсество в ТГ1„ Теорема 18 (общее значение скачка) Супремум значений К{Ь/К) = 8ир{Лр(Ь/К')|р 6 Тг}

конечен

Напомним, что А называется в-кольцом, если для любого р € Эрес А и любого конечного расширения Х/Рг(Л/р) формальный слой А Ь является регулярным кольцом (Это одно из условий в определении превосходного кольца В со локатьные кольца многообразий представляют собой 0-ко»1ьца)

Теорема 19 (асимптотика скачков) Предположим дополнительно что А — в-кольцо Тогда последовательность (Ь,г(Ь/К)/г)г сходится

Опираясь на эти рсзучыаты, в §6 4 мы формулируем программу описания ветвления дал произво 1ьно1 о конечно1 о морфггзма нормальных ттоверхносч'сй Она зак. почается в доказательстве утверждений, аналогичных сяки теоремам, но не лля скачков ветвления (для них в общем случае не въшо шяется ул^е требование полу непрерывности), а для кондукторов Артина

Реализация згой программы сопряжена с двумя .трудностями

(1) Нормализация У регулярной поверхности X с к(Х) = К в Ь/К не всегда регу^тярна (и) Даже если У регулярна, кривые и над заданной регулярной кривой С почти никогда не являются регулярны™

Что касается (1), все же существует достаточно ботьшой класс расширений, которые дают регулярную поверхность У, например, таковы циклические расширения степени р, которые всюду лока тьно могут быть заданы уравнениями вида

г-Р - Т = /--Рт+^-Р"

с неотрицательными целыми т и п, где (ив — локальные параметры в данной точке X Можно свести более общую сигу ашпо к данной, если применять раздутия и нормализащш во вспомогательных ручных ра^широштях. Другой путь состоит в рабою с произвольными нормальными поверхностями с применением мотивного интегрирования

Чю касается (и), едва ли возможно избежать работы с особенностями кривых Петому хребуется найли богее обшие формулировки теорем из ^6 2, которые охватывали бы особые кривые Однако необходимо выяснить, как изменяются инварианты особенности при переходе от X к У, некоторым результатам в зтом направлении посвящена оставшаяся часть гтавы

Таким образом, начиная с §6 5, мы изучаем поведение особенностей кривых при подъеме относительно некоторых ручных и ,шких пик шческих накрытий / У X простой степени, где X и У - регу тарные поверхности над нолем к простой характеристики р

Мы сопоставляем ашеброидной (формальной) кривой БресК на X, где % -полная одномерная область с подполем коэффициентов к, два инварианта ¿(К) = с1пп(ь(71/Щ, где К - целое замыкание К, и: М(Я), комрьгй равен наименьшему числу раздутий, разрешающих особенность V, Пусть ЭресК' - алгеброидная кривая на У над исходной кривой Используя разложения Талибургсра-Нетсра, мы показываем, что 5(К') (соответственно М(72')) можно оценить сверху линейной фуккшюД от <5(*К.) (соответственно, М(Щ) и (в диком случае) от кратности пересечения 71 с дивизором ветв гения накрытия / В оценках для М(К') появляйся также другой инвариант особенности, а именно кратность 7?.

Эти результаты можно было бы ислочьзовать кате ишредиснч в доказательстве гшютезы о достаточном порядке струи для широкого класса накрытий Гадуа поверхностей й" —» 5 Эта гипотеза утверждает, что если даны конечномерное представление группы Гадуа накрыгия неприводимые кривые С и С ка 5" и 5 Очл^остственпи, такие, что /(С) = С,

и точка Q € С то кондуктор Артина f\c в точке Q зависит только от струн С в f(Q) определенно! о порядка при условии, чтч> С но является компонентой дивизора ветвления В накрытия / Более того, этот достаточный порядок струи можно оценить сверху лннейной функцией от (В С)¡(qj (ср с теоремой 16)

Глава 7. Метод пучков кривых

Пусть h Т —» S — конечный сеиарабельный морфизм ctchchh п полных неособых поверхностей над алт ебраичсски замкнутым полем произвольной характеристики В мой главе выведена, формула, которая выражает .эйлерову характеристику хт поверхности Т (т е степень со второго класса Чженя /сэ,г) через эйлерову характеристику S и некоторые лока.,!ыше члены, ассоциированные с компонентами дтшизора Вh = h'R^ и с некоторыми ■точками на Вд (здесь пд — дивизор ветвления)

В §7 1 докрываются вспомогательные результаты и даются необходимые определения, включая следующие

Для коночного сепарабеяьного расширения полных дискретно нормированных колец В/А величтша ад(Эв/д) — (е^/д - 1) называется диадой дифферентой В/А а обозначается

Пусть С — полное двумерное peí ударное локальное кольцо с подколем коэффициентов А- Пусть b е О, а € m \ {0}, где m — максимальный цдеат О В этой ситуации мы введем 6) е N U {+ос}

Если Ь — неприводимый элемент, обозначим через 3 образ а в целом замыкании В кольца О/б Тот да

d(M) = <¿(B|fc[[a]]),

если 5/0, и d(a,í)) = +оо в противном случае В общей ситуации, если b ~ еП»Р[* — каноническое разложение полагаем

d(a, b) = гг(1(а, р,)

В ^7 2 доказан важный вспомогательный результат — аналитическая формула присоединения В §7 3 вводятся понятия ручной и дикой сингулярности

Пусть 7Г1, ,7i> — попарно неассотшированные простые элементы О и / = яд ттг Введем ручную сингулярность f

singo / = 2^5(0/тгг) - г + £>4 + 1,

• ъф]

где S обозначает кора ¡мерность над к данного кольца в сто целом замыкании

Далее, введем дикую сингулярность /, обозначаемую smgg / Предположим, что существуют регулярные лова сытые параметры 6 , í кольца О, такие что (т) все величины d(f,s), d(s,f), d(f, Ц) конечны,

(я) 7гг | ^ при любом г, s { §f

Тогда

bmgg f = -d(f, ,) h d(% f) + d(j,

Если требуемых i>,t не существует, полагаем singg f = ос

Доказано, что smgg/ не записи! от выбора b,t и в сумме с &mgq) составляет число Милнора

В ^74 выводится форму ia Д1я изменения ручной синт у шрносгп в конечном сепарабельвом расигпрсшш полных регулярных двумерных локальных колец, а также дастся определение шкального члена (в коразмерности два) для основной форму 1ы

Пусть О'¡О — конечное сепарабельное расширение полных регулярных двумерных локальных колец некоторой степени п, причем полом коэффициентов обоих колец служит а пебраически замкнутое папе к Для дне крпминантного дивизора О'¡О (рассматриваемого как замкнутая подсхема в Spec О) обозначим через Д уравнения его простых компонент а через Ьг их кратности Рассмотрим элемент / € О который представляет собой произведение попарно неассоциированных простых элементов в О, причем smgg/ < оо и ни один из А не дс.ш1 f Пу 1ь / = тг^ ttJ. — разложение J на простые множители в О' Каждый делит в точности один простой делитель 7г, элемента, / в О, и мы обозначим через А{ и Аг целые замыкания (У/ж'г и. O/iтг соответственно Положим по оиределеншо

Af(0'/0) = £>(1 - d(f Д)) - (n - 1) - J2d(A{|A) +smgg, / - nsmgo /

! J=I

Приводятся пр1шеры вычисления А ¡(О'/О)

В §7 5 приводится классическая формула Северн, позво тощая вычислять эйлерову характеристику полной регулярной поверхности при помощи йену гевого рациональною 1-дифференидала на ней

В §7 6 мы вычисляем эйлеров} характеристику полной регулярной поверхности при помощи пучка кривых на ней Ктючсвым шагом для случая простой характеристики служит доказательство существования т н сснарабсльного пучка кривых, то есть пучка, удовлетворяющего трем условиям

(*) все кривые пучка — приведенные подсхемы (пучок кривых на S мы понимаем как произвольное доминантное раииона гьное отображение S в Pj., кривые — замыкания его слоев)

(**) для каждой базисной точки через нее проходят все кривые пучка, причем нобые две персе екаютея трансверсатьно

(***) для каждой точки, от,личной от базисной, дикая сингулярность в ней у соответствующей кривой пучка конечна

Предложение 20 Пусть С — сепарабельпый пучок правых па S с базисным множеством В ра(С) — арифметический род входящие в пего кривых, sing С — О-цикл, определяемый соответствующими числами Милнора Тогда

f^S=f smg С -#В~ 4 (ра(С) - 1)

Наконец, в §7 7 рассматривается коночный сепарабольный морфизм поверхностей А Т —> Я степени п и доказывается основная

Теорема 21. Пусть Вд = — дискриминапткый дивизор /г Вг представляют

собой простые дивизоры па в) Пусть С — любой сепарабелытй пучок па в такой что ни один из Вг не является компонентой какой-либо кривой в С Тогда

ХТ - пхя = Х>(2Р3{В,) - 2) + £ М&д/в^})),

Я

где / — локальное уравнение в /г(<5) соответствующей кривой пучка С, <Э пробегает замкнутые тучки поверхности Т

Отметим, что А¡{От.д/Одцд)) не обращается в нуль только в конечном числе ючек Я, причем все эти точки принадлежат дивизору ветвления морфи.ша /г Важно также охметшь, что данный член зависш ох инфинитезималымл о (а не просто 01 локальною) поведения /г, 1 е, от свойств расширений пополненных локальных колец, что сводит дальнейшее изучение ситуации к некоторым вопросам, касающимся исключительно полных регулярных локальных колец

Данная формула представляет собой двумерный аналог формулы Римана-Гурвица для кривых В характеристике 0 она была установлена Иверсеном

Замечание Пока нам не удалось избежать зависимости от f в определении члена А, который описывает ветвление в коразмерности 2 Однако, мы ожидаем, что в действительности А/ не завпеш от / (и, следовательно, формула имеет окончательный вид) при условии, что отсутствует свирепое ветвление

В хорошем случае (когда нет свирепого ветв. гения) можно нопосредсхвенно показать, что во всех "неисключительных" то-жах А/ не ^ависих от пучка кривых, при условии, что пу чок кривых "достаточно общий" Мы предполагаем что общий случай можно вывести отсюда при помощи локально-глобального построения, аналогично! о используемому Дсшшзсм-Ломоном при доказатагьсхве формул для харакхерисхики Эйлера-Пуанкаре

В то же время при наличии свирепого ветвления Xf реально зависит от / Поэтому формула сохраняет силу, но окончательный вид формулы, кохорая может служихь двумерным анаююм формулы Рнмана-Гурвица, еще предстоит найхи

Работы автора по теме диссертации

[1] И Б Жуков, А И Мадунц, Многомерные полные тюля топология и другие основные понятия, Труды С -Пехерб мах общ 3 (1995), 4-46

[2] И Б Жуков, Структурная теорема для полных полей, Труды Санкт-Петерб маг общ 3 (1995), 215-234

[3] М В Бондарко, С В Воегоков, И Б Жуков, Аддитивные модули Галуа в полп-ы-х дискретно норлшрованных полях, Алгебра и анализ 9 (1997), 28-46

[4] И Б Ж\ ков, Иил1юровские и топологические К-группы многомерных полных полей, Алхебра и анааиз 9 (1997), 98-147

[5] И Б Жуков, М В Коротеев, Устранение дикого ветвления, Аггебра и анализ 11 (1999), 153-177

[6] С В Востоков, II Б Жуков, Г К Пак Расширения с почти максимальной глубиной ветвления, Записки на\'чны\ семинаров ПОМИ 265 (1999), 77-109

[7] I В Zhultov, Higher dimensional local fields, m book Invitation to lughei local fields (Munster, 1999) 5-18, Geom Topol Monogr 3, Geom Topol Publ, Coventry, 2000 http //www maths warwick ac uk/gt/gtmconteiits3 html

[8] I В Zhukov, An approach to higher ramification theory, m book Invitation to htghei 1<ка1 fieldb (Mvmter 1999), 143-150, Geom Topol Monogr , 3, Geom Topol Publ, Coventry, 2000, http //www maths warwick ac uk/gt/gtmcontents3 html

[9] I В Zhiikov, Ramification of surface's Artm-Schreiei extensions, m book Algebraic number theory and algebraic geometry, 211-220, Contemp Math , 300, A.mer Math Soc Providence, RI, 2002

[10J И Б Жуков, О теории ветвления в случае несовершенного поля вычетов, Мат сб 194 (2003), 3-30

[11] И Б Жуков, Особенности дуг и циклические накрытия поверхностей, Труды Санкт-Петерб мат общ 11 (2005), 49-66

[12] И Б Жуков, Формула Иверсена Лш вторых классов Чженя регу«ьярныЗ/ поверхностей в произвольной характеристике, Аш ебра д анализ 19 (2007), 137-158

Подписано в печать 28 12 2007 г Бумага офсетная Печать ризографическая Формат 60 х 84 1/16 Услпечл 2,0 Заказ 4022

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Университетский пр 26

Введение

0.1 Изучаемые объекты.

0.2 Постановка общей задачи.

0.3 Существующие подходы

0.4 Основные результаты работы

Определения, обозначения, классические результаты

1 Полные дискретно нормированные поля с несовершенным полем вычетов

1.1 Циклические расширения степени р.

1.2 Основные определения и конструкции

1.3 Устранение высшего ветвления

1.4 О выборе подполя констант.

1.5 Вложение полного дискретно нормированного поля в стандартное

1.6 Теория ветвления с индексным множеством I.

1.7 Пример: абелевы расширения показателя р.

2 Почти максимально разветвленные расширения

2.1 Некоторые вычисления в расширениях степени р.

2.2 Независимо разветвленные расширения

2.3 Общие замечания о ПМР расширениях.

2.4 Циклические ПМР расширения.

2.5 Абелевы ПМР расширения, р — 1|е.

2.6 Абелевы ПМР расширения, р— 1 { е.

2.7 Еще о композитах ПМР расширений.

3 Высшие локальные поля

3.1 Основные определения.

3.2 Классификационная теорема.

3.3 Топология на аддитивной группе

3.4 Строение мультипликативной группы

4 Строение топологических K-групп для высших локальных полей

4.1 Основные определения.

4.2 Структура VK^PК в равнохарактеристическом случае.

4.3 Разнохарактеристический случай.

4.4 Других: определения топологии и свойства отображения нормы на топологических Ji-группах.

4.5 Строение VK^K.

4.6 Построение элементов кручения.

4.7 О Zp-расширениях одномерного поля.

4.8 Основные теоремы.

4.9 Пример: Qр{{£}} и Qp(CP){{t}}.

4.10 Абсолютно неразветвленный случай.

5 Теория ветвления для двумерных локальных полей

5.1 Конструкция.

5.2 Дополнительные сведения о топологических К-группах двумерных локальных полей.

5.3 Подгруппы Sa в U{l)KfvK

5.4 Поведение Sa в некоторых типах расширений.

5.5 Фильтрация на К^орК и отображение взаимности.

6 Метод струй

6.1 Терминология и обозначения.

6.2 Теоремы для расширений Артина-Шрейера.

6.3 Доказательства.

6.4 Постановка вопросов в общем случае.

6.5 Дуги.

6.6 Подъем дуг.

6.7 Случай I Ф р.

6.8 Случай I = р.

7 Метод пучков кривых

7.1 Определения, обозначения и предварительные сведения.

7.2 Аналитическая формула присоединения.

7.3 Ручная и дикая сингулярность.

7.4 Расширения двумерных полных регулярных локальных колец.

7.5 Формула Севери.

7.6 Вычисление второго класса Чженя при помощи пучка кривых.

7.7 Морфизмы поверхностей Список литературы

Любая монография или учебник по локальной теории полей классов содержит главу, посвященную теории ветвления. В ее основе лежит существование некоторой базовой системы инвариантов для заданного конечного расширения локальных полей. В качестве таковой можно взять, в частности, порядки подгрупп ветвления (в нижней нумерации). Все другие классические инварианты ветвления данного расширения (а также любого его подрасширения) могут быть через них выражены. На этой основе строится элегантная и практически завершенная теория, включающая такие элегантные результаты, как теорема Хассе-Арфа или теорема Серра о существовании представления Артина.

Теория ветвления представляет собой удобный инструмент для изучения многих вопросов, касающихся конечных расширений локальных и глобальных полей. Наличие фильтрации ветвления на группе Галуа позволяет свести изучение заданного конечного расширения к изучению просто устроенных подрасширений. Далее, регулярное поведение инвариантов ветвления при переходе к подрасширениям делает теорию ветвления применимой также и для изучения бесконечных расширений. Наиболее ярким примером этого служит теория полей норм, развитая Фонтеном и Винтенберже.

Инварианты ветвления, ассоциированные с морфизмом гладких проективных кривых или с конструктивным пучком ^-модулей в этальной топологии на такой кривой, входят в качестве локальных членов в важные формулы алгебраической геометрии — формулу Римана-Гурвица и формулу Гротендика-Огга-Шафаревича соответственно.

С современной точки зрения классическая теория чисел, изучающая глобальные и локальные поля, представляет собой одномерный случай арифметической геометрии, предметом которой служат схемы конечного типа над Ъ, Многие классические понятия, теоремы и гипотезы переносятся на эту более общую "п-мерную ситуацию". В частности, существует высшая теория полей классов, построенная в работах Като, Паршина, Вос^окова, Фесенко, теория высших аделей Паршина-Бейлинсона и др. Однако, пока не существует приемлемого п-мерного обобщения теории ветвления.

Красота и сила классической теории ветвления сохраняются при переходе от локальных полей (с конечным полем вычетов) к полным дискретно нормированным полем с произвольным совершенным полем вычетов. Однако от регулярного поведения инвариантов ветвления и всей основанной на нем теории практически ничего не остается, если мы допускаем возможность несепарабельных расширений полей вычетов. (Расширения такого типа с неизбежностью возникают при работе с n-мерными задачами, где п > 1.)

В течение последних 30 лет был опубликован ряд научных статей, посвященных теории ветвления дискретно нормированных полей с несовершенным полем вычетов и теории ветвления многомерных схем. В большинстве из них получена в основном негативная информация о различного рода нерегулярностях в поведении инвариантов ветвления.

В данной работе мы развиваем несколько новых подходов к построению теории ветвления в этой общей ситуации.

За полезнее обсуждения, определившие направление исследований, автор выражает благодарность С. В. Востокову, А. Н. Паршину, И. Б. Фесенко, П. Делиню, Г. Ломону, Т. Саито. Я также признателен за сотрудничество А. Аббесу, В. А. Абрашкину, М. В. Бондарко, О. Ванюшиной, О. Габберу, Н. Г. Дурову, А. Жеглову, К. Зайнуллину, JI. Иллюзи, К. Като, М. В. Коротееву, В. С. Куликову, X. Курке, Ф. Лоренцу, А. Мадунц, Л. Миллер, Д. Орлову, Д. Осипову, М. Росту, М. Саиди, Л. Сприано, Б. Эрецу, А. В. Яковлеву. Эти математики поддерживали мой интерес к теории ветвления, а некоторые из них помогли найти ошибки в ранних версиях работ.

0.1 Изучаемые объекты Некоторые обозначения

Для целой схемы X обозначим через к(Х) ее поле функций.

Для нормирования v на поле К обозначим через Kv пополнение этого поля. к обозначает алгебраически замкнутое поле; р = char к. (Мы не требуем р > 0, но этот случай представляет основной интерес.) / — простое число ф р.

Для схемы X и неотрицательного целого г через X1 обозначается множество ее г-мерных точек.

Геометрические данные

Пусть X — нормальное многообразие над к.

Инварианты ветвления могут быть приписаны, в частности, каждому из следующих объектов.

1. Конечное сепарабельное расширение Ь/К, где К = к{Х).

2. Конечный морфизм / : У —> X, этальный в общий точке.

3. Конструктивный пучок Ег-мо дулей на Х&.

Существуют просто описываемые взаимосвязи между этими типами объектов. Так, расширение Ь/К определяет нормализацию / : У —> X многообразия X в Ц это конечный морфизм, этальный в общей точке. Наоборот, любой такой морфизм определяет конечное расширение Ь/К полей функций.

Далее, опишем на грубом уровне связь этих объектов с пучками. Предположим, что пучок Т — локально постоянный над некоторым открытым подмножеством II С X. Тогда существует этальное накрытие V —» II такое, что постоянный. Рассматривая меньшее и, можно считать, что V связно. Соответствующее расширение полей функций (оно не определено однозначно) можно взять в качестве Ь/К.

Обратно, пусть Ь/К — конечное расширение Галуа, и пусть / — соответствующий морфизм нормализации. Тогда / этален над некоторым открытым и С X. Различные конечномерные ^-представления С&1(Ь/К) соответствуют локально постоянным пучкам ^-модулей конечного ранга на эти пучки продолжаются нулем на все Хёи

Классические инварианты ветвления

Пусть X — многообразие над к; предположим, что X нормальна. Зафиксируем конечное расширение Галуа Ь/К поля К = к(Х).

Дифферента; локус ветвления. Пусть / : У —;► X — нормализация X в Ь. Тогда пучок идеалов АппП5,/д, называется дифферентой У над X. Это инвариант ветвления: для Р Е У, (Яу/^р = Ор, если и только если / неразветвлен в Р.

Подсхема У, определяемая пучком Юу/х имеет своим носителем замкнутое подмножество У, называемое локусом ветвления.

Индекс ветвления и нижние подгруппы ветвления. Пусть У — простой дивизор на X, и пусть V — соответствующее нормирование поля К. Обозначим через ю произвольное продолжение V на Ь. Тогда индекс ветвления еш — е{ЬЪ}/Ку) называется индексом ветвления Ь/К в го; поскольку Ь/К — расширение Галуа, он в действительности не зависит от выбора ю над V. Далее, подгруппа разложения

С Са1 (Ь/К) изоморфна локальной группе Галуа и на ней есть так называемая нижняя фильтрация ветвления:

Напомним, что для любого конечного расширения Галуа Е/Р полных дискретно нормированных полей с группой Галуа С подгруппы ветвления С (в нижней г > — 1, г е <0>, где ье — нормирование на Е, а Ое — соответствующее кольцо нормирования.

Порядок дифференты может быть определен локально: где <3 — точка коразмерности 1 на схеме У, соответствующая ю.

0.2 Постановка общей задачи

Говоря коротко, задача заключается в том, чтобы "распространить классическую (одномерную) теорию ветвления на двумерный (а затем и многомерный) случай". Здесь мы опишем основные результаты классической теории ветвления, отсутствующие в двумерной ситуации, и природу трудностей, возникающих при попытке их переноса на двумерный случай.

Одномерный случай

Если X — кривая над к, а V — нормирование на к(Х), соответствующее точке на X, то поле вычетов V совпадает с к; в частности, к(Х)у представляет собой полное дискретно нормированное поле с совершенным полем вычетов. Напомним, что известно о ветвлении в расширениях таких полей. Итак, пусть К представляет собой полное дискретно нормированное поле с совершенным полем вычетов.

Теорема Эрбрана. Пусть Ь/К — конечное расширение Галуа с группой Галуа С. Тогда функция Хассе-Эрбрана : [—1,оо) —> [—1,оо) представляет собой кусочно-линейное возрастающее отображение, заданное формулой

Сэ1(Ьш/Ку) = Э Со,™ Э • • О Слг,ш = {е}. нумерации) определяются формулой

Сг = {<т е Са1(£/^)|гсО) := М уЕ{и(о) -а) >1 + 1}, аеоЕ

1)

Теорема Эрбрана утверждает, что, если М — подполе в L/K, фиксируемое нормальной подгруппой Н, то для любых v,u таких, что v = <Pl/m(u)i выполнено GUH/H = (G/H)v ([73, Ch. IV, Lemma 5]).

Если ввести верхнюю нумерацию подгрупп ветвления G4>L'K^ = Gu для всех рациональных и > — 1, мы получим следующий вариант теоремы Эрбрана: (G/H)v = GVH/H. (Это означает, что на самом деле верхняя фильтрация подгрупп ветвления определена на уровне бесконечных групп Галуа.)

С другой стороны, Ни = Gu П Н для любой подгруппы Н непосредственно в силу определения нижних подгрупп ветвления. Таким образом, имеем свойство совместимости: Фильтрация ветвления на группе G определяет фильтрации ветвления на ее подгруппах и факторгруппах.

Хорошие свойства фильтрации ветвления. Верхняя фильтрация ветвления удовлетворяет также свойству Хассе-Арфа: скачки фильтрации являются целочисленными, если и только если расширение абелево, [73, Ch. IV, §3]. Кроме того, она совместима с теорией полей классов: в случае конечного поля вычетов образ фильтрации под действием отображения взаимности совпадает со стандартной фильтрацией на К*, [73, Ch. XV].

Свойство Хассе-Арфа можно интерпретировать как ограничение на расположение подгрупп Gi в G для абелевой G. Но и для неабелевой G имеются некоторые (6o.tee слабые) ограничения, вытекающие из сравнений Сена: если д <Е G0 и дрП ф 1, то icig^1) = гс(дрП) mod рп (см. [76, Th. 1.1] или обзор в [77, 6.1]).

Существование представлений Артина и Суона. (см. [73, Ch. VI], [75], а также обсуждение в [77, 6.1]). В описанной ситуации введем центральные функции Артина и Суона aG, swG : G —» Z с помощью формул Ч J —/ - ■¿G(cr), (7^1, aG(a) = <

1/Ет*i^H, <t = i ч I -/-всИ, <гф1,

SWG(cr) = <

7 = 1 где / = [L : K], iG как в (1), и

-1ч I - 1> а е G0, sG(a) := inf vL(l - a(x)x ) = xeL \iG(v), oiG0.

Тогда aG и swG представляют собой характеры комплексных представлений группы G, называемых представлениями Артина и Суона. Более того, swG — характер единственного проективного Ъ\ [(7]-модуля SWG, так называемого модуля Суона расширения L/K. Для нормальной подгруппы Н группы G из теоремы Эрбрана следует, что

SWG/H = SWG ®ug] ZtlG/Н]. (2)

Наконец, для любого F; [С]-модуля М конечного F;-panra определен его кондуктор Суона

SwМ := dimFj (EomZl[G](SWG, М)).

Аналогичным образом определяются кондукторы Артина и Суона комплексных представления. G. Отметим, что можно восстановить фильтрацию на G, зная кондукторы Артина всех ее неприводимых представлений. (Аналогичное свойство не выполняется для кондукторов Суона, поскольку кондуктор Суона характеризует только дикое ветвление и не содержит какой-либо информации о (G0 : Gi).)

Глобальные формулы. Предположим, что кривая X проективная, а У — ее нормализация в L. Формула Римана-Гурвица связывает род той и другой кривой:

2gy-2=[L: K](2gx - 2) + ^ vQ{$y,x).

Пусть U — плотное открытое подмножество в X, fj — геометрическая общая точка X, Т — локально постоянный пучок ^-модулей конечного ранга на U&. Тогда геометрический общий слой М = представляет собой конечномерное F/-представление^группы Gal{k{X))\ оно пропускается через Gal(L/k(X)), где L/k(X) — конечное расширение Галуа.

Для точки Р Е Х° кондуктор Суона SwpJ7 определяется как кондуктор Суона М, рассматриваемого как Са1(Хш/А;(А')г,)-модуль, где v соответствует Р, a w — любое продолжение v на L. Независимость от L следует из (2). Тогда формула Гротендика-Огга-Шафаревича для Т имеет следующий вид:

Хс(Ц, F) = Xc(U, F,) rankТ - ^ SwРТ.

P€X\U

Это утверждение можно получить из варианта формулы Гротендика-Огга-Шафаревича, приведенного в [21], следующим образом. Пусть и : U ^ X, J^o — постоянный пучок на U ранга, равного rank Т. Применим формулу в [21, Гл. V, теор. 2.12] к и\Т и i$u\Tq и вычислим разность.)

Полнота. Для данного конечного расширения Галуа полных дискретно нормировании. .ч полей Ь/К имеется ряд инвариантов ветвления, которые встречаются в различных формулах: е(Ь/К), Сч и С1 для всех г > О,

Бау М для различных Са1(1//А')-модулей М. Однако имеется достаточная система инвариантов ветвления, а именно, нижняя фильтрация ветвления, которая "описывает ветвление полностью": все инварианты ветвления (включая локальные члены классических глобальных формул) могут быть через нее выражены. (Верхняя фильтрация ветвления также представляет собой достаточную систему инвариантов. То же справедливо для кондукторов Артина всех комплексных представлений (7.) Например,

Двумерный случай

Какая часть классической теории ветвления, обзор которой мы привели выше, сохраняет силу для поверхностей? Ответ таков: практически все утверждения перестают выполняться (при р > 0). Причина состоит в том, что мы не умеем определять набор инвариантов ветвления, который бы эффективно работал во всех ситуациях. Существует лишь различные частичные теории, некоторые из них очень глубокие; однако на настоящий момент ни одна из них не дает полной картины "ветвления в размерности 2". Некоторые из этих теорий будут упомянуты в следующем параграфе; здесь мы обсудим только "негативную информацию".

Первое отличие от классического случая состоит в следующем. Если X — поверхность, а V — нормирование на К = к(Х), соответствующее простому дивизору У, то Ку представляет собой полное дискретно нормированное поле с несовершенным полем вычетов. В этом случае теорема Эрбрана не выполняется. Более того, по нижней фильтрации ветвления на группе вообще нельзя однозначно определить фильтрацию ветвления на факторгруппе. (Таким образом, не имеет смысла пытаться построить верхнюю фильтрацию ветвления путем присвоения новых номеров подгруппам из нижней фильтрации.) Выполняется, по тривиальным причинам, только совместимость с фильтрациями ветвления на подгруппах.

С другой стороны, можно попытаться построить верхнюю фильтрацию ветвления, исходя из "фильтрации нормирования" на К2(К) или на группе Брауэра и применяя высшую теорию полей классов или когомологическую двойственность. Это е(Ь/К) = |<30|; оо дает определение фильтрации на Gal(L/K) в случае абелева L/K. Такая фильтрация обладает свойством "совместимости с факторгруппами". Однако эта фильтрация не сравнима с нижней фильтрацией, и свойство совместимости с подгруппами для нее не выполняете;-'.

Ни нижняя, ни верхняя фильтрации ветвления не позволяют определить даже такой простой инвариант ветвления, как геном расширения, т. е. ответ на вопрос, какие из промежуточных расширений будут вполне разветвлены. Более того, ни та, ни другая фильтрация не позволяет вычислить е(Ь/К) или порядок дифференты.

Отметим, что "таинственное" поведение инвариантов ветвления в случае несовершенного поля вычетов наблюдается уже на простейших примерах; достаточно рассмотреть композит двух расширений Артина-Шрейера ([55], [77, 6.2], [20]).

Далее, существующие аналоги формулы Гротендика-Огга-Шафаревича в размерности 2 (см. следующий параграф) указывают на то, что недостаточно приписывать те или иные инварианты простым дивизорам на X, т. е., точкам X коразмерности 1; должны существовать дополнительные инварианты, которые определены на уровне коразмерности 2.

Опишем один из таких инвариантов. Для двумерного гензелева локального кольца А над гензелевым кольцом дискретного нормирования О и конструктивного пучка Fí-модулей на (Specyl)ét, определено пространство исчезающих циклов V = iíé\(Spec(A(8)c'F), ^IspecAigicF), где F обозначает поле частных О. Это V представляет собой конечномерное Frпредставление группы Gal F. Важным инвариантом служит тотальная размерность V, которая определяется как dt V = dimF/ V + Sw V. Этот инвариант возникает как локальный член коразмерности 2 в формуле для характеристики Эйлера-Пуанкаре ([44], см. также [65]); однако, вообще говоря, мы не располагаем способом явного вычисления dt V.

Перспективная цель

В качестве такой цели можно было бы рассматривать построение теории ветвления для поверхностей, которая сохраняла бы максимально возможное число черт одномерной теории. В частности, для каждой пары (Х,Ь/К) (или (X,f), или (X. JF)) необходимо построить систему инвариантов £(X,L/K,P) (Р <G X), которая содержала бы полную информацию о ветвлении (Х,Ь/К). Это подразумевает следующие требования.

1) "Наивные" инварианты ветвления (индекс ветвления, порядок дифференты, геном, подгруппы в нижней нумерации) в Р должны выражаться через Т,(Х, Ь/К, Р). (Можно надеяться, однако, что "истинная" теория ветвления позволит вычислять и более сложные инварианты, упоминаемые в следующем параграфе. Также представляется желательным получить интерпретацию этой системы инвариантов 4

12 с точки зрения высшей теории полей классов.)

2) Ветвление промежуточных расширений (т. е., Т,{У,Ь/М,0) с <2 над Р и Т,(Х,М/К,Р), где К С М С Ь, У — нормализация X в М) должно выражаться через И(Х,Ь/К, Р).

3) Локальные члены глобальных формул (например, тотальная размерность пространства исчезающих циклов) должны выражаться через Т,(Х, Ь/К, Р).

Наконец, требуется, чтобы И(Х, Ь/К, Р) представляла собой именно систему инвариантов ветвления, т. е., нетривиальные значения инвариантов должны быть в конечном числе точек Р (размерности 1 или 0), в каждой из которых Ь/К разветвлено.

0.3 Существующие подходы Абелевы расширения: кондуктор Като

Как уже упоминалось, в абелевом случае можно через использование арифметических двойственностей построить фильтрации на группе Галуа, имеющие стандартные свойства верхней фильтрации, см. [26], [55]. На языке конструктивных пучков абелеъ'ьш расширениям соответствуют пучки ранга 1. Соответственно, существует теория обобщенных кондукторов Суона для пучков ранга 1 на арифметических схемах произвольной размерности, построенная Като [62]. Он также определил подходящий кондуктор Суона в коразмерности 2, что позволило ему доказать для таких пучков аналог формулы Гротендика-Огга-Шафаревича.

Утверждение о том, что некоторый кондуктор (в коразмерности 1) корректно определен, фактически эквивалентно совместимости соответствующей фильтрации ветвления с факторгруппами.

Моногенные расширения

Пусть Ь/К — конечное расширение Галуа полных дискретно нормированных полей (р > 0). Если потребовать, чтобы расширение полей вычетов Ь/К было сепарабельным, то теорема Эрбрана по-прежнему будет выполняться, что позволяет определить кондуктор Суона для пучков, тривиализируемых в расширении Ь/К. Независимо Делинь (см. [65]) и Ш. Саито ([80]) предложили определения кондуктора Суона в коразмерности 2 и доказали аналоги формулы Гротендика-Огга-Шафаревича для проективной поверхности X при условии, что на (локально постоянный) пучок Т наложено ограничение "отсутствия свирепого ветвления": это означает, что найдется конечное расширение поля к(Х), которое тривиализирует Т и обладает только сепарабельными расширениями полей вычетов. На самом деле оба определения приводят к одному и тому же кондуктору Суона в коразмерности 2; это было показано в работе [63], см. также [66]. Аббес [32] доказал относительный аналог данной формулы (включая разнохарактеристический случай) при том же ограничении.

Однако теорема Эрбрана остается справедливой и для более широкого класса моногенных расширений, т. е. таких расширений Ь/К, для которых кольцо Оь порождено над О к одним элементом. В частности, Ь/К моногенно, если выполнены следующие 2 условия:

1) [К : А-;] = р (это всегда так, если К представляет собой поле функций на поверхности в характеристике р или двумерное локальное поле с первым полем вычетов характеристики р);

2) Ь/К слабо неразветвлено, т. е., [Ь : К] = [Ь : К]. (Слабо неразветвленные расширения можно представлять себе как башни Ь/М/К, где М/К неразветвлено, а Ь/М свирепо разветвлено: [Ь : М] = [Ь : М]Ыаер.)

Это означает, что для таких расширений можно построить нижнюю и верхнюю фильтрации ветвления с обычными свойствами совместимости. Это было проделано Като в [61].

Моногенные расширения не исчерпываются расширениями только что описанного типа и вполне разветвленными расширениями. Общее их описание дано в работах Л. Сприано [78], [79].

Обобщения кондуктора Като

Было несколько попыток обобщения кондуктора Като на неабелевы расширения.

Болтье, Крам и Снейт (см. [37], [77, 6.3]) определяют кондуктор в общем случае при помощи явной Брауэровой индукции. В результате получается кондуктор, который совместим с кондуктором Суона и с кондуктором Като в случаях, когда они определены.

Боргер ([39], [40]) строит кондуктор при помощи различных надполей данного поля, имеющих совершенные поля вычетов и индекс ветвления 1 над данным полем. Он рассматривает некий универсальный объект по отношению к этим подполям; ему соответствует полное дискретно нормированное кольцо с совершенным полем вычетов, и для него можно использовать классическую теорию. Это ведет к построению обобщения кондуктора Артина, которое совместимо с "нелогарифмическим" вариантом кондуктора Като (т. е. кондуктором артинова типа).

Аббес и Т. Саито ([33], [34]) при помощи жесткой аналитической геометрии строят два варианта верхней фильтрации в общем случае, "нелогарифмическую" и "логарифмическую". Они выдвигают предположение, что их теория в абелевом случае совпадает с теорией кондуктора Като. Другие инварианты

Были предложены другие инварианты ветвления, предназначенные для использования в случае несовершенного поля вычетов; в частности, Хиодо ввел в [55] понятие глубины ветвления, мы будем активно пользоваться этим понятием. Барт де Смит ([45], [46]) ввел подгруппы ветвления с двумя индексами. (Определения обоих понятий приведены ниже в разделе "Определения, обозначения, классические результаты".)

Однако ни одна из упоминаемых теорий не дает полного описания ветвления в том смысле, который был описан выше, что сохраняет актуальность задачи выработки новых подходов к построению инвариантов ветвления.

0.4 Основные результаты работы

Первая часть работы (главы 1 и 2) носит алгебраический характер и посвящена изучению инвариантов ветвления произвольных полных дискретно нормированных полей с несовершенным полем вычетов. Центральными результатами здесь служат усиленная теорема об устранении высшего ветвления и конструкция фильтрации с индексным множеством I, обладающей полным набором функториальных свойств.

Вторая часть диссертации (главы 3-5) посвящена более детальному изучению теории ветвления для многомерных локальных полей. Основные результаты — теорема о строении группы для п-мерного локального поля К и согласованность отображения взаимности с фильтрациями для равнохарактеристических двумерных локальных полей.

В третьей части (главы б и 7) изучается алгебро-геометрическая ситуация: ветвление конечного морфизма гладких поверхностей. Основные результаты: описание поведения скачка ветвления на пространстве струй кривых, если морфизм соответствует циклическому расширению полей простой степени; описание поведения инвариантов особенностей кривых при таких морфизмах; аналог формулы Римана-Гурвица для произвольных морфизмов гладких поверхностей. Опишем более подробно содержание отдельных глав.

1. В. А. Абрашкин, Аналог гипотезы Гротендика для двумерных локальных полей конечной характеристики, Труды МИАН 241 (2003), 8-42.

2. Б. М. Беккер, Абелевы расширения полного дискретно нормированного поля конечной высоты, Алгебра и анализ 3 (1991), 76-84.

3. Б. М. Беккер, Теория полей классов многомерных полных полей сАквазиконечным полем вычетов, Труды С.-Петерб. мат. общ. 3 (1995), 128— 134.

4. Т. Б. Беляева, С. В. Востоков, Символ Гильберта в полном многомерном поле. I, Записки научных семинаров С.-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМП) 281 (2001), 5-34.

5. М. В. Бондарко, С. В. Востоков, И. Б. Жуков, Аддитивные модули Галуа в полных дискретно нормированных полях, Алгебра и анализ 9 (1997), 28-46.

6. Н. Бурбаки, Коммутативная алгебра, М., "Мир", 1971.

7. С. В. Востоков, Идеалы абелева р-расширения иррегулярного локального поля как модули Галуа, Записки научных семинаров Ленинградского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ЛОМИ) 46 (1974), 14-35.

8. С. В. Востоков, Явная конструкция теории полей классов многомерного локального поля, Изв. Акад. наук СССР 49 (1985), 283-308.

9. С. В. Востоков, Спаривание на К-группах многомерных полных полей, Труды С.-Петерб. мат. общ. 3 (1995), 140-184.

10. С. В. Востоков, И. Б. Жуков, Некоторые подходы к построению абелевых расширений для р-адических полей, Труды С.-Петерб. мат. общ. 3 (1995), 194-214.

11. С. В. Востоков, И. Б. Жуков, Г. К. Пак, Расширения с почти максимальной глубиной ветвления, Записки научных семинаров С.-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМП) 265 (1999), 77-109.I

12. И. Б. Жуков, Структурная теорема для полных полей, Труды С.-Петерб. мат. общ. 3 (1995), 215-234.

13. И. Б. Жуков, Милноровские и топологические К-группы многомерных полных полей, Алгебра и анализ 9 (1997), 98-147.

14. И. Б. Жуков, О теории ветвления в случае несовершенного поля вычетов, Мат. сб. 194 (2003), 3-30.

15. И. Б. Жуков, Особенности дуг и циклические накрытия поверхностей, Труды Санкт-Петерб. мат. общ. 11 (2005), 49-66.

16. И. Б. Жуков, Формула Иверсена для вторых классов Чснсеня регулярных поверхностей в произвольной характеристике, Алгебра и анализ 19 (2007), 137-158.%

17. И. Б. Жуков, М. В. Коротеев, Устранение дикого ветвления, Алгебра и анализ 11 (1999), 153-177.

18. И. Б. Жуков, А. И. Мадунд, Многомерные полные поля: топология и другие основные понятия, Труды С.-Петерб. мат. общ. 3 (1995), 4-46.

19. И. Б. Жуков, А. И. Мадунц, Аддитивные и мультипликативные разложения в многомерных локальных полях, Записки научных семинаров С.-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМП) 272 (2000), 186-196.

20. В. Г. Ломадзе, К теории ветвления двумерных локальных полей, Мат. сб. 109 (15*) (1979), 378-394.

21. Дж. Милн, Этальные когомологии, М., "Мир", 1983.

22. А. Н. Паршин, Абелевы накрытия арифметических схем, Доклады Академии наук СССР 243 (1978), 855-858.

23. А. Н. Паршин, Локальная теория полей классов, Труды МИАН 165 (1984), 143-170.

24. К. Н. Пономарев, Разрешимое устранение ветвления в расширениях дискретно нормированных полей, Алгебра и логика 37 (1998), 63-87.

25. К. Н. Пономарев, Некоторые обобщения леммы Абъянкара, Algebra and model theory, 2 (Erlagol, 1999), 119-129, 165, Novosibirsk State Tech. Univ., Novosibirsk, 1999.

26. И. Б. Фесенко, Теория полей классов многомерных локальных полей характеристики нуль с полем вычетов положительной характеристики, Алгебра и анализ 3 (1991), 165-196.

27. И. Б. Фесенко, Многомерная локальная теория полей классов II, Алгебра и анализ 3 (1991), 168-189

28. И. Б. Фесенко, Локальная теория полей классов: случай совершенного поля вычетов, Изв. Росс. Акад. Наук 57 (1993), 72-91.

29. И. Б. Фесенко, Секвенциальные топологии и факторы милноровских К-групп многомерных локальных полей, Алгебра и анализ 13 (2001), 198-221.

30. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия. М. "Мир", 1981.

31. И. Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии, М., "Наука", 1974.

32. A. Abbes, The Grothendieck-Ogg-Shafarevich formula for arithmetic surfaces, J. Algebraic Geom. 9 (2000), 529-576.

33. A. Abbes, T. Saito, Ramification of local fields with imperfect residue fields I, Amer. J. Math. 124 (2002), 879-920. http://arXiv.org/abs/math.AG/0010103 (11 Oct 2000).

34. A. Abbes, T. Saito, Ramification of local fields with imperfect residue fields. II, Kazuya Kato's fiftieth birthday. Doc. Math. 2003, Extra Vol., 5-72 (electronic).

35. V. A. Abrashkin, Ramification theory for higher dimensional local fields, in book: Algebraic number theory and algebraic geometry, 1-16, Contemp. Math., 300, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.

36. V. A. Abrashkin, Towards explicit description of ramification filtration in the 2-dimensional case, J. Theor. Nombres Bordeaux 16 (2004), 293-333.

37. M. V. Bondarko, K. F. Lai, and S. V. Vostokov, Galois structure for Abelian p-extensions of Dedekind domains, J. für die reine und angew. Math. 157 (1999), 51-59.

38. J. M. Borger, Conductors and the moduli of residual perfection, Math. Ann. 329 (2004), 1-30; http://arXiv.org/al3s/matli.NT/0112305.

39. J. M. Borger, Kato's conductor and generic residual perfection, preprint (2002); http ://arXiv.org/abs/math.NT/0112306j.

40. J.-L. Bryiinski, Théorie du corps de classes de Kato et revêtements abéliens de surfaces, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 33 (1983), 23-38.

41. A. Campillo, Algebroid curves in positive characteristic, Springer-Verlag, Berlin etc, 1980 (Lecture Notes in Mathematics, vol. 813).

42. J. Coates and R. Greenberg, Kummer theory for abelian varieties over local fields, Invent. Math 124 (1996), 129-174.

43. P. Deligne, Letter to L. Illusie of 28.11.76.

44. B. de Smit, The different and differentials of local fields with imperfect residue fields, Proc. Edinburg Math. Soc. (2) , 40(2) (1997), 353-365.

45. B. de Sröt, Ramification groups of local fields with imperfect residue class field, J. Number Theory 44 (1993), 229-236.

46. H. Epp, Eliminating wild ramification, Invent. Math. 19 (1973), 235-249.

47. I. B. Fesenko, Abelian local p-class field theory, Math. Ann. 301 (1995), 561-586.

48. I. B. Fesenko, Abelian extensions of complete discrete valuation fields, in book: Number theory (Paris, 1993-1994), 47-74, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 235, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996.

49. I. B. Fesenko, On deeply ramified extensions, J. London Math. Soc. (2) 57 (1998), 325-335.

50. I. B. .Fesenko, Topological Milnor K-groups of higher local fields, in book: Invitation to higher local fields (Münster, 1999), 61-74, Geom. Topol. Monogr., 3, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000; http ://www.maths.warwick.ac.uk/gt/gtmcontents3.html.

51. I. B. Fesenko and S. V. Vostokov, Local fields and their extensions. A constructive approach, AMS, Providence, RI, 1993.

52. W. Fulton, Intersection theory, Springer-Verlag, Berlin, 1998.

53. G.-M. Greuel and H. Kröning, Simple similarities in positive characteristic, Mathematische Zeitschrift 203 (1990), 339-354.

54. O. Hyodo, Wild ramification in the imperfect residue field case, Adv. Stud. Pure Math. 12 (1987), 287-314.

55. S. Iitaka, Algebraic geometry. An introduction to birational geometry of algebraic varieties. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.

56. B. Iversen, Numerical invariants and multiple plains, Amer. J. Math. 92 (1970), 968-996. ?

57. B. Kahn, L'anneau de Milnor d'un corps local à corps residuel parfait, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 34 (1984), 19-65.

58. K. Kanesaka, K. Sekiguchi, Representation of Witt vectors by formal power series and its applications, Tokyo J. Math. 2 (1979), 349-370.

59. K. Kato, A generalization of local class field theory by using K-groups, I, J. Fac. Sei. Univ. Tokyo. Sect. 1A Math. 26 (1979), 303-376.

60. K. Kato, Vanishing cycles, ramification of valuation and class field theory, Duke Math. J. 55 (1987), 629-659.

61. K. Kato, Swan conductors for characters of degree one in the imperfect residue field case, in book: Algebraic K-theory and algebraic number theory (Honolulu, HI, 1987), 101-131, Contemp. Math., 83, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1989.

62. K. Kato, S. Saito, and T. Saito, Artin character for algebraic surfaces, Amer J. Math. 110 (1987), 49-76.

63. H. Kurke, Vorlesungen über algebraische Flächen. BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1982.

64. G. Laumon, Semi-continuité du conducteur de Swan (d'après P. Deligne), Astérisque 83 (1981), 173-219.

65. Sh. Matsuda, On the Swan conductor in positive characteristic, Amer. J. Math. 119 (1997), 705-739

66. H. Matsumura, Commutative Algebra. 2nd edition, The Benjamin/Cumming publishing company, Reading, Massachusetts, 1980.

67. H. Miki, Qn 7LV-extensions of complete p-adic power series fields and function fields, J. Fac. Sei. Univ. Tokyo, Sect 1A 21 (1974), 377-393.

68. A. N. Parshin, Chern classes, ade'les and L-functions, J. Reine Angew. Math. 341 (1983), 174-192.

69. P. Samuel, Singularités des variétés algébriques, Bull. Soc. Math. France 79 (1951), 121-129.

70. R. Schopohl, Lubin-Tate Theorie, Abelsche Erweiterungen und verallgemeinerte Hilbertsymbole für mehrdimensionale lokale Körper, Ph. D. thesis. Westfälische Wilhelms-Universität, Münster, 1994.

71. J.-P. Serre, Corps Locaux. 2nd ed., Hermann, Paris, 1968.

72. J.-P. Serre, Sur les corps locaux a corps residuel algébriquement clos, Bull. Soc. Math. France 89 (1961), 105-154.

73. J.-P. Serre, Linear representations of finite groups, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 42. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

74. Sh. Sen, On automorphisms of local fields, Ann. of Math. (2) 90 (1969), 33-46.

75. V. P. Snaith, Explicit Brauer Induction. Cambridge Unicersity Press, 1994.

76. L. Spriano, On ramification theory of monogenic extensions, in book: Invitation to higher local fields (Münster, 1999), 151-164, Geom. Topol. Monogr., 3, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000; http ://www.maths.warwi ck.ac.uk/gt/gtmc ontents3.html.

77. L. Spriano, Well ramified extensions of complete discrete valuation fields with applications to the Kato conductor, Canad. J. Math. 52 (2000), 1269-1309.

78. S. Saito, General fixed point formula for an algebraic surface and the theory of Swan representations for two-dimensional local rings, Amer J. Math. 109 (1987), 1009-1042

79. H. Yamada, Rational sections and Chern classes of vector bundles, J. Math. Univ. Kyoto 6 (1967), 295-312.

80. I. B. Zhukov, Higher dimensional local fields, in book: Invitation to higher local fields (Münster, 1999), 5-18, Geom. Topol. Monogr., 3, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000; http://www.maths.warwick.ac.uk/gt/gtmcontents3.html.

81. I. B. Zhukov, An approach to higher ramification theory, in book: Invitation to higher local fields (Münster, 1999), 143-150, Geom. Topol. Monogr., 3, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000; http://www.maths.warwick.ac.uk/gt/gtmcontents3.html.

82. I. B. Zhukov, Ramification of surfaces: Artin-Schreier extensions, in. book: Algebraic number theory and algebraic geometry, 211-220, Contemp. Math., 300, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.