Проективные структуры на комплексных кривых и уравнения Хитчина тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение. Исторические замечания

1. Проективныектуры — топологический подход

1. Определение

2. Монодромия проективной структуры

3. Фуксова проективная структура

4. Конструкция Терстона

2. Проективные структуры — аналитический подход

1. Теория Атьи

2. Расслоение

3. Производная Шварца

4. Дифференциальный оператор Б

5. Бидифференциал

6. Аффинное расслоение

3. Проективные структуры — гармонический подход

1. Гармонические отображения

2. Уравнения Хитчина

3. Вещественные представления в М. с

4. Стабильные пары

5. Алгебраическая интегрируемая система

6. .мшодптиш ------------------)уктур в

Н.С. Маркарян

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Содержание.

КНИГА ИМЕЕТ цественной монодромией тонические координаты ветвлением

ТурезеЬ Ьу ЛМ6-ТеХ

2 н маркарян

Введение. Исторические замечания

Теория проективных структур берет <?вое начало в работах Римана, Шварца, Клейна и др. Проективные структуры были полезны для решения дифференциальных уравнений на римановых поверхностях. Производная Шварца впервые появилась в работе Лагранжа [Ь], бидифференциал Клейна — в [К]. Э. Картан в 1904 году показал, что проективные структуры — единственные интересные геометрические структуры на одномерных комплексных многооб-разиях([Са]). Рассматривались также проективные структуры с ветвлением. Например, проективная структура с ветвлением и тривиальной монодромией на комплексной кривой есть ее разветвленное накрытие римановой сферы.

Пространство модулей проективных структур на компактной поверхности впервые рассмотрел Пуанкаре. Он доказал, что это пространство этально накрывает пространство представлений фундаментальной группы, то есть проективная структура локально определяется своей монодромией (современное доказательство см. [НЬ]). Он также сделал ошибочное предположение, что это верно и глобально. Контрпример к этой гипотезе Пуанкаре был построен только в 1975 году Маскитом и Хейхалом ([Не]). На самом деле слой над точкой отображения монодромии, вообще говоря, бесконечен. Поиск тех геометрических объектов, которые стоят за этим множеством — самая интригующая задача в теории проективных структур. Вейль ставил эту задачу в связи с арифметическими вопросами в ¡Л¥е].

Проективная структура определяет представление фундаментальной группы, то есть расслоение с плоской связностью. Работы [ЭБ], [в], [Т] включили теорию проективных структур на комплексной кривой в теорию многомерных векторных расслоений. Обзору аналитических методов исследования проективных структур посвящена вторая часть нашей работы.

Другое направление исследования проективных структур начинается также с работ Пуанкаре. Речь идет о представлении комплексной кривой в виде фактора верхней полуплоскости по действию вещественного проективного представления фундаментальной группы. Такое представление снабжает кривую проективной структурой, которая называется фуксовой. Терстон в замечательной книге [ТЬ] привел способ деформировать эту проективную структуру по геодезической измеримой ламинации. Этот метод принадлежит гиперболической геометрии. Позже Голдман ([Со]), также используя методы гиперболической геометрии, и вдохновленный результатами Терстона показал, что пример Маскита и Хейхала исчерпывает всю неоднозначность, с которой проективная структура с фуксовой монодромией определяется своей монодромией. Таким образом, был описан слой отображения монодромии над фуксовыми группами. Краткий и неполный обзор этих методов, которые мы условно назвали топологическими, предпринят в первой части работы.

Сложность теории проективных структур есть проявление общей проблемы "глобальное—локальное". У проективной структуры есть два проявления: глобальное (монодромия) и локальное (локальная проективная координата). Изучение этих проявлений по отдельности не слишком сложно, сложность состоит в переходе от одной картины к другой. Таким связующим звеном, по нашему мнению, могла бы стать гармоническая теория. Связь осуществляетпроективные структуры и уравнения хитчина ся обычным образом: у топологического объекта выбирается гармонический представитель, который затем изучается локально.

В третьей части мы приведем основные результаты о гармонических метриках на плоских расслоениях. Это теория активно развивалась в 80-х годах усилиями Корлетт, Дональдсона, Симпсона и др. Вопросами гармонических отображений в нелинейные пространства стали активно заниматься в последние десятилетия в связи с запросами математической физики. Практически все сведения о гармонических метриках, которые нам понадобятся, содержатся в статье Хитчина [Н]. Главный объект этой работы — пространство решений уравнения автодуальности. С одной стороны, оно совпадает с пространством модулей стабильных пар на комплексной кривой; с другой стороны, согласно теореме Корлетт и Дональдсона оно совпадает с пространством модулей неприводимых представлений фундаментальной группы. Эту работу можно считать продолжением в комплексную область результатов Нарасимхана и Се-шадри [N8], отождествляющих пространство модулей стабильных расслоений с пространством унитарных представлений фундаментальной группы.

Несмотря на то, что один из первых результатов о проективных структурах — фуксова проективная структура — принадлежит гармонической теории, гармонические метрики, кажется, до сих пор не применялись к исследованию проективных структур. Первые шаги в этом направлении сделаны нами в третьей части работы. Мы описываем образ при отображении монодромии множества проективных структур на данной комплексной кривой, используя изоморфизм Корлетт и Дональдсона, в терминах системы Хитчина.

В четвертой части мы обсудим полученный результат. В частности, мы обнаружим связь проективных структур, обладающих вещественной монодро-мией с теорией штребелевых квадратичных дифференциалов (см. [Б^]). Воспользовавшись этой связью, мы опишем множество проективных структур с вещественными монодромиями. Это позволит ответить нам на вопрос, поставленный Маскитом в [М] (этот результат был недавно анонсирован Галло [Са]), а также заново получить результат Голдмана о проективных структурах с фуксовыми монодромиями.

Обнаруженная связь проективных структур с вещественными монодромиями со штребелевыми дифференциалами, а, значит, с ламинациями, позволит нам сформулировать гипотезу о том, как связана конструкция Терстона с гармоническим координатами. Эта гипотеза кажется нам важной потому, что она связывает разделы математики, ранее казавшиеся далекими друг от друга. Мы докажем гипотезу для проективных структур с фуксовыми монодромиями.